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《河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考数学（理）Word版含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
2023届普通高等学校招生全国统一考试大联考(高三)数学(理科)试卷全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 쳌 䀀㌳ 䀀 㐷 则 쳌 ()A.{1,2}B.{1,2,3}C.{1,2,3,4}D.{1,2,3,4,5}2.复数 满足 晦 晦 ,则| |=()A.1B. C.2D. 3.已知函数 䀀晦 䀀 䀀 晦 䀀 晦, ,命题 ǣ ,命题 ǣ 则 是 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知正实数 ， ，满足 满 满 则 满 的最小值为（） A.5 C.5 5.已知 cos 满 tan 满tan 则 ‴㘷 晦=
1() D.1 䀀 䀀 6.函数 䀀 䀀sin䀀䀀 的图象大致是 ()7.若执行下面的程序框图，则输出的㘷()A.有6个值,分别为6,10,28,36,66,78B.有7个值,分别为6,10,28,36,66,78,91C.有7个值,分别为6,10,28,36,66,78,120D.有8个值,分别为6,10,28,36,66,78,120,1368.在 内有两点 两,满足两 满两 满两 满 满 且 两
2䀀 满 则䀀满 =() 9.函数 䀀 sin䀀满满 cos䀀满的最大值为() A.1B. C. D. 10.在长方体 中 2, .为 的中点, ⊥平面 ,则 与 所成角的余弦值为() 11.数列{ }满足: =1, =2,且 䁡 h 成等差数列， h h 成等比数列，有以下命题：①若λ=1，则 =3;②若λ=-1,则 <0;③∃λ>0,使 = ;④λ可取任意实数.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.412.已知抛物线 䀀上有三点 , 䀀 晦 䀀 ), 点的纵坐标为2, 满 -4,且 ,则△ 面积的最大值为()
3 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知 䀀晦 䀀满 䀀的一条切线是 䀀,则实数 =.14.已知一个球的表面上有四点 ， ， ， ， 平面 ⊥平面 ,则该球的表面积为. 15.已知数列{ }满足 满 满 满 쳌则 满 满 满 满 ̴̴̴̴̴̴̴̴̴̴̴̴̴̴̴ 16.已知双曲线䀀 的左、右焦点分别为 ， ，点 位于双曲线的右支上， 交左支于点쳌,△ 쳌 的内切圆 的半径为1, 与쳌 , 쳌分别切于点 ,则 ‴㘷 쳌 =.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分) cos 已知锐角三角形 的内角 ， ， 的对边分别为a, tan 满tan cos cos (1)求 ;(2)若 求b+c的取值范围.18.(12分)为巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，在国家产业扶贫政策的大力支持下，某贫困村利用当地自然条件，在南、北两山上种植苹果，现已开始大量结果，苹果成熟时，将苹果分为“一级”“二级”“三级”，价格从高到低，有一水果商人要收购这里的苹果，收购前，将南山和北山上的苹果各随机摘取了200千克，按等级分开后得到的数据为：南山上的“一级”苹果40千克，“二级”苹果150千克；南、北山上的“三级”苹果共40千克；北
4山上的“一级”苹果50千克.(假设两山上的苹果总产量相同，以样本的频率估计概率)(1)若种植苹果的成本为5元/千克，苹果收购价格如下表：等级“一级”“二级”“三级”价格（元／千克）1281①分别计算南山和北山各随机摘取的200千克苹果的平均利润；②若按个数计算，“一级”苹果平均每千克有3个，“二级”苹果平均每千克有4个，“三级”苹果平均每千克有6个，以此计算该村南山上的200千克苹果的个数，并按各等级苹果个数以分层抽样的方式从中抽取13个苹果，分别放在13个外形完全一样的包装内，水果商人在这13个苹果中随机取2个，求恰有1个“三级”苹果的概率.(2)判断能否有99%的把握认为“三级”苹果的多少与南、北山有关. 附ǣ 满 满 满 满 满 满 满 0.10.050.010.005 ₀晦 ₀2.7063.8416.6357.87919.(12分) 如图,在四棱锥 中, ᦙ 分别为 的中点,点 在 上，且 为三角形 的重心.(1)证明: ᦙ∥平面 ;(2)若 ⊥ ,四棱锥 的体积为 ，求直线 ᦙ与平面 所成角的正弦值.20.(12分)
