山东省济南市2020-2021学年高二下学期期末考试学情检测数学Word版含解析

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山东省济南市2020-2021学年高二下学期期末学情检测数学试题一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．（2x+1）7的展开式中x2的系数是（　　）A．21B．42C．84D．1682．下列求导数运算正确的是（　　）A．B．C．D．3．根据如下样本数据：x3579Y6.5542.5得到经验回归方程为，则（）A.，B.，C.，D.，4．甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排，甲乙不相邻的排列方法有（　　）A．12种B．48种C．72种D．120种5．目前国家为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是（　　）A.B.C.D.6．济南市为实现“节能减排，绿色出行”，自2018年起大力推广新能源出租车、网约车．截止目前，全市出租车已有38%换装为新能源汽车，网约车中更是有51%的车辆为新能源汽车．某人从泉城广场通过手机软件打车功能，同时呼叫出租车与网约车，该软件平台向附近42辆出租车和21辆网约车推送接单信息（假设平台呼叫范围内新能源车比例与全市区域相同，每位司机接单机会相同），该乘客被新能源汽车接单的概率约为（　　）A．42.3%B．44.5%C．46.7%D．50%7．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数．素数对（p，

1p+2）称为孪生素数对．从8个数对（3，5），（5，7），（7，9），（9，11），（11，13），（13，15），（15，17），（17，19）中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为X，则E（X）＝（　　）A.B.C.D.38．已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）＞1，f（1）＝﹣1，则f（x）＞x﹣2的解集为（　　）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣1，+∞）二、选择题：本题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在的展开式中，下列说法正确的是（　　）A．常数项是20B．第4项的二项式系数最大C．第3项是15x2D．所有项的系数的和为010．目前有望战胜新冠病毒的有效策略之一就是疫苗的接种预防．装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数（简称：膨胀系数）．某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X1服从正态分布N（4.4，0.09），乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X2服从正态分布N（4.7，0.01），则下列选项正确的是（　　）附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827．A．甲生产线硼硅玻璃膨胀系数范围在（4.1，4.7）的概率约为0.6827B．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中C．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃膨胀系数不能超过5．则乙生产线生产的硼硅玻璃符合标准的概率更大D．乙生产线所产的砌硅玻璃膨胀系数小于4.5的概率与大于4.8的概率相等11．已知由样本数据（xi，yi），i＝1，2，3，4，5，6求得的经验回归方程为，且．现发现一个样本数据（8，12）误差较大，去除该数据后重新求得的经验回归直线l的纵截距依然是1，则下列说法正确的是（　　）A．去除前变量x每增加1个单位，变量y一定增加2个单位B．去除后剩余样本数据中x的平均数为2C．去除后的经验回归方程为D．去除后相关系数r变大12．已知函数f（x）＝lnx﹣ax，a为常数，若函数f（x）有两个零点x1，x2，则下列说法正确的是（　　）

2A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知随机变量X的分布如表，则D（X）＝　　．X01Pa2a14．为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示：x12345Y50607080100由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为y＝12x+a，据此计算出样本点（4，80）处的残差（残差＝观测值﹣预测值）为　　．15．为庆祝中国共产党成立100周年，某学校举行文艺汇演．该校音乐组9名教师中3人只会器乐表演，5人只会声乐表演，1人既会器乐表演又会声乐表演，现从这9人中选出3人参加器乐表演，4人参加声乐表演，每人只能参加一种表演，共有　　种不同的选法．（用数字作答）16．已知函数f（x）＝e2x，，若f（x）图象向下平移k（k＞0）个单位后与g（x）的图象有交点，则k的最小值为　　．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+1在x＝1处有极值，其图象经过点（2，3），且f'（0）＝﹣1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在x＝﹣1处的切线方程．18．为了研究某种疾病的治愈率，某医院对100名患者中的一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如下：（1）根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的2×2列联表：疗法疗效合计未治愈治愈外科疗法化学疗法18合计100

