考研高数上册(李正元)

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极限常见的函数形式（初等函数、分段函数、隐函数,由参数方程确定的、由变隔积分确定的、由级数确定的）［岸常见的函数鲁函数、奇偶函数、周期函数、邂国-复合函数与反函数二、重点考核点这部分的重点是：①掌握求极限的各种方法.1-连续函数的性质q连续性（初等函数连续性，连续函数运算性质，按定义）判断连续性与间断点类型的方法「定义与性质，判别极限存在与不存在的方法（洛必达法则，阶的运算性质，泰勒公式）无穷小阶的比较与确定无穷小的阶的方法连续与间断的定义L直接用运算法则（四则运算，幕指数运算，代入法）一极限一」其他未定式（转化为t2项和的数列I（恒等变形,夹逼法，化为定积分，级数求和）T%项积的数列I（恒等变形,转化为«项和）T一般情版（转化为函数极限，恒等变形，夹逼法）「概念与性质（高阶、低价、同阶、阶数）“9”型或“巴”型）0oo“9”型或“巴”型（恒等变形相消后代入，洛0oo必达法则，变量替换与重要极限，泰勒公式，等价无穷小因子替换）T递归数列（=/*.））第一讲极限、无穷小与连续性一、知识网络图--无穷小

1②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法.③判断函数是否连续及确定间断点的类型(本质上是求极限).④复合函数、分段函数及函数记号的运算.§1极限的重要性质1.不等式性质设limx“=A,limy“=8,且A>B,则存在自然数N,使得当">N时有x“>y”.设limx“=A,limy“=8,且存在自然数N,当">N时有x“Ny“，则n—>oon—>oo作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设limx“=A,且A>0,则存在自然数N,使〃一►00得当〃>N时有x.>0.设limx“=4,且存在自然数N,当n>N时有x“20,则A20.〃T8对各种函数极限有类似的性质.例如：设lim/(x)=A,limg(x)=3,且A>8,则存在X->XqX—>Xq0,使得当0<上一玉)|v6有/(%)>g(x).设lim/(x)=4,limg(x)=3,且存在8>0,使得XT/XT"当00,使得Ix“I(〃=1,2,3,•••).“T8设lim/(x)=A,则函数/(x)在x=xo的某空心邻域中有界，即存在8>0和用>0,使得XT*。当00,彳蜘0<,一人|<5时|g(x)|

2则lim[/(x)4-g(x)]=oo.XT。设口111/(幻=00,当犬一网时Ig(x)I局部有正下界，(即＞0方＞0使得0＜|x一向XfX。V6时|g(x)I2b>0),则lim[/(x)g(x)]=oo.X-^Xn3°设limf(x)=oo,limg(x)=oo,•f悔则lim(/(x)g(x))=8,又三8>0使得0<|xXTX0即IVb时f(x)g(x)>0,贝ijlim[/(x)+g(x)]=oo.x»04°设limf(x)=O,x-^xq时g(x)局部有界，则lim(/(x)g(x))=O(无穷小量与有界1孙变量之积为无穷小.)2.幕指函数的极限及其推广设lim/(x)=4＞0,limg(x)=8则limf(x)sM=AB.XT/(limf(x)E)=limes,x,ln/X0X»0limg(x)

3f(x)e…=*"=4)只要设lim〃x),limg(x)存在或是无穷大量，上面的结果可以推广到除“广”，“0°”及“8。”X—X—>10三种未定式以外的各种情形.这是因为仅在这三个情况下limg(x)In/(x)是“0・型未定*-＞工0式.1°设limf(x)=0(00),limg(x)=8W0,则AX。lim/(x)s(x)=XTR(8>0)+00(8<0)2。设lim/(x)=A>0,A#l,limg(x)=+贝Ulimf(x)g(x)=XTX。I*。XT7)0(0<41)3。设lim/(x)=+8,limg(x)=8wO,则limf(x)8(x)=XTXoXTX。+00(BVO)(B>0)【例1】设lim/^1%g(x)=A,又limg(x)=0,贝ljlimf(x)=XT.%

4【分析】limf(x)=•g(x))=Ax0=0.XT与XTXOg(X)【例2】设{册},{/?„},{c“}均为非负数列，且lima〃=0,lim/?n=1,limcn=8,则必有n—rt—>oon—>+oo(A)即Vb“对任意鹿成立.(B)bnao(D)lim力〃c〃不存在.n—>oo用相消法求9或2型极限000.八,V1+tanx-V1+sinx【例1】求/=hmI。x(l-cosx)【解】作恒等变形，分子、分母同乘Jl+tanx+Jl+sinx得,tanx-sinxI=hm/——/x(l-cosx)vl+tanx++sinx「tanx(l—cosx)1limlim］:/xf°x(l-cosx)J)Jl+tanx+Jl+sinx=1.1=122

5r/El-t-»1->/4x~+X—1+X+1［例2］求/=hm-——/——-00JY+sEx【解】作恒等变形，分子、分母同除肝;一式尤V0)得

61。Ji।sinxVi+o利用洛必达法则求极限【例1】设/(x)在x=0有连续导数，又/=limf^^+^^]=2“T0(XXJ求/(0)与/(。).2sinx+x2cos-【例2】求lim匕1。(l+cosx)ln(l+x)【例3】求/=limx->0(l+x)x-e_x〜sinxp-e【例4】求/=lim^~~--x-sinx

7

8sinx+,求lim/(x).xtO]_2+ex【例1】设/(X)—yl+ex（-1）"【例2】求/=limnT+ool利用函数极限求数列极限【例1】求/=lim—【例2】求/=lim(zitan—.n—>+cc〃1tan—I=lime"n—>+oo转化为求

9tanl/1/]ntanxlimInnZ=lim—/1xtO%〜/n2tanx]=lim^--(等价无穷小因子替换)，余下同前.§3无穷小和它的阶1.无穷小、极限、无穷大及其联系(1)无穷小与无穷大的定义(2)极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系lim/(x)=A<=>/(x)=A+a(x)Xf与其中lima(x)=0(f(x)=A+o(l),x—>x0).o(1)表示无穷小量.在同一个极限过程中，“是无穷小量(“WO)=1是无穷大量.反之若“是无穷大量，则!uu是无穷小量.2.无穷小阶的概念(I)定义同一极限过程中，a(x),p(x)为无穷小，7*0为有限数，称改为同跃菰穷小/=1时，称蚓为等村而穷小，记为设lim"')=/外广=/w0,a(x)(x-x0)称xf%)时R(x)是(x-x0)的k阶无穷小.(2)重要的等价无穷小X-*0时sinx〜式，tanx〜x,In(1+x)〜x,er-1-x；a~\-xlntz,arcsinxx,arctanx-x；(1+%)"-1〜or,1-cosx〜—x2.

10(3)等价无穷小的重要性质在同•个极限过程中1。若1~夕，p-y=>a-y.2°a~poa=p+o(夕)3。在求“9”型与“0・8”型极限过程中等价无穷小因子可以替换047V1(2+C0SX).【例1】求/=hm—-12。/I3【例2】设lim血"=5,则lim绰=.XTO3*-1XT。XL【分析】由已知条件及lim(3X-l)=0nlimln(l+&D)=0=>lim42=0.又在io1。sin2x1。sin2xx=0某空心邻域F(x)0),又3"—l~xln3.于是sin2xsin2x2xvf(x)/2xr/(x)...f(x)ini,hm=limJ=5=>lim=10In3.ioxln3302x~In3刀一°r【例3】设xf。时区刀)，爪x)分别是x—。的〃阶与〃邛介无穷小，又lim/?(x)=A工0,x—>a则Xf4时(1)a(x)h(x)是x—〃的阶无穷小.(2)a(x)/3(x)是x—〃的阶无穷小.(3)n

11【例4】设/(x)连续，入f〃时f(x)是X—。的〃阶无穷小,求证：£f⑴dt是“一q的〃+1阶无穷小.【例5】xf0时，是x的阶无穷小；疗-丘是x的阶无穷\+x2.3小；S1U•是X的阶无穷小，「sin产力是X的阶无穷小.ln(l+x)」＞【例6】工一0时，下列无穷小中()比其他三个的阶高,(A)x2(B)1—cosx(C)-\j\—X2—1(D)x-taar【例7】当尢■*0时，f(x)=「"sin/力与g(x)=x3+/比较是()的无穷小.(A)等价(B)同阶非等价(C)高阶(D)低阶

