广东省茂名市五校联盟2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题（解析版）

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2022—2023学年度方校联盟高一第一学期期标联考数学试卷本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求对数函数定义域化简集合M，求指数函数值域化简集合N，再利用交集的定义求解作答.【详解】函数有意义，则，即有，函数在R上单调递减，当时，，则，所以.故选：A2.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A.B.C.D.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

1【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式判断单调性，结合最小正周期即可得出结果.【详解】对于A，的最小正周期为，因为，所以，由正弦函数的性质可得在上不单调，故A错误；对于B，的最小正周期为，当时，在上单调递减，故B正确；对于C，的最小正周期为，在上单调递减，故C错误；对于D，的最小正周期为，在上单调递增，故D错误故选:B.3.已知：不等式的解集为，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先计算出不等式的解集为时的取值范围，再根据范围大小即可得出结论.【详解】若不等式的解集为，当时，符合题意；当时，需满足且，解得综合可得而所以p能推出q，q不能推出p，即是的充分不必要条件.故选：A第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

24.已知，，则．A.B.C.D.，【答案】D【解析】【详解】∵，，∴，，∴．故选．5.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69【答案】C【解析】【分析】将代入函数结合求得即可得解.【详解】，所以，则，所以，，解得.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.6.已知实数满足，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

3【分析】根据分数指数幂运算可得可得，再利用指数函数和对函数函数的单调性解不等式即可求得结果.【详解】由，解得；由可得；所以，由可得.综上可知，实数的取值范围是.故选：A7.设，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先化，再分别与进行比较即可.【详解】，故，故.故选：B8.已知函数，若关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围是（）AB.C.D.【答案】C第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

4【解析】【分析】根据函数解析式画出函数的图象，将方程根的个数转化成函数图象交点的个数，再利用一元二次函数根的分布即可求得参数的取值范围.【详解】由函数的解析式画出函数图象如下：若方程有6个不同的实数根，令，结合图象可知与函数的图象有三个交点，则；等价于关于的一元二次方程在上有两个不同的实数根，所以需满足，解得，即的取值范围是.故选：C二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列判断正确的是（）A.B.命题“”的否定是“”C.若，则D.“”是“是第一象限角”的充要条件【答案】AC第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

5【解析】【分析】选项A分类讨论即可，选项B写出全称量词命题的否定，选项C作差法即可，选项D充要条件的判断.【详解】选项A，当时，，当时，，故，所以选项A正确；对于B：命题“”的否定是“，故B错误；选项C，由，因为，所以，所以，故选项C正确，对于D：由，则在第一象限角或第四象限角，故充分性不成立，反之是第一象限角，则，故必要性成立，故“”是“是第一象限角”的必要不充分条件，故选项D错误.故选：.10.已知函数，下列说法错误的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.函数的图象关于原点中心对称D.在上单调递增【答案】BC第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

6【解析】【分析】根据函数的图象性质可知，最小正周期为，可判断A正确；利用整体代换可得对称轴方程为，可知B错误；易知可得C错误；根据正弦函数单调性可知D正确.【详解】对于A：由周期公式可得，故的最小正周期为，故A正确；对于B：整体代换令可得对称轴方程为，因此的图象不关于直线对称，故B错误；对于C：，即为偶函数，不关于原点中心对称，故C错误；对于D：当，此时单调递增，故D正确.故选：BC.11.已知，且，则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式的性质依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，因为，所以，当且仅当时等号成立，故A正确.对选项B，因为，，且，所以.当且仅当，即时等号成立，故B正确.对选项C，，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

7当且仅当时等号成立，故C错误.对选项D，，且，所以，即，当且时等号成立.所以，所以，故D正确.故选：ABD12.对于函数，则下列判断正确的是（）A.在定义域内是奇函数B.，有C.函数的值域为D.对任意且，有【答案】ABD【解析】【分析】根据双勾函数函数的性质可判断A,B,C，作差法比较即可判断D.【详解】对于A,，且定义域为，故为奇函数，故A正确；对于B,在单调递减，故B正确；对于C，当时，当且仅当时取得等号，当时，当且仅当时取得等号，所以的值域为，，故C错误；第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

