山西省朔州市怀仁市2020-2021学年高二下学期期末考试教学调研数学（文科）Word版含解析

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2020-2021学年山西省朔州市怀仁市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．若iz＝4+3i，其中i为虚数单位，则复数z等于（　　）A．﹣3﹣4iB．3﹣4iC．﹣3+4iD．3+4i2．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫（　　）A．函数关系B．线性关系C．相关关系D．回归关系3．下列表述正确的是（　　）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法．A．①②③④B．②③④C．①②④D．①②4．为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（　　）A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C．样本中多数男生喜欢手机支付D．样本中多数女生喜欢现金支付5．在2×2列联表中，两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，那么这两个比值为（　　）A．与B．与C．与D．与

16．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n个图案中正六边形的个数是f（n）．由f（1）＝1，f（2）＝7，f（3）＝19，…，可推出f（10）＝（　　）A．271B．72C．73D．747．某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为7天左右，短的大约2～3天，长的大约10～14天，甚至有20余天．某医疗机构对400名确诊患者的潜伏期进行统计，整理得到以下频率分布直方图．根据该直方图估计；要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少是（　　）A．12B．13C．14D．158．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为＝1.16x﹣30.75，以下结论中不正确的为（　　）A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米

2D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米9．从全体高二同学的期末考试成绩中，随机抽取了100位同学的数学成绩进行分析，在录入数据时，统计员不小心将100位同学中的最高成绩148分录成了150分，则在计算出的数据中一定正确的是（　　）A．平均分B．方差C．中位数D．标准差10．有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（　　）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同11．小正方形按照如图所示的规律排列：每个图中的小正方形的个数构成一个数列{an}，有以下结论：①a5＝15；②数列{an}是一个等差数列；③数列{an}是一个等比数列；④数列的递推公式为：an+1＝an+n+1（n∈N*）．其中正确的命题序号为（　　）A．①②B．①③C．①④D．①12．已知a＞0，不等式x+≥2，，x+≥4，可推广为x≥，则a的值为（　　）A．n2B．nnC．2nD．22n﹣3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f（x）＝excosx﹣x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是　　．14．下列命题中，正确的命题有　　．①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近0，说明模型的拟合效果越好；④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码为6号．15．在极坐标系中，已知圆的圆心C，半径r＝，点Q在圆C上运动若P点在线段OQ

3上，且|OP|：|PQ|＝2：3，则动点P的极坐标方程　　．16．如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n）；①f（3）＝　　；②f（n）＝　　．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知复数z＝（a2﹣4）+（a+2）i（a∈R）．（Ⅰ）若z为纯虚数，求实数a的值；（Ⅱ）若z在复平面上对应的点在直线x+2y+1＝0上，求实数a的值．18．已知正项数列{an}的前n项和Sn，满足2Sn＝an2+an．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：+…+．19．某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：

4周跑量（km/周）[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）[50，55）人数100120130180220150603010（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；（2）根据以上图表数据，试求样本的中位数（保留一位小数）；（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？20．甲、乙两校分别有120名、100名学生参加了某培训机构组织的自主招生培训，考试结果出来以后，培训机构为了进一步了解各校所培训学生通过自主招生的情况，从甲校随机抽取60人，从乙校随机抽取50人进行分析，相关数据如表．通过人数未通过人数总计甲校乙校30总计60（1）完成上面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为自主招生通过情况与学生所在学校有关；（2）现从甲、乙两校通过的学生中采取分层抽样的方法抽取5人，再从所抽取的5人种随机抽取2人，求2人全部来自于乙校的概率．

5参考公式：．参考数据：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0时，证明：．选作题：本小题满分10分，请考生在第22题、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝，以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式，对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．

6参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．若iz＝4+3i，其中i为虚数单位，则复数z等于（　　）A．﹣3﹣4iB．3﹣4iC．﹣3+4iD．3+4i【分析】根据已知条件，结合复数代数形式的乘法运算，属于基础题．解：∵iz＝4+3i，∴．故选：B．2．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫（　　）A．函数关系B．线性关系C．相关关系D．回归关系【分析】根据相关变量的意义知：当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系是相关关系．解：对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫相关关系，故选：C．3．下列表述正确的是（　　）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法．A．①②③④B．②③④C．①②④D．①②【分析】根据题意，结合合情推理、演绎推理的定义，依次分析4个命题，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析4个命题：对于①、归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，正确；对于②、演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，正确；对于③、类比推理是由特殊到特殊的推理，错误；

