《数值计算课后习题答--石瑞民》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
习题一解答7?3551.取3.14,3.15,—,型作为〃的近似值，求各自的绝对误差，相对7113误差和有效数字的位数。分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2,首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答.解：(1)绝对误差：e(x)=it-3.14=3.141592653.14=0.00159-%0.0016。相对误差：簿(%)=W=幽40.51x10-3rx3.14有效数字：因为n=3.14159265…=0.314159265…X10,3.14=0.314X10,m=lo而n-3.14=3.141592653.14=0.00159-所以|n-3.14|=0.00159-^0.005=0.5X10-2=-x10-2=-xl0'-322所以，3.14作为n的近似值有3个有效数字。(2)绝对误差：e(x)=n-3.15=3.141592653.14=-0,008407…Q一0.0085。相对误差：/、e(x)-0.0085八门s-2e,(x)=-^=«-0.27x102x3.15有效数字：因为n=3.14159265…=0.314159265…X10,3.15=0.315X10,m=lo而n-3.15=3.141592653.15=—0.008407-所以|n-3.15|=0.008407^0.05=0.5X10-'=-xlO^'=-xl01-222所以，3.15作为〃的近似值有2个有效数字。(3)绝对误差：22e(x)=乃——=3.14159265-- -3.142857143=-0.001264493•••«-0.0013相对误差:,.e(x)-0.0013八“[s_3，(x)='-«-0.41xl03X.7
1有效数字：因为n=3.14159265…=0.314159265-X10,22—=3.142857143=0.3142857143x10,m=l.7_22而乃——=3.14159265 --3.142857143=-0.001264493…7所以22n——=|3.14159265••--3,142857143|=0.001264493•••<0.005=0.5x10-2*io-2=2_*1o「322所以，必作为〃的近似值有3个有效数字。7(4)绝对误差：355e(x)=n=3.14159265•--3.14159292=-0.0000002705•••«-0.000000271113相对误差：,.e(x)-0.000000271er(x)=—=ZT7»-0.863x10'X33〉H3有效数字：因为n=3.14159265…=0.314159265-X10,355 =3.14159292=0.314159292xlO,m=1。113.355而乃=3.14159265••--3.14159292=-0.0000002705•••113所以355=|3.14159265…-3.14159292|=0.0000002705 <0.0000005=0,5x10^=-xlO-6=-xl01-722所以，当作为n的近似值有7个有效数字。113指出：①实际上，本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限，而不是绝对误差和相对误差。2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。346.7854,7.000009,0.0001324580,0.600300
2解：346.7854弋346.79,7.000009七7.0000,0.0001324580^0.00013246,0.600300^0.60030o指出：注意0.只要求写出不要求变形。3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。斗=0.0315,x2=0.3015,=31.50,5=5000。分析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字个数。有效数字由定义可以直接得出。解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是£(为)=0.00005,£(%)=0.00005,f(x3)=0.005,£(%)=0.5由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是、£(石)0.00005_d(x)=-=»0.16%,%10.0315-、£(%)0.00005八…b(x,)==«0.02%,2x20.3015£(xj0.005„d(x3)=-=工0.002%,x331.5心4)=35000有效数字分别有3位、4位、4位、4位。指出：本题显然是直接指出有效数位、直接写出绝对误差，用定义求出相对7天差。4.计算所的近似值，使其相对误差不超过0.1%。解：设取n个有效数字可使相对误差小于0.1%,则—xlOl-n<0.1%,2q而显然q=3,此时，J-Xio,n=_!_xio1-n<0.1%,2q2x3即Lxl05<10-3,6
3也即6x10">1()4所以，n=4)>止匕时，Jida3.162。5、在计算机数系F(10,4,-77,77)中，对3=014281x1()3与内=-0.314159x101试求它们的机器浮点数力(七)"=1⑵及其相对误差。解：//(x,)=0.1428xlO3,e(/7(x,))=x,-/7(x,)=0.14281x103-0.1428xlO3=0.00001xlO3,fl®)=-0.3142x10',e(fl(x2))=x2-fl(x2)=-0.314159x10'-(-0.3142x10')=0.0004IxlO1其相对误差分别是0.00001xio30.1428xl03®0.007%,e2=0.000041xlQ1-0.3142x10'«-0.013%o6、在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数x=0.23371258x1(T4,y=0.33678429xlO2,z=-0.336778llxlO2,试按(x+y)+z,x+(y+z)两种算法计算x+y+z的值，并将结果与精确结果比较。解：fl((x+y)+z)=(0.23371258x10^+0.33678429x102)-0.33677811x102=(0.00000023xlO2+0.33678429xlO2)-0.336778HxlO2=0.33678452xIO2-0.33677811xlO2=0.00000641xlO2fl(x+(y+z))=0.23371258x104+(0.33678429xlO2-0.336778HxlO2)=0.23371258x10-+0.00000618x10?=0.00000023xlO2+0.00000618x10?=0.00000641xlO2精确计算得：尤+y+z=0.23371258x1()7+0.33678429xlO2-0.336778HxlO2=(0.00000023371258xlO2+0.33678429xlO2)-0.336778HxlO2=0.33678452371258xlO2-0.336778HxlO2=0.0000641371258xlO2第一种算法按从小到大计算，但出现了两个数量级相差较大的数相加,容易出现大数吃小数.而第二种算法则出现了两个相近的数相减，容易导致有效数位的减少。计算结果证明，两者精度水平是相同的。***在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数x=0.23371258x1(T*,y=0.33678429xl0-2,z=-0.336778HxlO2,试按(x+y)+z,x+(y+z)两种算法计算x+y+z的值，并将结果与精确结果比较。
4解：fl((x+y)+z)=(0.23371258x10-4+0.33678429xlO2)-0.3367781lx102=(0.00233713x10-2+0.33678429xW2)-0.336778HxlO2=0.33912142x1CT?_0.336778HxlO2=0.0000339IxlO2-0.336778HxlO2=-0.3367442xlO2fl(x+(y+z))=0.23371258x10-4+(0.33678429xIO-2-0.336778HxlO2)=0.23371258x10-4+(0.00003368xlO2-0.336778HxlO2)=0.23371258X10-4-0.33674742x102=0.00000023xlO2-0.33674742x102=-0.33674719xl02第一种算法是按从小到大的顺序计算的，防止了大数吃小数，计算更精确。精确计算得：x+y+z=0.23371258x1()7+0.33678429xlO2-0.336778HxlO2=0.000023371258+0.0033678429-33.677811=0.003391214158-33.677811=-33.674419785842=-0.33674419785842x102显然，也是第一种算法求出的结果和精确结果更接近。7、某计算机的机器数系为F(10,2,L,U),用浮点运算分别从左到右计算及从右到左计算1+0.4+0.3+0.2+0.04+0.03+0.02+0.01试比较所得结果。解：从左到右计算得1+0.4+0.3+0.2+0.04+0.03+0.02+0.01=0.1x10+0.04x10+0.03x10+0.02x10+0.00x10+0.00x10+0.00x10+0.00x10=0.19x10=1.9从右到左计算得
51+0.4+0.3+0.2+0.04+0.03+0.02+0.01=0.01+0.02+0.03+0.04+0.2+0.3+0.4+1=0.1xl0-,+0.2xl0-1+0.3x10'+0.4x101+0.2+0.3+0.4+1=0.1+0.2+0.3+0.44-1=0.1x10+1=0.1x10+0.1x10=0.2x10=2从右到左计算避免了大数吃小数，比从左到右计算精确。8、对于有效数再=-3.105,马=0。01,七=°1°°，估计下列算式的相对误差限X.丫]=X]+X,+=中2七，%=~花分析：求和差的相对误差限采取先求出和差的绝对误差限再求相对误差限的方法。求积商的相对误差限采取先求每一个数的相对误差限再求和的方法。解：因为X=-3.105,々=0.001,匕=0.100都是有效数，所以£（演）=0.0005,£（々）=0.0005,）=0.0005%）=0=。』6%,取）=竺吧=5。％风3）=竺些=。.5%13.10520.0010.100贝ij£（xi+x2+x3）=£（%,）+s（x2）+£（与）=0.0005+0.0005+0.0005=0.00155（玉+x2+工3）=£（2+12+工3）|西+工2+七|0.0015|-3.105+0.001+0.100|00015工4.99x10^=0.05%3.0045（为工213）=6（内）+5（戈2）+5（工3）=0・16%+50%+0.5%=50.66%5（三）=5{x2）+S（x3）=50%+0.5%=50.5%花指出：如果简单地用有效数字与误差的关系计算，则不够精确。注意是相对误差限的讨论。符号要正确，商的误差限是误差限的和而不是差。9、试改变下列表达式，使其计算结果比较精确（其中国1表示x充分接近0,冈1表示x充分大）。(1)InXj-lnx2,X]»x2；
6⑵占-小1：/.X1-COSX八口II1(4),工00且x1;X(5)——cotx,xwO且国1o分析：根据算法设计的原则进行变形即可。当没有简单有效的方法时就采用泰勒展开的方法。解：(1)InX,-Inx2=In—；x2(2)11-x_l+x-(l-x)21—x1+x(1—x)(l+x)1+x—(1—2x4-)3x—x~(l-x)(l+x)-~(l-x)(l+x)或
7(Vx2+14-Vx2-1)X\[x1-COSXX12x41-(1--+-+(-l)fl2!4!(2〃)！¥2!———,••+(—l)n+l4!(2n)!+2!r3+(-l)n+14!^2n-lF(2〃)！11—cotx=—XX2"纥(2〃)!B2”(2〃)！1一cosX2s叫史-X——--
811cosxsinx-xcosx-cotx=-.=.xxsinxxsinxx—xcosxz..、x.(xl,sinx«x)xsinx_1一COSXsinx1-11®(X1,COSX«1)sinx=0试与上例比较。有时候这种方法可以使用，例如因为cos(x4-^)=cosxcos3-sinxsin3，当冏1时，cos^«l,sin^«0cos(x+5)=cosxcosK-sinxsin3«cosx—sinx8在这个计算中，由于X是常数，X的函数值实际上放大了每一项的计算结果，使得相近的数相减的问题不很突出。而利用一阶的泰勒展开f(x^3)«/1)+W(J)(x 911、利用J7^227.982求方程x2-56x+l=0的两个根，使它们至少具有4位有效数字。解：由方程的求根公式，本方程的根为56±7^=56±2^=28±7^1,222因为J丽a27.982,则x,=28+V783«28+27.982=55.982如果直接根据求根公式计算第二个根，则因为两个相近的数相减会造成有效数字的减少，误差增大。因此根据韦达定理士尤2=1，在求出x产55.982后这样计算超：这样就保证了求出的根有四位有效数字。12、试给出一种计算积分近似值的稳定算法。解：当n=0时，/0=JxVJx=e-\e-V)=\-e*'o011(JeZx=e[=e-l)。00对L运用分部积分法(1〃小=M-卜)得=1-ne~}^xn~}exdx=1-nln_xo由此得到带初值的递推关系式-1*0~10*1„=1=1,2,3,...)由递推公式I„=l-nln_1解得小=乙1-/")，这是逆向的递推公式，对nL.的值作估计，有IIe~x[xnexdx 10xnexdx>e~\xndx=e~]0〃+1/a=1J0(取e的指数为最小值0,将e*取作e°=1作为常数即可简化公式)。贝I」e-1— 11其相对误差分别是r101413er(X0)-I-1<-<-X1O)r°同2.71824|e_xJ<；x]0T,4、数◎一省):与下述各式在实数的意义上是相等的,(3+V8)3(1)(17-6我了,(2)[(17-6&)3丁，(3)(3-我儿(4)[(3+我力，(5)19601-6920a/8,(6)(19601+6920所尸。试说明在浮点数系b(10,4,-8,8)中，用哪个公式计算出的结果误差最小。分析：本题实际上是一个算法分析与设计问题，也就是说要应用算法设计的基本原则进行分析讨论。解：在本例中，显然3和血在浮点数系中是相近的数。进一步地，17和6a、19601和6920次也是相近的数。因此：①为避免相近的数相减，不应采用(1)、(3)、(5)三种计算方法。②在余下的三种计算方法中，(2)需要进行4次乘除法，(4)需要进行7次乘除法，(6)需要进行1次除法。从减少运算次数来说，应采用(6)。