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《四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高二下学期期中联考理科数学 Word版含解析》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
2022~2023学年度高中2021级下期期中联考理科数学试卷考试时间120分钟,满分150分注意事项:1.答题前,考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚,考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上,如需改动,用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案;非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答,超出答题区域答题的答案无效;在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用向量加法的运算法则求解即可.【详解】,故选:B.2.函数的导函数为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件,利用求导公式及导数运算法则求解作答.【详解】函数,求导得.故选:D
13.若可导函数满足,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据导数定义可直接得到结果.【详解】由导数的定义知:.故选:C.4.已知直线的方向向量为,平面的法向量为,若直线与平面平行,则实数的值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得,即可得到,从而得到方程,解得即可.【详解】因为直线的方向向量为,平面的法向量为,若直线与平面平行,则,即,即,解得.故选:C.5.若定义在上的函数的导数的图象如图所示,则下列说法正确的是()A.函数在区间上单调递减,在区间上单调递增B.函数在区间上单调递增,在区间上单调递减C.函数在处取极大值,无极小值
2D.函数在处取极大值,无极小值【答案】A【解析】【分析】根据导函数的正负可确定单调性,结合极值点定义可确定正确选项.【详解】对于AB,由图象可知:当时,;当时,;在上单调递减,在上单调递增,A正确,B错误;对于CD,由单调性可知:在处取得极小值,无极大值,CD错误.故选:A.6.若函数在点处的切线斜率为1,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出,由已知得列出方程,求解即可.【详解】因为,所以在点处的切线斜率为,解得,故选:D.7.若关于的不等式恒成立,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令,将问题转化为,利用导数可求得单调性,从而得到,解不等式即可求得结果.【详解】令,则恒成立,;,当时,;当时,;上单调递减,在上单调递增,
3,解得:,即的取值范围为.故选:B.8.已知正四面体的棱长为,若、分别是、的中点,则线段的长为()A.2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】以、、作为一组基底表示出,再根据数量积的运算律求出,即可得解.【详解】,又、、两两的夹角均为,且,,.故选:B.9.函数的图象大致是()A.B.
4C.D.【答案】A【解析】【分析】根据图象结合函数定义域、单调性判断B,C错误;由函数在时函数值的符号可判断D.【详解】由定义域为,排除B;又,令,得,的单增区间为,排除C;当时,,排除D;故选:A.10.若函数有两个极值点,则的取值范围为()A.B.C.或D.【答案】D【解析】【分析】函数有两个不同的极值点,则在上有两个不同的实数解,转化为二次方程在有两个不同的实数解,求解即可.【详解】由题意可得的定义域为,,因为函数有两个极值点,所以在上有两个不同的实数解,所以,解得,故选:D11.如图,半径为1的球是圆柱的内切球,线段是球的一条直径,点是圆柱
5表面上的动点,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先把都用表示,再根据的模长的范围求出数量积的范围即可.【详解】,因为线段是球的一条直径,,,又,,,故选:A.12.若关于的不等式的解集中恰有个整数,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将不等式变形,令,,数形结合,转化为两个函数图象相交情况分析.【详解】,不等式可化为,
6令,,由解得,由解得,在为增函数,在为减函数,令,则的图象恒过,若解集恰有个整数,当时,有无数个整数解,不满足题意;当时,如图,2满足不等式且3不满足不等式,即且,.故选:C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知,,则______.【答案】【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算求解作答.【详解】因为,,所以.故答案为:14.______.【答案】2【解析】【分析】利用微积分基本定理直接运算求值.【详解】,故答案为:2.15.若函数在区间上单调递减,则的取值范围是______.【答案】
7【解析】【分析】根据函数的单调性与导函数的关系,利用分离参数法解决恒成立问题,结合三角函数的性质即可求解.【详解】由题意可知,,因为在区间单调递减,所以上恒成立,等价于即可,因,所以,即,于是有,所以的取值范围是.故答案为:.16.如图,正方体的棱长为,若空间中的动点满足,,则下列命题正确的是______.(请用正确命题的序号作答)①若,则点到平面的距离为;②若,则二面角的平面角为;③若,则三棱锥的体积为;④若,则点的轨迹构成的平面图形的面积为.【答案】②④【解析】【分析】分别以,,所在直线为,,轴建立空间直角坐标系,对于①:直接应用点到平面距离的向量公式,即可判断;对于②:直接应用面面角的向量公式,即可判断;对于③:先求出点
