江苏省南京市金陵中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学Word版含答案

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金陵中学2020-2021学年高一第二学期期末考试数学试卷一､选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数据1，2，3，4，5，6，7，8的75百分位数为(▲)A．6B．6.5C．7D．7.52．已知i是虚数单位，z(1＋i)＝2i，则复数在复平面内所对应的点位于(▲)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某船以24海里/h的速度沿着正北方向行驶，在点A处测得灯塔S在船的北偏东30°方向上，15min后到点B处测得灯塔在船的北偏东75°方向上，则船到达点B时与灯塔S的距离是(▲)A．6海里B．3海里C．3海里D．3海里4．某班数学课代表统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕才发现忘记把自己的分数录入进去了，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为，s2，新平均分和新方差分别为1，s，若此同学的得分恰好为，则(▲)A．＝1，s2＝sB．＝1，s2＜sC．＝1，s2＞sD．＜1，s2＝s5．已知sin(π＋α)＝4sin(＋α)，则sin2α＋2sin2α＝(▲)A．B．C．D．6．前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评．其中一位同学的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为3π，则球O的表面积等于(▲)A．B．C．D．BCADNOM7．如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB，AD所在直线分别交于点高一数学期末试卷第17页，共10页

1M，N，满足=m，=n，(m＞0，n＞0)，若mn＝，则的值为(▲)A．B．C．D．8．在△ABC中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，角A的角平分线交BC于点D，若asinA＝bsinB＋(c－b)sinC，且AD＝，b＝3c，则a的值为(▲)A．B．C．3D．2二､选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若甲、乙、丙三个人站成一排，则下列是互斥事件的有(▲)A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲不站排头和排尾”与“乙不站排头和排尾”D．“甲站排头”与“乙站排尾”10．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是(▲)A．若m⊥n，n//α，则m⊥αB．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nC．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥βD．若mÌα，nÌα，且m与n不平行，m//β，n//β，则α//β11．下列说法正确的是(▲)A．已知a＝(－1，2)，b＝(x，x－1)，若(b－2a)//a，则x＝－1B．在△ABC中，若＝＋，则点D是边BC的中点C．已知正方形ABCD的边长为1，若点M满足＝，则·＝D．若a，b共线，则|a＋b|＝|a|＋|b|12．下列条件中，能推导出△ABC是钝角三角形的是(▲)A．在平面直角坐标系中，A(1，3)，B(4，2)，C(－1，－1)B．tanA＋tanB＋tanC＞0C．cos2B－cos2C＞sin2A高一数学期末试卷第17页，共10页

2D．(sinA－cosB)·(sinB－cosC)·(sinC－cosA)＞0三､填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案写在答题卡相应位置．13．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是．14．若α＋β＝，则(1－tanα)(1－tanβ)等于．15．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD⊥AC，cos∠BAD＝，AB＝3，AD＝3，则CD的长为．PCABEDMN16．如图，在正三棱锥P－ABC中，侧棱长为2，底面边长为4，D为AC中点，E为AB中点，M是线段PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则AM＋MN最小值是.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题10分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)．(1)若|b|＝2，且a∥b，求b的坐标；(2)若|c|＝，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ．18．(本小题12分)在①sinBsinC＝；②tanB＋tanC＝这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并进行作答.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanBtanC＝，a＝2，.高一数学期末试卷第17页，共10页

3（1）求角A，B，C的大小；（2）求△ABC的周长和面积.19．(本小题12分)已知向量a＝(sinx，－sinx)，b＝(2cosx，2sinx)且f(x)＝a·b＋．(1)求函数f(x)在区间[0，]上的最值；(2)设α∈(，π)，f()＝，求cos(2α＋)的值．高一数学期末试卷第17页，共10页

420．(本小题12分)已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝1，BC＝2，又PB⊥平面ABCD，且PB＝1，点E在棱PD上且BE⊥PD．(1)求证：BE⊥平面PCD；(2)求锐二面角B－PC－D的余弦值．21．(本小题12分)由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻早在2019年10月就已公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3公斤，第三化杂交水稻的综合优势可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工，创建一个新产品，已知该产品的质量以某项指标值k(70≤k＜100)为衡量标准，质量指标的等级划分如表：质量指标值k90≤k＜10085≤k＜9080≤k＜8575≤k＜8070≤k＜75ABCDE为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的指标值，若以组距为5画频率分布直方图（设“＝Y”）时，发现Y满足：Y＝，n∈N*，5n≤k＜5(n＋1)．（1）试确定n的所有取值，并求a；（2）从样本质量指标值不小于85的产品中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中一次性随机抽取2件产品，写出样本空间，并求出至少有1件A级品的概率.22．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知3a＝3bcosC＋csinB．高一数学期末试卷第17页，共10页

