2007数学二

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2007年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1)当x0时，与x等价的无穷小量是x1x(A)1e.(B)ln.(C)1x1.(D)1cosx.[B]1x【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.xx1【详解】当x0时，有1e(e1)~x；1x1~x；21211cosx~(x)x.利用排除法知应选(B).221(exe)tanx(2)函数f(x)在[,]上的第一类间断点是x=1x(exe)(A)0.(B)1.(C).(D).[A]22【分析】本题f(x)为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类型。【详解】f(x)在[,]上的无定义点，即间断点为x=0,1,.211(exe)tanxtanxexe又limlim1(1)1，11x0x0xx(exe)exe11(exe)tanxtanxexelimlim111，11x0x0xx(exe)exe可见x=0为第一类间断点，因此应选(A).(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半x圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)f(t)dt.0则下列结论正确的是35(A)F(3)F(2).(B)F(3)F(2).4435(C)F(3)F(2).(D)F(3)F(2).[C]44【分析】本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清

1楚相应积分与面积的关系。1【详解】根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：F(2)，2121233F(3)是两个半圆面积之差：F(3)[1()]=F(2)，2284303F(3)0f(x)dx3f(x)dx0f(x)dxF(3)因此应选(C).(4)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是f(x)f(x)f(x)(A)若lim存在，则f(0)=0.(B)若lim存在，则f(0)=0.x0xx0xf(x)f(x)f(x)(C)若lim存在，则f(0)存在.(D)若lim存在，则f(0)存在x0xx0x[D]【分析】本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0.f(x)f(x)f(0)f(x)若lim存在，则f(0)0,f(0)limlim0，可见(C)也正确，x0xx0x0x0x故应选(D).事实上，可举反例：f(x)x在x=0处连续，且f(x)f(x)xxlim=lim0存在，但f(x)x在x=0处不可导.x0xx0x1x(5)曲线yln(1e)，渐近线的条数为x(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.[D]【分析】先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。1x【详解】因为lim[ln(1e)]，所以x0为垂直渐近线；x0x1x又lim[ln(1e)]0，所以y=0为水平渐近线；xxxxxy1ln(1e)ln(1e)e进一步，limlim[]lim=lim1，2xxxxxxxxx1e1xxlim[y1x]lim[ln(1e)x]=lim[ln(1e)x]xxxxxxx=lim[lne(1e)x]limln(1e)0，xx于是有斜渐近线：y=x.故应选(D).(6)设函数f(x)在(0,)上具有二阶导数，且f(x)0.令uf(n)(n1,2,,),n则下列结论正确的是

2(A)若uu，则{u}必收敛.(B)若uu，则{u}必发散.12n12n(C)若uu，则{u}必收敛.(D)若uu，则{u}必发散.[D]12n12n【分析】利用反例通过排除法进行讨论。2【详解】设f(x)=x,则f(x)在(0,)上具有二阶导数，且f(x)0,uu，但1221{u}{n}发散，排除(C);设f(x)=,则f(x)在(0,)上具有二阶导数，且nx1f(x)0,uu，但{u}{}收敛，排除(B);又若设f(x)lnx，则f(x)在(0,)上12nn具有二阶导数，且f(x)0,uu，但{u}{lnn}发散，排除(A).故应选(D).12n(7)二元函数f(x,y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是(A)lim[f(x,y)f(0,0)]0.(x,y)(0,0)f(x,0)f(0,0)f(0,y)f(0,0)(B)lim0，且lim0.x0xy0yf(x,y)f(0,0)(C)lim0.(x,y)(0,0)22xy(D)lim[f(x,0)f(0,0)]0，且lim[f(0,y)f(0,0)]0.[C]xxyyx0y0【详解】选项(A)相当于已知f(x,y)在点(0,0)处连续，选项(B)相当于已知两个一阶偏导数f(0,0),f(0,0)存在，因此(A),(B)均不能保证f(x,y)在点(0，0)处可微。xy选项(D)相当于已知两个一阶偏导数f(0,0),f(0,0)存在，但不能推导出两个一阶偏导xy函数f(x,y),f(x,y)在点(0,0)处连续，因此也不能保证f(x,y)在点(0，0)处可微。xyf(x,y)f(0,0)若lim0，则(x,y)(0,0)22xy2f(x,0)f(0,0)f(x,0)f(0,0)xlimlim0，即f(0,0)0,同理有xx0xx0x202xf(0,0)0.y[f(x,y)f(0,0)](f(0,0)xf(0,0)y)xy从而lim0

