9因为EF⊂平面EFG,G∈平面EFG,A∉平面EFG,G∉EF，所以EF与AG是异面直线，B符合题意；连接AE,A1G,C1F,GE,因为GE//AA1，所以四边形A1AEG为平行四边形，所以A1G//AE，又因为GC1//FA1，所以四边形A1FC1G为平行四边形，所以A1G//C1F，故AE//C1F，因此A,E,C1,F四点共面，C符合题意；连接EC1,AF，因为GE//AA1且GE=AA1，所以四边形A1AEG为平行四边形，所以A1G//AE且A1G=AE，又因为GC1//FA1且GC1=FA1，所以四边形A1FC1G为平行四边形，所以A1G//C1F且A1G=C1F，故AE//C1F，且AE=C1F，所以四边形AFC1E为平行四边形，所以AF//C1E，又因为AF⊂平面AFG，C1E⊄平面AFG，所以C1E//平面AFG，所以C1E与平面AFG不相交，D不符合题意。故答案为：D.【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合中点的性质，从而利用线线垂直的判断方法、异面直线的判断方法、四点共面的判断方法、线面相交的判断方法，从而找出说法错误的选项。8.已知a>0，b>0，a+b=1，则2a+12b的最小值为（ ）A.4B.5C.92D.3【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】因为(2a+12b)×1=(2a+12b)(a+b)=52+2ba+a2b，因为a>0，b>0，所以52+2ba+a2b≥52+22ba⋅a2b=92，（当且仅当2ba=a2b时取等号，即a=23,b=13时取等号），因此2a+12b的最小值为92。
10故答案为：C【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出2a+12b的最小值。9.如图为一个空间几何何体的三视图，则它的体积为（ ）A.2π+43B.π+43C.π+23D.2π+23【答案】B【考点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】如图，根据三视图还原几何体可得该几何体是由一个半圆柱和一个四棱锥组合而成，根据三视图可知，半圆柱的底面半径为1，高为2，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为1，所以该几何体的体积V=12×π×12×2+13×2×2×1=π+43。故答案为：B.
11【分析】利用三视图还原几何体可得该几何体是由一个半圆柱和一个四棱锥组合而成，再利用三视图可知，半圆柱的底面半径为1，高为2，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为1，再结合圆柱的体积公式结合四棱锥的体积公式，再利用求和法求出该几何体的体积。10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosAcosB=bsin2A+12a，c=2a，则sinA=（ ）A.34B.33C.24D.23【答案】A【考点】两角和与差的余弦公式，正弦定理【解析】【解答】因为acosAcosB=bsin2A+12a，所以sinAcosAcosB=sinBsin2A+12sinA，因为sinA≠0，所以cosAcosB=sinBsinA+12，所以cosAcosB−sinBsinA=12，即cos(A+B)=12，即−cosC=12，所以sinC=32，因为c=2a，所以sinC=2sinA，所以sinA=34。故答案为：A【分析】利用已知条件结合正弦定理和三角形中角的取值范围，从而结合两角和的余弦公式，从而求出cos(A+B)的值，再利用三角形内角和为180度的性质结合诱导公式，从而求出角C的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式结合三角形中角C的取值范围，从而求出角C的正弦值，再利用已知条件c=2a结合正弦定理，从而求出角A的正弦值。11.在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，AA1=AC=BC=2，E为棱AB的中点，在侧棱BB1上存在一点P，使得CP⊥平面A1C1E，则CP=（ ）
12A.2B.3C.5D.22【答案】C【考点】棱柱的结构特征，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质【解析】【解答】因为侧棱AA1⊥平面ABC，所以侧棱CC1⊥平面ABC，又AC，BC⊂平面ABC，所以CC1⊥AC，CC1⊥BC，又AB⊥BC，且CC1⊥BC=C，CC1,BC⊂平面CC1B1B，则AC⊥平面CC1B1B，由直三棱柱的性质可得，A1C1//AC，A1C1=AC，所以A1C1⊥侧面CC1B1B，又CP⊂侧面CC1B1B，则A1C1⊥CP，取BC的中点F，连接EF，C1F，所以EF为△ABC的中位线，则EF//AC//A1C1，且EF=12AC=12A1C1，则点F在平面A1C1E内，即C1F⊂平面A1C1FE，若CP⊥平面A1C1FE，而C1F⊂平面A1C1FE，则CP⊥C1F，设BP=x，若CP⊥C1F，则∠CC1F+∠C1CP=90°，又∠C1CP+∠PCF=90°，所以∠CC1F=∠PCF，则tan∠CC1F=CFCC1=12=tan∠PCF=PBBC=x2，
