的结构力学答案-同济大学朱慈勉

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朱慈勉结构力学第2章课后答案全解2-2试求出图示体系的计算自由度，并分析体系的几何构造。a(III)舜变体系(b)_0_r—<^—o—|_O—ra11hO1。。1吐工1W=5x3-4x2-6=l>0几何可变(inoiiim

1有个多余约束的几何不变体系2-3试分析图示体系的几何构造。diin)W=3x3-2x2-4=1>0可变体系ni几何不变

2(b)

3(C)几何不变有•个多余约束的几何不变体

4(e)

5V5=3X8-9X2-7=-1,有1个多余约束二元体

62-5试从两种不同的角度分析图示体系的几何构造。(IIT)ITT(IITT)

7同济大学朱慈勉结构力学第3章习题答案3-2试作图示多跨静定梁的弯矩图和剪力图。

8M202020kN/m1111卜2叫，叫卜3m-卜3m-*f--4m—

97.53-3试作图示刚架的内力图。6m

10(C)302kN/m

11a2

123-4试找出卜列各弯矩图形的错误之处，并加以改正。(b)

133-5试按图示梁的5。跨跨中截面的弯矩与截面8和C的弯矩绝对值都相等的条件,确定E、F两较的位置。q

14XqF903-6试作图示刚架的弯矩和剪力图。(a)Q405■：\mbc^=\mb\=\mc\：.—x=-ql2216对B点求矩20x9x(4.5-3)=Rfx6：.=45(f)=0.5x20x92-45x9=405,=135(1)Mcf=45x3=135,Mcd=0.5x20x9=90Mba=0.5x20x9=90

15(b)A/f=4.25x4-2x4x2=1“k=3.5x1.5+0.25x2=5.75对A点求矩：与x7+2x4x2=5x2.5->%=-0.5(1)对C点求矩：2x4x2+0.5x2=/7fix4^-//s=4.25(f).♦.%=3.51),=0.25(一)0,左=姿=2-1，Qef=2x4—4.25=3.75Hc=30«-)对E点求矩：七=(20x2x3+30x4)/2=120(T)对4点求矩：/x6+120x10=30x4+20x2x11

16(d)88M—=—x4-lx4x2=—DA33对4点求矩:4x1x6+1x4x2=/x8—>Kb=4(T)4对C点求矩:4x4-1x4x2="8x6f“8=-(<-)Q.•."/=§(—)匕=0ZMb=0f3FPx2。+2ixHH=2FPx2。+/x2。・•./=3(一)-=24(()(0

1784可知:“8=4MV(f),VB=4KN(J)〃/=-4KN(—),%=—4KN(T),=4x2=81ON•加(g)

18q““Hill2对“点求矩：2qa~+——H。xa—»H—1.5qa(->)对F点求矩：qax\.5a+HAxa=0->Ha=-1.5^a(<—)He=0,Mgf-qf、Mgh-]Sga?

19同济大学朱慈勉结构力学第5章习题答案5-1试回答：用单位荷载法计算结构位移时有何前提条件？单位荷载法是否可用于超静定结构的位移计算？由对称性分析知道FnFnp/2xFpx2ciEAEA_*x（一行4）x缶x2+—2EAx2+EA5-4已知桁架各杆截面相同，横截面面积4=30cm2,E=20.6X106N/cm2,FP=98.1kNo试求。点竖向位移4c。

20由节点法知：对A节点心尸布用Fsae=2FP对E节点％=:茸3=:外对A节点3=-彳■=1鼠=^^^噎(1'2小2'5+1'%><6+营)'(-闻)'2舟4)=11.46cm(J)5-5己知桁架各杆的£/相同，求43、8C两杆之间的相对转角/用。杆的内力计算如图所示施加单位力在静定结构上。其受力如图1b——4b=#"nFn£=-(12-472)EA5-6试用积分法计算图示结构的位移：(a)J>fi!(b)4。；(c)%；(d)加。

21(a)」HTnTnTnTn%\AElB以B点为原点，向左为正方向建立坐标M(x)=—q.x1+———x3p216/显然而(x)=x••AyeXMp(x)杰=看状/+”消/心+M)a,=_Ld/x4d/+L』/x/+3〃,xE/+L与2x/+3/xLm)=_LN/(i)“EI3242443422434EI16

22(C)M((p)=1sine)?x1-2x7?(1-cos^)]7?(7^=等=管(逆时针)"=E/=卷,2(1—cos。)/?sin泮曲"击

23(b)22以4为原点，向右为》正方向建立坐标M(x)=5x-x2(0

246kN△yD--Lx2x6x1x2x36x1EI3842kN/mllllllllllg1联E/=常数据之""W一6m-4^2m±2mJ311hx(—x3x2+lx6x2+(-3)H—x(—6))6EI223Ax=(2x18x2+2x18x2+2x30x4+2x30+18x4+2x30x4+2x36x6+4x36+6x30)6x2E16-12,2x62~918z、d(2x36x6)+—x-x6xx3=(―>)6EIEI38EIEI3m

25八bcMPM,1-1z1,__10z_八%=ZJ—万^+工3尸=石(力12x3x1)+由(2x12x1)CtIfvCt1N\jCi11.21八，/1、4小1“、I/,“13、11_(-xl0xl6x-)(2x—x26)(-x4xl6x—x-)+-x-xl3.5EI326EI2EI324%8=——■+~^■(顺时针)3EI16k5-9图示结构材料的线膨胀系数为如各杆横截面均为矩形，截面高度为人试求结构在温度变化作用下的位移：（a）设力=〃10,求（b）设为=o.5m,求心（C、。点距离变化）。（a）

