6第周星期第节授课方法讲授章节、课题第九章二元函数微积分学初步12.1二元函数的概念目的要求”1、掌握二元函数的极限的概念2.理解二重极限和二次极限区别3.掌握二元连续函数的概念及其在有界闭区域上的性质孜学重点二元函数的极限的概念教学难点二重极限和二次极限区别教具」常规教学刁题或实验习题12-1(3,4)课后记录联系一元函数的极限的求法，求某些二元函数的极限。共页复习：1、平面点集和区域、邻域等概念2、二元函数的概念一、二元函数的极限定义：设函数z=/(x,y)在点与(Xo，y())的某一邻域内有定义,P(x,y)该邻域内异于
7R的任意一点,如果点P以任何方式趋近于与时，函数的对■应值/(尤,y)趋近于•个确定的常数A，则称A是函数z=/(尤,y)当xfyf儿时的极限(又称二重极限)，记作limf(x,y)=A或XTX。)f0这里应该注意，/(x,y)趋近于［)(%,%)是指点P与点外的距离趋于零，如果记:P(P,Po)=yl(x-x0)2+(y-y0)2因而0(P,4)->0也与|x-x0|r0,|y-y0|r。等价。求证：职f(x,y)=0y-»O,5,i,谯〃、Wx,y不同时为0例1设/(3)=恒+y2'0x=y=O证因为|/(x,y)-0|=-0=下土山引冰W+Nx十yx十y所以，当X和y趋近于o时，必有/(x,y)趋近于0,故得U%f(x,y)=05-♦0例2设/(x,y)=(x+y)sin—sin—,求证lim/(x,y)=0xy；^o证因为\f(x,y)-0|=|x+y|sin-sin-<|x|+|y|,所以当x和y都趋近于。时，必有/(x,y)趋近于0,故得1,用f(x,y)=0例3设/(%月=4犬+%求证1即/(尤,丁)=6。y-+2证因为|/(x,y)-6|=|4x+y-^=|(4x-4)+y-2|<4|x-l|+|y-2|.所以，当x-l,y—2时，必有/(x,y)趋近于6,故得也P/(X，V)=需要注意的是在二元函数得极限定义中，点尸必须以任何方式趋向于外，例如可以沿任何直线，也可以沿任何曲线趋于不，而/(x,y)必须趋于同一确定的常数A。对一元函数极限来说，P仅需沿着X轴趋向于4而对于二元函数，如果P沿不同的方向或路线趋近于8时,所得的极限值不同，那么二重极限也就不存在。1r.x,y不同时为0例4/(x,y)=-^x2+y2x=y=OIo'当点P沿直线y=mx趋近于原点(0,0)时，有
8,.、x-mxmx2inf(x,y)=-=z~~7t,x2+(mx)(l+m)x2l+m~因此，沿直线y=mx趋近于原点(0,0)时，/(x,y)趋近于一个与m有关的常数，它随直线的斜率m的变化而不同，所以二重极限lim/(x,y)不存在。二.二重极限和二次极限对二元函数还有一种极限，其自变量x与y是先后相继地趋于各自极限与和光，这种极限叫做二次极限，它不同于二重极限，但与二重极限有着密切的关系。定义：对二元函数/(x,y),先将y固定，视为x的函数，再求xfx°的极限，得极限函数F(y),然后令yf若有极限A,则这个极限就称为二次极限，记为limlimf(x,y)=A,y-»y0xtxo类似地可定义另一二次极限limlimf(x,y)=BXT%y->y0由上述定义可知，二次极限limlim/(x,y)=A和limlim/(x,y)=3的特点是x、y分先后变化且相继趋于各自的极限X。、先，因而/(X,y)在先后相继二次求极限的过程中都只是一个一元函数。例5求;二1加由士空T—t(x+y)?加lim1加/y+孙2_|jm/_2_2-__：-21T(x+y)2=T(_]+田2—(_1+2)2―一°
9对于二次极限，应注意以下几点：1)在求极限过程中，不能随便变换求极限的次序,否则可能要造成错误。22iimlimx-y+尤+y-DyT)limX+X_lim\->0-x->0(l+x)=lo22lim•+y-但—x+y2-y+y=；%(y-D=-ix»y->0o22二limiimx—y+r+VV—)0r^Ofx+y例7已知f(x,y)=ysin—(x0)limHmv\=limlimx-X))T)J(X，y)-j0,t)ysinL譬0=0Xlimhmx__lim1加.iysm一不存在。x2)二重极限与二次极限关系较为复杂，一般不能由一种极限的存在去断定另一种极限是否存在。例8函数/(x,y)=的两个二次极限均存在:_J"*2.y->0U—Ulim"imX〉_limr\_rjx->0v->07―x->0U-Ux+y但这个函数在(0,0)点的二重极限不存在例12设/(x,y)=ysin'(xH0)。由于ysin—<所以当xf0,y-0时，必有/(x,y)趋近于0,故二重极限为limysin^=0。-0Jy-»0但由例112讨论知道二次极限:Iim,im.V->0y->0不过，在一定的条件下，二重极限和二次极限还是有密切联系的，这就是下面的定理:定理若/(x,y)的二重极限存在：［蚂，f。,y)=AyTy。且对任一y,存在关于X的单重极限尸(四二:二与f(x,y)则二次极限售入⑴二口…/(%,y)存在且等于二重极限。即
