河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考数学（文）Word版含解析

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2023届普通高等学校招生全国统一考试大联考(高三)数学(文科)试卷全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M=1234567,N={x|2x−1<5},则M∩N=()A.{1,2}B.{1,2,3}C.{1,2,3,4}D.{1,2,3,4,5}2.复数z满足(z—i)(2—i)=i,则|z|=()A.1B.2C.2D.53.已知命题p:log₂x<1,命题q:x−1<1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知正实数a,b,点M(1,4)在直线xa+yb=1上，则a+b的最小值为()A.4B.6C.9D.125.已知tanαtanβ=2,cosα+β=−15,则cos(α−β)=()A.35B.−35C.115D.−1156.函数fx=ex−e−x−2xsinxx∈−3π23π2的图象大致是()

17.若执行下面的程序框图，则输出的s()A.有6个值,分别为6,10,28,36,66,78B.有7个值,分别为6,10,28,36,66,78,91C.有7个值,分别为6,10,28,36,66,78,120D.有8个值,分别为6,10,28,36,66,78,120,1368.已知圆O为△ABC的外接圆,∠BAC=60∘,BC=23,则OB⋅OC=()A.2B.-2C.4D.-49.函数fx=sinx+π5+3cosx+8π15的最大值为()A.1B.3C.5D.710.在长方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中,AB=BC=2,M.为CC₁的中点,A₁C⊥平面MBD,则A₁B与B₁C所成角的余弦值为()A.13B.23C.15D.35

211.已知数列{aₙ}满足a1=1,a2k=a2k−1+1,a2k+1=2a2k−1,k∈N∗,则a₂₀₂₃=()A.2¹⁰¹²B.2¹⁰¹²−1C.2²⁰²²D.2²⁰²²−112.已知抛物线y²=4x上有三点M,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),M点的纵坐标为2,y₁+y₂=-4,且y₁,y₂<2,则△MAB面积的最大值为()A.1663B.1669C.3239D.3233二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知f(x)=ax+lnx的一条切线是y=x,则实数a=.14.已知一个球的表面上有四点A，B，C，D，BD=23,∠BAD=60∘,∠BCD=90∘平面ABD⊥平面BCD,则该球的表面积为.15.已知数列{aₙ}满足a1+a2+⋯+an=n2,则a1⋅21+a2⋅22+⋯+an⋅2n=_______.16.已知双曲线x2−y25=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M位于双曲线的右支上，F₁M交左支于点N,△MNF₂的内切圆I的半径为1,I与NF₂,MN分别切于点P,R,则cos∠RNP=.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,tanB+tanC=3cosAcosBcosC.(1)求A;(2)若a=6,求b+c的取值范围.

318.(12分)为巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，在国家产业扶贫政策的大力支持下，某贫困村利用当地自然条件，在南、北两山上种植苹果，现已开始大量结果，苹果成熟时，将苹果分为“一级”“二级”“三级”，价格从高到低，有一水果商人要收购这里的苹果，收购前，将南山和北山上的苹果各随机摘取了200千克，按等级分开后得到的数据为：南山上的“一级”苹果40千克，“二级”苹果150千克；南、北山上的“三级”苹果共40千克；北山上的“一级”苹果50千克.(假设两山上的苹果总产量相同，以样本的频率估计概率)(1)若种植苹果的成本为5元/千克，苹果收购价格如下表：等级“一级”“二级”“三级”价格（元／千克）1281①分别计算南山和北山各随机摘取的200千克苹果的平均利润；②若按个数计算，“一级”苹果平均每千克有3个，“二级”苹果平均每千克有4个，“三级”苹果平均每千克有6个，以此计算该村南山上的200千克苹果的个数，并按各等级苹果个数以分层抽样的方式从中抽取13个苹果，分别放在13个外形完全一样的包装内，水果商人在这13个苹果中随机取2个，求恰有1个“三级”苹果的概率.(2)判断能否有99%的把握认为“三级”苹果的多少与南、北山有关.附:K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d.P(K²≥k₀)0.10.050.010.005k₀2.7063.8416.6357.87919.(12分)在四棱锥P-ABCD中,AB=4,BC=CD=2,AB//CD,∠ABC=90°,PA=PD=2,PD⊥BD.