26=10℃=Z*户Nds+Z^二ax30xlx/+0；[乂2+尸)=30a/+(10ax2/2)/—=230a/(b)DC00M图A七=Nds+=a/xx5+a/x—x5+ax—x(-l)x12+—x(—x4x3x2+4x3)42h2=54.5a«T<-)5-10试求图示结构在支座位移作用下的位移:C

27

286-1试确定图示结构的超静定次数。2次超静定6次超静定4次超静定3次超静定去掉复钱，可减去2(4-1)=6个约束，沿口截面断开，减去三个约束，故为9次超静定(f)沿图示各截面断开，为21次超静定(g)所有结点均为全校结点刚片I与大地组成静定结构，刚片n只需通过一根链杆和一个较与I连接即可，故为4次超静定

29(h)题目有错误，为可变体系。6-2试回答:结构的超静定次数与力法基本结构的选择是否有关？力法方程有何物理意义？A/i济国+乐=0其中：2,_1MIII56,//C77/714-i=——x—x—x—x—~\2x—x—F2x/x/H—x/x2=E八23333；2x6£/l333；81EI△\p-7F/8IE/I#IFI3^—X.——^-=08IE/18IE/Xi=Lf0'2「A/=MiX|+%-Fl6°

30Q=Q}Xl+Qp解：基本结构为:Mt，3山ILL。。。八XM2Mp45Hxi+九X]+A|P=0鼻/、+822X2+A2p=0M=M\Xt+MiX2+MpQ—Q\^\+。2占+Qp6-4试用力法计算图示结构，并绘其内力图。

3120kN/ml.75£/DEIp*6m・卜3m—解：基本结构为：%乂+Ap=0(b)解：基本结构为:

32计算Mi,由对称性知，可考虑半结构。计算A/。：荷载分为对称和反对称。对称荷载时:

33M=MM+Mp6-5试用力法计算图示结构，并绘出历图。EIillkNB—I_?EIX2EIA77^7|*3m+3mT用图乘法求出41，42，邑，A”，A2P品吊+况占+乐=0&禹+22*2+阳=0(b)

34£/=常数20kN/mH6m—»6m解：基本结构为:I——：XI4X2X220kN/m出fliii川180Mp150Mi入_30卜490U-150M5\\=t|7(2x3x3+2x3x3+2x6x6)=—6EI>ei^12=~y(2x3x3-2x3x3)=0%=^1y(2x3x3+2x3x3+2x6x6)=您EI△'p1~£7「127—x6xl80x3x—F—x6x<233^x20x6231,2、x二"d—x6xl80x3x—223J2700一EI=J_EI'1??-x6xl80x3x-+-x6x(233，20x6：x^--lx6x180x3x-223j=540EI

35108丫2700八面*】十寸。[乂=-25&乂+匏=0氏=-5[EI'EI“a=180-3x25-5x3=90AW•加屿=180-3x25+5x3=120KM%Mcd=6x(-5)=-30KN-m解：基本结构为:"=，(3x2x3x3)+后％y(2x3x3+2x9x9+2x3x9)x2△ip―-—(2x10x3+2x9x10+9x10+3x10)x2=--6Ex5IEI4国+前=0=乂=1.29Mac=9x1.29-10=1.61KN/m

36A/以=3x1.29-10=-6.13KV/»=3x1.29=3.87KN•加一43.87,873.61.6(d)二二三二三Ob2/4tElrrA/iMiorIlir=-(2x3x3)x2+(2x3x3+2x9x9+2x3x9)x2=--6Er76Ex5r'El

37伪250.4~eT--—(2x6x9+3x6)=---6Ex5I7EI(2x6x6)+——-——(2x6x6)=6Ex5/6Ex2rA.=—|-x3x45x3x—j+——-——(2x3x45+2x9x405+3x405+45x9)-f2x6x45x6]=."21.25"E/l34；6Ex5/5El[3)EI△2P=°111.6v25.2v1721.25_n,乂一方乙+-^-=°/乂=77.3925.2v50.4、，口1X,=-8.69X.+X,=012.EI'EI2Mad=405-9x17.39=248.49AW-m=6x(-8.69)-9X17.39=10437KN•mA/re=3x(-17.39)=-52.17KNMcg=6x(—8.69)=-52.14KN•加.146-6试用力法求解图示超静定桁架，并计算1、2杆的内力。设各杆的E/6-7试用力法计尊图示组合结构，求出链杆轴力并绘出M图.

38U/21M21〜7/3(5i।=1(2x2/x2/)H2/="EA6Er'ke2EI

396-8试利用对称性计算图示结构，并绘出AY图.5%M2243x2解：原结构=r«-6m基本结构为:二人=—x|Ix9x9x9x-EIEI①①中无弯矩。②取半结构：「F,,x|—x9x—F„x9x—(22p35][X]+前=0=>%=-,Fp

40q菸本结构为:\lql2lql2t—x—X———X1dX———X1A12E1

41+乐=°nX]q产12M=MM+MpDEABEJ=常数C

42

43⑴4FPG/）EF（BEH杆弯曲刚度为2EI,其余各杆为El）B取1/2结构:FFF③2④中无弯矩。C1P①考虑①：反对称荷载作用下，取半结构如下:1个考虑③:22弯矩图如下:^rrTTf22F%。与"用——a2②②中弯矩为0.2，，

44(g)解:

45-Xl-^-a3=--Xl^>Xl=—F3EI'\2EI3EI48pM图如下:6-9试回答：用力法求解超静定结构时应如何恰当地选取基本结构？6-10试绘出图示结构因支座移动产生的弯矩图.设各杆E/相同.BCDE~T―0―TX-L4e/=常数七王一平题6-10图6-11试绘出图示结构因温度变化产生的M图。已知各杆截面为矩形，以=常数，截面高度公〃10,材料线膨胀系数为。。(a)8-15℃c(b).+15C8+5℃