8到平面的距离,即可计算出,得出判断;对于④:延长至点,使得,取中点,中点,连接,,作出平面与正方体的截面,并说明该截面为边长为的正六边形,由条件得,根据空间向量共面定理得点在平面上,即可作出判断.【详解】对于①:由空间向量的正交分解及其坐标表示可建立如图空间直角坐标系,所以,,,,,向量,设平面的法向量,由,,则即,取则,则点与平面的距离为,故①错误;对于②:设平面的法向量,又,,即,取,则,易得平面的一个法向量,设二面角的平面角为,则,是锐角,二面角的平面角为,故②正确;对于③:,,,,,则,设平面的法向量为,由,,
9则,取则,则点到平面的距离为,由得易知,则三棱锥,故③错误;对于④:延长至点,使得,取中点,中点,连接,并延长,交棱,于点,,交,延长线于点,,连接,交棱,于点,,连接,,如图所示,则平面与正方体的截面为六边形,,在平面中,,点为中点,,,在和中,,,
10,即点为中点,,同理可得,,六边形为正六边形,且边长为,则其面积,,,,整理得,点在平面上,当,点的轨迹构成的平面图形的面积为,故④正确.故答案为:②④.三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知空间向量,,.(1)若,求;(2)若与相互垂直,求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据空间向量共线公式列式求参即可;(2)根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.【小问1详解】
11,,,即,且,,解得;【小问2详解】,,又,解得.18.已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求函数在区间的最大值与最小值.【答案】(1)(2);【解析】【分析】(1)利用导数求出切线的斜率,并结合切点得到切线方程;(2)先利用导数求得在区间上的单调区间,进而求得在区间上的最大值与最小值.【小问1详解】,切点为,又,,切线方程为,即,即曲线在点处的切线方程为;【小问2详解】由(1)知,令,得或,令,得,函数在区间,为增函数,在区间为减函数,又,,;又,,.
1219.如图,在正三棱柱中,,是的中点.(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)证明:平面平面.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)分别作,的中点,,连接,,以为坐标原点,分别以,,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,求出直线与的空间向量,即可利用线线角的公式求解.(2)分别求出平面和平面的法向量,利用法向量数量积为0,即可证明.【小问1详解】如图,分别作,的中点,,连接,,在正三棱柱中,底面ABC,且,则OA,OB,互相垂直,以为坐标原点,分别以,,所在直线为轴,建立如图空间直角坐标系,
13已知,则,,,,设异面直线与所成角为,,,,;【小问2详解】由题可知,,,,,设平面的法向量为,则,令,,设平面的法向量为,则,令,,,平面平面.20.制作一个容积为的圆柱体容器(有底有盖,不考虑器壁的厚度),设底面半径为.(1)把该容器外表面积表示为关于底面半径的函数;(2)求的值,使得外表面积最小.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)根据圆柱体积公式可表示出圆柱的高,结合圆柱表面积公式可表示出;
14(2)利用导数可求得的单调性,进而确定最值点.【小问1详解】设圆柱体水杯的高为,则,表面积,即,.【小问2详解】由(1)得:;令,解得:;则当时,,单调递减;当时,,单调递增;当时,表面积取得最小值.21.在如图①所示的长方形中,,,是上的点且满足,现将三角形沿翻折至平面平面(如图②),设平面与平面的交线为.(1)求二面角的余弦值;(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,利用空间向量法求二面角的余弦值;(2)设直线与相交于点,即为,是与平面所成角,计算求解即可.【小问1详解】如图,取的中点,连接,,则,又平面平面,又平面平面,又平面平面,延长交于点,由,为的中点,则,,
15,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图所示,,,,,,,平面,平面,,又,,平面,所以平面,平面的法向量为,且,又,,设平面的法向量为,则,令,则,设二面角的平面角为,,由题知,二面角的余弦值为;【小问2详解】设直线与相交于点,,平面,同理平面,
16由平面公理3可得,又,即为,平面,是在平面内的投影,是与平面所成角,由,又,,,与平面所成角正弦值为.22.已知函数,.(1)求函数的导函数在上的单调性;(2)证明:,有.【答案】(1)在上单调递增;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)直接对函数求导,利用导数与函数间的关系即可求出结果;(2)构造函数,将求证结果转化判断函数值大小,再利用函数的单调性即可求出结果.【小问1详解】因为,所以,令,即,又因为,又因为,所以,即有,所以,所以在区间上单调递增,即在上单调递增;【小问2详解】由题知,要证,
17即证,令,则,即证,由(1)知在区间上单调递增,又因为,所以,所以在区间上单调递增,因为,所以,故命题得证.
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