吉林省长春博硕学校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

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长春博硕学校2022—2023学年度高一年级下学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单选1.若复数，则的共轭复数在复平面上对应的点为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由共轭复数的定义得共轭复数，进而可得解.【详解】∵，∴，∴在复平面上对应点为．故选D．【点睛】本题主要考查了共轭复数的概念，考查了复数的几何意义，属于基础题.2.已知AD为的中线，则等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量线性运算可直接求得结果.【详解】为中线，，即.故选：.【点睛】本题考查平面向量线性运算问题，属于基础题.3.已知在中，，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】

1【分析】直接利用余弦定理可解得，由此可知为直角三角形，所以.【详解】由余弦定理可得，解得，所以，所以为直角三角形，则在中，．故选：A.4.已知为单位向量，，向量的夹角为，则在上的投影向量是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用投影向量定义即可求得在上的投影向量.【详解】在上的投影向量是故选：B5.某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设船的实际速度为，则，由题意可得，即，代入计算即可求出答案．【详解】解：设船的实际速度为，则，北岸的点在的正北方向，游船正好到达处，则，

2所以，即，解得，故选：D．6.为了得到函数的图像，只需将函数的图像（）A.向左平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向右平移个单位【答案】C【解析】【分析】由，再根据平移规则，得到答案．【详解】由，所以为了得到函数的图像，函数需要向右平移个单位，即，故选：C．7.已知，则下列描述中正确的是（）A.函数周期B.当，函数最大值是C.直线不是该函数的一条对称轴D.当，函数没有最小值【答案】B【解析】

3【分析】由三角恒等变换化简函数关系式，再根据三角函数的单调性、周期性、对称性判定选项即可.【详解】，显然周期,故A错误；当时，，(时取得)，故B正确；由B知，时函数取得最值，则是该函数的一条对称轴，故C错误；当时，，函数有最小值，在时取得，故D错误.故选：B.8.在中，角所对的边分别为，且.若，则的最大值是（）A.3B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理和已知求出，再利用正弦定理求得，在中，运用余弦定理和的范围可得答案.【详解】由正弦定理、可得，因为，所以，所以，为三角形的内角，，由正弦定理可得，其中为的外接圆半径，，，

4在中，运用余弦定理，可得，化简，可得，，当时，取得最大值，.故选：C.二、多选9.下列说法错误的有（）A.三点确定一个平面B.平面外两点A、B可确定一个平面与平面平行C.三个平面相交，交线平行D.棱台的侧棱延长后必交与一点【答案】ABC【解析】【分析】利用平面的基本性质判断选项A；举反例判断选项BC；利用棱台的定义判断选项D即得解.【详解】A.不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，所以该选项错误；B.平面外两点A、B在平面的垂线上，则经过A、B不能确定一个平面与平面平行，所以该选项错误；C.三个平面相交，交线不一定平行，如三棱锥的三个侧面，所以该选项错误；D.棱台的侧棱延长后必交与一点，所以该选项正确.故选：ABC10.下列命题为真命题的是（）A.若复数，则B.若i为虚数单位，n为正整数，则C.若，则

5D.若，其中a，b为实数，a=1，b=-1【答案】AD【解析】【分析】利用复数的性质判断选项A；通过计算判断选项BD；举反例判断选项C即得解.【详解】A.若复数，则,所以该选项正确；B.若i为虚数单位，n为正整数，则，所以该选项错误；C.若，则不一定成立，如，所以该选项错误；D.若，其中a，b为实数，则.所以该选项正确.故选：AD11.在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（）A.若，则为锐角三角形B.若为锐角三角形，则C.若，则为等腰三角形D.若，则是等腰三角形【答案】BD【解析】【分析】对于A，用余弦定理可以判定；对于B，利用正弦函数单调性及诱导公式即可判定；对于C，由正弦函数的性质结合三角形内角即可判定；对于D，利用正弦定理及两角和的正弦公式即可判定.【详解】对于A，由余弦定理可得，即，但无法判定A、C的范围，故A错误；对于B，若为锐角三角形，则有，由正弦函数的单调性可得，故B正确；对于C，若，由正弦函数的性质可得或，又，故或，所以C错误；

6对于D，若，由正弦定理可得，结合两角和的正弦公式得又，所以，故，所以D正确故选：BD12.已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（）A.B.若为偶函数，则C.若在区间上单调递增，则的最大值为D.若的一个对称中心为，则【答案】BC【解析】【分析】求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的最大值判断选项C；求得的值判断选项D.【详解】，由图象的相邻两对称轴间的距离为，可得周期，则.则.选项A：由可得选项A判断错误；选项B：若为偶函数，则，则或，又，则.判断正确；选项C：由，可得，

