浙江省杭州市八县市区2021-2022学年高二下学期期末数学 Word版含解析

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2021学年高二第二学期八县市区期末学业水平测试数学试卷一､单选题：本题共16小题，每小题3分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集运算求解.【详解】,，.故选：B2.已知复数（为虚数单位），则为（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，再利用复数求模公式即可.【详解】，.故选：C3.已知平面､､满足：，，则“”是“”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】

1【分析】判断当时，有可能相交，故不能推出，反之成立，由此可判断答案.【详解】由题意，，，则不能推出，因为有可能相交，如图示三棱柱，当时，，，根据面面平行的性质定理可得，因此“”是“”的必要不充分条件，故选：B4.已知，为第三象限角，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据同角三角函数的关系求解即可【详解】因为，故，即，，所以，因为为第三象限角，故故选：D5.正实数a，b满足ab=1，则的最小值为（）A.2B.4C.5D.8【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式，可直接求得答案.【详解】由题意得：，，故，当且仅当时取等号，

2故选：B6.为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将这种新饮料每6罐装成一箱，其中每箱中都放置了2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出1罐，则能中奖的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据古典概型求解即可.【详解】因为一箱中有6罐饮料，其中有2罐能够中奖的饮料，所以从一箱中随机抽出1罐，则能中奖的概率为.故选：A7.袋子中有9个材质与大小都相同的小球，其中6个白球，3个红球，每次从袋子中随机摸出1个球且不放回，则两次都摸到白球的概率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】计算两次不放回摸球的结果可能性的种数，再计算出两次都摸到白球的可能种数，根据古典概型的概率公式求得答案.【详解】由题意可得两次不放回摸球的结果可能性有种，两次都摸到白球的可能有种故两次都摸到白球的概率是,故选：C8.某学校高一､高二､高三3个年级共有1080名学生，其中高一年级学生540名，高二年级学生360名，为了解学生身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中高二学生有32人，则该样本中高三学生人数为（）A.54B.48C.32D.16【答案】D【解析】【分析】先求得样本容量，再根据分层抽样的比例，即可求得答案.【详解】由题意可知，抽取的样本容量为，则样本中高三学生有人，

3故选:D9.正六边形ABCDEF中，（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的加法法则和进行求解.【详解】如图，由题意得：，可以得到故选：A10.十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化大数运算而发明了对数，后来瑞士数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即（且），已知，，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据指数和对数互化以及换底公式，对数的运算即可求解.【详解】因为，所以，又因为，所以，故选：B.11.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称作鳖臑.如图，在鳖臑中，平面ABC，是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，且，则异面直线BC与SA

4所成角的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】【分析】将底面补形为正方形，找到异面直线BC与SA所成角的平面角，在求解即可.【详解】作正方形，连接SD，则异面直线BC与SA所成角的平面角为（或其补角），如图所示由已知有平面ABC，所以又因为，则面SCD，因为,所以面SCD，所以，设则，，，则，所以故选：C.12.过点（7，-2）且与直线相切的半径最小的圆方程是（）A.B.

5C.D.【答案】B【解析】【分析】数形结合得到过点作直线的垂线，垂足为，则以为直径的圆为直线相切的半径最小的圆，利用点到直线距离求出直径，设，列出方程组，求出圆心坐标，得到圆的方程.【详解】过点作直线的垂线，垂足为，则以为直径的圆为直线相切的半径最小的圆，其中，设，则，解得：，故的中点，即圆心为，即，故该圆为故选：B13.平面向量，满足，，记，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的模与向量数量积运算法则，先求出的范围，进而求得的最大值.【详解】因为，，所以，，即，所以，

6当且仅当等号成立，因为所以的最大值为，故选：A.14.如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：，，.已知当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在秒时h的值为（）A.-2B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】根据当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动可求得，进而求得h的解析式，再代入求解即可【详解】因为当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，故，即，又，故，故，故当时，故选：D15.如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（）

7A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据条件先判断出点的轨迹为圆的一部分，再由弧长公式求解即可.【详解】取AB中点P，连接PC，C1N，如图，因为PC⊥AB，PN⊥AB，且PN∩PC=P，所以AB⊥平面，AB平面ABM,所以平面ABM⊥平面，平面ABM∩平面=PM，过N作NO⊥PM，NO平面，所以NO⊥平面ABM，当点M从点C运动到点C1时，点是以PN为直径的圆(部分)，如图，

8当M运动到点时，点到最高点，此时，所以，从而，所以弧长，即点的轨迹长度为.故选:B16.已知函数，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可计算，构造函数，可证明其为奇函数且单调递增，由此将化为，求得答案.【详解】由可知，，故，即，令，则，即为奇函数，

