1【详解】设，则，因为是实数，所以，即，所以，故的虚部为3.故选：D.4.羽毛球运动是我校春季特色体育运动会的传统项目，深受全校师生喜爱。标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是6cm，底部所围成圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为（）A.B.C.D.【答案】C5.如图，的值为（ ）A．B．C．D．答案 B6.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，如图所示．一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方．记n阶幻方中数的和即方格内的所有数的和为Sn，如图三阶幻方中数的和S3＝45，那么S9等于( )A．3321B．361C．99D．33
2答案 A解析 由题意知，S9＝1＋2＋3＋…＋92＝＝3321.7.若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )A.9B.8C.7D.6答案 B解析 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.8.德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点.若的最大值为，则实数的值为（ ）A．2B．3C．或D．2或4【答案】C【分析】根据米勒定理，当最大时，的外接圆与轴正半轴相切于点；再根据圆的性质得到为等边三角形，从而求出的值.【详解】根据米勒定理，当最大时，的外接圆与轴正半轴相切于点.设的外接圆的圆心为，则，圆的半径为.因为为，所以，即为等边三角形，所以，即或，解得或.故选：C.
39.已知函数，，则图象为如图的函数可能是 A．B．C．D．【解析】：由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，因为为偶函数，为奇函数，函数为非奇非偶函数，故选项错误；函数为非奇非偶函数，故选项错误；函数，则对恒成立，则函数在上单调递增，故选项错误．故选：．10.已知函数在上单调递增，则f(x)在(0,2π)上的零点可能有( )A．2个B．3个C．4个D．5个答案 A解析 由－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z，取k＝0，可得－≤x≤.若f(x)在上单调递增，则解得0<ω≤.
4若x∈(0,2π)，则ωx＋∈.设t＝ωx＋，则t∈，因为2ωπ＋∈，所以函数y＝sint在上的零点最多有2个．11.将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分得1本，A表示事件：“《三国演义》分给同学甲”；B表示事件：“《西游记》分给同学甲”；C表示事件：“《西游记》分给同学乙”，则下列结论正确的是( )A．P(A)P(B)＝P(AB)B．P(A)P(C)＝P(AC)C．P(B|A)＝D．P(C|A)＝答案 D解析 将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学，共有CA＝36(个)基本事件，事件A包含的基本事件数为A＋CA＝12，则P(A)＝＝，同理，P(B)＝P(C)＝，事件AB包含的基本事件数为A＝2，则P(AB)＝＝，事件AC包含的基本事件数为C＋CC＝5，则P(AC)＝，因为P(A)P(B)＝≠P(AB)，故A错误；因为P(A)P(C)＝≠P(AC)，故B错误；因为P(B|A)＝＝，故C错误．因为P(C|A)＝＝，故D正确；12.对于非空实数集，记．设非空实数集合，若时，则
5．现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有；②对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有；③对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有；④对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必存在常数，使得对任意的，恒有，其中正确的命题是( )A．①③B．①④C．②③D．②④答案 B解析 由已知，为不小于集合中最大值的所有数构成的集合．①因为，设集合M和P中最大值分别为m和p，则，故有；②设，则，故；③设，则，故；④令，则对任意的，，故恒有。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.答案 0解析 依题意得＝－＝(＋)－＝－＋＋，因此x＋y＋z＝－1＋＋＝0.14.写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式__________.①；②【答案】【解析】可构造等比数列，，则公比为负数，，
6取15.经过椭圆＋y2＝1中心的直线与椭圆相交于M，N两点(点M在第一象限)，过点M作x轴的垂线，垂足为点E，设直线NE与椭圆的另一个交点为P，则∠NMP的大小为________．【答案】.【详解】设M(x1，y1)(x1>0，y1>0)，P(x0，y0)，则N(－x1，－y1)，E(x1，0)，所以kMN＝，kPN＝kEN＝＝，kPM＝，kPN×kPM＝·＝＝－，所以kPN＝－＝，所以kPM＝－.所以kMN×kPM＝×＝－1，所以MN⊥MP，所以∠NMP= .16.已知长方体ABCD－A1B1C1D1的高为，两个底面均为边长为1的正方形，过BD1作平面α分别交棱AA1，CC1于E，F，则四边形BFD1E面积的最小值为________.答案 解析 法一 根据题意作图，如图所示，过点F作FH⊥BD1交BD1于H，设FH＝h.由题意得BD1＝2.因为长方体对面平行，所以截面BFD1E为平行四边形，则S四边形BFD1E＝2S△BFD1＝2×BD1·h＝2h，当h取最小值时四边形BFD1E的面积最小.易知h的最小值为直线CC1与直线BD1间的距离.