3（2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关．附：（如需计算Χ2，结果精确到0.001）Χ2独立性检验中常用小概率值和相应的临界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82819．某商场举办店庆活动，消费者凭借购物发票进行现场抽奖．抽奖盒中装有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同抽奖规则为：抽奖者一次从中摸出2个小球，若摸到2个红球就中奖，否则均为不中奖．小球用后放回盒子，下一位抽奖者继续抽奖．（1）求每一位抽奖者中奖的概率；（2）现有甲，乙、丙三人依次抽奖，用X表示中奖的人数，求X的分布列及均值．20．已知函数f（x）＝ex[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]．（1）当a＝2时，求函数f（x）的极值；（2）当a＜1时，讨论函数f（x）的单调性．21．2021年新高考数学试卷中多选题规定：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明在做多选题的第11题、第12题时通常有两种策略：策略A：为避免有选错的得0分，在四个选项中只选出一个自已最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做．这种策略每个题耗时约3分钟．策略B：争取将该问题得5分，选出自己认为正确的全部选项．这种策略每个题耗时约6分钟．某次数学考试临近，小明通过前期大量模拟训练得出了其各种策略下11题和12题的作答情况如下：第11题：如果采用策略A，选对一个选项的概率为0.8，采用策略B，部分选对的概率为0.5，全部选对的概率为0.4；第12题：如果采用策略A，选对一个选项的概率为0.7，采用策略B，部分选对的概率为0.6，全部选对的概率为0.3．如果这两题总用时超过10分钟，其他题目会因为时间紧张少得2分．假设小明作答两题的结果互不影响．

4（1）若小明同学此次考试中决定11题采用策略B、12题采用策略A，设此次考试他11题和12题总得分为X，求X的分布列；（2）小明考前设计了以下两种方案：方案1：11题采用策略B，12题采用策略A；方案2：11题和12题均采用策略B．如果你是小明的指导老师，从整张试卷尽可能得分更高的角度出发，根据小明的实际情况，你赞成他的第几种方案，并说明理由．22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1．（1）若f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：当n∈N+时，成立．

5参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．（2x+1）7的展开式中x2的系数是（　　）A．21B．42C．84D．168解：（2x+1）7二项展开式的通项公式为＝，令7﹣r＝2，解得r＝5，所以x2的系数是．故选：C．2．下列求导数运算正确的是（　　）A．B．（2x）′＝2xln2C．（ln2x）′＝D．解：，，，故A、C、D错误．故选：B．3．根据如下样本数据：x3579Y6.5542.5得到经验回归方程为，则（　　）A．＜0，＜0B．＞0，＞0C．＜0，＞0D．＞0，＜0解：由表格可知，Y随着x的值增加而减小，故＜0，又当x＝0时，Y应该大于6.5，故＞0．故选：D．4．甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排，甲乙不相邻的排列方法有（　　）A．12种B．48种C．72种D．120种解：根据题意，分2步进行分析：

6①先将丙、丁、戊三人排好，有＝6种排法，②排好后，有4个空位，将甲乙安排在空位中，有＝12种排法，则甲乙不相邻的排列方法6×12＝72种；故选：C．5．目前国家为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是（　　）A．B．C．D．解：随机选择一个有三个小孩的家庭，知道这个家庭有女孩，基本事件有：（女女女），（女女男），（女男女），（男女女），（女男男），（男女男），（男男女），共7个，其中该家庭也有男孩包含的基本事件有：（女女男），（女男女），（男女女），（女男男），（男女男），（男男女），共6个，∴已经知道这个家庭有女孩的条件下该家庭也有男孩的概率是P＝．故选：D．6．济南市为实现“节能减排，绿色出行”，自2018年起大力推广新能源出租车、网约车．截止目前，全市出租车已有38%换装为新能源汽车，网约车中更是有51%的车辆为新能源汽车．某人从泉城广场通过手机软件打车功能，同时呼叫出租车与网约车，该软件平台向附近42辆出租车和21辆网约车推送接单信息（假设平台呼叫范围内新能源车比例与全市区域相同，每位司机接单机会相同），该乘客被新能源汽车接单的概率约为（　　）A．42.3%B．44.5%C．46.7%D．50%解：新能源汽车接单的概率约为．故选：A．7．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数．素数对（p，p+2）称为孪生素数对．从8个数对（3，5），（5，7），（7，9），（9，11），（11，13），（13，15），（15，17），（17，19）中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为X，则E（X）＝（　　）A．B．C．D．3解：由题意可知，这8个数对中只有（3，5），（5，7），（11，13），（17，19）是孪生素数对，

