【高分复习笔记】龙驭球《结构力学Ⅰ》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解（下册）

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目录内容简介目录第8章渐近法及其他算法简述8.1复习笔记8.2课后习题详解8.3名校考研真题详解第9章矩阵位移法ーー结构矩阵分析基础9.1复习笔记9.2课后习题详解9.3名校考研真题详解第io章结构动カ计算基础10.1复习笔记10.2课后习题详解10.3名校考研真题详解

1第8章渐近法及其他算法简述8.1复习笔记ー、カ矩分配法的基本概念1.名词解释ーー转动刚度、分配系数、传递系数（1）转动刚度转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。杆端的转动刚度以S表示,它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的カ矩。常用转动刚度汇总如下:①远端固定S=4/②远端简支S=3/1③远端滑动S=/④远端自由S二°（2）分配系数Mリ="リMルリ=其中,即称为分配系数。（3）传递系数M函仞这个比值0”，称为传递系数。传递系数表示当近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。

2对等截面杆件来说,传递系数C随远端的支承情况而异,数值如下:rL①远端固定2②远端滑动C=-1③远端较支C=01.基本运算环节(单结点转动的力矩分配)(1)力矩分配法的物理概念可用实物模型来说明。如图8-1-1所示为ー连续梁的模型。・月K-图8-1-1(2)计算步骤如下:①设想先在结点B加一个阻止转动的附加约束阻止结点B转动,然后再加载荷。载荷在附加约束处产生约束力矩，ソ",且结构发生如图8-1-1(b)所示变形。②解除附加约束,使结构恢复到原来状态,相当于在原有附加约束カ矩时"处施加カ偶(~,カ偶使结构产生变形,如图8-1-1(c)〇③把图8-1-1(b)、(c)所示两种情况叠加,就得到结构实际的变形,如图8-1-1(a)所示。此时将图8-1-1(b)、(c)两种情况下的杆端弯矩叠加，可得图8-1-1(a)实际情况下的杆端弯矩。

3二、多结点的カ矩分配1.多结点转动的连续梁和无侧移刚架的计算对于具有多个结点转动的连续梁和无侧移刚架，只要逐次对每ー个结点应用单结点的基本运算，就可以渐近方式求出解答，求出杆端弯矩。2.三跨连续梁的模型(1)连续梁ABCD在中间跨加祛码后的变形曲线如图8-1-2(a)所示,相应于此变形的弯矩是要计算的目标。(2)先在结点B和C加约束,阻止结点转动,然后再加祛码。这时，约束把连续梁分成了三根单跨梁，仅BCー跨有变形,如图8-1-2(b)中虚线所示。(3)去掉结点B的约束(图8-1-2(c),注意此时结点C仍夹紧),这时结点B将有转角,累加的总变形如图8-1-2(c)中虚线所示。(4)重新将结点B夹紧，然后去掉结点C的约束。累加的总变形将如图8-1-2(d)中虚线所示。从模型中可以看出,此时变形已比较接近实际变形。

4(a)图8-1-2三、力矩分配法解对称结构1.对称结构上任意荷载的计算作用在对称结构上的任意荷载,可以分解为对称荷载和反对称荷载两部分分别计算。2.弯矩图和轴カ图（1）在对称荷载作用下,弯矩图和轴カ图是对称的,而剪カ图是反对称的;

5（2）在反对称荷载作用下,弯矩图和轴カ图是反对称的，而剪カ图是对称的。四、无剪カ分配法1.无剪力分配法的应用条件刚架中除杆端无相对线位移的杆件外,其余杆件都是剪カ静定杆件。2.剪カ静定杆件的固端弯矩（1）根据静力条件求出杆端剪カ;（2）将杆端剪カ看作杆端荷载;（3）按该端滑动、另端固定的杆件进行计算。3.零剪カ杆件的转动刚度和传递系数（1）在图8-1-3中,杆AB称为零剪力杆件。①变形特点是结点A既有转角,同时也有侧移；②受力特点是各截面剪力都为零,因而各截面的弯矩为一常数。图8-1-3（2）当A端转动ん时,杆端カ偶为M’V，=レ,I，Mja=~MAB