7对于④、分析法、综合法是常见的直接证明法，④错误；则正确的是①②；故选：D．4．为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（　　）A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C．样本中多数男生喜欢手机支付D．样本中多数女生喜欢现金支付【分析】根据两幅图中的信息，对选项中的命题判断正误即可．解：由左图知，样本中的男生数量多于女生数量，A正确；由右图知样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量，B正确；由右图知，样本中多数男生喜欢手机支付，C正确；由右图知样本中女生喜欢现金支付人数比手机支付人数少，D错误．故选：D．5．在2×2列联表中，两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，那么这两个比值为（　　）A．与B．与C．与D．与【分析】由题意，﹣＝＝，根据ad﹣bc相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，即可得出结论．解：由题意，﹣＝＝，∵ad﹣bc相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，∴﹣相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，

8故选：A．6．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n个图案中正六边形的个数是f（n）．由f（1）＝1，f（2）＝7，f（3）＝19，…，可推出f（10）＝（　　）A．271B．72C．73D．74【分析】根据图象的规律可得f（4）和f（5）的值．根据相邻两项的差的规律可分析得出f（n）﹣f（n﹣1）＝6（n﹣1），进而根据合并求和的方法求得f（n）的表达式，即可求得f（10）的值．解：由于：（1）f（4）＝37，f（5）＝61．由于：f（2）﹣f（1）＝7﹣1＝6，f（3）﹣f（2）＝19﹣7＝2×6，f（4）﹣f（3）＝37﹣19＝3×6，f（5）﹣f（4）＝61﹣37＝4×6，因此：当n≥2时，有f（n）﹣f（n﹣1）＝6（n﹣1），所以：f（n）＝[f（n）﹣f（n﹣1）]+[f（n﹣1）﹣f（n﹣2）]+…+[f（2）﹣f（1）]+f（1）＝6[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1]+1＝3n2﹣3n+1．又：f（1）＝1＝3×12﹣3×1+1，所以：f（n）＝3n2﹣3n+1．所以：f（10）＝3×102﹣3×10+1＝271．故选：A．7．某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为7天左右，短的大约2～3天，长的大约10～14天，甚至有20余天．某医疗机构对400名确诊患者的潜伏期进行统计，整理得到以下频率分布直方图．根据该直方图估计；要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少是（　　）

9A．12B．13C．14D．15【分析】由频率分布直方图得隔离观察的天数为[1，13）时，出现明显症状的患者频率为0.88，隔离观察的天数为[13，17）时，出现明显症状的患者频率为0.08，由此能求出要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数．解：由频率分布直方图，得隔离观察的天数为[1，13）时，出现明显症状的患者频率为（0.04+0.10+0.08）×4＝0.88；隔离观察的天数为[13，17）时，出现明显症状的患者频率为0.02×4＝0.08；∴要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少为13+＝14．故选：C．8．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为＝1.16x﹣30.75，以下结论中不正确的为（　　）A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米

10【分析】就会图形对各个选项分别判断即可．解：对于A，身高极差大约是25，臂展极差大于等于30，故A正确；对于B，很明显根据散点图以及回归方程得到，身高矮展臂就会短一些，身高高一些，展臂就会长一些，故B正确；对于C，身高为190厘米，代入回归方程可得展臂等于189.65厘米，但不是准确值，故C正确；对于D，身高相差10厘米的两人展臂的估计值相差11.6厘米，但不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点，故D错误；故选：D．9．从全体高二同学的期末考试成绩中，随机抽取了100位同学的数学成绩进行分析，在录入数据时，统计员不小心将100位同学中的最高成绩148分录成了150分，则在计算出的数据中一定正确的是（　　）A．平均分B．方差C．中位数D．标准差【分析】由题意，利用中位数的定义可得没有发生变化的是中位数，平均数和方差、标准差都发生改变．解：将最高分148分录成了150分，则把100个数据从小到大排列，中间的两个数没有发生变化，所以一定正确的数据为中位数；且平均数会变大，方差和标准差都会改变．故选：C．10．有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（　　）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同【分析】利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可．解：对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误；对于B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故B错误；对于C，∵标准差D（yi）＝D（xi+c）＝D（xi），∴两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；对于D，∵yi＝xi+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，x的极差为xmax﹣xmin，y的极差为（xmax+c）﹣（xmin+c）＝xmax﹣xmin，∴两组样本数据的样本极差相同，故D正确．

11故选：CD．11．小正方形按照如图所示的规律排列：每个图中的小正方形的个数构成一个数列{an}，有以下结论：①a5＝15；②数列{an}是一个等差数列；③数列{an}是一个等比数列；④数列的递推公式为：an+1＝an+n+1（n∈N*）．其中正确的命题序号为（　　）A．①②B．①③C．①④D．①【分析】根据题意，结合等差数列的求和公式算出an＝1+2+3+…+n＝，由此再对各个选项加以判断，可得（1）和（4）是真命题，而（2）（3）是假命题．解：根据题意，可得a1＝1，a2＝3＝1+2，a3＝6＝1+2+3，a4＝10＝1+2+3+4，…发现规律：an＝1+2+3+…+n＝，由此可得a5＝＝15，故（1）正确；{an}不是一个等差数列，故（2）不正确；数列{an}不是一个等比数列，可得（3）不正确；而an+1﹣an＝﹣＝[（n+2）﹣n]＝n+1故an+1＝an+n+1成立，故（4）正确综上所述，正确命题为（1）（4）故选：C．12．已知a＞0，不等式x+≥2，，x+≥4，可推广为x≥，则a的值为（　　）A．n2B．nnC．2nD．22n﹣3【分析】利用归纳推理，由几个特殊实例得出一般性的结论．解：已知a＞0，不等式x+≥2，，x+≥4，可推广为x≥，则a的值为nn，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f（x）＝excosx﹣x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是　y﹣1＝0　．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再求出f

