湖北省孝感市2022-2023学年高二上学期1月期末考试数学Word版含解析

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湖北省孝感市2022-2023年高二上学期1月期末考试数学试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知空间向量㌳䁩㌳，h㌳㌳若，则()A.hB.h൅C.h൅D.h൅䁩2.设不同的直线䁩h，䁩h൅则“䁩”是“䁩”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.将字母，，分别填入标号为，，的三个方格里，每格填上一个字母，则每个方格的标号与所填的字母均不相同的概率是()䁩A.B.C.D.䁩4.过点㌳，㌳，且圆心在直线h൅䁩上的圆的方程是()A.h䁩൅൅䁩B.h൅䁩൅䁩C.h䁩൅䁩D.h൅䁩൅൅䁩䁩5.已知直三棱柱中，，䁩，，则异面直线与所成角的余弦值为()A.B.C.D.6.已知双曲线的渐近线方程为䁩h，则双曲线的离心率为()A.B.C.或D.或䁩䁩7.在等差数列中，其前项和为，若，，则中最大的是()A.B.C.D.8.法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推h䁩䁩动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中过椭圆൅外的一点作椭䁩䁩

1圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以䁩൅䁩为半径的圆，h䁩䁩䁩䁩这个圆叫做椭圆的蒙日圆若椭圆൅൏൏的蒙日圆为：h൅，过圆上的动点作椭圆的两条切线，分别与圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，则下列结论不正确的是()A.椭圆的离心率为䁩B.到的右焦点的距离的最大值为൅C.若动点在上，记直线，的斜率分别为，䁩，则䁩D.面积的最大值为䁩二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知等差数列为递减数列，且，䁩，则下列结论中正确的有()A.数列的公差为B.൅䁩䁩䁩C.数列是公差为的等差数列D.൅10.已知圆h䁩൅䁩䁩䁩，直线䁩൅h൅൅则下列命题中正确的有()A.直线恒过定点㌳B.圆被轴截得的弦长为C.直线与圆恒相离D.直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为䁩h11.抛物线䁩h的焦点为，直线过点，斜率为，且交抛物线于、两点点在h轴的下方，抛物线的准线为，交于，交于，点㌳，为抛物线上任一点，则下列结论中正确的有()A.若，则B.的最小值为䁩C.若，则䁩D.

212.如图，在正方体体体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是()A.平面体平面体B.平面体C.异面直线与体所成角的取值范围是㌳D.三棱锥体的体积不变第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为，则直线的方程为．14.圆h䁩h൅䁩与圆h䁩൅䁩൅h൅的公切线共有条15.设数列的前项和为，点㌳均在函数h䁩的图象上，则数列的通项公式为．16.已知椭圆和双曲线有共同的焦点、䁩，是它们的一个交点，且cos䁩，记椭圆和双曲线的离心率分别为、䁩，则的最大值为．䁩四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分䁩已知在某次米体能测试中，甲、乙、丙人各自通过测试的概率分别为㌳㌳，且三人是否通过测试互不影响求：人都通过体能测试的概率䁩只有䁩人通过体能测试的概率．18.本小题䁩分

3已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：，䁩൅䁩䁩．求数列的通项公式䁩若数列是等差数列，且，求非零常数．൅19.本小题䁩分已知为过抛物线䁩䁩h的焦点的弦，为的中点，为抛物线的准线，垂直于于，点䁩㌳．求抛物线的方程䁩求的面积为坐标原点20.本小题䁩分已知三棱柱中，，䁩，，．求证：平面平面䁩若，在线段上是否存在一点使平面和平面所成角的余弦值为若存在，确定点的位置若不存在，说明理由．21.本小题䁩分已知圆心在h轴上的圆与直线h൅切于点㌳求圆的标准方程䁩已知䁩㌳，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于h㌳，h䁩㌳䁩求䁩൅䁩的最大值．22.本小题䁩分

4已知点㌳，圆䁩h䁩൅䁩，点在圆䁩上运动，的垂直平分线交䁩于点．求动点的轨迹的方程䁩动点的轨迹与h轴交于，两点在点左侧，直线交轨迹于，两点㌳不在h轴上，直线，的斜率分别为，䁩，且䁩䁩，求证：直线过定点．