6S.AB=lAB由此可知,零剪力杆件的转动刚度为C』H=-1传递系数为五、カ矩分配法与位移法联合应用1.カ矩分配法与位移法联合应用的条件对于一般有结点线位移的刚架,カ矩分配法和无剪力分配法均不适用。为此,可联合应用力矩分配法与位移法求解，用カ矩分配法考虑角位移的影响,用位移法考虑线位移的影响。務本结构2.カ矩分配法与位移法联合应用的计算原理图8-1-4以图8-1-4(a)所示刚架为例说明计算的原理。(1)采用修改的位移法(也称为线位移法)求解,取基本未知量只包含线位移,而不包含角位移,位移法的基本结构如图8-1-4(b)所示。(2)根据位移法的基本结构可知,基本体系为8-l-4(c)、(d)两种状态叠加,位移法的基本方程为

7kQi+0=0(a)弯矩方程可以表示为a/=Mム+j/p(b)(3)采用カ矩分配法求得基本结构在荷载作用下的附加反カと、和弯矩ルん。(4)假设△1=1,基本结构产生附加反カえII和弯矩即％(5)根据位移法的基本方程(a),求出节点线位移A=,心然后按式(b)可作出弯矩图。六、近似法1.忽略剪カ和轴カ引起的变形。2.在竖向荷载作用下忽略刚架的侧移ー一分层计算法分层计算法就是忽略侧移影响的ー种近似法,采用两个近似假设:(1)忽略侧移的影响,用カ矩分配法计算;(2)忽略每层梁的竖向荷载对其他各层的影响，把多层刚架分解,ー层ー层地单独计算。3.在水平荷载作用下忽略刚架的结点转角ーー反弯点法多层多跨刚架采用反弯点法,基本假设是把刚架中的横梁简化为刚性梁。七、超静定结构各类解法的比较和合理选用1.基本方程直接解法和渐近解法的比较(1)直接解法是首先建立基本方程,通常是一组线性代数方程,然后采用直接法求解这组线性代数方程;(2)渐近解法分两种:①首先建立基本方程,但解方程组时却采用迭代解法，这是ー种后半截的渐近法;

8②不去建立线性代数方程组，而是根据力学概念，使结构的受力变形状态以渐近方式逼近真实的受力变形状态,这是一种全过程的渐近法。1.手算方法和计算机方法的比较(1)结构力学学科是在手算条件下逐步形成的,经典结构力学讲的都是手算方法；(2)计算结构力学是借助计算机采用数值方法解决结构力学问题的ー个分支学科。2.超静定结构解法的合理选用(1)从机算角度来看,一般都选用矩阵位移法，用ー个通用程序就可对各种形式的静定和超静定结构进行计算；(2)从手算角度来看,省事且能满足精度要求的方法就是好方法,就是合理的方法。下面主要从手算角度,针对不同的结构形式,说明计算方法的合理选用方案;①超静定桁架超静定桁架由于结点位移太多,宜使用カ法。但计算桁架次应カ时,以力矩分配法为宜。②超静定拱两校拱和无较拱需用力法计算。计算连续拱时，可取曲杆为单元,使用位移法或力矩分配法。③连续梁刚性支座上的连续梁,最宜采用カ矩分配法。弹性支座上的连续梁，宜用カ法或位移法。④刚架

9无结点线位移的刚架,可采用カ矩分配法。无结点角位移的刚架,可采用位移法或剪カ分配法。超静定次数少而结点位移较多的刚架可采用カ法。多层刚架可采用无剪力分配法、カ矩分配法或近似法。ハ、超静定力的影响线1.超静定力的影响线的作法（1）用力法（或位移法、力矩分配法等）直接求出影响系数的方法;（2）利用超静定力影响线与挠度图间的比拟关系的方法。2.利用挠度图来作超静定力的影响线的步骤（1）撤去与所求约束カZi相应的约束;（2）使体系沿ム的正方向发生位移，作出荷载作用点的挠度图,即为影响线的形状;（3）将前图中的竖距除以常数8“（即在M图中对竖距进行放大和变换,把其中的参数5”换成1）,便确定了影响线的数值；（4）横坐标以上图形为正号,横坐标以下图形为负号。

