重庆市云阳高级中学校2022-2023学年高一上学期第三次质量检测数学Word版含答案

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重庆市云阳高级中学2022—2023学年度高一第一学期第三次质量检测数学试题满分:150分一、单项选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.cos7π6=（）A.12B.−12C.32D.−322.设全集U=N∗,集合A={2,3,4,6,9},集合B=x∣x>4,x∈N∗,则图中阴影部分所表示的集合是（）A.{6,9}B.{2,3}C.{2,3,4}D.{x∣2≤x≤4}3.若cosα+π6=45,则sinπ3−α=（）A.45B.35C.−35D.−454.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“不返家乡”是“不破楼兰”的（）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要5.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0),对于任意x∈R,都满足fπ3−x=fπ3+x,若函数g(x)=sin(ωx+φ)−2,则gπ3=（）A.12B.1C.−2D.−5或36.已知函数y=xa,y=bx,y=logcx的图象如图所示,则（）

1A.c−2lgb,则（）A.1a<1bB.bab−1aD.12a−b<110.已知函数f(x)=2sin2x−π4+1,下列选项中正确的是（）A.f(x)的最小值为−2B.f(x)在0,π4上单调递增C.f(x)的图象关于点π8,0中心对称D.f(x)在π4,π2上值域为[2+1,3]11.已知函数f(x)=lnx2−bx−b+1,列说法正确的有（）A.当b=0时,函数f(x)的定义域为RB.当b=0时,函数f(x)的值域为RC.函数f(x)有最小值的充要条件为:b2+4b−4<0D.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数b的取值范围是(−∞,4]12.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x都有f(x+3)=−f(x),且f(5)=−2,对任意的x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,fx1−fx2x1−x2>0恒成立,则（）A.函数f(x)是周期为6的周期函数B.f(29)=−2C.f(x)在[8,10]上是减函数D.方程f(x)+2=0在(−7,7)上有4个实根

2三填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）．13若f(x)是R上的偶函数,且在0,12上单调递减,则函数f(x)的解析式可以为f(x)=______.(写出符合条件的一个即可)14函数y=loga(2x−3)+8的图像恒过定点A,且点A在幂函数f(x)的图像上,则f(5)=______.15如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧AD的长度是l1,弧BC的长度是l2,几何图形ABCD面积为S1,扇形BOC面积为S2,若l1l2=3,则S1S2=______.16若实数x,m满足00,m−2x>0,∴x(m−2x)m=2x(m−2x)2m≤2x+(m−2x)222m=m8,当且仅当x=m4时,等号成立.这样得到x(m−2x)m的最大值为m8;类比上面的解题原理,我们可以解决下面的问题:若α为锐角,则函数y=cosα(1−cosα)(cosα+1)2得最大值为______，当且仅当cosα=______时,等号成立.四．解答题（本题共6道小题，共70分，写出必要的文字说明与演算步骤）17.（本题满分10分）已知集合A=x∣12≤2x−4≤4,集合B=x∣log3(1+2x)>2.(1)求A∪B;(2)已知,C=x∣x2−2mx+(m−1)(m+1)≤0，若x∈C是x∈B的充分不必要条件,求实数m的取值范围.18（本题满分12分）(1)计算:827−23−2e0+lg2−2+lg5−2+log34×log49.(2)已知f(θ)=cosπ2+θ∙sin(−θ)tan(π+θ).若θ∈(0,π),且f(θ)=−1225,求cosθ−sinθ的值.19.（本题满分12分）已知函数f(x)=sinπ6−2x−12,g(x)=2cos2x+π6−2−m,(1)求函数f(x)的单调递减区间;

