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通州区2020—2021学年高三年级第一学期摸底质量检测数学试卷第一部分选择题（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合，，则A．B．C．D．2．抛物线的准线方程是A．B．C．D．3．已知命题，，则是A．，B．，C．，D．，4.已知数列为等差数列，且，，则数列的前项和是A．B．C．D．5．从名教师和名学生中，选出人参加“我爱我的祖国”主题活动．要求入选的人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是A．B．C．D．6．已知，且，则下列不等式中一定成立的是A．B．C．D．7．已知角的终边与单位圆交于点，则A．B．C．D．8．在中，，，且，则的最小值是A．B．C．D．9．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽.若水面下降
1，则水面宽是（结果精确到）（参考数值：≈，≈，≈）A．B．C．D．10．如图，等腰直角中，，点为平面外一动点，满足，，给出下列四个结论：①存在点，使得平面平面；②存在点，使得平面平面；③设的面积为，则的取值范围是；④设二面角的大小为，则的取值范围是.其中正确结论是A．①③B．①④C．②③D．②④第二部分卷非选择题（共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．复数（是虚数单位）的虚部是．12．在的展开式中，的系数是．13．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，则直线的方程是．14．某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第个月的月平均最高气温可近似地用函数来刻画，其中正整数表示月份且，例如表示月份，和是正整数，，．统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律：①该地区月平均最高气温最高的月份与最低的月份相差摄氏度；②月份该地区月平均最高气温为摄氏度，随后逐月递增直到月份达到最高；③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同．
2根据已知信息，得到的表达式是______.15．已知函数若存在，，使得，则的取值范围是_____.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．（本题13分）如图，四棱柱中，底面为矩形，平面，，分别是，的中点，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.17．（本题13分）在锐角中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求与的值.条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本题14分）某企业为了解职工A款APP和B款APP的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：男职工女职工使用不使用使用不使用A款APP人人人人B款APP人人人人假设所有职工对两款APP是否使用相互独立.
3（Ⅰ）分别估计该企业男职工使用A款APP的概率、该企业女职工使用A款APP的概率；（Ⅱ）从该企业男，女职工中各随机抽取人，记这人中使用A款APP的人数为，求的分布列及数学期望；（Ⅲ）据电商行业发布的市场分析报告显示，A款APP的用户中男性占﹪、女性占﹪；B款APP的用户中男性占﹪、女性占﹪.试分析该企业职工使用A款APP的男、女用户占比情况和使用B款APP的男、女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男、女用户占比情况更相符.19．（本题15分）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设函数，当时，求零点的个数.20．（本题15分）已知椭圆的左、右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.21．（本题15分）已知数列：，，，（）满足：①；②（，，，）.记.（Ⅰ）直接写出的所有可能值；（Ⅱ）证明：的充要条件是；
4（Ⅲ）若，求的所有可能值的和.通州区2020-2021学年第一学期高三年级摸底质量检测数学试卷参考答案及评分标准2021年1月一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.题号12345678910答案ABDCBCCABB二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.12.13.14.，是正整数且，15.三．解答题：本大题共6小题，共85分.16．（本题13分）解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，.……………………1分因为是的中点，所以，.因为是的中点，所以，.所以，.所以四边形是平行四边形.所以.……………………5分因为平面，平面，所以平面.……………………6分（Ⅱ）因为底面为矩形，平面，所以，，.……………………7分
5以点为坐标原点，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系.……………………8分因为，，所以，，，.所以，，.设平面的法向量为，所以即令，则.所以.……………………11分所以所以直线与平面所成角的正弦值.……………………13分17．（本题13分）解（一）：选择条件①：；条件②：.因为，，，所以，即.所以.……………………4分因为是锐角三角形，所以.……………………7分由余弦定理可得.所以.（负值舍去）……………………10分由正弦定理可得.所以.……………………13分所以，.
6解（二）：选择条件①：；条件③：．因为，所以.……………………4分由正弦定理可得.所以.……………………8分由余弦定理可得.所以.（负值舍去）……………………13分所以，.解（三）：选择条件②：；条件③：．因为，所以.……………………3分因为，，所以，即.所以.……………………7分由余弦定理可得.所以.（负值舍去）……………………10分由正弦定理可得.所以.……………………13分所以，.18．（本题14分）（Ⅰ）由所给数据可知，男职工使用A款APP的人数为，用频率估计概率，可得男职工使用京东APP的概率约为；同理，女职工使用A款APP的概率约为.……………………3分（Ⅱ）的可能取值为，，.……………………4分
7所以；；.……………………7分所以的分布列为……………………9分的数学期望.……………………11分（Ⅲ）样本中，A款APP的男、女用户为（人），其中男用户占﹪；女用户占﹪.样本中，B款APP的男、女用户为（人），其中男用户占﹪；女用户占﹪.所以该企业职工使用B款APP的情况与官方发布的男、女用户情况更相符.……………14分19．（本题15分）解：（Ⅰ）因为，所以.所以，.所以曲线在点处的切线方程是，即.……………………3分（Ⅱ）因为，所以.所以.……………………4分①当时，.所以在上单调递减.因为，所以有且仅有一个零点.……………………6分②当时，
8令，得，令，得.所以在上单调递减，在上单调递增.……………………7分因为，所以在上有且仅有一个零点.……………………8分因为，，且，所以，使得.所以在上有且仅有一个零点.所以当时，有两个零点.……………………12分③当时，.令，得，令，得.所以在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得最小值，且.所以有且仅有一个零点.……………………14分综上所述，当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点.……………………15分20．（本题15分）解：（Ⅰ）因为，椭圆离心率为，所以解得，.所以椭圆的方程是.……………………3分
9（Ⅱ）①若直线的斜率不存在时，如图，因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是.所以点的坐标是，点的坐标是.所以直线的方程是，直线的方程是.所以直线，的交点的坐标是.所以点在直线上.……………………5分②若直线的斜率存在时，如图.设斜率为.所以直线的方程为.联立方程组消去，整理得.……………………6分显然.不妨设，，所以，.……………………8分所以直线的方程是.令，得.直线的方程是.令，得.……………………10分所以分子.
10.……………………15分所以点在直线上.21．（本题15分）解：（Ⅰ）的所有可能值是，，，，，，，.…………………3分（Ⅱ）充分性：若，即.所以满足，且前项和最小的数列是，，，…，，.所以.所以.……………………6分必要性：若，即.假设，即.所以，与已知矛盾.所以.……………………8分综上所述，的充要条件是.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，可得.所以.因为数列，，，（）中有，两种，有，两种，有，两种，…，有，两种，有一种，所以数列，，，（）有个，且在这个数列中，每一个数列都可以找到前项与之对应项是相反数的数列.所以这样的两数列的前项和是.所以这个数列的前项和是.所以的所有可能值的和是.……………………15分
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