北京市昌平区2021届高三上学期期末考试质量抽测数学Word版含解析

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昌平区2020—2021学年高三年级第一学期期末质量抽测数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，那么（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据并集的定义直接求出即可.【详解】,。故选：C.2.复数（　　）A.B.C.iD.2【答案】A【解析】【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后化简.【详解】.故选：A3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】

1【分析】根据解析式可直接判断出奇偶性和单调性.【详解】对于A，在有增有减，故A错误；对于B，既是奇函数又在上单调递增，故B正确；对于C，不是奇函数，故C错误；对于D，是偶函数，故D错误.故选：B.4.的展开式中常数项是（　　）A.8B.16C.24D.32【答案】B【解析】【分析】求出展开式的通项，令x的指数为0即可求出.【详解】的展开式的通项为，令，即，则常数项为.故选：B.5.抛物线上一点P到其焦点的距离为5．则点P的横坐标为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】根据抛物线定义,即可求得点的横坐标.【详解】抛物线则准线方程为因为到其焦点的距离为5,则到其准线的距离也为5所以点的横坐标为4故选:C【点睛】本题考查了抛物线的定义及简单应用,属于基础题.

26.函数的一个零点所在的区间是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据零点存在性定理，计算出区间端点的函数值即可判断；【详解】解：因为，在上是连续函数，且，即在上单调递增，，，，所以在上存在一个零点.故选：.【点睛】本题考查函数的零点的范围，注意运用零点存在定理，考查运算能力，属于基础题．7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为（　　）A.4B.5C.D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图得到该几何体是长方体相邻三条棱构成的一个三棱锥，然后分别求得其棱长比较即可.【详解】由三视图可知：该几何体是长方体相邻三条棱构成的一个三棱锥，如图所示：

3其中AB=4，AC=3，AD=4，且,所以，所以最长棱的棱长为，故选：C8.已知，则“”是“函数的最小正周期为”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】验证时函数最小正周期为是否成立；验证当函数的最小正周期为时，是否成立；再结合充分必要条件定义判定.【详解】解：当时，的最小正周期为，故充分性成立当函数的最小正周期为时，所以,不能得出，故必要性不成立，综上：“”是“函数的最小正周期为”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据进行判断，适用于定义、定理判断性问题；

4（2）集合法：根据对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.9.已知直线与圆相交于两点，且，那么实数k的取值范围是（　　）A.B.C.或D.【答案】D【解析】【分析】利用弦长公式，建立关于的不等式，直接求解.【详解】圆化简为标准方程为，圆心到直线的距离，，解得：.故选：D10.斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：.若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则（　　）A.1B.2C.3D.5【答案】A【解析】【分析】根据，递推得到数列，然后再得到数列是以6为周期的周期数列求解.【详解】因为，

5所以数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…此数列各项除以4的余数依次构成的数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，0，…是以6为周期周期数列，所以，故选：A第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知是等差数列，若，则_______.【答案】7【解析】【分析】根据等差数列的性质，直接计算结果.【详解】，所以.故答案为：712.已知向量，且，则实数_______.【答案】【解析】【分析】根据，由利用坐标运算求解.【详解】因为向量，且，所以，解得，故答案为：-113.已知双曲线离心率是，则双曲线的右焦点坐标为_______.【答案】【解析】【分析】根据双曲线的离心率可求得实数的值，由此可求得该双曲线的右焦点坐标.

6【详解】由题意可知，该双曲线离心率为，解得，所以，双曲线的标准方程为，则，因此，该双曲线的右焦点坐标为.故答案为：.14.已知函数，那么函数的最小正周期是_____：若函数在上具有单调性，且，则________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）利用周期公式求解即可.（2）对代入化简可求出的正切值，写出表达式，根据范围确定的值.【详解】（1）（2）由可得，利用诱导公式化简可得，展开得，，又，【点睛】求三角函数的解析式时，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令或)，即可求出，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出和，若对的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.15.高中学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选3个科目构成“选考科目组合”参加高考.已知某班37名学生关于选考科目的统计结果如下：

7选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数24281415ab下面给出关于该班学生选考科目的四个结论：①若，则；②选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人；③在选考化学的所有学生中，最多出现10种不同的选考科目组合；④选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的.其中所有正确结论的序号是_______.【答案】①②③【解析】【分析】①根据所有选的总数来确定即可；②需要一定的推理能力，由化学人数有人，来断定选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人；③五选二，可据组合知识求解；④根据政治，地理人数都不确定，无法判断结论.【详解】①所有学生选的科目总数为，则，若，则，故①对；②选化学的学生有人，人，则选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人，故②对；③在选考化学的所有学生中，学生还须选另外两科，则从五种里面选两种，共有，最多出现10种不同的选考科目组合，故③对；④因为地理，政治人数不确定，选考科目组合为“生物+历史+政治”的学生人数不一定比选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数多.故④错.故答案为：①②③【点睛】该题不仅考查了组合知识，还需要学生具备一定的常识和逻辑推理能力.组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱锥中，平面，且

8.（I）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）通过条件证明，，再根据线面垂直的判定定理证明出平面；（Ⅱ）以为轴建立空间直角坐标系，根据平面与平面法向量夹角的余弦值求解出二面角的余弦值.【详解】（Ⅰ）因为平面平面，所以.因为，所以.因为，所以平面.（Ⅱ）因为平面，所以以D为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系.则，所以.设平面的法向量为，因为即

9所以令，于是.因为平面，所以平面的法向量为，所以.由题知二面角为锐角，所以其余弦值是.【点睛】思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值.17.在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的面积.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（I）答案见解析；（Ⅱ）答案见解析.【解析】【分析】

