初联难度几何题100道（上）解答

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初中教师转正必做100题第一题:已知：A48c外接于。。，N84C=60。，AE1BC,CF1AB,AE.CE相交于点”，点。为弧8c的中点，连接H。、AD,求证：为等腰三角形简证：易证NB〃C=120。，ZFOC=120°,:.B、从0、C四点共圆。DB=DO=DC,：.DH=DO=OA,又AH〃OD,；.AHDO是菱形：.AH=HD,△4HD为等腰三角形。

1A第三题:已知：AA3C中，AB=AC,ZBAC=20°,ZBDC=3U。求证：AD=BC简证：以AD为边作正三角形4CE（如图）易知△ABC/：.AD=AE=BC.

2第四题:已知：AA8C中，。为AC边的中点，NA=3NC,ZADB=45°.求证：AB±BC简证：过。作DEJ_AC交BC于E由已知得4E=EC,NEAD=NC又乙4=3NC,：.ZBAE=ZBEABA=BE,由NADB=45°得NED8=45°.M、D、E、B四点共圆，ZABE=ZADE=90°即ABLBC.

3第五题:如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点、E,50°,NA3O=60°,ZCBD=20°,NC4£>=30°,ZADB=4QP.求NACD。解：设A。、BC交于点尸，过。作DG〃/IB交BF于点G,4G交BD于儿贝UA△4BF是等腰三角形，A.B、G、。四点共圆。ZDAG=ZDBG=20°,：.ZBAG=60°NBDG=NBAG=60°,NAGD=NABD=60°:ZHD是等边三角形。A4BH是等B边三角形BH=AB=BC,：.ZBHC=80a,：.ZCHG=40°：.ZHGC=40Q,：.HC=GC,GCD：.ZHDC=30°,/.ZACD=80°.

4第六题:已知，ZA8C=30°,ZADC=6CP,AD=DC.求证：AB2+BC2=BDr简证：以AB为边向外作正三角形4BE则BC_LBE,BE2+BC2=CE2易证△D4BgZ\C4E,BD=CE于是482+8。2=5。2。

5第七题:如图，尸。切。。于C,AC为圆的直径，PEF为。。的割线，AE,AF与直线尸。相交于B、Do求证：四边形A8CD为平行四边形证明：过C作CGLP。于G,则由N4EC=/PGC=90°得E、B、G、C四点共圆同理F、D、G、C四点共圆PC是。。切线，PC2=PEPF在R77\PCO中，PC2=PGPO：.PEPF=PGPO,；.E、G、0、F四点共圆。，/。。/;ZOEF,ZBGE=ZOEF,：.ZOGF=ZBGE又CG-LPO得NEGC=NFGC,NEGF=ZEOF=2ZEAF,：.NEGC=NFGC=ZEAF又NEGC=NEBC,NFGC=ZFDC,:.NEBC=NFDC=NEAF：.AF//BC,AE//CD,二四边形4BCC是平行四边形。第八题:己知：在AA3C中，AB^AC,ZA=80P,NOBC=10°,NOC4=20°。求证：AB=OB筒证：延长CO交AB于。，以。C为边作正三角形

6OCE（如图）易知4C=DC,BD=OD,OC=AD△4CE四△&W,△4C。丝△AEO,ZCAO=-ZCAE=10°2AZBAO=70°,480=40°：.ZBOA=70°,：.AB=OB.

7第十一题:如图，AACB与AAOE都是等腰直角三角形，Z4OE=NACB=90°,ZCDF=45°,DF交BE于F,求证：ZCFD=90P证明：只要证明△(;£＞尸是等腰直角三角形时，E、F、B共线即可。AD=D-A=x+(y-1)/,设C=0,B=1,A=i,D=x+yi(x,yeR),则AE=y/2ADe+(y--i)=x+y-l+(y-x-l)iE—A+AE—i+x+y—14-(y—x—l)z—x+y—1+(y—x)z：.DF=^Dcfi,2-JlJ211：.F=D+DF=x+yi+^-(-x-yi)~(l+i)=-(x+y)+-(y-x)i■:E+3=x+y+(y-x)i=2F・・・?是E8中点，•・.△CDF是等腰直角三角形，ZCFD=90°。