12§4连续性及其判断1.连续性概念(1)连续的定义：函数f(x)满足lim/(x)=/(X。)，贝标/(X)在点x=xo处连续;y1(x)满足lim/(x)=/(x0)(或limf(x)=/(x0)),则称/(x)在x=xo处右(或左)连续.*»0一若/(x)在(a,b)内每一点连续，则称/(x)在(a,b)内连续；若/(x)在(a,b)内连续，且在x=a处右连续，在点x=b处左连续，则称/(x)在［a,回上连续.(2)单双侧连续性f(X)在X=XO处连续<=>/(X)在X=XO处既左连续，又右连续.(3)间断点的分类：设/(X)在点X=Xo的某一空心邻域内有定义，且沏是/(X)的间断点.若/(x)在点x=xo处的左、右极限/(xo-O)与/(xo+O)存在并相等，但不等于函数值f(xo)或/(X)在X0无定义，则称点X0是可去间断点；若/(X)在点X=X0处的左、右极限/(xo-0)与f(xo+0)存在但不等，则称点即是跳跃间断点：它们统称为第一类间断点.若f(X)在点X=X0处的左、右极限f(xo-0)与f(xo+0)至少有一个不存在，则称点Xo为第二类间断点.2.函数连续性与间断点类型的判断：若f(x)为初等函数，则/(X)在其定义域区间D上连续，即当开区间(a,6)uD,则/(x)在(a,b)内连续；当闭区间［c,d］uD,则f(x)在匕，田上连续.若/(x)是非初等函数或不清楚它是否为初等函数，则用连续的定义和连续性运算法则(四则运算，反函数运算与复合运算)来判断.当f(x)为分段函数时，在其分界点处则需按定义或分别判断左、右连续性.判断了(X)的间断点的类型，就是求极限limf(x).x->xo±03.有界闭区间［a,加上连续函数的性质：最大值和最小值定理：设f(x)在闭区间［a,句上连续，则存在4和〃e［a,b］,使得/(O可(x)可(7),有界性定理：设f(x)在闭区间［a,句上连续，则存在M>0,使得If(x)I这M,介值定理：设函数/(x)在闭区间［a,句上连续，且/(a)壬/•"),则对/(a)与/(b)之间的任意一个数c,在(a,b)内至少存在一点&,使得f(4)=c推论1(零值定理)：设/(x)在闭区间［a,切上连续，且/(a)/(b)<0,则在(a,b)内至少存在一点使得f(q)=0推论2：设/(x)在闭区间［a,句上连续，且机和M分别是f(x)在［a,句上最小值和最大值，若则/(x)在［a,句上的值域为［m,M］.

13［例1］函数/(x)=।"si/*—2］在下列哪个区间内有界.jc(x-1)(x-2)2(A)F1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).【分析一】这里二有界.只须考察g(x)=—(±2),)是初等函数，它在定义Ixl(x-l)(x-2)2域(x#l,xH2)上连续，有界闭区间上连续函数有界，［-1,0］u定义域，g(x)在［-1,0］有界，选(A).【分析二】设〃(%)定义在(a,b)上，若lim〃(无)=oo或limh(x)=oo,则〃(x)在(〃,x—>a+0x—>fe-0b)因lim/(x)=oo,lim/(x)=oo=>f(x)在(0,1),(1,2),(2,3)选(A).x-Mx-»2rrfx，XW2Y~Y<1【例2】设/(x)=(，g(x)=2(x—1)2VxW5I-XX>1-L,i[x+35l)[%2(x<1)=/(g(x))=<1—X(Kx<2)11—2(x—1)(2/(g(x))在x=2或5连续.x=1时lim/(g(x))=lim(1-x)=0x->l+0x->l+0limf(g(x))=limx2=1x->l-0x->l-0=>x=\是/(g(x))的第一类间断点(跳跃间断点).【分析与解法2］不必求出/(g(x))的表达式.g(x)的表达式中，x=2或5处可添加等号，左、右连接起来=g(x)在(-8,+OO)处处连续.u=g(x)=lox=1

14因此，时由连续函数的复合函数是连续的"(g(X))连续/=1时lim=limf(x)=lim(1-x)=0*->1+0xtI+0jt->1+0lim=limf(x)=limx2=1x->l-0x->l-0XTl-0=>X=1是f(g(犬))的第一类间断点.第二讲一元函数微分学的概念、计算及简单应用一、知识网络图

15一元函数微分学的概念计算与简单应用求导方法微分法则求n阶导致表达式的方法二、重点考核点这部分的重点是①导数与微分的定义、几何意义，讨论函数的可导性及导函数的连续性，特别是分段函数，可导与连续的关系.②按定义或微分法则求各种类型函数的一、二阶导数或微分（包括：初等函数，基指数函数，反函数，隐函数，变限积分函数，参数式，分段函数及带抽象函数记号的复合函数），求”阶导数表达式.③求平面曲线的切线与法线，描述某些物理量的变化率.④导数在经济领域的应用如“弹性”，“边际”等（只对数三，数四）.

16§1一元函数微分学中的基本概念及其联系1.可导与可微的定义及其联系/（X）在即导：lim'（）'（°）=lim―—-~—=/'（/）•ft）x-x04->oAx/（3+&）_/（%）=a+。（1）（Atf0）,即1无穷小量Ax/'(%)是曲线y=/(x)在点(Xo,/(Xo))处切线的斜率.A=力"(》)二=/(/枝是相应于醺该切线上纵坐标的增量.质点作直线运动，♦时刻质点的坐标为x=x(r),x'(%)是r=，o时刻的速度.3.单侧导数与双侧导数f(X)在X=Xo可导=/'+/),均存在且相等.此时/，(x0)=/'+(x0)=/'_(x0)/■+(x0)=lim/(%+—)-/(%),/(/)=Hm〃xo+»〃x。),Ax->0+Ax4r->0-Ax【例i】说明下列事实的几何意义(1)/u0)=g(x0),f,a0)=g,(x0).(2)於)，g(x)在x=xo处有连续二阶导数，f(x0)=g(x0),/(x0)=g(x0)/"(%)=g〃(x°)¥O.

17(3)Ax)在x=x0处存在f'+(Xo),/_(x0),但/'+(/)工/_(%).(4)y=fix)在x=x()处连续且lim*")_=co.*-»■»«x-x0-fg(x)xn-d<.【例2】/(x)={,6>0为某吊数•设g(Xo)=/i(Xo),g_(Xo),〃+(/)h(x)x0

18【例3】请回答下列问题：(1)设y=/(x)在x=xo可导，相应于Av有Ay=f(x0+Ax)—f(沏)，dy=/r(x0)AxAx-O时它们均是无穷小.试比较下列无穷小：Ay是Ar的无穷小；^y~dy是Ax的无穷小；f'(x0)H0时Ay与dy是无穷小.(2)du与小“是否相等？【例4】设/(X)连续，试讨论/(%)的存在性与1/(只1'1』的存在性之间的关系.(1)考察下列两个函数图形，由导数的几何意义来分析/'(%)存在与存在之【证明】因/(%)力0,由连续性，n^>0,使得当Ix-xoI<5时有/(x)>0或/(x)<0,于是在戈0该邻域内必有If(x)I=/(x)或I/(X)I=—fix)之一成立，故在点刀=式0处两个函数的可导性是等价的.(3)/5)=0时，求证：/'(尤0)=0。"(犬)1(』存在.【证明】设f(xo)=0.i/a)r存在。lim"(x°+—)lg=Hm&to+Ax加to-Axo|im必a型(NO)=lim星址出(WO)—+Ax-—Ax。lim">+叽1而">+M=0axto+Ax右—0-Ax

19olim/(一十—)¥%)=o0,=oAv-oAx综合可得，题目中结论(2)和(3)成立.也可以概括为：点x=xo是可导函数/(x)的绝对值函数I/(x)I的不可导点的充分必要条件是它使得/(X。)=0但/'(/)#0.【评注】论证中用到显然的事实：lim/(x)=0<»liml/(x)1=0.XT。JC—【例5】设函数火x)连续，且/'(0)>0,则存在5>0,使得(A)/(x)在(0,S')内单调增加.(B)/(x)在(-60)内单调减少.(C)对任意的xe(0,5)有(0).(D)对任意的xw(-60)有/(x)>f(0).§2一元函数求导法反函数求导法：设/(x)在区间可导，/'(x)¥0,值域区间为4，则它的反函数x=s(y)在4可导且dr_1dy一包dxJI【例】设y=y(x)满足y'=2e',求它的反函数的二阶导数dyrAZ,,dr11_xd'x

20drI2dy4【解】一=——=-e--dyy，(x)2dy2变限积分求导法：设函数/(x)在M，句上连续，则F(x)=f/Q)df在⑶句上可导，且F'(x)=f(x),(aQWb)设/(x)在［c,d］上连续，当xe［a,b］时函数"(x),v(x)可导，且“(x)和v(x)的值域不超出[c,d],贝iJF(x)=”(%),I/⑺也在口，切上可导，且心)F'(x)=/(a(x))〃'(x)-/(v(x))Mf(x),(aWxWb)【例1】设/(%)在(-8,+OO)连续且