46题6-11图6-12图示平面链杆系各杆/及£4均相同，杆48的制作长度短了4,现将其拉伸（在弹性范围内）拼装就位，试求该杆轴力和长度。题6-12图题6-13图6-13刚架各杆正交于结点，荷载垂宜了结构平面，各杆为相同圆形截面，G=0.4E,试作弯矩图和扭矩图。6-14试求题6-1la所示结构较B处两截面间的相对转角。6-15试判断卜列超静定结构的弯矩图形是否正确，并说明理由。题6-15图6-16试求图示等截而半圆形两较拱的支座水平推力，并画出M图。设E/=常数，并只考虑弯曲变形对位移的影响。题6-16图

47同济大学朱慈勉结构力学第7章位移法习题答案7-1试确定图示结构的位移法基本未知量数口，并绘出基本结构。1个角位移3个角位移，1个线位移(c)21：/4个角位移，3个线位移一个角位移，一个线位移一个角位移，一个线位移三个角位移，一个线位移7-2试回答：位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？是否可以将静定部分的结点位移也选作位移法未知量？7-3试说出位移法方程的物理意义，并说明位移法中是如何运用变形协调条件的。7-4试回答：若考虑刚架杆件的轴向变形，位移法基本未知量的数目有无变化？如何变化？7-5试用位移法计算图示结构，并绘出其内力图。

48

49解：（1）确定基本未知量和基本结构有一个角位移未知量，基本结构见图。（2）位移法典型方程/ZI+&3=0（3）确定系数并解方程1,18诏-—0解：（1）确定基本未知量I个角位移未知量，各弯矩图如下

50监图(2)位移法典型方程(3)确定系数并解方程〜=汐,凡〃=-35-EIZ.-35=02(4)画M图解：(1)确定基本未知量•个线位移未知量，各种M图如下

51（2）位移法典型方程%4+为0=°（3）确定系数并解方程4r.=—El,R]n=-Fn112431P「4—EIZ,-F=O2431「724314EI（4）画M图解：（1）确定基本未知量一个线位移未知量，各种M图如下

52(2)位移法典型方程4%+勺=0(3)确定系数并解方程2乙/r6"=5EA，R'p=~5Fp2EA67-Z[-]F=05a5M图(e)

53解：(1)确定基本未知量两个线位移未知量，各种M图如H明图%图(2)位移法典型方程/Z]+/j2Z2+Rlp—0R|Z|+r21Z2+RZp=0(3)确定系数并解方程

54%=-%，，=0代入，解得7_1+2近Ik4=而可说短乙-2(1+V2)EAFp(4)画M图M图7-6试用位移法计算图示结构，并绘出M图。(a)10kN/mie/二常数IBD7777777777—6m—»卜6m——6m—解：(1)确定基本未知量两个角位移未知量，各种M图如下=>rn=2EIr2.=-El213

5554+样2+勺=。+々z?+=o(3)确定系数并解方程All=2£7,耳2=A2I=qEl%苧/6Ri,=30,%=0代入，解得Zj=-15.47,Z2=2.81(4)画最终弯矩图历图解：（1）确定基本未知策两个位移未知量，各种M图如下

56位移法典型方程确定系数并解方程画最终弯矩图34.55414+^2Z2+Rip%Z[+丫"?+&/代入，解得=30KN,必=-30KN20.91万^29.09M图

57解：（1）确定基本未知量两个位移未知量，各种M图如卜.%图（2）位移法典型方程rllZ,+rl2Z2+/?lp=O2|Z|+「22%2+R2P=0（3）确定系数并解方程

58...3i/==0=一］6z%=0，%>=-30侬代入，解得76.316丁46.316z.=,z7=El2El(4)求最终弯矩图:4.217M7M图(d)解：（1）确定基本未知量两个位移未知量，各种M图如下

59(2)位移法典型方程r\\Z\+r\2Z2^R\p=。-Z[+弓222+R2P=°(3)确定系数并解方程&P=》尸,%=-ql代入，解得z=66z=211/1-~3600£7'2-3600£7（4）求最终弯矩图

60(2)位移法典型方程rI1Z1+rI2Z2+/?lp=O弓]Z[+r22^2+&p=°(3)确定系数并解方程rn=^EI,r]2=r2i=^EI447弓2=萨，Ri,二45KN•加，R2P二。代入，解得Zi=-38.18,Z2=10.91(4)求最终弯矩图25.91也FixXIW女“图7-7试分析以下结构内力的特点，并说明原因。若考虑杆件的轴向变形，结构内力有何变化？

61(d)(e)(f)解：(1)画出M，必2，〃p图山图可得:-h.iX-El

62=R1p=-20KN勺=o(2)列方程及解方程组1124—EIZ.+-EIZ,-20=081132’414-EIZ.+—EIZ,=013।92解得：Z,=83.38—,Z,=-71.47—1EI2EI(3)最终弯矩图35解：C点绕D点转动，由Cy=l知，Cx=-,CtcD=-

63卬EI币=£7力2=5=彳％9EI3EI_3EI128"^2_-_1284£74EI9…a?=1=—£/,小二心，22108103327——EI——EI=EI3240160Hip=10KN-m,R2P=0,R3P=-6.25KN求口3r33=27339—EI+—E1+—EI---EI160401281289EI128x8x!4=0.055£/Z,=-17.9/£Z=>Jz2=58.5/E7Z3=285.6/£/El3EIZ[+—Z2EIZ.+10=0142128EIr9EIr27厂”八411021603327EIZXZ)+0.055FZZ3-6.25=0128116023必图