4(1)证明:平面PAB⊥平面PBD;(2)求点C到平面PAB的距离.20.(12分)已知点M132在椭圆x2a2+y2b2=1ab>0)上，A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线MA和MB的斜率之和满足：kMA+kMB=−1.(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为1的直线交椭圆于P，Q两点，椭圆上是否存在定点T，使直线PT和QT的斜率之和满足kPT+kQT=0(P,Q与T均不重合)?若存在，求出T点坐标；若不存在，说明理由.21.(12分)设函数fx=mxeˣm≠0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)+x²+x有三个零点x₁,x₂,x₃,且x₁证明：x₁+x₃>x₂.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=sint+14sint,y=sint+12sintt为参数且t∈(0,π)),以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，0π2且tanα=34,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+α)=m(m∈R).(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；(2)若直线l与曲线C有公共点，求实数m的取值范围.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)=|2x+3|+|x−a|(a>0)的图象如图所示,当x=−32时,f(x)取得最小值3,g(x)=−x.

5(1)求实数a的值;(2)若g(x−t)≤f(x)恒成立,求实数t的取值范围.2023届普通高等学校招生全国统一考试大联考(高三)答案数学(文科)1.C【解析】由2x−1<5,得1≤2x<26,故M∩N={1,2,3,4}.故选C.2.B【解析】z−i=i2−i=i2+i5,则z=−15+7i5,故|z|=152+752=2.故选B.3.B【解析】由题意得,命题p:0

66.A【解析】f−x=e⁻ˣ−eˣ+2x−sinx=f(x),可知f(x)为偶函数,排除B;易知,f(1)>0,排除C;f(π)=0,排除D.故选A.7.C【解析】当n=3时,输出s=6;当n=4时,输出s=10;当n=7时,输出s=28;当n=8时,输出s=36;当n=11时,输出s=66;当n=12时,输出s=78;当n=15时,15>12,输出s=120,结束.故选C.8.B【解析】如图,圆O的直径为2R=BCsin∠BAC=4,故|OB|=|OC|=R=2,∠BOC=2∠BAC=120°,故OB∙OC=|OB||OC|cos120∘=−2.故选B.9.A【解析】fx=sinx+π5+3cos[(x+π5)+π3]=sinx+π5+3[cosx+π5.12−sinx+π5⋅32]=12sinx+π5+32cosx+π5=sinx+π5+2π3故最大值为1.故选A.10.B【解析】连接MB,MD,BD,连接A₁D,如图,A₁B₁⊥平面BCC₁B₁,则A₁B₁⊥BM,又A₁C⊥平面MBD,则A₁C⊥BM,A₁C∩A₁B₁=A₁,则BM⊥平面A₁B₁C,则BM⊥B₁C,∠MBC=∠BB₁C,则tan∠MBC=tan∠BB₁C,则MC2=2BB1,解得BB1=22,由长方体的性质易知，A₁B₁∥DC,所以四边形A₁B₁CD为平行四边形,所以A₁D∥B₁C,则∠BA₁D即为所求角,在△BA₁D中,A1B=A1D=23,BD=22,故cos∠BA1D=12+12−82×23×23=23.故选B.11.B【解析】a₂ₖ₊₂=a₂ₖ₊₁+1=2a₂ₖ−1+1=2a₂ₖ故{a₂k}是首项为a₂=a₁+1=2,公比为2的等比数列，则a₂₀₂₂=a₂⋅2¹⁰¹⁰=2¹⁰¹¹,a₂₀₂₃=2a₂₀₂₂−1=2¹⁰¹²−1.故选B.12.C【解析】由题意得,,xM=1,则M(1,2),由y₁+y₂=-4,得kAB=y1−y2x1−x2=y1−y2y124−y224=4y1+y2=-1.设直线AB：x=t−y，代入抛物线方程得y²+4y−4t=0,可得Δ=16+16t>0,得t>−1.|AB|=2|y1−y2|=2⋅16+16t=42⋅1+t,点M(1,2)到AB的距离为d=|3−t|2,故SMAB=12|AB|⋅d=21+t.|3−t|=21+t3−t2,由y₁,y₂<2,得4+8−4t>0,即t<3,又t>−1,则−1