21融)=G»£"-s")d，求0F(X).【例2】设/(x)在(-8,+8)连续，又。(x)=gs(x-f)2/(f)ck,求0'(x),0"(x).【例3】设。(x)=W'普d/)dy,求小).【例4】设/(x)为连续函数，F(/)=pyj/(x)dx,则尸(2)等于(A)2f(2).(B)f(2).(C)~f(2).(D)0.【分析一】先用分部积分法将尸(r)化为定积分.尸Q)=[([/(x)dx)dy=(y[/(x)dr)；：；-[yd([/(x)ck)+fW(y)dy=n尸⑴=H-l)/(t),尸'(2)=/(2),选(B).【分析二】转化为可以用变限积分求导公式的情形./⑺=](f/(x)出)dy+[(]/(x)dr)dy=nF'(t)=ff(x)dx+f/(x)dr+(r-l)/(r)=(r-l)/(z)F'(2)=/(2).选(B).【分析三】交换积分顺序化为定积分.F(O=ff/(x)dxd^Jdxf/(x)dyD=|(x-l)/(x)dx

22【分析四】特殊选取法.取/(x)=1(满足条件)=>/«)=jd)，[/(x)dx=jdy[lck=[«-y)dy=-；(t-y)2=^(/-l)2F\t)=t-l,尸'(2)=1=/(2).选(B).隐函数求导法：【例1】y=y(x)由sin(x2+y?)+e*-xy?=0所确定，则崇=【例2】y=y(x)由下列方程确定，求包，咤.dxdr2(l)x+arctany=y；【解】对X求导=>1+]12y'=y',解出y'得y'=1+J.再对x求导得y"=-4V=-2(1+/1).(2)xQfW=ey,其中/"(x)存在，/'(x)Hl.【解】对x求导得0"')+xef(y)fXy)yr=eyyr利用方程化简得-+f\y)y'=y'>y'=1,xx(l-/(y))再将>'的方程对x求导得+/〃(y)y"+/'(y)y"=y"X解出y",并代入y'表达式nyJ(?T—'(?)2一(1-八y*若先取对数得Inx+f(y)=y然后再求导，可简化计算.【列3】设y=y(x)由方程y—xe，=1确定，求色巧的值.dxyo【解】原方程中令x=Ony(0)=1.将方程对x求导得y'-e'-xe'y'=0令x=0ny'(0)=e.将上述方程两边再对x求导得y"-2e'/-x(e3)；=0ny〃(0)=2e2

23分段函数求导法：【列1】设/(x)=』|xI,则使尸")(x)处处存在的最高阶数〃为.13.1—ln(l+x3)sin—,x>0XX【例2】设0,x=0,贝lj/(x)在x=0处1N—sinZdAx<0xJ)(A)不连续(B)连续，但不可导(C)可导但导函数不连续(D)可导且导函数连续【分析】先按定义讨论f(x)在x=0的可导性问题.f+(0)=hm=hm—ln(l+x)sin—=0x-»0+%x->0+rx/小、../(x)-/(0)..1.sinx2-2x_/_(0)=lim=lim-yIsintdt=hm=0x->o-xxto-x"“)a->o-2x=/+(0)=/'_(0)=0=/'(0)=0.进一步考察f'(x)在X=0的连续性.当x>0时，/'(x)=dln(l+x3)sin3'XXln(l+x3).13x2,1ln(l+x3)1=sin—+-sincos—Xxx(l+x3)XX3X由此可知，1加尸(均不三二>/'。)在戈=0不连续.因此，选(C).【例3】求常数a,b使函数/(幻=卜处处可导，并求出导数.[ax+b,x<3【分析与求解】对V常数a，b,x#3时/(x)均可导.现要确定a,b使/'(3)存在./(x)在x=3必须连续且，'⑶=/'⑶，由这两个条件求出a与瓦由limf(x)=limx2=9,limf(x)=lim(ax+。)=3a+b♦3+0x~^3+0x—>3—0>3—0f(x)在x=3连续，a,b满足/(3+0)=/(3-0)=/(3)HP3a+b=9在此条件下，/(x)=lx*ax+bx<3

24nf'(x)=2x(x>3),f'(x)=a(x<3)+(3)=2x|=6J'_⑶=a/'(3月=f+(3)=f_(3)即a=6代入3a+b=9=b=—9.因此，仅当a=6,h=-9时f(x)处处可导且f'(x)=)【评注】求解此类问题常犯以下错误1°没说明对V常数a,b,xW3时/(x)均可导.2°先由x=3处可导求出a值，再由连续性求出b值.请看以下错误表达：“因(+(3)=2尤=6,/'_(3)=(ax+b)‘=a*=3x=3由/'+(3)=/'_(3)得a=6.再由连续性f(3+0)=/(3-0)即9=3a+b,b=~9"错误在于①当3a+bW9时/'一(3)不存在，也不可能有，'一(3)=(ax+b)'.x=3@f(3+0)=f(3-0)不能保证/(x)在x=3连续.仅当/(3+0)=/(3-0)=/(3)时才能保证x=3连续.必须先由连续性定出3a+b=9,在此条件下就可得f_(3)=a高阶导数与〃阶导数的求法常见的五个函数的n阶导数公式：(e或+")(")Ma%""(sin(ax+h))=a"sin(ax+b+£■)(cos(ax+Z?))(n)=a"cos(ax+b+—)

25(

26\ax+b\)M=(_1)"T(〃-l)!。"(ax+b)n（（ax+6），）＜"）=P（夕—1）…+l）a"（ax+6）比“§3一元函数导数（微分）概念的简单应用【例1】设f（x）=x",在点（1,1）处的切线与x轴的交点为（*0）,则师/©）=【例2】若周期为4的函数/（X）可导且XT。2x则曲线y=/（x）在点（5,f（5））处的切线斜率％=.【例3】设y=/（x）由方程©2-cos（xy）=e-l所确定，则曲线y=/（x）在点（0,1）处的法线方程为.【例4】已知曲线〃的极坐标方程为o=2sin,，点M）的极坐标为（1,-）,则点M）处「的切线的直角坐标方程为.【分析一】（数学一，二）点M,在「上，直角坐标为：x0=pcosO6.A=—»No“sin。(i.i)2o厂的参数方程为＜x=2sinffcosO=sin20y=2sin。sin0=1—cos20厂在"o点处的切线的斜率：业=2sin2£=tan4=Jidr22cos20366

27〃在M)处的切线方程y=g+y/3(x-即y=V3x-1.【分析二】厂的方程可化为22sin。，于是"的隐式方程为W+y2=2y.由隐函数求X导法，得2x+2yyr=2y\yf=.l-y(x0,%)=(日，3)代入得/(年)=百，于是切线方程为।ny=—+yJ3(x)即y=V3x-1.22第三讲一元函数积分学一、知识网络图

28不定积分卜|几何意义与物理意义八U原函数的存在前［-1^1r定积分冗荷意义与警意义-1函数的可积性।■反常积分卜质积分与暇积分（收敛与发散的定反/一「-一元函甄积分考等式表不的与不等式表不的I,分瘫翔",奇函数与周期函数的积分性质I♦非负连续函数的积分性质|心八才顿―莱布尼茨公式］'~~变限积分所定义的函数的连续性，可导性及求导公式|H基本积分表一积分一计苴一..」积分法则+极限运直钢U反常积分的计闱—I,,.若干基本的反常积分的敛散性I简式积>最分的分平面图形的面积与旋转体的体积IH1S}-平面曲线的孤长与曲率,曲率圆，旋转体的侧面积，平面截面积已知的立体体积（只对数一、数二）|物理应用（只对数一、敌二）|■度力作功、引力、压力、质心、函数平均倒T简单的经济应用（只对数三、数函二、重点考核点这部分的重点是：①不定积分、原函数及定积分概念，特别是定积分的主要性质.

29②两个基本公式：牛顿―莱布尼兹公式，变限积分及其导数公式.③熟记基本积分表，掌握分项积分法、分段积分法、换元积分法和分部积分法计算各类积分.④反常积分敛散性概念与计算.⑤定积分的应用.§1一元函数积分学的基本概念与基本定理1.原函数与不定积分的概念及性质：(1)定义.若尸(X)的导函数/'(x)=/(x)在某区间上成立，则称尸(X)是八X)在该区间上的一个原函数：f(x)的全体原函数称为/(x)的不定积分，记为j/(x)ck.(2)原函数与不定积分的关系.若已知尸(x)是/(x)的一个原函数，则j/(x)ch=F(x)+C其中C是任意常数.(3)求不定积分与求导是互为逆运算的关素，即(]7(尤)(1»=/(x)或dj/(x)dx=f(x)dxJ/(x)dr=F(x)+C或JdF(x)=F(x)+C其中C也是任意常数.(4)不定积分的基本性质：J好'(x)dx=k(x)dx(常数k丰0)J[/(x)+g(x)]dr=j/(x)dx+Jg(x)dr2.定积分的概念与性质：(1)定义.设a=XoVX]Vx2V…Vx0=b,令必=x：-演_1,2=max{Ax(.},若对任何。6[4],七]有!吧百/©)田存在，则称/(X)在M，句上可积，并称此极限值为f(X)在[。，句上的定积分，记为f/(x)dx=lim»/©)M