10lim..［加_o/U,yXyo_o/(x,y)=Ay->yo在上述定理中，只要把条件“对任一y,存在关于X得单重极限f(y)=lim/(九,y)”改成:“对任一X,存在关于y的单重极限。(％)=；二为f(x,y)”，则有lim..lim"a，y)U%，y)=A。y-%上述定理结论表明，只要二重极限存在，并且能够求出相应的二重极限，则二重极限就等于这个二次极限，这就是说，我们可以求二重极限的问题转化为计算二次极限的问题。解在例前面例题中，我们已经证明这个二重极限是存在的，而关于变量x(或y)的单重极限明显存在，故可把二重极限化为二次极限来计算，limx2yx2vio—57=limlim—~~~=limO=0例23求lim(4x+y)。x—>!>->2解在例14中已证明这个二重极限存在，且关于变量y(或x)的单堇极限明显也是存在的,故lim(4x+y)=limlim(4x+y)=lim(4x+2)=6xtIx-My->2xtIy—>2三.二元连续函数的概念及其在有界闭区域上的性质有了函数极限的概念，很容易建立函数连续性的概念。定义：设函数/(x,y)在点〃0(%,打)及其附近有定义，且limf(x,y)=f(x0,y0)则称函数f(x,y)在点(%,%)连续。XTR例24讨论函数Xyx,y不同为0/(x,y)=/+2：在原点的连续性。[0解在例15中已证lim/(x,y)=O又/(0,0)=0,故lim/(x,y)=/(0,0),x->0xtOy->0y->0因此，函数/(x,y)在原点连接。定义：如果函数/(x,y)在区域D上每一点都连续，则称它在区域D上连续
11多元连续函数也有与一元连续函数类似的性质，这里我们不加证明把多元连续函数在有界闭区域上的性质叙述如下：最大最小值定理若函数/(x,y)在有界闭区域D上连续，且它取到两个不同的函数值,则它一定能取到这两个函数值之间的一切值。推论(零点存在定理)函数/(x,y)在有界闭区域D上连续，且它取到的两不同函数值中，一个大于零，另一个小于零，则至少存在一点使/C，y)=O。有界性定理若函数/(x,y)在有界闭区域D上连续，则它在D上有界。小结：一、二元函数的极限二.二重极限和二次极限三.二元连续函数的概念及其在有界闭区域上的性质作业：习题12-1(3,4)教师教案教师：课程：数学班级：教学时数：2第周星期AA--44-第节授课方法讲授与自主学习结合章节、课题第九章二元函数微积分学初步12.2偏导数
12目的要求”1、掌握偏导数的概念2、会求函数的偏导数3、理解偏导数的几何意义积学重点会求函数的偏导数教学难点求函数的偏导数教具一常规教学刁题或实验习题12-2(2)课后记录学生学习积极性较高，气氛活跃。共页复习：1、二元函数的极限2.二重极限和二次极限3.二元连续函数的概念及其在有界闭区域上的性质前言：在一元函数微分学中，我们已经知道，函数y=/(x)的导数(变化率)是研究函数的重要工具，它是一个十分重要的概念。多元函数也具有类似的概念。如果将多元函数除某个自变量外，其余的自变量都看作常数，则多元函数就成为关于该自变量的一元函数，它的导数，就是所谓的多元函数关于该自变量的偏导数问题。
131、偏导数的概念定义：设函数z=/（x,y）在点。（A,九）的某个邻域内有定义，当y固定在为而x在与处给一个增量Ax时（其中点（y（）,Xo+Ax）在邻域内），相应地有函数关于x的增量（我们称其为关于x的偏增量）"=/（尤o+-，为）一/（%,%）。A7如果当Arf0时，式子上的极限存在，即:若妈萼=蚂"“°"史―）存在，则称此极限是函数z=/«y）在点P（x0,yo）处对x的偏导数，记作：坐■xr或gx-x，或人（/,先）或4厂*Ryx~x°分丫x~x°“x、”，u，xx-x0产九尸将y=y。类似地，将无固定在x0,而在先处给一个增量Ay时，相应地有函数关于y的增量=f(x0,y0+Ay)-f(x0,y0)存在，则称此极限是函数Aya>-^oAyAy—>0若极限lim-=lim〃%，.+」）—“飞，2）z=/（x,y）在点尸（的,％））处对y的偏导数，记作：$e0或?x=x„,或力（/，y。）或引1，»y=>'o»y=>oy=>o如果函数z=/（x,y）在区域。内每一点（x,y）处都存在偏导数人（x,y）、fy（x,y）,则这两个偏导数本身也是定义在区域。上的函数，故称它们为函数z=/（x,y）的偏导函数，简称为偏导数，记作：dzdf—5X—；q或，（x,y）oxox,或看；或/yEy）
14偏导数的概念可以推广到二元函数以上的多元函数，我们不再一一赘述。2、偏导数的求法由偏导数的定义可知，求多元函数对某一个自变量的偏导数时，只需将其它自变量看成常数，用一元函数求导法则即可求出。因而，求多元函数的偏导数可以按照一元函数的求导法则和求导公式进行。例1求Z=/y2+x+2y+l的偏导数包，曳。dxdy解：对x求偏导数，把y看成常数，得生=2xy2+i：dx对y求偏导数，把x看成常数，得包=2x^+2.dx例2求z=ln）的偏导数生，—。xdxdy解：—=--（-^-）=-1（把y看成常数）dxyxxX11-=-（把X看成常数）dyyxy例3设〃=J/+y2+、2,求证:2力11、21(—)+(—)+(—)=1dxdydz证明：•=2启+；2+J'+，+z)=2&1du同理，得里=②2y[x222+y+zd+T'S+ddu次2ylx2zz_2yjx2+y2+z2u+y2+z2
15代入等式左边，得:222x+y+zu~ =1：2'U所以，有:
16(包)2+(曳>+(%2=］。oxoyoz例4以知理想气体的气态方程为PV=AT（R是不为0的常数），证明dPdV8VdT证明由尸="工p/RdPdVdTj，,*dVSTdPdT,—=—1dP有——=■RTdVV_^dVR有二~=一；dTP士打V有"Z-二一。dPRRTR_V2PVRT1—==-1。RPV这个例子说明：偏导数空dxSz.学的记号是一个整体，不能看成是&与&或及与②的商。oyxy例5设g(x,y)=(x2+y2,+y2H0；一，求g；(0,0)，g；(0,0)。0;x2+y2=0;解g；(0,0)=Um,(0+Ax,0)-g(0?0)=1.m0-0=01AvA—oAx同理可求得：g；.（0,0）=0o于是函数g（x,y）在点（0,0）处存在两个偏导数。但是,当函数沿着直线八'向点曲。）靠近时’有则8（2）=吧心71y（。,。），所以y->0y->0函数在点（0,0）处不连续，本例说明：多元函数的偏导数存在，并不能保证函数在该点连续，这与一元函数有本质的区别。3、偏导数的几何意义二元函数z=/（x,y）在点P（与广。）处有着明显的几何意义：在空间直角坐标系中，设二元函数z=/（x,y）的图象是一个曲面S,则函数z与平面y=汽相交的曲线。于是/；（%,%）就是导数/：（%,打）实际上就是一元函数z=/（尤,%）在与处的导数。7=/（元,打）的几何图象是曲面5
