黑龙江省大庆中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学Word版含答案

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2020—2021学年度高一下学期期末考试数学试题一、单选题（共10小题，每小题5分，共50分每小题只有一个选项正确．）1．某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为（）A．24B．30C．32D．352．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为，，标准差分别为，，则（）A．，B．，C．，D．，3．如图，在直棱柱中，，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）

1A．B．C．D．4．如图，在平行四边形中，是的中点，，则（）A．B．C．D．5．若，则（）A．B．C．D．6．若向量，满足：，，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．7．学校体育节的乒乓球决赛比赛正在进行中，小明必须再胜2盘才最后获胜，小杰必须再胜3盘才最后获胜，若两人每盘取胜的概率都是，则小明连胜2盘并最后获胜的概率是（）A．B．C．D．8．在中，角，，的对边分别为，，，，当的外接圆半径时，面积的最大值为（）A．B．C．D．9．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）A．-2B．C．-3D．-610．在中，，、分别在、上，，，将沿折起，连接，，当四棱锥体积最大时，二面角的大小为（）A．B．C．D．二、多选题（共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）11．下列命题为真命题的是（）A．若，互为共轭复数，则为实数B．若为虚数单位，为正整数，则

2C．复数的共轭复数为D．复数为的虚部为-112．已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）13．烟花三月、草长莺飞，樱花、桃花、梨花、苹果花、牡丹花陆陆续续地都开放了，周老师准备从这5种花中任选出3种去旅游观赏，则恰巧选中桃花与牡丹花的概率为______．14．已知一组数据4.7，6.1，4.2，5.0，5.3，5.5，则该组数据的第25百分位数是______．15．如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高______．16．已知、、、为同一球面上的四个点在中，，；，平面，则该球的体积为______．四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）求分数内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；

318．已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若对恒成立，求实数的取值范围．19．如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，是的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．20．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：，，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．（1）试求这40人年龄的平均数的估计值；

4（2）（i）若从样本中年龄在的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；（ii）已知该小区年龄在内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．21．在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求的大小；（2）若，且的面积为，求的值．22．如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，与的交点为，，且．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角正切值．参考答案1．C2．B3．A4．B5．D6．A7．C8．B9．D10．C11．AD12．AC13．14．4.715．75016．17．（1）0.30；频率分布直方图见解析；（2）．（1）设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，则有，可得，所以频率分布直方图为：

5（2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，所以中位数是，所以估计本次考试成绩的中位数为．18．（1）；（2）解：（1）因为所以的最小正周期为．（2）“对恒成立”等价于“”因为，所以．当，即时，

6的最大值为，所以，所以实数的取值范围为．19．（1）证明见解析；（2）（1）设与相交于点，则为中点，连接，∵为中点，∴，又∵平面，∴平面；（2）连接，则，在正三棱柱中，平面，则与到平面的距离相等，∵为的中点，∴，又平面平面，且平面平面，∴平面，在等边三角形中，由，得，又正三棱柱的侧棱长为，∴，∴．20．（1）37；（2）（i）；（ii）1760．解：（1）平均数．（2）（i）样本中，年龄在的人共有人，其中年龄在的有4人，设为，，，，年龄在的有2人，设为，．

7则从中任选2人共有如下15个基本事件：，，，，，，，，，，，，，，．至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：，，，，，，，，．记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件，故所求概率．（ii）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为，故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为：．21．（1）；（2）4．解：（1）由，得，即，由余弦定理得；又，所以．（2）由（1）可得，所以；又因为，所以；所以的面积为，解得；由正弦定理（为外接圆的半径），所以，解得；所以．

822．（1）证明见解析；（2）．（1）∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，∵平面，∴，因为四边形为正方形，则，即，∵，所以，平面；（2）取的中点，连接、，∵，为的中点，则，∵四边形为正方形，则，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，平面，，∵，∴平面，所以，直线与平面所成角为，∵平面，平面，∴，∴，∵，在中，，故，因此，直线与平面所成角正切值为．