12（0）的值，利用直线方程的斜截式得答案．解：由f（x）＝excosx﹣x，得f′（x）＝excosx﹣exsinx﹣1，∴f′（0）＝e0cos0﹣e0sin0﹣1＝0，又f（0）＝e0cos0﹣0＝1，∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y＝1，即y﹣1＝0．故答案为：y﹣1＝0．14．下列命题中，正确的命题有　②④　．①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近0，说明模型的拟合效果越好；④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码为6号．【分析】根据回归直线恒过样本点的中心，不一定过样本点判断①错误；根据方差是表示数据波动大小的量，判断②正确；用相关指数R2刻画回归效果时，R2越接近1说明模型的拟合效果越好判断③错误；根据系统抽样原理求出第1组中抽取的号码值，判断④正确．解：对于①，回归直线恒过样本点的中心，不一定过任一样本点，∴①错误；对于②，因为方差是表示数据波动大小的量，将一组数据的每个数都加一个相同的常数后，方差不变，∴②正确；对于③，用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近1，说明模型的拟合效果越好，∴③错误；对于④，根据系统抽样原理，样本间隔为＝8，第16组抽出的号码为15×8+a0＝126，解得a0＝6，即第1组中抽取的号码为6号，④正确．综上，正确的命题序号是②④．故答案为：②④．15．在极坐标系中，已知圆的圆心C，半径r＝，点Q在圆C上运动若P点在线段OQ上，且|OP|：|PQ|＝2：3，则动点P的极坐标方程　5ρ＝4sinθ+4cosθ　．【分析】由已知求得C的直角坐标，写出圆C的直角坐标方程，化为极坐标方程，设P（ρ，θ），Q

13（ρ1，θ），由题意可得ρ，代入C的极坐标方程得答案．解：由圆心C，得圆心的直角坐标为（1，1），又半径r＝，∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，即x2+y2﹣2x﹣2y＝0，∴圆C的极坐标方程为ρ2−2ρ（cosθ+sinθ）＝0，即ρ＝2（cosθ+sinθ），设P（ρ，θ），Q（ρ1，θ），根据|OP|：|PQ|＝2：3，可得ρ：ρ1＝2：5，将ρ代入C的极坐标方程得，，即动点P轨迹的极坐标方程为5ρ＝4sinθ+4cosθ．故答案为：5ρ＝4sinθ+4cosθ．16．如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n）；①f（3）＝　7　；②f（n）＝　2n﹣1　．【分析】根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．解：设h（n）是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数，n＝1时，h（1）＝1；n＝2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h（2）＝3＝22﹣1；n＝3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h（2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h

14（2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，h（3）＝h（2）×2+1＝3×2+1＝7＝23﹣1，h（4）＝h（3）×2+1＝7×2+1＝15＝24﹣1，…以此类推，h（n）＝h（n﹣1）×2+1＝2n﹣1，故答案为：7；2n﹣1．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知复数z＝（a2﹣4）+（a+2）i（a∈R）．（Ⅰ）若z为纯虚数，求实数a的值；（Ⅱ）若z在复平面上对应的点在直线x+2y+1＝0上，求实数a的值．【分析】（Ⅰ）若z为纯虚数，实部为0，虚部不为0，求实数a的值；（Ⅱ）求出z在复平面上对应的点的坐标，代入直线x+2y+1＝0，求实数a的值．解：（Ⅰ）若z为纯虚数，则a2﹣4＝0，且a+2≠0，解得实数a的值为2；（Ⅱ）z在复平面上对应的点（a2﹣4，a+2），在直线x+2y+1＝0上，则a2﹣4+2（a+2）+1＝0，解得a＝﹣1．18．已知正项数列{an}的前n项和Sn，满足2Sn＝an2+an．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：+…+．【分析】（1）由已知数列递推式求得首项，取n≥2时，有2Sn﹣1＝an﹣12+an﹣1，与原递推式联立，可得数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，由此可得数列{an}的通项公式；（2）求出＝，由裂项相消法即可证明结论．【解答】（1）解：由2Sn＝an2+an，当n＝1时，得a1（a1﹣1）＝0，∵an＞0，∴a1＝1；当n≥1时，2Sn＝an2+an，①当n≥2时，2Sn﹣1＝an﹣12+an﹣1，②①﹣②得，，即，可得an﹣an﹣1＝1，