3(2)求函数g(x)的最大值、最小值及对应的x值的集合;(3)若对任意x1∈−π6,π3,存在x2∈−π6,π3,使得fx1=gx2,求实数m的取值范围.20.（本题满分12分）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为T0,那么经过t分钟后,温度T满足T−Ta=12tℎT0−Ta,其中Ta为室温,ℎ为半衰期.为模拟观察空调的降温效果,小明把一杯75∘C的茶水放在25∘C的房间,10分钟后茶水降温至50∘C.(参考数据:lg2≈0.30,lg3≈0.48)(1)若欲将这杯茶水继续降温至35∘C,大约还需要多少分钟?（保留整数）(2)为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x千台空调,需另投入成本f(x)万元,且f(x)=4x2+60x,01时,f(x)<0,请解答以下问题:(1)证明函数f(x)为偶函数;(2)判定函数f(x)的单调性并加以证明;(3)若f(16)=−4,解不等式|f(x)|+f(2)>2.22.（本题满分12分）已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2,若对任意的x0∈D1都存在n个不同的实数x1,x2,x3,⋯xn∈D2,使得gxi=fx0(其中i=1,2,3,⋯n,n∈N+),则称g(x)为f(x)的“n重等值函数”.(1)试判断g(x)=|x|(−2≤x≤2)是否为f(x)=1+sinx(x∈R)的“2重等值函数”?请说明理由;(2)求证:g(x)=cosx(01为f(x)=log122x−12x+1的“2重等值函数”,求实数a的取值范围.参考答案及解析一、单项选择题（

4本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.【答案】D【解析】根据诱导公式可知cos7π6=cosπ+π6,进而求得答案.cos7π6=cosπ+π6=−cosπ6=−32.故选D.2.【答案】C【解析】根据Venn图表示的集合计算．因为全集U=N∗,所以∁UB=x∣x≤4,x∈N∗={1,2,3,4},所以图中阴影部分表示A∩CUB={2,3,4}.故选:C.3.【答案】A【解析】利用诱导公式进行变形，即可求解.因为sinπ3−α=sinπ2−α+π6=cosα+π6=45,故选:A.4.【答案】A【解析】先阅读理解题意，再利用充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.由题意知，“不破楼兰”则可推得“不返家乡”，即必要条件成立，反之“不返家乡”不一定是“不破楼兰”，即充分条件不成立，故“不返家乡”是“不破楼兰”的必要不充分条件.故选：A.5.【答案】C【解析】根据函数对称轴的定义得到函数f(x)的一条对称轴方程为x=π3,结合余弦函数的图像与性质得到ω×π3+φ=kπ,k∈Z,利用诱导公式即可化简gπ3,从而得出其值.因为任意x∈R,都满足fπ3−x=fπ3+x,所以函数f(x)的一条对称轴方程为x=π3,即ω×π3+φ=kπ,k∈Z;又函数g(x)=sin(ωx+φ)−2,则gπ3=sinω×π3+φ−2=sin(kπ)−2=−2(k∈Z),故选：C.6.【答案】C【解析】由幂函数、指数函数、对数函数性质确定函数图象对应的函数式,确定a,b,c的范围后,再确定lgb,c−2,12a的范围,从而得它们的大小关系.由图象知最上方的图象是y=xa的图象,过(0,1)点的是y=bx的图象,过(1,0)点的是y=logcx的图象,因此a<0,01,lgb<0,01,即lgb

5由题意,v=7.9,ω=5代入v=ωln1+mM可得7.9=5ln1+mM⇒ln1+mM=1.58故1+mM=e1.58∴mM=e1.58−1故选：A8.【答案】D【解析】利用赋值法及条件可得f(x)=x2+x−2,则当x∈0,12时,x2+x1时,logax<0,不成立,当0lgb,可得a>b>0;对A:因为a>b>0,则1a<1b,A正确;对B:因为b+1a+1−ba=ab+a−(ab+b)a(a+1)=a−ba(a+1),因为a>b>0,故a−ba(a+1)>0,即b+1a+1>ba,B正确;对C:当a=1,b=12时,满足a>b>0,但a−1b=−1,b−1a=−12,不满足a−1b>b−1a,C错误;对D:y=12x是R上的单调减函数,又a−b>0,故12a−b<120=1,D正确;故选：ABD.