13解得x=1，即P为BB1的中点，所以CP=12+22=5。故答案为：C【分析】利用侧棱AA1⊥平面ABC，所以侧棱CC1⊥平面ABC，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以CC1⊥AC，CC1⊥BC，再利用AB⊥BC且CC1⊥BC=C，从而结合线线垂直证出线面垂直，所以AC⊥平面CC1B1B，由直三棱柱的性质可得A1C1//AC，A1C1=AC，所以A1C1⊥侧面CC1B1B，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，则A1C1⊥CP，取BC的中点F，连接EF，C1F，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，从而推出EF//AC//A1C1且EF=12AC=12A1C1，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，再结合正切函数的定义结合已知条件，从而求出点P为BB1的中点，再结合勾股定理，从而求出CP的长。 12.已知向量a，b，c满足|a|=|b|=2，a与b的夹角为π3，|b−c|=1，则a⋅c最大值为（ ）A.6B.4C.2D.1【答案】B【考点】平行向量与共线向量，平面向量数量积的含义与物理意义，平面向量数量积的运算【解析】【解答】由|a|=|b|=2，a与b的夹角为π3，则a⋅b=2×2×cosπ3=2.设d=b−c，则|d|=1，c=b−d，所以a⋅c=a⋅(b−d)=a⋅b−a⋅d=2−|a|⋅|d|cos〈a,d〉=2−2cos〈a,d〉，所以当a,d反向共线时，cos〈a,d〉最小为-1，此时a⋅c最大，为4。故答案为：B.【分析】利用已知条件结合数量积的定义，从而求出数量积的值，再利用数量积的运算法则结合数量积的定义，从而结合几何法求出当a,d反向共线时，cos〈a,d〉最小值为-1，此时a⋅c最大，进而求出a⋅c最大值。二、填空题13.已知x，y满足约束条件{x−2y≤6x+y≤6x≥2，则目标函数z=x−y的最小值为________.【答案】-2【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】画出可行域，如图，作直线x−y=0，与一系列与之平行的直线z=x−y，
14当直线z=x−y过点A（2，4）时，纵截距最大，z最小为zmin=x−y=2−4=−2。故答案为：-2。【分析】利用二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域找出最优解，再结合最优解求出线性目标函数的最小值。14.数学兴趣小组为了测量电视塔AB的高度，在塔底水平面上设置两个观测点C，D，CD间距离为108米，在点C处测得A，D的张角为60°，在点D处测得A，C的张角为75°，测得点B的仰角为60°，则塔高AB=________米.【答案】1622【考点】正弦定理的应用【解析】【解答】由题意可得，在△ABC中，CD=108,∠ACD=60°,∠ADC=75°,所以∠CAD=45°，由正弦定理可得CDsin∠CAD=ADsin∠ACD，即10822=AD32，所以AD=546，在△ABD中，∠BAD=90°,∠ADB=60°，所以AB=ADtan60°=546×3=1622。故答案为：1622。【分析】利用已知条件结合三角形中内角和为180度的性质，再利用正弦定理求出AD的长，再结合正切函数的定义求出塔高AB的长。15.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PB⊥BC，PA=AC=2，则该三棱锥的外接球表面积为________.【答案】8π【考点】棱锥的结构特征，球的体积和表面积