所以，采用(6)计算，计算结果误差最小。5、/(x)=[x0+ln(l-x)]/x3,当忖1时，如何计算才能获得准确的结果？解：当1(即很小时)，f(x)的分子是两个相近的小数相减，而分母也是一个小数，因此应避免简单地按原计算顺序直接计算，而应进行变形。由泰勒展开得i产、(殓2(%)'(%),xe2=x+x( )+x—+x/+x—+•••22!3!4!因此/⑴=Ki夕+（圭-%+焉-#+--]/5113972~-24-48A-1920A 12此处最后略去部分的第一项为(_1__加一吗3120x3263840'当卜|1时，这一部分是相当小的值，可以略去。指出：如果要提高计算精度，就可以考虑保留更多的项。补充题(二)(一)1,计算e的近似值，使其误差不超过10「6。2、利用1%”+1/(x)=——=1+x+x2+•••+£+(0<6 136000这个近似数合适?0.6xlO40.60xlO40.600xlO40.6000xlO4分析与解答1、解：令f(x)=e)而f")(x)=exfk)(o)=e°=L由麦克劳林公式，可知I,xxe=l+x+——+•・・+—+2!"+|(0<^<1)11pe当x=l时，e=1+141•…412!n\(〃+1)!eB3故(⑴=——。(〃+1)!(〃+1)!当n=9时，Rn(l)<10'6,符合要求。此时,(0<6<1)J2718285解决这类问题其实很简单.只要知道了泰勒展开式，余下的就只是简单的计算了.泰勒(Taylor)中值定理：若函数f(x)在[a,b]上存在直至n阶的连续导函数，在(a,b)上存在n+1阶导函数，则对任意给定的x,x()e[a,,b],至少存在一点匕e(a,,b),使得/(幻=/(/)+/(%)5-/)+^23-％)2+―+^^(》一/)"+^^(%-%)同2!n\(n+1)!其中，Rn(x)=(~~®(x-x0)n+l叫做拉格朗日型余项。(〃+1)!当x()=0时,得到麦克劳林公式。fM=/(0)+/f(0)x+F+…+1^21X"+z+1(0＜。＜1)2!n\(n+1)!2、解:3,x,i+1(1-0x)n+2nin+,nin+l1<—7=(-)n+2X10<10-2(l-0.1)n+20.9n+299+2>103所以，n=2on=3.14159265...=0.314159265...x10,3.142=0.3142x10,m=l.因为7T-3.142=3.14159265…-3.142=-0.00040... 14所以，|7T-3.142|=0.00040...<0.0005=0.5xio7=,x10-3=lxio'-422所以，3.142作为”的近似值有4个有效数字。乃=3.1415926…，13.1415926…一3.14=0.00059<0.005=0.5x10-2=-x10-2=-x101-31122小数点后几个0,10的指数的绝对值就是几。4,解：设x有n位有效数字，其第一位有效数字按最不利情况取为9,则S=0.3%=---=xIO1n= --x10|-/,=—x10"=---10002(9+1)2x1022x10"由上可得6x10〃=1000,n«2.2,所以取n=205,解：|x-a|=|x-&|=|x-c|<0.005=-xlO-2,所以m-n=-2oa=138.00=0.13800x103,则m=3,所以n=3-(-2)=5,即a有5位有效数字；b=-0.0132=-0.132x10-1,则m=-l,所以n=-l-(-2)=1,所以b有1位有效数字。c=-0.86x10,则m=-4,所以n=-4-(-2)=-2<0,所以c没有有效数字。6,解：因为近似数x=l.234的绝对误差界为0.0005,所以卜*一区40.0005=gx10-3,则m_n=_3。而x=l.234=0.1234x101,贝Im=l,所以n=l-(-3)=4,所以，x=l.234有4位有效数字。7,解：哪个式子表示6000这个近似数合适实际上要看近似数6000有多少个有效数字。6281近似到十位、百位，千位分别是6281«62806281«63006281«6000写成科学记数的形式分别是 156281*6280=0.628xlO46281«6300=0.63xlO46281«6000=0.6xlO4可见，上述写法中，第一种是合适的。实际上，6281=0.628IxlO4,6000=0.6000x104所以m=4,而|6281-6000|=281=0.281xl()340.5x103=；xl()3所以m-n=3,则n=m-3=4-3=l,即近似数6000只有一个有效数字，所以，只有0.6x104这种写法是合适的。1,已知测量某长方形场地的长为a=110米，宽为b=80米.若|a,-a|W0.1(米)，|b*-b|S0.1(米)，试求其面积的绝对误差限和相对误差限。2、已知三角形的两个内角的测量误差都不超过0.1。，则计算第三个角时，绝对误差不超过多少.3、若xi=1.03±0.01,x2=0.45±0.01,计算y=x；+；*的近似值并估计误差。4、已知测量某长方形场地的长为a=110米，宽为b=80米。若|a*-a|<0.2(米)，|b*-b|WO.l(米)，试利用多元函数的误差分析方法求其面积S=ab的绝对误差限和相对误差限，并与四则运算的误差分析比较。5、如果用电表测得一■个电阻两端的电压和通过的电流分别是V=110±2(V),I=20±0.5(A)试运用欧姆定律/?=上求这个电阻值R的近似值，并估计所求出的近似值的1绝对误差和相对误差。6、已知近似值ai=2.21,a2=4.63,a3=7,98是由四舍五人得到的，它们的绝对误差界都是0.005试估计巧”%和q-晒的相对误差界。分析与解答1、S=ah.£(S)=£(ab) 16£(y)Wfx'(Xt,X2)£(X1)+/t/(x,,x2)e(x2)=2.06x0.01+0.7842x0.01=0.028将有关数据代入函数表达式，可以求出函数值的近似值为y=x；+#=1.845,则y的相对误差限为£(y)0.028d(y)==«1.5%y1.845进一步地，本题的绝对误差限可以看作是0.05,那么计算结果中只需要保留到百分位就可以了，即最终结果取1.8,那么计算过程中各数只需要取到千分位.)4,(。6、略解。fix},x2,x3)=^-+x3,f(al,a2,ai)=^L+a3贝I工3。3/(XPX7,X3)—/(«1,a2,d!3)=(•^^■+工3)一("出+%)x3-a3所以，£(/(4,%，%))=|e(/(qM2M3))|=|f(X],x?,&)-f(q,〃2'43)|<—e(a])4--e(a2)+-+1e(a3)%\a3\|可,生，、4」.、(—)+—广+1e(%),,a,ax\a{a.八1in_24(—+—4--4"+l)x-xl0」a3|〃32(e(q)=e(a))=)=—x1则相对误差限为 176(7(4，%,%))=£(/(卬,生,％))下略。解二：根据函数y=/（再,々无“）的函数值的绝对误差e（y）=e（/（X|,々,七，…,X»））=2L条《七）,相对误差r（y）=簿（/（8,七,七,…,x.））=£畀-x（x,）公式计算。2、(1+2x)(1+x)1,用秦九韶算法的多项式格式乘法计算多项式P（x）=x7-2x6-3x4+4x3-x2+6x-1在x=2处的值p（2）。2、利用等价变换使下面式子的计算结果比较精确。3、指出下列各题的合理计算途径（对给出具体数据的，请算出结果）[1]1-cosl0（三角函数值取四位有效数字）[2]ln（30-V302-l）（对数函数值取六位有效数字）[3]匕*（其中x的绝对值很小）sinx[4]x1271001[5]y—L—„=1"（〃+1）4、设近似值To=So=35.7O具有四位有效数字，计算中无舍入误差，试分析分别用递推式工+i=5（-142.8和5川=，号_142.8计算T20和S20所得结果是否可靠。5,计算P6（X）=2x6-3x4+x2-4x+l的值P6⑶。分析与解答1、p(2)=-92x2 183、[1]1-cosx=2sin2615451364041213所以p6(3)=1213.习题二解答1.用二分法求方程x3-2x2-4x-7=0在区间［3,4］内的根，精确到10月即误差不超过JxIOj。—,sin0.5°=0,00872[2]30-V302-l=上=0.01667,30+V302-!ln(30-V302-l)=-4.09414[3]1-cosxsinxx—；==tan—sinx14-cosx2[4]x127=x-x2^解：因为f(3)=-10V0,f(4)=9>0,所以，方程在区间［3,4］上有根。由,Ib_ah—ci4—3111八一3x*-xI<--===—<—xlO3^2T2n2n2^16^52^64[5]由小到大依次相加。.1二.1__1=1__j__ioo+n«4-11011014、设计算Ti的绝对误差为e(Ti)=Ti*-1，其中计算T。的误差为乱那么计算T20的误差为e(T20)=T20*-T20=(5T19,-142.8)-(5T19-142.8)=5(T19*-t19)=5e(T19)=52e(TI8)=520e(T0)显然误差被放大，结果不可靠。同理，e(S20)=(1)e(S0),误差缩小，结果可靠。5、解：将所给多项式的系数按降赛排列，缺项系数为0。20-301-41有2"|>1000,又为21°1024>1000,3618451354081212 19所以n=ll,即只需要二分11次即可。 20列表讨论如下:nanbnXnf(xj的符号1343.500一23.50043.750+33.5003.7503.625—43.6253.7503.688+53.6253.6883.657+63.6253.6573.641+73.6253.6413.633+83.6253.6333.629—93.6293.6333.631—103.6313.6333.632+113.6313.6323.632一x*~xn=3.632o指出：(1)注意精确度的不同表述。精确到10一'和误差不超过10”是不同的。(2)在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表：nanbnXnf(Xj的符号1343.5000—23.500043.7500+33.50003.75003.6250一43.62503.75003.6875+53.62503.68753.6563+63.62503.65633.6407+73.62503.64073.6329+83.62503.63293.6290—93.62903.63293.6310—103.63103.63293.6320+113.63103.63203.6315——(3)用秦九韶算法计算f(Xn)比较简单。1*.求方程x3-2x2-4x-7=0的隔根区间。解：令丫=炉一2/-4%-7, 21则y'=3x2-4x-4=(3x+2)(x-2)2当了'=3/一4；1一4=(3%+2)住一2)=0时，有％=--,x2=2o函数单调区间列表分析如下：X2(q-)_232_(-§，2)2(2,+8)y+0—0+y一_鳖27'-157149.7因为y(——)=—百~<0,y(2)=—15<0,所以力程在区间(—,2)上无根；2149,,,2因为y(-?=—<0,而函数在(—8,-§)上单调增，函数值不可能变号，所以方程在该区间上无根；因为y(2)=-15<0,函数在(2,+8)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，而(3)=-10<0,y(4)=9>0,所以方程在区间(3,4)有一个根。所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。2.证明l-x-sinx=0在［0,1］内有一个根，使用二分法求误差不大于」xl(T42的根，需要迭代多少次？分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。解：令/(x)=l-x-sinx,因为/(0)=1-0-sin0=1>0,/(I)=1-1-sin1=-sin1<0»则7W⑴<0,由零点定理，函数f(x)在［0,1］区间有一个根。由k-归匕必=1z2=_LJxioyI22〃2〃2〃2W2n-'>10000,又为21°=1024,213=8192<10000,214=16384>10000所以n=15,即需要二分15次。指出：要证明的是有一个解而不是唯一解，因此不必讨论单调性。 2270r-2.试用迭代公式x«+]=—5,x0=1,求方程/+2r+10x-20=0的t+lx；+2x*+10°根，要求精确到IO-'。分析：精确到IO-'即误差不超过J_x10-52解：4/(x)=x3+2x2+10x-20列表进行迭代如下：Xk/区)01-7]1.538463.7596421.29502-1.5238031.401820.7031141.35421-0.3066751.375300.1372161.36593-0.0606771.370090.0270581.36824-0.0119891.369060.00531101.36870-0.00228111.368860.00110121.36879-0.00038131.368820.00025141.368813.992x10-5151.368813.992x10-5指出：精确到10-5可以从两个方面判定。第一，计算过程中取小数到10-5位，最后两个计算结果相同，终止计算。第二，计算过程中取小数到10-6,当Iz+「z| 232cosxi、几X=XH],直exg(x)=x+g'(x)=l+—2sinxex—2cosxex2(sinx+cosx)_2>/2sin(.v+—)1—1在/二0.5处，因为2V2sin(0.5+-)g'(0.5)=1——£=0,9615<1e所以迭代法g(k)=4+在等_1在X。=0.5的邻域内收敛。ek列表迭代如下：Xk00.510.7120.6930.69此时2cos0.69-e“9=0.00614。2.为求方程1一/_]=0在/=1.5附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：(l)x=l+—y,迭代公式4+|=1+二；Xxk1(2)/=1+/,迭代公式=(l+x；)3；(3)x2=——，迭代公式/+i=—p1("I" 24试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似值。解：(1)因为工=1+3,所以迭代函数为g(x)=1+4,则XX屋(Y)'=(婷9|^1.5)|=|-2xl.5-3|=Ty23.375<1满足局部收敛性条件，所以迭代公式Xe=1+-^具有局部收敛性。玉(2)因为式=(1+》2)3,所以迭代函数为g(x)=(l+x2)5,则I,1-12,—lxg'(x)=](l+x)32x=-x(l+x2)3=p333(1+/户7x15|g，(L5)|="9丁=0.456<1满足局部收敛性条件，所以迭代公式3(1+1.52"/+1=(1+无；>具有收敛性。(3)因为二，所以迭代函数为g(x)=」丁，则(X-1)，(]一1)，1-21|g'(l.5)|=，(l,5-l)2=—L^=L41令1不满足收敛性条件，所以迭代公式2x0.5i不具有收敛性。