安徽省合肥市2022-2023学年高一下学期4月期中考试数学（解析版）

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2023年春季学期高一年级期中考试数学试卷本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知四边形是平行四边形，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的性质结合向量的坐标运算，即可得答案.【详解】因为四边形是平行四边形，故,故选：A2.若向量，满足：，，且，则与的夹角是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题目条件直接利用平面向量数量积公式即可求解.【详解】设向量与的夹角是，，因为，，所以，又所以.故选：D．3.在中，，则（）第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

1A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理得到三边长的比值，再利用余弦定理即可求得答案.【详解】在中，，则，设，则.故选：C4.如图是我国古代米斗，它是随着粮食生产而发展出来的用具，是古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗为石的标准最终确定下来.若将某个米斗近似看作一个正四棱台，其中两个底面的边长分别为30cm、60cm，且米斗的容积为，则该米斗的侧棱长为（）A.B.C.20cmD.25cm【答案】B【解析】【分析】由台体体积公式可求台体的高，进而可求侧棱长．【详解】解：设正四棱台的高为h，依题意，，解得，故侧棱长为，故选：5.的内角的对边分别为，若，则（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理以及大边对大角即可求解．第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

2【详解】因为，则由正弦定理可得：，又，且，所以或．故选：．6.已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为，体积为，则当取得最大值时，圆锥的底面半径为（）A.B.1C.D.2【答案】C【解析】【分析】设圆锥底面半径为r，高为h，结合圆锥的侧面积和体积公式求得的表达式，结合基本不等式即可求得答案.【详解】设圆锥底面半径为r，高为h，由题意知母线长为则，所以，当且仅当，即时，取得等号，故选：C7.在中，设是的外心，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意得，由此利用向量的线性运算，结合向量模以及数量积的运算律可推出，，从而，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】由题意是的外心，故，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

3又，所以，则，所以，同理可得，故，所以，由于为内角，故，故选：B8.如图，矩形中，，，与相交于点，过点作，垂足为，则（）．A.B.3C.6D.9【答案】B【解析】【分析】把用表示后再由数量积的定义计算．【详解】，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

4．故选：B．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是用表示，然后根据向量数量积定义计算．二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数满足，则（）A.的虚部为B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个选项得答案．【详解】由，得，则，的虚部为，故错误；，故正确；，故正确；，故错误．故选：．10.设向量，则（）A.B.C.D.在上的投影向量为【答案】BD【解析】【分析】根据向量平行坐标表示可判断A；根据向量垂直的向量表示判断B；求出向量第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

5的坐标，可求得其模，求出，判断C；根据投影向量的定义可判断D.【详解】由题意向量，则，故不平行，A错误；因为，故，即，B正确；因为，则，故，C错误；在上的投影向量为，D正确，故选：BD11.的内角的对边分别为，则下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则是钝角三角形C.若，则为等腰三角形D.若，则符合条件的有两个【答案】ABD【解析】【分析】利用则，进而利用正弦定理即可判断选项A；利用正弦定理角化边得，利用余弦定理得，即可判断B；利用正弦定理边化角整理得，可得或，即可得出结论判断C；正弦定理求得，可判断D.【详解】对于A，当时，，根据正弦定理得，整理得，故A正确；对于B，因为，由正弦定理得，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

6所以，因为，所以，即为钝角，所以是钝角三角形，故B正确；对于C，由，由正弦定理可得，即，所以或，所以或，所以是直角三角形或等腰三角形，故C错误；对于D，由正弦定理得，即，因为，所以，为锐角，所以存在满足条件的有两个，D正确.故选：ABD12.的内角的对边分别为，若，则（）A.B.C.角A的最大值为D.面积的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】由平面向量的数量积计算可得A，由余弦定理可得B，由基本不等式及余弦定理可判断C，结合条件可得，由项判定的范围即可.【详解】由，故A正确；由余弦定理结合A项可得，故B正确；由上结合基本不等式及余弦定理有故，而，单调递减，所以由，当且仅当时取得最大值，故C正确；由上可得，又，所以，故D错误故选：ABC第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

