天津市宝坻第一中学2022-2023学年高一下学期阶段练习四数学Word版含解析

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宝坻一中高一年级阶段性练习四数学试卷一、单选题1.已知复数，则（    ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，可得与.【详解】，，，所以，故选：A.2.已知平面向量与夹角是，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用模的公式可得到，然后利用数量积的运算律即可得到答案【详解】由可得，因为平面向量与的夹角是，且所以故选：C3.已知是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列结论中正确的是（）A.若且，则B.若且，则C.若且，则D.若且，则【答案】D

1【解析】【分析】对于A：直接判断出m与n可能平行、相交，也可能异面，即可判断；对于B：直接判断出m与n可能平行，也可能异面；对于C：直接判断出与可能相交，也可能平行；对于D：利用线面垂直的判定定理直接判断.【详解】对于A：若且，则m与n可能平行、相交，也可能异面，故A错误；对于B：若且，则m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对于C：若且，则与可能相交，也可能平行，故C错误；对于D：因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故D正确.故选：D.4.如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】用向量的线性运算把向量分解成形式即可得答案.【详解】∵，∴，故选：B．5.在平面直角坐标系中，，，，则在上的投影向量的坐标为（）A.B.C.D.【答案】C

2【解析】【分析】根据在上的投影向量为可求出结果.【详解】因为，，，所以，，所以在上的投影为，所以在上的投影向量为.故选：C6.在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的值可以是（）A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，可得，求出的范围，结合选项得出答案.【详解】如图，过点作，垂足,则.若有两解，所以，则，即，得.故选：B7.如图，正方体中，E，F分别是，DB的中点，则异面直线EF与所成角的正切值为（）

3A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据异面直线的夹角的求法和线面位置关系即可求解.【详解】如图所示，连接直线，因为分别为直线和直线的中点，所以为的中位线，所以，则异面直线EF与所成角的正切值即为直线与所成角的正切值，因为,所以平面,平面,所以,所以为直角三角形，所以.故选：B.8.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是（）A.B.C.D.【答案】B

4【解析】【分析】从甲校和乙校报名的教师中各任选名，列出基本事件的总数，利用古典概型求解即可.【详解】设甲校2男1女的编号分别为1，2，A，乙校1男2女编号分别为B，3，4，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果有：，，，，，，，，共计9个，选出的2名教师性别相同的结果有，，，共计4个，故选出的2名教师性别相同的概率为．故选：B9.设的内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的面积的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据，利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角，再根据，利用余弦定理化角为边求得边，再利用余弦定理结合基本不等式求得的最大值，再根据三角形的面积公式即可得出答案.【详解】因为，由正弦定理得得，所以，又，所以，因为，所以，所以，由，得，所以，当且仅当时，取等号，则，所以的面积的最大值为.故选：B.二、填空题

510.如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为_________.【答案】##【解析】【分析】由圆锥侧面的平面展开图的面积公式求出圆锥的母线长，再由勾股定理求出圆锥的高，再由体积公式即可得出答案.【详解】设圆锥的母线长为，所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：，所以，所以圆锥的高.故圆锥的体积为：.故答案为：.11.如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积是________．【答案】4【解析】【分析】根据斜二测画法确定原图形，求解即可.【详解】由图象知：，，

6，为的中点，的面积.故答案为：4.12.甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，目标至少被命中1次的概率为________．【答案】0.8##【解析】【分析】先求两次都未命中目标的概率，然后由对立事件的概率公式可得.【详解】记事件A：两次都未命中目标.则所以目标至少被命中1次的概率为.故答案为：0.813.的内角，，所对边分别为，，，若，，，则的面积为______.【答案】##【解析】【分析】根据题意，由余弦定理求出c，结合三角形的面积公式计算即可求解.【详解】在中，由余弦定理得，即，解得.所以.

7故答案为：.14.如图，在棱长为1的正方体中，点A到平面距离是______．【答案】##【解析】【分析】利用等体积法求得到平面的距离.【详解】，为边长为的等边三角形，设到平面的距离为，根据，则，解得.故答案为：.15.如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．【答案】①.②.【解析】

8【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.【详解】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题

916.在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，又因为，所以；（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得，进而，所以.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.17.某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．

10（1）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动时间的众数，中位数，平均数；（2）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的75百分位数（结果保留两位小数）．【答案】（1）众数是20；中位数是；平均数为20.32（2）23.86【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出的值，然后根据众数、中位数、平均数的概念计算；（2）根据75百分位数确定所在区间，再计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；由，解得，∵，且，∴中位数位于之间，设中位数为，，解得，故中位数是；平均数为；【小问2详解】75百分位数即为上四分位数，又∵，，∴上四分位数位于之间，设上四分位数为，则，解得．18.已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．（1）求甲、乙、丙都通过测试的概率；

11（2）求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；（3）求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）（2）（3）利用独立事件的乘方公式及对立事件概率求法求各对应事件的概率.【小问1详解】甲、乙、丙都通过测试的概率为.【小问2详解】甲未通过且乙、丙通过测试的概率为.【小问3详解】甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为.19.如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点．将分别沿折起，使三点重合于点P．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先证明平面，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；（2）根据棱锥的体积公式即可求得答案;（3）作出二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.

12【小问1详解】证明：因为在正方形中，折叠后即有，又平面，所以平面，而平面,故；【小问2详解】由题意知，故，故；小问3详解】取线段的中点G，连接，因为，所以有，平面,平面,所以即为二面角的平面角，又由（1）得平面，平面，故,而,,故,