浙江省杭州市萧山区2022-2023学年高二上学期期中考试数学Word版含解析

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2022-2023学年浙江省杭州市萧山区高二年级上学期期中考试数学试题一、单选题（本大题共8题，每题5分，共40分）1.直线的倾斜角为(    )A.B.C.D.2.设i是虚数单位，复数，则(    )A.1B.C.D.23.在中，已知，，，则AB等于(    )A.1B.C.D.4.已知圆锥的侧面积单位：为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积单位：是(    )A.B.C.D.5.已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，则下列命题正确的是(    )A.，，则B.，，，则C.若，，则D.若，，则6.已知向量，满足，，则在上的投影向量的坐标为(    )A.B.C.D.7.已知，，，则点A到直线BC的距离为(    )A.B.1C.D.8.柜子里有3双不同的鞋子，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的概率为(    )A.B.C.D.二、多选题（本大题共4题，每题5分，共20分）9.设复数，下列说法正确的是(    )A.z的虚部是yB.

1C.若，则z为纯虚数D.若z满足，则z在复平面内的对应点的轨迹是圆1.如图，在棱长为1的正方体中，下列选项正确的是(    )A.异面直线与所成的角为B.三棱锥的体积为C.直线平面D.二面角的大小为2.在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”;事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是(    )A.事件B与事件C是互斥事件B.事件A与事件B是相互独立事件C.事件B与事件C是相互独立事件D.3.已知圆，点P是圆C上的一个动点，点，，则下列选项中正确的是(    )A.B.的最大值为C.的最大值为12D.的最大值为9三、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）4.已知向量，，若，则__________5.写出过点，且在两坐标轴上截距相等的一条直线方程__________.6.已知圆，以点为圆心，半径为r的圆与圆C有公共点，则r的取值范围为__________.7.已知直四棱柱，底面ABCD为平行四边形，，，，，以为球心，半径为2的球面与侧面的交线的长度为__________.四、解答题（本大题共6题，共70分）8.已知直线

2求证：直线l过定点，并求出此定点;求点到直线l的距离的最大值.1.杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人，高三180人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取120名.对抽出的120名同学某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在至分钟之间，其频率分布直方图如下：需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人?请补全频率分布直方图;求这120名学生运动时间的第80百分位数是多少?2.袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1，2，3，从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次。甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜。你认为此游戏是否公平?说明你的理由.3.如图，四棱锥的底面为正方形，底面设平面平面证明：平面若，求直线l与平面PAC所成角的正弦值.4.已知圆C的半径为3，圆心C在射线上，直线被圆C截得的弦长为求圆C方程;过点的直线l与圆C交于M、N两点，且的面积是为坐标原点，求直线l的方程.

31.图1是直角梯形ABCD，，，，，，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图证明：求二面角余弦值.

4答案和解析1.【答案】A 【解析】解：由直线，即可得直线的斜率为，即，所以直线的倾斜角为  2.【答案】B 【解析】解：，则 3.【答案】B 【解析】解：，由正弦定理，，，  4.【答案】C 【解析】解：圆锥侧面展开图是半圆，面积为，设圆锥的母线长为a，则，，侧面展开扇形的弧长为，设圆锥的底面半径，则，解得，则这个圆锥的体积为  5.【答案】D 【解析】解：由题意可知，在A中，若，，则m与相交或平行或，A错；在B中，若，，，则或m与n异面，B错；在C中，若，，则n与相交或平行或，C错；在D中，若，，则，D正确.  6.【答案】B 【解析】解：在上的投影向量的坐标为  7.【答案】A 【解析】解：

5  8.【答案】C 【解析】解：分别用，，，，，表示6只鞋，则可能发生的情况有15种，，，，，，，，，，，，，，取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的事件有6种，，，，，，，  9.【答案】AD 【解析】解：由复数的概念知，A正确；，故B不正确；当且时，z是纯虚数，故C不正确；因为，所以，即，表示以为圆心，1为半径的圆，故D正确；  10.【答案】ABC 【解析】解：由于和平行且相等，故异面直线与所成的角的大小即为与所成的角，故或其补角为所求.再由正方体的性质可得为等边三角形，故，即异面直线与所成的角为，A正确；三棱锥的体积即，B正确；由正方体的性质可得，在上底面内的射影为，且由三垂线定理可得同理可证，而和是平面内的两条相交直线，

6根据直线和平面垂直的判定定理，可得平面，C正确；由正方体的性质可知二面角的平面角为，大小为，D错误；  11.【答案】BCD 【解析】解：根据互斥事件的定义可知A选项错误；对于事件A与事件B，，，，事件A与事件B是相互独立事件，B正确，同理可知C正确；事件表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故，D正确.  12.【答案】AC 【解析】解：由题意知，圆心，半径为，所以，当点P在AC的延长线上时，IAPl最大，此时，当点P在AC之间时，最小，此时，所以，即选项A正确;当直线AP与圆C相切时，取得最大值，此时，，即选项B错误;设，当时，此时点，有最大值为，所以的最大值为，即选项D错误.  13.【答案】 【解析】解：，由，可得，解得  14.【答案】或写出1条即可 【解析】解：当直线过原点时，方程设为代入点A得：；当直线不过原点时，设直线的方程为：，

7把点代入直线的方程可得，则直线方程是则答案为或写出1条即可  15.【答案】 【解析】解：由题意知，两圆相交或相切，两圆心的距离，解得  16.【答案】 【解析】解：如图，取，连结，因为在直四棱柱中，侧棱底面ABCD，可得直四棱柱的四个侧面均为矩形，所以，因为，所以以为球心，半径为2的球面与直线相切.在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，根据余弦定理可得，，所以因为，平面，所以，所以，所以球面与侧面的交点为F和，又，平面，所以点F和在以为圆心，半径为1的圆上，因为，所以弧的长度为，所以球面与侧面的交线为弧，所以球面与侧面的交线的长度为

8  17.【答案】解：由直线，则，故直线l过定点；由直线得过定点18.【答案】解：报名的学生共有1080人，抽取的比例为 所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人补全得 第80百分位数是 19.【答案】解：试验的样本空间，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B，则B包含的样本点为，，，，共4个，所以试验的样本空间，共有16个，设标号和为奇数为事件C，事件C包含的样本点为，，，，，，，，故所求概率为，所以甲、乙获胜的概率是公平的。20.【答案】解：四棱锥的底面为正方形，，平面PAD，平面PAD，平面PAD，又平面平面， ，又平面ABCD，平面ABCD，平面由底面ABCD且四棱锥的底面为正方形，可知DA、DC、DP两两互相垂直，以D为原点，以DA、DC、DP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图所示：

9由于，则，，，，设平面PAC的法向量是，则，令，得 ，，设直线l与平面PAC所成角为，则21.【答案】解：设圆心，则圆的方程为 ，或舍去 圆的方程为①当斜率不存在时，此时直线l方程为，原点到直线的距离为，令代入圆方程得或，，满足题意.此时方程为②当斜率存在时，设直线l的方程为，圆心到直线l的距离， 原点O到直线l的距离，整理，得，此时k无解．

10综上所述，所求的直线的方程为22.【答案】解：在直角梯形ABCD中，连接AC交BE于F，由题意知：且，四边形CEAB是平行四边形，又 ，四边形CEAB是菱形故， 面，又平面，由 可得，又 设二面角的平面角为，则或 过作于则面 如图建系：， 设面的一个法向量为，则取 或取 而面ABD的一个法向量为 或