10（1）选择条件①，化简，得，从而算得.由余弦定理算得，运用面积公式可算出的面积.（2）选择条件②，化简得，从而算得.由余弦定理算得，运用面积公式可算出的面积.【详解】选择条件①：（Ⅰ）因为，所以，因为，所以.所以.所以.（Ⅱ）由余弦定理，得，所以.解得或（舍负）.所以.所以的面积.选择条件②：（Ⅰ）因，所以，解得或.因为，所以.所以.（Ⅱ）由余弦定理，得，所以，

11解得或（舍负）.所以.所以的面积.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18.智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如下：序号智能体温计测温（）水银体温计测温（）序号智能体温计测温（）水银体银计测温（）0136.636.61136.336.20236.636.51236.736.70336.536.71336.236.20436.536.51435.435.40536.536.41535.235.30636.436.41635.635.60736.236.21737.237.00836.336.41836.836.80936.536.51936.636.61036.336.42036.736.7（Ⅰ）试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率；（Ⅱ）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）医学上通常认为，人的体温在不低于且不高于时处于“低热”状态.

12该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由.【答案】（I）；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ）答案见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意找出用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号，用其个数除以总个数；（Ⅱ）由题意可得，且，根据二项分布公式计算其概率并列出其分布列即可；（Ⅲ）根据表格找出高于其真实体温的序号为，共计4种情况由此估计用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为，计算其概率，根据概率分析.【详解】（Ⅰ）表中20人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是，共有12种情况.由此估计所求概率为.（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为.由（Ⅰ）可知，用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为.所以；；；；所以X的分布列为X0123P故X的数学期望.

13（Ⅲ）设这3人中至少有1人处于“低热”状态为事件.表中20人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为，共计4种情况，由此估计从社区任意抽査1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为.由此估计，这3人中至少有1人处于“低热”状态的概率为.结论1：因为，接近于1，由此可以认定这3人中至少有1人处于“低热”状态.结论2：因为，所以有可能这3人都不处于“低热”状态.【点睛】独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略：（1）在求次独立重复试验中事件恰好发生次的概率时，首先要确定好和的值，再准确利用公式求概率；（2）在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数和变量的概率，求得概率.19.已知函数.（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在处取得极小值，求实数a的取值范围.【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）当时，利用导数的几何意义求切线方程；（Ⅱ）首先求函数的导数，时，和，并讨论与0,1的大小关系，求实数的取值范围.【详解】（I）当时，.所以，所以，因为.所以切线方程为.

14（Ⅱ）函数的定义域为.因为所以.令，即，解得或.（1）当时，当x变化时，的变化状态如下表：x1－0＋极小值所以当时，取得极小值.所以成立.（2）当时，当x变化时，的变化状态如下表：x1＋0－0＋极大值极小值所以当时，取得极小值.所以成立.（3）当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，没有板小值，不成立.（4）当时，当x变化时，的变化状态如下表：x1＋0－0＋

15极大值极小值所以当时，取得极大值.所以不成立.综上所述，.【点睛】关键点点睛：本题考查根据极值点求的取值范围，本题容易求出导函数的零点和，但需讨论的范围，这是易错的地方，容易讨论不全面，需注意.20.已知椭圆的长轴长为4，且离心率为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点且斜率为k的直线与椭圆C交于两点，线段的垂直平分线交x轴于点D，判断是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.【答案】（I）；（Ⅱ）是，4.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题中条件，由椭圆的简单性质，列出方程组求解，得出，，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）先得到，联立直线与椭圆方程，设，根据韦达定理，以及弦长公式，得到，以及线段的中点坐标，讨论和两种情况，求出，进而可求出结果.【详解】（Ⅰ）依题意得解得，，故椭圆C的方程为；

16（II）是定值.由已知得直线.由消去，整理得.所以，设，则，，所以，则，因为，所以线段的中点为.（1）当时，，.所以.（2）当时，线段的垂直平分线方程为，令，得，即，所以，所以，

17综上所述，为定值4.【点睛】关键点点睛：求解本题第二问的关键在于联立直线与椭圆方程，根据韦达定理以及弦长公式表示出，再由题中条件，求出，即可得出的值.（求解时要注意讨论斜率的取值）21.已知数列，从中选取第项、第项、、第项，若，则称新数列为的长度为m的递增子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列.（Ⅰ）写出数列的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）设数列.若数列的长度为p的递增子列中，任意三项均不构成等差数列，求p的最大值；（Ⅲ）设数列为等比数列，公比为q，项数为.判定数列是否存在长度为3的递增子列：？若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由.【答案】（I）（或）；（Ⅱ）8；（Ⅲ）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据定义写出符合条件的长度为4的一个递增子列；（Ⅱ）列出数列的项，根据题意有、，则，再有可得与题意矛盾，即可求得p的最大值；（Ⅲ）反证法假设此递增子列存在，代入等比数列的通项公式可得，通过证明为无理数与为有理数矛盾即可说明式不成立，得证.【详解】（Ⅰ）长度为4的一个递增子列为：（或）.（Ⅱ）设数列的长度为P的递增子列为.因为数列，各项均为正整数.

18所以.（若，则成等差数列）.同理，且，所以.同理，又因为，所以与已知条件矛盾.所以.构造数列的递增子列：，其中任意三项均不构成等差数列，所以p的最大值为8.（Ⅲ）不存在.理由如下：由题意，假设数列存在长度为3的递增子列：，则存在，使.所以，得.同理，得.所以.下面证明为无理数：假设为有理数，，且互质，所以.因为是偶数，是奇数，所以，与事实矛盾，故假设不成立.所以为无理数.又因为为有理数，所以式不成立.所以数列不存在长度为3的递增子列：.