64八9EIr-18E/>M0=0=>rx6f=x42a+—r—xaaa卜底+18)E/O瞬心ZM）=0n心+%”。7（2）列出位移法方程〜4+勺=。解得：Z=^_'2（9&+18）£7（3）最终M图5PuM图(d)作出跖及Mp图如下。

6529E18,=-（：〃+占八〃）=-0/由位移法方程得出：作出最终M图7-9试不经计算迅速画出图示结构的弯矩图形。题7-9图7-10试计算图示有剪力静定杆的刚架，井绘出“图。

66

67解：（I）画出图山图可知，得到各系数；G=7i,《=4i=T，巳=8/门5，n132R.n=—qa",R-,„=qcT}p8""8"（2）求解最终弯矩图7-11试利用对称性计算图示刚架，并绘出时图。20kN/mnHHHIHHHHIIHUBcDEfE/=常数~6m*卜6ma卜6m解：（1）利用对称性得:

68可得:3=300x——4£/225~eT（3）求最终弯矩图解：（1）利用对称性，可得:（2）由图可知，各系数分别为:"4520R\p=-20KN・m—£7Z,-20=0201

69解得：4=舞（3）求最终弯矩图如下（C）7.62F?D点向上作用1个单位，设B向上移动x个单位，则解：（1）在D卜面加一支座，向上作用1个单位位移，由于BD杆会在压力作用下缩短，所以先分析上半部分，如下图。攀工=竿（1一只，得x个单位。(2)同理可求出Mp图。12E/,12EI132E/„4r''=-Tx+丁■厂方厂人丁,pF可得：一（3）求最终弯矩图

70

71（2）由图可知:8c4G20片=G=§£/，%=药£/&p=0,R2P=25KN,r2575解得：Z,=——,Z,=---4EI3EI(3)求得最终弯矩图解：由于n不产生弯矩，故不予考虑。只需考虑（I）所示情况。对（I）又可采用半结构来计算。如下图所示。

72

73(b)3E1C解：(1)求防,而2,M，/图。4iM图(2)由图可知:代入典型方程，得：Z,=0.426,Z,=-0.374,Z3=0.763/pi2.87—^(3)求最终弯矩图El1呜夕3.73—4.67—^7-13试用位移法求作下列结构由于温度变化产生的M图。已知杆件截面高度A=0.4m,EI=2X104kN-m2,a=lX10-5o4+20C0C+20℃6m题7-13图解：(i)画出麻,图。

744EI(2)求解各系数，得，r„=-£/,/?,；=-—£/«,/?；=036,595典型方程：-EIZ.-—EIa=Q36解得：Z,=—a2(3)求最终弯矩图题7-14图

75同济大学朱慈勉结构力学第8章矩阵位移法习题答案8-1试说出单元刚度矩阵的物理意义及其性质与特点.8-2试说出空间桁架和刚架单元刚度矩阵的阶数。8-3试分别采用后处理法和先处理法列出图示梁的结构刚度矩阵。(a)因B£q32EIE/工E/工1/+/+/T解：(a)用后处理法计算(1)结构标识(2)建立结点位移向量，结点力向量△=»iav2e2匕83V4为了Q=[%MFyl%4M七(3)计算单元刚度矩阵1-1261①』如①V1=2EI6/4/2k①k①一7r-12-61_a21n22_6/2/21-63/k@\k2®&3②]_2EI3/2/2一同②L②L-6-3/3/I22-1261-67212-61-6/42-637-31I26-3/-31212单元局部坐标系(iTj)杆长cosasina各杆EI①121i02EI②2T3/10EI③3f4Ii0El①②③234

7663/-63/Vk£2EI3/2l2-3/I2心③心③J=F-6-3/6-3/3/I2-312/2（4）总刚度矩阵12341234~\26/-126/00006/4/2-6/2/20000\k①Mik①~200-12-6/18-3/-63/00ke=k①K2I0k①4k②八22十八22j②左32k②超23的②+的③0»③*342EI=§6/02/20-3/-66/2-31-3/12I200-603/（）0k③凡43k③“44_003/I204/2-3/I20000-6-3/6-3100003/I2-3/2/2（5）建立结构刚度矩阵支座位移边界条件h4%%]=[。ooo]将总刚度矩阵中对应上述边界位移行列删除，得刚度结构矩阵。18-313/0^^2EI-3/6/2j03/j4/2-00I22公(b)用先处理法计算(1)结构标识yt23~~5X单元局部坐标系（if/）杆长cosasina各杆EI①1-2/012EI②2-3101EI③3f4101EI（2）建立结点位移向量，结点力向量△=[%4匕匕]'=[。ooo]r

77故△=[%02。304gF(3)计算单.元刚度矩阵V2。2小网12-61-I3[-614『_匕。3%F12616/左②=46/4/22/2I3612/24/2好=里卜『I2'~I3I24/2（4）建立结构刚度矩阵（按对号入座的方法）024。4g18-613/3/-61313104/200002/2I200I24/2I200尸2广(b)8-4试分别采用后处理法和先处理法分析图示桁架，并将内力表示在图上。设各杆的£4相同。解：（1）结构标识如图

