河南省许昌市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）Word版含答案

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许昌市2020—2021学年高二第二学期高中期末考试文科数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码粘贴在“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．已知复数满足，则（）A．B．C．D．3．已知，则（）A．B．C．D．4．下表是某产品1~4月份销量（单位：百件）的一组数据，分析后可知，销量与月份（）之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则预测5月份的销量是（）月份1234销量4.5432.5A．B．C．D．5．函数在处的切线方程为，则（）A．10B．20C．30D．406．函数的最小正周期和最小值分别是A．和B．和－2C．和D．和－2

17．若，，，，则，，大小关系正确的是（）A．B．C．D．8．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A．4B．2C．1D．9．已知双曲线的实轴长为，直线与双曲线交于、两点，、两点的横坐标之积为，则离心率=（）A．B．C．D．10．若，则“”的一个充分不必要条件是（）A．B．C．且D．或11．在区间上任取两个数，则这两个数之和小于的概率是（）A．B．C．D．12．数列的首项，且，令，则（）A．2020B．2021C．2022D．2023二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

213．若命题“若，使得”为假命题，则实数的取值范围为______．14．已知两条不重合的直线，和两个不重合的平面，，有下列命题：①若，则；②若，，则；③若，是两条异面直线，，，，，则；④若，，，则其中正确的命题序号是______．15．已知向量，，其中，记，图像关于直线对称，则函数的解析式为______．16．已知抛物线：的焦点为，点、为抛物线上的两个动点，且，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）若求的值；（2）若的平分线交于，且，求的最小值．18．（12分）我市的教育改革轰轰烈烈，走在了全省前列.我市全面推进基础教育三年攻坚，一手抓“项目建设强基础”，一手抓“改革创新破难题”，基础建设、教育质量、师资力量、改革创新、教师待遇等方面取得了长足进步．教育是市民密切关注的热点问题，并且人们对教育都有较高的期望度．某调查机构通过不同途径进行调查，按照随机抽样的方法抽取了210名许昌市民，其中45岁以下的占抽查总人数的.所抽取的210名市民中对教育满意的共130人，其中45岁以上对许昌教育的满意的有50人．（1）请结合独立性检验的思想，完成下列列联表，并分析是否有99.9%的把握认为市民的满意度与年龄分布有关?

345岁以下45岁以上合计满意不满意合计210（2）若按照分层抽样的方法从“感觉不满意”的随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人，求恰有1人是“45岁以上”的概率．附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.（12分）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点为，又，，，点是的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.20．（12分）在中，已知，，交于点，为中点，满足，点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程：（2）过点作直线交曲线于，两点，试问以为直径的圆是否恒过定点？若过定点求出定点，若不过定点说明理由.

421．（12分）已知函数，．（1）若，求的单调区间；（2）若在上恒成立，求的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为的曲线与曲线：（θ为参数）相交于，两点，曲线是以为直径的圆．（1）求曲线的极坐标方程.（2）若过点斜率为的直线与曲线相交于、两点，求线段中点的坐标和线段的长度.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知关于实数的不等式无解，（1）求实数的取值组成的集合．（2）已知，，，，且，，求的最小值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】A

55．【答案】B6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】D9．【答案】D10．【答案】C11．【答案】C【解析】设所取的两个数分别为、，则事件构成的全部区域为，区域是边长为1的正方形区域，事件“这两个数之和小于”构成的区域为，如下图所示：直线交直线于点，区域表示的是图中阴影部分区域．则三角形区域是直角边长为的等腰直角三角形，区域的面积为，因此，事件“这两个数之和小于”的概率为．故选：C．12．【答案】2022【解析】因为，所以所以且，所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列，

6所以，即代入得设数列的前n项和为则则二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【答案】[0，4）14．【答案】②③④15．【答案】；16．【答案】1【解析】如图，过，作准线的垂直，垂足分别为，，设，，则，，是中点，且，，都与准线垂直，则它们平行，因此，，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为1．

7三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．【解析】（1）由正弦定理，得，即；由余弦定理得，又，所以；所以．（2）由题意得，即，所以，即；则，当且仅当，即，时取等号；所以的最小值为9．18．【解析】（1）根据题意，完成列联表得：45岁以下45岁以上合计满意8050130不满意602080合计14070210

8所以没有99.9%的把握认为市民的满意度与年龄分布有关．（2）按照分层抽样可知，45岁以下取3人，记为，，，45岁以上抽取1人，记为，所有基本事件为，，，，，，共6种，其中事件“恰有1人是45岁以上”包含的基本事件为：，，，共3种，故恰有1人是“恰有1人是45岁以上”的概率．19．【解析】（1）证明：在正中，在中，又∵∴∴为的中点∵点是的中点，∴∵平面，∴∵，∴∵，∴即∵，∴平面，∴平面（2）解：设到平面的距离为在中，，∴在中，，∴在中，，，∴，

9又在中，，，，∴由，且，∴，解得∴点到平面的距离为20．【解析】（1）设，，，因为，所以，即，整理得：，即.在中，三顶点不可能共线，所以，故曲线的方程为（2）结论：以为直径的圆经过定点（0，-1）若直线斜率不存在，可得圆：，若直线斜率为0，可得圆：，解得两个圆的公共点为，若直线斜率存在且不为0时，设其方程为，，可得，恒成立，设点，，可得韦达定理：

10即，以为直径的圆经过定点．综上所述，以为直径的圆经过定点21．【解析】（1）若，则，∴∴令，则，∴令，则，的单调递增区间为和，单调递减区间为注意：单调区间两端处取开或者闭均正确.（2）令，，则令，则.∵，∴，∴，∴，

11∴在上单调递减，∴∴，∴在上单调递减，∴，故（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【解析】（1）化为直角坐标方程为①，化为普通方程为②，①②联立得，，所以曲线的普通方程为③.故的极坐标方程为（2）依已知设直线的参数方程为（为参数）（3）并代入③式整理得由于，所以，所以，，，，故的坐标为由的几何意义知．23．【解析】（1）设，

12由于（当且仅当时等号成立），所以函数的最小值为，故只需，所以，（2）由（1）知，所以（当且仅当时取等号）．