5答案和解析1.【答案】【解析】【分析】本题主要考查空间向量平行的坐标运算，属于基础题．【解答】解：根据题意，由，设，即h㌳㌳㌳䁩㌳㌳䁩㌳解可得：，则有h䁩，由此得h൅．䁩2.【答案】【解析】【分析】本题考查了两直线平行的判定，属于基础题．【解答】解：当䁩时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立当䁩时，显然，从而䁩䁩有，即䁩，解得䁩或，但当时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立．3.【答案】【解析】【分析】本题考查古典概率的求解，排列问题，属基础题．【解答】解：将字母，，填入标号为，，的三个方格里有种不同的填法，这种情况发生的可能性是相䁩等的而每个方格的标号与所填的字母均不相同只有两种不同的填法故所求概率．4.【答案】【解析】

6【分析】本题主要考查圆的标准方程的求法，属于基础题．【解答】解：法一设点为圆心．点在直线h൅䁩上，可设点的坐标为㌳䁩．又该圆经过，两点，．䁩൅䁩൅䁩൅䁩൅䁩䁩，解得．圆心坐标为㌳，半径长䁩故所求圆的标准方程为h䁩൅䁩．法二排除法根据圆心在直线h൅䁩上，排除，体根据点㌳在圆上，排除．5.【答案】【解析】【分析】本题考查了异面直线所成角的大小，属于基础题．【解答】解：解法一：如图所示，设、、分别为，和的中点，则、夹角为和夹角或其补角因异面直线所成角为㌳䁩㌳䁩可知，作中点，则为直角三角形䁩䁩䁩䁩，，中，由余弦定理得䁩䁩䁩䁩൅䁩cos൅䁩䁩，，䁩䁩在中，䁩൅䁩䁩

7䁩൅䁩䁩䁩൅䁩䁩䁩在中，由余弦定理得cos䁩䁩䁩䁩䁩䁩䁩䁩又异面直线所成角的范围是㌳䁩，与所成角的余弦值为．解法二：如图所示，补成四棱柱体体，求体即可䁩൅䁩䁩䁩cos，䁩൅体䁩体䁩，体，䁩，体䁩体，䁩䁩cos体．6.【答案】体【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率，属基础题．【解答】解：当双曲线的焦点在h轴上时，离心率൅䁩൅䁩䁩当焦点在轴上时൅䁩．䁩䁩7.【答案】【解析】【分析】本题主要考查等差数列前项和中基本量的运算，及利用二次函数的性质求最值，属于中档题。【解答】

8䁩解：由得䁩，由，得到൏所以൅䁩䁩，从而当时有最大值．8.【答案】体【解析】【分析】本题考查了直线与椭圆的位置关系及其应用，属于中档题．【解答】解：对于由题意可得൅，所以，，正确䁩对于记右焦点为㌳，设h㌳，则䁩h䁩൅䁩h䁩൅h䁩䁩h，䁩䁩而h㌳，䁩൅䁩，从而൅，B正确䁩䁩䁩对于由题意易得为圆的直径，，关于原点对称，从而䁩䁩，正确对于体易得䁩䁩，D错误．9.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列的通项及性质，属中档题．【解答】解：由题意知，䁩൅䁩䁩又䁩，数列为递减数列，，䁩．䁩䁩䁩公差，故A正确䁩䁩又䁩䁩，䁩൅൅，故B正确䁩䁩䁩䁩由上可知䁩，则当䁩时，䁩䁩䁩䁩䁩，当时，，数列是首项为，公差为的等差数列，故C正确，൅൅䁩䁩，故D错误．10.【答案】体

