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《湖南省五市十校教研教改共同体2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含答案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体2021年高二上学期期末考试数学试卷本试卷共4页,22题,考试用时120分钟,试卷满分150分注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束时,将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,,则A.B.C.D.2.已知,则A.B.1C.D.3.当生物体死亡后,它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现K4坑的部分炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析,发现碳14含量衰减为原来的67.90%,则该遗址距今约()年.(参考数据:)A.3000B.3100C.3200D.33004.已知,则A.B.C.D.5.已知,,,则A.B.C.D.6.为庆祝建党一百周年,长沙市文史馆举办“学党史,传承红色文化”的主题活动,某高校团委决定选派5男3女共8名志愿者,利用周日到该馆进行宣讲工作.已知该馆有甲、乙两个展区,若要求每个展区至少要派3名志愿者,每个志愿者必须到两个展区中的一个工作,且女志愿者不能单独去某个展区工作,则不同的选派方案种数为A.252B.250C.182D.1807.在半径为2的球中挖去一个半径为1的同心球,设过球心的截面的面积为,不过球心的任意非圆面的截面的面积为,则
1A.B.C.D.、的大小关系不定8.若A是圆C所在平面内的一定点,Р是圆C上的一动点,线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q,则点Q的轨迹不可能是A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.下列关于函数的结论正确的是A.函数是偶函数B.函数的最大值为2C.函数在单调递增D.函数的最小正周期是10.已知正三棱锥中,为的中点,,,则A.B.C.该三棱锥的体积是D.该三棱锥的外接球的表面积是11.已知直线与:相交于A、B两点,若为钝角三角形,则满足条件的实数a的值可能是A.B.1C.2D.312.设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数,Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数,则A.当时,B.当时,C.当(且)时,D.当(目)时,三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设等差数列的前项和为,,,则的最小值为_________.14.宽与长的比为
2的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中,令人赏心悦目.在黄金矩形中,,,那么的值为_________.15.已知抛物线的焦点为F,过点F的直线与C交于A,B两点,且,则_________.16.2020年底,我国已正式对外宣布,实现了全面脱贫的伟大胜利.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位,制作了一批奖杯,奖杯的剖面图形如图所示,其中扇形的半径为10,,,,则____________(用表示);据调研发现,当OP最长时该奖杯比较美观,此时的值为__________________.四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知数列的前项和,令,.(1)求、的通项公式;(2)数列中去掉数列中的项,剩下的项按原来顺序排成新数列,求的值.18.如图,在平面四边形中,,,,,,求四边形的面积.19.为了解某校学生参加社区服务的情况,采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人,其中男生560人,从全校学生中抽取了容量为n的样本,得到一周参加社区服务时间的统计数据如下:超过1小时不超过1小时男208女12(1)求,;
3(2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关?(3)若以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率,现从该校随机调查60名学生,记一周参加社区服务时间超过1小时的人数为X,求X的数学期望.附:0.0500.0100.0013.8416.63510.82820.如图所示,在三棱柱中,底面是正三角形,侧面是菱形,点在平面的射影为线段的中点,过点,B,D的平面与棱交于点.(1)证明:四边形是矩形;(2)求二面角的余弦值.21.双曲线C的中心在原点O,焦点在轴上,且焦点到其渐近线的距离为⒉(1)求双曲线C的标准方程;(2)过点的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,与其渐近线分别交于M,N(从左至右)两点.(ⅰ)证明:;(ⅱ)是否存在这样的直线,使得,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.22.已知函数(其中是自然对数的底数),曲线在点处的切线方程是.(1)求,;(2)设函数,若在上恒成立,求的取值范围.