7易知当F为CC1的中点时，h取得最小值，hmin＝，(S四边形BFD1E)min＝2×＝.故四边形BFD1E面积的最小值为.法二 (射影面积法)设平面BFD1E与底面ABCD的交线为l.如图所示，过D1作D1H⊥l于H.连接DH，则∠D1HD为二面角D1－l－D的平面角，设为θ.根据射影面积公式S四边形BFD1E·cosθ＝S四边形ABCD，得S四边形BFD1E＝，则当cosθ最大时，S四边形BFD1E最小.当cosθ最大时，分析易知DH最长.又DH最长为DB＝，所以cosθ最大值为，因为S四边形ABCD＝1，所以四边形BFD1E面积的最小值为.点津突破 1.破解本题的关键是探求点F到BD1的距离的最小值，即寻找点F在何处时FH与CC1，BD1同时垂直.2.如图所示，AD⊥平面α，∠AHD＝θ是二面角A－BC－D的平面角，由cosθ＝，可得△ABC的面积、△ABC在过其底边BC的平面α上的射影△DBC的面积及θ之间的关系：S△DBC＝S△ABC·cosθ，本题用射影面积法找截面与底面所成二面角的最小角是关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝
8BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱A1B1的中点．(1)求证：C1M⊥B1D；(2)求二面角B－B1E－D的正弦值。(1)证明 如图，依题意，以C为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,3)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，D(2,0,1)，E(0,0,2)，M(1,1,3)．则＝(1,1,0)，＝(2，－2，－2)，∵·＝2－2＋0＝0，∴C1M⊥B1D.(2)解 依题意，＝(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量，＝(0,2,1)，＝(2,0，－1)．设n＝(x，y，z)为平面DB1E的法向量，则即不妨设x＝1，可得n＝(1，－1,2)．∴cos〈，n〉＝＝，∴sin〈，n〉＝＝.∴二面角B－B1E－D的正弦值为.18.如图是某企业2016年至2022年的污水净化量(单位：吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2016～2022.
9(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请建立y关于t的回归方程，并预测2025年该企业的污水净化量；(2)请用相关指数说明回归方程预报的效果．参考数据：＝54，(ti－)(yi－)＝21，≈3.74，(yi－i)2＝.参考公式：线性回归方程＝＋t，＝，＝－.相关指数：R2＝1－．解 (1)由折线图中的数据得＝54，＝＝＝，所以＝－＝54－×4＝51，所以y关于t的线性回归方程为＝t＋＝t＋51.将2025年对应的t＝10代入得＝×10＋51＝58.5，所以预测2025年该企业污水净化量约为58.5吨．(2)因为R2＝1－＝1－×＝1－＝＝0.875，所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，说明回归方程预报的效果是良好的．19.（本题满分12分）在△ABC中，D为边BC上一点，，，．（1）求；（2）若，求△ABC内切圆的半径.
10解：（1）设，∴，，在△ADC中，由正弦定理可得，在△ABD中，，又，所以，∴，∴，∴．（2）∵，∴，又易知为锐角，∴，∴，，∵，∴，∴△ABD中，，又，在△ABC中，由余弦定理可得，∴．设△ABD的内切圆半径为r，则，则20.（本题满分12分）已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．（1）当k变化时，求点M的轨迹方程；（2）若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．解：（1）（法1）设，，．联立直线l与双曲线E的方程，得，消去y，得．由且，得且．由韦达定理，得，．
11所以，．由消去k，得．由且，得或．所以，点M的轨迹方程为，其中或．（法2）设，，．（ⅰ）当时，易得．（ⅱ）当时，，由，两式相减，整理得．而，，，所以，即．综上，点M的轨迹方程为（除去的一段）．（2）（法1）双曲线E的渐近线方程为．设，，联立得，同理可得，因为，所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．所以，A，B为线段CD的两个三等分点．即，．而，．
12所以，，解得，所以，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．（法2）双曲线的渐近线方程为．设，，联立直线l与双曲线E的渐近线方程，得，消去y，得．由韦达定理，得线段CD的中点横坐标为．所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．所以，A，B为线段CD的两个三等分点．所以，，解得，所以，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．21.（本题满分12分）已知函数（1）若求在区间上的值域；（2）若有唯一极值点，求实数的取值范围.（1）当时，·····2分在上单调递增，上单调递减·····5分（2）有唯一极值点有唯一变号零点
13有唯一变号零点有唯一变号零点·····7分当时，显然成立；·····8分当且时，在上单调递增，在上单调递减，不可能仅有一个变号零点；·····10分当时，（）仅在上有一个变号零点综上，·····12分22.（本题满分10分）在直角坐标系中，已知曲线（为参数），曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)曲线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；(2)已知是曲线上的两个动点（异于原点），且，若曲线与直线有且仅有一个公共点，求的值.【详解】（1）由曲线（为参数），消去参数，得，所以曲线的直角坐标方程为.又由，得，所以曲线的极坐标方程为.由曲线，得，即，
14所以曲线的普通方程为.（2）由题意，设，则，又曲线与直线有且仅有一个公共点，故为点到直线的距离，由曲线的极坐标方程，得，所以，，所以，即，所以；又，所以，即所求实数的值为.
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