78单元局部坐标系（if/）杆长cosasina①1-2/10②3-4/10③1310-1④2-410-1⑤2-3_V2~2_V2F⑥1-44iiV242（2）建立结点位移向量，结点力向最△=[匕"2%〃3%〃4〜FF=kFyl0-FpFx3Fp?00（3）计算单元刚度矩阵123410-1o--10-1o-I00-100100同理k②=A:①_EA0-10001000C00_00001324000o--o000一“③_E4010-I同理_EA010-1k-0000/c=k~~r00000-101_0-I01一23i4*11L[工j_222-2222-2工工2_2游=华V2/212]_'2'12同理k®=k5)=EA222-2~2-222'2-2222_2'1-222.'2-222.（4）形成刚度矩阵，刚度方程

79V24V24OV24V2-4oOV24V2-472一oO--+44oO也4a4+V24至4/O4oO收一4a4V2一4至4o-1+--4刚架总刚度矩阵方程:V24&4o00-1V24V24-4+-0一4后一4-o-FpFx3Fy30of%［从匕/%〃3匕〃4匕F=回Fyl(5)建立结构刚度矩阵，结构刚度方程制作位移边界条件为:△1△20000将刚度矩阵中对应上述边界位移的行、列删除,U+V2叵n44V24+V20EA4414+V200—4V20-1(6)计算节点位移,得:4即得结构刚度矩阵，相应结构刚度方程为0〃2一0-1%-Fp_V2〃40_6_04+V24

80-4+V24V2400-I丘4+V20-10-0.5578y244力,-2.1354出1/)004+叵V20-0.4422440-1.69280-1V24+V244一A=(7)计算各杆内力1J£122'I-2工1-0.5578Ir~0.7888'22-2-2-2.1354Fpl_-0,7888£工£J_0EA~0.7888~2'2220J[o.7888工工__2-222.j10O---0.78881-0.7888F；⑸_V2-1100-0.7888Fp_0~T00110.7888V2-0.7888乙00-110.7888J032同时可得其他杆内力。7*H“-0.4422F-0.4422今0.5578F0.6253尸(b)采用先处理法(1)步与后处理法相同。(2)建立结点位移向鼠，结点力向量△=M匕〃4"F=[o00]7

81k②=心=EA1To0000（4）形成总刚度矩阵，结构刚度方程~4+V24V2EA~T/00（5）结点位移及内力计算同匕8-5试列出图示刚架的结构刚度方程。设杆件的E、4、/均相同，结点3有水平支座位移s,弹簧刚度系数为八20kNH5H77777-H-V3mT解：（1）结构标识1xrnrr►单元局部坐标系（if/）杆长cosasina①12201②2-32百22

82（2）建立结点位移向量，结点力向量△~[^2V2°2%FF=[200-30o]r（3）建立单元刚度矩阵（l=2m）〃2匕%\2E106E1户P0EA0~T6£7^El下01〃2匕%匕名3EA3EI4/+尸000043(EA\2EI\41//3)EA9EI下+下0003EI下3例/I24EI00(3EA3EI、6(EA3EI(3EA3EIy0[4/1/3)/J下[4/1PJ3E13V3£/2EI3EI4EI~~F产~T~F~Tk®=k（4）建立结构刚度方程（对号入座的原则写出保留支座位移匕在内的刚度方程）3EA15EI,+—T—+k4/P0000百(EA12E1\5EA9EI0004I/FJ-v+~〃220KN03EI3百£78£700I2i=-3GKN(3EA3EIy6(EA\2EI}3EI(3EA3E1\0匕g.F\3—守+7r)-4l//3)〔工+尸J]o3EI343EI2EI3EI4£7_I2I21l21由已知，支座位移匕=c,将以上刚度矩阵％的行删除，并将匕与刚度矩阵第4列乘

83枳移至方程右端与荷载向量合并。3〜15—EA-\88EI+k4±fEA_-EI43EI4-EA+-EI188)4±(ea__412一*59—EA+—EI8835/3mLI4373e匕14心%(EA3E/1石X——4-EI43y[3e1.144£7EI%0.-30KN•m--Ele43-二EI436EI4El2E13厂,——Ele44m一卜—6m**)8-6试采用先处理法列出图示刚架的结构刚度方程，并写出CG杆杆端力的矩阵表达式。设各杆的E/=常数，忽略杆件的轴向变形。解：（1）结构标识如上图.单元局部坐标系（if/）杆长cosasina①2-354/53/5②3-5610③67760-1④1-2301⑤4-3601（2）建M结点位移向量，结点力向量F=[15+10000o]r（3）建立单元刚度矩阵（考虑杆件①及②两端点无相对水平位移，故水平位移可以不考虑）。2。3其中l=5m一4£72EIk0=I12EI4EI~T~T

84名4'4EI2ECk②11其中l=6m2EI4EI.11.匕4，2EI6EIk®=I3I2其中b=6m6EI4EI[I21“2。2，2EI6E「“④=I3I2其中l=3m6EI4EI~T.%/12EI6EI'k⑤=I3I2其中l=6m6EI4EI7T~~T.（4）建立结构刚度方程（按对号入座的方式）1，2%仇。5。652EI-EI-EI0-EI9366232-EI—EI2-EI00一不-25'3155%012321-EI-EI—El-EI04—06515312q000-El-El033A.0-EI000-EIL63（方程中已省去单位）82.06%-25.31—-1.81a0.90A.-20.52I解得:EI