17\z=f（x,y）曲线《,在点（尤0，方，/（飞，%）处的切线的斜率。Iy=%Z=fixy）（如图7-17）。同理，偏导数/；（%,光）就是1在点的切线的斜x=x0率。小结：1、偏导数的概念2、偏导数的求法3、偏导数的几何意义教师教教师：课程：数学班级：教学时数：2第周星期第节授课方法讲授与练习结合作业：习题12-2（2）第周星期第节授课方法讲授与练习结合章节、课题第九章二元函数微积分学初步12.2偏导数
18目的要求掌握高阶偏导数的定义及求法
19积学重点高阶偏导数的定义及求法教学难点高阶偏导数的定义及求法教具一常规教学刁题或实验习题12-2(4)课后记录进一步熟练高阶偏导数的求法。共页前言：1、偏导数的概念2、偏导数的求法3、偏导数的几何意义高阶偏导数QzQz函数z=f(x,y)的偏导数舁=oxoy一般来说仍然是x,y的函数，如果这两个函数关于x,y的偏导数也存在，则称它们的偏导数为z=/(x,y)的二阶偏导数依照对变量不同的求导次序，二阶偏导数有下列四个：
20其中/；,(%,y)与(x,y)称为二阶混合偏导数。类似地，可以定义三阶，四阶……n阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。而/；(x,y)与f；(x,y)称为z=/(x,y)的一阶偏导数。例6求函数z=3x、3+sin盯+7的二阶偏导数。z及£3.&n22.解：一=oxy+ycosxy,—=9xy4-xcosxy.dxdy次aa3，、(32•—=—(oxy4-ycosAy)=oy*—ysinxy;dxdx"a?zez3,、io2.=一(oxy4-ycosAy)=18xy+cosxy-Aysinxy;dxdydy———=一(9x2y2+xycosxy)=18xy2+cosxy—xysinxy\dydxdxd~Z5222•=—(9xy4-xcosxy)=18xy-i-cosxy-xsinxy;上例中两个二阶混合导数相等，即dxdydydx三=亘幺不是偶然的，事实上，二阶混合偏导数在在连续的条件下，与求导次序无dxdydydx关。于是我们得到如下的定理：定理：设函数z=f(x,y)在区域。内连续，并且存在一阶偏导数及二阶混合偏导数与/＞：(x,y)，如果在某点(尤0，%)e。，这两个混合偏导数连续，则必有：
21例7设乙=arctan）,试求xd2zd2dxdy，dydxdz11=d_y=x2+y2-y-2y=Vdxdydyx2+y2(x2+y2)2(x2+y2)2d2zdxx2+y2-x-2xy2-x2dxdydxx2+y2(x2+y2)2(x2+y2)2例8验证函数z=lnji+y2满足方程+dx2dy2证z=ln(x2+y2)；dz12xxd2zx2+y2-x-2xy2-x2dx~2'<2+y2-<2+y2，彭-一-(jr2+y2)2-(X2+j2)2dz_12y_y_x2+y2_y.2y_x2_y2dx2x2+y2x2+y2'dy2(x2+y2)2(x2+y2)2d2z82zy2-x2x2-y2z-T———T-0小2力2(J+y2)2，+y2)2小结：高阶偏导数作业：习题12-2(5)
22教师教嚎教师：课程：数学班级：教学时数：2第周星期第节授课方法讲授与练习结合章节、课题第九章二元函数微积分学初步12.3全微分目的要求必1、掌握全微分的概念，会求全微分2、函数在某一点处可微与连续关系3、理解可微的充分条件4、掌握全微分在近似计算中的应用以学重点全微分的概念及全微分求法
23教学难点全微分的概念，全微分在近似计算中的应用。教H-常规教学<|题或实验习题12-3(5)课后记录进一步理解微分概念，加强应用。共页前言：我们已知，一元函数y=/(x)在点x=x0处可微分，是指如果函数在x=x0处的增量Ay可以表示成Ay=4Ax+o(Ax)其中。(Ax)是Ax的高阶无穷小，即［im"~-=0>那么AAr函数y=/(x)在x=X。的微ajoZ分,记为：dy=f\xQ)dx1、全微分的概念如果二元函数z=f(x,y)在点(%0，汽)处的全增量&可以表示为：Az=AAx+BAy+。(夕)其中A,8与Ar,Ay无关，。(夕)是。=｝以尸+(与产的高阶无穷小,即lim姐=。，"—>0P则称二元函数z=/(x,y)在点(乙,%)处可微分，其中4Ax+BAy称为函数z=/(x,y)在点(x()，M))处的全微分，记为此,即dz=4Ax+8Ay。