(X*T)2用迭代公式％=1+］列表计算如下:4Xk01.511.44421.48031.45741.47151.46261.46871.46481.46791.465101.466 25111.465所以，方程的近似根为x*B1.465。6.设p(x)=x+C(x2-3),应如何取C才能使迭代公式x«+]=火工")具有局部收敛性？解：设C为常数，因为9(x)=x+C，-3),所以“(x)=1+2Cx,要使迭代公式具有局部收敛性，需"(Xo)|=|l+2C⑷<1，此时即有一l 26因为9(x)=x+C(x2—3),所以当x=x+C(/—3)时，有C(/—3)=0,则X=±5/3，即函数(p(x)=X4-C(x2—3)的不动点为X*=±y/3O而(p\x)=1+2Cx，根据局部收敛性定理，当|^(V3)|=|1+2c1=—言 27指出：如果将方程■!•-(?=0改写为等价的cx-1=0,则有/(x)=cx-l,相应的迭代公式为无法展开迭代。9.设a为已知数，试用牛顿法导出求标的迭代公式，并求极限解：设a为正实数，n为自然数，由牛顿法，方程/(口=父-。=0的解为▼_“于x[—anx[-x；+aknx^~]nx^~](n—+a=-[(«-1)^+-77]此即求近的迭代公式。由此，贝IJ 28yfci——[(72—1)%^,4-"1孤”(标一)2=limjl—>00=limjl—>oo=limit—>oon2x(—l)(y/a—xk)—[(〃-l)+a(l—n—2(4^—xk)-〃)(-〃)n—2x(—1)a(l-n)a(l-n)=lim；——=；—52xl+n21imx+ni->00人\-n+〃2(加严-2板i・布-Z+lrlim—,=——=lim18(4。一毛)18指出：本题中，表面上是k->8的问题，但实际上却是X*一扬的问题，X*,Xk|才是极限过程中实际的变量。本质上。本题实际上是求极限标-丁(〃-1)々+£]折—匕(〃-1)4+”7]lim=lim——«J=lim——«—=28(加_/)2*f8(Va-xx)218(彼一x*)2y[ci[(M—1)X+OX"]=lim7=XT国丽7)2由于讨论的是9型不定式，且不定式的分母上有2次的"0”因子，因此两0次应用罗必塔法则。解二：首先证明一个定理：定理：设/(x*)=0J'(x*)H0,又设f(x)在X*的某个邻域内具有连续的二阶导数，则牛顿迭代法具有局部收敛性，且有。limMT84+1—X/〃(/)("X*)2f'(x)证明：因为g(x)=x—f(x)所以g'(x)=f(x)x因为f(x)在邻域内具有连续的二阶导数，所以g，(x)在邻域内连续，且 29(/v))2=0由局部收敛性定理，牛顿迭代法具有局部收敛性对g，(x)=(x-黑)求导'根据条件仃由收敛阶定理，若/〃(x*)H0,则8〃(丁)=空2。0,牛顿迭代法二阶收f(X)敛,若_r(x*)=o,则g〃(x*)=/£?=o,牛顿迭代法有更高的收敛阶。J(X)因为牛顿迭代法有二阶收敛性，所以f"(x*)x*+|-x*g"(x*)f\x)f"(x*)iim===ie(x«-x*)22!2!2f'(x')显然如果x*是方程f(x)=0的单根，则/(x)=(x-x*)°(x),且°(x*)h0。此时/''(x)=°(x)+(x-x*)"(x),则/'(x*)=e(x*)H0,可见定理中的条件“〃/)=0,/'(/)工0"可以等价替换为“/是方程£&)=0的单根”对本题来说，f(x)=x"-a9%*=标是方程的单根，所以/(X)=〃X"T,/'(加)=〃(五)"T¥0f(x)=〃(〃一l)x"-2,f)=〃(〃-1)(标)"<则..y[a-xk+ixM-Van(n-\)(y/a)n~2n-\\-nhm,-=_lim=--==…函_XQ2Ze(X*-标了2〃(布)"T2标2标指出：应用分组分解法进行因式分解，分子、分母约去“0”因子，就可以按连续函数的极限性质求解了。10.用快速弦截求方程为3一3%-1=0在初始值毛=2邻近的实根(取阳=1.9,要求精确到10-)o 30所以有/(x)=d-3x-l,相应的迭代公式为X*+l=xk(勺~xk1)取Xo=2为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下:kXkXk-Xk-If(Xk)f(Xk)-f(xk.|)02111.9-0.10.159-0.84121.8811-0.01890.0130-0.14631.8794-0.00170.0001-0.012941.8794因为,4-4=0。0。0<310-3,符合计算的精度要求，所以x»x4=1.8794o指出：本教程所说快速弦截法是通常所说的弦截法(割线法)，而它所说弦截法是通常的单点弦截法。11、分别用下列方法求方程4cosx=e1在几=工邻近的根，要求有三位有效数字。(1)用牛顿法，取x0=工；(2)用弦截法，取x(,=?,演=]；(3)用快速弦截法，取/=?,演=1。解：方程4cosx=e*变形为e*-4cosx=0,则f(x)=ex-4co*J'(x)=e*+4sinx。牛顿法、弦截法、快速弦截法公式分别为(1)牛顿法r-丫/(1)一丫-4C0SXk.Ulkf'(xk)keXt+4sinxt?(2)弦截法Z+i=x*—/(x*)/(xj+l.81(x,-0.785)； 31(3)快速弦截法f(xk)xk+.=X,(x,-X.,)取3位有效数字，分别计算得kXk牛顿法弦截法快速弦截法00.7850.7850.78511.591.571.5721.411.331.3331.391.401.3841.391.381.4051.391.3961.381.39补充题(一)1,确定方程x5+x-10=0的根的个数，找出隔根区间。2,用二分法求方程f(x)=x3+2x-5=0在［2,3］的根的近似值，要求误差不超过0.005。3,用二分法求方程f(x)=x3-2x-5=0在［2,3］的根的近似值，要求误差不超过0.05。4、用二分法求方程/(x)=sin戈-二=0的非零实近似根，使误差不超过104-25,分析方程/(x)=sinx-2=0的根的分布情况，并用二分法求正根的近似值，使误差不超过10-2.6、估计用二分法求方程f(x)=x3+4x2-10=0在［1,2］内的根的近似值，为使误差不超过10一5时所需要的二分次数。分析与解答1、=x5+X-10,y'=5x4+1,显然y'>0,而且函数没有不可导点，所以，函数在区间(-00,00)上是单调增的，故方程最多有一个根。因为>(0)=-10<0,〉(2)=24〉0,所以方程在(0,2)区间有一个根，(0,2)即为方程的隔根区间。 322、因为f(2)=7〉0,f(3)=28>0,实际上本方程在指定范围内无根。但如果不加判定，也可以计算出一个值来。所以，用二分法求方程的根必须先行判定。要特别注意的是，完整的二分法的过程是，第一步代入初值，第二步判断是否有解，第三步在有解的前提下求出解来。不进行判断就形式地套用二分法的过程是不可以的，同样地，如果因为无解就放弃讨论也是不正确的。3、因为f(2)=-l<0,f(3)=16>0,所以方程在区间上有解。k*_*K4二k=%z£=2z2=_L 33图的方法画交轨图的时候，可以借助于计算器使得隔根区间更短，但这种方法只对简单问题有效。6、|x*-xn|<10'5,即N=_Lwio-5,所以2">10\112"2"因为2&=32768,216=65537,217=131072,所以n=17。(-)1,对于方程3x2-eX=0,为求最大正根与最小正根的近似值，试分别确定迭代函数g(x)及区间［a,b］,使得当x°G［a,b］时，相应的迭代过程Xk+i=g(xQ收敛到要求的根。2、证明：当xo=1.5时，迭代法房和％产;g都收敛于方程f(x)=x3+4x2-10=0在区间［1,2］内的唯一实根x*,分别用上述迭代法求满足精度|Xk+i-Xk|<10-5的近似根。3、为求方程f(x)=x3-x2-1=0在xo=1.5附近的一个根，可将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式［1］改写成X=1+4,迭代公式为x,+.=1+3；XX；［2］改写成x3=l+x2,迭代公式为％=#1+尤：；［3］改写成迭代公式为士=以=。试分析每一种迭代公式的收敛性.分析与解答1,根据3x2和eX的图像可知，方程3x2-eX=0在实数域上有三个根，分别在区间(-1,0),(0,1),(3,4)内。其最大正根在［3,4］区间，最小正根在［0,1］区间。取迭代函数g(x)=ln3x2,可以得到最大正根，而取迭代函数g(x)=7?不，可以得到最小正根。2,两种迭代法的迭代函数分别在区间［1,2］和［1,1.5］上满足定理2(不动点原理)的条件，故当x0=1.5时两种迭代法都收敛，且分别迭代9次和25,都可得到近似根1.36523。我们讨论第一种迭代法，用定理2证明。它的迭代函数为g(x) 34首先，g(x)是一个减函数，当x=l时，g⑴=血，当x=2时，g(2)=J].所以当xe[1,2]时，1 352Xj-x2+3x3=14x2—x3=2721一七=84回代，得:x3=—6,x2=—1,X]=9所以方程组的解为x=(9,-l,-6z)注意：①算法要求，不能化简。化简则不是严格意义上的消元法，在算法设计上就多出了步骤。实际上，由于数值计算时用小数进行的，化简既是不必要的也是不能实现的。无论是顺序消元法还是选主元素消元法都是这样。②消元法要求采用一般形式，或者说是分量形式，不能用矩阵，以展示消元过程。要通过练习熟悉消元的过程而不是矩阵变换的技术。矩阵形式错一点就是全错，也不利于检查。一般形式或分量形式：2x(—x2+3x3=1①<4尤］+2x2+5*3=4②%1+2x2=7(3)矩阵形式‘2-142J2向量形式③必须是方程组到方程组的变形。三元方程组的消元过程要有三个方程组，不能变形出单一的方程。④消元顺序王.X2f…，不能颠倒。按为支援在方程组中的排列顺序消元也是存储算法的要求。实际上，不按顺序消元是不规范的选主元素。⑤不能化简方程，否则系数矩阵会变化，也不利于算法设计。11X1-3jc2-2x3=3①(2)，-23再+11々+x3=0②X]+2%2+2*3=—1(§)解：②+(能X,③+(-卡X消去第二、三个方程的看，得: 36,3%2-2%3=3④523569x2—“3~⑤112113112524_14x,+“3=⑥11211~1111X1—25再由⑥+（-整）X消去此方程组的第三个方程的.，得到三角方程组:1111XI-3x2-2x3=3523569〈—Xjx,——11-11311193223——&=5252回代，得：22310641，,X]=193〜1931193所以方程组的解为’1020、01114=20-11011,作LU分解。解：设’1020、T0A=0111—4.120-11，31,32、°°1"41*42,41106x=(,193193223T193；2、将矩阵0“I(u\\〃12WI3“14、00°〃22，小“24=LU1O00M3I“32,4300M447根据矩阵乘法，先求U的第一行，由得1/|।=1,—09〃]3=2,=0o再求L的第一列，由矩阵乘法，因为%=4必「所以"=%•,而与=1,所Mn以/n=aiX,所以J=0」3i=2」4i=°。再求U的第二行，得/2IX+1X“22=1，则u22=1-/2jxW12=1—0x0=1»/2Jx%3+1X“23+0X“33=1,则w23=1-Z21xmI3=1-0x2=1, 37/21XM14+1XU24+0x的4+0XE5=1,贝|Jm24=1-/21xm14=1-0x0=1,再求L的第二列，得/31xi/r2+/32xw22+1x0+0x0=0,则/32=0—/31xmI2=0—2x0=0Z41xw12+/42xw22+/43x0+0x0=0,则/42=0—Z41xw=0—0x0=0再求u的第三行，得l3}X/3+I32X〃23+lx〃33=-l,贝Iju33=-l-/31xw13-/32xw23=-l-2x2+0xl=-5Z31xui4+132XW244-1Xm34+0xw44=1,贝Ij〃34=1-/3Ixw14-/32xw24=l-2x0-0xl=l再求L的第三列，得‘141x%3+Z42XU23+/43xw33+1x0=1>则/43x(l-0x24-0xl)=：再求u的第四行，得"XHI4+/42XW24+/43Xm34+1Xw44=1,则।6“44=1-/41X〃14+/42x%4+/43xh34=l-0x0-0xl-(--xl)=-所以，矩阵A的LU分解为：’1000、'1020、01000111L—2010'U=00-5100--1000-15)15J指出：用分数而表示元素，不能化成近似小数也不化成小数表示。3、用LU分解紧凑格式分解法解方程组。’57968107108、576解一，用一般格式求解：将系数矩阵作LU分解得: 386575,u=792_45一50-500-317-2I10Ly=b方程组为6575解之得'%、%1>5,123To>同样地，解方程组&=丫得当、x2X3'20、-12-5、3,解二，用LU紧凑格式分解法求解:对增广矩阵三角分解： 39(579ior’57910579101、6624680911091-3155~55710871—>7871->877_11057651；55~2[1765bUo65<579101、79101、6_2_416_2_4-3-35~5~5一55~5-5~57_1-5-171->7-5215~2-2一252~2035031311115715lo10J111原方程组化成同解的上三角方程组为:5尤1+7x2+9X3+I。兀=1回代得x=(20,-12,-5,3/0指出：紧凑格式是直接应用公式进行计算，计算结果保存在A的相应元素位置。从算法的角度，紧凑格式实际体现在数据的存储方法上.由于紧凑格式计算时不再需要A的前面的元素，因此可以进行。4、用列主元的三角分解法解线性方程组。—X]+2占—213=—13Xj—x2+4x3=72%j-3x2-2x3=0解一，列选主元素消元法:先选第一列主元为%।=3,将第一个方程与第二个方程交换，消去再得:3项—x2+4x3=7524<-X-,X-i=-3-33371414Yy—I333再选第二列主元为％2=-2,交换第二、三两个方程，消去W得三角形方程组:3 403X]—x2+4x3=771414〈X，X-,=333126I33回代求得方程组的解*3=(,/=1,为=2所以方程组的解为x=(2,l,g)7。解二，列主元素三角分解法：2-2(A,b)=3-24,2-3-23-2473-2473-3-20)-247__142_71414T-73"3一号-T-1-----4-2137y同解的三角形方程组为3xj—%2+4占=771414〈=3-33-4.=-2回代求得方程组的解》3=g,%=1，X=2所以方程组的解为说明：用矩阵讨论中，矩阵元素进行了化简。5.用追赶法解方程组 41'2-1-12-1A=-12-1-12、T分析：三对角矩阵,b=-12;000oYiAa、•.篇Yn%可以分解如下形式的两个矩阵:由矩阵乘法规则，有=%“=乂(，=2,3,…〃)，Ui-\%=%-Ld7(i=2,3,…这样可以求出矩阵L和U的所有元素。设有系数矩阵为A的方程组：Ax=b,b=(bl,b2,---bH)T,这样的方程组称为三对角方程组。三对角方程组经LU分解分解为Ly=b,Ux=y,求解之(必=4[y；=,i=2,3,…,〃 42X"="Un<=(%一4匕+i)ui,i=n-\,n-2,---,\这就是所谓追赶法。