85(5)写出CG杆杆端力的矩阵表达式12360006-6012.正00066082.06'1180002-601*]80002-60[82.06660]_22020二名6046021-20.52-60I63-20.52~~612061206£/010210203663660'18660000000000000006.'6026604]_-60]_3_[6023%。4M匕0-.-F8-7试采用矩阵位移法分析图示刚架,并作出刚架的内力图。设各杆件E、4、/相同，4=1000//尸。单元局部坐标系(if/)杆长cosasina①If2/3/54/5②2f3110(2)建立结点位移向量，结点力向最△=[^2匕/FF=[o@-式]L212J(3)建立单元刚度矩阵必EAr3丫\2EIr4丫(L丁用十下r(EA\2EI\\2EA\~iP~J25TxSEI4x-/25匕：A12E/p2/F)25于+竿、6£/3^x-I25:i;2SEI4~~Fx?SEI3~~rx54EI=EI〃2匕491921185624'25尸25户5/211856161081825尸25户5/224184'W5P7

86〃2%%'1000EI0025厂k®=012EIr6EI1r06EI下4£71(4)建M结构刚度矩阵k=EI24一5/218一5/2873419225户1185625『24-守1185625升1640825『120q/212(5)结构刚度方程〃2kv2%以2解得：v200.0003-0.0009-0.01008-8试利用时称性用先处理法分析图示刚架并作出“、？图。忽略杆件的轴向变形。

87单元局部坐标系(if/)杆长cosasina①1-2410②2-330-1③5-4410A=>2F=»5KN0]r(2)建立单元刚度矩阵\2EIl=4m匕412EI6EI"71r6EI4EI下~T(3)建立结构刚度矩阵%/~24E/6EI',TFk—6EI4£7「尸~T.(4)建立结构刚度方程24E16E1尸一下卜26EI4£7|_6»4解得:64l=4m-50(5)计算杆件内力(31EI64/-6=下12-612T62/-6一⑶F12/12OII

88„<1}F=FEI=产(6)作出M、iKNmAKNm(b)1271274/1212T2164EI-6-6621-64/SKNm々图30处1力3EIE3E/解：原结构等效为下面结构:正对称1.正对称结构(1)结构标识如图所示kN三三a5-UVNas反对称△小①>y2②(2)结构位移向量a囱A△==_02]A2

89(3)等效结点荷载202020T202020T,T(4)建立单元刚度矩阵(5)建立结构刚度方程EI1△、6A220T20T解得：△1=-33EI'4=-11£7(6)求杆端力铲=而2斤M一拓一—--io-20'T-1020_T_+2EI316383"16383813-8223-163-83163*83"82_23-81-0-0A_=■130-1180'TT90'TT0

9040-U80一“40-u40-U-----21oAoA----2-32-32-34-3-4-93-84-92-3__-2-34-32-32-334-92-3M图90H2.反对称结构(3)计算单元刚度矩阵

91△4Cv-3）42（。2Mi（仇）3383434421124（%）'（名）dE）^3（^3）~3_3'卜③=EI16W31L8J（4）建立刚度方程33394[2544816解得：△]=-43.54—,A,=-3.21—,A,=-7.08—,A4=111.50—EIEIEIEl(5)求杆端力3333"铲='Fy2齐，”=--10'20T-10+2EI16383813163-s38]_23飞:a20=--3.25'27-16.75A?!_20T.-163-8163'IIA-0..82~8

9242932433429一3223333168』i83316-8382163-20.58-2720.58-34.7381A18.25234.7330-18.258038.2716383M图820.583.253.25整体受力图为：M图8-9设有如图两杆件刚结组成的特殊单元"（或称为子结构），试宜接根据单元刚度矩阵元素的物理意义，求出该特殊单元在图示坐标系中的刚度矩阵元素k}}和高。ElEL

93解：将单元在3方向转动单位角度视为主动力作用情况：（加一个刚臂）_7__7EI_ly[2EI（-+l]/y[2ar..[2}WEIw近=百8-10试采用先处理法列出图示刚架的结构刚度方程。设各杆的E/=常数，忽略杆件的轴向变形。解：（1）结构标识如图

94y八显而易见，a4=-A,(2)建立结构位移向量和结构荷载向量F=\6KN-8KN-mAKN-w,0]r(3)建立单元刚度矩阵£7£772一44同一44-nA-114一+以丛矶后4V224V224-23以£/—正144虫1442+-刈以£/也24立24也244EI?8EIE16EI6-EI3EIEI~6E13-EI33(4)建立结构刚度方程将上述单元刚度矩阵的元素，按照其对应的未知节点位移序号对号入座，即可得到结构刚度矩阵，据此可列出结构的刚度方程。

95-IV2—E/246V2V2-EA--EI2414424144V2—EI24"ei334-72——£724A1△26KN—8KN-m-EI6V2-EA-24V2—£Z144-£734-V2——£/24土EI3Lei66上“8+V2ri——EA4-EI24144△3A_4KNm0EI1-61-34-31-6&八36KN-SKN-m4KN-m将A4=-4带入」:式，然后将结构刚度矩阵第一列减去笫四列得方程。上述方程组四个方程，三个未知数，为了获得位移解的存在性，以及刚度矩阵的对称性，我们将第•个方程减去第四个方程，得:-8+V2V2-21212EIa/2—22+^2123013313二'6KN-8KN-m44KN-m0

96同济大学朱慈勉结构力学第9章超静定结构的实用计算方法与概念分析习题答案9-1试说出何为杆端转动刚度、弯矩分配系数和传递系数，为什么弯矩分配法一般只能用于无结点线位移的梁和刚架计算。9-2试用弯矩分配法计算图示梁和刚架，作出“图，并求刚结点8的转角9队(a)20kN/m|40kN.%也占3p*6m2m解：设EI=6,则如=1,&=L5结点ABC杆端ABBABC分配系数固端0.470.53绞支固端弯矩-6060-300分配传递-7.05<---14.1-15.90最后弯矩-67.0545.9-45.90%=51Mb*一-3（Mhb-叫b）M-:cu