9因为函数为R上的单调增函数，为R上的单调减函数故为单调增函数，则也单调递增；不等式，即，即，故，即解集为，故选:A二､多选题：本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.17.下列说法中正确的是（）A.观察成对样本数据的散点图可以直观推断两个变量的相关关系B.样本相关系数r的取值范围是[-1，1]，则越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强C.对于经验回归方程，当解释变量x增加1个单位时，响应变量平均增加2个单位D.：2×2分类变量X和Y独立.通过列联表计算得到的值，则数值越大越能推断分类变量X和Y有关联【答案】ABD【解析】【分析】根据散点图可判断变量的相关关系判断A，由相关系数的意义可判断B，根据回归直线方程的意义可判断C，根据的意义可判断D.【详解】由散点图可以直观推断两个变量的相关关系，故A正确；根据样本相关系数r的意义可知越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故B正确；由回归方程可知变量x增加1个单位时，响应变量平均减少2个单位，故C不正确；当独立性检验时，的值越大越能推断分类变量X和Y有关联正确，故D正确.故选：ABD18.某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的760名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内.现将这100名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]

10分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则（）A.频率分布直方图中a的值为0.03B.样本数据低于120分的频率为0.3C.总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D.总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数相等【答案】AC【解析】【分析】由频率分布直方图先计算出值，判断A，然后计算频率判断B，由频率分布直方图计算中位数判断C，根据频率判断D．【详解】由频率分布直方图，，解得，故A正确；样本数据不低于120分的频率为，因此低于分的频率为，故B错误；分数低于120分的频率为，因此中位数在这一组，设中位数为，则，解得，故C正确；样本分布在与的频率相等，所以频数相等，但总体分布在与频数只能大致相等但不一定相等，故D错误．故选：AC19.如图，在平面四边形ABCD中，，，，.点F为边AB中点，若点E为边CD上的动点，则（）

11A.三角形EAB面积的最小值为B.当点E为边CD中点时，C.D.的最小值为【答案】AB【解析】【分析】根据特殊位置可求三角形面积最小值判断A，当E为CD中点时，利用向量线性运算可判断B，取E在D点时计算可判断C，计算后根据向量的运算性质可判断D.【详解】由题，当E在D点时，取得最小值，，故A项正确；当E为CD中点时，，又因为，所以，故B项正确；当E在D点时，由余弦定理计算可得，所以，故C项错误；因为，而，所以，又,所以，故D项错误.故选:AB20.已知函数，，则（）A.，函数没有零点

12B.，函数恰有三个零点C，函数恰有一个零点D.，函数恰有两个零点【答案】BC【解析】【分析】作出的图象，问题转化为直线与图象交点个数问题，数形结合求解即可.【详解】如图，作出函数的图象，的零点问题可转化为与的交点问题，由图象可知，与图象总会有交点，至少有一个交点，故A错误；由图象可知，与图象可以有3个交点，即函数有三个零点，故B正确；设，则，，，设，可得，由，，故当时，与函数相切于点，结合图象可知当直线

13与平行或重合时，与有一个公共点，即存在时，对都能使得函数恰有一个零点，故C选项正确；当时，不存在使得函数恰有两个零点，故D不正确.故选：BC三､填空题：本题共6小题，每空3分，共30分.21.已知函数，则___________；的定义域是___________.【答案】①.3②.【解析】【分析】根据解析式直接求函数值，再由二次根式的被开方数非负和对数的真数大于零，列不等式组求解即可.【详解】，.由可得，，解得，所以函数的定义域为.故答案为：3；.22.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷6次，正面朝上得2分，反面朝上得-1分，用X表示抛掷6次后得到的总分，则___________；___________.【答案】①.②.3【解析】【分析】表示6次均是正面朝上，继而算出；设正面朝上的次数为，则服从二项分布，且，继而算出.【详解】由题意，抛一枚均匀的硬币，正反面朝上的概率均为，

14所以将一枚均匀的硬币重复抛掷6次，设正面朝上的次数为，则服从二项分布，且，表示6次均是正面朝上，所以；又因为，所以;故答案：；323.在的展开式中，含项的系数是___________.【答案】【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式可直接写出含项的系数，求得答案.【详解】由题意得，在的展开式中，含项的系数为,故答案为：24.已知函数，，,则___________；最小值为___________.【答案】①.1②.1【解析】【分析】第一空，求出函数的导数，将代入，即可求得a的值；第二空，判断导数的正负，确定函数的单调性，即可求得函数最小值.【详解】由题意得：，，故；则，当时，，递减，当时，，递增，故，故答案为：1；125.中，，，，___________；AC=___________.