108.2课后习题详解»A,055kN・mC貝日ふ町X12m卜6m/8-1试用力矩分配法计算图8-2-1所示结构,图8-2-1解:（a）求固端弯矩M\h=-gFpl=-20kN-m,M8=1+1/2=0,"も7，"m=1一"。«=°-求分配系数-T--VTD小常数।.2nl.।.2m・|•1m.|并作M图。ス=、尸p[=20kN-in8333放松B点进行力矩分配（B点的集中力偶应该与固端弯矩ー起分配）,分配过程如图8-2-2所示,并作出M图如图8-2-2所示。

110.6670.333__18-20200一25-50-25-45-30-25计其过程25『.一I•一Mffi（单位:kN•m）图8-2-2（b）考虑去掉悬臂部分CD,去掉后在C点施加大小为!0kNm的顺时针カ偶矩。”;，.=",Fノ=-18kN•m（集中力引起）%=；X10kN-in=5kN-m（附加カ偶引起）Jル=Mg,+l/J„=-13kN,m,M\g=lOkN,in求固端弯矩（注意,C点的附加カ偶传递到B点的作用不能忽略）ルas=0.667,/jlbc=0.333求分配系数放松B点进行分配,分配过程如图8-2-3所示,并作M图如图8-2-3所示。

12计弟过程.6710^dilTIrrrh^（単位:kN•m）图8-2-4解:(a)、(b)结构中杆件既有侧移,剪力也不静定,所以不能用无剪カ分配法计算。(c)结构中,竖杆为剪カ静定杆,斜杆两端无垂直于杆轴的相对线位移,所以是无侧移杆，可以用无剪力分配法计算。(d)、(e)、(f)结构中,竖杆为剪カ静定杆，横杆为无侧移杆,可以用无剪カ分配法。8-3试讨论图8-2-5所示结构的解法。用什么方法?各杆的固端弯矩、转动刚度和传递系

13数如何确定?图8-2-5解:(a)只有一根立柱,且横梁外端的支杆与立柱平行,可以用无剪力分配法。①横梁CD、BE按近端固定支承、远端较支来计算其固端弯矩，因而有=3/；7,S庵・=3県,传递系数均为0；②竖杆AB按B端滑动支承、A端钱支来计算其杆端弯矩，因而有:其转动刚度及传递系数均为0;③竖杆BC按B端固定支承、C端滑动来计算其固端弯矩,因而有传递系数为-1。(b)BCD部分只有一根立柱,且横梁外端支杆与立柱平行，可以用无剪力分配法;而BEFA部分用カ矩分配法计算。①BC杆按B端固定、C端滑动来计算其固端弯矩,因而有ル=し,传递系数为ー1；②CD杆按C端固定、D端钱支来计算其固端弯矩,因而有用，=苞，，，传递系数为0;

14③BE和BF按B端固定,E、F端絞支来计算其固端弯矩,因而有‘川=3,川S卅=3ル,传递系数均为0;④AB杆按两端均固定来计算其固端弯矩,因而有スイ=4厶,传递系数为1/2。行3OkN/m赧咖ヤ叫耕出生EEI=\eDリr^55fス亠ド2m十4m8-4试作图8-2-6所示刚架的M图(图中EI为相对值)。图8-2-6解:（1）求固端弯矩,l/Jn==15kN,in,M\,--4_

15400kN片40kN/m勿スB',「LLLLLLLLLLiD勿EEX比2X"4X6mI3mI3mI6mv»图8-2-78-5试作图8-2-8所示连续梁的M、Fq图,并求CD跨的最大正弯矩和反カ。图8-2-8解:求固端弯矩嶋.=-Jドメ=-300kN•m〇..FJヽ…リス=0二3(X)kN•m〇M：“=-*=-180kN•求分配系数