973x3//»,）=uRF=BDBE3x3+3x3+3xl+4xl=0.364x13x3+3x3+3x14-4x13x1=0.16结点杆端AABBCBABCBDBE分配系数固端0.160.120.360.36绞支固端弯矩00045-900分配传递3.67.25.416.216.20最后弯矩3.67.25.461.2-73.800H=-B3zBA~mBA~^Mab一叫b）=0.12^BC~3x3+3x3+3x14-4x13I=——7.2-0——（3.6-0）El2EI詈m•苏（顺时针方向）9-3试用弯矩分配法计算图示刚架，并作出M图。32kN|8kN/m6kNEI8m固端弯矩河._&力（/+力）32x4x4x122x8248KMmEIMlOOkNm^4m.卜4m—解：B为角位移节点设EI=8,则iAB=iBC=1>/iBA=ftK=0.5M.、=-空+>62=-58KN•m“82结点AB杆端ABBABC分配系数校接0.50.5固端弯矩048-58结点力偶直接分配时不变号12

98分配传递50550512最后弯矩0103103121231212.556.560kN60kN40kNJ40kN/mbTC?_biEE/=常数产产中叶_6m+6m_产叫解：存在B、C角位移结点设EI=6,则iAB=iBC=iCD=14x14x143xl+4xl-7固端弯矩:MAB=-3OKNmMBA=-^KNmMbc=Mcb=0一竺”_+80xJ.=一］40KNm°82结点ABC杆端ABBABCCBCD分配系数固结0.50.54/73/7固端弯矩-808000-140-20-40-40-2047.591.468.6-11.4-22.8-22.8-11.4分配传递3.256.54.9-0.82-1.63-1.63-0.82最后弯矩0.6-112.2215.57-15.4866.280.45-66.05

99112.2280解：B、C为角位移结点固端弯矩:M.B_24x4?_64KN-m6Mba_24x4?_128AW/M3Mbc24x52=-50KN-m12Mcb_24x5?_50KN-m12Mcd24x52=-200XW•m3Mdc24x52=-100AW-tn6结点ABCD杆端ABBABCCBCD滑动分配系数滑动0.20.80.80.2-100固端弯矩64128-5050-20015.6-15.6-62.4-31.272.48144.9636.24-36.24分配传递14.5-14.5-5811.6-2923.25.8-5.82.32-2.32-9.28-4.643.70.93-0.93

100最后弯矩157.02-157.03-142.9796.4295.58-95.64x14==//nr=-0c4xl+4xl+3xl113x13““_4xl+4xl+3xl—77固端弯矩:2x438“、，MI2.==—KN-m1232M,n=-KNm3(e)3kN/m结点ACDE杆端ACCACDDCDBDEED分配系数固结0.50.54/113/114/11固结

101固端弯矩00000-2.672.67-5-10-10-546/3392/3369/3392/3346/33分配传递-0.35-23/33-23/33-0.350.1270.0960.1270.064最后弯矩-5.35-10.7-9.3-2.442.190.254.12

102解：当D发生单位转角时：4=Kx（4xl）=弓（小）则Mdc=T*4=七/（十）（假设=12）.■.SOC=12,SOX=9,SD£=16,SEB=12、Sde-16164Ade=W，"ed=F，"eb=3-712_9_m=37,结点DEB杆端DCDADEEDEBBE分配系数12/379/3716/374/73/7固结固端弯矩00-9900-2.57-5.14-3.86-1.933.752.815-2.5分配传递-0.72-1.43-1.07-0.540.230.180.310.16最后弯矩3.982.99-6.985-5-2.47（02kN/m解：截取对称结构为研究对象。SAA.=0.5E/FIS.fl=4x—=£/AB41/21=2/3=32Nab=~7i同理可得：L=G、Nbb,=}

103ABAA9A'AAif42->-2133•0.89-Q44->-0.440.15-0.10-005-*0X)54.49449-451BABB'B"BxA-;PYJ"Yo^3b-52.671.33*133-0.440290.15->-0.15-0.050.030.02-0.02450-4.50-450'c"QU^±W4.509-4试用弯矩分配法计算图示梁，并作出M图。设图a梁含无限刚性段：图b梁B支座处含转动弹簧，刚度系数为4=4i。

104MB.c=3z+3x—4Mcb=°MBC16z316/。跋="也=oMcbMr..=4z+6zx-^-x—/=6zBA当44M4R=2z4-6zxx—/=4z”2/4Sba=MbaCbL学Mba28.133结点杆端分配系数固端弯矩分配传递最后弯矩AB冏结3M/11BA7/117M/113M/117M/11BC4/114M/114M/11CB较结(b)32kN解：苜先在B点偏右作用•力矩，如图所示。根据杆BC端，可得A/=4i%c+—%/)①根据杆BA端，可得由②式得:%.=中%kO将②式代入①式得：M=布%。+4,4M

1054沼“_%_4i+k8_4i+4j_24i3BC+4沿ba~限+Gba-4i+-4i+8i-3tk81“bl~4i+2k0~39-5试用弯矩分配法计算图示剪力静定刚架，并作出M图。解：作出M图（在B处加刚臂）Sbd=2i•・NbD=0,6，〃8彳二°，〃8C=0.4(b)F\lOkNG1lOkN।IBCDE£/=常数结点ABCE杆端ABBDBABCCBCEEC分配系数较结0.600.4较结固端弯矩0-2ql2-ql73-ql7600分配传递021ql2/15014ql715-14ql7150最后弯矩021ql2/15-2ql23ql75-33ql73000p■—4m——卜4m—>卜4m—(a)(b)