713.1−1e【解析】设切点坐标为(x₀，y₀)，则满足x0=ax0+lnx0,f'x0=a+1x0=1,则ax₀=x₀-1,代入①得x₀=x₀−1+lnx₀,解得x₀=e,∴a=1−1e.14.16π【解析】设球心为O,半径为R,BD的中点为M,则M为△BCD的外心,OM⊥平面BCD,又平面ABD⊥平面BCD,故O在平面ABD内,故O为△ABD的外心,BDsin60∘=2R=4,故S球=4πR2=16π.15.2n−3⋅2ⁿ⁺¹+6【解析】当n≥2时,aₙ=n²−(n−1)²=2n−1,a₁=1满足aₙ=2n−1,故aₙ=2n−1,n∈N∗.令S=a1⋅21+a2⋅22+⋯+an⋅2n=1⋅21+3⋅22+⋯+2n−1⋅2n,则2S=1⋅22+3⋅23+⋯+2n−1⋅2n+1,两式相减得，−S=21+222+23+⋯+2n−(2n−1)⋅2n+1=2+81−2n−11−2−2n−1⋅2n+1=(3−2n)⋅2ⁿ⁺¹−6,∴S=2n−3⋅2ⁿ⁺¹+6.16.35【解析】设内切圆与F₂M切于点Q,|MR|=|MQ|=m,|NR|=|NP|=n,|F₂P|=|F₂Q|=f,|F₁N|=t,如图,则|MF₁|−|MF₂|=2a,即m+n+t−(m+f)=2a,化简得n+t−f=2a①,|NF₂|−|NF₁|=2a,即n+f−t=2a②,①+②得n=2a=2,NI平分∠RNP,则tan12∠RNP=12故sin12∠RNP=15,则cos∠RNP=1−2sin212∠RNP=35.17.解:(1)由题意得,sinBcosB+sinCcosC=3cosAcosBcosC,化简得sinB+C=3cosA,即sinA=3cosA,则tanA=3,解得A=π3.(2)由题意及正弦定理bsinB=csinC=asinA=22,得b=22sinB,c=22sinC,则b+c=22sinB+22sinC=22sinB+2sin120∘−B=32sinB+6cosB=26sinB+π6,由(1)知,A=π3,0

8故b+c的取值范围是3226.18.解:(1)①由题意得,南山:“一级”苹果40千克,“二级”苹果150千克,“三级”苹果200-190=10(千克),南山随机摘取的200千克苹果的平均利润为12×40+8×150+1×10−5×200200=3.45(元/千克),北山:“一级”苹果50千克,“三级”苹果40-10=30(千克),“二级”苹果200-50-30=120(千克),故北山随机摘取的200千克苹果的平均利润为12×50+8×120+1×30−5×200200=2.95(元/千克).②南山“一级”苹果有3×40=120(个),“二级”苹果有4×150=600(个),“三级”苹果有6×10=60(个),共有780个,按分层抽样的方式抽取的13个苹果中，“一级”苹果有120780×13=2(个)，“二级”苹果有600780×13=10(个),“三级”苹果有60780×13=1(个),2个“一级”苹果分别记为A₁,A₂,10个“二级”苹果分别记为：B1,B2,⋯,B10,“三级”苹果记为C，抽取2个苹果有A1A2,A1B1,A1B2,⋯,A1B10,A1C,A2B1,A2B2,⋯,(A2,B10),A2C,B1B2,B1B3,⋯,B1B10,B1C,B2B3,B2B4,⋯,B2B10,(B2,C),…,(B₉,B₁₀),(B₉,C),(B₁₀,C),共78种可能,恰有1个“三级”苹果有(A₁,C),(A₂,C),(B₁,C),B2C,⋯,B10C,共12种可能.故所求概率为1278=213.(2)由(1)可得以下2×2列联表:“三级”苹果“一级”和“二级”苹果合计南山10190200北山30170200合计40360400则K2=400×10×170−30×1902200×360×200×40=1009>11>2.706,故有90%的把握认为“三级”苹果的多少与南、北山有关.19.解:(1)证明:∵∠ABC=90°,AB∥CD,∴∠BCD=90°,∴BD=BC2+CD2=22.过点D作DM⊥AB,如图,则DM=BC=2,AM=AB-BM=AB-CD=2,∴AD=DM2+AM2=22.又∵AB=4,AB²=BD²+AD²,∴∠ADB=90°,

