多元函数微积分学.doc

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1、第六章多元函数微积分学§6.1空间解析几何习题6-11.在空间直角坐标系中，指出下列各点所在的卦限:A(2,2,3);B(6,2,4);C(1,5,3);D(3,2,4);E(4,3,2);F(2,3,1);G(3,3,5);H(1,2,3).1.写出坐标面上和坐标轴上的点的坐标的特征，并指出下列各点的位置:A(2,0,3);B(0,2,4);C(0,0,3);D(0,2,0);2.求点M(a,b,c)关于(1)各坐标面;(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标.3.求以点O(1,3,2)为球心，且通过坐标原点的球面方程.4.求与原点和M0(2,3,4)的距离之比为1

2、:2的点的全体所构成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？1.指出下列方程组所表示的曲面(1)x2y2z24；2.指出下列方程组所表示的曲线:22(1)xyx3z225；(2)x2y22z0；(3)x2y20；(4)x2x2y20；2y(5)1；916(6)x22y1；25(7)y5z0；(8)y24y30；(9)x24y；(10)z2x2y20.§6.2多元函数的基本概念习题6-21.设fxy,yxx2y2，求f(x,y).2.已知函数f(u,v,w)wuvuw，试求f(xy,xy,xy).3.求下列各函数的定义域:arcsin(3x2y2)(1)zln(y22x1);

3、(2)zxy;(3)z;xy2(4)z4x2y21;x2y21(5)zln(yx)x;1x2y2(6)uarccosz.x2y24.求下列各极限:ln(xey)(1)lim;(2)lim2xy4;(3)lim(x2y2)e(xy);xyx122y0x2y2(x,y)(0,0)x2xyy2sinx2y2xy1cos(x2y2)(x(4)lim22;(5)lim;(6)lim.y022x2y2x0xyy0x02y0y2)3x0(xy)e5.证明下列极限不存在:(1)lim2x2y2;(2)lim(11xy)xy;(3)limxy11

4、.(x,y)(0,0)3x22y2x0y0(x,y)(0,0)xy6.研究下列函数的连续性:(1)f(x,y)y22x2;y2x(2)f(x,y)22xyln(xy).6.设f(x,y)1yex22,xy2ex210,x0,y任意0,y任意，讨论f(x,y)在(0,0)处的连续性.§6.3偏导数习题6-31.求下列函数的偏导数:x2y2(1)zx3y3x2y2xy3;(2)z;(3)zxyln(xy);(4)zxsiny;(5)z(1xy)y;(6)zex(cosyxsiny);(7)zsin(xy)cos2(xy);(8)zlntanx;y(9)u

5、sin(x2y2z2);zx(9)u.y2.设ze112xyz2z，证明xy2z.3.设f(x,y)x(yxy1)arcsinx，求yfx(x,1).4.设f(x,y)2(xy)sin1x2y2,(x,y)(0,0)，求fx(0,0)，fy(0,0).0,(x,y)(0,0)5.曲线zyx2y244在点(2,4,5)处的切线与x轴正向所成的倾角是多少？6.求下列函数的2z2z2z2，2和:xyxy(1)zxln(xy);(2)zx2yexy;(3)zyx.7.设f(x,y,z)xy2yz2zx2，求fxx(0,0,1，)fxz(1,0,2)

6、，fyz(0,1,0)及fzzx(2,0,1).y2zz2.设z(xy)，其中函数(u)可导，证明x2y2xy.3xxy9.设zxln(xy)，求3z及x2y3z.xy21.求下列函数的全微分:§6.4全微分及其应用习题6-4(1)z3x2yx;(2)zysin(xcosy);(1)zyx2y2;(4)uxyz.2.求函数zln(2x2y2)在x2,y1时的全微分.3.设f(x,y,z)zx，求df(1,1,1).y4.求函数zy在x2,yx1,x0.1,y0.2时的全增量z和全微分dz.5.求下列函数在各点的线性化.(1)f(x,y)x2y21,

7、(1,1);(2)f(x,y)excosy,(0,2).6.计算(1.02)3(1.97)3的近似值.72.98.计算(1.007)的近似值.8.已知边长为x6m与y8m的矩形，如果x边增加2cm，而y边减少5cm，问这个矩形的对角线的近似值怎样变化？9.用某种材料做一个开口长方体容器，其外形长5m，宽4m,高3m，厚20cm，求所需材料的近似值与精确值.10.由欧姆定律，电流I，电压V及电阻R有