1992年全国考研数学二真题

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1、1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设其中可导,且,则＿＿＿＿＿＿.(2)函数在上的最大值为＿＿＿＿＿＿.(3)＿＿＿＿＿＿.(4)＿＿＿＿＿＿.(5)由曲线与直线所围成的图形的面积＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当时,是的()(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)等价无穷小(D)同阶但非等价的无穷小(2)设,则(

2、)(A)(B)(C)(D)(3)当时,函数的极限()(A)等于2(B)等于0(C)为(D)不存在但不为(4)设连续,,则等于()(A)(B)第14页共14页(C)(D)(5)若的导函数是,则有一个原函数为()(A)(B)(C)(D)三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)求.(2)设函数由方程所确定,求的值.(3)求.第14页共14页(2)求.(3)求微分方程的通解.四、(本题满分9分)设,求.第14页共14页五、(本题满分9分)求微分方程的通解.六、(本题满分9分)计算曲线上相应于的一段弧的长度.第14页共14页

3、七、(本题满分9分)求曲线的一条切线,使该曲线与切线及直线所围成的平面图形面积最小.八、(本题满分9分)已知,试证：对任意的二正数和,恒有成立.第14页共14页1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】由复合函数求导法则可得,于是.【相关知识点】复合函数求导法则:如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为或.(2)【答案】【解析】令,得内驻点.因为只有一个驻点,所以此驻点必为极大值点,与端点值进行比较,求出最大值.又,,,可见最大值

4、为.(3)【答案】【解析】由等价无穷小,有时,,故,上式为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,由洛必达法则,有原式.(4)【答案】【解析】令,原式(分项法)第14页共14页(凑微分法).(5)【答案】【解析】联立曲线和直线的方程,解得两曲线的交点为,则所围图形面积为,再利用分部积分法求解,得.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定与均具有连续的导函数,则或者二、选择题(本题共5小题

5、,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B)【解析】为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有,故选(B).【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,为无穷小且存在极限,(1)若称在该极限过程中为同阶无穷小；(2)若称在该极限过程中为等价无穷小,记为；(3)若称在该极限过程中是的高阶无穷小,记为.若不存在(不为),称不可比较.(2)【答案】(D)【解析】直接按复合函数的定义计算.第14页共14页所以应选(D).(3)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点的极限是否存在,需要判定左极

6、限和右极限是否存在且相等,若相等,则函数在点的极限是存在的.,.,故当时函数没有极限,也不是.故应选(D).(4)【答案】(C)【解析】,故选(C).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若,,均一阶可导,则.(5)【答案】(B)【解析】由的导函数是,即,得,其中为任意常数.所以的原函数,其中为任意常数.令,得.故选(B).三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)【答案】【解析】此题考查重要极限：将函数式变形,有第14页共14页.(2)【答案】【解析】函数是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式.

7、方法1：在方程两边对求导,将看做的函数,得,即,把代入可得.两边再次求导,得,把,代入得.方法2：方程两边对求导,得；再次求导可得,把代入上面两式,解得,.【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为或,2.两函数乘积的求导公式：.3.分式求导公式：.(3)【答案】其中为任意常数.【解析】方法1：积分的凑分法结合分项法,有第14页共14页其中为任意常数.方法2：令,则,,其中为任意常数.方法3：令,则,此后方法同方法1,积分的凑分法结合分项法,其中为任意常数.(4)【答案】【解析

8、】注意不要轻易丢掉绝对值符号；绝对值函数的积分实际上是分段函数的积分.由二倍角公式,则有.所以第14页共14页.(5)【答案】,其中为任意常数【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为.由一阶线性微分方程的通解公式,得其中为任意常数.【相关知识点】一阶线性非齐次方程的