24如果函数z=/(x,y)在点(%,汽)处存在全微分dz=4"+8Ay。那么A=?与8=?呢？下面的定理回答了这个问题：定理如果函数2=/(x,y)在点(须),九)处可微，则函数z=/(x,y)在点(%,先)处的偏导/毒存在而且A*o_&（%%）'~~dy（x。％）证明因为函数z=/(x,y)在点(与，打)处可微，所以其全增量可以表示为:Az=AAx+B\y+。（2）其中，A,B与Ar,Ay无关，lim幽=°，"TOP上式对任意的都成立，则当Ay=0时也成立，这时全增量转化偏增量AXZ=f(x0+Ax,y0)-f(x0,y0)=AAx+o(p),而夕=|Ax|两端同除以Ar得4s=A+幺^,AxAxArZ。(夕)、A-O(p).因而hm^7=hm(A+-^7)=A+hm^r=AAr->0Ar->0^tORn人dz即：A=—dx(*M)同理可证8=，由此可知，当z=/(x,y)在点(％,打)处可微时，必有dx5%)dz——\(rv\垃~1,、Ay3x,(0)0)dy(*。)'。)3z।dz.像一兀函数一样，规定Ax=dx,Ay=dy则dz=—|(JCoV()),t/x+—dy,(Wo)如果函数z=/(x,y)在区域。内每一点都可微，则称函数z=/(x,y)在区域O内可微。2、函数在某一点处可微与连续关系定理：如果函数z=/(x,y)在点(与，打)处可微，则函数z=/(x,y)在点(/，打)处连续。证明由函数z=/(x,y)在点*0，%)处可微，可得Az=AAx+BAy+o(p),其中lim¥=。p-»oP所以limAz=lim(A-+8Ay)+limo(p)=°AxtOAxtOp->0Ay->0Ay->0即：函数z=/（x,y）在点（%,汽）处连续定理也告诉我们，如果z=/*,y）在点（%,打）处不连续，则/（x,y）在（％,光）处不可微。
25一元函数中，可微与可导是等价的，但在多元函数里，这个结论并不成立，例如：由第-1+2工。二节的例子知道g（x,y）=«/+/，,在点（0,0）处的两个偏导数存在，但是[0,x2+y2=0g（x,y）在点（0,0）处不连续，由定理可知g（x,y）在点（0,0）处不可微，因此两个偏导数存在只是函数可微的必要条件，那么，全微分存在的充分条件是什么呢？3、可微的充分条件定理（可微的充分条件）如果函数z=/（x,y）在点（/，儿）的某一领域内偏导数丝，挣oxdy连续，则函数z=/（x,y）在点（%,汽）处可微，（证明略）常见的二元函数一般都满足定理的条件，从而它们都是可微函数，二元函数全微分的概念可以类似地推广到二元以上函数，例如三元函数〃=/（x,y,z）如果三个偏导数合”学连续，则它可微且全微分为dxdydz.du.du.du.du=—dx+—ay4-—azdxdydz例1求函数z=2在点（2,1）处当Ar=0.1,Ay=—0.1时的全增量与全微分。X解：全增量加=上±&-2=上囚•一」=一0.071。x+Axx2+0.12因为含心.=一点|。,1）=_；=旬-25,=—|(2i)=—=0.5.xl(2J)2所以全微dz/|(2j4+/j)Ay=-0.25x0.1+0.5x(-0.1)=-0.075.例2求函数Z=的全微分dz。解因为—=2yx2＞，-1,—=2x2yInx,dxdy所以dz=2yx2y~ldx+2x2y
26xdy.例3求函数w=/+sin2+arcfgX的全微分2y解因为dudu1yzduy—=2x,—=-cos-,—=—,dxdy22y+z'dzy+z
27所以du=2xdx+（—cos-d--）dyH—--dz.Az22y+z'y+z4、全微分在近似计算中的应用由于函数Z=/（x,y）在点（x。,%）处的全微分与全增量之差。（夕）是p的高阶无穷小,所以当|叔|、|Ay|很小时，常用全微分dz代替全增量Az：△z«dz,即«fx（X0+Jo）+fy（X0>Jo）^-（7T）所以/(x0+Ax,y0+Ay)-/(x0,y0)工f(X。，%)-+f'x(%,y0)△%
28/(x0+Ax,y0+Ay)a/(Xo,%)+£(%,%)+f；(x()，%).令x=/+Ax,y=%+△》.得函数值得近似公式：f(x,y)«f(x0,y0)+f-(x0+y0)-(x-x0)+f'y(x0,y0)-(y-y0)(7—2)例4计算7(1.01)3+(1.98)3的近似值解把J(1.01)3+(1.98)3看成是函数z=Jx3+V在x=1.01,y=1.98处的值/(Xo+汽)=Jr+2*=3.力(尤0，%)=3x22^x3+y3x=l尸2矛=1尸2=2.利用公式(7-)得7(1.01)3+(1.98)3«3+1(1.01-1)+2(1.98-2)=2.97.例5设圆锥得底半径r由30厘米增加到30.1厘米，高h由60厘米减少到512.5厘米，试求体积变化得近似值。解圆锥体积计算公式为：V=—7JT~h,3取“=30,%=60,则=0.1,Ah=-0.5,因为dV2,Wr=30=~^r=30=1200万，or3/i=60/i=60SV12r=3O=-^X3。=300乃,°”h=603h=60山公式(7一)得AV=1200%x0.1+3001(一0.5)=-30%(厘米3)工-94.3(厘米3)
29即体枳减少约124.3厘米3。小结：1、全微分的概念2、函数在某一点处可微与连续关系3、可微的充分条件4、全微分在近似计算中的应用作业:习题12-3(1)教师教案教师：课程：数学班级：教学时数：2第周星期第节授课方法讲授与练习结合**、果新第九章二元函数微积分学初步早R'怵型12.4二元复合函数及隐函数求导法则目的要求41、掌握二元复合函数求导法则2、掌握隐函数的求导法则积学重点1、掌握二元复合函数求导法则2、掌握隐函数的求导法则教学难点掌握二元复合函数及隐函数求导法则教具常规教学刁题或实验习题12-4(2,4)