5(1)求角B的值；(2)若点M为AC中点，且b＝，求中线BM的最大值；(3)求(tan2A－2)sin(2C＋)的最小值．高一数学期末试卷第17页，共10页

6金陵中学2020-2021学年第二学期期末考试高一数学试卷命题：徐海虎审核：朱骏注　意　事　项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第12题）填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分。本试卷满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡上交。2．考生在作答时必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。一､选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数据1，2，3，4，5，6，7，8的75百分位数为(▲)A．6B．6.5C．7D．7.5答案：B2．已知i是虚数单位，z(1＋i)＝2i，则复数在复平面内所对应的点位于(▲)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D3．某船以24海里/h的速度沿着正北方向行驶，在点A处测得灯塔S在船的北偏东30°方向上，15min后到点B处测得灯塔在船的北偏东75°方向上，则船到达点B时与灯塔S的距离是(▲)A．6海里B．3海里C．3海里D．3海里答案：C4．某班数学课代表统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕才发现忘记把自己的分数录入进去了，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为，s2，新平均分和新方差分别为1，s，若此同学的得分恰好为，则(▲)A．＝1，s2＝sB．＝1，s2＜sC．＝1，s2＞sD．＜1，s2＝s答案：C5．已知sin(π＋α)＝4sin(＋α)，则sin2α＋2sin2α＝(▲)高一数学期末试卷第17页，共10页

7A．B．C．D．答案：D6．前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评．其中一位同学的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为3π，则球O的表面积等于(▲)A．B．C．D．答案：ABCADNOM7．如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB，AD所在直线分别交于点M，N，满足=m，=n，(m＞0，n＞0)，若mn＝，则的值为(▲)A．B．C．D．答案：D8．在△ABC中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，角A的角平分线交BC于点D，若asinA＝bsinB＋(c－b)sinC，且AD＝，b＝3c，则a的值为(▲)A．B．C．3D．2答案：B二､选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若甲、乙、丙三个人站成一排，则下列是互斥事件的有(▲)A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲不站排头和排尾”与“乙不站排头和排尾”D．“甲站排头”与“乙站排尾”答案：AC10．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是(▲)A．若m⊥n，n//α，则m⊥αB．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n高一数学期末试卷第17页，共10页

8C．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥βD．若mÌα，nÌα，且m与n不平行，m//β，n//β，则α//β答案：BD11．下列说法正确的是(▲)A．已知a＝(－1，2)，b＝(x，x－1)，若(b－2a)//a，则x＝－1B．在△ABC中，若＝＋，则点D是边BC的中点C．已知正方形ABCD的边长为1，若点M满足＝，则·＝D．若a，b共线，则|a＋b|＝|a|＋|b|答案：BC12．下列条件中，能推导出△ABC是钝角三角形的是(▲)A．在平面直角坐标系中，A(1，3)，B(4，2)，C(－1，－1)B．tanA＋tanB＋tanC＞0C．cos2B－cos2C＞sin2AD．(sinA－cosB)·(sinB－cosC)·(sinC－cosA)＞0答案：AC解：对于A选项，|AB|＝，|AC|＝2，|BC|＝，则|BC|＞|AC|＞|AB|，由余弦定理可得cosA＝＜0，所以，A为钝角；对于B选项，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC＞0，由于△ABC中至少有两个锐角，不妨设A、B为锐角，则tanAtanB＞0，可得tanC＞0，所以，C为锐角，进而可知，△ABC为锐角三角形；对于C选项，cos2B－cos2C＝1－sin2B－(1－sin2C)＝sin2C－sin2B＞sin2A，即a2＋b2＜c2对于D选项，取A＝110º，B＝10º，C＝60º，则sinA－cosB＜0，sinB－cosC＜0，sinC－cosA＞0，满足(sinA－cosB)·(sinB－cosC)·(sinC－cosA)＞0，△ABC为钝角三角形，取A＝B＝C＝60º满足(sinA－cosB)·(sinB－cosC)·(sinC－cosA)＞0，但△ABC为锐角三角形.三､填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案写在答题卡相应位置．13．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是．答案：14．若α＋β＝，则(1－tanα)(1－tanβ)等于．答案：215．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD⊥AC，cos∠BAD＝，AB＝3，AD＝3，则CD的长为．高一数学期末试卷第17页，共10页

