浙江省北斗联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学（原卷版）

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北斗联盟2022学年高二年级第二学期期中联考数学试题选择题部分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.设复数满足，则的虚部是（）A.2B.C.D.3.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（）A.小时B.小时C.小时D.小时4.平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（）A.B.C.D.5.定义运算：，将函数的图象向左平移的单位后，所得图象关于轴对称，则的最小值是（）AB.C.D.

16.概率论起源于博弈游戏．17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是A.甲48枚，乙48枚B.甲64枚，乙32枚C.甲72枚，乙24枚D.甲80枚，乙16枚7.已知，，，则，，的大小关系是（）A.B.C.D.8.已知函数，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知数列，下列结论正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则数列是等比数列D.若，则10.如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（）A.，M，O三点共线B.平面C.直线与平面所成角的为D.直线和直线是共面直线

211.已知顶点在原点的抛物线，，过抛物线焦点的动直线交抛物线于、两点，当直线垂直于轴时，面积为8.下列结论正确的是（）A.抛物线方程为.B.若，则的中点到轴距离为4.C.有可能直角三角形.D.的最小值为18.12.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，圆上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（）A.1B.3C.5D.7非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知是等差数列前项和，且，则_______________.14.写出一个满足下列条件的正弦型函数：_____________.（1）最小正周期是；（2）在上单调递增；（3），都存在使得.15.点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为_______________.16.已知所在平面与矩形所在平面互相垂直，且满足，则多面体的外接球的表面积为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，∠B＝45°．（1）求边BC的长以及三角形ABC的面积；（2）在边BC上取一点D，使得，求tan∠DAC的值．18.为了应对国家电网用电紧张的问题，了解我市居民用电情况，我市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kW·h），并将得到数据按如下方式分为9组：[0，40），[40，80），…，

3[320，360]，绘制得到如下的频率分布直方图：（1）试估计抽查样本中用电量在[160，200）的用户数量；（2）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为[0，40）和[320，360]的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同的组的概率．19.已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.20.如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，是的中点，且满足．（1）求证：平面；（2）已知，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小．21.已知双曲线过点，且右焦点.（1）求双曲线的方程：

4（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求三角形的面积的取值范围.22.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若有经过原点的切线，求的取值范围及切线的条数，并说明理由；（3）设函数两个极值点分别为，且满足，求实数的取值范围.

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