30课后记录加强练习，熟练掌握二元复合函数及隐函数求导法则共页复习：1、全微分的概念2、函数在某一点处可微与连续关系3、可微的充分条件4、全微分在近似计算中的应用前言：在第三章里，我们学过一元函数的复合函数求导法则，如果函数y=/(”)对〃可导、U=夕(X)对X可导，则—==f(M)-(P(X).dxdudx下面我们讨论多元函数的复合函数求导问题：1、二元复合函数求导法则设函数Z=通过中间变量〃=夕(尤,>)及"=〃(x,y)而成为x,y的复合函数，z=f［0(x,y)M(x,y)］。定理：设〃=Q(x,y)和.v=材(》.>)在点(x.y)存在偏导数，z=/(““)在对应点(〃,v)处有连续偏导数，则复合函数z=/@(x,y),〃(x,y)］在点(x,y)的偏导数存在，且有求导公式dzdzdudzdvdzdzdudzdv.—=1,—=F(7-3)dxdudxdvdxdydudydvdy从定理看出，多元复合函数求偏导数的关键是弄清中间变量，自变量以及它们之间的关系。为了形象地表达它们之间的关系，可以画出复合关系图，式(7-2)的复合关系图(如图7・18)(图7・18)由复合关系图可以写出求导公式，在求z对x的偏导数时，只要从z开始，按图7-18中的路线找出到达x的所有路径，每一条路径即为公式的一项，项与项相加，而每一项就是一条路径中各复合步骤所得导数的连乘积。例1设z=e"cost/,”=x-2y,v=孙,求一,一dxdy解函数z的复合关系见图7-18,由图写出公式：
31dzdzdudzdvdzdzdudzdv—+_.+dxdudxdvdxdydudydvdymadzv.dzvdu.dundvdv因为——=—esinw,—=ecost/;——=1,——=—2,—=y,—=xdudydxdydxdy所以一=-evsinw-1+evcoswy—ye-cos(x-2y)-esin(x-2y),dx—=-evsinw•(-2)+"cosu-x=2exysin(x-2y)+xexycos(x-2y)如果z=/(〃»)，而〃=,则复合函数z=的偏导数为dz__dzdudzdvdz_dzdvdxdudxdvdxdydvdy这时，z,〃，匕之间的关系为(图7・112),X例2设z=(x+2y广，求纥生(图7-1⑵dxdy)解：引入中间变量〃=x+2y,v=x,则2=〃"由复合函数链式求导法则(如图7-112)dzdzdudzdvdzdzdv•—=+=dxdudxdvdxdydvdy屁什dzidzv.dududv此时一=vu,—=uInw,—=L—=2, =1dudvdxdydx
32因此，，=Vuv-l+uv
33u=x(x+2y)1+(x+2y)xln(x+2y)dx匕==2Nx+2y)*T特别地，如果z=/(w,v),而〃=(p(x),v=y/(x),则复合函数z=/［夕(x),〃(x)］就是x的一元函数，这时z对x的导数称为全导数，即：(图7-20)dz_dzdu+改dydxdxdxdydx这时，冗之间的关系(如图7-20).dz例3设2=X‘，x=sinr,y=cost,求一。dt解：由公式虫=当也+器也有：dxoxdxdydx—=yx'Tcosr+xvlnx-(—sin?)=yx>~|cosz-x'sinrlnxdt定理可以推广到中间变量和自变量不是两个的情形。利用复合关系图也可以类似地写出求导公式。例如设2=f{u,v,(o),u=(p［x,y),v=i//(x,y),a)(x,y),(图7-21)则复合函数z=f[(p(x,y),y),a)(x,y)J的复合关系图如图7-21所示。由图可以写出公式：dzdzdudzdvdzdo)—=--+—,+--—dxdudxdvdxdcodxdzdzdudzdvdzdco—=++dydudydvdydcodydFdFdF例4设尸=/(x,盯，町z),计算不一,二,二-oxoyoz解：令“=x,v=孙0=;cyz，于是尸=/(〃,VM)并用力',月J；分别代替理，笠，笠有dudvoz(如图7・21)：dFdfdudfdvdfdco,,1，,，大一二三-w+ww+w--z-=力+%・y+73・丹dxdudxdvdxdcodx=f；・x+f；・xzdFdfdudfdvdfdcodydudydvdydcodydFdfdudfdvdfdcort—=—+—+—=f；・xydzdudzdvdzdcodz2、隐函数的求导法则(1)一元隐函数的求导公式在3.4节中，我们学过一元隐函数求导法，但没有给出一般的求导公式。现根据复合函数的求导法，给出一元隐函数的求导公式。设方程尸(x.y)=0确定了函数y=y(x),将它代入方程成为恒等式F[x.y(x)]=0上式左端看作是X的一个复合函数，两端对X求导得更=F；+.虫=odxdx
34若工'#0则得一元隐函数的求导公式生=-与dxFy例5.设//一/一,4=]6求空dx解令/(工〉)=//一/一、4=16则F；=2xy2-4一,耳=2/y-4y3dy_F；_2xy2-4x3_21-町？dx~一元~~2x2y-4y3~x2y-2y3读者可以用一元函数的方法求出同样的结果。，(1)二元隐函数的求导公式设方程F(x,y,z)=0确定了隐函数Z=/(x,y)且F；,F；,F!连续，F；H0。将z=f(x,y)代入方程F(x,y,z)=0得恒等式尸[x,yJ(x,y)]=0对上式两端分别关于x、y求偏导，得：—=F；+F；—=0,—=F；+F!—=0,因为K'hO,所以有二元隐函数的求导dxdxdyydy八43zF；dzFy公式：—=—^，—=~oxF,oyF_例6.设2,=必求电，包dxdy一户”解：令尸(x,y,z)=z*-歹,则尸；=z*lnz,P：尸；=xz*t由二元隐函数求导公式，有包=上=z'lnzdxF；xzx~'-y"Iny包==z尸dyF':xzx'x-yz
35y例7.设/+y2+z2=2乂求白dx2解：令尸(国K%)=/+/+3一2%则F；=2x-2=2(x-\),F!=2z1(-l)-z-(l-x)-^--z-(l-x)~~~-0z_drz_c2l八22dxzzzz2+(l-x)2[3
