安徽省六安市三校联考2022-2023学年高二下学期5月期中考试数学Word版含解析

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六安二中2022-2023学年度高二年级第二学期期中考试数学试卷一：单选题（本大题8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列求导不正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由导数的运算法则、复合函数的求导法则计算后可判断．【详解】A：；B：；C：；D：．故选：C．2.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（）A.甲赢三局B.甲赢一局输两局C.甲、乙平局二次D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次【答案】D【解析】【分析】列举出的所有可能的情况，即得.【详解】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选：D．

13.函数的递增区间是（）A.B.和C.D.【答案】C【解析】【分析】利用导数求的递增区间.【详解】由题设，且，可得，所以递增区间为.故选：C4.将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，则不同的站法有（）A.1440种B.2880种C.4320种D.3600种【答案】C【解析】【分析】采用间接法，先求出没有限制的所有站法，再排除不满足条件的站法可求解.【详解】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻的不同站法有种不同的站法.故选：C5.端午节为每年农历五月初五，又称端阳节、午日节、五月节等.端午节是中国汉族人民纪念屈原的传统节日，以围绕才华横溢、遗世独立的楚国大夫屈原而展开，传播至华夏各地，民俗文化共享，屈原之名人尽皆知，追怀华夏民族的高洁情怀.小华的妈妈为小华煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽，小华随机取出两个，事件A“取到的两个为同一种馅”，事件B“取到的两个都是艾香粽”，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.

2【详解】由题意，，，所以.故选：B.6.展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的项的系数为（）AB.C.100D.160【答案】C【解析】【分析】先用赋值法求得项数n，由于原式为三项式，需将作为整体进行二项式展开，从原式展开式中取出前两项再进行展开，分别求出包含项和项的系数，最后代回原式求和即可.【详解】取代入，得，解得则原式其中，只有前两项包含项.，其中项的系数为；，其中项的系数为.故原式展开式中的项的系数为.故选：C.7.已知函数在上的最小值为，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用导数分析函数在上的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】对于函数，则.当或时，；当时，.所以，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为，

3由，可得或，函数在上的极大值为，极小值为，且，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，函数在区间上的最小值为.故选：B.8.已知是定义在R上的可导函数，其导函数为，对时，有，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，求导判断单调性可得答案.【详解】设，，因为，所以，所以在上单调递增，因为，所以，即，解得.故选：C.

4【点睛】方法点睛：构造函数解决导数问题的常用模型有：模型1，若的系数为x，且同时出现与的和或差，考虑构造x与的积或者商；模型2，若出现与且系数相同时，考虑构造e与的积或者商.模型3，若出现与系数分别是常数和x时，考虑构造与的积或者商；模型4，若出现与且系数为与时，考虑构造与的积或者商，或者与的积或者商.二：多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.记，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用赋值法判断A、C、D，写出展开式的通项，即可判断B.【详解】因为，令可得，故A正确；令可得，令可得，两式相加可得，故C正确；令可得，所以，故D正确；又二项式展开式的通项，所以，所以，故B错误；故选：ACD

510.若件产品中有件次品和件正品．现从中随机抽取件产品，记取得的次品数为随机变量，则下列结论正确的是（）A.若是有放回的抽取，则B.若是无放回的抽取，则C.无论是有放回抽取还是无放回的抽取，的数学期望相等D.无论是有放回的抽取还是无放回的抽取，的方差相等相等【答案】BC【解析】【分析】若是有放回的抽取，则，求出及、，若是无放回的抽取，则服从超几何分别，求出所对应的概率，从而得到、，即可判断.【详解】若是有放回的抽取，则，则，，，故A错误；若是无放回的抽取，则可能取，，，，其对应的概率为，，，，，．故B、C正确，D错误；故选：BC11.下列说法正确的是（）A.从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取法有种