16x4出ー】:2チx4+告メ4602イ=0.4.4“=0.6%-x4ル"=24—x4+—x366图8-2-9力图（单位:kN）10.33|0.67|0.4|0.6

171CC夕"労现场00セ〇〇300-180050100200亠!00-44v88-132►07.335--14.6729.33►14.665-2.933-5.866-8.799►〇).4890.9781955►0.978-0.196**-0.391-0.587►0).0330.065〇13»006557,86115.71115.71s321.45321.390ア配过程如图8-2-9所示,并作弯矩图和剪カ图如图8-2-10所示。Frc=407.97kN（向上），Ga=66.43kN（向上）由剪カ图可知随“66弯矩在剪カ为〇处最大,距D点9m处,则,,66.43x1.66..T..,..リュ=kNm=55.144m8-6图8-2-11所示某水电站高压水管,受管内水重及管道自重作用。试作水管的弯矩图

18和剪カ图。设EI为常数。图8-2-11解:AB悬梁部分可以去掉，相应地在B截面施加一个逆时针的092〃’集中力偶。求固端弯矩

19,1/。=-0.02げ,=9「-0.Oh//2=0.115,ガ«M[lt=--ql2%=；）/，%="》’,J％=か，:=0.0833ゼM=7=°-57«ルr=テ=0.43,ルm=ルM=0.5求分配系数固端弯拉ー0.020.115-0.08330.0833-0.08330.0833放松。—0,0136—0.0181——0U09放松。0.0023———0.00450.0045►00023放松C-0.001-0.0013杆端野矩ー0.020.1004-0.130.0788-0.078800856£C截面所受的弯矩绝对值最大,因此先放松C点,分配过程如图8-2-12所示。图8-2-12根据所求的杆端弯矩求出剪カ，作内力图如图8-2-13所示。

20O.KXM9/-0078的ヂ0.085印:图8-2-1380kN15kN/m•パパパ小E3mI3m6m8-7试作图8-2-14所示刚架的M图。设EI=常数。

21\l\H=_4"メJ=-60kX•m.リ:ハ=--F|./=60kN•in881/；,：=-：,

22图8-2-15Fp=20kNqr=IOkN/mFa-44/B4/CDM2/2/E5m5m8-8试作图8-2-16示刚架的M图。图8-2-16解:CD部分可以去掉,相应地在C截面附加ー个顺时针25kNm的集中力偶。求固端弯矩

23ぬ=31.25kN-ino=一二一2〇,8kN"in.%=-♦リスニ20.8kN-in24ム&==0316.a尸~A24-20-32e2024-20-320.263求分配系数。设瓦=10,则3232+20^=1-0.316-0.263=0.421=0.615:〃cf=1・0615=0.385固端弯矩进行分配,计算并作出M图如图8-2-17所示。

2403160.2630.4210.615038531250-20.820.80-3.3-2.75—4.4-2.21.93.92.5-06-0.5-0.822.512.527.3-3.3-24—-1.4L3图8-2-17%20kN/mEADv1^12128-9试作图8-2-18所示刚架的内力图。设El=常数。图8-2-18

25半边结构图计算过程（単位:kN•m>图8-2-19リス=-=-240kヽ•m.•リス=-看=-120k\,m求固端看矩求分配系数外・二。ユ,七=1-0.2=08进行力矩分配,计算过程如图8-2-19所示。据上所述,作出刚架的内力图如图8-2-20所示。

26120MW单位:kN-m)4S三三-si三一三ール。网中位:kN)图8-2-20120号户脚单位:kN)(7=IOkN/m屮“"中"”，"霜屮”小ABCDE,4m.4m.4m.4m8-10试作图8-2-21所示刚架的内力图。设El=常数。图8-2-21解:图中为正对称结构,取半边结构研究,如图8-2-22所示。