36Hzdz例8.设尸(x-y,y-z)=0确定了隐函数z=z(x.y)求证＜+k=1dxdy证：设〃=x-yj=y-z则尸(〃#)=0产，=F'包+尸，=_尸'0=_尸，+F'yuvvuvdxF；F；：dyF；小结：1、二元复合函数求导法则2、隐函数的求导法则
37作业：习题12-4(3,4,5)教师教嚎教师：课程：数学班级：教学时数：2第周星期第节授课方法讲授与练习结合上 、申.第九章二元函数微积分学初步早干'课题12.5二元函数的极值目的要求据1、掌握二元函数的极值的定义、极值的必要条件、极值存在的充分条件2、会求二元函数的极值我学重点会求二元函数的极值教学难点极值的必要条件、极值存在的充分条件教具一常规教学刁题或实验习题12-4(1)
38课后记录通过与一元函数的对比，理解二元极值的必要条件、极值存在的充分条件。共页复习：1、二元复合函数求导法则2、隐函数的求导法则前言：在前面的第四章中，我们曾经应用导数求一元函数的极值和最值问题，类似地，我们也可以用偏导数求二元函数的极值。1、二元函数的极值的定义定义：设函数z=/（x,y）在点（%0,为）的某个邻域内有定义，对■于该邻域内任何异于（见,%）的点（x,y），如果都有/1（x,y）4（（xo，y（））则称函数/（x,y）在点（%,%）有极大值/（%,汽）；反之，若成立则称函数在点（/，%）有极小值/（%,九），使函数取极值的点（尤。,%）称为函数的极值点。同一元函数一样，在上述定义中仍要注意：一是极值点一定是区域的内点，而不是边界点。二是不等式/（苍丫）4〃/，%））（或f（x,y）N/（Xo，yo））也只在（飞,小）某个邻域的局部范围内成立，不要求在函数整个定义域上成立。例1函数2=/（%,）0=/+）»2在点（0,0）处有极小值0,因为对于（0,0）点周围的任何点（x,y）H（0,0）,恒有/（x,y）>7（0,0）=0。从函数图形上看，（0,0）点所对应的原点（0,0,0）是开口朝上的旋转抛物面的顶点（图7-22）。例2函数z=/（x,y）=j4_x2_y2在点（0,0）处有极大值2,因为对于点（0,0）周围任何点（x,y）=（0,0）恒有f（x,y）39上面两个例子，由于函数比较简单，所以利用极值定义就能判断函数在何处取极值。2、极值的必要条件定理1（极值的必要条件）设函数z=/（x,y）在点。。，丫。）可微分（或存在偏导数）.且在点（尤0，%）处有极值，则在该点的偏导数必为零，即fffx（X0，%）=fy（-^o，%）=。。将满足，（x0,y0）=fy（%,先）=0的点（%，光）称为函数/（x,y）的驻点，与一元函数类似，驻点不一定是极值点，那么在什么条件下，驻点是极值点呢？3、极值存在的充分条件定理2（极值存在的充分条件）设函数z=/（x,y）在点（%,打）的某个邻域内连续具有一阶及二阶连续偏导数，又工（%,丫（））=0，fy（xo,yo）=O〃ffff记入（“0，%）=4，fry（%0,为）=8,fyy（x0,y0）=C,则（1）当B'-ACvO时，在点（与,光）处取极值，且当A<0时取到极大值，A>0时取到极小值：（2）当82-AC>0时，（%,九）不是极值点：（3）当B2-AC=0时，函数2=/。,>）在点（%,为）可能有极值，也可能没有极值。（即（%,光）是否为极值点需进一步用其他方法判断）。由定理1和定理2,求二元函数/（x,y）极值的步骤如下：1）根据函数极值存在的必要条件，求出可能的极值点（称为驻点）；即求解方程组fxU,y）=0fy（x,y）=Q2）对于每一个驻点（x0,汽），求/（x,y）的二阶导数A、B、Co3）由函数极值存在的充分条件，依据B?-AC的符号，确定（%,打）是否为极值点，若B2-AC<0,必为极值点，且A<0时为极大值，A>0时为极小值，若82-AC>0
40不是极值点；若台2一AC=0不能确定是否为极值点。4)计算函数/(x,y)对应于极值点(%,光)的函数值/(x0,y0)«例3求函数/(x,y)=4(x-y)-x2-y2的极值。解解方程组0无极值;对于(0,〃)点：A=0,C=-2a,B=-a,B~-AC=a2>0无极值;对于(a,0)点：A=0,C=—a,对于(@,@)点：A=--a,C=--a3333B=—a,B~—AC—ci>0无极值；B2一AC=q2<0故在(g，W)处取得极值:吗，/aaaa13—,—(a)=—a333327且当a>0时，A<0,则/(1,1)是极大值:、当a<0时，A>0,则/(三，］)是极小值。小结：1、二元函数的极值的定义、极值的必要条件、极值存在的充分条件2、如何求二元函数的极值
41作业：习题12-5(1)教师教案教师：课程：数学班级：教学时数：2第周星期第节授课方法讲授与练习结合音斗、史面第九章二元函数微积分学初步早吊、课就12.5二元函数的极值目的要求j会求不同情况下的二元函数的最大值与最小值。以学重点求不同情况下的二元函数的最大值与最小值。教学难点求不同情况下的二元函数的最大值与最小值。教具」常规教学刁题或实验习题12-4(2,3)课后记录通过应用，激发同学们的学习兴趣。