30定积分的值与积分变量的名称无关，即把积分变量x换为r或“等其他字母时，有f/(x)ck=£/(z)dr=£/(M)d»另外，约定［/(x)dr=O,//(x)dr=—［/(x)dr.(2)可积性条件.可积的必要条件：若f(x)在［a,加上可积，则f(x)在［a,句上有界.可积函数类(可积的充分但非必要的条件)：1°f(x)在［a,句上连续，则/(X)在［a,句上可积：2°/(x)在［a,句上有界且仅有有限个间断点，则/(x)在［a,b］上可积.(3)定积分的几何意义：设/(X)在［a,b］上连续，则j/(x)dx表示界于x轴、曲线y=/(x)以及直线x=a,x=b之间的平面图形面积的代数和，其中在x轴上方部分取正号，在x轴下方部分取负号.特别，若/'(x)在⑶句上连续且非负，则//(元)dx表示x轴，曲线y4(x)以及直线》=a,x=b围成的曲边梯形的面积.(4)定积分有以下性质：1°线性性质：若f(x),g(x)在［a,句上可积，且A、8为两个常数，则Af(x)+Bg(x)也在［a,b］上可积，且j［A/(x)+8g(x)dr=4+8jg(x)dr.20对积分区间的可加性：若/(x)在由a、b、c三数构成的最大区间上可积，则£/(x)dr=［/(x)dr+f/(x)dx3°改变有限个点上的函数值不改变可积性与积分值.4°比较性质：若/(x),g(x)在［a,切上可积，且/(x)Wg(x)在［〃，匕］上成立，贝IJ进一步又有：若f(x),g(x)在［〃，句上连续，且f(x)Wg(x),f(x)Wg(x)在［a,句上成立，贝I」j/(x)cbVjg(x)dx若在［a,句可积，贝IJ"(x)I在［a,句可积且Wp/(x)ldx.5°积分中值定理:若/U)在［a,句上连续，则存在&G(a,b),懈f/(x)dx=/C)3-a)

311.变限积分，原函数存在定理，牛顿―莱布尼兹公式：(1)变限积分的连续性：若函数/(X)在［a,句上可积，则函数。(x)=f力在［a,b］上连续.(2)变限积分的可导性，原函数存在定理：若函数/(x)在［a,句上连续，则函数O(x)=，/«)力就是f(x)在［a,b］上的一个原函数，即。'(X)=/(x),Vxe［a,b］.(3)不定积分与变限积分的关系.由原函数存在定理可得.若/(x)在［a,b］上连续，则不定积分\f(x)dx=f(t)dt+C,其中xoeM，句为一个定值，C为任意常数.(4)牛顿―莱布尼兹公式：设/(x)在修上连续，/⑴是/(x)在功上的任一原函数，则「/(x)dx=b(x)"=/(切-尸(a).这个公式又称微积分基本公式.推广形式：设函数f(x)在口，用上连续，F(x)是/(X)在(〃，b)内的一个原函数，又极限尸(4+0)和尸(6—0)存在，则£f(x)dx=-Q=F(b-°)-F(a+°)-(5)初等函数的原函数2.周期函数与奇偶函数的积分性质：(1)周期函数的积分性质：设/(x)在(-8,+8)连续，以r为周期，则1。/(x)dx=£/(x)dr(a为任意实数)2°ff(r)dr以T为周期。f/(x)dx=O3°j/(x)dx(BP/(x)的全体原函数)为7■周期的。j/(x)ck=O【证明】10证法哈「〃x)d*/(a+T)-f(a)=0nfa+T«+rfT［f(x)dx=£f(x)dx4_0=£f(x)dx.证法2JTf(x)dx=J/(x)dx+Jf(x)dx+^af(x)dx,其中(T+apT+a《=丫一/pcifiijf(x)dx=f/(x-r)dx.ff(s)d手£/(x)dx代入上式得j”f(x)dx=ff(x)dx+£/(x)dr+£f(x)dx=£f(x)dx。

32(此种证法不必假定/(x)连续，只须假定/(x)在［0,T］)可积).2°f/⑺也以T为周期o『/⑺山一口⑴山=『7/⑴山鹭［〃。也=03°只须注意j/(x)dx=Jr/(r)dr+C,J'/(f)df是f(x)的一个原函数.例(08,数三，数四)设/(戈)是周期为2的连续函数.(I)证明对任意的实数t,有f(x)dx=ff(x)dx;

33(U)证明G(x)=f2/(，)-「2/(s)ds力是周期为2的周期函数。【分析与证明】(I)(它是结论1°的特例，a=2,见证明1°)(II)由题(I)的结论，=>G(x)=f2/«)力-xf/(s)ds由于对Dx,G(x+2)—G(x)=f~2/(f)dr-(工+2)f/(s)ds-(f2/Q)力-xf/(s)dsnG(x)是周期为2的周期函数.(2)奇偶函数的积分性质：设f(x)在［—a,a］连续，且为奇函数或偶函数［0(/(x)为奇函数)1°ff(x)dx=\L12Jf(x)dx(/(x)为偶函数)令F(x)=［：/(x)d，则=F(x)<'为偶函数若为奇潮苗)为奇函数若为偶附数c)3°若f(x)为奇函数，则在［—a,a］上/(x)的全体原函数为偶函数.若f(x)为偶函数，则在［—a,a］上/(x)只有惟一的一个原函数为奇函数【证明】2。设/(x)为奇函数.证法1.考察0(x)=F(x)-F(-x),则。'(x)=F'(x)+F'(-x)=f(x)+f(-x)=0(xe［-a,a］=>0(》)=常数=。(0)=0=>尸6)=/(一工)(乂€［—。，a］),即尸(x)为偶函数.证法2.F(-x)=£f(Z)dr=£-f(-t)dt———f(s)ds=F(x),xe［—a,a］),即F(x)为偶函数.(此种证法只须假设f(x)在［-a,a］可积)3。只须注意］7(x)dx=1/(r)dr+C,并利用2。的结论.【例1】^xf(x)dx=arcsinx+C,则J,：)dr【分析】【例2】f\ex)=xe-x,且>⑴=0,则/(尤)【分析】

34【例3】设/(%)的导数是sinx,则/(x)的原函数是【分析】【例4】设/(x)连续，f(x)=x+2j/(x)dx,则/G)=【分析】【例5】下列命题中有一个正确的是.(A)设/(x)在［a,b］可积，f(x)20,至0,则£f(x)dx>0.(B)设/(X)在［a,bl可积，［a,£］u［a,b］,则|/U)dx.(C)设在［a,句可积,则/(x)在［a,一可积.(D)设於)在［a,Z>］可积，g(x)在［a,刈不可积，则/)+g(x)在［a,/?］不可积,【分析1】/(x)在［a,b］可积，g(x)在［a,b］不可积=>/(x)+g(x)在［a,b］不可积.反证法.若不然，则/)+g(x)在［a,刈可积，由线性性质ng(x)=［/(x)+g(x)］—f(x)在

35［a,b］可积，得矛盾，选(D).【分析2】举例说明(A),(B),(C)不正确.由(A)的条件只能得j/(x)dr20.如，(a,b)Q1.xw[a,b],x^xQ,x=x0=>/*(x)20,W0(xe[a,/?]),但j/(x)dx=0.(A)不正确.关于(B),请看右图，由定积分的几何意义知f/(x)dx<0,，/(x)ck>0,(B)不正确.这里［a,c［a,h］,但，/(x)dx>f/(x)ck.关于(C),是f(x)与|/(x)|的可积性的关系.f(x)在［a,切可积总|/(刈在⑶句可积如f(x)=0,fr(x)>0,fn(x)<0.【分析】

36【例8】设尸(x)=『2"户皿sind则尸a)(A)为正数.(B)为负数.(C)为0.(D)不为常数-(x2+l),若OWxVl【例9】设g(x)=£f(u)du,其中/(x)=「则g(x)在区间(0,-(x-1),若2)内(A)无界.(B)递减.(C)不连续.(D)连续.【分析】这是讨论变限积分的性质.已知结论可以用：若/(x)在［a,b］可积，则g(x)=f/(“)d”在［a,b］噬，9/(x)在［0,2］可积(有界，只有一个间断点)，则g(x)=在［0，2］连续.选(D).1.利用定积分求某些〃项和式的极限［例10］limIn"(1+-)2(1+-)2.-(1+-)2=.

37nn§2基本积分表与积分计算法则§3积分计算技巧【例1］求/=『|sinx-cosx|dx.