7则X的可能取值为0，1，2，3，故P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，所以E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．故选：C．8．已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）＞1，f（1）＝﹣1，则f（x）＞x﹣2的解集为（　　）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣1，+∞）解：不等式f（x）＞x﹣2等价于f（x）﹣x+2＞0，构造函数F（x）＝f（x）﹣x+2，又F（1）＝f（1）﹣1+2＝0，不等式等价于F（x）＞F（1）．因为F'（x）＝f'（x）﹣1＞0，所以F（x）在R上单调递增，所以不等式的解为x＞1．故选：B．二、选择题：本题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在的展开式中，下列说法正确的是（　　）A．常数项是20B．第4项的二项式系数最大C．第3项是15x2D．所有项的系数的和为0解：的二项展开式的通项公式为＝，对于A，当2r﹣6＝0，即r＝3时，常数项为，故选项A错误；对于B，第4项的二项式系数为是最大的，故选项B正确；对于C，第3项是，故选项C错误；

8对于D，令x＝1，则，故所有项的系数的和为0，故选项D正确．故选：BD．10．目前有望战胜新冠病毒的有效策略之一就是疫苗的接种预防．装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数（简称：膨胀系数）．某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X1服从正态分布N（4.4，0.09），乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X2服从正态分布N（4.7，0.01），则下列选项正确的是（　　）附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827．A．甲生产线硼硅玻璃膨胀系数范围在（4.1，4.7）的概率约为0.6827B．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中C．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃膨胀系数不能超过5．则乙生产线生产的硼硅玻璃符合标准的概率更大D．乙生产线所产的砌硅玻璃膨胀系数小于4.5的概率与大于4.8的概率相等解：对于A，由题意可知，μ1＝4.4，σ1＝0.3，μ2＝4.7，σ2＝0.1，所以P（4.3＜x1＜4.7）＝P（μ1﹣σ1＜x1＜μ1+σ1）≈0.6827＜7，故选项A正确；对于B，由于σ1＞σ2，则甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更不集中，故选项B错误；对于C，P（x1≤5）＝P（x1≤μ1+2σ1）＝+P（μ1＜x1≤μ1+σ1）+P（μ1+σ1＜x1≤μ1+2σ1）＝0.84135+P（μ1+σ1＜x1≤μ1+2σ1），P（x2≤5）＝P（x2≤μ2+2σ2）＝+P（μ2＜x2≤μ2+σ2）+P（μ2+σ2＜x2≤μ2+3σ2）＝0.84135+P（μ2+σ2＜x2≤μ2+3σ2），所以乙生产线生产的硼硅玻璃符合标准的概率更大，故选项C正确；对于D，P（x2＜4.5）＝P（x2＜μ2﹣2σ2），P（x2＞4.8）＝P（x2＞μ2+2σ2），则P（x2＜4.5）≠P（x2＞4.8），故选项D错误．故选：AC．11．已知由样本数据（xi，yi），i＝1，2，3，4，5，6求得的经验回归方程为＝2x+1，且＝3．现发现一个样本数据（8，12）误差较大，去除该数据后重新求得的经验回归直线l

9的纵截距依然是1，则下列说法正确的是（　　）A．去除前变量x每增加1个单位，变量y一定增加2个单位B．去除后剩余样本数据中x的平均数为2C．去除后的经验回归方程为＝2.5x+1D．去除后相关系数r变大解：当＝3时，，因为，所以去掉样本数据（8，12）的新数据中，，设去除该数据后重新求得的回归直线l为y＝ax+1，又2a+1＝6，解得a＝2.5，故＝2.5x+1，对于A，去除前变量x每增加1个单位，变量y大于增加2个单位，故选项A错误；对于B，去除后剩余样本数据中x的平均数为2，故选项B正确；对于C，去除后的经验回归方程为＝2.5x+1，故选项C正确；对于D，去除了误差较大的样本数据，相关系数r变大，故选项D正确．故选：BCD．12．已知函数f（x）＝lnx﹣ax，a为常数，若函数f（x）有两个零点x1，x2，则下列说法正确的是（　　）A．x1lnx2＝x2lnx1B．2e＜x1+x2＜e2C．x1x2＞e2D．＞2解：因为f（x）有两个零点x1，x2，不妨设x1＜x2，所以lnx﹣ax＝0在（0，+∞）上有两个根，即a＝在（0，+∞）上有两个根，令y＝a，g（x）＝（x＞0），则y＝a与g（x）＝（x＞0）有两个交点，g′（x）＝＝，