5 䀀 已知点 在椭圆满 ㄲ 晦上， ， 分别是椭圆的左、右顶点，直线 MA和MB的斜率之和满足： 满 (1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为1的直线交椭圆于 ， 两点，椭圆上是否存在定点 ，使直线 和 的斜率之和满足 满 与 均不重合)?若存在，求出 点坐标；若不存在，说明理由.21.(12分)䀀已知函数 䀀 䀀 满 ln䀀 䀀 䀀 (1)若 ,证明:当 -1时, 䀀晦为增函数;(2)若 䀀晦 䀀晦有解,求 满 的最小值.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分) 䀀 sin 满 sin 在直角坐标系䀀两 中，曲线 的参数方程为 为参数且 晦), sin 满 sin 以坐标原点两为极点，䀀轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系， 且tan 直 线 的极坐标方程为 㘷 满 晦 晦 (1)求直线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；(2)若直线 与曲线 有公共点，求实数 的取值范围.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数 䀀晦 ㌳ 䀀满 ㌳满㌳䀀 ㌳ ㄲ 晦的图象如图所 示,当䀀 时, 䀀晦取得最小值3, 䀀晦 䀀 (1)求实数 的值;(2)若 䀀 晦 䀀晦恒成立,求实数 的取值范围.
62023届普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣大联考(高三)答案数学(理科)1.C【解析】由 䀀 得1≤ 䀀<26,故 쳌 {1,2,3,4}.故选C. 满 2.B【解析】 则 满 故㌳ ㌳ 满 故选B. 3.C【解析】 䀀晦 䀀 晦 䀀 晦满䀀 䀀 晦满䀀 䀀 晦 䀀 满 晦䀀满 , 满 满 ,解得0故 是 的充要条件.故选C. 4.D【解析】 满 满 满 满满 满 故 满 当且仅 满 满 当 时取等号.故选D. sin sin 5.D【解析】tan 满tan 满 化简得㘷 满 晦 ‴㘷 ‴㘷 故 cos cos 㘷 满 晦满 ‴㘷 满 晦 cos cos 满 解得cos cos 又cos 满 cos cos sin sin 则sin sin 故 ‴㘷 晦 ‴㘷 ‴㘷 满㘷 㘷 故选D.
76.A【解析】 䀀 香 香满 䀀㘷 䀀 䀀晦,可知 䀀晦为偶函数,排除B; 晦=0,排除D;易知 晦>0,排除C.故选A.7.C【解析】当n=3时,输出s=6;当n=4时,输出s=10;当n=7时,输出s=28;当n=8时,输出s=36;当n=11时,输出s=66;当n=12时,输出s=78;当n=15时,15>12,输出s=120,结束.故选C.8.C【解析】两 满两 满 满两 满 则 两 满 满 满 满 满AC)=0,1则 ①×4+②×3得 两 䀀 䀀满 故选C. 9.A【解析 䀀 sin䀀满满 cos 䀀满晦满 sin䀀满满 cos䀀满 sin䀀满 sin䀀满满cos䀀满 sin䀀满满 故最大值为1.故选A. 10.B【解析】连接 , , ,连接 ,如图, ⊥平面 ,则 ⊥ ,又 平面 ,则 ⊥ , = ,则 平面 则 ⊥ ,∠ ∠ ,则 ,则 解得 由长方体的性质易知， ∥ ,所以四边形 为平行四边形,所以 ∥ ,则∠ 即为所求角,在△ 中, 故 满 cos 故选B. 11.C【解析】当λ=1时, 满 ,解得 ,故①正确;当λ=-1时,- 满 ,解得 =5,又 则 故②正确;λ 满 =4,则 则 若 ,则 解得λ=4或 其中λ=4不合题意，故 ③正确;λ=4时, ,此时 不能成等比数列，故④错误.故选C.
