陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文科）Word版含解析

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2020-2021学年陕西省宝鸡市金台区高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（　　）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（　　）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q3．函数f（x）＝的定义域为（　　）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）4．下列命题中的真命题是（　　）A．∃x∈R，x2+1≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．“a+b＝0”的充要条件是“＝﹣1”D．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件5．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论，其中错误结论为（　　）A．在[t1，t2]这段时间内，乙企业的污水治理能力比甲企业强B．在t2时刻，乙企业的污水治理能力比甲企业强C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强6．幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是（　　）

1A．[﹣1，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，+∞）D．（﹣∞，0）7．设函数f（x）＝，则f（﹣2）+f（log212）＝（　　）A．3B．6C．9D．128．函数f（x）＝的图象大致为（　　）A．B．C．D．9．已知，，，则（　　）A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b10．已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，则a＝（　　）A．3B．C．﹣3D．11．在下列区间中，函数f（x）＝ex+4x﹣3的零点所在的区间为（　　）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极值10，则a+b＝（　　）A．0或﹣7B．0C．﹣7D．1或﹣6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为　　．14．曲线y＝cosx﹣在点（0，1）处的切线方程为　　．15．如图，在半径为4（单位：cm）的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为　　（单位：cm2）．

216．已知关于x的不等式＜0的解集为M，则当3∈M，且5∉M时，实数a的取值范围是　　．三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（17分）（1）计算化简：①；②．（2）已知lg2＝m，lg3＝n，试用m，n表示log512．18．（17分）设集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}，集合B＝{x||x+a|＜1}．（1）若a＝3，求A∪B；（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（18分）已知函数f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）＝．（1）确定函数f（x）的解析式．（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．20．（18分）已知函数f（x）＝mx2﹣lnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若m≥，证明：f（x）≥．

3参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（　　）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【分析】由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．解：集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m＝0，解得m＝3，即有B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．故选：C．2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（　　）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选：A．3．函数f（x）＝的定义域为（　　）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】根据题意，由函数的解析式可得有，解可得x的取值范围，即可得答案．解：根据题意，f（x）＝，必有，解可得x＞﹣1且x≠1，

4即函数的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．4．下列命题中的真命题是（　　）A．∃x∈R，x2+1≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．“a+b＝0”的充要条件是“＝﹣1”D．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件【分析】利用表达式的最值判断A，反例判断B，充要条件判断C；充分条件判断D即可．解：因为y＝x2+1≥1，所以∃x∈R，x2+1≤0不正确；即A不正确；当x＜0时，2x＞x2，不成立，所以B不正确；“a+b＝0”推不出“＝﹣1”，反之成立，所以“a+b＝0”的充要条件是“＝﹣1”不成立，即C不正确；“a＞1，b＞1”可能“ab＞1”成立，反之不成立，所以“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件，正确；故选：D．5．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论，其中错误结论为（　　）A．在[t1，t2]这段时间内，乙企业的污水治理能力比甲企业强B．在t2时刻，乙企业的污水治理能力比甲企业强C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强【分析】由题意可知，该题是函数和导数的实际应用问题，把实际问题翻译成数学问题，再逐一对四个结论分析得答案．解：对于A，在[t1，t2]这段时间内，观察图象可以看出，甲企业的值大于乙企业的

5值，则甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A错误；对于B，在t2时刻，甲企业的排污关系图象切线斜率的相反数大于乙企业的排污关系图象切线斜率的相反数，可知在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B错误；对于C，在t3时刻，由图象可以看出，甲、乙两企业的污水排放量均在污水达标排放量一下，故甲、乙两企业的污水排放都已达标，故C正确；对于D，观察图象可以看出，在[0，t1]这段时间内，甲企业的值小于在[t1，t2]这段时间内的值，故D错误．故选：ABD．6．幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是（　　）A．[﹣1，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，+∞）D．（﹣∞，0）【分析】利用待定系数法求出幂函数的表达式，然后利用幂函数的性质确定函数的单调区间．解：设幂函数为f（x）＝xα，因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞）．故选：B．7．设函数f（x）＝，则f（﹣2）+f（log212）＝（　　）A．3B．6C．9D．12【分析】先求f（﹣2）＝1+log2（2+2）＝1+2＝3，再由对数恒等式，求得f（log212）＝6，进而得到所求和．解：函数f（x）＝，即有f（﹣2）＝1+log2（2+2）＝1+2＝3，f（log212）＝＝×＝12×＝6，则有f（﹣2）+f（log212）＝3+6＝9．

6故选：C．8．函数f（x）＝的图象大致为（　　）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断排除即可．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x→+∞，f（x）→+∞排除C，D，故选：B．9．已知，，，则（　　）A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b【分析】利用幂函数的单调性直接求解．解：∵＝＞，＝5＞22＞，∴b＜a＜c．故选：A．10．已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，则a＝（　　）A．3B．C．﹣3D．【分析】根据函数奇偶性的性质，进行转化，建立方程进行求解即可．解：∵f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，