106(a)图中结构不产生弯矩，(b)图中结构为反对称结构，因此可以取下半部分分析得:S\c=3Ei/l.5=2ElSAB=EI/4=-El,8Aae=]_Pab-3Se*=S“=；E/Sbc=E/I2=^EI〃所，=i2.028.080.020.082.048.16Ml知9-6试回答：剪力分配法的适用范围如何？什么叫柱子的并联和串连？由并联和串连所构成的合成柱，其剪切刚度和剪切柔度应如何计算？9-7试用剪力分配法计算图示结构，并作出用图。解：AB、CD、EF、GA均为并联结构。①首先转化结间荷载或62.53（）如=-*-37.5侬（一）威=—22.5KN（—）固端弯矩：M\=-C=-l25KN-m8,,,,f3EJ9E19EI3EI24/

107于是边柱和中柱的剪力分配系数为r,=|,r2=1转化后的荷载为：37.5+22.5+10=70KN边柱和中柱的剪力分别为：707=个70=胃口边柱柱脚弯矩为：—xl0+125=212.5/C?Vw8710中柱柱脚弯矩为：—xl0=262.5KNm8262.5262.5212.5A/图(KNm)解：同上题，边柱和中柱的剪刀分配系数为488转化结间荷载Q；e=•也+4)=—8.96KN。101边柱和中柱的剪力分别为：1AQ,2R=rx8.96=1.12KN,=-=-3.2KN-ma1100DQ22Fn=nx8.96=3.36KN,A/*==12.8KN•m02,FE100边柱柱脚弯矩为：1.12x5=-5.6KN中柱CD柱脚弯矩为：3.36x5=-16.8KN中柱EF柱脚弯矩为：-3.2-16.8=-20KMm

10829.65.6Ml国(KMm)H3()kN/：/El4EIGEI解:15处N15EIrQbrQcrQd(b)单位：KNm3QkNA

10915(a)当顶层横梁没有水平位移时，d、e、b、c并列R=45KN4：%=7.5KNd、)并、c中、bx/、井)并a,C/

110设怎12EI43=1尼=%=怎=抬=],\2x4EI1勺=-^=3%=45/3=15加Fq(N=Fqm}=30KN%=%=%=%=g%*)=15"(d)p*—2m-卜2m+2m-*]解：结构分析:be并联与de并联，经串联后的结合柱与a并联。3EI1+12EI~~V2ET1尸产159E/13/'39120120241159叱159,’159392120151120154x—x—,r.=x—x—159395'159395Qa=497KNQb=QC=4.64KN&=1.16KN,0=4.64KN

111Ml匆(KMm)9-8图示刚架设各柱的侧移刚度如括号内所示，试用剪力分配法计算，并作出M图。FEI[=°°JEh=8M55kNg(D万⑴/(I)EE/|=8IEI\=8L42)e(2),A3)E/]=8D劭=8H。⑵伙3)£»c(3)r$30kNB解:h、i三杆并联1!=/=乙=§%=%=G=10KNH=30+55=85KN

112=2+3+3=817¥rt9丁F(y=85x—=45KN517Q=85'行=40侬%=%=；x40=20KNF,.=2x40=10KN383^=^=«x4O=15^o

113将(a)、(b)两图叠加得:

114M图(KNm)9-9试运用力学基本概念分析图示结构，并作出M图的形状。(a)IJ-土］山阳，E/=常数上\1^'—4'-I解：对于跨间均布荷载的等截面连续梁。其变形曲线如图所示。C点角位移应是顺时针方向。C支座处承受负弯矩，数值应小于C端为固定端时的弯矩ql”3解：若D点固定，则M0c，=贮22实际结点的转动受到弹性约束M0c决2若DE段两端固结，则12但Mde<<,D结点左侧卜缘将受拉

115MM。］解：对了仅有结点线位移的刚架B端若为固定端则A、B两点固端弯矩为％/4B端若为自由端，则B端弯矩为-5,/4B端实际弯矩应介于两者之间.根据柱的侧移刚度，B端弯矩为左边受拉.M且上毁＞=2Ms(a)解:

116且M/+M卜，我们还应注意BD杆没有剪力。反对称正对称

117反对称：可知AB杆和ED杆没有剪力，因为如果有，则剪力方向相同，结构水平方向的里无法平衡。所以AB杆与ED杆的弯矩与杆平行。弋_E16%=y1=~对称：C皎只能提供水平力，忽略轴向变形。(a)(a)、(b)两图叠加,得

118h―/H解：忽略轴向变形，则竖直方向的Fp不产生弯矩，可略去。对称结构不产生弯矩。反对称：M.=-Fh'4「b图中因BC杆的“bc比较大，所以Mgc接近于

119这是考虑节点转动的原因。(h)解：单.独考虑力矩和竖向荷载。力矩:反对称对称反对称:

120AB,BD杆中无剪力，又因为〃福田，所以AB杆中无弯矩，又因为DE杆的1%=8,D点无转角，对于剪力静定杆而言，无转角则无弯矩，所以DB杆中无弯矩。对称：MTBA77m-(b)这是结点无线位移结构，又因为DE杆与BC杆的£4=00,所以结点乂无转角，所以AB杆、BD杆、BC杆无弯矩。(a)、(b)图叠加：竖向荷载:(d)本结构无线位移，D、B两结点乂无转角，DB杆、BA杆上又无荷载，所以DB杆、BA杆无弯矩。(0(d)两图叠加得:

1219-10试用静力法求图a所示超静定梁8支座反力产出的影响线方程，并绘制它的影响线。设取基本结构如图b所示。“一、」,Px2(2l+l-x)Px2(x-3I)解：由力法求出：F,b=——七一=―2故影响线为：

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