15【答案】①.；②.##【解析】【分析】根据两角和的正弦公式可求出，再由正弦定理求出即可.【详解】，B为三角形内角，，由正弦定理可得，即故答案为：；.26.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别从A，F出发沿对角线AC，FB匀速移动，已知弹子N的速度是弹子M的速度的2倍，且当弹子N移动到B处时试验中止.则活动弹子M，N间的最短距离是___________.【答案】【解析】【分析】设出与长度，根据已知的面面垂直得到，再利用余弦定理与勾股定理求得的长度表达式，即可得到最小值.【详解】过点M做MH垂直AB于H，连接NH，如图所示，

16因为面面，面面，，则面，面，所以.由已知弹子N的速度是弹子M的速度的2倍，设，则，因为，为正方形，，则，，所以所以，，由余弦定理可得所以，当时，，所以,故答案为：.

17四､解答题：本题共5小题，共56分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.27.设函数，.（1）求的值；（2）从下述问题①､问题②､问题③中选择一个进行解答.问题①：当时，求的值域.问题②：求的单调递增区间.问题③：若，且，试求的值.注：作答时首先说明选择哪个问题解答；如果选择多个问题解答，按第一个解答计分.【答案】（1）1（2）选①：；选②：；选③：或.【解析】【分析】（1）三角恒等变换化简得到，代入求值即可；（2）选①：利用图象求解函数值域；选②：整体法求解函数单调递增区间；选③：计算得到，结合，求出的值.【小问1详解】，小问2详解】选①：当时，，则，故；选②：令，解得：，故

18的单调递增区间为；选③：若，且，试求的值.，解得：，因为，所以，故或，解得：或28.如图，在三棱锥中，侧面PAC是正三角形，且垂直于底面ABC，，BC=2，AB=4.（1）求证：；（2）记二面角的平面角为，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面PAC,根据线面垂直的性质定理即可证明结论；（2）求得相关线段的长，作辅助线，作出二面角的平面角，解直角三角形求得答案.【小问1详解】证明：因为,侧面PAC是正三角形，且垂直于底面ABC,平面PAC平面ABC=AC,平面ABC,故平面PAC,而平面PAC，故；【小问2详解】

19由勾股定理得,侧面PAC是正三角形，故,由平面PAC,则,则,又,故设PA中点为D,连接CD,BD,则,故即为二面角的平面角，在直角三角形BCD中，，故记二面角的平面角为,则.29.已知，，.（1）证明：（e为自然对数的底数）；（2）若方程有解，求a的范围.【答案】（1）证明见解析；（2）或.【解析】【分析】（1）作差后，分析差正负，即可证明；（2）分离参数，讨论可得分段函数，根据函数单调性及均值不等式分别求解即可.【小问1详解】

20【小问2详解】由可得，，即当时，，由函数为减函数可得；当时，，当且仅当时等号成立，故；当时，，即，当且仅当时等号成立；综上，a的取值范围为或.30.去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以填埋方式处理，14万吨垃圾以环保方式处理，为了确定处理生活垃圾的十年预算，预计从今年起，每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加2万吨.（1）请写出今年起第n年用填埋方式处理的垃圾量的表达式；（2）求从今年起n年内用填埋方式处理的垃圾量的总和；（3）预计今年起10年内，哪些年不需要用填埋方式处理生活垃圾.（参考数据：，，）【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意直接写出的表达式；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式，分组求和即可；（3）判断数列的单调性，再由特殊值得出答案.【小问1详解】

21由题意可知，.【小问2详解】根据（1）可得，化简可得，.【小问3详解】,递减数列，而，所以，第8年到第10年不需要用填埋方式处理垃圾.31.已知椭圆C的离心率为，其焦点是双曲线的顶点.（1）写出椭圆C的方程；（2）直线l：与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线l的垂线分别交x轴､y轴于，两点，当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.【答案】（1）（2）轨迹方程，为椭圆除去4个顶点【解析】【分析】（1）根据双曲线的顶点，结合椭圆离心率的公式与基本量的关系求解即可；（2）根据题意可得直线l与椭圆C相切，故联立直线与椭圆的方程，利用判别式为0可得的关系，再得到点M坐标的表达式，从而得到过点M作直线l的垂线的方程，求得，结合椭圆的方程求解即可【小问1详解】设椭圆C的方程为，，由题意，双曲线

22的顶点为，故.又，故，故，故椭圆C的方程为【小问2详解】由题意，直线l与椭圆C相切，联立得，故，即.设，则，故，故.所以直线的方程为，即，当时，，故，当时，，故，故.又，故则，又在上，故，即，由题意可得，故点的轨迹方程为，为椭圆除去4个顶点

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