7∴f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣8，则﹣e﹣aln2＝﹣8，得e﹣aln2＝8，得ln8＝﹣aln2，即3ln2＝﹣aln2，得﹣a＝3，得a＝﹣3，故选：C．11．在下列区间中，函数f（x）＝ex+4x﹣3的零点所在的区间为（　　）A．B．C．D．【分析】根据导函数判断函数f（x）＝ex+4x﹣3单调递增，运用零点判定定理，判定区间．解：∵函数f（x）＝ex+4x﹣3，∴f′（x）＝ex+4＞0，∴函数f（x）＝ex+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为增函数，∵f（）＝+1﹣3＜0，f（）＝+2﹣3＝﹣1＞0，∴f（）•f（）＜0，∴函数f（x）＝ex+4x﹣3的零点所在的区间为（，）故选：C．12．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极值10，则a+b＝（　　）A．0或﹣7B．0C．﹣7D．1或﹣6【分析】根据函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极值10，可知f′（1）＝0和f（1）＝10，对函数f（x）求导，解方程组，注意验证，可求得答案．解：由f（x）＝x3+ax2+bx+a2，得f′（x）＝3x2+2ax+b，，即，解得或（经检验应舍去），a+b＝4﹣11＝﹣7，故选：C．

8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为　﹣1，﹣2，﹣3　．【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），故答案为：﹣1，﹣2，﹣314．曲线y＝cosx﹣在点（0，1）处的切线方程为　x+2y﹣2＝0　．【分析】本题就是根据对曲线方程求导，然后将x＝0代入导数方程得出在点（0，1）处的斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．解：由题意，可知：y′＝﹣sinx﹣，∵y′|x＝0＝﹣sin0﹣＝﹣．曲线y＝cosx﹣在点（0，1）处的切线方程：y﹣1＝﹣x，整理，得：x+2y﹣2＝0．故答案为：x+2y﹣2＝0．15．如图，在半径为4（单位：cm）的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为　16　（单位：cm2）．【分析】连接OC，设|OB|＝x（0＜x＜4），将BC也用x表示，于是得出矩形ABCD面积的表达式，再利用基本不等式可求出该矩形面积的最大值．解：如下图所示，

9连接OC，设|OB|＝x（0＜x＜4），则，|AB|＝2|OB|＝2x，所以，由基本不等式可得，矩形ABCD的面积为＝，当且仅当16﹣x2＝x2时，即当时，等号成立，故答案为：16．16．已知关于x的不等式＜0的解集为M，则当3∈M，且5∉M时，实数a的取值范围是　{a|1≤a＜或3＜a≤5}　．【分析】根据题意，分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，不等式＜0的解集为M，若3∈M，且5∉M，则有，解可得1≤a＜或3＜a≤5，即a的取值范围为{a|1≤a＜或3＜a≤5}；故答案为：{a|1≤a＜或3＜a≤5}．三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（17分）（1）计算化简：①；②．（2）已知lg2＝m，lg3＝n，试用m，n表示log512．【分析】（1）①利用根式、指数的性质、运算法则直接求解．②利用指数的性质、运算法则直接求解．（2）利用对数的性质、运算法则直接求解．解：（1）①＝4﹣π﹣4＝﹣π．

10②＝﹣1﹣+＝．（2）∵lg2＝m，lg3＝n，∴log512＝＝＝．18．（17分）设集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}，集合B＝{x||x+a|＜1}．（1）若a＝3，求A∪B；（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）通过解不等式，求出集合A、B，从而求出其并集即可；（2）问题转化为集合B是集合A的真子集，得到关于a的不等式组，解出即可．解：（1）解不等式x2+2x﹣3＜0，得﹣3＜x＜1，即A＝（﹣3，1），…当a＝3时，由|x+3|＜1，解得﹣4＜x＜﹣2，即集合B＝（﹣4，﹣2），…所以A∪B＝（﹣4，1）；…（2）因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集…又集合A＝（﹣3，1），B＝（﹣a﹣1，﹣a+1），…所以或，…解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是0≤a≤2…19．（18分）已知函数f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）＝．（1）确定函数f（x）的解析式．（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．【分析】（1）由奇函数得f（0）＝0，求得b，再由已知，得到方程，解出a，即可得到解析式；（2）运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；（3）运用奇偶性和单调性，得到不等式f（t﹣1）+f（t）＜0即为f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），

11得到不等式组，解出即可．【解答】（1）解：函数f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数，则f（0）＝0，即有b＝0，且f（）＝，则，解得，a＝1，则函数f（x）的解析式：f（x）＝（﹣1＜x＜1）；（2）证明：设﹣1＜m＜n＜1，则f（m）﹣f（n）＝＝，由于﹣1＜m＜n＜1，则m﹣n＜0，mn＜1，即1﹣mn＞0，（1+m2）（1+n2）＞0，则有f（m）﹣f（n）＜0，则f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解：由于奇函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，则不等式f（t﹣1）+f（t）＜0即为f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），即有，解得，则有0＜t＜，即解集为（0，）．20．（18分）已知函数f（x）＝mx2﹣lnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若m≥，证明：f（x）≥．【分析】（1）求出原函数的导函数，可得m≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当m＞0时，求出导函数的零点，对函数的定义域分段，由导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调区间；（2）若m≥，则mx2≥x2，可得f（x）＝mx2﹣lnx≥，令g（x）＝，利用导数求其最小值，即可证明f（x）≥g（x）≥．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2mx−＝，当m≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；

12当m＞0时，令f′（x）＞0，解得x＞，令f′（x）＜0，解得0＜x＜，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；综上，当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当m＞0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；（2）函数f（x）＝mx2﹣lnx的定义域为（0，+∞），∴x2＞0，若m≥，则mx2≥x2，∴f（x）＝mx2﹣lnx≥，令g（x）＝，则g′（x）＝x﹣，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴，∴f（x）≥g（x）≥，故f（x）≥．