江苏省南通市如东县2022-2023学年高三上学期期中数学Word版含解析

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2022~2023学年度高三第一学期期中学情检测数学试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含[选择题（1~12））填空题（第13题~第16题，共80分）、解答题（第17~22题，共70分）]。本次考试时间120分钟，满分150分。请将答题卡交回。2.答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。3.答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。4.如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（i为虚数单位），则A.2B.3C.4D.52.满足的集合的个数为（）个.A.16B.15C.8D.73.下列选项正确的是A.B.C.D.4.2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场.歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形，则机身头部空间大约（）立方米A.B.C.D.5.过双曲线的右顶点作轴的垂线与两渐近线交于两点，这两个点与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三顶点，则双曲线的离心率为（）A.B.2C.D.46.已知，则不等式的解集为

1A.B.C.D.7.已知函数的定义域为，且，对定义域内任意的，，当时，.若，，，则a，b，c的大小关系为A.B.C.D.8.对于集合A，B，我们把集合记作.例如，，，，则，.现已知，集合A，B是M的子集，若，，则内元素最多有（）个A.20个B.25个C.50个D.75个二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若函数，则下列命题正确的是A.函数的图象与的图象重合B.C.D.存在唯一的，使得10.用一个平面去截正方体，截面形状不可能是下列哪个图形A.五边形B.直角三角形C.直角梯形D.钝角三角形11.已知函数，其导函数为，下列说法正确的是A.函数的单调减区间为B.函数的极小值是-15C.当时，对于任意的，都有D.函数的图象有条切线方程为12.已知圆：直线：，下列说法正确的是

2A.直线上存在点，过向圆引两切线，切点为A，B，使得B.直线上存在点，过点向圆引割线与圆交于A，B，使得C.与圆内切，与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线D.与圆外切，与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.如图，已知M，N是边BC上的两个三等分点，若，，则=_______________.14.若数列第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，已知数列是一个二阶等差数列，且，，，则_______________.15.已知直线与抛物线交于A，B两点，若（O为坐标原点），则实数m的值为_______________.16.已知正实数x，y满足，函数的最小值为，则实数取值的集合为_______________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，其中，，且.（1）求A的大小；（2）求的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，O是AD的中点，且，，.（1）求证：平面POB；（2）求点B到面PAC的距离.

319.（本小题满分12分）已知正项数列的前项和为，且，.（1）求；（2）求数列的前项的和.20.（本小题满分12分）已知直三棱柱，，，.（1）证明：面；（2）当最短时，求二面角的余弦值.21.（本小题满分12分）已知直线：，：，线段AB的两个端点分别在直线与上滑动，且.（1）求线段AB中点P的轨迹C的方程；（2）直线：，：与轨迹C有四个交点，求以这四个点为顶点的四边形面积的最大值.22.（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的单调区间；

4（2）若直线与函数的图象相切于点，，且，求直线的方程.2022~2023学年度第一学期期中学情检测高三数学一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【解析】，∴，∴，选A.2.【答案】C【解析】A可取，，，，，，，，共8个结果，选C.3.8【答案】C.【解析】在，∴，A错.，，，在∴，即，B错.，C对.4.【答案】B【解析】，.5.【答案】B【解析】，，，为正三角形∴，即，即，∴，选B.6.【答案】D

5【解析】当时，，，解得当时，因为，所以，解得.综上，不等式的解集为.7.【答案】D【解析】当时，，所以为上的增函数.令，因为，所以为上的增函数.因为，所以.8.【答案】B【解析】设集合A中元素个数为m，集合B中元素个数为n，A，B是M的子集，若，，则.所以.当且仅当时取等号二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】AC.【解析】，A对.，∴，B错.，，C对.，，

6则有两解，D错.10.【答案】BCD【解析】如图所示，截面为如图设，，，∴，，，，，，∴为锐角三角形，B，D都不可能，BD都要选如图截面可以是五边形EFGHI，A可能，A不选如图（红色）截面可以是梯形，但不可以是直角梯形，C要选.11.【答案】AB【解析】方法一：，，∴的单调减区间为，A对.在，，，∴，B对.，可得到，矛盾，C错.，或，时切点不在上

7时切点不在上，D错，选AB.12.【答案】ABCD【解析】，A对.有解，B对.动圆圆心设为，半径设为，对于C，，作的平行线与的距离为1，这样的平行线有两条，与同侧的设为，与异侧的设为则A到O的距离等于A到的距离，A点轨迹为抛物线，C对.对于D，，则A到O的距离等于A到的距离∴A点的轨迹为抛物线，D对，ABCD全对.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.【答案】-4【解析】取MN中点E，∴，∴，∴.14.【答案】【解析】，，∴∴∴∴.15.【答案】【解析】令，，消可得，，，

8，，∴.16.【答案】【解析】，∴，，令，，当时，，矛盾当时，在∴，∴∴的取值集合.四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）因为，根据正弦定理得，即，所以.因为，所以，所以，所以.（2）在中，，，，根据余弦定理，，解得，所以.18.【解析】

9（1）设BO与AC交于M，连接PM，OC.因为，，所以，，所以四边形ABCO为平行四边形，因为，所以平行四边形ABCO为菱形，所以，且在中，，，所以因为，，，面POB，面POB，所以面POB.（2）因为平行四边形ABCO为菱形，，所以，.在中，，为AD的中点，所以，所以.同理，.在中，，为AD的中点，所以.因为面POB，面POB，所以.因为，，，面ABCD，面ABCD，所以面ABCD，所以.所以点B到面PAC的距离.19.【解析】（1）因为，所以，整理得，，因为数列为正项数列，所以，所以，即.因为，，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.所以，即.（2）由（1）得

10当时，.当时，.，①，②①-②，得，即.当时，，适合上式综上，.20.【解析】（1）直三棱柱中，，以为正交基底如图建立空间直角坐标系设，则，，，所以，.因为，，所以，，所以.因为面，所以面的一个法向量为.因为，面，所以面ABC.

11（2）由（1）得，.当时，最短，所以，.所以，.设平面的一个法向量为，则，令，则，，所以平面的一个法向量为.同理，平面的一个法向量为设二面角的平面角为，则.所以二面角的余弦值为.21.【解析】（1）设，，则，所以，所以，所以P的轨迹C的方程为（2）设直线与直线相交于点，

12①当点在椭圆内部时设直线与椭圆相交于，由图象的对称性可知，直线与椭圆相交于，所以，即，因为直线：与轨迹有交点，且点在椭圆内部，所以，且所以所以，当时，取最大值为.②当点在椭圆外部时设直线与椭圆相交于，由图象的对称性可知，直线与椭圆相交于，所以，即，因为直线：与轨迹有交点，且点在椭圆外部，所以，且所以所以，.令，，则在区间上单调递减于是综上得：当时，以这四个点为顶点的四边形面积的最大值为.

1322.【解析】（1）因为所以当时，，因为在上单调递减，且，令，解得，当时，，令，解得.综上，的增区间为，；减区间为，.（2）直线与函数图像的两个切点坐标分别为，，，则当时，；当时，.所以的方程为.所以①②将①代入②得，即.令，，则，，所以在上单调递减，所以，则直线的方程为，即.