2007年全国考研数学二真题

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1、2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当时，与等价的无穷小量是（A）（B）（C）（D）[]（2）函数在上的第一类间断点是（）（A）0（B）1（C）（D）（3）如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设，则下列结论正确的是：（A）(B)（C）（D）[]（4）设函数在处连续，下列命题错误的是：（A）若存在，则（B）若存在，则.（B）若存在，则（D）若存在，则

2、.[]（5）曲线的渐近线的条数为（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.[]第15页共15页（6）设函数在上具有二阶导数，且，令，则下列结论正确的是：(A)若，则必收敛.(B)若，则必发散(C)若，则必收敛.(D)若，则必发散.[]（7）二元函数在点处可微的一个充要条件是（A）.（B）.（C）.（D）.（8）设函数连续，则二次积分等于（A）（B）（C）（D）（9）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A)(B)(C).(D).[]（10）设矩阵，则与(A)合同且相似（B）合同，但不相似.(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似[]二

3、、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（11）__________.（12）曲线上对应于的点处的法线斜率为_________.（13）设函数，则________.第15页共15页（14）二阶常系数非齐次微分方程的通解为________.（15）设是二元可微函数，，则__________.（16）设矩阵，则的秩为.三、解答题：17～24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）(本题满分10分)设是区间上单调、可导的函数，且满足，其中是的反函数，求.（18）（本题满分11分）设是位于曲线下方、轴上方的无

4、界区域.（Ⅰ）求区域绕轴旋转一周所成旋转体的体积；（Ⅱ）当为何值时，最小？并求此最小值.第15页共15页（19）（本题满分10分）求微分方程满足初始条件的特解（20）（本题满分11分）已知函数具有二阶导数，且，函数由方程所确定，设，求.第15页共15页（21）(本题满分11分)设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，，证明：存在，使得.（22）(本题满分11分)设二元函数，计算二重积分，其中.第15页共15页（23）(本题满分11分)设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解.第15页共15页2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

5、答案1、【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.解：当时，，，，故用排除法可得正确选项为（B）.事实上，，或.所以应选（B）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.2、【分析】因为函数为初等函数，则先找出函数的无定义点，再根据左右极限判断间断点的类型.解：函数在均无意义，而；；.所以为函数的第一类间断点，故应选（A）.【评注】本题为基础题型.对初等函数来讲，无定义点即为间断点，然后再根据左右极限判断间断点的类型；对分段函数来讲，每一分段支中的无定义点为间断点，而分段点也可能为间断点，然后求左右极限进行

6、判断.3.段函数的定积分.解：利用定积分的几何意义，可得，，第15页共15页.所以，故选（C）.【评注】本题属基本题型.本题利用定积分的几何意义比较简便.4、【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系.由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数去进行判断，然后选择正确选项.解：取，则，但在不可导，故选（D）.事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得.在（C）中，存在，则，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值

7、型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.5、【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.解：，所以是曲线的水平渐近线；，所以是曲线的垂直渐近线；，，所以是曲线的斜渐近线.故选（D）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在.本题要注意当时的极限不同.6、【分析】本题依据函数的性质，判断数列.由于含有抽象函数，利用赋值法举反例更易得出结果.解：选（D）.取，，，而发散，则可排除（A）；第15页共15页取，，，而收敛，则可排除（B）；取

8、，，，而发散，则可排除（C）；故选（D）.事实上，若，则.对任意，因为，所以，对