270.506.670.50.3330.3330^1-13.336.6713.333.330-13.3313.33レ片10kN/m一0.55-1.11一1.11-1.11-0.550.280.280.141278ABCK-0.05-0.05-0.056.95-6.951564-1.16-14.49Fr半边结构图3.33-0.55勿以0.14-0.033.47-0.58力勿勿m计算过程（单位:kN.m）图8-2-22M=一，衿=一13.33kN,in,Mkk=-MiH=13.33k、,tnMe=-13.33kN•m,M%=的!=13.33klN•m求固端弯矩求分配系数4As=〃AF=°-,3=〃bc=〃bg=0.333进行力矩分配,计算过程如图8-2-22所示。

28ム图（単位:kN）图8-2-238-11试作图8-2-24所示刚架的M、Fq、Fn图（图中I为相对值）。

29/=O5I2163m7=05127=2.74250kN250kN195kN195kNI65mEsz-夕=42kN/m开开卄ー幵幵tm!开开开>1.78图8-2-24解:图中为正对称结构,取半边结构如图8-2-25所示。求固端弯矩"ゝ=卜骞黑。x8.15-0.5)」黑:；(2x8.15-6.5)1=-883.22kN•m(250x0.5，195x6.5、、,〈”eゝ,%=(ーお通而・一RTiゴ)kN・m=-509.28kN•mM'h„=-yx42x8.15:kN-m=-929.92kN*tn

30M\m=-x42x8.152kN,m=-464.96kN•m求转动刚度

312744xO512=^4^£=0.336£.S俯二4ル二日鼻デニ〇.234月•Sル1=3祈=0.234ど〇.15〇.75S/uf=huiB点Aag=0.3360.336+0.234=0.589=窮£=0.218ど,S.=4im:=,：；.弟£=0.166£求分配系数4AB=0.4110234%0.234+0.218+0.166=0.379921^=0.353人”0.234+0.218+0.166/c=0.268进行力矩分配,计算过程如图8-2-25所示。

32104.8图8-2-25据上所述,作内力图如图8-2-26,8-2-27所示。

33445Mffl（単位:kN•m）ダq图（单位:kN）图8-2-26

34㊀102.4尸n图（単位:kN）图8-2-27

354kN12kN12kN4kNElEl(7=lkN/m图8-2-28解:根据对称性,取半边结构如图8-2-29所示。A点左边可以去掉,相应的在A截面施加一个2kx.m的附加力偶作用，CD部分去掉，附加ー个水平支杆。求固端弯矩

36M\I；=-I黑ス7(2-0.7)kN•in=-5.46kN•in心,=」ゝ;j，kN«tn=-2.94kN*in求转动刚度Sw=tu;=-j—E=1.5E,S4c=4i4c=1.333EA点S,:f：=4ict=：E=lと,S,।=1.333EC点求分配系数1.5ハハ门!.333レー4g==0.529〃八［ウ1反=0.57Iレハ］うホ-1.5+1.333,Aac=0471«仆1333+1,七=0429计算过程如图8-2-29所示。

37图8-2-29据上所述,作M图如图8-2-30所示。

3835LnTnTmTTTTr^50187i0.187图8-2-30IOkN/mmmmm./i=4

39图8-2-31只需考虑反对称情况。选取半边结构如解:（a）将荷载分为正对称和反对称两种荷载,图8-2-32所示,采用无剪カ分配法计算。半边结构图图8-2-32M%=-yFpZ=-30kN-m,=-30kN-m求固端弯矩66求转动刚度

40/jlHl=；スス==0.857,u,H.=0.143产粧!+0.167产刷图8-2-33(b)采用无剪カ分配法计算。求固端弯矩唬=ー/心イX10x4~N・m=~20kN.mSra一’2求转动刚度=3,SBC=3，1=12

41ル见=3+]2=〇♦2,=0.8分配过程如图8-2-34所示,并作M图如图8-2-34所示。图8-2-348-14试作图8-2-35所示刚架的M图。

42(a)(b)2OkN/mモモ二三如EZ9£7=5El=210m图8-2-35D=555?^?解:（a）将荷载分为正对称和反对称两种,正对称情况采用力矩分配法,反对称情况采用无剪力分配法。①正对称情况,选取半边结构如图8-2-36所示。3kN/m熒ー6m0.5710.4299-5.14-3.863.863.86-3.863.86-9-2.57-11.575m正对称半边结构图计算过程1（単位:kN-m）