8第十二题:已知：A48C中，NCBA=2NCAB,NCBA的角平分线80与NC4B的角平分线A。相交于点D,且8C=A。。求证：ZACB=60°简证：作乙48。的平分线BE交4c于E,易得四边形4BDE是等腰梯形AD=BE,BC=BENC=NCEB=3/ABENCBE=3NABE.•.△8CE为等边三角形ZACB=60°o

9第十三题:已知：在A48C中，AC=BC,ZC=100p,A。平分NC4B。求证：AD+CD^AB简证：作BE使得乙4BE=80°交直线AC于E,AD延长线与BE交于点F则BC是N48E的平分线，NC4B=40°乙4EB=60°ZCDF=120°,C、。、尸、E四点共圆NDFC=NDEC=NDEF=NDCFCD=DF,AD+CD=AF=AB>,

10第十四题:已知：AA3C中，AB^BC,。是AC的中点，过。作£)E_L8C于E,连接AE,取OE中点尸，连接求证：AE±BFDFDECECENDBF=NCAE,：.A.D、G、B四点共圆。ZBGA=ZBDA=90°,AE1BF.

11。为AC上一点，AB=CD,连接30。第十五题:已知：AA8C中，ZA=24°,ZC=30P,求证：ABBC^BDAC简证：以AB为边作正三角形（如图）由NC=30°得0C=0BN80C=2NBAC=48°ZAOC=108°,NOCD=36°0C=0D,ZCOD=72°AZBOD=24°fXABD乌/XOBD,乙4BO=30°ar.BC=BD•AC.

12如图，在AA3C三边上，向外做三角形ABR、BCP、CAQ,使NC8P=NC4Q=45°,ZBCP=ZACQ=30°,ZABR=ZBAR^\50,求证：RQ与RP垂直且相等。简证：以8R为边作正三角形（如图）则△ORA是等腰直角三角形，△OABsMCB,AOBPs4ABC/^ORP^/XARQ：.RQ=RP,RQLRP.

13第十八题:如图，已知4。是。。的直径，。是5C中点，AB.AC交。。于点E、F,EM、FM是。。的切线，EM、尸M相交于点连接求证：DM工BC简证：如图，过。作△OGEsAMDE,△OHFsAMDF.OGOEOF’•而一而一而OHDM：.OG=OHAGDH是平行四边形，。是BC中点；.G、H分别是4B、47的中点

14第十九题:如图，三角形ABC内接于。。，两条高A。、8E交于点H,连接AO、OH。若AH=2,BD=3,CD=\,求三角形A0H面积。解：设〃D=x,F是BC中点，0F=d由RtAACDsRtABHD得7+y1—解得X=13xAD=3,由0B=04得V22+d2=7（3-J）2+l2得d=1...0HCF为正方形，。〃=1三角形40”面积为，x2xl=1o2

15如图，ZDAC=2x,ZACB=4x,ZABC=3x,AD=BC,求NBA。。解：延长BC至E,使CE=BD,则AD=DE,设NE=t,则NE4c=4x—t,由4D=DE得6x—t=t,t=3x,：.AB^AE,/\ABD^/\AEC：.AD=AC,NADC=4x,：.2x+4x+4x=180°,x=18°即NBAC=18°o

16已知：在RfAABC中，ZABC=90°,。为AC上一点，E是3。的中点，N1=N2。求证：ZADB=2ZABD简证：过A作平行线，交CE于F,交CB于G,则FA=FG=FB,易得△ADEgAFBEZADE=/FBE/CBE=/BGF=/GBFNFBA=NABD：.NADB=2NABD。

17已知正方形ABC。，P是CD上的一点，以A8为直径的圆。。交PA、PB于E、F,射线。E、CF交于点M。求证：点M在。。上。证明：设。E与圆。交于N,DEDM=DA2=DC2:ADNCsADCE:.NDCE=NDNC4P

