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时间:2023-07-28
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1概念来源:为了平衡曲线的弯曲程度。平均曲率,这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度。其中表示曲线段AB上切线变化的角度,为AB弧长。例:对于圆,。所以:圆周的曲率为,是常数。而直线上,所以,即直线“不弯曲”。对于一个点,如A点,为精确刻画此点处曲线的弯曲程度,可令,即定义,为了方便使用,一般令曲率为正数,即:。2计算公式的推导:由于,所以要推导与ds的表示法,ds称为曲线弧长的微分(T5-28,P218)因为,所以。令,同时用代替得所以或具体表示;1、时,
12、时,3、时,(令)再推导,因为,所以,两边对x求导,得,推出。下面将与ds代入公式中:,即为曲率的计算公式。3曲率半径:一般称为曲线在某一点的曲率半径。几何意义(T5-29)如图为在该点做曲线的法线(在凹的一侧),在法线上取圆心,以ρ为半径做圆,则此圆称为该点处的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率,切线及一阶、两阶稻树。应用举例:求上任一点的曲率及曲率半径(T5-30)解:由于:所以:,
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