3f(x,y)f(0,0)f(x,y)f(0,0)=limlim=00(x,y)0(x)2(y)2根据可微的定义，知函数f(x,y)在(0，0)处可微，故应选(C).1(8)设函数f(x,y)连续，则二次积分dxf(x,y)dy等于sinx211(A)0dyarcsinyf(x,y)dx.(B)0dyarcsinyf(x,y)dx.1arcsiny1arcsiny(C)0dyf(x,y)dx.(D)0dyf(x,y)dx.[B]22【分析】先确定积分区域，画出示意图，再交换积分次序。【详解】积分区域D:x,sinxy1,也可表示为2D:0y1,arcsinyx,11故dxsinxf(x,y)dy=0dyarcsinyf(x,y)dx，应选(B).2(9)设向量组,,线性无关，则下列向量组线性相关的是123(A),,.(B),,.122331122331(C)122,223,321.(D)122,223,321.[A]【详解】用定义进行判定:令x()x()x()0，112223331得(xx)(xx)(xx)0.131122233xx0,13因,,线性无关，所以xx0,12312xx0.23101又1100，011故上述齐次线性方程组有非零解,即,,线性相关.类似可得(B),(C),122331(D)中的向量组都是线性无关的.211100(10)设矩阵A121,B010,则A与B112000(A)合同,且相似.(B)合同,但不相似.

4(C)不合同,但相似.(D)既不合同,又不相似.[B]二、填空题(11－16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.)arctanxsinx1(11)lim=.3x0x61cosx2arctanxsinx1x2111(1x)cosx【详解】lim=limlim3222x0xx03xx031xx212xcosx(1x)sinx111=lim(1).3x02x3262xcostcost,(12)曲线上对应于t的点处的法线斜率为12.y1sint4dyycostdy1t【详解】因为，于是，故法线斜率dxxtsint2costsintdxt412为12.1(n)1n2n(13)设函数y,则y(0)=(1)n!().2x3331223【详解】y(2x3),y12(2x3),y1(2)2(2x3)(n)nnn1一般地，y(1)n!2(2x3)，(n)1n2n从而y(0)=(1)n!().332x(14)二阶常系数非齐次线性微分方程y4y3y2e的通解为x3x2xyCeCe2e.其中C,C为任意常数.12122【详解】特征方程为430，解得1,3.可见对应齐次线性微分方12x3x程y4y3y0的通解为yCeCe.122x*2x设非齐次线性微分方程y4y3y2e的特解为yke，代入非齐次方程可得x3x2xk=−2.故通解为yCeCe2e.12yxzz2y2x(15)设f(u,v)是二元可微函数，zf(,),则xy=ff.12xyxyxyzy1z1x【详解】f()f，ff()，于是有122122xxyyxy

5zzy11x2y2xxyx[ff]y[ff]=ff.21212212xyxyxyxy010000103(16)设矩阵A,则A的秩为1.000100000001300003【详解】依矩阵乘法直接计算得A,故r(A)=1.00000000三、解答题：(17－24小题，共86分.)(17)（本题满分10分）设f(x)是区间[0,]上的单调、可导函数，且满足4f(x)1xcostsintf(t)dttdt，00sintcost1其中f是f的反函数，求f(x).【分析】等式两端先对x求导，再积分即可。f(x)1xcostsint【详解】在等式f(t)dttdt两端先对x求导，得00sintcost1cosxsinxf[f(x)]f(x)x，sinxcosxcosxsinxcosxsinx即xf(x)x，也即f(x).sinxcosxsinxcosxcosxsinxd(sinxcosx)于是f(x)dxsinxcosxsinxcosx=ln(sinxcosx)c.由题设知,f(0)=0,于是c=0，故f(x)ln(sinxcosx).(18)（本题满分11分）x设D是位于曲线yxa2a(a1,0x)下方、x轴上方的无界区域。(I)求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a);(II)当a为何值时，V(a)最小?并求此最小值.【分析】V(a)的值可通过广义积分进行计算，再按通常方法求V(a)的最小值即可。xxa【详解】(I)V(a)y2dxxaadx=xdaa00lna0

6xx2aa=[xaaaadx].lna00(lna)22212a(lna)a(2lna)(II)V(a)a0,4(lna)得lna[lna1]0，即a=e.2由于a=e是唯一的驻点，是极小值点，也是最小值点，最小值为V(e)e.(19)（本题满分10分）2求微分方程y(xy)y满足初始条件y(1)y(1)1的特解。【分析】本题为可降阶的二阶微分方程，作变量代换即可。【详解】令yu，则原方程化为2dx1u(xu)u即xu，duu11dudu其解为xeu(ueuduC)u(uC),2利用u=y(1)1,有C=0,于是xu,由y(1)1知应取ux.321再由yx，积分得yxdxx2C，代入初始条件y(1)=1，得C，1133321故满足初始条件y(1)y(1)1的特解为yx2.33(20)（本题满分11分）y1已知函数f(u)具有二阶导数，且f(0)1，函数y=y(x)由方程yxe1所确定，设2dzdzzf(lnysinx)，求,.x02x0dxdxdzy【详解】f(lnysinx)(cosx)，dxy22dzy2yyyf(cosx)f(sinx)22dxyyy1y1在yxe1中,令x=0得y=1.而由yxe1两边对x求导得