18已知，点。是A4BC内一定点，且有/04。=/。08="区4=30°。求证：A48C是正三角形。证明：显然当△ABC中DA=DB=DC时,△4BC是正三角形。当△4BC中DA,DB、DC有两个相等时,易证△•Be是正三角形。/yVK下面证明△ABC中D4、DC互不相等/"\.\是不可能的。/A\VDA.DB、DC互不相等，不妨设D4最小，[//jJODB最大。以。为圆心，DC为半径作圆，\//则4在圆。内部，B在圆。外部。圆D上取点E,使得NC0E=12O°,BC与圆。交于点凡则4CEF是正三角形。b-、、ZDAC=ZDEC=30°，有。、4、E、C四、点共圆。、N4EC=NACD<30°,有点A在△FED内部。设48与EF交于点G,由NGBC=NGFD=30°知。、G、B、F四点共圆。:.NFGD=NFBD/FED=30°这是矛盾的。故△ABC是正三角形。

19aq—-a+1(1-a+z)a~~d+1gRJ.CLLMNoa-a(2)BNi=l+—i,0=--+-i,ON=-^—+-1—ci221—q21.-i2如图，过正方形的顶点A的直线交BC、CD于M、N,DM与BN交于点L,BPLBN,交DM于点、P。求证：(1)CL1MN；(2)AMON=NBPM证明：(1)设C=0,D——1,B=i,A=-l+i,M=ai,N=b(a,beR)A.M、N共线，有A-MN-M—1+i—ai_z_.ci即gR得b=b-ai1-aDM=l+ai,BN=--一i,求得\-a-/\1(1、1+a—Zl〜+(%—l)zDM=(l+az)-+a一z=L.2I2J2BNiON1B7Vz1OMrl1•==日>n,,DMOM(I—“'DM(1-«)2^V(l-fl)2』,，亘(BN-i\(OM}由得/MON=arg|,NBPM=arg{DM)(ON)

20:.NMON=NBPM。

21已知：在正方形A8CD中边长为1,E是CD上一点，AE交8。于点G,交8C的延长线于点F,连接0b,交CD于点H,连接G”。CF-CH求证：（1）当且仅当E为CD中点时，OG+GH=AOt（2）5AHef=J证明：（1）E为CD中点O0E〃BC,AD=CFEHOE1-=一CHFC2PH2ADDGcF-1~~FB~^GPHC/7DGGO（。是BD中点）OGH//0CGH=GD<^>0G+GH=0D=A0(2)取BC中点K,则由RtAFCHsRtAFKOCHCF用CHCF——=——，即一;一=rKOKF1「厂，1—er+—22CF-CH21CF-CH所以SHCF=—CFCH=-——oA*»vr24

22已知：A8CO与AEEG均为正方形，连接CE,取CE的中点M,连接DW、ME。求证：AMOE为等腰直角三角形证明：设01、。2分别是正方形4BC。、4EFG的中心，则OaM//AF,O2M//ACO\M=AO2=O2E,02M=401=。山，ZDOiM=90°-N40iM=90°—ZA02M=ZMO2E,/.△DOiM^AMOzE,MD=EM又0iM102E,O2MIO1D,：.MD±EM故△MCE为等腰三角形。

23四边形ABC。中，对角线AC、BD交于点0,且AB=A£>,AO=OC.请你猜想A8+8O与8C+OO的数量关系，并证明你的结论。解：过4作4EJ_B。于E,过C作CF_LB。于F,由4。=。。得AECF是平行四边形又得E是BC中点设BE=x,AE=d,OE=tAB=y/x2+d2,BC=yl(x+2t)2+d2BO=x+t,OD=x—t(x>t)当BO>OD时，t>0,AB+BO>0D<=>&2+笛+x+Z>J(x+2/)2+d2+x-t<=>(Jv'+d~+2/(J(x+2)2+d[)<=>41yjx2+d2>4txocP>0当BO=OD时t=0,AB+BO=BC+OD由对称性，BO。。时，AB+BO>BC+OD；当BO=OD时，AB+BO=BC+ODi当BO

24已知：四边形ABOC中，ZABC=ZACB=58°,NC4O=48°,"8=30°,求ZBZ”的度数。解：作△BCD的外心0,则由NBCD=30°得^BD。是等边三角形，ZABC=ZACB,0B=0C：.^ABO^/XACO,A0平分NR4C,：.ZBAO=-ZBAC=32°2而/R4D=64。-48°=16°4。平分NBA。，又BD=BO四△A。。（否贝ijNBDO>60°）,：.ZBDA=30°.