38【例3】求/=psin°xdx,n为自然数.【例5】求/=£|sinx\arctanexdx.2n【解】/==二，sin"arctane'ck22/=j^|sinx|[arctaner+arctane-t]dx=^,2psinxdx=n,/.§4反常(广义)积分1.基本概念(1)若limf/(x)dx3,称「/(幻dx收敛，并记

39「"(x)dr=lim『f(x)dx否则称「"(x)dr发散.J/At+co4/Ji若Jimp(x)ck3,称,/(x)dr收敛，并记f/(x)dr=Jimj/(x)dx否则称//(x)dx发散.fll什8#8若f/(x)dr,［/(x)dx均收敛，称「/(x)dx收敛J-Xallj-oo且r7(x)dr=r/(x)dx+r/(x)dx.否则称「/(x)dx发散.J-00J-00J/J-00(2)设/(x)在(a,b］内V闭子区间可积，在。点右邻域无界，若m极限limf/(x)dx,£T0+L+£称f/(x)dx收敛，并记f/(jr)dr=limf/(x)dr否则称f/(x)dr发散.这里x=a称为瑕点.若b为瑕点，类似定义//(x)dr.设/(x)在［a,c)(c,b］内V闭子区间可积，在x=c•邻域无界.若［/(x)dx,f/(x)dx均收敛，称，/(x)dx收敛.且£f(x)dx=_［/(x)ck+j"f(x)dx.否则称f/(x)dr发散.(3)几个重要的反常积分.收敛。＞1)发散(4W1)2°a>l,3°dr收敛(4V1)［发散(％21)5°sinxdx,Icosxdx,sinxdx,cosxdx均发散

40【例1]反常积分()发散.(A)f旦(B)(C)Fe-2dx(D)r-l-dxLsinx-J12上xln2x【例2】下列命题中正确的有个.(1)设/(X)在(-8,+8)连续为奇函数，则r/(x)dx=0.J-8(2)设/(x)在(—8,+oo)连续，limI*/(x)dr存在，贝ij「/(x)dx收敛.Rf+ooJ-/?(3)若「/(x)dx与「g(x)dr均发散，则不能确定「"(x)+g(x)]dr是否收敛.(4)若f,/(x)dx与「/(x)dx均发散，则不能确定「/(x)ck是否收敛.【分析】要逐一分析.(1)/(x)在(-8,+oo)连续，Mr/(x)dx收敛.例如f(x)=sinx在(-8,+oo)J-co连续，为奇函数，但「sinxck发散.(1)是错的.(2)f(X)在(-8,+oo)连续，「/(x)dr收敛3Mp£/(x)dx存在如/(x)=sinx,lim/?—>-HXsinxdx=0,但「sinxdx发散.RJ-x故(2)是错误的.(3)正如两个函数的极限均不存在，但它们相加后的极限可能存在，也可能不存在一样,若[/(X)心，£g(x)dr均发散，则不能确定，"(x)+g(x)]dx是否收敛.如/(x)=二+，，g(x)=—,则「f(x)dx,fg(x)dx均发散,但「"(x)+g(x)]ck=「当xxx』JJ4x收敛.若取g(x)=-JlJ「"(x)+g(x)]ck=「[±+2](k发散.因此(3)是正确的.XJJXX(4)按r7(x)dx敛散性的定义，仅当ff(x)dx,「"。)心均收敛时，「7(x)dx才J-00J-XJ)J-00是收敛的，否则为发散.因此，f均发散时「/(x)dx是发散的.(4)也不正确.

41共有1个是正确的.

422.广义积分的计算【例3】求/=dxx(l+x2)-【例4】求/=b(1+婷)2【例5】求/=fXy/X-\【例6】求/=*(l+xn)Vl+x§5一元函数积分学的应用1.•元函数积分学的几何应用【例1】曲线L।:y=l-x2x轴和y轴所围区域被L2:y=ax2(a>0)分成面积相等的两部分，确定。的值.

43【解】先求L］与L?的交点(%o*yo)：被分成的两部分面积分别记为4,S2，SI=r，［(l-x2)-av2］dx=--rl=□9S,+S2=J(l-A：2)(k=-由S1=S2nS|=§na=3,【例2】求由i+y2《2r与y2x确定的平面图形绕直线X=2旋转而成的旋转体的体积.【解一】该平面图形可表示为O={(x,y)IOWyWl,l-J——Wy},在此平面图形绕直线x=2旋转而成的旋转体中纵坐标满足y^y+dy的一层形状为圆环形薄片，其外半径为l-Jl-y?-2=l+Jl-y2,内半径为卜一2|=2-y,从而，这个圆环形薄片的体积为dV=n[(l+J]_y2)2_(2-y)2]dy.故旋转体的体积为卜=兀1[(l+71-y2)2-(2-y)2]dy=无'[(25/1-y2+4y-2y2-2]dy=7t(^-1).【解二】该平面图形可表为。={(x,y)I。Wx<1,x0).(只对数一，数二)3Qnn【解】r=asin3—以6兀为周期.在［0,6兀］中，r20<=>0g［0,3k］.r'(6)=asin2—cos—,333nnnnr2(0)+rt2(0)=a2［sin6y+sin4ycos2不］=〃2sin4§于是，曲线的全长L=f"J/(e)+r'2(e)d。=asin2gde=T兀。.曲线C是光滑，选定一端点作为度量弧S的基点。曲线C上每一点M对应有弧长S,点M

44处切线的倾角为a=cr(s),称长=dads为平面曲线C在点M的曲率，P=!为C点M的曲率半径，过点M作曲线C的法线，在曲线凹的一侧，在法线上取一点D,便丽=P，以。为圆心，。为半径作一个圆，称它为曲线C在点M处的曲率圆，圆心。称为曲率中心。设曲线C的直角坐标方程为y=y(x),y(x)二阶可导，则曲率K=—=—ds(1+严严曲线C上点M(x,y(x))的曲率中心(a,万)是a一…)y"2.一元函数积分学的物理应用(数一，数二)【例4】设在很大的池中放有两种液体，上层是油，比重")<1,厚度为hi，下层是水，厚度为〃2(>2灭)，现有半径为R,比重夕(p>l)的球沉入池底，如将球从液体中取出需作多少功？(设移动过程中两种液体厚度均不变).(只对数一，数二)【解】设球心。为坐标原点，x轴正向垂直向匕建立坐标系如图，可把球上xfx+dx的一个薄片看成一个质点，当把球从池底完全取出液体的过程中，该薄片在水中移动的距离是后一(R+x),这时外力的大小是重力减去浮力即(夕一1)兀(/?2-/)心，该薄片在油中移动的距离是阳,这时外力的大小是(p-paW2-x2)dx；该薄片在空气中移动的距离是R+x,这时外力的大小是a(R2_x2)(k,故出取出该薄片的过程中需作功：dW=[(p-l)(/i2-/?-x)+/j,(p-p0)+(/?+x)p]n(R2-x2)dr从一/?到R积分dW,并利用奇函数在对称区间上积分为零的性质和球体积公式可得到将球从液体中取出需作的功：w=fdW=[(p-l)(/i2-/?)+(p-+pR]£7T(R2-x2)dx4,=-7i/?[(p-l)(/i2-/?)+(p-p0)/i,+pR].平面曲线的质心(形心)公式(数一，数二)：设质量均匀分布的平面曲线福，其线密度为常数

45p，参数方程x=夕)，其中夕⑺，材⑴在[a,夕]有连续的导数，则筋的质心(x,y)：7=^(0平面图形的质心(形心)公式(数一，数二)：设有平面图形：g(x)勺(x),其中/(x),g(x)在团，封连续，质量均匀分布，面密度为常数，则它的质心&J)：-fx"(x)-g(x)]dr_J]，*)—，。)比x=%，y=-^—7.f"(x)-g(x)]R>o)绕x轴旋转一周所生成的圆环体的侧面积a.(卜)【解】(I)用微元法可导出府的质心G5)的表达式x=1/x(s)ds,y=lfy(s)dj.(H)由题(I)得2兀亍・/=2兀jy(s)ds等式右端即筋绕x轴旋转一周产生的旋转体的侧面积，左端正是府的质心绕x轴旋转产生的圆周之长与/之积，因此结论成立.(III)由题(II),又质心丘,亍)=(0,。)，圆周长为/=2兀R,于是圆环体的侧面积A-2ityl-2na-2tiR-4it2aR.§6积分等式与不等式的证明【例1】设f(X)在[。，村有二阶连续导数，f(a)=f'(a)=0,求证明:【分析与证明】【证】用分部积分法

46£f(x)dx=1/(x)d(x-h)=f'(x)(x-b)(\x=--b)d(x-b)-1,)bl(h.,=—fW(x-b)2+-\f(x)(x-bydx2a2A

47【例2】0VaVb,f(x)在[4,b]连续，并满足：/(——)=/(x)(Vxg[6Z,h]),求证f/(x)—dr=UX【证】用换元积分法.令乂=也,贝IJ得Xarbctbra,M—,故I=f/U)—dr=-")衅+ff/(OlnW-lnfd/=ln(^)f^dx-/tx于是/=；ln(ab)f/Wx.【例3】设/(x),g(x)在口，切连续且满足f/(r)dr2fg(1)df,x£[a,/?]f/(r)dr=fg(r)dr求证：J#(x)

48元函数微分学中的基本定理及其应用（条件，结论与几何意义）函数的单调性与极值点I柯西中值定理它们之间的关系函数的凹凸性与拐点利用导数研究函数的变化罗尔定理与拉格朗日中值定理微分中值定理第四讲、知识网络图费马定理导致定义微分学中的基本定理及其应用罗尔定理曲线凹凸性与曲线的切线的关系利用二阶导数曲线的凹凸性与拐点二、重点考核点这部分的重点是：①罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理及其应用.②利用导数研究函数的性态（函数为常数，单调性与极值点，凹凸性与拐点，渐近线）.③最值问题及应用题.④利用微分学方法证明函数或导函数零点的存在性并确定个数，证明函数不等式等.