7又，且在区间上单调递增，则，解之得，则的最大值为.判断正确；选项D：由的一个对称中心为，可得，则，又，则.判断错误.故选：BC三、填空题13.复数____.【答案】##【解析】【分析】利用复数除法即可求得的化简结果.【详解】故答案为：14.如图，已知的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角，则的面积为________【答案】【解析】【分析】根据直观图画出原图，求出即得解.【详解】根据直观图画出原图，如图所示，,,所以.故答案为：

815.已知正三棱锥侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________.【答案】【解析】【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出表面积.【详解】解析：过点作平面于点，记球心为.∵在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为，∴，∴.∵球心到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长，∴，.在中，，即，解得，∴外接球的表面积为.

9故答案为：.【点睛】本题主要考查正三棱锥的外接球的表面积以及计算能力，属于中档题.16.已知函数（其中）的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为_____________【答案】【解析】【分析】根据函数的图象，结合三角函数的性质，求得，进而求得函数的单调递减区间.【详解】由函数的图象，可得，，即，所以，即，又由，可得，解得，即，因为，所以，即，令，解得，即函数的递减区间为.故答案为：.四、解答题17.已知复数在复平面内所对应的点为.（1）若复数为纯虚数，求的值；（2）若点在第三象限，求的取值范围.【答案】（1）（2）

10【解析】【分析】（1）先化简，再利用为纯虚数列方程组即可求解（2）依题意的实部和虚部均小于，解此不等式组即可求解【小问1详解】由题意得，因为为纯虚数，所以，解得.【小问2详解】复数在平面内所对应的点为，因为点在第三象限，所以，解得，所以实数的取值范围为.18.如图，在梯形中，为的中点，，，，．（1）求的值；（2）求与夹角的余弦值．【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）首先由已知条件得出为等边三角形，，把和作为一组基向量，分别表示出和，直接计算即可．（2）把和作为一组基向量，表示出，结合（1），由代入计算即可．

11【小问1详解】因为，，所以，又因为，所以为等边三角形，所以，，在中，由得，所以，所以，由，，则．【小问2详解】由（1）得，，，又，，则，又，，所以．19.在中，已知，，．（1）求面积；

12（2）求内切圆半径．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由三角形面积计算公式，代入计算即可；（2）首先由余弦定理求出，再由等面积法即可求出内切圆半径．【小问1详解】因为，，，所以．【小问2详解】由，解得，设内切圆半径为，则，所以，故内切圆半径为．20.如图，棱长为6的正方体，截去八个一样的四面体，得到一个新的多面体，（1）求新多面体的体积；（2）新多面体的表面积是多少？【答案】（1）（2）

13【解析】【分析】（1）利用正方体的体积减去八个四面体的体积即可求解；（2）分别求出新多面体每个侧面的面积，相加即可.【小问1详解】由题意正方体的体积，截去的每个四面体的体积，所以新多面体的体积.【小问2详解】由图可知新多面体的侧面由6个正方形和8个正三角形组成，正方形的边长和正三角形的棱长均为，正三角形的高为，所以正方形面积，三角形面积，所以新多面体的表面积.21.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式及对称中心坐标：

14（2）先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由最大值和最小值求得，的值，由以及可得的值，再由最高点可求得的值，即可得的解析式，由正弦函数的对称中心可得对称中心；（2）由图象的平移变换求得的解析式，由正弦函数的性质可得的值域，令的取值为的值域，解不等式即可求解.【小问1详解】由题意可得：，可得，所以，因为，所以，可得，所以，由可得，因为，所以，，所以.令可得，所以对称中心为.【小问2详解】由题意可得：，当时，，，若关于的方程有实数根，则有实根，

15所以，可得：.所以实数的取值范围为.22.已知向量.（1）当时，求的值；（2）设函数，且，求最大值以及对应的的值.【答案】（1）1；（2）时，取最大值，最大值为【解析】【分析】（1）利用题给条件列方程即可求得的值；（2）先利用向量的数量积化简的解析式，再利用三角函数性质即可求得的最大值以及对应的的值.【小问1详解】，，，.【小问2详解】因为，所以，，所以，所以，

16由，可得，所以，所以，当，即时，取最大值，最大值为.

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