9【解析】【分析】本题主要考查直线过定点问题，直线与圆的位置关系，属于中档题。【解答】解：将直线的方程整理为h൅൅䁩h൅，h൅h由解得䁩h൅则无论为何值，直线过定点体㌳，故A正确令h，则䁩䁩䁩，解得䁩䁩，故圆被轴截得的弦长为，故B不正确因为䁩൅䁩䁩൏䁩，所以点体在圆的内部，直线与圆相交，故C不正确圆心㌳䁩，半径为，体，当截得的弦长最短时，体，体，䁩则直线的斜率为䁩，此时直线的方程为䁩h，即䁩h故D正确．11.【答案】体【解析】【分析】本题考查了直线与抛物线位置关系及其应用，属于中档题．【解答】解：对于设，过做于点，则䁩，，易得，从而A正确对于过、分别作、于点、，则䁩，从而B正确对于易得h൅h൅䁩，C错误䁩h䁩对于体由h得，，൅，从而12.【答案】体【解析】【分析】本题考查空间中线面的位置关系，棱锥体积、异面直线夹角，属较难题．【解答】

10解：对于连接体，因为正方体中，平面体，平面体，所以，又因为体，体，为平面体体内的两条相交直线，所以平面体体，因为体平面体体，所以体，同理可得体体，因为体，为平面体内两条相交直线，可得体平面体，体平面体，从而平面体平面体，故A正确对于连接，，，平面体，平面体，所以平面体，同理平面体，又、为平面内两条相交直线，所以平面平面体，因为平面，所以平面体，故B正确对于因为体，所以与体所成角即为与所成的角，，则为等边三角形，当与线段的两端点重合时，与体所成角取最小值当与线段的中点重合时，与体所成角取最大值䁩，故与体所成角的范围是㌳䁩，故C不正确对于体由选项B得平面体，故上任意一点到平面体的距离均相等，所以以为顶点，平面体为底面，则三棱锥体的体积不变，又体体，所以三棱锥体的体积不变，故D正确．13.【答案】h൅或h【解析】【分析】本题主要考查直线的一般方程的求法，属于基础题。【解答】h解：设直线的方程为൅，，且，，或，，直线䁩hh的方程为൅或，即h൅或h．14.【答案】【解析】【分析】

11本题考查了圆的公共弦、公切线，属于基础题．【解答】解：h䁩h൅䁩h䁩䁩൅䁩䁩䁩，圆心坐标为䁩㌳，半径为䁩h䁩൅䁩൅h൅h൅䁩䁩൅䁩䁩，圆心坐标为䁩㌳，半径为两圆圆心距为，两圆半径和为，因为，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有条．15.【答案】【解析】【分析】本题考查数列中与的关系，属基础题．【解答】䁩解：依题意得，䁩，即䁩．当䁩时，䁩䁩䁩䁩，因为，满足，所以16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查椭圆、双曲线的定义，利用余弦定理求解焦点三角形问题，由基本不等式求最值，属于难题。【解答】解：不妨设为第一象限的点，为左焦点，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为䁩，则根据椭圆及双曲线的定义可得൅䁩䁩，䁩䁩䁩所以൅䁩，䁩䁩，䁩，在中，cos，由余弦定理得䁩䁩䁩䁩䁩䁩൅䁩൅䁩䁩൅cos，化简得䁩൅䁩䁩，即൅．䁩䁩䁩䁩䁩䁩䁩所以䁩൅䁩䁩䁩䁩，从而，当且仅当䁩，䁩时等号成立．䁩䁩䁩䁩

1217.【答案】解：设事件“甲通过体能测试”，事件“乙通过体能测试”，事件“丙通过体能测试”，䁩则，，设表示“甲、乙、丙人都通过体能测试”，即，则由，，相互独立，可得䁩．䁩设䁩表示“只有䁩人通过体能测试”，则䁩൅൅，由于事件与，与，与均相互独立，且事件，，两两互斥，则䁩䁩䁩൅൅൅൅䁩䁩൅൅．䁩【解析】本题考查了相互独立事件的概率的应用，属于基础题．18.【答案】解：设等差数列的公差为，且．൅䁩൅䁩䁩，，，是方程h䁩䁩䁩h൅的两个根又公差，，．൅䁩解得．൅䁩䁩䁩䁩由知，൅䁩䁩，．൅൅൅，䁩൅䁩，൅．是等差数列，䁩䁩൅，䁩䁩൅舍去经检验，符合题意，䁩䁩䁩【解析】本题考查等差数列的通项公式，前项和公式，属中档题．19.【答案】解：依题意准线的方程为h䁩，即䁩，则，䁩抛物线的方程为䁩h䁩设的方程为h൅䁩h൅䁩由䁩得䁩h