15【解析】【解答】取PC中点O，连接OA,OB，因为PB⊥BC，所以△PBC是直角三角形，因此有OP=OC=OB，因为PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PA⊥AC，所以△PAC是直角三角形，因此有OP=OC=OA，即OP=OC=OA=OB，因此O是三棱锥P−ABC的外接球的球心，因为PA=AC=2，所以PC=PA2+AC2=22+22=22，因此OA=12PC=2，所以该三棱锥的外接球表面积为4π⋅(OA)2=8π。故答案为：8π。【分析】取PC中点O，连接OA,OB，利用PB⊥BC，所以三角形△PBC是直角三角形，因此OP=OC=OB，再利用线线垂直证出线面垂直，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以三角形△PAC是直角三角形，因此OP=OC=OA，即OP=OC=OA=OB，因此O是三棱锥P−ABC的外接球的球心，利用PA=AC=2，再结合勾股定理求出PC的长，进而求出外接球的半径，再结合球的表面积公式，从而求出该三棱锥的外接球表面积。16.已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=1，Sn+Sn−1=n2+2(n≥2)，则S21=________.【答案】231【考点】等差数列的前n项和，数列递推式【解析】【解答】因为Sn+Sn−1=n2+2(n≥2,n∈N∗)，所以Sn−1+Sn−2=(n−1)2+2(n≥3,n∈N∗)，两式相减得Sn−Sn−2=an+an−1=2n−1（n≥3），所以a2+a3=5，a4+a5=9，…，a20+a21=41，所以S21=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+...+(a20+a21)=1+5+9+⋯+41=11×(1+41)2=231。故答案为：231。
16【分析】利用已知条件结合递推公式和Sn与an的关系式，再结合分组求和的方法和等差数列前n项和公式，从而求出数列前21项的和。三、解答题17.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S5=15，a2+a5=7.（1）求{an}的通项公式；（2）若bn=1an⋅an+1，求{bn}的前的前n项和Tn.【答案】（1）解：因为等差数列{an}中，设首项为a1，公差为d，由题意得{S5=5a1+5×42d=5a1+10d=15a1+d+a1+4d=2a1+5d=7，解得{a1=1d=1，所以an=1+(n−1)=n；（2）bn=1an⋅an+1=1n(n+1)=1n−1n+1．T2n＝b1+b2+b3+…+bn﹣1+bn=(1−12)+(12−13)+(13−14)…+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1，所以{bn}的前n项的和Tn=nn+1．【考点】等差数列的通项公式，数列的求和【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，从而解方程组求出等差数列的首项和公差，再结合等差数列的通项公式，从而求出数列{an}的通项公式。（2）利用已知条件bn=1an⋅an+1结合数列{an}的通项公式，从而求出数列{bn}的通项公式，再利用裂项相消的方法，从而求出{bn}的前n项的和。 18.如图，已知AB与AC的夹角为π4，AB=2，AC=4，AD=DC，BE=EC，AE与BD相交于点F.（1）求|AE|；（2）求FD与FE的夹角的余弦值.【答案】（1）根据题意，AD=DC，即D是BC的中点，则AE=12(AB+AC)，则|AE|2=14(AB2+AC2+2AB⋅AC)=264，则|AE|=262；
17（2）设FD与FE的夹角为θ，则BD与AE的夹角也是θ，BD=AD−AB=12AC−AB，则BD⋅AE=12(AB+AC)⋅(12AC−AB)=14AC2−12AB2−14AB⋅AC=4−1−1=2，|BD|=14AC2+AB2−AC⋅AB=4+2−4=2，则cosθ=BD⋅AE|BD||AE|=21313．【考点】平面向量的基本定理及其意义，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点的性质和相等向量的判断方法，再结合数量积求向量的模的公式，从而求出向量的模。（2）设FD与FE的夹角为θ，则BD与AE的夹角也是θ，再利用三角形法则和中点的性质，再结合平面向量基本定理求出BD→=12AC→−AB→，再利用AE=12(AB+AC)和数量积的运算法则以及数量积的定义，从而求出数量积的值，再利用数量积求向量的模的公式，从而求出向量的模，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出FD与FE的夹角的余弦值。 19.如图，在三棱锥S−ABC中，SA=SB=AC=BC=2，AB=23，SC=1，D，E分别为SA，AB的中点.（1）求证：DE//平面BCS；（2）求三棱锥S−ABC的体积.【答案】（1）因为D，E分别为SA，AB的中点，所以DE//SB，
