2，于是可得0≤x≤4时，函数图象为抛物线的一部分，当40)的图象上，过点C的直线与x轴、y轴分别交于点A、B，且AB=BC，已知△AOB的面积为1，则k的值为______．【答案】4【解析】解：设点A的坐标为(−a,0)，∵过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，∴点C(a,ka)，∴点B的坐标为(0,k2a)，∴12⋅a⋅k2a=1，解得，k=4，故答案为：4．根据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点C和点B的坐标，再根据△AOB的面积为1，即可求得k的值．本题考查反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．4.如图所示，已知AD//BC，∠ABC=90∘，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP=______．【答案】247或2或6【解析】解：∵AB⊥BC，∴∠B=90∘．∵AD//BC，∴∠A=180∘−∠B=90∘，∴∠PAD=∠PBC=90∘．AB=8，AD=3，BC=4，设AP的长为x，则BP长为8−x．若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：(8−x)=3：4，解得x=247；②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：(8−x)，解得x=2或x=6．所以AP=247或AP=2或AP=6．故答案是：247或2或6．由AD//BC，∠ABC=90∘，易得∠PAD=∠PBC=90∘，又由AB=8，AD=3，BC=4，设AP的长为x，则BP长为8−x，然后分别从△APD∽△BPC与△APD∽△BCP去分析，利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案．此题考查了相似三角形的性质.注意利用分类讨论思想求解是关键．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）5.解方程：x(x+2)=0．【答案】解：∵x=0或x+2=0，∴x1=0，x2=−2．第5页，共6页
3【解析】原方程转化为x=0或x+2=0，然后解一次方程即可．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．1.在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，他们的形状、大小、质地等完全相同.小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子，摇匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为y(1)用列表法或画树状图法表示出(x,y)的所有可能出现的结果；(2)求小兰、小田各取一次小球所确定的点(x,y)落在反比例函数y=6x的图象上的频率；(3)求小兰、小田各取一次小球所确定的数x，y满足y<6x的概率．【答案】解：(1)列表如下： 12341(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)所有等可能的结果有16种，分别为(1,1)；(1,2)；(1,3)；(1,4)；(2,1)；(2,2)；(2,3)；(2,4)；(3,1)；(3,2)；(3,3)；(3,4)；(4,1)；(4,2)；(4,3)；(4,4)；(2)其中点(x,y)落在反比例函数y=6x的图象上的情况有：(2,3)；(3,2)共2种，则P(点(x,y)落在反比例函数y=6x的图象上)=216=18；(3)所确定的数x，y满足y<6x的情况有：(1,1)；(1,2)；(1,3)；(1,4)；(2,1)；(2,2)；(3,1)；(4,1)共8种，则P(所确定的数x，y满足y<6x)=816=12．【解析】(1)列表得出所有等可能的情况数即可；(2)找出点(x,y)落在反比例函数y=6x的图象上的情况数，即可求出所求的概率；(3)找出所确定的数x，y满足y<6x的情况数，即可求出所求的概率．此题考查了列表法与树状图法，以及反比例函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．四、解答题（本大题共7小题，共70.0分）2.已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示.请解答以下问题：(1)按要求作图：先将△ABO绕原点O逆时针旋转90∘得△OA1B1，再以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2；(2)直接写出点A1的坐标，点A2的坐标．【答案】解：(1)如图所示：△OA1B1，△OA2B2，即为所求；(2)点A1的坐标为：(−1,3)，点A2的坐标为：(2,−6)．【解析】(1)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)利用(1)中所画图形进而得出答案．此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．3.某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元，求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．【答案】解：设增长率为x，根据题意2015年为2500(1+x)万元，2016年为2500(1+x)2万元．则2500(1+x)2=3025，解得x=0.1=10%，或x=−2.1(不合题意舍去)．答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．【解析】一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，2015年要投入教育经费是2500(1+x)万元，在2015年的基础上再增长x，就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求解．本题考查了一元二次方程中增长率的知识.增长前的量×(1+年平均增长率)年数=增长后的量．4.为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE//BC.经测量BC=24米，BD=12米，DE=40米，求河的宽度AB为多少米？【答案】解：设宽度AB为x米，∵DE//BC，∴△ABC∽△ADE，∴ABAD=BCDE，又∵BC=24，BD=12，DE=40代入得∴xx+12=2440，解得x=18，答：河的宽度为18米．【解析】根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解答此题的关键．5.如图，⊙O中弦AB与CD交于M点．(1)求证：DM⋅MC=BM⋅MA；(2)若∠D=60∘，⊙O的半径为2，求弦AC的长．第5页，共6页