解：由公式%=cc}—2,13U2=4一，2分1=2—)X(-1)=—/2人-一~~z~——»223224“3=%_，34=2-(--)X(-l)=-21=Z1=-〃3435m4=a4-Z4^3=2-(—-)x(-1)=-44/J_-1一4»4254…46“5=%-，5夕4=2-(-y)x(-l)=—由此得下三角方程组Cl000。和上三角方程组 432-132解上三角方程组2_2~3%%/4、为口］o00⑼%%%,1、JL2I341L代入并解上三角方程组T5-4「4-373-26、用改进的Cholesky分解法解方程组4%1-2x,-4x3=10«—2Xj+17%2+1OXj=3—4x,+10x2+9Xj=-7解：设此方程组的系数矩阵为A,右端向量为b,则10,b=9.40、3'4-2A=-217-410矩阵A是对称正定矩阵，可以进行乔累斯基分解。 444-2-217、-410由矩阵乘法得〃]]=2,/2=—1，〃]3=-2,—4,I，”=2,“33=1由M22%3得y2"33八%j40、3Ji=5,y2=2,y3=—1»再由=2,工2=1'*3= 1°7、用改进的Cholesky分解法解方程组解: 45Vh3而Up_2225vHV2211-V尿解下三角方程组得725vH3>/222>/78X=5,％=-77-，必=55，%=-c-解上三角方程组得%=\,x2=2,x3=—1,x4=—2指出：6、7两题应用一般的乔累斯基分解而没有采用书上的方法。用MATLAB求解为：>>formatrat»a=[4,1,-1,0;1,3,-1,0;-1,-1,5,2;0,0,2,4]a:41-1013-10-1-1520024»[P,q]=chol(a)P二21/2-1/2001985/1197-379/8380001179/5531106/11790005617/318008、设—2,3)7,求Ikl/kLlklL解：14=£闻=|1|+卜2|+|3|=6i=l2।帆2=这同)2=+(-2尸+3?=V14 46||4=maxXz.=max{|l|,|-2|,|3|}=3,110、9、设A=22-3、541,解：同]=maxZb/=max{8,7,4}=8；ji=iML=max=max{2,7,10}=10；*>irl25Y11242、0-31)[510)(302-3=2525~r21-2—210,2-30-25—252-21=(2-30)(2-21)(2-10)-50-50-(2-21)-4(/1-30)-625(2-10)122-10=23-6122+5102-9=0解之得，4=51.0043,%=9.9780,4=0.0177,则||小2=0(*A)5®V51.0043®7.1417o指出:三次方程可用三次方程的求根公式求出根来。①用二分法求。’1110、设4=22、540-31用我们学过的知识，三次方程的根有如下求法:-P3，计算卜131＜，1版L，并比较K与2JMLINL的大小。解：INL=max{|-1,3,2}=3,=max{l+l+0,2+2+3,5+4+1}=10, 47oY-n-2=>Ax=max{2,2,9)=9,MLM=10x3=30,ii、给定方程组-i「2—21—221c—141JU,「12、0,10,（1）写出雅可比迭代法和高斯一赛德尔迭代法的迭代格式；（2）证明雅可比迭代法收敛而高斯一赛德尔迭代法发散。（3）给定x（0）=（0,0,0/,用迭代法求出该方程组的解，解：(1)此方程组变形为{xx-2x2-2x3-12x2=x]+x3x3=2x}4-2x2+10据此建立雅可比法迭代格式得竹”钊=2球）—2升一12J丫（4+1）-ra）.丫（*）［小用=2xf）+2x,+10高斯一赛德尔迭代法迭代格式为，（4+D=2y-2x（i）-12V丫（&+D_丫"+D.丫"）、人）人］I人Qx「2x”+2x，i）+10（2）证明一：用定理2证明:系数矩阵雅可比迭代法的迭代矩阵为00>'000、’02-1-1—100—00100；、220；、000’02-2、Bj=D'\L+U)=101,、220,r2-22、 48则％E—8j=-12-1「2-2L令2-22\AE-Bj\=-12-1=0,—2—2A.则43=0=4=4=4=0,所以P(B1)=O<1所以雅可比迭代法收敛。高斯一赛德尔迭代法的迭代矩阵为’02-2、Bg_s=(D-LYlU=02-1、08-6?由此求出Mc_sL=14>l所以，高斯一赛德尔迭代法发散。证明二：用定理5证明：‘1-22、A=-I1-1,、-2-21,令2-22-12-1=0,-2-22贝U万=o=>4=4=4=o,所以P(Bj)=0<1所以雅可比迭代法收敛。而2-22-2A-1=0=>2(22+42-4)=0=>A(2+2+^)(2+2-V8)=0—24—2%A=4=0,>^=—2—2V2,4=-2+2>/2所以P(Bg-s)~2+V2>1。所以高斯一赛德尔迭代法发散。(3)取迭代初值3°)=(0,0,0)\用雅可比迭代法迭代得 49kX%Jk)X2Jk)X300001-120102-32-2-14312-46-58412-46-58因为卜4)_x⑶L=04gxl(r3所以方程组的解为x、x(4)=(i2,-46,-58)、用高斯一赛德尔迭代法迭代得kX,X0%X00300001-12-12-382402943-196-102-58649563701336因为高斯一赛德尔迭代法发散，不能求出满足要求的解。’2112、给定方程组11J1(1)写出Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式。解：(1)方程组变形为所以，Jacobi迭代格式为＜铲=_染_烦+3Gauss-Seidel迭代格式为证明：用定理5证明： 50‘211、A=111>J12,令22111A1=0,112A则1_i423—52+2-0(22—1)(22:+2—2)=0=4=—,2,—=所以然与)=上普>1,所以雅可比迭代法发散。或*■B/Gi)=4；P-5，+2因为/(一1)=3,/(-2)=-20所以方程4万-54+2=0在区间(-2,-1)有一个根，见IP(Bj)>1所以雅可比迭代法发散。而 512211221=0=>2(422-42+1)=02222=>4=。,否=2,4=2所以P(Bg-s)=-<1,2所以高斯一赛德尔迭代法收敛。（3）取迭代初值x（°>=（0,0,0）"用高斯一赛德尔迭代法迭代得靖川=_；（琰+守）x"=-（4”旬+#）+3x（*+i）=_1（jc（*+i）+x（*+i）_1）kX%X吗X?00001030.52-1.754.25-0.753-1.755.5-1.3754-2.0636.438-1.6885-2.3757.063-1.8446-2.6107.454-1.9227-2.7667.688-1.9618-2.8647.825-1.9819-2.9587.939-1.99110-2.9747.965-2.00011-2.9837.983-2.00012-2.9927.992-2.00013-2.9967.996-2.00014-2.9987.998-2.00015-2.9997.999-2.00016-3.0008.000-2.00017-3.0008.000-2.000因为卜(⑺⑹L=04gx10-3 52所以方程组的解为x*NX(⑹=(-3.000,8.000,-2.000尸。13、已知，—X]+1一X3—Z=12—X]—X2+5七一尤4=8考察Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel—X]—x,—JCj+10x4=34迭代格式的收敛性。解:因为=2x：+7x；+2x1+7x：>0'5系数矩阵4='-I、T-1-1-r10-i-i是对称正定矩阵，而且严格对角占优，因此-15-1-1-11,两种迭代法都是收敛的。14、方程组Ax=b,其中’1。A=4a10,x,beR3、a01?利用迭代收敛的充分必要条件确定雅可比迭代法和高斯一赛德尔迭代法均收敛的a的取值范围。解：对雅可比迭代法来说，因为Aaa4a20=23-5a2/l=0,a0A所以团的特征值为=0,^＜2==-"\5cio所以，迭代矩阵B的谱半径为p(B)=V5|a|,L11当p(B)=有同＜1o-木＜a＜木时，雅可比迭代法收敛。对高斯一赛德尔迭代法，因为 53A.aa42a20=A3-5a2A2=0Xa0X所以高斯一赛德尔迭代矩阵特征值为4=4=0,4=5a2其谱半径为高斯一赛德尔迭代法收敛。P（Bg-s）=5a~,当p(Bg_s)=5a1<1<=> 54取3=1.25,x⑼=(1,1,1)「迭代得x⑴=(6.313,3.520,-6.650)无⑵=(2.622,3.959,-4.600)。17、设4=100999998，计算A的条件数co〃d(A)0,p=2,8。解：因为"1009910](111、999801^1^999801J(111一1)fl0-9899'I—99,[o-1-99-1-99lOoJfl0-9899)々x(—l)—(0199-looj所以一9899]；99-100J则IK=ML=199所以co〃d(A),=1992。ata=10099V100991002+99299989998100x99+99x98100x99+99x98992+98?99x200+199x19899x1982x99x98+12-(99x200+1)-99x198-99x1982-(2x99x98+1)=(义一(99x200+1))x(%—(2x99x98+1))-(99x198)2=A2-((99x200+1)+(2x99x984-1))2+(99x200+l)x(2x99x98+l)-(99xl98)2=储-392064+290109601=0=4=14653.5,=4949.5所以Ml=ylp(ATA)=V14653.5=121.05； 55-989999Y-98TOO人9999-10099?+98?厂(-(100x99+99x98)-(100x99+99x98)1002+992H99x196+1-99x198-99x19899x200+12-(99x196+1)99x19899x1982-(99x200+1)=万-392062+290109601=0=4=14653.5，4=4949.5所以|A」'I，==Jl4653.5=121.05；所以co〃d(A)2=121.052。18、设A是n阶非奇异方阵，B是n阶奇异方阵，试证明।cond(A)口小分析：,、1目1IIa-fill要证明，<-....11>cond(A)||A||因为8〃4(4)=卜1||4|,即证:因为范数总是不小于0的,也即证：UThIIA-BP1I也即证：邸21,由相容性，只需要证明|a1|M-叫>||a-,(a-b)||=||e->io而要证明(E-AT叫21,根据定义忸一AW卜嗯X4则只需要证明对于某个特殊的三毛¥0,[(E.A"国因为B是奇异矩阵，所以三%#。满足:Bx。=0,利用这个条件，可以完成证明。证明: 56因为B是奇异矩阵，所以三%#。满足:所以|(E-4-%)尤。|J%-(一)(既)|=|%|=|同］=ra_m_wr_wi-故||£『8||_maxW-A%)x|||(dAT8)M归-A训一嚅一H---而一—】。又因为||A-'||||A-Bh|A-'(A-S)|=||E-A-B||所以||m|||a叫N1,因为范数总是不小于0的，所以南引A-叫所以1"5|Miw-_Rr,而cond(A)=||a-'||||A||所以1/小限cond(A)Mil19、举例说明一个非奇异矩阵不一定存在LU分解。解：考虑矩阵 57显然A非奇异。若A有LU分解，则有1OVbbc'abac+d^于是b=O,c=1,H?=l,ac+d=0,而。=0=>ab=0,矛盾。故并非所有的非奇异矩阵都能LU分解。指出：举例，从简单的例子开始。所以4+3A可逆。补充题（一）1,设有矩阵作矩阵的LU分解。解：由矩阵的LU分解公式I-l%=%-匚*%"=i,i+L…,〃；i=l,2,…Jt=l7-l%=(a「Z)/及/•=j+1，/+2,j=1,2,…k=l可得〃ii=4i=4ui2=ai2=3/1j—■4?1।/Wj।—1l2l=-U2l=a2l-4lWll=2--x4=0u22=a22-l2}ui2=l--x3=--112=(a12TlM2)也2=(3Tx3”(_/)=0122=(422一,2必22=(1一；X3)/(-1)=1所以 580、.,u=(Ar3、1'2>指出：ayuij(j=l,2,3,…，n),/“=」•(]=2,3,…,〃)，可以直接套用。w.i2、考虑三对角矩阵@自、%«2・••・A-.。 59Ly=b,Ux=y,求解之y=4k=yn/M«1%=(y,-j3.xM)/ui,i=n-\,n-2,---,\用这组公式解三对角线性方程组称为追赶法，其中“追”和“赶”是指下标由小到大和由大到小的形象比喻。用追赶法解线性方程组的计算量最大约为5n次，比高斯消元法的°次少得3多。3.用高斯消元法求解线性方程组：f2x}+3x2+4x3=6①<3x)+5x2+2x3=5②o14再+3x2+30x3=32③解：②+(-])x①，③+(-2)x①消去第二、三个方程的王，得：{2^+3x2+4x3=6®0.5x2-4x3=-4⑤-3x2+22x3=20⑥再由⑥+6x⑤消去此方程组的第三个方程的々，得到三角方程组：2x)+3x2+4x3=6v0.5x2—4工3=—4一2七=-4回代，得：—4+4&o6-3x2-4x3x?=2,x2==8,=——=一13320.524.用高斯列选主元素消元法解线性方程组{x}+2x24-3x3=1+4x2+10x3=0-0.1x2+.=2解: 60先选第一列主元为%=5’将第一行与第二行交换，消去为得：5项+4x2+1Ox3=0<1,2x24-x3=1—2.5%2—=2再选第二列主元为%=-2.5,交换第二行与第三行，消去七得三角形方程组:5X（+4x2+1Ox3=0<—2..5x2—5xj—2-1.4x3=1.96回代求得方程组的解马=-1.4,x2=2,x,=1.25.用高斯全选主元素消元法解线性方程组{12x,-3x2+3jc3=15—18X1+3^2—Xj——15xt+x2+x3=6解：选全主元为a=-i8,交换第一■个方程与第二个方程，消去X1,得：-18X|+3%2一再=—15<.+2.333/=5.0001.167x2+0.944x3=5,167再在此方程组的后两个方程中选主元a22=2.333,交换第二与第三个方程，消去与得三角形方程组：-18%1+3%2———15<2.333网-&=5.000L572&=3.144回代得方程组的解±=2.000,x,=3.000,X,=1.000即原方程组的解为:6.用LU分解法解线性方程组1010"[2"13"14〃23〃24〃33“34W44/解：设’1020、01011243、0103,由矩阵乘法（或LU公式），分解得 61311132141’42’431010"11"12"13“33/JM24»34M44y0、112；5、317?J01解下三角方程组、伊、力%J得Ji=5,y2=3,y3=6,y4=4«再解上三角方程组得—2,X3=2,工2=1,X]—1©指出：LU分解的手算求解实际上不需要记忆公式。题1：解：对矩阵“11"120u22先计算U的第一行，由矩阵乘法，有axj=4=lxwn+0x0un=4•/。[2=3=lxwi2+0xu22•(n,।