7y1y1yexey0y1y1y12y1再对x求导得yeyeyxeyxey0将x=0,y=1代入上面两式得y(0)1,y(0)2.dz故f(0)(00)0,x0dx2dzf(0)(21)1.2x0dx（21）（本题满分11分）设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：存在(a,b)，使得f()g().【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，若令F(x)f(x)g(x)，则问题转化为证明F()0,只需对F(x)用罗尔定理，关键是找到F(x)的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0,若能再找一点c(a,b)，使得F(c)0，则在区间[a,c],[c,b]上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对F(x)用罗尔定理即可。【证明】构造辅助函数F(x)f(x)g(x)，由题设有F(a)=F(b)=0.又f(x),g(x)在(a,b)内具有相等的最大值,不妨设存在xx,x,x(a,b)使得1212f(x)Mmaxf(x),g(x)Mmaxg(x)，12[a,b][a,b]若xx，令cx,则F(c)0.121若xx，因F(x)f(x)g(x)0,F(x)f(x)g(x)0，从而存在12111222c[x,x](a,b)，使F(c)0.12在区间[a,c],[c,b]上分别利用罗尔定理知，存在(a,c),(c,b)，使得12F()F()0.12再对F(x)在区间[,]上应用罗尔定理，知存在(,)(a,b)，有1212F()0，即f()g().

8（22）（本题满分11分）设二元函数2x,xy1,f(x,y)1,1xy2,22xy计算二重积分f(x,y)d，其中D{(x,y)xy2}.D【分析】被积函数为分区域函数，利用积分的可加性分区域积分，在计算过程中注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性进行化简。【详解】由区域的对称性和被积函数的奇偶性有f(x,y)d4f(x,y)dDD1其中D为D在第一象限的部分.1设D{(x,y)|0y1x，0x1},11D{(x,y)|1xy2，x0,y0}1211x22f(x,y)dxd0dx0xdxD1D1112x(1x)dx,01221f(x,y)dd2dsincosdr2202D12D12xysincos2ln(21).1因此f(x,y)d4f(x,y)d42ln(21).3DD1(23)(本题满分11分)设线性方程组x1x2x30,x12x2ax30,①2x4xax0.123与方程x2xxa1②123有公共解，求a的值及所有公共解．【分析】两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解.【详解】将①与②联立得非齐次线性方程组:

9x1x2x30,x12x2ax30,2③x4xax0,123x2xxa1.123若此非齐次线性方程组有解,则①与②有公共解,且③的解即为所求全部公共解.对③的增广矩阵A作初等行变换得:1110111012a001a10A.14a2000(a2)(a1)0121a1001aa1于是1°当a=1时，有r(A)r(A)=2<3，方程组③有解,即①与②有公共解,其全部公共解即为③的通解，此时10100100A，000000001此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为:0,所以①与②的全部公共解为11k0，k为任意常数.12°当a=2时，有r(A)r(A)=3，方程组③有唯一解,此时10000101A，001100000x10故方程组③的解为:1,即①与②有唯一公共解:为xx21.1x31(24)(本题满分11分)T设3阶对称矩阵Ａ的特征值1,2,2,(1,1,1)是Ａ1231

1053的属于的一个特征向量,记BA4AE其中E为3阶单位矩阵.1(I)验证是矩阵Ｂ的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量．1(II)求矩阵Ｂ．【分析】根据特征值的性质可立即得B的特征值,然后由B也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.2【详解】(I)由A得AA,1111135进一步A,A，111153故B(A4AE)1153A4A11141112，1从而是矩阵Ｂ的属于特征值−2的特征向量.153因BA4AE,及Ａ的3个特征值1,2,2,得123B的3个特征值为2,1,1.123设,为B的属于1的两个线性无关的特征向量,又2323Ａ为对称矩阵，得B也是对称矩阵,因此与,正交,即123TT0,01213所以,可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：23x1(1,1,1)x0,2x31111其基础解系为:1,0,故可取2=1,3=0.0101

11111即B的全部特征值的特征向量为:k11,k21k30,其中k10,是不为零的任101意常数,k,k是不同时为零的任意常数.2311121(II)令P(1,2,3)=110,则PBP1，101121得BP1P111121111=1101121310111122111110111=210121101.3201112110