42复习：二元函数的极值的定义、极值的必要条件、极值存在的充分条件最大值和最小值在工程技术分析中，常常要求我们求出一个多元函数在某一区域的最大值或最小值，和一元函数一样，若点a0，%)是函数Z=/(x,y)在区域D上的最大(小)值点，是指对于趋于D上的一切点(x,y)都满足不等式f(x,y)f(x0,y0)),多元函数的最大(小)值是整体性概念，而极值是局部性概念，两者是有所区别的。如果函数Z=f(x,y)在闭区域D上连续，则必能在D上达到最大值和最小值。具体求最大(小)值点的方法与一元函数事的情形基本上一样。如果我们假定下面所讨论的函数Z=/(x,y)在区域D上有偏导数，则在区域D内部达到的最大(小)值点必是极值点，当然也是驻点，依次，求函数z=/(x,y)在闭区域D上的最大(小)值可照如下步骤进行：1)解方程组.，J,(x,y)=0。求出驻点，并计算函数在这些点上的函数值；(x,y)=O2)求出函数/(x,y)在区域D的边界上的最大(小)值，一般区域D的边界是一条或几条曲线所围成的，而当二元函数限制在边界上时就成为一个一元函数，故在这一步可用求一元函数最大(小)值的方法来做：3)将在1)和2)中得到的各点的函数值进行比较，最大(小)者即为最大(小)值。如果区域D是开区域，可将驻点的函数值与函数趋于边界的极限值比较，若趋向边界的极限值存在且比该趋于内的最大值还大(或比最小值还小)，则此区域内无最大值(或最小值)。若区域内无极大值，则无最大值；若区域内无极小值，则无最小值，也就不存在与边界上的函数值相比较的问题，在解决实际问题时，往往根据问题的性质，已能判断它是在趋于内部而不是在边界上取得最大值和最小值，那就只需做1)、3)即可。特别，如果函数在D的内部有唯一的一个驻点，而根据实际问题的性质又可判定它是存在最大值或最小值的，则此驻点就是所求的最大值或最小值点。例5求函数f(x,y)=xy^\-x2-y2在区域D=y)|x2+y20,y>o｝内的最大值。解求函数/(x,y)的一阶偏导数，并令其等于零得
43A(x,y)=yy]\-x2-y2--=fy(尤,y)=y^-x2-y2x2y=o22x-y=022■x-y在区域D的内部，故22=—<1,说明点(由于x>0,y>0,故可化为[2x2+y2=\[x2+2y2=1解之得x=y=丁^o因为(7=)一+(是D内的唯一驻点。易见这个函数在D内是可微的，起最大值只可能在D内的驻点和边界上达到。因此，只要比较所有这些点上的函数值：在这唯一驻点在边界一+y2=1上：f(x,y)=0在另外二条边界x=0或y=0上：f(x,y)—>0(当x—>0或y—>0时)。经比较,可见驻点是最大值点,该函数的最大值为一1。3V3例6研究函数/(x,y)=^x2-xy+y2+3x的最小值与最大值解易见该函数具有连续偏导数，故由方程组工(x,y)=x-y+3=0fy(x,y)=-x+2y=0解得唯一的一个驻点(-6,-3)。又因为4=f„(-6,-3)=1,B=fxy(-6,-3)=-1,C=/vv.(-6,-3)=2,B2-AC=l-lx2=-l<0,fiA>0,所以(-6,-3)是极小值点，极小值为/(-6,-3)=1(-6)2-(-6)(-3)+(-3)3+3(-6)=-9由于函数定义域为整个平面，当点(x,y)远离原点(0,0)趋于无穷远时，将会出现了(x,y)趋于正无穷大的情况，而不出现趋于负无穷大的情况。例如，固定y,令xf+oo,则/(x,y)->+oo,因此函数不可能有最大值。现在函数在定义域内有唯一驻点(-6,-3),且是极小值，故也是函数的最小值点，其最小值为-12。例7.要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为每平方米18元，侧面造价为每平方米6元，设计的总造价为216元，问如何选取的尺寸，才能使水槽容积最大？解：设水槽的长、宽、高分别为x、y、z，则容积为U=(x>0,y>0,z>0)
44由题设知18xy+6(2xz+2yz)=216即3盯+2z(x+y)=36(1)36-3xy2(x+y)代入V=xyz中，得二元函数V=352孙一丁「2x+y求丫对x,y的偏导数：dV_3(12y-2xy,2)(x+y)-(l2xy-x2y2)dx2(x+y)2W_3g-2x2y)a+y)-gy-X2y2)dy2(x+y)2dVdV令芸=o,箸=0,得方程组dxdy(12y-2xy2)(x+y)-(12xy-x2y2)=0(12x-2x2y)(x+y)-(l2xy-x2y2)=0解之得：x=2,y=2。再代入(1)式中得z=3山问题的实际意义得知，函数V(x,y)在x>0,y>0时确有最大值，又因为V=V(x,y)只有一个驻点，所以取长为2米，宽为2米，高为3米时，水槽的容积最大。小结：如何求最大值和最小值作业：习题12-5(2,3)
45教师教案教师：课程：数学班级：教学时数：2第周星期第节授课方法讲授与练习结合
46**、里朝第九章二元函数微积分学初步早下、珠电12.6二重积分的概念与性质目的要求"1＞理解二重积分的定义2、掌握二重积分的性质取学重点二重积分的定义教学难点二重积分的定义教具一常规教学刁题或实验习题12-5(2,3)课后记录让学生通过实例，更好地理解二重积分的定义共页前言：在一元函数积分学中已知，定积分是某种确定形式的和式极限，这种和式极限的概念推广到定义在平面区域。上去，便得到二元函数的积分的概念。这就是我们要讨论的积分问题。本节主要介绍二重积分概念、性质、计算方法及应用。二重积分的概念与性质（一）引入二重积分概念的实例1.曲顶柱体的体积设有一立体，它的底是X。y面上的闭区域D,它的侧面是通过D的边界点与z轴平行于