,3再计算L的第一列，由矩阵乘法，有=2=+1x0a21/wil=2然后计算U的第2行 62所以’10、L=11\27,u=补充题(-)1,考虑矩阵2-1-I2-I-12-1-12试求A的乔累斯基分解。解：矩阵A是对称正定矩阵，可以进行乔累斯基分解。2-1-12-I-12-I-12,»11MI2"l3MI4WI1U\2“22“23”33“24W34“44M13U23“33“14“24Ui4M44y设由矩阵乘法,WH=y/2,Ui24276U222,WI3V6=0,m14=0,“33=--~>U243_V3一了‘=0,U44所以 63V6y/626补充题（三）i、计算向量x=(l,-2,4)的各种范数。解：卜(=1+2+4=7,凡=#+(_2>+42=拘,Ikll=max{l,2,4)=4o2,给定矩阵-1234求14，14，1时.解：因为|。11|+|。2」=4,卜|2|+|。22|=6,所以因为|叫+闻=3,%|+|%|=7,所以 64A1A=-13V-13]_0010]4人24厂[1020)所以AZ的特征多项式为:2-10-10-102-2022-302+100,解万一3(H+100=0得4=15+5石,4=15-56。所以||A||2=715+575„补充题(四)1,用雅可比迭代法求解线性方程组X1+2x2—2x3=1 65所以方程组的解为X*«(1,1,1/.指出：本题得出的实际上是方程组的精确解.2、用高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组9^—x2—x3=7<—Xj+8x,+Ox3=7—X1+0^2+9七—8(取初值为无⑼=(0,0,0)，,计算结果取4位小数，迭代4次)。解：从三个方程中分离出未知变量尤”马，与，将方程组改写成便于迭代的形式得Xj——（^2+刍+7）1,小“2=§（%+7）七=（（±+8）据此建立迭代格式得x（*+D=，（x*）+x（*>+7）I923/钊=_［（/川+7）28,x<*+l>=l（xJ*+,）+8）取迭代初值x(°)=(0,0,0)r进行迭代得kY㈤Xix7X3000010.77780.97220.975320.99420.99930.999430.99990.99990.999941.00001.00001.0000所以方程组的解为X*«(1,1,l)fo 66补充题(五)1,矩阵(\24=11、22-2](21,4=21)I-1-11、22-12,证明：求解以A1为系数矩阵的线性方程组的雅可比迭代是收敛的，而高斯-塞德尔迭代是发散的；求解以用为系数矩阵的线性方程组的雅可比迭代是发散的，而高斯-塞德尔迭代是收敛的。2、用迭代法/川=x(公+。(6-4?*))次=0,1,2「-求解线性方程组4》=6,其中,b-1求使得迭代收敛a的最大允许区间和使得迭代收敛最快的a。3、矩阵‘1aa'A=a1a.a"(a)参数a取什么值时，矩阵是正定的。(b)a取什么值时，求解以A为系数矩阵的线性方程组的雅可比迭代是收敛的。分析与解答1、提示：用定理2及其推论解答。解：矩阵4的雅可比迭代法的迭代矩阵为BJi=D-'(L+U)=D-'(D-A)=E-D'AA.2—2\AE-B}1\=121=A(22-2)-2(2-2)+(-2)(2-2A)=A3=0222解之得，4=4=4=。， 67所以p{Bjy)=0<1所以，雅可比迭代法收敛。矩阵A的高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵按如下方法求出:,£>=，-u=0)Y7oB^sl=(D-Ly'U=1]-110-2则(20-20122、-10,7’00,0|2£-BC.S1|=O022-20-23■Z—2得4=。,4=4=2,所以。（4句）=2>1，一220Iu-2、10,2、-32,=—2了=0所以，矩阵4的高斯-赛德尔迭代法发散。矩阵a2的雅可比迭代法的迭代矩阵为BJ2=D'(L+U)=D-'(D-A)=E-D-'A1A__L_1~2~222-I=A'+—A=021202_P~2-1 68所以4=。,4=一"4=iJ5所以p(BJ2)=—>l,所以雅可比迭代法发散。矩阵&的高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵按如下方法求出:02一10一10)<02,D=0>-1<0Bg-s2=(D-L)[U=一1、-2012)\ae-bg_S2\=,12A+-22_2j_22+-2=2(2+-r=0得4=o,Zj=4=，所以p(B2)=1 69其特征方程为\AE-D\=4—(1—3a)2aaA,—(1—2a)即抬一(2—5a)7+(l—a)(l—4a)=0[2-(1-a)][A-(1-4a)]=0解之得4=l—a,A2=1-4a1-4a,a<0则p(O)=max{|l-a|,|l-4a|}=<八21—a,O 70即_解：(a)解一：用特征值全部为正判定求解。-adet(，E-A)=C]+C,•Z—1-2a2-l-2aA—I—2a-u—a-aA-l-aq+(A-l-2a)=(2-l-2a)一ci-a—u2-1-a-ur2-r\r3-r\=(2-l-2a)-uA.—1+Q-u0a—1+。=(2-l-2a)(2-l+a)2令det(/lE—A)=O,有4=1+2。,4=4=i—q。由正定矩阵的定义，当4=1+2〃>o,4=4=i—>o>时，即1n.Q>,±aM<12时，矩阵是正定的，所以1।—— 71i=1=1>o, 72因为M024IKIIelk114，I矶=|幽理引回21研L=IIA2IL，所以，IIM=II4>同理，I巩引跳||4=|乩,|l4=M^kll2IIM=|例2箱例2=1胤;||(aq)』W”®q[W*=|1a』，卜卜侬5bmi|。7』=必4=设3国"。尸||有"卜上山1的卜团。12Mli2|卜|3，。||24kMin=团0\=|回』=||(刎1|有||@叫=|川所以cond2(AQ)=cond2(A),cond2(QA)=cond2(A)故cond2(A)=cond2(QA)=cond2(AQ).2、设A为非奇异矩阵，线性方程组Ax=b,如果系数矩阵有扰动A,右端有扰动b.试证明由此引起的解的扰动x满足如下的估计：L4<^⑷』<.J见，)IRT-”¥THT证明：设线性方程组Ax=b,其中A为非奇异矩阵。如果系数矩阵有扰动4,右端有扰动力,则有(A+A)(x+x)=/7+b0即Ax+4(x)+(A)x+(A)(x)=b+b因为Ax=b,所以A(x)+(A)x+(A)(x)=bAx=b-Ax-Ax等式两边同时乘以A-i得x=A-\b)-A-\A)x-A-'(A)(x)两端取范数，由范数的相容性和三角不等式得 73II浜willM+MIII怖11+团|1珊M从而有(l-kllll411#上||同+||d|||4||x|假定0<网|川<1则有1>1一|甲|||A|〉。则有II#可扁(卜力训+卜1心|旧|)=i-||t|lla|(i611+11A|IM)因为Ax=b,所以H=M>则II小市训+MIW怖I)=qFO(l眄棚》=1一£］可喘网+”可国)-1-IMIIIa||(h*wh+I1对于Ax=b,因为bwO,A非奇异，所以XH0,所以卜口>0所以U 74II4 75cond(A)>A-B分析：因为co〃d(A)=|k1|A|,所以本题实际上是要证明：收网得，即证h-'kr-L-,1111h-fill因为范数总是不小于0的，所以上式等价于k'lh-fihn进一步地，可以证明14Tli|A-B|>||A-'(A-B)||=||e-A叫|>1,证明：因为B是奇异矩阵，所以五。工0满足：所以|(E-A”闯|J%-(1)(&。)|」陆||_|同|E一A-^ll=maxII"0|(£*如|〉|出*力闯|又因为|”|M一加斗t(a_b)|=|e-a叫所以IINM-b肉，因为范数总是不小于0的，所以 76所以而cond(A)=||a1(M||所以cond(A)>M—oI…I4、考虑n阶矩阵q-riA=.‘<1>求co〃d8(4)。解：因为力％』="IT=2sLi=1(/=2,3,-,n),j=lj=l而’1A~'=A=所以所以ML=maxtk/=2。'j=i-P1MIL=m产之同=2.7=1所以cond^(A)=||A'1111^1=2x2=4习题四解答1、设/=0,玉=1,身B/(幻=6一"的一次插值多项式Lj(x),并估计插值误差。解：根据已知条件，有X01y1e~l设插值函数为43)=办+力，由插值条件，建立线性方程组为QXO+方=1v 77ax\+b=e~'ZFI-1解之得\[Z>=1则L,(x)=(e-i-Dx+l因为y'(x)=-e~x,y*(x)=e~x所以，插值余项为r(x)=/(x)-p(x)=—^―/*"+1,(^)^(x)(〃+1)!=3/⑵C)"x)=《/'"e)(x-xo)(x-X1)1.=-^(x-0)(x-l)("(0,1))所以|r(x)| 78旬+4X(-0.1)+4x(-0.1)£(%—x"(x)=0(k=0』,2「、〃)。1=0证明:(1)由拉格朗日插值定理，以Xo,Xi,X2,…Xn为插值节点，对尸f(x)=xk作n次插值，插值多项式为n+。3X(一0.1)3=0.9954+qx0.3+4xO.32+qxO.3p,,(x)=Z4(x)y，，i=Q而yi=xj,所以pn(x)=(x)y,=丑/,(x)x；/=O/=0同时，插值余项r(x)=x4-p“(x)=目正广川©](x)=_1_(?)『)%(x)=0=0.995〃o+qx0.7+生x0.72+%x0.73=0.765a。+qx1.1+a2x1・F+。3x1・r=0.454即1%-0.1a,+0.0la2-0.00la3=0.995Lo+0.3q+0.09a2+0.027%=0.995_|a0+0.7%+0.49十2+0.3434=0.765[a0+l.la1+1.21a,+1.331%=0.454-0.1%+0.0\a2-0.001%=0.9950.4a,+0.08a,+0.028a,=0a0-0.10,+0.0la2-0.001%=0.9950.4a,+0.08a2+0.028a,=00.8a,+0.48%+0.344%=1.760.4a,+0.724+0.988%=-0.3110.32a,+0.288%=1.76-0.384«,=-3.831解之得旬=0.41a.=-6.29a2=—3.48%=9.98则所求的三次多项式为/(x)=0.41-6.29x-3,48x2+9.98x3o所以/(0.2)=0.41-6.29x0.2-3.48x0.22+9.98x0.23=-0.91/(0.8)=0.41-6.29x0.8-3.48x0.82+9.98x0.83=-1.743、设七(i=0,l,2,…,〃)是n+1个互异节点，证明：(1)£x：4(x)=x*(k=0,l,2,…,〃)；/=0 79所以=x"1=0结论得证。(2)取函数/(x)=(xT)*#=0,l,2,…,〃对此函数取节点七(，=0,1,2,…,〃)，则对应的插值多项式为np“(x)=ZAt)2(x)，/=0由余项公式，得r(x)=(x-f)每(七T)，(x)=(。市广山口)I(x)=(〃：6!(xT)T：""(X)=0所以(x-t)k=J(x,-r/7,(x)i=0令t=x,七(Xj-x)乜(x)=01=04、给定数据(/(x)=4)2.02.12.22.4f(1.414211.449131.483201.54919x)48(1)试用线性插值计算f(2.3)的近似值，并估计误差；(2)试用二次Newton插值多项式计算f(2.15)的近似值，并估计误差。解：用线性插值计算f(2.3),取插值节点为2.2和2.4,则相应的线性插值多项式是,、,1.54919-1.48320,一小p(x)=1.48320H(x-2.2)2.4-2.2=1.48320+0.32995"-2.2)用x=2.3代入，得/(2.3)«1.48320+0.32995x(2.3-2.2)=1.450205(2)作差商表如下Xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商2.01.4142140.35012.11.449138-0.0470.34074.10752.21.483201.5960.65992.41.54919根据定理2, 80f(x)=f(xo)+f[xo，Xi](X-Xo)+f[Xo>X1，X2](X-XO)(X-X1)+—+f[Xo，X|,…,Xn](X-Xo)(X-X1)•--(X-Xn-1)+f[xo»X|,…，Xn，x]n(x)O以表中的上方一斜行中的数为系数，得f(2.15)=1.41421+0.3501X(2.15-2.0)-0.047X(2.15-2.0)X(2.15-2.1)=1.663725指出：误差未讨论。5、给定函数表x01245y01646880试求各阶差商，并写出牛顿插值多项式和插值余项。解：作差商表如下Xf(X)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0016116730_5~2246-3_7~621_25488109-3~-8850根据定理2,以表中的上方一斜行中的数为系数，得57p(x)=0+16x+7x(x—1)—x(x—l)(x—2)—x(x—l)(x—2)(x—4)。26指出：余项未讨论。5*、给定函数表x01234y01646880试求各阶差分，并求等距节点插值。解：由已知条件，显然，x()=0,h=l,x=to作差分如下 81Xf(x)一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分00161161430-224612-14042-142488-130-8850根据等距节点插值公式，/儿、/八八«/-1)—1)(/—2)。—1)。—2)。—3)Pn5+e)=p〃(r)=°+，xl6+———xl4+-x(-2)+-x(-140)=16r+7r(r-l)-f(Z-l)(f-2)--r(/-l)(r-2)(/-3)36指出：在本题这种情况下，实际上Pn(t)=Pn(x),也就是说，在这样的条件下，t的多项式就是x的多项式，可以直接转换。一般情况下，把t的关系转换为x的关系需要根据x=x0+th,将t用x表示，即将r=七区代入得到的多项式。h6、给定数据表X0.1250.2500.3750.5000.6250.750f(X)0.70.70.70.70.60.6961873344371041356320228试用三次牛顿差分插值公式计算f(0.1581)及f(0.636)o解：所给节点是等距结点：%=0.125,h=0.125,x.=x0+ih,i=0,1,2,3,4,5。计算差分得Xf(x)一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分五阶差分0.1250.79618-0.022840.2500.77334-0.00679-0.02963-0.003160.3750.74371-0.009950.00488-0.039580.00172-0.004600.5000.70413-0.008230.00028-0.047810.002000.6250.65632-0.00623 820.7500.60228-0.05404令％=/+比“=^^),根据等距结点插值公式，得hP“(X。+//?)=/?