8对于D，，而，故，故D正确.故选:ABD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.16题第一空2分，第二空3分.13.已知集合，，若，则实数a的值为______.【答案】【解析】【分析】根据子集的定义及集合中元素的互异性求解即可.【详解】因为，所以或，解得或，当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去，当时，满足题意，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查子集定义的应用及集合中元素的互异性，属于基础题.14.已知角的终边过点，则的值为__________.【答案】3【解析】【分析】先利用三角函数的定义求出正切值，然后弦化切求值即可.【详解】因为角的终边过点，设，则由三角函数的定义得：，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

9所以.故答案为：3.15.《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”.若一小城，如下图长方形所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树（注：1里步），则该小城的周长的最小为__________里.【答案】【解析】【分析】设步，步，由相似形把表示为的函数，然后可用表示出周长的函数，再由基本不等式得最小值．【详解】设步，步，由得，即，故小城周长为步里，当且仅当，即时取等号.故答案为.16.我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.已知函数，则该函数图象的对称轴为__________；若该函数有唯一的零点，则__________.【答案】①.②.##【解析】第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

10【分析】根据偶函数的性质，结合函数对称性的性质进行求解即可.【详解】的图象关于轴对称，有唯一的零点，，故.故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（1）求值：；（2）若，求的值；（3）已知，用表示.【答案】（1）18；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据指数运算法则计算；（2）求出，从而得到；（3）利用换底公式及对数运算法则计算出答案.【详解】（1）；（2），，；（3），.18.已知函数.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

11（1）求的值；（2）求的单调增区间；（3）求在区间上的值域.【答案】（1）（2）单调增区间为（3）【解析】【分析】（1）把直接代入即可;（2）由正弦函数性质知在上递增，即可求增区间；（3）应用整体法求的区间，再由正弦函数性质求值域.【小问1详解】【小问2详解】由得，，的单调增区间为.【小问3详解】当时，，，，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

12故在区间上的值域为.19已知函数.（1）是否存在实数使函数为奇函数；（2）探索函数的单调性；（3）在（1）的前提下，若对，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）存在；（2）在上单调递增；（3）.【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质进行判断即可；（2）根据函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断即可；（3）根据函数的单调性和奇偶性进行求解即可.【小问1详解】假设存在实数使函数为奇函数，此时，解得，故存在实数，使函数为奇函数；【小问2详解】函数的定义域为.，且，，即函数在上单调递增；【小问3详解】当时，，奇函数，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

13，又在上单调递增，，，对恒成立，.【点睛】关键点睛：根据奇函数的性质是解题的关键.20.设函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.（1）求与的解析式；（2）若在上的最小值为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性可得出关于、的方程组，即可解得这两个函数的解析式；（2）设，可得，设，分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，结合可求得实数的值.【小问1详解】解：为偶函数，，又为奇函数，，，①，即，②由得：，可得.【小问2详解】解：，所以，，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

14令，因为函数、在上均为增函数，故在上单调递增，则，设，，对称轴，①当时，函数在上为减函数，在上为增函数，则，解得：或（舍）；②当时，在上单调递增，，解得：，不符合题意.综上：.21.已知函数.（1）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；（2）设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据函数零点的定义，利用转化法进行求解即可；（2）把公共点的问题转化为方程的解的问题，结合换元法进行求解即可.【小问1详解】，当时，函数存在零点，即在时有解，设，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

15即，即实数的取值范围为.【小问2详解】若函数与的图象只有一个公共点，则关于的方程只有一解，只有一解，令，得关于的方程有一正数解，①当时，方程的解为，不合题意；②当时，则恒成立，此方程有一正一负根，负根舍去，满足题意；③当时，满足的情况下，因为，同号，所以得满足，只需,且，解得；综上：实数的取值范围为22.已知函数满足如下条件：①对任意；②；③对任意，总有；（1）证明：满足题干条件的函数在上单调递增；（2）（i）证明：对任意的，其中；（ii）证明：对任意的，都有.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

16【答案】（1）证明见解析（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）由，结合已知条件和函数单调性的定义推导即可；（2）令可得，用累乘法即可证明（i）；根据（i）的结论，可得和，结合的范围及函数的单调性即可证明（ii）.【小问1详解】任取，则，则，即，故在上单调递增.【小问2详解】（i）由题意知，对任意，由，令，得，即，故对任意正整数与正数，都有，对任意.（ii）由（i）知：对任意正整数与正数，都有，故对任意正整数与正数，都有，令，则，令，则，对任意，可得，，又，由（1）中已证单调性得：第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

17，，.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

18第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司