18因为SB⊂平面BCS，DE⊄平面BCS，所以DE//平面BCS；（2）连接SE,EC，因为SA=SB=2，所以SE⊥AB，AB=23，因此SE=SB2−BE2=4−3=1，因为AC=BC=2，所以CE⊥AB，AB=23，因此CE=CB2−BE2=4−3=1，SC=1，因此△ESC是等边三角形，面积为12×1×1×32=34，因为SE∩EC=E,ES,CE⊂平面ESC，所以AB⊥平面ESC，因此三棱锥S−ABC的体积为：V=VA−SEC+VB−SEC=13⋅AE⋅S△SEC+13⋅BE⋅S△SEC=13⋅AB⋅S△SEC=13×23×34=12.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定【解析】【分析】（1）利用D，E分别为SA，AB的中点，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，从而推出线线平行，所以DE//SB，再利用线线平行推出线面平行，从而证出直线DE//平面BCS。（2）连接SE,EC，利用SA=SB=2，所以SE⊥AB，AB=23，再利用勾股定理求出SE的长，再利用利用AC=BC=2，所以CE⊥AB，AB=23，再利用勾股定理求出CE的长，再结合SC=1，因此三角形△ESC是等边三角形，再利用等边三角形的面积公式，从而求出三角形△ESC的面积，再利用已知条件推出线面垂直，所以AB⊥平面ESC，再结合三棱锥的体积公式和求和法，从而求出三棱锥S−ABC的体积。 20.如图，在平面四边形ABCD中，AB=2，AD=1，△BCD为等边三角形.
19（1）若A=2π3，求BD的长；（2）求四边形ABCD面积的取值范围.【答案】（1）解：△ABD中，由余弦定理得，BD2=AD2+AB2−2AD⋅ABcosA=12+22−2×1×2cos2π3=7，故BD=7；（2）△ABD中，BD2=AD2+AB2−2AD⋅ABcosA=5−4cosA，020（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；（2）是否存在点F，使得直线EF与直线PA所成角为60°?若存在，求出BF的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC，又PA∩AB=A，PA、AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE，∵PA=AB，E为线段PB的中点，∴AE⊥PB，又BC∩PB=B，BC、PB⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC，而AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC；（2）取AB中点O，连接EO，则EO//PA，且EO=1，∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，则EO⊥OF，设BF=x，∵OB=12AB=1，∴OF=x2+1，要使直线EF与直线PA所成角为60°，则∠FEO=60°，可得tan60°=x2+11=x2+1=3，∴x=2．故存在点F，满足BF=2，使得直线EF与直线PA所成角为60°．【考点】异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定
21【解析】【分析】（1）利用已知条件结合线面垂直的定义证出线线垂直，再利用正方形的结构特征证出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，再利用中点的性质，从而结合线面垂直证出面面垂直，进而证出平面AEF⊥平面PBC。（2）取AB中点O，连接EO，则EO//PA且EO=1，利用已知条件结合线面垂直的定义证出线线垂直，则EO⊥OF，设BF=x，利用OB=12AB=1，再结合勾股定理求出OF的长，即OF=x2+1，要使直线EF与直线PA所成角为60°，从而求出∠FEO的值，再利用正切函数的定义求出x的值，从而得出存在点F，满足BF=2，使得直线EF与直线PA所成角为60°。22.设{an}是公差大于1的等差数列，数列{bn}满足bn2=bn+1⋅bn−1(n≥2).已知a1=1，b1=4，b2=a2+a3，2a3是b1和b3的等差中项.（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；（2）设cn=anbn，且数列{cn}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N∗，不等式Tn1)，数列{bn}的公比为q，由题意：{4q=2+3d4(1+2d)=4+4q2⇒{d=2q=2或{d=29q=23（舍），∴an=2n−1,bn=2n+1.（2）由（1），cn=anbn=2n−12n+1，∴Tn=122+323+⋯+2n−12n+1……①∴2Tn=12+322+⋯+2n−12n……②由②-①得：Tn=12+12+122+⋯+12n−1−2n−12n+1=12+1−12n−1−2n−12n+1=32−2n+32n+1，∵Tn+1−Tn=2n+32n+1−2n+52n+2=2n+12n+2>0，∴{Tn}是一个递增数列.∴Tn≥T1=14，则14≤Tn<32.∵对任意的n∈N∗，不等式Tn22，不等式Tn23
