极限的运算法则

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极限的运算法则目的要求1.掌握数列极限与函数极限的运算法则。2.能运用极限的运算法则，求出较复杂的函数和数列的极限。3.让学生体验“化归”、“类比”的数学思想方法。内容分析1.简单的函数极限可以从函数值的变化趋势中找出，但较为复杂的函数极限，就必须把它“化归”为简单的函数的极限，通过运算而得出。因此，极限的运算法则是我们实现化繁为简的基本手段。2.教科书中给出了x®x时，函数f（x）极限的四则运算法则，我们类似地可以给0出当x→∞时，函数f(x)极限的运算法则，即如果极限limf(x)与limg(x)都存在，那么x®¥x®¥±×f(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)，（当x→∞时）的极限也存在，并且g(x)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)，x®¥x®¥x®¥lim[f(x)×g(x)]=limf(x)×limg(x)，x®¥x®¥x®¥f(x)limf(x)lim=x®¥(limg(x)¹0)。x®¥g(x)limg(x)x®¥x®¥这些法则，可用类比的方法，直接改变式中的x®x为x→∞而得出，以便学生理解0记忆。3.对于函数极限的运算法则，教科书只给出结论，不要求证明。4.在上一节课中，已经给学生讲述了数列与函数的关系，即把数列看成是特殊的函数，根据演绎推理，很自然地得出数列的极限运算法则。进一步地令bn=C（C为常数），则可推得：lim(C×an®¥n)=C×lima。n®¥n5.极限运算法则可以推广到有限多个数列的情况，让学生感受数学思维的一般规律，养成从特殊到一般，从具体到抽象的归纳思维习惯。

11.教科书中的例1~例5，共包含了x®x0与x→∞两类极限的计算问题。其中，x®x0的函数f（x）的极限计算时，分f(x)在x=x0处有定义和无定义的两种（例1、例2是有定

2义的；例3是无定义的），另一类x→∞时的函数极限也有两种；一种是每项的极限都存在，可以直接用运算法则而求出的，另一种必须对原来的函数进行恒等变形转化为第一种（例4、例5）。无论是哪一种，它都体现了一种化繁为简，化难为易的基本思想。教学过程1.导入新课3x2+x-1①提出问题：函数f(x)=，当x→∞时，你能否直接看出函数值的变化趋x2+1势？②接着提问：怎么办？怎样才能把问题转化为已知能求的函数极限？转化的数学方法与依据是什么？③导出课题：极限的运算法则。2.给出x®x的极限运算法则0①用多媒体展示法则的表达式与文字叙述。②强调法则运用的条件：limf(x)、limg(x)都必须存在。x®xx®x00③当C为常数、n是正整数时，从第二个式子推出：lim[C×f(x)]=C×limf(x)x®x0x®x0lim[f(x)]n=[limf(x)]nx®x0x®x03.把展示出来的法则的表达式中的x®x用x→∞替换，并指出式子仍然成立（用多0媒体手段直接在原式上更换）4.分析讲解例题例1与例2是同一种类型，当x=x时，f(x)有定义，学生比较容易掌握。例3中的f(x)0在x=x处无定义，必须通过代数变形才能达到目的。例4、例5都是当x→∞时，分子、0分母都没有极限的情况，不能直接运用运算法则，只有帮助学生寻找代数变形的规律与方法，化未知为已知，创造运用法则的条件，才能解决问题。5.利用数列与函数的关系，直接推出数列极限的运算法则（用多媒体技术，直接把表

3达式中的f(x)、g(x)分别改成a、bnn把x→∞改成n→∞）1.提出问题：能否把法则推广到有限多个数列的情况？如果有无限多个数列，法则是否仍然成立？

4n®¥nn让学生对上述问题进行讨论，并各举实例，如lim(1+L+1)的极限情况研究。14243n个1.课堂训练①学生板演例6、例7、例8。②学生口答P52③学生笔算P53练习。练习。2.归纳总结（学生回答下列问题）①概述极限的运算法则。②数列的极限计算分几类？具体解决问题的方法如何？③函数的极限计算分哪几类？如何解决？布置作业教科书习题2.2第3题、第6题、第7题。思考题：求下列式子的极限。axn+axn-1+L+ax+a（1）limpn-110(nÎN*,a¹0,b¹0)x®¥bxn+bxn-1+L+bx+bnnpn-110ans+ans-1+L+an+a（2）limss-110(a¹0,b¹0,s,tÎN*)Ln®¥bnt-bnt-1++bn+bsttt-110