7三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正外接圆的半径为，则正的周长为__________.【答案】9【解析】【分析】根据正弦定理求得正三角形边长，即得答案.【详解】由题意可设正的边长为a，则，故，故正的周长为9，故答案为：914.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为32，则这个球的表面积为__________.【答案】【解析】【分析】由题意求出底面正方形边长，进而根据正四棱柱的体对角线长即为其外接球的直径，求出球的半径，即可得答案.【详解】由题意知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为32，故正四棱柱的底面积为8，则底面正方形边长为，又因为正四棱柱的体对角线长即为其外接球的直径，故外接球半径为，故这个球的表面积为，故答案：15.设是不共线的两个向量，.若三点共线，则k的值为__________.【答案】【解析】【分析】根据三点共线可得向量共线，由此利用向量共线定理可列出向量等式，即可求得答案.【详解】因为三点共线，故,则，使得，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

8又，故，则，解得，故答案为：16.滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，小明同学为测量膝王阁的高度，在膝王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得滕王阁顶部C的仰角为30°，由此估算滕王阁的高度为__________.（精确到）.【答案】57【解析】【分析】解直角，求得，继而解，由正弦定理求出，最后解直角，即得答案.【详解】在中，，（）在中，，，故，即，所以（米），故答案为：57四､解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

917.已知是虚数单位，复数.（1）若是纯虚数，求的值；（2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据复数的类型列出相应的不等式组，即可求得答案；（2）根据复数在复平面内对应点位于第二象限，列出相应的不等式组，求得答案.【小问1详解】因为复数是纯虚数，故，解得；小问2详解】由于复数在复平面内对应的点位于第二象限，故，解得，即的取值范围是.18.已知向量满足.（1）求及的值；（2）求向量与夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据数量积的运算律可求得，根据向量模的计算即可求得；（2）求出的值，根据向量的夹角公式即可求得答案.【小问1详解】第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

10因为，所以，即；；【小问2详解】由题意得，故19.设的内角的对边分别为.（1）求A；（2）若，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式，化简可得，再求出A；（2）根据，利用正弦定理边化角可得，再利用余弦定理求出，最后求出周长即可.【小问1详解】在中，，由正弦定理得，因为，则，即，即，而，即，所以，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

11故；【小问2详解】因为，所以，又，所以，即，所以，所以的周长为.20.如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线.（1）用、表示；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由结合平面向量的减法化简可得出关于、的表达式，再由可得出关于、的表达式；（2）由、、三点共线知，存在，使得，进而可得出，利用平面向量的基本定理可求得的值.【小问1详解】解：因为，则，所以，，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

12因为为的中点，故.【小问2详解】解：因为、、三点共线，则，所以，存在，使得，即，所以，，又因为，且、不共线，所以，，所以，，故.21.如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的母线，，是上的动点.（1）求圆柱的侧面积；（2）求四棱锥的体积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出圆柱底面半径为r，进而求出结果；（2）利用余弦定理结合基本不等式求出，再利用体积公式求出结果.【小问1详解】如图：第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

13连接BD，在中，，，，由余弦定理，得，所以，设圆柱底面半径为r，由正弦定理，得，所以，故圆柱的侧面积；【小问2详解】由（1）知，中，，，由余弦定理，得，即，当且仅当时，等号成立，所以，因为，又，所以四棱锥的体积，，故四棱锥的体积的最大值为.22.的内角的对边分别为，已知.（1）证明：；（2）若是锐角三角形，，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

14（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和差公式，得到，即可得证；（2）利用正弦定理及题设条件，求得，结合为锐角三角形，求得的范围，即可求解.【小问1详解】证明：由正弦定理及，可得，因为，可得，所以,所以或，因为，所以，即.【小问2详解】解：由正弦定理且，，可得，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以的取值范围是.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

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