47的柱面，它的顶面是以连续函数2=/(x,y)所表示的曲面，这样的立体称为曲顶柱体，这高度/(x,y)是变量，因此它的体积不能按此法定义和计算，可用与定积分概念中求曲边梯形面积类似的思想和方法来解决。(图7-24)我们把区域。分成若干个小区域，由于/(x,y)在。上连续，因此它在每个小区域上的变化就很小，因而，可以用相应的平顶柱体的体枳近似代替每个小区域上的小曲顶柱体的体积，而且区域。分割得越细，近似值的精度就越高。于是通过求和、取极限就能算得整个曲顶柱体的体积，具体作法如下：(1)任意分割把区域D任意分成n个小闭区域……，卜3,分别以这些小闭区域为底，以过她们的边界曲线且平行于Z轴的柱面为侧面作小曲顶柱体这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个小曲顶柱体，(见图7-24),显然所求体积就是这n个小曲顶柱体体积的和。(2)取近似值用Ao；表示第i个小区域，同时也表示第i个小区域的面积。当这些小闭区域的直径®很小时，由于/(x,y)连续，对同一个小闭区域来说，/(x,y)变化很小，这时小曲顶柱体的体积可近似看作小平顶柱体的体积。在每个小区域△巧的内部或边界上任取一点©，7)，以/©,外)为高，以为底的小平顶柱体的体积为了©，切心?=n).我们用它近似代替第i个小曲顶柱体的体积。(3)求和这n个小平顶柱体体积相加，得到n个小平顶柱体体积之和1=1可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值。(4)取极限将区域。无限分割，令n个小闭区域的直径中的最大值(记作4)趋于零,当〃一+00,且/lfO时，如果式子f存在极限，则称这个极限值就是<=|曲顶柱体的体积，用V表示，即v=limf/©,/）Acr,LoT1.平面薄片的质量设有一平面薄片占有孙平面上的区域。（如图7-25）,它的面密度为O上的连续函数
48〃（x,y）,求该平面薄片的质量。f/）我们知道，对于质量均匀的薄片，该薄片的（/质量m=面密度x薄片面积，现在，由于薄片1,的面密度〃（x,y）是。上的变量，因而不能用（图725）上述公式，于是我们可仿照求曲顶柱体的思想方法求得，具体作法如下：（1）分割把薄片（即区域D）任意分成n个小闭区域△/，△4，△%……，△?,用表示第i个小区域的面积。（2）近似在每个小区域的内部或边界上任取一点（。,切），以〃（。，7）小?近似代替第i个小区域的薄片的质量：（3）求和将〃个小区域的薄片的近似质量想加，得到即薄片的质量"~Z〃©，7）△5；1=1（4）取极限当〃f8,/lf0时，若f〃（多，7）八巧存在极限，则称此极限值就是薄片1=1的质量。即：加=!画2〃（。，7）八5A->0/=，（-）二重积分的定义定义：设二元函数z=/（居y）在有界闭区域。上连续，将区域D任意分成n个小闭区域・・•△2,Acrn（i=l,2,3,…并以表示第i个小区域的面积,在kb]的内部或边界上任取一点(。,7)，作和f,力让6,令2是小区域＞巴中直径/=1的最大者，如果当〃-00,4-0时，和式£/(配795存在极限，则称此极限为函数i=\z=/(x,y)在区域。上的二重积分，记为：JJ/(x,y)dcr，即D\\f(x,y)da=lim力&,%)轲。d工其中/(x,y)称为被积函数，/(x,y)dcr称为被积表达式，dtr称为面积微元，。称为积分区域，JJ称为二重积分符号。这时，也称函数在O上可积。对于二重积分的概念，我们作以下几点说明：(1)可以证明，当/(x,y)在有界闭区域D上连续时，它的二重积分一定存在。今后我们讨论的二元函数/(x,y)都假定在D上是连续的，因而二重积分一定存在。
49(2)当/(x,y)在区域D上二重积分存在时，其值与区域D的分割无关，因此我们选取便于计算的分割方法，如取两边平行于坐标轴的矩形作为小区域，则=(如图7-26所示)，相应的二重积分就表示为jjf(x,y)dxdy。D(3)二重积分的几何意义很明显，当/(x,y)20时，二重积分JJ/(x,y0cr表示曲顶柱D体的体积；特别地，/(x,y)三1时，Jj7(x,yWcr表示积分区域D的面积D(三)二重积分的性质二重积分具有与定积分完全类似的性质。以下假设函数均可积。性质1被积函数中的常数因子可提到积分号外来，即y)dcr=Ky)d(y。DD性质2被积函数的代数和的积分等于它们积分的代数和，即“JJ"(x，y)土g(x,y)]db=Jj/(x,y)Jcr±JJg(x,y)dcr。DDD性质3如果区域D被连续曲线分成3,。2(如图7-27所示)则有JJ7（X,y）db=JJ/（x,y）d（T+y）d（T。DDiD2性质4如果在区域D上，f（x,y）0],所以有JJ/（x,y）db50第周星期第节授课方法讲授与练习结合章节、课题第九章二元函数微积分学初步12.7二重积分的计算
51目的要求”通过元素分析法，将二重积分的计算转化为二次积分。积学重点将二重积分的计算转化为二次积分教学难点确定积分次序，确定上下限。教具一常规教学刁题或实验习题12-7(2,3)课后记录本节内容需要进一步通过练习加强。共页复习：1、二重积分的定义2、二重积分的性质前言：二重积分的定义本身也给出了二重积分的计算方法。但是，由于计算“和式”很复杂,按照定义计算有很大的局限性。我们将根据元素分析法来给出二重积分的计算方法。二重积分的计算直角坐标计算二重积分设区域D是由两条直线x=a,x=b及两条曲线y=(px(x),y=%(x)围成，即满足不等式:
52D：(p[(x)53心dy=f1£(：Df(x,y)dx]dy(,简记为^f(x,y)dxdy=,力£f(x,y)dx.(7-6)(图7-30)特别地，区域口由直线工=4,》=。,丁=。,、="围成，即D是一个满足不等式（aWx4b）,（cWyWd）的矩形，则JJ/(x,y)dxdy=fdx[/(x,y)dy如果区域D由不等式°］（x）54例2交换积分fdx^'f(x,y)dy的积分次序，积分区域D如图7-34所示。解如先对x积分，后对y积分，则需将D分成两部分:A：]Wx4y(055解二如先对x积分，则需将区域D分成两部分（如图7-366）'：i56D:y
