天津市红桥区2021届高三上学期期末考试数学Word版含解析

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高三数学试卷本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效，考试结束后，将本卷和答题卡一并交回.第I卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本答案共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：如果事件A与事件B互斥，那么.如果事件A与事件B相互独立，那么球体表面积公式：，其中表示球的半径.球的体积公式：，其中表示球的半径.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先由补集的定义求出，再由并集的定义求出即可.【详解】因为，所以.故选：A.2.设是等差数列的前项和，若，则（）

1A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的前项和公式以及等差数列的下标性质可求得结果.【详解】因为为等差数列，所以.故选：D【点睛】关键点点睛：利用等差数列的前项和公式以及等差数列的下标性质求解是解题关键.3.设，，，则，，的大小是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数的性质与对数函数的性质分别判断与和的大小，即可得出结果．【详解】∵根据指数函数的性质可得：，由对数函数的性质可得：，，∴.故选：A.4.设函数，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】

2【分析】将自变量代入对应的分段函数中，即可求得答案.【详解】由题意得，所以，故选：C5.设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据偶函数可得，，再根据单调性即可判断.【详解】是偶函数，，，当时，是增函数，且，，.故选：B.6.设函数，下列结论中错误的是（）A.的一个周期为B.的最大值为2C.在区间上单调递减D.的一个零点为【答案】D【解析】

3【分析】根据解析式即可得出周期和最大值，即可判断AB；求出函数的单调递减区间即可判断C；将代入即可验证D.【详解】，的一个周期为，故A正确；的最大值为2，故B正确；令，解得，的单调递减区间为，，在区间上单调递减，故C正确；，且，故D错误.故选：D.7.已知抛物线(为常数)过点，则抛物线的焦点到它的准线的距离是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据点可求出，即可求出焦点到它的准线的距离.【详解】抛物线过点，，抛物线的方程为，则焦点为，准线为，焦点到它的准线的距离为.故选：B.8.双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且

4，，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线定义及，，整理可得的值，再根据离心率公式求得离心率.【详解】解：由双曲线定义可知，又，，故，整理得或（舍）故离心率故选：A【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．9.已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】

5【分析】当时，经分析不符合题意，当时，根据分段函数单调性的求法，列出不等式组，即可求得答案.【详解】当时，在为减函数，在为增函数，不符合题意；当时，可得在R上为单调递减函数，所以，解得，故选：C第II卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11题，共105分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10.已知，且复数是纯虚数，则________.【答案】【解析】分析】根据复数的四则运算进行化简得，又由于该复数为纯虚数，故，解得.【详解】解：，又该复数为纯虚数故，，故答案为：11.的展开式中的系数为__________.（用数字作答）【答案】80

6【解析】分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于4，求出的值，即可求得展开式中的系数．【详解】解：的展开式的通项公式为，令，求得，故展开式中的系数为，故答案为：80．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12.已知，且，则________.【答案】【解析】【分析】根据二倍角公式，先求出和，再由两角和的正弦公式，即可求出结果.【详解】因为，且，所以，则，，因此.故答案为：.13.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为.【答案】24【解析】试题分析：设正方体的外接球的半径为,由：，解得：,设该正方体的边长为，根据解得，所以正方体的表面积为：，所以答案为.考点：1.求的体积公式；2.正方体的外接球；3.球的表面积和体积公式.

714.若一个圆的圆心是抛物线的焦点，且被直线截得的弦长为2，则该圆的标准方程是________________.【答案】【解析】【分析】根据抛物线的焦点，可求得圆心坐标，根据弦长为2，结合弦长公式，可求得，代入方程，即可得答案.【详解】因为的焦点为（0,1），所以所求圆的圆心为（0,1），设该圆半径为r，则圆心（0,1）到直线的距离，所以弦长，解得，故该圆的标准方程为：，故答案为：15.下列四种说法：①命题“，使得”的否定是“，都有”；②“”是“直线与直线相互垂直”的必要不充分条件；③过点（，1）且与函数图象相切的直线方程是．④一个袋子装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中，再取出一个球，则两次取出的两个球恰好是同色的概率是.其中正确说法的序号是_________．【答案】①④【解析】【分析】①中特称命题的否定为全称命题；②中求出“直线（m+2）x+my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0相互垂直”的充要条件，再进行判断；