10当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）≤g（e）＝，所以0＜a＜，0＜x1＜e，x2＞e，对于A：根据题意可得lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，所以lnx1＝ax1，lnx2＝ax2，所以＝，即x1lnx2＝x2lnx1，故A正确；对于B：当a→0+时，x2→+∞，此时x1+x2＞e2，所以B错误，对于C，lnx1＝ax1，lnx2＝ax2，令，则x2＝tx1，所以，所以，则，下面证明lnx1+lnx2＞2，即证，即证，即证，令，所以函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＞1时，h（x）＞h（1）＝0，所以，所以，故C正确．对于D：不妨设x1＜x2，则lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，所以lnx2﹣lnx1＝a（x2﹣x1），要证+＞2，只需证+＞2a，

11只需证＞a，只需证：＞，只需证：＞ln，只需证：ln＜（﹣），令t＝＞1，即证lnt＜（t﹣），设φ（t）＝lnt﹣（t﹣），则φ′（t）＝＜0，所以φ（t）在（1，+∞）上单调递减，则φ（t）＜φ（1）＝0，即+＞2，故D正确；故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知随机变量X的分布如表，则D（X）＝　　．X01Pa2a解：由随机变量X的分布列得：

12，解得a＝，∴E（X）＝0×＝．D（X）＝（0﹣）2×+（1﹣）2×＝．故答案为：．14．为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示：x12345Y50607080100由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为y＝12x+a，据此计算出样本点（4，80）处的残差（残差＝观测值﹣预测值）为　﹣4　．解：由表格中的数据可知，，，所以12×3+a＝72，解得a＝36，所以y＝12x+36，当x＝4时，y＝4×12+36＝84，所以残差＝观测值﹣预测值＝80﹣84＝﹣4．故答案为：﹣4．15．为庆祝中国共产党成立100周年，某学校举行文艺汇演．该校音乐组9名教师中3人只会器乐表演，5人只会声乐表演，1人既会器乐表演又会声乐表演，现从这9人中选出3人参加器乐表演，4人参加声乐表演，每人只能参加一种表演，共有　30　种不同的选法．（用数字作答）解：根据题意，分2种情况讨论：①只会器乐表演的3人全部被选中，参加器乐表演，需要从剩下6人中选出4人参加声乐表演，有＝15种选法，②从只会器乐表演的3人选出2人，和既会器乐表演又会声乐表演的1人共同参加器乐表演，有＝15种选法，则有15+15＝30种选法，故答案为：30．