610.【答案】BD【解析】A选项,利用整体法,结合函数图象得到f(x)的最小值为−1,A错误;B选项,求出2x−π4∈−π4,π4,从而确定B正确;C选项,将x=π8代入,可得到f(x)的图象关于点π8,1中心对称,C错误;D选项,x∈π4,π2时,2x−π4∈π4,3π4,求出f(x)的最大值和最小值,确定值域.当2x−π4=2kπ−π2,k∈Z,即x=kπ−π8,k∈Z时,f(x)=2sin2x−π4+1取得最小值,最小值为−2+1=−1,A错误;当x∈0,π4时,2x−π4∈−π4,π4,故y=sin2x−π4在x∈0,π4上单调递增,则f(x)=2sin2x−π4+1在x∈0,π4上单调递增,故B正确;当x=π8时,fπ8=2sin2×π8−π4+1=1,故f(x)的图象关于点π8,1中心对称,C错误;x∈π4,π2时,2x−π4∈π4,3π4,当2x−π4=π4或3π4,即x=π4或π2时,f(x)=2sin2x−π4+1取得最小值,最小值为2×22+1=2+1,当2x−π4=π2,即x=3π8时,f(x)=2sin2x−π4+1取得最大值,最大值为2×1+1=3,故值域为[2+1,3],D正确.故选：BD11.【答案】AC【解析】对于AB,当b=0时,直接求解函数的定义域和值域即可,对于C,换元后,只要−b2+4b−44>0即可,对于D,换元后利用复合函数求单调性的方法求解即可.对于A,当b=0时,x2+1>0恒成立,所以函数f(x)的定义域为R,所以A正确,对于B,当b=0时,f(x)=lnx2+1,因为x2+1≥1,所以lnx2+1≥ln1=0,所以函数的值域为[0,+∞),所以B错误,对于C,令t=x2−bx−b+1=x−b22−b2+4b−44,则tmin=−b2+4b−44,当−b2+4b−44>0,即b2+4b−4<0时,f(x)一定有最小值,反之也成立,所以C正确,对于D,令t=x2−bx−b+1=x−b22−b2+4b−44,则y=lnt,当f(x)在区间[2,+∞)上单调递增时,b2≤24−2b−b+1>0,解得b<53,所以D错误,故选：AC

712.【答案】ABD【解析】根据f(x+3)=−f(x),求出周期即可判断A;根据f(5)=−2,结合周期即可判断B;根据定义法证明单调性,结合周期即可判断C;根据f(±1)=−2,f(±5)=−2,结合方程的根,即可判断D.由f(x+3)=−f(x),可得f(x+6)=−f(x+3)=f(x),所以函数f(x)是周期为6的周期函数,所以A正确;因为f(5)=−2,可得f(29)=f(4×6+5)=f(5)=−2,所以B正确;因为对任意的x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,fx1−fx2x1−x2>0恒成立,所以函数f(x)在[0,3]上为单调递增函数,又由函数f(x)为偶函数,所以[−3，0]上为单调递减函数,所以函数在[6,9]上单调递增,在区间[9，12]上单调递减,所以函数f(x)在区间[8,10]先增后减,所以C不正确;由f(5)=−2,可得f(−1+6)=−2,所以f(±1)=−2,f(±5)=−2,可得在区间(−7,7)内,方程f(x)+2=0的实根为x=±1,x=±5,故f(x)+2=0在(−7,7)上有4个实根,故选：ABD．三填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）．13【答案】−x2(答案不唯一)【解析】根据奇偶函数与增减函数的定义直接得出结果.【详解】若f(x)=−x2,则f(−x)=−(−x)2=−x2=f(x),故f(x)为偶函数,且易知f(x)在(0,+∞)上单调递减,故f(x)在0,12上单调递减,符合条件.故答案为:−x2.14【答案】125【解析】由loga1=0得2x−3=1,求出x的值以及y的值,得到定点的坐标.再设出幂函数的表达式，利用点在幂函数的图像上，求出幂函数的表达式即可得出答案．【详解】函数y=loga(2x−3)+8,由loga1=0,∴当2x−3=1,即x=2时,y=8,∴点A的坐标是(2,8).幂函数f(x)=xα的图像过点A(2,8),所以8=2α,解得α=3;所以幂函数为f(x)=x3,则f(5)=53=125.故答案为:12515【答案】8【解析】由弧长比可得|OA|=3|OB|,结合扇形面积公式得答案.【详解】因为l1l2=3,所以|OA||OB|=3,又因为S扇形AOD=12lR=12l1∙|OA|,S扇形BOC=12lR=12l2∙|OB|,所以S扇形AODS扇形BOC=l1∙|OA|l2∙|OB|=9,所以S扇形ABCDS扇形BOC=8.16【答案】1813【解析】根据题中所给例题求解过程进行类比求解即可.因为α为锐角,所以00,1−cosα>0,所以y=cosα(1−cosα)(cosα+1)2=2cosα(1−cosα)2(cosα+1)2≤2cosα+(1−cosα)222(cosα+1)2=18,当且仅当2cosα=1−cosα,即cosα=13时等号成立.故答案为:18;13四．解答题（本题共6道小题，共70分，写出必要的文字说明与演算步骤）