8 12.C【解析】由题意得 䀀 则M(1,2),由 满 ,得 䀀 䀀 -1. 满 设直线 ：䀀 ，代入抛物线方程得 满 ,可得 满 ㄲ ,得 ㄲ .㌳ ㌳ ㌳ ㌳ 满 满 点 晦到 的距离为 =㌳ ㌳ 故 ㌳ ㌳ 满 ㌳ ㌳ 满 由 ,得 满 ㄲ ,即 ,又 ㄲ ,则 则 (t-3)(3t- 1),易得当且仅当 时,g(t)取最大值为 故S△MAB最大值为 故选C. 【解析】设切点坐标为(䀀₀ ₀),则满足䀀 䀀 满ln䀀 ① 䀀 满 䀀 则 䀀₀ 䀀₀ ,代入①得䀀₀ 䀀₀ 满 䀀₀,解得䀀₀ , 14.16π【解析】设球心为两, 的中点为 ,则 为△ 的外心,两 ⊥平面 ,又平面 ⊥平面 ,故两在平面 内,故两为△ 的外心 故 sin 球 【解析】当n≥2时,(2n- 晦 满 满 满 满 满 满 满 满 满足 满 满 满 满 满 쳌 即 满 满 满 满 满 满 满 满 满 满 满 满 满 满 满 满 满 满 【解析】设内切圆与 切于点 ,| |=| |= ,㌳쳌 ㌳ ㌳쳌 ㌳ ㌳ ㌳ ㌳ ㌳ ㌳ 쳌㌳ ,如图，
9则 ,即 满 满 满 ,化简得 满 ①,쳌 쳌 ,即 满 ②,①+②得 ,쳌 平分∠ 쳌 ,则tan 쳌 故 sin 쳌 则cos 쳌 sin 쳌 sin sin cos 17.解:(1)由题意得 满 化简得sin 满 cos cos cos cos cos 即sin cos 则tan 解得 (2)由题意及正弦定理 sin sin sin 得 sin sin 则 满 sin 满 sin sin 满 sin sin 满 cos sin 满 由(1)知 得 满 则 满 故sin 满 故 满 的取值范围是 18.解:(1)①由题意得,南山:“一级”苹果40千克,“二级”苹果150千克,“三级”苹果200-190=10(千克)，故南山随机摘取的200千克苹果的平均利润为 满 满 (元/千克),
10北山:“一级”苹果50千克,“三级”苹果40-10=30(千克),“二级”苹果200-50- 满 满 30=120(千克),故北山随机摘取的200千克苹果的平均利润为 (元/千克).②南山上的这200千克苹果中，“一级”苹果有3×40=120(个),“二级”苹果有4×150=600(个),“三级”苹果有6×10=60(个),共有120+600+60=780(个), 按分层抽样的方式抽取的13个苹果中，“一级”苹果有 (个)，“二级”苹 果有 10(个),“三级”苹果有 (个), 故所求概率为 (2)由(1)可得以下2×2列联表:“三级”“一级”和“二合苹果级”苹果计南20010190山北20030170山合40040360计 则 ㄲ ㄲ 6.635,故有99%的把握认为“三级”苹果的多少与南、北山有关.19.解:(1)证明:连接BD,因为AB=BC,AD=CD,所以AC⊥BD,且BD∩AC=E,由. 得 ᦙ ᦙ 则 ᦙ ᦙ 所以DE=2BE. 连接DG并延长交PC于点M，如图，