1316．已知函数f（x）＝e2x，g（x）＝，若f（x）图象向下平移k（k＞0）个单位后与g（x）的图象有交点，则k的最小值为　2　．解：若f（x）图象向下平移k（k＞0）个单位后与g（x）的图象有交点，则f（x）﹣k＝，在（0，+∞）上有解，所以k＝f（x）﹣＝e2x﹣，在（0，+∞）上有解，令h（x）＝e2x﹣，x＞0，h′（x）＝2e2x﹣＝，令p（x）＝2x2e2x+lnx，p′（x）＝4xe2x+4x2e2x+＝4xe2x（1+x）+＞0，所以p（x）在（0，+∞）上单调递增，且x→0时，f（x）→﹣∞；x→+∞时，f（x）→+∞，所以存在x0∈（0，+∞），使得p（x0）＝0，①即2x02e+lnx0＝0，令t＝x0e，则2x0t+lnt﹣2x0＝0，即2x0（t﹣1）+lnt＝0，令q（t）＝2x0（t﹣1）+lnt，则q（t）单调递增，又t＝1时，q（1）＝0，所以x0e＝1，即e＝②所以由①得，在（0，x0）上，p（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，在（x0，+∞）上，p（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）min＝h（x0）＝e﹣＝e﹣＝e+2x0e﹣，把②代入得，h（x）min＝h（x0）＝2x0e＝2，所以k≥2，所以k的最小值为2．故答案为：2．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1417．已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+1在x＝1处有极值，其图象经过点（2，3），且f'（0）＝﹣1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在x＝﹣1处的切线方程．解：（1）因为函数f（x）＝ax3+bx2+cx+1，则f'（x）＝3ax2+2bx+c，由题意可得，，即，解得a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，经检验，f（x）＝ax3+bx2+cx+1在x＝1处有极值，故f（x）＝x3﹣x2﹣x+1；（2）由（1）可得，f（x）＝x3﹣x2﹣x+1，则f（﹣1）＝0，所以切点坐标为（﹣1，0），又f'（x）＝3x2﹣2x﹣1，所以f'（﹣1）＝4，故切线的斜率为4，所以切线方程为y＝4（x+1），即4x﹣y+4＝0．18．为了研究某种疾病的治愈率，某医院对100名患者中的一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如下：（1）根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的2×2列联表：疗法疗效合计未治愈治愈外科疗法化学疗法18合计100（2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关．附：Χ2＝（如需计算Χ2，结果精确到0.001）Χ2独立性检验中常用小概率值和相应的临界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

15解：（1）由题意可得，2×2列联表如下：疗法疗效合计未治愈治愈外科疗法202040化学疗法421860合计6238100（2）零假设为H0：是否治愈与治疗方法无关联．由列联表中的数据可得，Χ2＝，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们能推断H0不成立，即认为是否治愈与治疗方法有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．19．某商场举办店庆活动，消费者凭借购物发票进行现场抽奖．抽奖盒中装有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同抽奖规则为：抽奖者一次从中摸出2个小球，若摸到2个红球就中奖，否则均为不中奖．小球用后放回盒子，下一位抽奖者继续抽奖．（1）求每一位抽奖者中奖的概率；（2）现有甲，乙、丙三人依次抽奖，用X表示中奖的人数，求X的分布列及均值．解：（1）设事件A为“抽奖者获奖”，则P（A）＝＝；（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，则P（X＝0）＝＝0.343，P（X＝1）＝＝0.441，P（X＝2）＝＝0.189，P（X＝3）＝＝0.027，

16故X的分布列为：X0123P0.3430.4410.1890.027所以E（X）＝0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027＝．20．已知函数f（x）＝ex[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]．（1）当a＝2时，求函数f（x）的极值；（2）当a＜1时，讨论函数f（x）的单调性．解：（1）因为函数f（x）＝ex[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]，当a＝2时，f（x）＝ex（2x2﹣7x+8），则f'（x）＝，令f'（x）＝0，解得x＝，x＝1，当x＜时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，当＜x＜1时，f'（x）＜0，则g（x）单调递减，当x＞1时，f'（x）＞0，则g（x）单调递增，所以当x＝时，函数f（x）取得极大值f（）＝，当x＝1时，函数f（x）取得极小值f（1）＝3e；（2）f'（x）＝ex（ax﹣1）（x﹣1），①当a＝0时，由f'（x）＝ex（1﹣x）＝0，可得x＝1，当x＜1时，f'（x）＞0，当x＞1时，f'（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；②当a＜0时，由f'（x）＝a，则，令f'（x）＝0，则x＝，x＝1，当x＜或x＞1时，f'（x）＜0，当＜x＜1时，f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，）和（1，+∞）上单调递减，在（，1）上单调递增；③当0＜a＜1时，由f'（x）＝a，则，令f'（x）＝0，则x＝，x＝1，当x＜1或x＞时，f'（x）＞0，当1＜x＜时，f'（x）＜0，