817.【解析】(1)由12≤2x−4≤4得3≤x≤6则A={x∣3≤x≤6},由log3(1+2x)>2得x>4则B={x∣x>4},所以A∪B={x∣x≥3};(2)={x∣m−1≤x≤m+1},因为x∈C是x∈B的充分不必要条件所以C是B的真子集,所以m−1>4,即m>5.18.【解析】(1)解:由题知f(θ)=cosπ2+θ∙sin(−θ)tan(π+θ)=−sinθ∙(−sinθ)tanθ=sinθcosθ,∴fπ3=sinπ3∙cosπ3=34(2)∵f(θ)=−1225,θ∈(0,π),∴sinθcosθ=−1225,且sinθ>0,cosθ<0,∴cosθ−sinθ<0∴cosθ−sinθ=−(cosθ−sinθ)2=−1−2sinθcosθ=−1+2425=−75,故cosθ−sinθ=−75.19.【解析】(1)2kπ−π2≤π6−2x≤2kπ+π2,k∈Z,解不等式得:x∈kπ−π6,kπ+π3,k∈Z,所以函数的单调递减区间为kπ−π6,kπ+π3,k∈Z.(2)2x+π6=2kπ,即x=kπ−π12,k∈Z时,g(x)max=−m,2x+π6=2kπ+π,即x=kπ+5π12,k∈Z时,g(x)min=−m−4；(3)x1∈−π6,π3时,−π2≤π6−2x1≤π2,−32≤fx1≤12,x2∈−π6,π3时,2x2+π6∈−π6,5π6,gx2∈[−m−2−3,−m],要使得fx1=gx2,只需−m≥12−m−2−3≤−32，∴m∈−12−3,−12.20.【解析】(1)由题意可得50−25=1210ℎ×(75−25),解得ℎ=10.设经过t分钟,这杯茶水降温至35∘C,则35−25=12t10×(50−25),解得t=10log25−10=10×1lg2−2≈13（分钟）.

9故欲将这杯茶水降温至35∘C,大约还需要13分钟.(2)设2022年该企业该型号的变频空调的利润为W(x),当03380,所以当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.21.【解析】(1)由于对定义域内任意x1,x2,都有fx1x2=fx1+fx2,取x1=x2=1,则f(1)=2f(1)⇒f(1)=0,取x1=x2=−1,则f(1)=2f(−1)⇒f(−1)=0,取x1=x,x2=−1,则f(−x)=f(x)+f(−1)=f(x),所以f(x)是偶函数;(2)f(x)在(−∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.证明如下:令01,由x>1时f(x)<0得fx2x1<0,∵fx2=fx1∙x2x1=fx1+fx2x1⇒fx2−fx1=fx2x1<0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减;由f(x)为偶函数,所以f(x)在(−∞,0)上单调递增;(3)∵f(16)=2f(4)=−4⇒f(4)=−2,f(1)=f(4)+f14=0⇒f14=2.由f(1)=0且f(x)在(0,+∞)上单调递减;当x>1时,原不等式可化为:−f(x)+f(2)>f14⇒f(2)>f14+f(x)=fx4,则x4>2得x>8;当0f14,即f(2x)>f14⇒2x<14,得0

10当x=3π2时,f3π2=1+sin3π2=0,当g(x)=|x|=0时,解得x=0,所以g(x)不是f(x)的“2重等值函数”;(2)证明:因为2x>0,所以2x+1>1⇒12x+1<1⇒22x+1<2,又因为f(x)=2x−12x+1=1−22x+1>1−2=−1,又因为2x−1<2x+1,所以f(x)=2x−12x+1<1,所以−1

11∵2x>1,∴2x+1>2⇒12x+1<12⇒0<22x+1<1,所以0<1−22x+1<1,所以f(x)=log122x−12x+1∈(0,+∞),即gxi=fx0=log121−22x0+1∈(0,+∞),即对任意k>0,g(x)=k有2个实根,当x>1时,g(x)=log2x=k已有一个根,故只需x≤1时,g(x)=k仅有1个根,当a=0时,g(x)=−3x+1,符合题意,当a>0时,则需满足g(1)=2+2a−3+1≤0,解得00,g(x)=k仅有1个根,故不成立.综上,实数a的取值范围是0,23.