8③中利用导数求解验证即可；④利用概率乘法和加法公式计算即可．【详解】解：①中命题“∃x∈R，使得x2+1＞3x”为特称命题，其否定为全称命题，是“，都有”，故①正确；②中时，两直线为：﹣2y+1＝0和﹣4x﹣3＝0，两直线垂直，而两直线垂直时，有，解得m＝1或所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件，故②错误；③若过点（，1）且与函数图象相切的直线方程是正确，设切点为P（x0，y0），则函数在P点处的切线的斜率为，解得，所以切点为P，但切点P不在切线上，故③错误；④一个袋子装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中，再取出一个球，则两次取出的两个球恰好是同色的概率，故④正确．故答案为：①④．三、解答题：本大题共5个题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在中，角、、所对的边分别为、、，且．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若,，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用切化弦和正弦定理可得，从而求得；（Ⅱ）利用余弦定理构造方程求得，代入三角形面积公式求得结果.

9【详解】（Ⅰ）由得（Ⅱ），整理可得，解得【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用，属于常规题型.17.已知函数，记f（x）的导数为f′（x）．若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣3，且x＝2时y＝f（x）有极值，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）最大值为1，最小值为﹣3．【解析】【分析】（Ⅰ）求导可得f′（x）的解析式，根据导数的几何意义，可得k=f′（1）=-3，又在x＝2处有极值，所以f′（2）＝0，即可求得a，b的值，即可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）的解析式，令f′（x）=0，解得x＝0或x＝2，讨论f（x）在﹣1＜x＜0，0＜x＜1上的单调性，即可求得f（x）的极值，检验边界值，即可得答案.【详解】（Ⅰ）由题意得：f′（x）＝3x2+2ax+b，所以k=f′（1）＝3+2a+b＝﹣3，f′（2）＝12+4a+b＝0，解得a＝﹣3，b＝0，所以f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令f′（x）＝3x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝2，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）是增函数，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）是减函数，所以f（x）的极大值为f（0）＝1，又f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝﹣3，所以f（x）在[﹣1，1]上的最大值为1，最小值为﹣3．18.已知等差数列前三项为，，，前项的和为，．

10（Ⅰ）求及值；（Ⅱ）求．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设该等差数列为，根据题中条件，得到首项和公差，再由等差数列的求和公式，即可求出结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）得到，推出，利用裂项相消法，即可求出结果.【详解】（Ⅰ）设该等差数列，则，，，由已知有，解得，公差，将代入公式，得，即，解得（负值舍去）∴，；（Ⅱ）由（Ⅰ）得到，∴，∴则．【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型，其中是公差为的等差数列；（2）无理型；（3）指数型；

11（4）对数型.19.已知等比数列的前n项和为，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列及数列的前n项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据已知条件求出数列的首项和公比，即可得出通项公式；（Ⅱ）先求出等比数列的前n项和，即可，再利用错位相减法即可求出.【详解】（Ⅰ）设等比数列的公比为，由，可得，＝9，由，可得q＝3，由，可得，可得，可得；（Ⅱ）由，可得，由，可得，可得bn＝n，可得的通项公式：，可得：①②①﹣②得：，可得.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

12（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.20.已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．【答案】（Ⅰ）+y2＝1；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）根据椭圆短轴长公式、离心率公式，结合椭圆中的关系进行求解即可；（Ⅱ）根据平面向量数量积公式，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可.【详解】（Ⅰ）由已知得2b＝2，所以，又因为，所以有：，而，解得，即椭圆C的方程为+y2＝1．（Ⅱ）直线l方程为y＝kx+2，将其代入+y2＝1，得（3k2+1）x2+12kx+9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴△＝（12k）2﹣36（1+3k2）＞0，解得k2＞1，由根与系数的关系，得x1+x2＝，x1x2＝∵∠AOB为锐角，∴＞0，∴x1x2+y1y2＞0，∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，

13∴（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，化简得＞0，解得，由且，解得．【点睛】关键点睛：本题的关键是由∠AOB为锐角转化为＞0，然后通过一元二次方程根与系数关系以及根的判别式进行求解.