4【答案】(1)证明：∵AC=AC，∴∠D=∠B，又∵∠DMA=∠BMC，∴△DMA∽△BMC，∴DMBM=MAMC，∴DM⋅MC=BM⋅MA；(2)连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H点，∵∠D=60∘，∴∠AOC=120∘，∠OAH=30∘，AH=CH，∵⊙O半径为2，∴AH=3∵AC=2AH，∴AC=23．【解析】(1)根据圆周角定理得到∠D=∠B，证明△DMA∽△BMC，根据相似三角形的性质列出比例式，即可证明结论；(2)连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H点，根据圆周角定理、垂径定理计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．1.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−4x+2m−1的顶点为C，图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)．(1)求m的取值范围；(2)当m取最大整数时，求△ABC的面积．【答案】解：(1)∵抛物线y=x2−4x+2m−1与x轴有两个交点，令y=0．∴x2−4x+2m−1=0．∵与x轴有两个交点，∴方程有两个不等的实数根．∴△>0.即△=(−4)2−4⋅(2m−1)>0，∴m<2.5．(2)∵m<2.5，且m取最大整数，∴m=2．当m=2时，抛物线y=x2−4x+2m−1=x2−4x+3=(x−2)2−1．∴C坐标为(2,−1)．令y=0，得x2−4x+3=0，解得x1=1，x2=3．∴抛物线与x轴两个交点的坐标为A(1,0)，B(3,0)，∴△ABC的面积为12⋅|−1|⋅(3−1)=1．【解析】(1)根据抛物线与x轴有两个交点，得到△>0，由此求得m的取值范围．(2)利用(1)中m的取值范围确定m=2，然后根据抛物线解析式求得点A、B的坐标，利用三角形的面积公式解答即可．考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系等知识点，解题时，注意二次函数与一元二次方程间的转化关系．2.如图，Rt△ABP的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y=kx图象的两支上，且PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点F和E.已知点B的坐标为(1,3)．(1)填空：k=______；(2)证明：CD//AB；(3)当四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等时，求点P的坐标．【答案】3【解析】(1)解：∵B点(1,3)在反比例函数y=kx的图象，∴k=1×3=3．故答案为：3．(2)证明：∵反比例函数解析式为y=3x，∴设A点坐标为(a,3a).∵PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，∴D点坐标为(0,3a)，P点坐标为(1,3a)，C点坐标为(1,0)，∴PB=3−3a，PC=−3a，PA=1−a，PD=1，∴PCPB=−3a3−3a=11−a，PDPA=11−a，∴PCPB=PDPA．又∵∠P=∠P，∴△PDC∽△PAB，∴∠CDP=∠A，∴CD//AB．(3)解：∵四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等，∴S△PAB=2S△PCD，∴12×(3−3a)×(1−a)=2×12×1×(−3a)，整理得：(a−1)2=2，解得：a1=1−2，a2=1+2(舍去)，∴P点坐标为(1,−32−3)．(1)由点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值；(2)设A点坐标为(a,3a)，则D点坐标为(0,3a)，P点坐标为(1,3a)，C点坐标为(1,0)，进而可得出PB，PC，PA，PD的长度，由四条线段的长度可得出PCPB=PDPA，结合∠P=∠P可得出△PDC∽△PAB，由相似三角形的性质可得出∠CDP=∠A，再利用“同位角相等，两直线平行”可证出CD//AB；(3)由四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等可得出S△PAB=2S△PCD，利用三角形的面积公式可得出关于a的方程，解之取其负值，再将其代入P点的坐标中即可求出结论．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形的面积，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；(2)利用相似三角形的判定定理找出△PDC∽△PAB；(3)由三角形的面积公式，找出关于a的方程．第5页，共6页
51.如图1，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD//BC，点P为DC上一点，且AP=AB，分别过点A和点C作直线BP的垂线，垂足为点E和点F．(1)证明：△ABE∽△BCF；(2)若ABBC=34，求BPCF的值；(3)如图2，若AB=BC，设∠DAP的平分线AG交直线BP于G.当CF=1，PDPC=74时，求线段AG的长．【答案】证明：(1)∵AB⊥BC，∴∠ABE+∠FBC=90∘又∵CF⊥BF，∴∠BCF+∠FBC=90∘∴∠ABE=∠BCF又∵∠AEB=∠BFC=90∘，∴△ABE∽△BCF(2)∵△ABE∽△BCF，∴ABBC=BECF=34又∵AP=AB，AE⊥BF，∴BP=2BE∴BPCF=2BECF=32(3)如图，延长AD与BG的延长线交于H点∵AD//BC，∴△DPH∽△CPB∴HPBP=PDPC=74∵AB=BC，由(1)可知△ABE≌△BCF∴CF=BE=EP=1，∴BP=2，代入上式可得HP=72，HE=1+72=92∵△ABE∽△HAE，∴BEAE=AEHE，1AE=AE92，∴AE=322∵AP=AB，AE⊥BF，∴AE平分∠BAP又∵AG平分∠DAP，∴∠EAG=12∠BAH=45∘，∴△AEG是等腰直角三角形．∴AG=2AE=3【解析】(1)由余角的性质可得∠ABE=∠BCF，即可证△ABE∽△BCF；(2)由相似三角形的性质可得ABBC=BECF=34，由等腰三角形的性质可得BP=2BE，即可求BPCF的值；(3)由题意可证△DPH∽△CPB，可得HPBP=PDPC=74，可求AE=322，由等腰三角形的性质可得AE平分∠BAP，可证∠EAG=12∠BAH=45∘，可得△AEG是等腰直角三角形，即可求AG的长．本题是相似综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．第5页，共6页