6B.甲乙等6名同学和1名老师站成一排照相，则老师必须站在最中间且甲乙必须站在一起的站法有192种C.将10个“三好生”名额分给4个班级，每班至少1个名额，共有84种分法D.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个，共有150种放法【答案】BCD【解析】【分析】选项A至少取到1件次品的取法分为两类，抽1个次品1个正品和抽2个次品；选项B特殊位置优先排，相邻问题要捆绑处理；选项C相同元素分配问题，可用隔板法；选项D不同元素分配问题，先分组再分配.【详解】选项A：从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取法有种，故A错误；选项B：甲乙等6名同学和1名老师站成一排照相，则老师必须站在最中间，故只需排6名学生，老师左右各三个位置，甲乙必须站在一起，将甲乙捆绑看作一个元素，若甲乙在老师左边，则左边还有1个位置可以在甲乙左侧或右侧，右边有3个位置，若甲乙在老师右边，则左边还有1个位置可以在甲乙左侧或右侧，左边有3个位置，共有种，故B正确；选项C：隔板法，可以把问题看做由3个隔板插入10个相同元素中的9个空里，把10个元素分为4份，故共有种，C正确；选项D：先分组，再排列，第一类，将5个不同的小球分为数量为3、1、1的三组，再排列，有种；第二类，将5个不同的小球分为数量为2、2、1的三组，再排列，有种共有种，故D正确.故选：BCD12.已知，，a是参数，则下列结论正确的是（）A.若有两个极值点，则B.至多2个零点C.若，则的零点之和为0D.无最大值和最小值【答案】ACD

7【解析】【分析】求导，把两个极值点问题转化为导数方程有两个解问题，分离参数数形结合即可求解a的范围，判断A，求导，判断函数的单调性，再结合零点存在性定理，直接判断即可判断B；问题等价于直线y＝a与函数图象的交点的横坐标之和是否为0，由函数的奇偶性容易判断C，结合函数的的单调性及图象变化趋势判断D.【详解】对于A，因为，所以，若有两个极值点，则有两个不同的解，分参得，有两个不同的解，记，则，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，作出函数的图象，要使有两个不同的解，则直线与函数有两个不同的交点，由图知，，故A正确；对于B，当时，，，结合A选项知，存在，，使得，又，所以，又，x趋向负无穷大时，函数无限趋向于负无穷大，

8x趋向正无穷大时，函数无限趋向于正无穷大，且，由零点存在性可知，有三个零点，故选项B错误；对于C，令，当时，；当时，原方程根即为的根，亦即直线y＝a与函数图象的交点的横坐标，又函数为偶函数，所以直线y＝a与函数图象的交点的横坐标之和为0，故选项C正确；对于D，当时，由选项A知，，则，函数在R上单调递增，且x趋向负无穷大时，函数无限趋向于负无穷大，x趋向正无穷大时，函数无限趋向于正无穷大，此时函数无最大值和最小值；当时，由选项B知，函数在和上单调递增，在上单调递减，且x趋向负无穷大时，函数无限趋向于负无穷大，x趋向正无穷大时，函数无限趋向于正无穷大，此时函数无最大值和最小值；综上，函数无最大值和最小值，故选项D正确；故选：ACD【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.三：填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

913.若，则________【答案】【解析】【分析】由导数的运算法则与赋值法求解，【详解】，令，得，故答案为：14.掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为随机变量，则随机变量的方差________．【答案】【解析】【分析】依题意的可能取值为、、、、、，求出所对应的概率，即可求出数学期望与方差.【详解】依题意的可能取值为、、、、、，且，所以，则.故答案为：15.若函数有极值,则函数的极值之和的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】先求导，方程在上有根求出的范围，根据韦达定理即可化简，根据的范围即可求出．【详解】解：的定义域是，，存在极值，在上有根，

10即方程在上有根．设方程的两根为，，，，即，，，，故函数的极值之和的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了导数函数极值的关系，以及韦达定理及二次函数的性质，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题16.设直线l是函数，和函数的公切线，则l的方程是________．【答案】【解析】【分析】根据导数几何意义和斜率的比值定义式，以及导数确定函数的单调性即可求解.【详解】设直线l与函数的切点为A，直线l与函数的切点为B，，所以，，所以，所以，