13依题意൅䁩则䁩，䁩൅䁩䁩൅䁩䁩൅൅䁩൅䁩䁩䁩到的距离൅䁩，从而得䁩䁩䁩【解析】本题主要考查抛物线的焦点、准线，抛物线的标准方程，抛物线中的弦长公式，求解抛物线中的面积问题，属于中档题。20.【答案】解：证明：在三棱柱中，四边形是平行四边形，而，则平行四边形是菱形，连接，如图，则有，因，，，平面，于是得平面，而平面，则，由，得，，，平面，从而得平面，又平面，所以平面平面．䁩解：在平面内过作，由知平面平面，平面平面，则平面，以为原点，射线，，䁩分别为h，，轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，因，，䁩，则㌳㌳，㌳㌳，㌳䁩㌳，䁩㌳㌳䁩，

14假设在线段上存在符合要求的点，设其坐标为㌳㌳，，则有䁩㌳䁩㌳䁩，㌳䁩㌳，䁩h䁩൅䁩设平面的一个法向量h㌳㌳，则有h䁩䁩令h䁩得䁩㌳㌳，而平面的一个法向量㌳㌳，依题意，cos൏，䁩䁩䁩൅䁩൅䁩化简整理得：䁩൅而，解得，所以在线段上存在一点，且是靠近的四等分点，使平面和平面所成角的余弦值为．【解析】本题考查了面面垂直的证明和直线与平面所成的角的计算，属于中档题．21.【答案】解：由圆心在h轴上的圆与直线h൅切于点㌳，设㌳，直线h൅的斜率为，则，所以．䁩所以，所以㌳，䁩൅䁩，即䁩，所以圆的标准方程为h൅䁩൅䁩．䁩设直线h，与圆联立方程组可得൅䁩h䁩൅䁩h，䁩䁩൅䁩൅，由根与系数的关系得h൅h䁩൅䁩，hh䁩൅䁩，䁩൅䁩h䁩䁩൅䁩൅h䁩䁩䁩൅䁩䁩h䁩䁩൅h䁩൅h䁩䁩䁩൅h䁩䁩䁩䁩䁩䁩൅൅h൅h䁩䁩൅hh䁩൅䁩h൅h䁩൅൅䁩൅，令൅，则，䁩൅所以൅䁩൅൅䁩൅൅䁩൅䁩൅䁩䁩，൅当且仅当，即时取等号，此时，所以䁩൅䁩的最大值为䁩൅䁩䁩．【解析】本题考查直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，属中档题．

1522.【答案】解：依题意得൅䁩䁩䁩䁩，则动点的轨迹是以，䁩为焦点的椭圆，其中䁩，䁩䁩䁩h䁩，，所以动点的轨迹的方程为൅䁩䁩䁩设直线的方程为h൅，h㌳，h䁩㌳䁩，䁩h൅൅䁩䁩൅䁩则由䁩䁩得䁩൅䁩䁩൅䁩൅䁩䁩，由根与系数的关系得䁩䁩h൅䁩䁩൅䁩由题意，两点不在h轴上，所以h䁩，h䁩䁩，䁩，又点䁩㌳，䁩㌳䁩h䁩h䁩所以，䁩，由൅䁩得h൅䁩h䁩䁩䁩h൅䁩䁩h䁩䁩从而由已知䁩䁩得䁩䁩h，即h䁩h䁩䁩䁩䁩䁩又h൅，h䁩䁩൅，将代入得䁩൅䁩൅䁩൅䁩൅䁩䁩将代入上式并整理得䁩൅䁩䁩൅䁩䁩൅䁩䁩䁩൅䁩．䁩䁩൅൅䁩൅䁩൅䁩䁩൅䁩，整理得൅䁩䁩䁩䁩，故直线恒过定点㌳【解析】本题主要考查椭圆中的轨迹问题，直线与圆的位置关系，直线过定点问题，属于较难题。

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