„(/)=0.79618+/x(-0.02284)+x(-0.00679)3!x(-0.00316)+«—1)”—2)(/-3)nwtT)(-2)(—3)(，一4)XU.UU4OOH4!5!x(-0.00460)则/(0.1581)«p„(0.158l)=pn(0.125+0.2648/?)=0.790294822,/(0.636)«pn(0.6363)=pn(0.125+4.088//)=0.651804826°7、设f(x)在［-4,4］有连续的4阶导数，且/(-1)=1,/(0=)2/(04OJ(3)=1J'(3)=1(1)试构造一个次数最低的插值多项式p(x),使其满足p(-1)=/(-1)=-1,p(0)=/(0)=2,p，(0)=八0)=0,p(3)=/(3)=1,p，(3)=八3)=1(2)给出并证明余项f(x)-p(x)的表达式。解：(1)由7*可以求出满足p(0)=/(0)=2,p'(0)=尸(0)=0,p(3)=/(3)=1,p'(3)=/(3)=1的三次埃尔米特插值多项式H(x)——x3—%~+2o273设p(x)=H(x)+a(x-3)2x2=—x3--x2+2+a(x-3)2x2,贝llp(x)满足p(0)=/(0)=2,p，(0)=f'(0)=0,p(3)=/(3)=1,p，(3)=f'(3)=1,由/(-1)=1得521—x(-l)3——x(-l)2+2+a(-l-3)2(-1-=1=a=,273108所以521p(x)=//(x)+ti(x-3)'x'=—x，—x~+2(x—3)-x-273108141333,0=x+—x+——x+2108544(2)余项具有如下结构r(x)=/(x)-p(x)=k(x)(x+l)x2(x-3)2作辅助函数*)=/«)-p(f)-k(x)(f+1)/2(/-3)2则显然以f)在点看-1,0,3处有6个零点(其中0,3是二重零点)，即"(功=0,夕(-1)=0,以0=)0,“(000必3)=0,“(3)=0,不妨假设xe(T,0)。由罗尔定理，存在。e(一l,x)4g(x,0),^3e(0,3),使得“©)=0,d($)=o,(p'0)=0，再注意到d(0=)0,"(3)=0,即“⑴有5个互异的零点$<$<0<&<3再次由罗尔定理得，存在 83760),%€(04),“G&,3),使得e"(7)=0,°"(%)=0,"(%)=0,。"(”)=0第三次应用罗尔定理得，存在。e(7，%)4€(%，%),&e(%，Z)使得一/)=0,)=0,炉0)=0,第四次应用罗尔定理得，存在从使得“4)(从)=0,/4)(〃2)=0,第五次应用罗尔定理得，存在76(M,外)使得。⑸⑺=0注意到“5)«)=，5)(。一5收(%)=/5)«)—5!女。)(«)=/«)—p⑺中p⑴是4次函数，其5次导数为0)。所以r⑸⑶/⑸(r)-5!k(x)=0=左(幻=上有一，代入余项表达式，有r(x)=f(x)-p(x)=———(x+1)x2(x-3)20指出：本题是非标准插值问题，比较简单的求解方法有：①求插值问题的基本方法是待定系数法。以本题来说，有5个条件，可以确定一个4次的插值多项式，设为y=%+。俨+“2/+生尤3+。3X3，将条件代入，建立一个5元的线性方程组，求出各参数，就可以求出插值多项式。②求插值问题的第二种方法是基函数法，即根据给定条件设定插值多项式的结构和各基函数的结构，根据条件确定基函数即可。具体方法与拉格朗日插值基函数构造和埃尔米特插值基函数构造相似。③以标准插值为基础的方法是一种更简单的方法，本题中，首先利用4个条件构造一个埃尔米特插值，在此基础上设定所求插值多项式的一般形式，保证其满足埃尔米特插值条件，代人未利用条件解方程(组)，求出其中的未知参数，即可求出插值多项式。本题也可以先利用p(-l)=y(-l)=-l,p(0=力(0=2)p(3)=/(3)=l构造一个2次插值多项式p2(x)，以此为基础构造4次插值多项式p&(x),a(X)的结构是。4(x)=P,(x)+(a-icb)(x+l)x(x—3)，满足p(-l)=/(-l)=-l,p(0=力(0=2)p(3)=/(3)=l再根据p'(0)=/'(0)=0,p'(3)=/'(3)=1列出两个线性方程组成的方程组，求出a、b两个参数，即可求出所求的插值多项式。求插值函数余项r(x)的常用方法是：r(x)=/(x)-p(x)应具有如下形式(以本题为例)r(x)=f(x)-p(x)=女(x)(x+l)x2(x-3)2作辅助函数 84则例f)在点x,-1,0,3处有6个零点(其中0,3是二重零点).反复应用罗尔定理，直到至少有一个re(-4,4),使得““«)=().此时即有/⑸(7)-5!k(x)=O=k(x)=代人余项表达式即可求出.7*、设f(x)在[-4,4]有连续的4阶导数，且/(0)=2,/'(0)=0,八3)=1,八3)=1试用两种方法构造三次埃尔米特插值多项式H(x),使其满足p(0)=/(0)=2,"(0)=/(0)=0,p(3)=/(3)=1,"(3)=((3)=1。解一(待定系数法)：解：(x)=a0+a}x+a2x2+a3x3»贝IH'(x)=q+2a2x+3ayx2,由插值条件得[2=〃(0)=%J0==q1=H⑴=%+q+/+%[1="«)=4+2%+3%人、，25解之得a。=2,q—0,ci2=％=5y9所以H(x)=—x3—x2+2o273解二(基函数法)：解：设/(尤)=/(/)«()W+f(x,)a,(x)+f'(x0)夕°(x)+/'(司)用(x),因为线性拉格朗日插值基函数为/0(x)=^L=—=—,Xq_Xj0_33,z.x-xnx-0xli(x)===一,Xj_Xq3_03由④得 8512«0(x)=[l-2X-^o)儿(无)Xof,(、2r,_z、1Jx-x.=[l-2(x-x0)]1"^0'"^0"^1)=[l-2(x-0)27-9x2+2x327同理2(x-xI)x0-X)9x2-2x327由⑤得kxo-xi)I3/(»V3a2/?i(x)=(x-xjX-X')|=x_XIX1-%J9则52,H(x)=—x—x~+2o2738、设/(x)=e'(0WxWl),试作一个二次多项式p(x),使其满足p(0)=/(O),p,(O)=//(O),p(l)=/(l),并导出余项估计式。解：设此二次式为p(x)=a+Z?x+cx2,因为/(x)=e"J'(x)=e3所以，由已知条件p(0)=/(0)=1,p'(Q)=//(0)=1,p(l)=/(I)=e将其代入p(x)=a+bx+cx2,p'(x)=b+2cx,得[a=1(a=1\b=l=>,b=l[a+b+c=ec=e-2所以，要求的二次多项式为p(x)=1+x+(e-2)x2o因为0是2重零点，1是1重零点，因此可以设余项具有如下形式:r(x)=f(x)-p(x)=K(x)(尤-0-1)，其中K(x)为待定函数。 86固定x,作辅助函数*)=r(f)-K(x)«-O，(I)显然低0=)0,/(0=)0,e(x)=0,9(1)=0，不妨假设(0,1)。由罗尔定理，存在。e(0,x)&€(x,l)，使得"©)=04也2)=°，再注意到“(0)=0再次由罗尔定理得，存在7e(0,幻u(0,1),小€©4)u(0,1),使得)=0,“'(小)=0再次应用罗尔定理，存在Je(7，/)u(0,l)使得/(4)=0。注意到-«)=")-3K(x)=/*(0-3K(x)(«)=%)-p(r)中p⑴是2次函数,其3次导数为0)。所以=/"g)-3!K(x)=0nK(x)=^Q^,代入余项表达式，有r(x)=f(x)-p(x)=/:)(*―02)(x-l)=^-j-x2(x-l)o指出：石瑞民《数值计算》关于余项讨论很清楚。9、给出sinx在［0,n］上的等距结点函数表，用线性插值计算sinx的近似值，使其截断误差为Lxl()T,问该函数表的步长h取多少才能满足要求？2解:设x*(k=0,1,…)为等距结点，步长为h,则x“|=x*+/i当xwK，x*+J时,作f(x)的线性插值4(X)=三也/⑺+f(xi+l)X*—X&+1$1+1—Xk则有,f"(£)/(%)一4(X)=与“(x-xk)(x-xk+i),由此易知11人2|/(x)-LI(x)|<-max|/7x)||(x-)(x-xt+1)|<-x—,xe［x,,xt+1］2/4$“24因此o由一4—xl()T,得〃a0.02。82指出：关于最大值的计算与12题相同。 8710、求/(幻=尤4在区间［a,b］上的分段埃尔米特插值，并估计误差。 88解：由分段三次埃尔米特插值多项式〃3（x）=£"（X,）«,（X）+f'Qim（x）］t=0则/（幻=尤4的分段埃尔米特插值为43（X）=ilf（Xi"（X）+f，g艮（x）］1=0=£［菁4区3+4七%（尤）］其中a(xj=<[l+2(X-X|)][1+2(x-x,)1马+11.0,其他2，七T 89h0=%1—x0=7.5—2.5=5hx=x2—xi=10—7.5=2.5='%=2=0.666671%+43%=1-4=0.33333go=1(2^A-y；)=O.564%n,)=-1.12002-6y2-y,y,-y014+%%g2=^-(y；-A^L)=1.60802%将以上数据代入方程组gi解之得M)=0.807339M=-1.050678Af2=1.329334将获得的数据代入到SCO=M一生/+%（，加3+（坨-亨哈1+他-沙咛6/7,6%64中，得0.02691lx(7.5-x)3-0.035023x(x-2.5)3+0.127218x(7.5-x)+2.275565x(x-2.5)s(x)=〈-0.070045x(10-x)3-0.088622x(x-7.5)3+3.237783x(5.0-x)+1.446lllx(x-7.5)12、设/(幻€。2口,切(具有二阶连续导数)，且f(a)=f(b)=0,证明:max|/(x)|w-a)，max|/w(x)|a 90解一：设所求的拟合函数为y=a+fer+c/,5则L=+人为+ex；)-yj2oz=i对a、b、c分别求偏导，并令偏导数等于0,得ai5二二Z2[(。+如+ex；)—y[=。du,-=|5=>Z](a+如+cx；)-yJ=O1=1555n5。+b£x,.+t'Zx；-£»=0i=1i=li=lMX”.4-bxi+ex；)-yJXj=0ob775=>2[(。+如+。为2)一凹扰二。z=i5555=6x，+x.2+x；-Xx>y>=o/=1/=1i=if=l——〉:2[(。+bjCj+ex；)—y.—0de,-=i5=>ZK〃+bXj+ex；)—yi]x;2=0i=l5555=>a£x；+应怎3+$x,4-£x；y,=oi=!i=\i=\i=\将各数据点的数值代入，得方程组为5a+10c=2.910/7=4.210a+34c=7解之得a=0.4086,b=0o42,c=0.0857,所以数据点所反映的函数的近似关系为y=0.4086+0.42x+0.0857x2解二：设所求的拟合函数为y=Q+fec+cx2, 91将数据代入方程得。一2。+4c=-0.1a-b+c=0.1 92—=22[(。+婷)-y]=0oa,=1n£[(a+如2)_yj=oZ=155=54+62工；-工凹=0i=li=l=22[(a+bxf)-yt]xf=0obi5=>Z[(a+bx：)-yjx；=0/=1555=>4x；+»x*-£x；yt=0i=li=l/=1将数据代入得5a+x(192+252+312+382+442)-(19.0+32.3+49.0+73.3+97.8)=0ax(192+252+312+382+442)+&x(194+254+314+384+444)-(192xl9.0+252x32.3+312x49.0+38?x73.3+442x97.8)=0化简得J5a+5327b-271.4=0[5327a+7277699b-369321.5=0第二个方程减去第一个方程乘以1065进一步化简得J5a+5327b-271.4=0[2a+1604444b-80279.5=0解之得Ja=1.01[b=0.05则x与y的函数关系是y=1.01+0.05x2o此时，平方逼近误差为5L=£[(a+如2)_y]=oo]7(=1所以，均方误差为W.017=0.13。指出：均方误差实际上就是按最小二乘法则确定的残差。15、观测物体中直线运动，得出如下数据:时间0I.3.3.5^t(s)99090距离01030508011s(m)0求运动方程。解：设运动方程为s=a+bt则6666»,•=14.7,牛=53.63,>=280,=1078i=li=l*i=li=l将上述数据代入方程组"66i=li=l<666 93a»i+b»；=Zw、1=1i-\i=l得方程组J6a+14.76=280[14.7a+53.63/?=1078解之得ja=-7.8550478[b=22.25376所以，s=-7.8550478+22.25376/。指出：利用统计型计算器，有关中间数据可以简单求出。16、在某化学反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下:时间t05101520253035浓度01.2.2.3.3.4.4.y(xio4)27168644871537时间t40455055浓度4.4.4.4.y(xio4)51586264用最小二乘法求y=f(t)。解：描草图，观察草图可以发现，该组数据分布近似于指数函数曲线，而且随着t的增大，y的增速放缓，故设by=ael。两边取对数，得,，,1Inv=+,t令Iny=z,-=s,lna=c,则拟合函数转化为线性拟合关系z=c+bs。IIII〉=0.6039755,5,2=0.06232136i=|1111Zz,=13.639649,gs,4=0.5303303。f=li=l将上述数据代入'11111忆+95,=Z4/=1i=l<111111、i=li=1i—\得fllc+0.6039755b=13.639649[0.6039755c+0.06232136b=0.5303303解之得b=-7.4961692,c=1.6515592=>a=5.2151048所以7.4961692y=5.2151048e--i—。指出： 94(1)T=0,该拟合函数不适用。(2)专业的变化规律(经验函数)应当由专业人员给出。仅仅从有限数据的草图得出的规律可能不具普遍性。17、给定数据表X7.2.3.4.4.27518y6560535046用最小二乘法求形如y=ae尿的经验公式。解：对》=理加两边取对数，得Iny=Ina+,令Iny=y,ln〃=a^b—ax,则代入数据，建立方程组为J5ao+17.30,=19.97968815[17.3%+64.23%=68.55117703解之得%=4.45380=e%=85.9529a,=-0.132329=[b=%=-0,132329所以y=85.9529e2/32329*。18、用最小二乘法求方程组2x+4y=113x—5y=3x+2y=6x+2y=14的近似解。分析：这是方程个数多于未知数个数的超定方程组，是矛盾方程组，用最小二乘法求解。解：设方程组中各个方程的一般形式为qx+b,y=q,则4L='^[(aix+biy)-ci]2i=\对X、y分别求偏导，并令偏导数等于0,得—=2](qx+b,y)-c,]ai=08x,=14=>XKqx+〃y)-c/《=°i=l444=>与a；+立她-Z《J=0i=li=li=\4—=y2[(qx+b,y}-q血=0oyi=i4 95=Z[(qx+刎)-q血=oi=]444n工。