49§1一元函数微分学中的基本定理一中值定理费马定理：设f(X)在X=XO取极值，/(%)存在=>/'(/)=0罗尔定理：设/(x)在［a,b］连续，在(a,b)可导，且/(。)=/@)=存在。€(4,b),使徼

50阶可导，是否存在ce(a,b)使得U(c)=O,为什么？【分析】【例3】设f(x)在x=xo磔，在(/一反生+S)除xo点可导且limf'(x)=A,求证f'(xo)=A-【分析与证明】§2微分中值定理的应用——利用导数研究函数的变化1.函数为常数的条件与函数恒等式的证明2.函数的单调性与极值点(1)函数的单调性的充要判别法.设/(x)在［a,b］连续，在(a,b)可导，则f(x)在［a,句单调不减(单调不增)u>/'(x)20(〈0),Vxe(a,b).f(x)在［a,句单调增加(单调减少)=r_f(x)mO(WO),Vxe(a,h),2°在(a,b)的V子区间上f'(x)W0.(2)函数取极值的充分判别法.

51设/(x)在x=xo连续，在(X。-万X。+S)\{x()}可导，当尤e(x()-b,/)时/'(x)>0(<0).

52xe(x0,%+5)时/'(x)<0(>0),则x=xo是f(x)的极大(小)值点.设/(x0)=0,f(xn)>0(<0),则x=x0是f(x)的极小(大)值点.1.函数的凹凸性与拐点(1)函数的凹凸性的充要判别法.设/(x)在［a,b］连续，在(a,b)可导，f(x)在［a,切是凸(凹)的：f(x))(曲线y=/(x)(af(x)W0(20),xe(a,b),又在(a,b)的V子区间上f"(x)=0.(2)拐点的充分判别法与必要条件.设/(x)在xo邻域连续，在x=x()两侧凹凸性相反，称(x0,f(x0))是曲线y=/(x)的拐充分判别法1°设/(X)在X=X0邻域连续，在X=Xo空心邻域二阶可导，且/"(X)在x=Xo两侧变号，则(xo，f(xo))为y=/(x)的拐点.2。/"(幻=0,r3)(与)#0,则(即，f(%0))为y=f(x)的拐点.必要条件设(xo,/(xo»为y=/(x)的拐点，则/"(x)=0或/〃(与)不存在.【例1】设/(x)在［0,1］上/"(x)>0,则()成立.(A)尸⑴>((0)>/(1)-/(0)(B)/⑴>/(1)-/(0)>尸(0)(C)/(D-/(0)>r⑴>/(0)(D)(⑴>/(0)-/(I)>广(0)【例2】设/(x),g(x)恒正可导且/'(x)g(x)-/(x)g'(x)<0,则当aVx<1时有

53(A)f(x)g(b)>f(b)g(x)(B)/(x)g(a)>/(a)g(x)(C)f(x)g(x)>f(b)g(b)(D)f(x)g(x)>f(a)g(a)44

54【例3】设/(x)在x=0某邻域连续且/(O)=0,limn工2-=2,则/(x)在x=0101-cos).(A)不可导(B)可导且((0)工0(C)有极大值(D)有极小值【例4】设/(X)有二阶连续导数，/'(0)=0,lim岑2=1，则()成立…。\x\(A)f(0)不是/(x)的极值，(0,/(0))不是y=/(x)的拐点(B)f(0)是/(x)的极大值(C)f(0)是/(x)的极小值(D)(0,f(0))是y=/(x)的拐点【例5】设/G)满足f"(X)+夕(X)?=x且/'(0)=0则(A)f(0)是/(x)的极大值(B)f(0)是/(x)的极小值(C)点(0,f(0))是y=/(x)的拐点(D)/(0)不是/(x)的极值，(0,f(0))也不是y=f(x)的拐点【例6】设f(x)在(a,b)可导，求证：/'(X)在(a,b)为减函数of(x)

55【分析与证明】(1)设/'(x)在(a,b)为减函数,nf(x)—\f(x0)+/r(x0)(x-x0)]=[f'^)-fXxo)Yx-xo)°n/'区)>/'(》2)，即/'(x)在(a，b)为减函数.【例7】求>=(x+6)9的单调性区间，极值点，凹凸性区间，拐点与渐近线.【解】1)定义域x#0,间断点x=0.,；(x+2)(x-3)〃；13x+62)y=exz，y=evt—xx由y'=。得x(-8,-2)=-2,/一2r=3,由y〃=0；(-2,--)13歌=W(--,0)130(0,3)3(3,+03)+0不m0+yH0+不m+++y月调增区间：及大值点x=极大值（-8,—2,相-2],[3,+00)Z小值x=3.拐点单调减区间［—2,0),(0,3].极小值766672--凹区间：（一8,一一］,凸区间［一一，0）,（0,+oo）,拐点（一一，一e6）.131313133)只有间断点x=0,limy=+8=>x=0是垂直渐近线.

56XT0+vx+6-1Llim-=lim---ex=1lim(y-x)=lim[(x+6)ex-x]=limx[er-l]+6=l+6=7XT8xXT8xISXT8XT8还有斜渐近线y=x+7.§3一元函数的最值问题Jl..【例1】求/(x)=x+2cosx在[0,一]上的最大值.【例2】某公园在•高为a米的雕塑，其基高为b米，试问观赏者离基座底部多远处，使得其视线对塑像张成的夹角最大，设观赏者高为h米.§4微分中值定理的应用——证明不等式【例1】试证：x>0,工#1时(f—1)

57x>(x—1)2.【例2】设f(x)在[0,1]可导，f(0)=0,0p3(x)d.r【分析与证明1】引进辅助函数尸(x)=(f/(r)dr)2-f/3(/)dr要证：F(x)>0(xe(0,1]).

58由条件知，f(x)在[0,1]单调上升，f(x)>/(0)=0(xe(0,1]).从而F'(x)=/(x)[2p(Odr-/2(x)]与g(x)=21/Q)d-r(x)同号.又因g(0)=0,g'(x)=2f(x)[\-f'(x)]>0(xe(0,1)])ng(x)在[0,1]单调上升，g(x)>g(0)=0(xe(0,1]),=>F\x)>0(xg(0,1])=>F(x)>F(0)=0(xe(0,1]).因此尸(1)>0,即结论成立.【分析与证明2】要证/(r⑴口〉](由条件知,J)>o,XG(0,1])令广(x)G(x)=则由柯西中值定理(。⑴")=(⑴一“))=2」(皿⑴dr=2f/(r)dr,3⑺出=G(l)-G(0)=GW=fX^)=「(J=就黑T木⑺出与八x)用柯西中值定理)1I1Ian+lan-an+}an【例3】设〃>1,〃21,证明：—~-<-—--v—.(n+l)Ina§5微分中值定理的应用——讨论函数的零点【例1】设有方程/+内一1=0,其中也为正整数，证明此方程存在惟一正根x“，并求limxn.

59【例2】设/(x)在［a,bl要导，/；(«)/：(/?)<0,求证：存在ce(a,b),尸(c)=0

60【例3】设/(x)在［a,b］连续，在(a,b)二阶可导，并在(a,b)内曲线y=/G)与弦A8相交，其中4(〃，/(a)),B(b,f(b)),求证：存在Je(〃，6)使得了"(J)【例4】设/(x)在(-oo,+00)可导,limf(x)=A9求证：存在(一oo,+8)使得((4)X—>±ao0.【例5】设/(x),g(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导且g(a)=0,/(b)=0,b)时/(x)WO,g(x)WO,求证：存在《e(a,b)使得/垃=一旦也./《)g@【例6】设函数/(x),g(x)在口，句上连续，在(mb)内具有二阶导数且存在相等的最大值，/(a)=g(a),f(fe)=g(h),证明：存在Je(a,b),使得了"(J)=g"C).【分析与证明一】令F(x)=f(x)-g(x)=>F(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，在题设条件下，要证存在Je(a,b),F"(J)=0.已知尸(a)=F(b)=0,只须由题设再证3cg(a,b),F(c)=0.(1)设三1]£(a,b)M=max/(x)=/(xj,*2w(〃，材=maxg(x)=鼠/).若[a.b][a,b]X|=X2»IXC=X|=%2»尸(C)=0.若X]WX2，不妨设X|V12，则F(X|)=/(xp—g(xj)20,F(X2)=f(X2)—g(M)<0.