9答案　3解：cos∠BAD＝，AB＝3，AD＝3，所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝18＋9－2×3×3×＝3，所以BD＝，所以cos∠ADB＝＝＝－，故cos∠ADC＝－cos∠ADB＝，又cos∠ADC＝，所以CD＝3.PCABEDMN16．如图，在正三棱锥P－ABC中，侧棱长为2，底面边长为4，D为AC中点，E为AB中点，M是线段PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则AM＋MN最小值是.答案：＋1解：CB中点F,连接DF交CE于点O,易证得DO⊥面PCE,要求AM＋MN最小,即求MN最小,可得MN⊥PCE，又可证明MN//DF,再把平面POD绕PD旋转,与面PDA共面,又可证得∠POD＝90°．∵PD＝AC，DO＝DF＝×AB＝AB＝1，∴sin∠OPD＝＝，即∠OPD＝30°，∴∠APN'＝45°＋30°＝75°，可得sin75°＝，(AM＋MN)min＝AN'＝PA·sin75°＝＋1．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题10分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)．(1)若|b|＝2，且a∥b，求b的坐标；(2)若|c|＝，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ．解(1)设b＝(x，y)，因为a∥b，所以y＝2x．①又因为|b|＝2，所以x2＋y2＝20．②………………………………………………………2分由①②联立，解得b＝(2，4)或b＝(－2，－4)．……………………………………………………………4分(2)由已知(2a＋c)⊥(4a－3c)，得(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，……………………………………………………6分高一数学期末试卷第17页，共10页

10由|a|＝，|c|＝，解得a·c＝5，……………………………………………………………………………………8分所以cosθ＝＝，θ∈[0，π]，所以a与c的夹角θ＝．……………………………………………………………………10分18．(本小题12分)在①sinBsinC＝；②tanB＋tanC＝这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并进行作答.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanBtanC＝，a＝2，.（1）求角A，B，C的大小；（2）求△ABC的周长和面积.解（1）若选择①：因为tanBtanC＝，sinBsinC＝，所以cosBcosC＝………………………………………2分所以cos(B＋C)＝cosBcosC－sinBsinC＝，因为B＋C∈(0，π)，所以B＋C＝，A＝………………………………………………4分又因为cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝1，B－C∈(－，)所以B－C＝0，B＝C＝……………………………………………………………………6分若选择②：设tanB，tanC为方程，x2－x＋＝0的两根解得tanB＝tanC＝，………………………………………………………………………4分因为B，C∈(0，π)所以B＝C＝所以A＝π－(B＋C)＝………………………………………………………………………6分高一数学期末试卷第17页，共10页

11（2）由正弦定理知：＝＝因为A＝，B＝C＝，a＝2所以b＝c＝2…………………………………………………………………………………9分所以△ABC的周长为4＋2，……………………………………………………………10分面积SΔABC＝bcsinA＝……………………………………………………………………12分高一数学期末试卷第17页，共10页

1219．(本小题12分)已知向量a＝(sinx，－sinx)，b＝(2cosx，2sinx)且f(x)＝a·b＋．(1)求函数f(x)在区间[0，]上的最值；(2)设α∈(，π)，f()＝，求cos(2α＋)的值．解:(1)f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)，．………………………………………………3分因为x∈[0．]时，所以2x＋∈[，π]，当2x＋＝即x＝时，f(x)max＝2；当2x＋＝π即x＝时f(x)min＝－…………………………………………………6分注：不交代x取何值时取最值扣1分(2)因为f()＝2sin(α＋)＝，所以sin(α＋)＝，＜α＋＜，所以cos(α＋)＝－＝－，………………………8分令α＋＝t，则α＝t－，所以2α＋＝2t－cos(2α＋)＝cos(2t－)＝cos2tcos＋sin2tsin……………………………………10分其中sin2t＝2sintcost＝－，cos2t＝cos2t－sin2t＝，所以原式cos(2α＋)＝－…………………………………………………………12分高一数学期末试卷第17页，共10页