11因为G为△PCD的重心,所以DG=2GM. ᦙ 连接BM，因为 所以EG∥BM. ᦙ 又EG⊄平面PBC,BM⊂平面PBC,故GE∥平面PBC.(2)连接PE,因为PA=PC,所以AC⊥PE.又AC⊥BD,BD,PE⊂平面PBD,BD∩PE=E,所以AC⊥平面PBD. 连接AF交DE于点Q,则ᦙ ᦙ AF⊥CD. 又PA⊥CD,PA,AF⊂平面PAF,PA∩AF=A,所以CD⊥平面PAF.连接PQ,PQ⊂平面PAF,则CD⊥PQ,因为AC⊥平面PBD,PQ⊂平面PBD,所以AC⊥PQ,因为AC∩CD=C,所以PQ⊥平面ABCD. 易得四边形ABCD的面积为 ᦙ满 ᦙ 由四棱锥P-ABCD的体积为 得 所以PQ=2. 以E为坐标原点，以EC，ED所在直线分别为䀀轴、 轴，建立空间直角坐标系ᦙ 䀀 ， 则E(0,0,0晦 晦 设平面PCD的法向量为 䀀 ), 䀀满 则 即 取䀀 可得 由(1)可知,M为PC的中点,则 所以 由(1)知,EG∥BM,所以直线GE与平面PCD所成的角等于直线BM与平面PCD所成的角，设为θ， ㌳ ㌳ 所以sin ㌳cos ㌳ ㌳ ㌳㌳ ㌳ 故直线GE与平面PCD所成角的正弦值为
12 20.解 满 满 满 解得a²=4, 䀀 将 代入椭圆方程满 得b²=3, 䀀 故椭圆的标准方程为满 (2)假设存在定点T,则设 䀀 晦 䀀 晦 䀀₀ ₀晦,直线PQ的方程为 䀀满 , 由题意得满 将 䀀 满 䀀 满 代入整理得 䀀 䀀 满 䀀 䀀 䀀 䀀 䀀₀ ₀晦 䀀 满䀀 晦 䀀₀ ₀晦 晦,䀀 满 联立 整理得 䀀 满 䀀满 ,则䀀 满䀀 䀀 䀀 䀀满 代入(*)式整理得 䀀 满 䀀 䀀 䀀 解得 代入验证得 都在椭圆上， 故存在定点T，使 满 点T的坐标为或 21.解:(1)当a=1时, 䀀 䀀 满 ln䀀 易知f(x)的定义域为[1,+∞), 则当b≥-1时. 䀀 满 䀀 䀀ln䀀 䀀 䀀ln䀀令 䀀晦 䀀 䀀 䀀满 䀀ㄲ 晦,则 䀀 䀀 䀀满䀀 易知 䀀晦在(1,+∞)上为增函数,h(1)=0,故 䀀ㄲ 故h(x)在(1,+∞)上为增函数, 故h(x)>h(1)=0,故x²lnx>x-1,则 ㄲ 则原命题得证. 䀀 䀀ln䀀(2)设f(x)=g(x)的解为x₀(x₀>1),䀀 则 䀀 满 ln䀀 䀀 对∀a,b,c,d∈R,(a²+b²)(c²+d²)-(ac+bd)²=(ad-bc)²≥0,故(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²,当且仅当ad=bc时取等号，
13 故 满 䀀 满ln䀀 䀀 满 ln䀀 䀀 䀀 䀀 䀀 䀀 满ln䀀 所以 满 䀀 满ln䀀 䀀 满ln䀀 令䀀₀满 䀀₀ ,则t>1. 设 则 当t=2时, 䁘当 , ,则 晦在(1,2)上单调递减；当 ㄲ 时, ㄲ ,则 晦在(2,+∞)上单调递增.则 ㄱ 即a²+b²的最小值为e². 22.解:(1)由 且tan 得sin cos ∴ρsin(θ+α)=m,即 sin 满 cos ∴直线l的直角坐标方程为3x+4y-5m=0;由t∈(0,π)得sint∈(0,1], 则 sin 满 满 sin 又 sin 满 sin 满满1)=x+1, sin sin ∴曲线C的普通方程为 䀀满 满 满 满 (2)将䀀 代入 䀀满 整理得， 满 满 则 满 满 满 ∴实数m的取值范围为满 23.解:(1)因为a>0,所以 ㌳ 满 ㌳满㌳ ㌳ 即 满 解得 故实数 的值为 (2)由题意知，当䀀 时,f(x)取得最小值3,当函数 䀀 晦 䀀的图象过点 时,即 满 时 而由图象可知 故
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