安徽省涡阳第—中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学Word版含答案

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涡阳第一高中2020级高一下学期期末考试数学试题一、选择题（共60分）1复数z=1+6i的虛部是（　　）A.iB.6iC.1D.62.在△ABC中，a=1，C=60°，若c=，则A的值为（　　）A.30°或150°B.30°C.60°或120°D.60°3.若平面α和直线a，b满足a∩α=A，，则a与b的位置关系一定是（　　）A.相交B.平行C.异面D.相交或异面4.在△ABC中，∠C=90°，，则与的夹角是（　　）A.30°B.60°C.120°D.150°5.若在复平面内，复数3-2i、1-2i、2+i所对应的点分别为A，B，C，则△ABC的面积为（　　）A.6B.4C.3D.26.已知D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，则=（　　）A.B.C.D.7.如图所示，正方体的面A1C1，B1C，CD1的中心分别为O1，O2，O3，则直线AO与直线O2O3所成的角为（　　）A.90°B.60°C.45°D.30°8.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=60°，b=1，该三角形的面积为，则的值为（　　）A.B.C.D.9.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为的等边三角形，PA=PB=，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）A.B.16πC.D.

110.在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点，若，则入的取值范围是（　　）A.B.[0.1]C.D.11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，且，点O满足，，则△ABC的面积为（　　）A.B.C.D.12.平面α过正方体的顶点A，α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为（　　）A.B.C.D.二、填空题（共20分）13已知复数z满足（1+i）·z=1-i（i为虚数单位），=_。14.已知向量，。若，则=。15.如图，四边形ABCD中，△ABD、△BCD分别是以AD，BD为底的等腰三角形，其中AD=1，BC=4，∠ADB=∠CDB，则AC=。16.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=2，BE//CD，且CD⊥平面ABC，若BD⊥AE则BE+CD的最小值为_。

2三、解答题（共70分）17.（本题10分）已知复数z=（m2-m）+（m+3）i（m∈R）在复平面内对应点Z.（1）若m=2，求；（2）若点Z在直线y=x上，求m的值.18.（本题12分）已知，a∈R.（1）若向量，，求的值∶（2）若向量，，证明∶19.（本题12分）如图所示，正三棱柱的高为2，点D是A1B的中点，点E是B1C1的中点.（1）证明∶DE//平面ACC1A1；（2）若三棱锥E-DBC的体积为，求该正三棱柱的底面边长.20.（本题12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知。（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC面积为2，求b.21.（本题12分）在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，M为AD的中点，PA=24B=4.（1）求证∶EM//平面PAC；（2）取PC中点F，证明∶PC⊥平面AEF；（3）求点D到平面ACE的距离.

322.（本题12分）如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时15km的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市75km，且与海岸距离为45km的海上B处有一艘划艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.（1）划艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？（2）求划艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角.（3）若划艇每小时最快行驶11.25km，划艇全速行驶，应沿何种路线行驶才能尽快追上这名运动员，最快需多长时间？

4涡阳第一高中2020级高一下学期期末考试数学答案1.D2.B3.D4.C5.C6.C7.A8.A9.A10.C11.D12.A13.114.1015.16.17.（1）29；（2）m=-1或m=3..解∶（1）∵m=2，∴z=2+5i，∴；（2）若点Z在直线y=x上，则m2-m=m+3，即m2-2m-3=0，解得m=-1或m=3.18.（1）∶（2）详见解析.解∶（1）因为所以所以（2）因为所以所以19.（1）详见解析；（2）1.[详解]解∶（1）如图，连接AB1，AC1，∴D是A1B的中点，E是B1C1的中点，∴在△B1AC1中，DE//AC1，

5∵DE平面ACC1A1，AC1平面ACC1A1，∴DE//平面ACC1A1.（2）由等体积法，得VE-DBC=VD-EBC∵D是A1B的中点，∴点D到平面BCC1B1的距离是点A到平面BCC1B1的距离的一半..如图，作AF⊥.BC交BC于点F，由正三棱柱的性质可知，AF⊥平面BCC1B1.设底面正三角形的边长a，则三棱锥D-EBC的高，∴，解得a=1∴该正三棱柱的底面边长为1.20.（1）；（2）2.解∶（1），∴，∵，∴，∴，∴；（2）由（1）可知∵，∴，∴.∴b=2.21.（1）见解析；（2）见解析；（3）解∶（1）因为E为PD的中点，M为AD的中点，则在△PAD中，EM//A，又因为PA平面PAC，ME平面PAC，则EM//平面PAC（2）证明∶因为PC中点F，在Rt△4BC中，AB=2，∠BAC=60°，则BC=，AC=4.而PA=4，则在等腰三角形APC中PC⊥AF①.又在△PCD中，PE=ED，PF=FC，则EF//CD，因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，又∠ACD=90°，即AC⊥CD，AC∩PA=A，

6则CD⊥平面PAC，所以PC⊥CD，因此EF⊥PC②.又EF∩AF=F，由①②知PC⊥平面AEF；（3）在Rt△ACD中，CD=，AC=4，∴，又EM//PA，PA⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，即EM为三棱锥E-ACD的高，∴在△ACE中，AE=CE=，AC=4，∴，设点D到平面ACE的距离为h，则，∴.h=，即点D到平面ACE的距离为.22.（1）9km/h；（2）90°；（3）划艇应垂直于海岸向北的方向行驶才能尽快追.上这名运动员；4h.解∶（1）设划艇以vkm/h的速度从B处出发，沿BC方向，th后与运动员在C处相遇，过B作AC的垂线BD，则BD=45，AD=60，在△ABC中，AB=75，AC=15t，BC=vt，则，。由余弦定理，得，得整理得∶当，即时，v2取得最小值81，即，所以划艇至少以9km/h的速度行驶才能把追.上这位运动员.（2）当v=9km/h时，在△ABC中，AB=75，，由余弦定理，得，所以∠ABC=90°，所以划艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角为90°.（3）划艇每小时最快行驶11.25km全速行驶，假设划艇沿着垂直于海岸的方向，即BD方向行驶，而BD=45，

7此时到海岸距离最短，需要的时间最少，所以需要∶，而4h时运动员向东跑了∶，.而AD=60，即4h时，划艇和运动员相遇在点D.所以划艇应垂直于海岸向北的方向行驶才能尽快追上这名运动员，最快需要4h.