17所以f（x）在（﹣∞，1）和（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．综上所述，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，）和（1，+∞）上单调递减，在（，1）上单调递增；当a＝0时，f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；当0＜a＜1时，f（x）在（﹣∞，1）和（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．21．2021年新高考数学试卷中多选题规定：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明在做多选题的第11题、第12题时通常有两种策略：策略A：为避免有选错的得0分，在四个选项中只选出一个自已最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做．这种策略每个题耗时约3分钟．策略B：争取将该问题得5分，选出自己认为正确的全部选项．这种策略每个题耗时约6分钟．某次数学考试临近，小明通过前期大量模拟训练得出了其各种策略下11题和12题的作答情况如下：第11题：如果采用策略A，选对一个选项的概率为0.8，采用策略B，部分选对的概率为0.5，全部选对的概率为0.4；第12题：如果采用策略A，选对一个选项的概率为0.7，采用策略B，部分选对的概率为0.6，全部选对的概率为0.3．如果这两题总用时超过10分钟，其他题目会因为时间紧张少得2分．假设小明作答两题的结果互不影响．（1）若小明同学此次考试中决定11题采用策略B、12题采用策略A，设此次考试他11题和12题总得分为X，求X的分布列；（2）小明考前设计了以下两种方案：方案1：11题采用策略B，12题采用策略A；方案2：11题和12题均采用策略B．如果你是小明的指导老师，从整张试卷尽可能得分更高的角度出发，根据小明的实际情况，你赞成他的第几种方案，并说明理由．解：（1）设事件B1为“第11题得0分”，事件B2为“第11题得2分”，事件B3为“第11题得5分”，事件A1为“第12题得2分”，事件A2为“第12题得0分”，所以P（B1）＝0.1，P（B2）＝0.5，P（B3）＝0.4，P（A1）＝0.7，P（A2）＝0.3，由题意可知，X的可能取值为0，2，4，5，7，则P（X＝0）＝P（B1A1）＝0.1×0.3＝0.03，P（X＝2）＝P（B1A2+B2A1）＝0.1×0.7+0.5×0.3＝0.22，P（X＝4）＝P（B2A2）＝0.5×0.7＝0.35，

18P（X＝5）＝P（B3A1）＝0.4×0.3＝0.12，P（X＝7）＝P（B3A2）＝0.4×0.7＝0.28，所以小明第11题和第12题总得分X的分布列为：X02457P0.030.220.350.120.28（2）由（1）可知，小明采用方案1时，第11题和第12题总得分的均值为：E（X）＝0×0.03+2×0.22+4×0.35+5×0.12+7×0.28＝4.4，设随机变量Y为小明采用方案2时，第11题和第12题总得分，则Y的可能取值为0，2，4，5，7，10，故P（Y＝0）＝0.1×0.1＝0.01，P（Y＝2）＝0.1×0.6+0.5×0.1＝0.11，P（Y＝4）＝0.5×0.6＝0.3，P（Y＝5）＝0.1×0.3+0.4×0.1＝0.07，P（Y＝7）＝0.5×0.3+0.4×0.6＝0.39，P（Y＝10）＝0.4×0.3＝0.12，故Y的分布列为：Y0245710P0.010.110.30.070.390.12所以E（Y）＝0×0.01+2×0.11+4×0.3+5×0.07+7×0.39+10×0.12＝5.7，但因为时间超过10分钟，后面的题得分少2分，相当于得分均值为3.7分，因为5.7﹣2＝3.7＜4.4，所以我赞成小明的方案1．22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1．（1）若f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：当n∈N+时，1+成立．【解答】（1）解：函数f（x）＝lnx﹣ax+1，定义域为（0，+∞），因为f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即lnx﹣ax+1≤0在（0，+∞）上恒成立，等价于a≥在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝（x＞0），

19因为g'（x）＝，令g'（x）＝0，解得x＝1，所以当0＜x＜1时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增，当x＞1时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，所以当x＝1时，函数g（x）取得最大值g（1）＝1，由题意可知，a≥g（x）max，所以a≥1，故a的取值范围为[1，+∞）；（2）证明：由（1）可知，当a＝1时，lnx≤x﹣1，令x＝（n∈N+），则，累加可得，ln（n+1）﹣lnn+lnn﹣ln（n﹣1）+•••+ln1﹣ln1＜，所以，又因为，所以，即，综上可得，当n∈N+时，1+成立．