43M\r-一五ql2=-9kN,m,Mra--M\b=9kN-ni求固端弯矩n"i始=--1.333，SttE==—=\求分配系数"…さ貞:1=。571，M«e=O-429用分配法,计算过程如图8-2-36所示。②反对称情况,选取半边结构如图8-2-37所示。

443kN/m反对称半边结构图计算过程2（单位:kN-m）图8-2-37M\h=ーアザ=-36kN•in9Mス=—^qF=-18kN•in36求固端弯矩5八=,小=]=0・333,Sre=3i.=3363。1…9求分配系数用分配法,计算过程如图8-2-37所示。

4520.06A假!（単位:kN•m）20.06图8-2-38(b)将荷载分为正对称和反对称两种,正对称情况采用力矩分配法,反对称情况采用无剪カ分配法。①正对称情况,取半边结构如图8-2-39所示。正对称半边结构图毋-12-27计算过程1(単位:kN-m)

46ド=-=-30kN•m,M\tt——ン=—15kN•m36求固端弯矩,.A7求分配系数A'/S=4/=—Jra-2二0.4,"ba二0•6反对称半边结构图②反对称情况,取半边结构如图8-2-40所示。计算过程2（単位:kN・m）

47图8-2-40求固端弯矩M；£=_gql=-11.25kN-m8求分配系数Nre=0・89，"见=0.1119216.8Krn三三三二二二ニニ!③将①②中求得的结果叠加,作M图如图8-2-41所示

48图8-2-41/|=0.919kN38kN/2=0,3956=0,395Eoo/)=0.96=03956=0.395A8m“ノノ）ノノル8-15试作图8-2-42所示刚架的弯矩图。图8-2-42解:荷载分解成正对称和反对称两种,只需计算反对称情况,取半边结构如图8-2-43所示,采用无剪カ分配法。Mス=-!x9.5x3.8kN•m=-18.05kN•m=Mvm:M¥ks=-yx28.5x3.8kN-m=-54.15kN-in=M\r求固端弯矩求分配系数

49=3xL8=5.4=S.二33=3x1.8=5.4=S*~し。=0・395=S侦=S1H%"=u4+0§95=932.ルW=0•0680395,“偈=ガぜビ乳ミ公=。064=ル」,5=1-0.064x2=0.872U・ツッ。XX»JQ半边结构图计算过程（单位:kN・m）用分配法,计算过程如图8-2-43所示。图8-2-43据上所述,作M图如图8-2-44所示。

50わkN«m)图8-2-44lOOkN三二三方8m8-16试联合应用力矩分配法和位移法计算图8-2-45所示刚架。图8-2-45解:原刚架受力可分解为图8-2-46(a)正对称荷载作用和图8-2-46(b)反对称荷载作用两种情况。

51(a)50kN50kNS)50kN50kNlokN'm一Wb™=====skN、m图8-2-46(1)正对称荷载作用分析取半边结构如图8-2-47(a)所示,用力矩分配法求解。(b)59.58•59.5813.3346.25-13.3323.13©〇ユ50.75-25-15.42-40.42图8-2-47①计算杆端弯矩

52ルZ0=一:：=-13.33kN•111V/r(=13.33kN-inFva(2l-a)ルル=-=-75kN,in■•尸バMkc=--2厂=-25kN•in吼=4レ=4x3=12S(e=し1:=2i(i>=2x2=4从，=さ=0.75,出=0.25②计算分配系数③弯矩分配具体分配过程见图8-2-47(b)〇根据③的计算结果,以及体系的对称性得到“ん图如图8-2-48所示。