9∴AD⊥BD,又PD⊥BD,PD∩AD=D,PD,AD⊂平面PAD,∴BD⊥平面PAD.∵PA⊂平面PAD,∴PA⊥BD.∵PA=PD=2,AD=22,∴PA⟂PD.∵BD∩PD=D,BD,PD⊂平面PBD,∴PA⊥平面PBD,又PA⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PBD.(2)由PA⊥平面PBD易知∠APB=90°,PA=2,AB=4,则PB=AB2−PA2=23,∴SPAB=12⋅PA⋅PB=23.取AD的中点为Q，连接PQ，AC，由等腰三角形三线合一的性质易得PQ⊥AD.又BD⊥平面PAD,BD⊂平面ABCD,则平面PAD⊥平面ABCD,PQ⊂平面PAD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD,且PQ=PA2−12AD2=2,设点C到平面PAB的距离为h，易得VC−PAB=VP−ABC=13SPAB⋅ℎ=13SABC⋅PQ,即13×23ℎ=13×12×2×4×2,解得ℎ=263.1kMA+kMB=32−01+a+32−01−a=−1,20.解解得a²=4,将132代入椭圆方程x24+y2b2=1,得b²=3,故椭圆的标准方程为x24+y23=1.(2)假设存在定点T，则设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),T(x₀,y₀),直线PQ的方程为y=x+t,由题意得y1−y0x1−x0+y2−y0x2−x0=0,将y₁=x₁+t,y₂=x₂+t代入整理得2x₁x₂+(t-x₀-y₀)(x₁+x₂)-2x₀(t-y₀)=0(*),联立x24+y23=1,y=x+t,整理得7x²+8tx+4t²−12=0,则x1+x2=−8t7,x1x2=4t2−127,代入(*)式整理得87y0−67x0t+2x0y0−247=0,87y0−67x0=0,2x0y0−247=0,解得x0=477,y0=377,或x0=−477,y0=−377,代入验证得477377,−477−377都在椭圆上，故存在定点T，使kPT+kQT=0,点T的坐标为477377或−477−377.21.解:1f'x=meˣ+mxeˣ=meˣx+1.令f'(x)=0,得x=−1.①若m>0,当x<−1时,f'x<0;当x>-1时f'x>0,则f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)，单调递增区间为(-1,+∞).②若m<0,当x<−1时,f'x>0;当x>-1时,f'x<0,则f(x)的单调递减区间为(-1，+∞)，单调递增区间为(-∞,-1).

10(2)证明：因为函数y=f(x)+x²+x有三个零点，所以方程mxeˣ+x²+x=0有三个不相等的实数根，又易知x=0为方程的一个实根，所以方程meˣ+x+1=0有两个不相等的实数根，即-m=x+1ex有两个不相等的实数根.令gx=x+1ex,则g'x=−xex,当x<0时,g'x>0,gx单调递增；当x>0时,g'x<0,gx)单调递减，所以g(x)≤g(0)=1.又因为当x<−1时,g(x)<0;当x>−1时,g(x)>0,当x→+∞时,g(x)→0,所以0<−m<1,则x₁∈(−1,0),x₂=0,x₃∈(0,+∞).要证x₁+x₃>x₂,即证x₁+x₃>0,即证x₃>−x₁>0,只需证g(x₃)1>eˣ故ℎ'x>0,ℎx为增函数，所以ℎ(x₁)<ℎ(0)=0,原式得证，故x₁+x₃>0,即x₁+x₃>x₂,22.解:(1)由α∈0π2且tanα=34,得sinα=35,cosα=45,∴ρsin(θ+α)=n,即45ρsinθ+35ρcosθ=m,∴直线l的直角坐标方程为3x+4y−5m=0;由t∈(0,π)得sint∈(0,1],则y=sint+12sint∈2+∞,又y2=sint+12sint2=(sint+14sint+1)=x+1,∴曲线C的普通方程为y2=x+1,y∈2+∞.(2)将x=−4y+5m3代入y²=x+1整理得，y2=−4y+5m3+1,y∈2+∞,则m=3y2+4y−35≥3+425,∴实数m的取值范围为3+425+∞.23.解:(1)因为a>0,所以f−32=|−3+3|+|−32−a|=3即a+32=3,

11解得a=32,故实数a的值为32.(2)由题意知，当x=−32时,f(x)取得最小值3,当函数g(x−t)=t−x的图象过点A−323时,即t+32=3时t=32,而由图象可知,t≤32,故t∈−∞32.

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