61=>3cg[xpm]，F(c)=0.(2)由F(a)=F(c)=F(b)=0,对/(x)分别在［a,c］,［c,b］用罗尔定理二a&€(a,c),爽2《(c,b),使得/©)=0,尸&)=0，再对尸'(x)用罗尔定理=灾€(3，&)u(a,。)，使得-e)=o,即1rc)=g"c).【分析与证明二】(利用以下两个已知的结论：1°设人(x)在(a,b)可导，若“(x)在(a,b)恒不为零，则/?'(x)>0(xe(a,b))或h'(x)<0(xe(.a,b)).2°设〃(x)在［a,句连续，在(a,b)可导，若h(a)=h(b)=0.h(x)在［a,b］为凸(凹)函数，则〃(x)>0(<0)(xe(a,b).)同前，由题设三不€(。")，M=maxf(x)=f(xt),3x2e(a,b),M=maxg(x)=g(x2).［a,b］［a,b］令尸(x)=/(x)一g(x),现用反证法，若结论不对，则尸"(x)>0或尸"(x)VO(xw(〃，b)).(1)若尸"")>0(xe(o,b))=>F(x)在［a,/?］为凹函数，又尸(a)=F(b)=0=>F(x)<0(xg(a,。))，但F(X))=/(jq)-g(元2)20，得矛盾.(2)若尸"(工)<0(xe(a,b))=>F(x)在［〃，切为凹函数，又F(a)=F(b)=0=>F(x)>0(xe(a,b)),但F(%2)=/(M)—g(X2)，0,得矛盾.因此必灾w(a,。),使得尸"(J)=0,即/"C)=g〃(4).【例7】设函数/(x)在闭区间［0,1］连续，在开区间(0,1)内可导，且/(I)=0.求证：至少存在一点"(0,1),使得勺'(&)+&尸(&)=0.【例8】确定方程/=〃/(〃>()为常数)的根的个数.【解】令_/1(X)=三-4.>0(-oo0(x>0)

62(2)考察区间(一8,0)./(X)在(一8,0)单调上升，又limf(x)=-a,limf(x)=+oox->—oox—>0—

63=>对Va>0,f(x)在(一8,0)有唯一零点.(3)考察区间(0,+00).f(x)在(0,2］单调下降，在［2,+oo)单调上升，又lim/(x)=+oo,/(2)=a,lim/(x)=+ooX->0+4X-^-KJD于是，当f(2)>0即a<£_时f(x)在(0,+oo)无零点.当a=时4f(x)在(0,+oo)有唯一零点(即》=2),当a>£1时/(x)在(0,2)(2,+oo)分别有唯一零点，即在(0，+00)有且仅有二个零点.4§6用微分中值定理证明函数成导数存在某种特征点【例1】已知函数/(x)在［0,1］连续，在(0,1)可导，且/(0)=0,/(1)=1.证明(1)存在;€(0,1)彳越火，)=1一J(2)存在两个不同的点小ge(0,l)/'(&)/'4)=1【分析与证明［(1)即证尸(x)3=/(x)-1+x在(0，1)三零点.因F(x)在［0,1］连续，又F(0)=-1,F(1)=1异号，由连续函数零点存在性定理知，3^e(0,1)尸(g)=0,即尸(&)=1-V.(2)由上题的，，分别在［0,g］与［；,1］对f(x)用拉格朗日中值定理得，3zye(0,&)使得詈J©”。)=八〃)返e(I,1)使得&=两式相乘得f'Wf\O=1.【例2】设/(x)在［a,b］连续，在(a,b)可导，,求证：存在&&2€(a,6)使得.(合加(=八。)凝2【证】第一步，将中值一，g2分离到等瓢端,得：/&)tan岁=:&)当。=卡.2cos［cossmg22第二步，根据上式两端的形式，将等式两端的表达式写成适当的中值定理所得结果注意(5仙幻'=(?0§%，9。幻'二一§也不，按柯西中值定理，存在&］,,26(。，b)分别使得/⑸-/⑷J6)/⑸-于⑷=广④)sin力一sin。cos。cos/?—cos。sin(^2由此可得3=/Ocosa-cosb,cos。sing2sinb-sina最后，利用题设条件验算原等式是否成立，与第二步所得结果比较，只需验证当OWaV8<711,

64时成立三角恒等式.cos"COS6=tan0+bsinb—sina为此，将以下两个和差化积公式.c-a+b.b—a..a+b.b—acosa—cosb=2.sinsin'sino—sina=Zcossin做商即可，故，本题结我成立得缸22【例3】(08,数二)(I)证明积分中值定理，若函数/(工)在闭区间[a,bl上连续，则至少存在一点〃e[〃，力],使得jf(x)dx=f(")(b-a)(II)若函数具有二阶导数，且满足9(2)V9(l),°(2)V，9(x)dx,证明至少存在一点，e(1,3),嬉夕"(J)V0.分析与证明：(I)f(x)在⑶句连续，于是存在最大，最小值.M=maxf(x),m=minf(x)[a,b][a,b]m/(x)MM(.xe[a,b])n/n(力一a)W-a)mWff(x)dx3r|e[a，b],/(//)=—^―ff(x)dx即f/(x)dx=/(〃)(b-。)b-a41』(II)先由积分中值定理可知，»€[2,3],使得，9(x)dr寸①)现条件变成(p(2)>(p(1),(p(2)>(p(砂,昨(2,3]要证：3^e(1,3),对VxE(1,3),e"(x)20=>e'(x)在(1,3)单调不减.若"(x)在(1,3)恒正或恒负=>夕(x)在[1,3]单调与/(1)<(p(2),(p(2)>(p(T])矛盾，于

65是(I,3),"(7)=0,由"(x)在(1,3)单调不减n，/、信0xe(l，G，(P(x)<[20xe«,3).n(p(x)在[1,单调不增，在[4，3]单调不减.若2e[l,&]=>夕(1)2夕(2)与(p(2)>(p(1)矛盾.若2€(，川=9(2)S(p(r|)与°(2)>(p(r))矛盾.证法3：用反证法证明.已知结论：若夕"(x)20(是y=9(1)+因此°”(x)20(xe(1,［证明如下：令尸G)=F"(x)=(p\x)>0(xe(1,〃))

66因此F(x)WO即cp(x)Wg但由°(2)>(P(i),(P(2)>cp(〃)cp(2)>g(2)这便矛盾了，因此至e(1,3),夕"C)<0.微积分学在经济中的应用(数三，数四)一元函数微积分学中与经济有关的概念与公式1.复利与贴现设Ai是现有本金，/■是年利率，连续复利计息，A,是「年末的未来值.则有复利公式：4=&e"(已知4。求4).贴现公式：4)=45一"(已知4求4°).2.“边际”概念在经济函数中，因变量对自变量的导数一般用“边际”概念.C(x)是总成本函数，则MC=叫=C'(x)称为边际成本函数，其中x为产品的产量，C(x)的经济意义是：C(a)近似于产量为x时再生产一个单位产品所需增加的成本，这是因为C(x十1)-C(x)=AC(x)(x).R(x)是总收益函数(x为销售量)，则MR=—=R'(x)称为边际收益函数，它的经济dx意义是：R1(%)近似于销售量为x时再销售一个单位产品所增加(或减少)的收入.L(x)是总利润函数(x为销售量)，则MR=—=L'(x)称为边际利润，注意L(x)=R(x)-C(x),(x为销售量，只考察销售部分的成本)，则L'(x)=R'(x)-C'(x).3.弹性Ax(1)弹性概念设经济量x,y有函数关系y=/(x),x在xo时，相对变化为七,引起函数y的相对变化,闪二+')-/(月沱们的比值为"/生"为/(x)的平均弹性%f(x0)y0/x0y0Ax极限值蚓2/第二焉八/)称为/(X)在X。的弹性，它反映出当｛8｝充分小时/(x)在X。引起的“相对变化率‘一一/'(X)/(X)称为y=/(x)的弹性函数.(2)需求对价格的弹性