25在A48C中，。是48的中点，ZDAC=2ZDCA,N£）CB=30。，求ZB的度数。解：作CD的垂直平分线交4c于E作△BCD的外心0,则ZDEA=2ZDCE=ZDAE,：.AD=DE,又。是4B中点：.BEA.AE,XZDCF=30°△BDO是等边三角形,于是。0=8。NB04=90°,：.A.B、。、E四点共圆若。与E重合（如上图），则NABC=105°；若。与E不重合（如下图），则四边形D0CE是菱形，C.DO//AC,且/。。4=30°ZDAE=60°,△4CE是等边三角形...E是4c中点，...△ABC是等边三角形ZABC=60°故所求NB=105°或60°,

26第三十题:在四边形ABC。中，AD=CD,AC=BD,AB±AC,求/BEC的度数。解：取AC中点F,则由4D=CD得DFLAC,又4B_L4C得n

27在??公48。中，ZACB=90°,NC48=60°,CD1.AB,M、N为直线AB上的两点，且NMC4=NNC6=8°,求的度数。

28如图，AABC中，BD_LAC于。，E为BD上一点,且NABO=38°，NCBO=68°,ZBCE=14°,求4ME的度数。解:ADADBDtan22=CDtan80EDCD:.tanZEAD=tan8°tan52°tan22°=tan24°：.ZDEA=24°o已知BD是4ABD边AC上高，ZABD=38°,ZCBD=68O,ZBCE=14O1ZDCE=8°1求NCAE证明(文武光华数学工作室潘成华)设NDAE=x,BEABsin(52°-x)BCsin14°工一因为说=―ADsInx—=DCsln8。'得sin(520-x)sln14°sin38°sinx~sin68°sin8°，可知sin680sin80sin(520・x)=sin38°sinxsin14°,进而sin240sin(520・x)=4sin520sin380slnxsln140=sln28°slnx,^§tanx=sin24°sln520sin24°cos520+sin280=tan24。,所以NDAE=x=24。

29CD为。。的直径，A、B为半圆上两点，DE为过点。的切线，A8交OE于E,连接0E,交C8于M,交AC于N0求证：ON=OM证明：设。=0,D=l,C=—1,A=e,a,B=e"'(

30如图，四边形ABCD中，BC=CD,NBC4=21°,ZBAC的度数。解：作△48。的外心。，则由BC=CC,。8=0。知△CSO^ACDO,易知NBCC=84°得NCDB=48°,ZFCO=42°,ZBDA=30°ZBOA=60°,△BOA是等边三角形，NACO=NBCO-NBCA=21°,4c平分NBC。，又48=4。.•.△ABC也△AOC（否则/&4。＞60°）,ZC4D=39°,ZCDA=78°,求I.NBD4=30°o

31第三十五题:如图，四边形ABC。中，AD^CD,ZBAC=\O°,ZABD=50°,NACD=2QP,求NC8。的度数。解：作△48。的外心0,由NBD4=30°得/8。£>=60°,4BOD是等边三角形，NOR4=10°,又NR4c=10°：.OB//AC,又AD=DC,。。=。8知4DAOqLDBC,AOBC是等腰梯形，ZBCA=ZOAC=20°,ZCBD=160°-60°=100°

32如图，BD=CE,G、H为BC、DE中点,AB=AC,FD=FE,ZBAC=ZDFE.求证：AF//GH证明：将△ABC平移至△FMN,T是MN中点,P、Q、R、S分别是CD、BE、EM、ON中点，则四边形4BMF、ACNF、AGTF、BCNM都是平行四边形。易得4FMD段4FNE,MD=NE11PH与CE“GQ,PG与8。^HQ又BD=CE得四边形PaQG是菱形，PQLGH同理SRL777,PS”CN络5M“QR,J.PQ//SR,...T在GH上，XGT//AF：.AF//GH.