4三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体2021年上学期高二期末考试数学参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D2.B3.C【解析】设生物体死亡后,碳14每年衰减为原来的,依题意,有,的;设距今约年,碳14衰减为原来的,结合参考数据:,可得.4.C【解析】利用同角三角函数的基本关系可解得:或,再由二倍角公式得.5.A【解析】由对数运算公式得,,,,易知,故.6.D【解析】因为每个展区至少要派3人,则两个展区中派遣的人数分别为3、5或4、4,又因为3名女志愿者不能单独成一组,则不同的派遣方案种数为.另法:.7.A【解析】设球心到不过球心的任意非圆面的截面的距离为,则该截面的面积,而过球心的截面的面积,故选A.8.D【解析】设圆的半径为,
5(1)若点A在圆C内不同于点C处,如图(1)所示,则有,故点Q的轨迹是以A、C为焦点的椭圆,所以B正确;(2)若点A与C重合,则有,故点Q的轨迹是以C为圆心,为半径的圆,所以A正确;(3)若点A在圆C上,如图(3)所示,则由垂径定理,线段AP的垂直平分线必过点C,故Q与C重合,故点Q的轨迹是一个点;(4)若点A在圆C外,如图(4)所示,则,所以,故点Q的轨迹是以A、C为焦点的双曲线右支,当AP的垂直平分线交CP的延长线于点Q时,Q的轨迹是以A、C为焦点的双曲线左支,所以C正确;故选D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.AC【解析】作出函数的图像如下:由图像易知,选项AC正确.10.ABD【解析】作AC中点,连接PN,BN,则易证平面PBN,所以,又,所以平面,所以,,又三棱锥为正三棱锥,,且
6在中,由勾股定理解得,故三棱锥的体积为,其外接球半径为,外接球表面积为.故选ABD.11.ACD【解析】圆C的圆心为,半径为,由于为等腰三角形,若该三角形为钝角三角形,则,设圆心C到直线l的距离为d,则,则,整理可得,解得,因为直线l不过圆心C,则,解得.所以.故选ACD.12.ACD【解析】对A,当时,,故A正确;对B,当时,∵,则由可得,或,,∴,故B错误对C,当(且)时,则,故C正确;对D,,所以D正确,故选ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【答案】-3【解析】易得,当或3时,14.【答案】115.【答案】【解析】设过的直线方程为,,,则联立方程得
7,,,,,所以,故,16.【答案】,【解析】作交QP于M,交AB于C,且,则,则,.设,作交AB于E,交AB于F,因为,所以,,,所以,所以,即.所以,所以,因为,所以当,即时,最大,故答案为.四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.解:(1)当时,,又也适合上式,所以,..(2)由(Ⅰ)知,所以,.
8由此可知.18.解:设.在中,由正弦定理得,,即,在中,同理有,,即从而有,化简得,因此有,∴.于是知四边形是由边长为2的正和腰长为2,顶角的等腰构成,所以四边形的面积为.解法二:过作,分别交AB、BC于E、F两点,∵,在中,∴,在矩形中,∴,∴,∴是的中点,在,∵,所以为等边三角形,·∴在中,由等面积法可以得到,∴∴19.解:(1)由已知,该校有女生400人,故,得,从而.(2)作出列联表如下:超过1小时的人数不超过1小时的人数合计男20828
9女12820合计321648.所以不能有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关.(3)根据以上数据,学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率,所以,且,.故的数学期望.20.解:(1)连接,.在三棱柱中,侧面为平行四边形,所以.因为平面,平面,所以平面.因为平面,且平面平面,所以,因此.因为点D是AC的中点,所以E为中点,所以,所以四边形为平行四边形.在正中,因为D是AC的中点,所以.由题可知平面,所以,.因为,所以平面,于是,故四边形为矩形.(2)由(1)知,,两两垂直,以,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则.在中,,,所以.于是,,,,,,
10.设平面的法向量为,由得取.设平面的法向量为,由得取.设二面角的大小为,由图知,则.故所求二面角的余弦值为.21.解:(1)设双曲线,易得焦点到渐近线的距离为,故,又,所以,故所求双曲线的方程为.
11(2)(ⅰ)设过点的直线,联立,消去,整理得:,,.设,,,.当时,,即中点横坐标为,当时,,即中点横坐标为,故线段,的中点重合,所以.(ⅱ)由(ⅰ),,,所以,.又,所以,满足,故存在这样的直线.22.解:(1),,.(2),整理得.记,只需.而.令,则,故在单调递增.又,,由零点存在性定理可知,存在唯一,使.当时,,,单调递减;当时,,,单调递增;
12所以.由得,所以,所以,即,故,且,所以,故所求的取值范围.方法二:证明:证明:构造函数,∴,令,所以函数在单调递增,令,所以函数在单调递减.所以函数∴,即∴∴,∵∴∴由在上恒成立,故恒成立.所以,故.