67设某商品的需求量。是价格P的函数，称。=Q(P)为需求函数，则需求对价格的弹性为Ep=£丝，也记为强.也称之为需求弹性QdPEP关于需求弹性（1）一•般说来Ep>0（。（P）是价格P的减函数），当我们比较商品需求弹性的大小时，是指弹性的绝对值闻.（2）提价（AP>0）或降价（AP<0）对总收益的影响.由需求弹性可得出价格变动如何影响销售收益的结论.由需求弹性定义及收益与需求的关系得PdQ=E,,Qdp,R=Q（P）P求收益函数的微分得dR=QdP+PdQ=。（1+E,,）dP用微分近似改变量得A/?«d/?=2（1+£p）dP=0（1-|£p|）dP=同VI（低弹性）时，AP<0=>AH<0（降价使收益减少）；同>1（高弹性）时，AP<0=A/?>0（降价使收益增加）：闻=1时，提或降价对收益无明显影响.（3）收益对价格的弹性空=£生EPRdP（4）若干关系式dR_ERfri°而而（将E=o•尸代入而表达式得到）2°|^=1+£^（将R=Q'P求导得当=Q+P笔两边都除。得到）3°而=00+春）（1°、2。两式合起来）14°当需求函数。=Q（p）存在反函数p=p（。）时，MR=dQ=P[Q）[]+jQ]【证明嚼端（。"）=尸@+喘=3意5=尸@"务.QdPEP【例1】设某产品的需求函数Q=Q（尸）是单调减少的，收益函数R=PQ,当价格为尸。,对应的需求量为Q（,时,边际收益R'（Qo）=。>0而R'（4）=cVO.需求对价格的弹性E。，|Ep|=b>l,求尸。和。o.【解】Q=。（P）存在反函数P=P（。），可用上述公式A出cr,cab——=p（0[l+-]令。=。0得。=玲口一胪^）=•dQ'Ep

68又R'（P）=Q（1+E令。=po得c=。（）（1-b）,Qo=]，/.【例2】设总成本C关于产量x的函数C（x）=400+3x+^x2,需求量x关于价格?的函数为p=学,求：边际成本，边际收益，边际利润以及收益对价格的弹性.。X【解】1)由边际成本的定义=>边际成本MC=C'(x=3+x)502)总收益函数R=px=1004，n边际收益R'(x)=-7=.y/x3)(设产量=需求量)，边际利润ML=£/(%)=/?，(%)_以支)=平-3-工y/x4)先求出需求量x为p的函数关系.p=1001002口,、104104ERpdRP'1~-7=-=>x=——=>A(p)=P'X=p—-==>——=-yjxpppEpRdP【例3】设某商品的需求量。与价格尸的函数关系为。=100—5P,若需求弹性绝对值大于1,则商品价格P的取值范围是多少？【解】首先由。20得尸W20殁=a£=_5---,_5P>1«>|1OO-5P|<5P(PEPdPQ100-5P100-5尸NO)<=>P>10因此，10总利润L(x)=R(x)—C(x)=」尤3+6》2-15-50

693(2)求2(x)在［0,+oo)的最大值点，由〃(外=-/+12》-11=0,得驻点占=1,334x2=H.L(0)=-50,L(11)=——>0,L(1)<03limL(x)=lim-r'(1-9+!+鳗)=-oonx=X2=11时总利润最大•XTEXT田3XXX(3)已知某产品的总产量。的变化率/(r),f为时间变量，则从r=a至h=b,该产品的产量变化为Q⑹-Q(a)(。(/)是从开始到r,产品的产量)，这段时间产量的平均值为0=」一(/⑺drb-a已知r=，o时总产量为Qo，则总产量函数是。⑺=0o+jf(s)ds.

70第五讲泰勒公式及其应用一、知识网络图泰勒公式间接求法定义二、重点考核点0会用泰勒公式求某些6型板限，并确定无穷小的阶，会用泰勒公式证明某些不等式并会用适当阶数的泰勒公式解决与某阶导数中间值有关的命题.§1泰勒公式及其余项1、带皮亚诺余项的泰勒公式：设f(X)在X=XO处有"阶导数，则f(x)-Tn(x)+R“(x),,其中7；(x)=/(xo)+^^(x-xo)+---+^-^(x-xor，4(x)=O((x-xo)")(x->xo)2.带拉格朗日余项的泰勒公式：设/(x)在含x=w的区间(a,b)内有”+1阶导数，在［。，句有连续的〃阶导数，则对，在x与沏之间，，也可表示为己=沏+0(x-xo),0<^<1.x0=0时的泰勒公式称为麦克劳林公式.

713.五个基本初等函数的麦克劳林公式：Xx2xne'=l+±+—+-.•+—+/?(x)1!2!n\aRn(x)=o(J)(xf°),R(x)=——xn+l(-oo0),凡“(x)=(-l)ncosOx-(-oo0)(-1)"rn+l4(X)=3-万，XG(-1,1]八n+\(1+a严八、aIaa(a-1)(1+x)=1+—x+--1!2!R„(x)=o(xn)(x—>0)./+…+矶……(…+D/+*.n\/?“(x)=a(a-l)…(a—〃)(］十合尸十二向(-1<^<1)(n+1)!这五个公式是求其他初等函数泰勒公式的基础，应当牢记并会写出它们的余项.§2泰勒公式的求法1、带皮亚诺余项的泰勒公式的求法［例1］求e-了的麦克劳林公式.【例2】求In(l+x+?)的6阶泰勒公式.

72【例3】求J1+xcosx的2阶泰勒公式【解】Vl+x=l+-x+--(--l)x2+o(x2)22!22cosX=1—x~+o(x~)2a/1+xcosx=1+—x-—X2+0，)28x)1——+o(x~)+)-+O(X2)1+—x—x2+o(x*)282.带拉格朗日余项的泰勒公式的求法【例】求f(x)=±X带拉格朗日余项的麦克劳林公式1+X§3泰勒公式的应用1.带皮亚诺余项的泰勒公式的应用【例1】设f(X)二次可导且lim幺d=2,贝犷(0)=,/'(0)=1。x/"(0)=.

731+--Vl+X2【例2】求/=lim—J——7x~*°(cos-e')sinx2【解】注意)177=1+工炉+_12_(_1-1口4+0,),于是分子=！/+。(》4)22!228I3又因sin尸~―>0)cosx-eA~=1—x"—(1+x~)4-o(x4)=—x"+o(厂)从而因此(cosx-er2)x2=--x44-o(x4)-x4+(?(x4)if-=--LX"°--X4+O(x4)12【例3】设/(x)=x2ln(1+x),求/(0)(〃23)[解]f(x)=x2[x--x2+-x3--••+(-l)n-3xn-2+o(xn-2)]23„n-2=丁__L*4+...+()]”-3^+0(x")2n-2=尸")(0)=让吗.n-2【例4】试确定常数4,B,C的值，使得e*(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3),其中是当x-O时比丁高阶的无穷小.【分析与求解一】用泰勒公式.因为e*=l+^+-x2+-x3+o(x3),2!3!将其代入题设等式，整理得【分析与求解二】用洛必达法则.由e*(1+8x+C?)=1+Ax+o(x3),(x-0),(记)r(l+Bx+Cx2)-e-x(\+Ax)c=>J_乙11m=01。X

74nlim♦+2J+心)+4H(要求分子极限为0,即l+8—A=0,否则，=…3x2nJ=lim2c'e：(2A-l-Ax)(要求分子极限为o,即24+2C-l=0,否则J=8)1。6xr..e"(1—3A+Ax)1—3A八=>J=lim-==0,即1-3A=0.io66m卜"4=0,,,i21[1-3A=O.2.带拉格朗日余项的泰勒公式的应用【例5】求证：ex>l+x+^x2>0),ex<1+x+—x2(x<0)【例6】设/(x)在[0,1]有二阶导数，|/(x)|，，『(x)|Wb,其中a,6均为非负常数，c是(0,1)内任意一点，证明：|/'(c)|42a+gb.【分析与证明】把/(O),/(I)分别在ce(0,1)展成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式得/(0)=f(c)+((c)(0-c)+~/〃(3)(0-»(0

75【分析与证明】分别把/(一1)和/(I)在x=0展成泰勒公式，并由题设得0=/(-1)=/(0)-八0)+，(0)-"⑶(幻，1=/(1)=/(0)+/'(0)+g/(0)+g/⑶&)，ov[2<1，两式相减消去其中未知的/(0)与/”(0)得1=，"⑶(幻+/⑶©)]。⑶©)+/⑶($)]=3若/⑶©)=/■⑶(刃，则已得证・否则，⑶&)+〃)©)]界于/⑶(口)与/⑶(一)之间，由连续函数的中间值定理知，3€e(I|,&2)，/⑶(&)=3.【例8】设f(x)在区间[一ma](a>0)上具有二阶连续导数，f(0)=0.(1)写出/(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；(2)证在[一a,a]上至少存在一点小使a3f"(r])=3[f(x)dx.【分析与证明】(D对Vxe[—a,a]/(x)=/(O)+/'(O)x+(x2/”c)=r(o)x+gx2/〃0,；在0,x之间(2)将上式两边积分得f(x)dx=f'(Q)xdx+(^x2f'\^)dx=g[0dx由于/"(X)在[-a，a]连续，从而存在M=maxf"(x)=/"(,),其中孙£[—a,a]l-a^lm=min/w(x)=/^(%2)»其中mw[—。，a]于是~may~m[x2dx

76若有一等号成立，则已得证，否则由连续函数中间值定理，存在a]使得p-£/(x)dx=/77)故得证.