33G、H,且石尸=4、GH=3,四边形如图，在正方形A3CD中，有任意四点£、F、EGF”的面积为5,求正方形A8C。的面积。解：如图，作BM〃EF交4。于M,AN〃GH交CD于N,则BM=EF,AN=GH易知四边形EGFH的面积等于四边形AMNB的面积设AM=q,DN=b,正方形边长为x,则111x——b(x-a)--x(x-b)=5

34已知2NC=3N8,2BC=AB,求ZA。解：N4=30°.ZF=60°,NC=90°显然符合已知条件。由2BC=AB,则C点在B为圆心，,4B为半径的圆上2ZC=90°有C在以4B为直径的圆。上取圆B上异于C的点，若点在圆。内部（如点。），则ND>90°,ZABD<60°,2NO3NA8D不合题意;若点在圆。外部（如点E）,则NE<90°,ZABE>60a,2NEV3/4BE不合题意。故只有N4=30°。

35BD在A48c中，ZABC=46a,D是BC边上一点,DC=AB,ZDAB=2\0,求NC。解：如图，做平行四边形ABED,ZEDC=ZBAC=46°,ZFDC=46°+21°=67°DE=AB=DC,：.ZDCE=67°BECD是等腰梯形NBCD=NEDC=46°即NC=46°.

36在A43c中，AB=AC,D为BC边上一点,E为A£）上一点，且满足/BED=2NCED=NBAC。求证：BD=2CDo证明：在BE上作BF=4E,过尸作FG〃A。与NBEC的平分线交于点G,交BD于H。由NBEC=/a4C,得NA8E=NC4E,又4B=4C△ABF乌ACAE,：.NAFE=NCED,ZBED=2ZCED,：.ZAFE=ZFAE,AE=FE故尸是BE中点。EG平分NBED,NGED=NFAE：.EG//AF,四边形4FGE是平行四边形。EG=AF=CE,...△C4E/△G4E。.♦.4。平分GC,XFG//AD,。是HC中点。又产是BE中点，得H是BD中点。故BQ=2DC。

37已知，FC是正方形ABCD和正方形AEFG上的点尸、C的连线，点H是尸。的中点,连接E〃、DH。求证：EH=DH且EH工DH.同二十六题

38已知：/LCAD=ZDAB=\VP,NCBO=40°,ZD3A=20°,求证：ZCDB=70°简证：作点A关于直线8。对称点。，则△ADB丝△OCB,Z4DB=150°△40D是等边三角形，ZOBD=20",ZDOB=10°,NOBC=40°-20°=20°以。为圆心。4为半径的圆。与直线AC交于点C,由/C4D=10°,得NDOC，=20°,ZBOC=10°：./\DOB^^COB,NOBC'=ZOBD=20°=NOBC所以C与C'重合。BC=BD,NCDB=70°.

39如图，E、F分别是圆内接四边形ADBC的对角线A6、CO的中点，若NDEB=NCEB。求证：ZAFD=ZBFD证明：延长CE交圆。于G点，由已知得0EJ_4B,NDEB=NCEBO/DE0=NGE0<^>ADOE^AGOEONEDO=NEGO=NECOO。、E、0、C四点共圆ONDCB=-ND0B=-{ZBOE—ZDOE)=-(ZA0E-ZD0E)=-(NA0C-2ND0F)=-(2NACD-2ND0E)=ZACD-ZDCE=ON4CD=NBCEOsinZDCBsin4CDsinZ4CEsinNBCE（易证）RDRC=——=——<^BDAC=ADBCADAC同理BO-AC=4O-8CU>NAFD=NBFD.ZACE

40已知：AB=AC,ZADB^60P,ZBCE=30P。求证：BA=BE证明：作点E关于BC对称点凡则△ECF是等边三角形，又N4DB=60°：.E>D、C、/四点共圆，NECD=NEFD,NFDB=6Q°NR4c=180°-2ZACB=180°-2(ZECD+300)=180°-(ZEFD+ZECD+600)=180°-ZEFD-ZDCF=180°-ZEFD-ZBEF=180a-ZBFD：.A.D、F、8四点共圆，AZAFB=ZADB=60°,NFAB=NFDB=60".'.△ABF是等边三角形，BA=BF=BE。