11后面等式整理得，代入前面等式整理得，化简得，令，因为，所以，所以，令，所以，容易知道，为减函数，，所以恒成立，所以单调递增，所以最多一个零点，容易知道，所以只有一个解，故，所以A点坐标为，切线斜率为，

12所以切线方程为，即.故答案为：.【点睛】双切点联立方程，结合导数几何意义，构造函数是关键.四：解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256．问题：在展开式中，（1）求的值与展开式中各项系数之和；（2）这个展开式中是否存在有理项？若存在，将其一一列出；若不存在，请说明理由．【答案】（1）选三个中的任意一个，；展开式中各项系数之和为1．（2）存在，展开式中有理项分别为；；．【解析】【分析】（1）利用二项展开式的性质列方程即可求得的值，利用赋值法即可求得展开式中各项系数之和；（2）利用二项展开式的通项公式，由x的幂次为整数列方程即可求得展开式中有理项.【小问1详解】选①，第3项与第7项的二项式系数相等，则，所以；令，则，则展开式中各项系数之和为1．选②，只有第5项的二项式系数最大，所以，解得；令，则，则展开式中各项系数之和为1．选③，所有项的二项式系数的和为256，则，解得：．令，则，则展开式中各项系数之和为1．

13【小问2详解】二项式展开式的通项公式为：．依题意可知，当，3，6时，二项展开的项都是有理项．所以：当时，；当时，；当时，．所以展开式中有理项分别为；；．18.一个闯关游戏共三关，游戏规则：闯过第一关才能进入第二关，闯过第二关才能进入第三关，闯过三关或闯关失败则游戏结束且各关闯关是否成功是相互独立的．小明玩这个游戏，他能过一、二、三关的概率分别是，和.（1）求小明闯到第三关的概率.（2）记游戏结束时小明闯关成功的次数为随机变量，求的分布列及数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）依题意当小明第一、二关闯关成功时能够闯到第三关，根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）依题意的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】依题意小明闯到第三关即第一、二关均闯关成功，故概率；【小问2详解】依题意的可能取值为、、、，则，，，，所以的分布列为：

14所以.19.已知函数在时有极值0．（1）求函数的解析式；（2）记，若函数有三个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，根据题意可得，从而可得出答案；（2）求导，根据导数的符号求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值，再根据函数有三个零点，列出不等式，解之即可得出答案.【小问1详解】解：，因为函数在时有极值0，所以，即，解得，经检验符合题意，所以；【小问2详解】解：由（1）得，则，当或时，，当时，，

15所以函数在和上递增，在上递减，所以函数的极大值为，极小值为，因为函数有三个零点，所以，解得，即实数的取值范围为.20.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.试题解析：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减.（ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.

16①当时，由于，故只有一个零点；②当时，由于，即，故没有零点；③当时，，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.21.为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为．（1）求甲队第二场比赛获胜的概率；（2）用表示比赛结束时比赛场数，求的期望；（3）已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）设“第i场甲队获胜”，“球员第i场上场比赛”，，2，3．根据对立事件的概率公式即可求解；

17（2）由题意知的可能取值为2，3，结合对立事件和独立事件的概率公式和数学期望的计算公式即可求解；（3）根据对立事件、独立事件的概率公式和条件概率公式计算即可求解.【小问1详解】设“第i场甲队获胜”，“球员第i场上场比赛”，，2，3．由全概率公式．小问2详解】的可能取值为2，3．由题意知，由（1）知，则，，，，．小问3详解】，此时，．22.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；

18（2）根据题意分析可得对任意实数，都有恒成立，构建，根据恒成立问题结合导数分析运算.【小问1详解】∵，则，若时，则，，即切点坐标为，切线斜率，∴切线方程为，即.【小问2详解】∵，即，整理得，故原题意等价于对任意实数，都有恒成立，构建，则，注意到，则，构建，则在上单调递增，且，故在内存在唯一的零点，可得当，则；当，则；即当，则；当，则；故在上单调递减，上单调递增，则，又∵为的零点，则，可得且，∴，即在上的最小值为0，故实数的取值范围.

19【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题(1)分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．(2)函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．

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