也+y£b；-Z3=01=1i=l*=l将数据代入得J15x-3y-51=01-3x+49y-69=0解之得(x=3.727[y=1.63619、已知数据表x12345678y1520273649658711.3.5.4.6.1.6.87.6它有形如p(x)=—上一的拟合函数，试求本问题的最小二乘解。解：令y=1,则拟合函数变形为Zz=a+bx,原拟合问题转化为线性拟合问题。贝ijl=工［（。+姐）一。（=1对a、b分别求偏导，并令偏导数等于0,得ei8—=工2[(。+如)-y,]=odai=\8=>z[(a+bx,)-yj=°1=188=>8。+/?Vxt-V=0/=!i=ia/8—=X2[(。+姐)~y^xi=08nZ【(a+bx”xH=01=1888=>。E菁+°Xx，"E%y,.=01=1i=\i=\将数据代入，得'888。+匕>七一>y=0,“，八,”，?5''8a+36/?-419.9=08a+36/7-419.9=0白32g36a+2046-2479.4-846+8737.9=0吃七+，2xt-ZX/=0、/=!Z=1i=l解之得Ja=520.58[Z;=-104.02所以，所求的拟合函数为,-1PA-520.58-104.02x°20、在平面上给出三个点，它们的坐标是玉=赴=(2,0尸,七=(1.5,31,每个点对应一个函数值4=1.8,Z2=2.6,Z3=3.1,找出一个通过这三个点的平面。 96解：这实际上是求过三个点(1,1,1.8),(2,0,2.6),(1.5,3,3,1)的平面方程。由解析几何知识可知，平面的三点式方程为xyz1玉M41=u%y2z21七%Z31将三点坐标代入，解此方程就可求出所求平面方程。（以下从略）补充题（一）1、求次数不超过2和3的多项式P2（x）和P3（x）o使得P2（0）=P3（O）=0,P2（1）=P3（1）=hp2（2）=p3（2）=8,p3（3）=27o解一：设二次多项式为p2（x）=ao+aix+a2x?,则有%+qx0+%x=0+4]xl+&xl~=14+qx2+&x2?=8解之得，a。=0,q=—2,%=30所以p2（x）=-2x+3x2o设三次多项式为P3（x）=ao+aix+a2X?+a3X^,则有。0+qx0+出XO?+。3XO'=0%+〃]乂1+。2乂12+。3乂/=1<%+qx2+4x2?+%x2,=8a0+x3+a2x32+x33=27解之得，a=0,q=0,%=。，%=1。所以。2.）=X、°解二：由题6,可以直接利用插值多项式公式求出所要求的多项式来。解三：在学习了差商和差分后，也可以利用牛顿插值公式或等距节点插值公式求出所求多项式。对f（x）在0,1,2,3处求差商得Xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商00111371 9728619327所以，p2(x)=p2(O)+lx(x-0)+3x(x-0)(x-1)=3x2-2x,p3(x)=p3(0)+lx(x-0)+3x(x-0)(x-1)+1x(x-O)(x-1)(x-2)=x3..2、已知函数f(x)在节点-1,0,1处的值分别是0.3679,1.000,2.7182,用待定系数法和插值基函数法两种方法求出拉格朗日插值。解1:设所求的多项式为p2(x)=+a2x2，把已知条件代入得%+qx(-l)+a2x(-1)2=0.3679<〃o+qx(0)+4x(0)2=1.000〃o+。]x⑴+%x(I)2=2.7182解之得〃o=1,01=1.751,氏=0.5431所以p2(x)=1+1.175lx4-0.543lx2。解2:由插值基函数公式力(Xf)k=0-Xk)k=0kwi(x-0)(x-l)=Mx-l)(-1-0o-l-l)24(x)==-(x+l)(x-l)/，、[x-(-l)](x-0)x(x+l)/2(x)=[i-(-i)](i-o)=-代入插值公式得p2(x)=O.3679/o(x)+1.000/,(x)+2.7182/2(x)即p,(x)=1+1.175lx+0.543lx2.3,设f(x)=xt试利用拉格朗日插值余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式。解：记三次插值多项式为p(x),由插值余项定理/(x)-p(x)=1/(n+l)(^UU)(n+1)!=4/⑷C)(x+1)(尤一0)(x-l)(x-2)4!=(x+l)(x-0)(x-l)(x-2)所以，p(x)=f(x)-(x+l)(x-0)(x-l)(x-2) 98=x4-x(x2-1)(x-2)—2x+厂一2x思考：用插值多项式公式直接求插值多项式与本题求出的多项式比较一下。4、已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sinO.36=0.352274,用抛物线插值计算sinO.3367<)解：sinO.3367=0.330374O5、设lk(x)(k=01,2,…,n)是n+1个互异节点x0,xi,X3,…Xn上的n次基本插值多项式，证明下面的恒等式成立£x^lk(x)=x,n(加=0,1,2,・•・,〃)证明：由拉格朗日插值定理，以Xo,X|,X2,…Xn为插值节点，对y=f(x)=xm作n次插值，插值多项式为P"(x)=E？，(x)y，，i=0而yi=Xim,所以P“(X)=X/>(无功=£4(x)x；"i=0i=0同时，插值余项r(x)=xm-p“(x)='乃(幻=0所以/=0结论得证。指出：本题说明，任何次数不超过n的多项式的n次拉格朗日插值多项式就是它本身。我们也可以证明：£((x)=i。i=06、设Xo,X|,X2,…Xn是任意给定的n+1个互异节点，证明f(x)=ao+aix+...+anxn关于这组节点的n次插值多项式pn(x)就是f(x)o证明：记n次插值多项式为Pn(x),由插值余项定理/a)-pn(x)=i/玲)《)》(X)(〃+l)!1(n+1)=八，(劭+4%+…+a“x)%(x)(n+1)!，二0所以P“(x)=/(x)。补充题(二)1、令％0=0,±=1,写出y(x)=e-*的一次插值多项式，并估计误差。2,已知加5=10,洞'=11,>/^=12,求JTT?并估计误差。 993,证明对任意的xwR,都有七/j(X)三1,其中0，(，=0,1,2广、〃)定义为1=0在(X-X*)k=0n(%-z)k=0kwi4、(a)设有多项式/(x)=W—51+3,取插值节点为-2,-1,0,1,2,试求f(x)的拉格朗日插值多项式八(x),它与f(x)关系如何。(b)g(x)表示函数f(x)在互异节点与小,工2,…,z上的n次拉格朗日插值多项式。证明如果f(x)是加(加V〃)次多项式，则Pn(x)=f(x)o5、设/(幻£。2口.(具有二阶连续导数)，且f(a)=f(b)=O,证明：max|/(x)|<—(b-a)2maxa 100所以|r(x)|<-maxmax\x(x-1)1112।14E1-011=-xex—=—2482、解：将已知的插值条件代入抛物线插值多项式得,....(115-121)(115-144)(115-100)(115-144)(115-100)(115-121)"(11DJ-X1vIX11HXIN(100-121)(100-144)(121-100)(121-144)(144-100)(144-121)=10,7228记y(x)=y[x,显然，1-1I3--y(x)=-x2,y"(x)=--x2,y'\x)=-x2248因为r(x)=f(x)-p(x)=1乃(尤)(〃+l)!=1r"(&)(x-x0)(x-x])(x-x2)6所以|r(115)|=^|/,3)(^)(x-x0)(x-x1)(x-x2)|13--=--^2x(l15-100)(115-121)(115-144)68i3<--xl(X)2x(115-100)(115-121)(115-144)68=0.163x10-23、分析：关于插值基函数4(%),6=0,1,21.")的性质的证明，在考虑证明方法时，应该从对函数进行插值入手，通过耐心地推证或巧妙地选取被插值函数，获得所需要的结论。由拉格朗日插值多项式的结构，本题的被插值函数显然应当取为f(x)=l。证明：由拉格朗日插值定理，以xo,xi,X2,...Xn为插值节点，对y=/(x)三1作n次插值，插值多项式为p"(x)=Z，(x)y,/=0而yi=i所以Pn(x)=iWyi=Yili(x)i=0i=0同时，插值余项r(x)=l-pn(x)=--f("+，)(^(x)=•1⑴广“C)乃(x)=0(«+1)[5+1)!匕所以 101立(x)三1;=0结论得证。4、(a)解：由nn(x-4)A=0从x)=Yn-Fk=0k±tl(X)=—々)口一工3)(/一/)(%-玉)(%-x2)(x0-x3)(x0-x4)(x+l)x(x-l)(x-2)"(-2+1)(-20-2-1)(-2-2)—~(-v2-l)(x"-2x)/(X)=(X—Xo)(x—々)(*-*3)(%一％)1(X,-XqXX]-x2)(x,-x3)(x)-x4)(x+2)x(x-l)(x-2)=K+20-1)(-1-1)(-1-2)一工(/-4)(x2-x)ol2(x)=(x-XqXx-Xj)(x-x3)(x-x4)(x2-x0)(x2-Xj)(x2-x3)(x2-x4)(x+2)(x+l)(x—l)(x—2)2xlx(-l)x(-2)=J(x"(2+2)(2+1)2(2-1)=((丁一l)(x2+2x)所以4。4(*)=2？，6)凹/=0=—(x2-1)(x2-2x)x17--(x2-4)(x2-x)x96+-(x2-4)(x2-1)x3一，(无2-4)(x2+x)x(-l)+—(x2-1)(jc2+2x)x(-3)24=x——5x+3可见，求出的插值多项式就是被插值函数本身。指出：可以用余项定理直接求。(b)证明：记n次插值多项式为勺(x),f(x)=4+a,x4Famx"'(m 102_(x+2)(x4-l)x(x-2)"(1+2)(1+1)1(1-2)=--(x2-4)(x2+x)6/(X)=(X-Xo)(X-X])(X-X2)(X-X3)(X4—X。)(x4-X|)(X4-x2)(X4-X3)_(x4-2)(x+1)x(x-1)fM-Pn(x)=/；、，尸"钊《)乃(公1(n+1)=(%+4X+,••+〃”*")万(X)(m+1)!°'§=0所以Pn(x)=f(x)„5,分析：本题要证的结论是|/(x)|与的关系，而用泰勒展开的方法难以奏效。因为用泰勒展开，不外乎在a,b或者使得尸(x)=0的点处展开，但这些点处的展开式都不能直接得到|/(x)|与\f"(x)\的关系式。在本节我们讨论多项式插值问题，而且又有条件f(a)=f(b)=0,容易想到，如果用线性插值，线性插值函数只能为0,且误差为(/"C)(x-a)(x-b),直接把|/(x)|与|/"(刈联系起来,有可能得出结果。证明：以a、b为节点进行插值，得/(x)=p((x)+r(x)==/⑷+F/⑻+g/C)(…)(》-a—bb—a2!=?!/"(<)(，一。)(不一力)(a<^ 103/0(x)=(%一石)(飞一心2)(x-0.15)(x-0.2)"(-0.1-0.15)(-0.1-0.2)40=(x-0.15)(x-0.2)/(X)=(x-XoXxf)区一Xo)(X|一》2)(x+0.1)(x-0.2)(0.15+0.1)(0.15-0.2)=80(x+0.1)(x-0.2),/\(x-x0)(x-x,)/,(x)=—(x2-x0)(x2-x,)(x+0.1)(x-0.15)"(0.2+0.1)(0.2-0.15)=^(x+0.1)(x-0.15)下略。实际上本题错误，因为-0.15不能开平方，即求不出打。因本题是课本原题,故进行上述分析。习题五解答1、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果。⑴修'5=8),⑵xsinxdx(n=8)(3)£V7jx(〃=4),(4)，/'公5=4)1*、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果。(1)-f>477^(n=4)解：解：将区间[0，1]4等分，5个分点上的被积函数值列表如下(取2位小数)00.250.50.75100.060.120.160.20 104⑴矩形法。用矩形法公式计算(取2位小数)^f(x)dx«^—^-(y0+y］+…+y“_|)=-(0+0.06+0.12+0.16)«0.09或者b-a/、f(x)dx«(,+必+…+券)&n=:(0.06+0.12+0.16+0.20)®0.14(2)梯形法用梯形法公式计算(取2位小数)：ff(x)dx»^-[^(y0+yn)+yi+y2+---+yn_l)]Mn2=-[(0+0.20)+0.06+0.12+0.16]®0.114(3)抛物线法用抛物线法公式计算(取2位小数)：ff(X)小弟[(y0+5)+2小+”+…+yn-2)+4(%+%+…+yxJ]=—[(0+0.2)+2x0.12+4x(0.06+0.16)]«0.1112一dx=ln2)，x2、用复化梯形公式计算积分f-Jx,由此计算ln2(注:精度要求为ICT4。解:1Q-Jx=ln8-ln4=ln-=ln2,要求精度为107，即误差不超过£=Lx10-4。2«-44将积分区间［4,8］n等份，则步长力=1nn在本题中，复化梯形公式的余项为r=一M*/〃①)=一二性万加=一2%①)1212n3n注意到f(x)=-,f\x)=一x-2J〃(x)=2x~3,X所以在［4,8］区间上|f"(x)区2x，3, 105贝川4£x2x8-3=16x23n2x4316/72要使一LwLx10：需有6n22-ir<-x10"4=>3n2>104=>n>n>577.367n〃=578。6n22733、用复合梯形公式计算积分f/(x)dx,问将积分区间［a,b］分成多少等份,才能保证误差不超过£(不计舍入误差)？解：对于复合梯形公式来说，如果/〃(x)在积分区间上连续，则其余项为r=一气e[a,b],设M=max|/*(x)|,a 10642-1计算结果列表如下:iT2,R*00.771743310.72806990.512171320.71698280.28707130.272071330.71420020.27267130.27177130.71327176、分别用下列方法计算积分/=并比较计算结果的精度』x(1=1.098612)：(1)复合梯形法(n=16)；(2)复合抛物线法(n=8)；(3)龙贝格方法，求至a；(4)三点高斯一勒让德公式。指出：①直接套公式计算。②计算结果的精度比较，通过各计算解和精确解比较，求出相应的误差，再比较误差大小的方法进行。③三点高斯一勒让德公式为r乙、5..V15.85..V15.)+-/(0+-7)(—)«当积分区间不是［-1,1］而是［a,b］时，为应用高斯一勒让德公式，需要作变量代换x=+将［a,b］化为［-1,1］。22石瑞民《数值计算》中没有给出三点高斯一勒让德公式，但给出了3,4,5点公式系数表。