41已知：直角三角形ABC,NA为直角，/为内心，BD、CE分别为两内角平分线。MBC的面积为S。求四边形8C0E的面积。解：设△ABC三边分别为a、b、c,X+a2=/?2+c2oSDICDISR.FElS,iIFDIEIS®cF'5iB/c~Cl'S®c_BlCI'G_DI_EI_DIEI、QC~〉aBIE—'、&DIE_B[.C]、'ab八厂acDICDbEIBEcCD=,BE—,==,==a+ca+bBlCBa4-cClBCa+bc°c(bcbe,Sme+Sa8/e+S皿e=~~~"1~7^7~7S\a+ca+ba-^ca-\-b)b-+c「+。力+ac+爪ca~-\-ah-\-ac-\-hco7w7\3=--S=S(a+c)(a+〃)a~+ab+ac+bc・•・四边形BCDE的面积为2So

42AB=AC=CD=DE,且求NE8。的度数。解：设ND=x,贝i]NACB=2x,作平行四边形DEFC,贝IJDEFC是菱形由DC=AB,BD=BE,得BC=AE又NABC=NAEF,得：.FA=AC,△ABC是等边三角形Z4CF=60°...x+x+60°=180°>x=40°,：.ZEBD=180°-2x=100"«

43如图，AABC^ACDE,NO=NA8C=90P，点8在CD上，AB.CE交于尸，过8

44作6GLAC于G,交CE于“，连接A”并延长，交CD于I,设A8=x,BC=y.在A48C中，AD±BC,P是A43C外接圆。上一点，点P关于A8、AC的对称点为点£、F,连接石产与AO交于点H,求证：〃是A48c的垂心。2xCH=QCM?+HMk2(x2+y2)Dx+yicAFx2M/y十五4x2AH=y/AG2+HG2HG=y/cH2-CG2x2+y22xy]x2+yCM=^,HM=^~.k2一打反+y2(+y2+4x2(x2+y2)~2x^7（x>y）求：（1）AH的长（用x,y表示）：（2）竿的值。解：（1）取BC中点M,易得NCBG=NECD,HB=HC,Dpbc(2)作FN〃BC,交AI于点N,易得H是FC中点,——=——DEDC,ag=2AC=^-yK+y2xx2-yAAFNAFAFNHqAQH,——=——BlABBC-1CAB.BCAB+AF''7C=AFABAB-BF+1=r+lyx-X2x2-y2

45证明：作PG_LBC于G,AB交PE于M,AC交PF于N,PF交BC于Q,则M、8、G、P四点共圆，N、C、G、P四点共圆，ZMBP=ZACP,NMGB=NMPB=NNPC=NNGC,：.M,G、N三点共线。MN//EF,4、。、Q、N四点共圆，ZDAC=NNQC=ZNPC+NPCQ=NNFC+NPNG=/NFC+NHFP=NHFC：.H.A,F、C四点共圆，NDHC=NAFC=NAPC=NABCNABC+NBCH=NDHC+NBCH=90°：.CHLAB,H是△ABC的垂心。

46如图，点。、E分别在AC、A8上，BD与CE交于点O,AD=AE,OC=OB。求证：AC=AB.（寻求直接证法）证明：作BC的中垂线交。E于F,交aBEF的外接圆于G,则ZADE=ZAED=NBGF=NCGF：.C.D、F、G四点共圆又ABFG冬ACFG,两圆为等圆：.NFEG=NFDG,：.GE=GD：.ZEBG=ZDCG,而NCBG=NBCG,:.NEBC=NDCB,：.AC=AB.

47第五十题:以任意四边形四条边为基础向外做正方形，连接相对两正方形的中心。求证：这两条线段垂直且相等。证明：如图。取4C中点Q,易得△BHC绕点B逆时针旋转90°即得△R4/因此△BHC2HCLAI所以OQ=QP,且OQ_LQP,同理NQ=QM,且NQ_LQM,：./\OQM9/\PQN,且。M1.PNOM=PN,得证。