15即数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，则an＝1+（n﹣1）×1＝n；（2）证明：∵an＝n，∴＝，∴+...+＝＝＜．∴+…+．19．某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：周跑量（km/周）[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）[50，55）人数100120130180220150603010（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；（2）根据以上图表数据，试求样本的中位数（保留一位小数）；（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500

16根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？【分析】（1）由频数分布表能补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图．（2）由频率分布直方图能求出样本的中位数．（3）分别滶出休闲跑者、核心跑者、精英跑者的人数，由此能估计该市每位跑步爱好者购买装备平均需要花费多少钱．解：（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：（2）由频率分布直方图得：[10，25）的频率为：（0.02+0.024+0.026）×5＝0.35，[25，30）的频率为0.036×5＝0.18，设样本的中位数为x，则0.35+（x﹣25）×0.036＝0.5，解得x≈29.2．∴样本的中位数约为29.2．（3）依题意知休闲跑者共有：（5×0.02+5×0.024）×1000＝220人，核心跑者共有：（5×0.026+5×0.036+5×0.044+5×0.030）×1000＝680人，精英跑者共有：1000﹣220﹣680＝100人，∴估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费：（220×2500+680×4000+100×4500）＝3720（元）．20．甲、乙两校分别有120名、100名学生参加了某培训机构组织的自主招生培训，考试结果出来以后，培训机构为了进一步了解各校所培训学生通过自主招生的情况，从甲校随机抽取60人，从乙校随机抽取50人进行分析，相关数据如表．通过人数未通过人数总计

17甲校乙校30总计60（1）完成上面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为自主招生通过情况与学生所在学校有关；（2）现从甲、乙两校通过的学生中采取分层抽样的方法抽取5人，再从所抽取的5人种随机抽取2人，求2人全部来自于乙校的概率．参考公式：．参考数据：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样法和列举法，求出基本事件数，计算对应的概率值．解：（1）由题意填写2×2列联表如下，通过人数未通过人数总计甲校204060乙校302050总计5060110由上表数据算得：K2＝≈7.822＞6.635，所以有99%的把握认为学生的自主招生通过情况与所在学校有关；（2）按照分层抽样的方法，应从甲校中抽2人，乙校中抽3人，甲校2人记为A、B，乙校3人记为a、b、c，从5人中任取2人共有AB、Aa、Ab、Ac、Ba、Bb、Bc、ab、ac、bc10种情况，其中2人全部来自乙校的情况有ab、ac、bc共3种，所以所求事件的概率为P＝．21．已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0时，证明：．【分析】（Ⅰ）求函数f（x）的导数，利用讨论导函数的a与判断导函数与0的大小可得单调性；

18（Ⅱ）分析法证明：．利用≥0，即证：即可，所以令新函数，求最小值大于等于0可证．解：（Ⅰ）已知函数．显然定义域中x＞0，，（1）当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；（2）当a＞0时，由，得：，当时，f′（x）＜0，f（x）在上单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）在上单调递增．（Ⅱ）当a＞0时，要证：，只需证：，由（Ⅰ）易知，所以即证：，设，则，令h'（a）＝0，得：，即：，当时，h'（a）＜0，h（a）在上单调递减；当时，h'（a）＞0，h（a）在上单调递增．∴，即：h（a）≥0，即：，所以：．选作题：本小题满分10分，请考生在第22题、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号。[选修4-4：坐标系与参数方程]

1922．在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝，以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．【分析】（1）C1的极坐标方程转化为4ρcosθ+3ρsinθ＝24ρθ，由此能求出曲线曲线C1的直角坐标方程；由，能求出C2的普通方程．（2）将曲线C2经过伸缩变换后，得到曲线C3的方程为，曲线C3的参数方程设，求出N到直线的距离，由此能求出|MN|的最小值．解：（1）∵C1的极坐标方程是，∴4ρcosθ+3ρsinθ＝24，∴4x+3y＝24，∴C1的直角坐标方程为4x+3y＝24，∵曲线C2的参数方程为：（θ为参数）．∴由，得x2+y2＝1，∴C2的普通方程为x2+y2＝1．（2）将曲线C2经过伸缩变换后，得到曲线C3的方程为，则曲线C3的参数方程为，设，则N到直线的距离为＝，故当sin（α+φ）＝1时，|MN|的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]

2023．设f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式，对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出的最小值，问题转化为|x﹣1|+|x+1|≥3，解出即可．解：（1）由f（x）≤x+2有…解得0≤x≤2，∴所求解集为[0，2]…（2）…当且仅当时取等号，由不等式对任意实数a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，解得…

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