7、试确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式具有的代数精度：(1)£/(x)dx=4“i)+4/(014/(/0；J-h(2)f：/(x)dx=4/'(i)+4/(0+4/(/z)；J-2h(3)£/(x)J^1［/(-1)+2/(xi)+3/(x2)］:(4)ff(x)dx^-~~［f(a)+f(b)］4-c(b-a)2［f\a)-f\b)］o 107解：(1)求积公式中有三个待定系数，故令求积公式对f(x)=l,X,x2精确成立，即4+4+4=2〃*—A^h+^h=04"+田2=2//3解之得4=&，4=与，4=(，所以，数值求积公式为ff(x)dx»—/(-/i)+—/(0>—/(/?),*333而fx3dx=—(—/z)3+—/z3,*33fx4dx^-(-h)4+-h4,L，33所以上述积分公式具有3次代数精度(实际上这是抛物线公式)。(2)求积公式中有三个待定系数，故令求积公式对f(x)=l,x,x2精确成立,即4+4+4=4力v—4)/?+—o犷+京2=］6〃3/3解之得4=与，4=号4=与，所以，数值求积公式为f(x)dx«-f(-h)--f(O>—/(/z),川333而f：=—(-/i)3+—(/i3)=0,「丁公=竺力5。也jJ竺xO4+Wx/=l^xr453333 108所以上述积分公式具有3次代数精度。指出：由于本题的节点实际上仅分布在半个积分区间，因此积分精度低。(3)求积公式中有2个待定参数，需要列两个方程组成的方程组。当f(x)=l时，有dx=21(1+2+3)=2因此需令求积公式对f(x)=x,X?精确成立，即-(-1+2x1+3x2)=0I-7-[(-1)2+2x,2+3^]=-化简得\2x}+3x2=1[+3x^=1解之得1+>/63-2#1—,\/6x.=5L或3+2V6所以，数值求积公式为£J(x)dx«1[/(-1)+2/(^^)+或\fWdx«-[/(-1)+2/(——)+3/(——-)]x3515对第一个积分公式，当/(幻=工3时，fx3dx=01-3*KT)3+2x(¥)、3x(噌力工。所以上述积分公式具有2次代数精度。指出：求出的是两个积分公式，不能认定两个节点有大小顺序规定而只取一个,实际上仅仅是两个点必须是按求出的成对。(4)求积公式中仅含有一个待定参数co 109令f(x)=l,有^f(x)dx=b-a,j^yL[/(«)+/(fe)]+c(fe-a)2[/，(a)-/W=^£H+l]+c(6-a)2[0-0]=fe-«j=>(fMdx=^—^[/(a)+f(b)]+c(b-a)2"'(a)-f\b)]由2令f(x)=x,有tbb2—a2[f(x)dx=--—,•luJ+f(b)]+c(b-a)2[f'(a)-f'(b)]=^-^-[a+b]+c(b-a)2[l-l]=—=>ff(x)dx=^—^-[f(a)+/(/?)]+c(b-a)2[f(a)-九2令/(x)=W时公式准确成立，则^f(x)dx=b~a,^"(a)+/S)]+cS-a)2"'(a)-/'(b)]=[a2+b2]+c(b-a)2[2a-2b]=(a2+b2)-2cs-a)322=>———=-——(a2+/72)-2c(b-a)3=>c=—3212则求积公式为f/(x)dxa?"(a)+/(b)]+[3-a)?"'(a)-7,S)]将/(x)=/代入求积公式，有「/一/[f(x)dx=---,""(a)+/(b)]+5屹-"脑)一/'(切]=^^[a3+&3]+—(fe-a)2[3a2-3/>2]\212={2a3+2b3-(a-b)(a2-b2))4=之(。+加34b4-a4=4/-a,,、3H(a+b)4所以，求积公式具有2次代数精度。 110指出：可否认为，或是否有必要认为a和b是未知待定的？8^试构造高斯型求积公式（VL/m4/（入0）+4/（为），使之对于/。）=1,尤e％3均能成立。解：求积公式中有4个待定的未知数，故令求积公式对f（x）=l,x,x2,x3精确成立，即,24%+4再=w<»,）2+4玉=~4K+4%：=-从前两式从解出4,4（2、肝[：21对后两式有（2]㈤=卜：引T7DKX、2故有（2}fl『尸化简得^Uoxi）2=~（xo+x°x’22,、2gX（）X|='（工0+XI）一§令xax.=u（用矩阵方程形式）有（2}x；y7X；y222+X]）-—（xo+X]）7/+X=v则上述方程组化为121211u—v+u+v=03779111n1579解之得，510 111U——,V-219于是有%=0.289949,x,=0.821162,%=0.277556,%=0.389111故所求的积分公式为^y/xdx«0.277556/（0.289949）+0.389111/（0.821162）o指出：①注意方程组的解法。②4），4与入0，1］相对应（由前两个方程决定）。③方程组中4,4是一次的，而且前两个方程中/J也是。次、1次的，因此从前两个方程中解出4,%（用M,占表示）代入后两个方程中求七小就是比较容易想到的方法。而用矩阵格式简化计算，用变量代换简化方程则是数学的技巧。9、利用下表求x=0.6处的一阶导数。X0.40.50.60.70.8f（X）1.58364941.79744262.04423762.32750542.6510818指出：①没有限定方法，就可以用任何合适的方法。②可用中点公式，只用0.5、0.7两点函数值。③可以构造4阶拉格朗日插值多项式。④可以用三次样条插值。⑤可以用待定系数法构造数值微分公式。补充题（一）1、用三种基本积分公式计算，半•（四等分积分区间）。分析与解答1、解：将区间4等分，5个分点上的函数值为（取2位小数）11.251.50.500.390.311.7520.250.20(1)矩形法用矩形法公式计算(取2位小数)F1 112Jf(x)dx»-(y(t+y]+y2+yi)=0.36或者f(x)dx«-(y,+%+%+%)=0-29(2)梯形法用梯形法公式计算(取2位小数),■211If(x)dx«-[-(y0+yJ+X+必+、3)]=033」42(3)抛物线法用抛物线法公式计算(取2位小数)[f(x)dx»-^-[(y0+y4)+2y2+4(y,+y3)]=0.32512补充题(二)1、试确定一个具有三次代数精度的公式。ffWdx«4/(0)+A/(D+A2/(2)+AJ(3)2,确定求积公式的代数精度。H-\/3\13[j(x心-(一.)+〃.)3、确定下列求积公式的待定系数，使其代数精度尽可能地高。r2h\fMdx^A_J(-h)+Aof(O+AJ(/0J-2/l4、确定求积节点，使得求积公式£fWdm/(Xo)+/(X1)J-h具有尽可能高的代数精度。5,确定下面求积公式中的参数，使得其代数精度尽量高，并指出求积公式所具有的代数精度。[J(无)dm"(-1)+2/(七)+3/(%)]/3分析与解答1、解：分别取f(x)=1,X,x2,X3,使求积公式准确成立，则得下面的方程组。Aq+A+A,+Aj=3A1+2A2+3A,=92A+4&+94=9A+8A2+27A?=814解之得Ao=3/8,A,=9/8,A2=9/8,%=3/8。由此得求积公式为f33993[fWdx*-/(0)+-/(l)+-/(2)+-/(3) 113当将f(x)=x4,代入时，上式不能精确成立，故所得公式具有3次代数精度。2,解：取f(x)=xk代入求积公式，得)=，产*公一[(一母)1e=[7-L--Ot][i+(-i/ik+13容易验证，R(X0)=R(X)=R(x2)=R(x3)=O,但是R(x4)=8/45#O,所以求积公式的代数精度为3。(直接取f(x)=1,x,x2,x3,x4验证也可)3、解：求积公式中有三个待定系数，故令求积公式对f(x)=1,x,x?精确成立,得解之得A-i=Ai=8h/3，A()=-4h/3，所以，数值求积公式为f2h8/j4/18/z川333j-F"318/738/j3而Ixdx=—(-h)+——h=0“33fih4,8/j,…8/?,4xdx^—(-/z)4+—h433所以上述积分公式具有3次代数精度(实际上这是抛物线公式)。4、解：显然，解答本题需要确定三个参数h、xo、xi，那么，我们需要三个方程。令求积公式对f(x)=1,X,X?精确成立，得14-1=2/1〈/+X[=0222好X。+X|=3解之得Xo==~^"，%=1；或*0=~'-^1=-,//=1,所以求积公式为此求积公式具有3次代数精度，求积节点为-立和立.(验证从略)。33指出：第3题中h是作为已知量的，这样得出的求积公式有更广泛的应用性。本题中，因为右端的两个积分系数都是1,当f(x)=l时必然可以得出h=l,即使假设h已知也是一样的。而当假设h已知，仅要求求积公式对f(x)=l,x精确成立时，因为当f(x)=l时决定了h的值，对求节点不起作用，不能实现求解点的目标，因此还是需要列第3个方程。5,解：求积公式中含有两个待定参数，故需要两个方程。当f(x)=l时，[J(x)dx=1=x]:=2, 114因为/(一1)=/(±)=/。2)=1所以"(_1)+2/(芭)+3/(%2)]/3=(1+2+3)/3=2故[J(x)d="(-1)+2/(3)+3/氏)]/3。故令求积公式对于〃外=尤,/精确成立，则有2x4-3x2=1<2X1~+3x；=1由第一'式解得无]=(1-3%)/2,代入第二式，得15^-6x2-1=0解之得\=-0.12660x,=0.68990或x2=0.52660Xj=-0,28990所以求积公式为£/(x)Jx«[/(-1)+2/(0.68990)+3/(-0.12660)]/3或£/(x)Jx«[/(-l)+2/(-0.28990)+3/(0.52660)]/3将/(x)=x3代入已确定的求积公式，可以验证【33d初/(一1)+2/(芭)+3/(9)]/3。所以求积公式中所求的未知节点为\=-0.12660"x,=0.68990或x2=0.52660=-0.28990且求积公式具有2次代数精度。习题六解答1、在区间[0，1]上用欧拉法求解下列的初值问题，取步长h=0.1。y=-10(y-l)2fy=sinx+e-xy(0)=2b(0)=0解：取h=0.1,本初值问题的欧拉公式具体形式为纥+1=”一(”一1)2(〃=0，1，2广.)由初值yo=y(O)=2出发计算，所得数值结果如下：Xo=o，yo=2; 115x)=0.1,=y0~(y0—1)'=2—1=1X2=0.2,必=弘一(弘一1)2=1-0=1指出：可以看出，实际上求出的所有数值解都是1。2、用欧拉法和改进的欧拉法(预测一校正法)求解初值问题，取步长h=0.1。f/=x2-2y(0 116对于隐式欧拉法加=”+好(%”y„+1)(〃=0,1,2,-)假定yn=y(x),上式右边的y“+尸yGn+J,则y.+i=y”+好(%，-)=汽)+似3，y(3))=>(乙)+人/3)将y'(Xn+l)按泰勒公式展开，上式为”+|='也)+如'*“+1)=y(xn)+hy'(xn+h)=y(xn)+h[y'(xn)+h"(号)+•••]将y(x0+J按泰勒公式展开，得y(x“+i)=y(x“+力)r213=y(xn)+hy'(xn)+—y〃区)+—y"'(xn)+…两式相减，得h2好y(xn+I)-^+1=[y(x„)+hXxn)+—y(x„)+—y(xn)+-]-y(xn)-h[y(xn)+h奴)+…]=-*"(乙)+。(力3)y(x.m)-=-；!y"区)+。(川)所以，yH.+i=。而)指出：可以用多种方法导出，其中差商法、数值积分方法是简单的方法。用导出。4、验证改进的欧拉公式对任何不超过二次的多项式y—ax2+bx+c准确成立，并说明理由。解：因为y=ax2+bx+c所以y'=2ax+byr=ex+fo记f(x)=ex+f9设七=ih,i=0,l,2,…改进的欧拉公式为y,+i=y,+万(/(x,，y,)+/(%+i,y(+1))<=y+4((eXj+/)+(e%+/))(/=0,1,2,•••)%=C将上式对i从0到n—l求和并利用初值条件得h%=X彳((ex,+/)+(exi+]+/))+cj=o2=?Z(%+七+1)+哂+c=?Z('%+(i+^)h)+nfh+c2y=o2/=o 117z,/?2二n-ln-\=—^i(i+i+\)+nfh+c=—(^ii+^(i+^)+nfh+c2i=o2/=<)：=o(2).i+〃)+nfh+c=(2x—n(n-1)+〃)+nfh+c2/=o22=",)+fnhc=^e(nh)24-fnh+c=—ex,,24-爪+c=ax,,2+bx„+c2〃j〃nn所以，改进的欧拉法对任何不超过二次的多项式y—ax2+bx+c准确成立。补充题(一)1、用欧拉公式求解初值问题(0.9\yf=---y(0 11840.080.93360.93540.001850.100.91000.92130.0113事实上，利用变量分离法，很容易求得该初值问题的准确解为：y(x)=(l+2x)”表中y(x”)的第一列就是精确解y(x)在x=x“处的值。|y(x,)-y“|表示y„的局部截断误差，从表中可以看出，随着”的增大，卜区)-”的值也在增大。所以，欧拉公式虽然计算简便，对一些问题有一定的使用价值，但是它的误差较大，所得的数值解精度较低。2.解：将〃x,y)=-y-孙,代入欧拉公式，得本初值问题的欧拉公式的具体形式为：先+i=券+hf(xn,yn)=yn+0.2(-yn-5片)=0.8%-0.23；取步长为h=0.2由初值y0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下：y(0.2)a弘=0.8y0-O.2xojJ=0.8x1-0.2x0xl2=0.8y(0.4)a%=0-8%一02』y；=o.8x0.8—0.2x0.2x0.82=0.6144y(0.6)«y3=0.8y2-0.2x2^=0.8x0.6144-0.2x0,4x0.61442=0,4613补充题(二)1、证明对任意的参数t,如下的龙格-库塔方法是二阶的。%+1=%+*|(&2+七)<占=/(x.，y“)k2=f(x„+th,yn+thkl)&=/a,+(1-。〃，券+(1T)力K)分析与解答1、证明：因为匕=7(4,%)=y'(xjk2=f(xn+th,yn+thk[)=f(x„,yn)+thJ'xn,yn)+thJy(xn,yn)+O(h2)=>&)+thfx(xn,%)+thy'(x„)fy(xn,y„)+O(h2)k3=f(xn+(y-t)h,yn+(\-t)hK)=“4，%)+a-承“，y”)+(1T)人1J,.(X„,%)+O(h2)=y'(x.)+(l-t)hfx(xn,yn)+(l-t)hy'(xn)fy(xfl,y“)+O(h2)则”+1=尤+2（&+出3）="+；（y'（x,）+1优（％，纥）+询'区）刀区，”）+。（/）+y'（x,）+（1-。奶区,%）+（1 119t）W（x.）fv（x„,y„）+o（h2y）=yn+hK）+2，（X"，％）+；y'（xn）fy（xn,yn）+o（h-）而y（Xn+1）泰勒展开得h2ay（X,+i）=y（X"）+人i（xn）+—y（乙）+。（人）=y（xn）+h>„）+^-（£（X“,y"）+。（X“,”）y）+。（川）2比较上面两个关系式，前三项总相等。所以，无论t取何值，此龙格-库塔法总是二阶数值方法。113=-x+—X+••345(禺贝努利数)指出：①采用等价无穷小代换的方法一般不可行。近似计算中的误差并不是无穷小量，利用无穷小量等价代换，两个量的差别可能恰恰是影响精度的因素。采用等价无穷小代换，可能只会得到精度水平比较低的结论。例如分析：精确到10"与误差不超过io-不同.xk+\=xk--L-j-=2xi-cxk»
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