1320．(本小题12分)已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝1，BC＝2，又PB⊥平面ABCD，且PB＝1，点E在棱PD上且BE⊥PD．(1)求证：BE⊥平面PCD；(2)求锐二面角B－PC－D的余弦值．(1)证明:取BC中点F，连结DF，因为AD＝1，BC＝2所以ADBF，即四边形ABFD为平行四边形．F所以AB＝DF＝1，则DF＝CF＝BF＝1，所以∠CDB＝90°，即CD⊥BD．………………………………2分因为PB⊥平面ABCD，CDÌ平面ABCD，所以PB⊥CD，BD，BPÌ平面ABCD，BD∩BP＝B，所以CD⊥平面PBD，……………………………………………4分又BEÌ平面PBD，所以CD⊥BE．又BE⊥PD，PD，CDÌ平面PCD，PD∩CD＝D，所以BE⊥平面PCD………………………………………………6分(2)解:在△PCB中，过点B作BM⊥PC垂足为M，连结EM由(1)知，BE⊥平面PCD，又PCÌ平面PCD，所以BE⊥PC．BE，BMÌ平面BEM，BE∩BM＝B，所以PC⊥平面BEM．M又EMÌ平面BEM，所以PC⊥EM．所以∠BME即二面角B－PC－D的平面角．……………………9分在Rt△PCB中，BM＝＝；在Rt△PBD中，BE＝＝；所以sin∠BME＝＝，则cos∠BME＝＝所以锐二面角A－PD－B的余弦值为．……………………12分注：二面角的平面角要有证明过程，作辅助线后直接默认求解二面角要酌情扣分高一数学期末试卷第17页，共10页

1421．(本小题12分)由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻早在2019年10月就已公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3公斤，第三化杂交水稻的综合优势可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工，创建一个新产品，已知该产品的质量以某项指标值k(70≤k＜100)为衡量标准，质量指标的等级划分如表：质量指标值k90≤k＜10085≤k＜9080≤k＜8575≤k＜8070≤k＜75产品等级ABCDE为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的指标值，若以组距为5画频率分布直方图（设“＝Y”）时，发现Y满足：Y＝，n∈N*，5n≤k＜5(n＋1)．（1）试确定n的所有取值，并求a；（2）从样本质量指标值不小于85的产品中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中一次性随机抽取2件产品，写出样本空间，并求出至少有1件A级品的概率.解：（1）根据题意，k∈[70，100)，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70，75)、[75，80)、[80，85)、[85，90)、[90，95)、[95，100)，因为70≤k＜100，由5n≤k＜5(n＋1)，n∈N*，所以，n的可能取值有14、15、16、17、18、19，……………………………………2分每个小区间对应的频率值分别是5Y＝，所以，＋5a(8＋4＋2)＝1，解得a＝；…………………………4分（2）由（1）中的数据，得：k∈[85，90)的频率为×220－17×5＝0.4；k∈[90，95)的频率为×220－18×5＝0.2；k∈[95，100)的频率为×220－19×5＝0.1.利用按比例分层抽样抽取的7件产品中，k∈[85，90)的有4件，分别记为A1、A2、A3、A4，k∈[90，100)的有3件，分别记为B1、B2、B3，…………………………………………6分高一数学期末试卷第17页，共10页

15记A1A2表示抽取的2件产品在[85，90)内，余类推Ω＝{A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2B3，A3A4，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3}共21个，……………………8分记“抽取2件产品中至少有1件A级品”为事件M，则M＝{A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3}共15个，………………………………………………………………10分因此，所求概率为P(M)＝＝；答：至少有1件A级品的概率为.…………………………………………………………12分注：第一小问n的取值直接写答案即可，不需过程；最后一小问“答”不写扣1分22．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知3a＝3bcosC＋csinB．(1)求角B的值；(2)若点M为AC中点，且b＝，求中线BM的最大值；(3)求(tan2A－2)sin(2C＋)的最小值．解:(1)因为3a＝3bcosC＋csinB，由正弦定理＝＝＝2R得3sinA＝3sinBcosC＋sinCsinB，因为在△ABC中，A＝π－(B＋C)，所以3sin(B＋C)＝3sinBcosC＋sinCsinB，即sinCcosB＝sinCsinB，………………2分又因为sinC≠0，cosB≠0所以tanB＝，B∈(0，π)，所以B＝．……………………………………………………………………4分(2)在△ABM和△BCM中，由余弦定理得:c2＝BM2＋－2·BMcos∠BMA，a2＝BM2＋－2·BMcos∠BMC两式相加得BM2＝－．……………………………………………………………6分又由余弦定理a2＋c2－3＝ac≤，所以(a2＋c2)≤3，即a2＋c2≤6，BM2≤，高一数学期末试卷第17页，共10页

16所以BM最大值为，当且仅当a＝c＝时等号成立．……………………………8分(3)因为C＝－A，所以(tan2A－2)sin(2C＋)＝(tan2A－2)sin(－2A)＝(tan2A－2)(－cos2A)…………9分＝(tan2A－2)＝(tan2A－2)．……………………………………10分令tan2A＋1＝t(t＞1)，原式＝＝t＋－5≥2－5，当且仅当t＝时等号成立．即(tan2A－2)sin(2C＋)的最小值为2－5.………12分高一数学期末试卷第17页，共10页