53图8-2-48(2)反对称荷载作用分析采用位移法求解,基本体系如图8-2-49(b)所不。取半边结构如图8-2-49(a)所示,b)E7NPI0一图8-2-49①利用力矩分配法求解在荷载作用下的“p图。a.杆端弯矩求解M(t=-13.33kN,m..3x50x4Mce-=-37.5kl\'inS,I=4i,I=4x3=12Sct=3<

547.25kNm-7.25根据计算结果可得到半结构的“p图如图8-2-50(b)所示。25.4kNm24.54kN15.45kN图8-2-50e.求る取隔离体如图8-2-50(c)所示,求得马＞=-24.54kN。②利用力矩分配法求解支座E向右产生单位位移时立1图。a,杆端弯矩以及分配系数求解=ー与当=-^-^=-4.5kN-m円ハ=Nce=0-5b.弯矩分配具体分配过程见图8-2-51(a)〇c.求解人れ图根据以上计算结果可以得到半边结构的立1图如图8-2-51(b)所示。

55图8-2-51(b)③列位移法方程,求へムA+%二〇a=ー纽=nrd=|7.4ん］1.41④必图根据必ユリュ+%,求得”2图如图8-2-52所示。

56图8-2-52叠加M和M图,即シ=M+弘,得到最终M图如图8-2-53所示〇图8-2-5340kN/mHHED1=22/=1B(mz8-17试联合应用力矩分配法和位移法计算图8-2-54所示刚架。图8-2-54

57解:原刚架受力可分解为图8-2-55(a)正对称荷载作用和图8-2-55(b)反对称荷载作用两种情况。(a)20kN/m皿““(b)20kN/m图8-2-55(1)正对称荷载作用分析取半边结构如图8-2-56所示。20kN/m图8-2-56=ー処・=--X20X6?=-60kN.nl廊1212Mド［)=-M3.=60kN»m①杆端弯矩求解②分配系数求解

58sリ4=4i=4Snr=4/=8③弯矩分配@等!30-60204020-2001010弯矩分配过程如图8-2-57所示。图8-2-57④M图根据以上计算,以及图形的对称性,作“】图如图8-2-58所示

59图8-2-58(2)反对称荷载作用分析取半边结构如图8-2-59(a)所示,采用位移法求解,基本体系如图8-2-59(b)所示。(a)_20kN/m(b)_20kN/m图8-2-59①用カ矩分配法计算荷载作用下的スん图a.杆端弯矩求解

60Xql220x62“可,)k1212M［；］)=-Ml)h=60kN*niSハイ=4り“=,SI)E=4/n/f=I2内“--,〃/用=~4E%=4レ=亍‘%=%=41Red=ヌ，ル:"=:b,分配系数求解c.弯矩分配弯矩分配过程如图8-2-60所示。

61-4.27Yf®I60020•64-1610.671.422.85-0.570.190.38-8.54-2.131.42•1.14。280.19-0.15-0.0418.45-18,45Bソル〃〃-8-1.06-0.14-9.25.340.710.0916.14图8-2-60d.%图根据以上计算结果求解得到厶4图如图8-2-61所示。

62ル图（单位:kNm）图8-2-61e.求解ふ根据">°,得到/=-3.44kN-m。②计算支座E产生单位位移后的立I图a.杆端弯矩求解b.分配系数求解c.弯矩分配

6316001_"\211L18・1841801_T80-0,110.110.08-0.08ABッ〃〃ノ〃.丄36-0.14121_360-0.08图8-2-62根据以上计算结果,得到半边结构」S图如图8-2-63所示。（图中数字乘以E）

64图8-2-63e.求解も根据モ冃=°,得到ム1=0069E(kN)〇ムA+£p=。F.p-3.4449.86'"kJ0.069£-E③列位移法基本方程④M图根据ル=万A+-叫,得到M图如图8-2-64所示。

65M图（单位:kNm）图8-2-64(3)”图叠加正对称和反对称情况下的弯矩图,即根据レ=ハ厶+）厶,得到“图如图8-2-65所图8-2-65

66(a)(7=IOkN/mnmmmmnmmn8-18试联合应用力矩分配法和位移法计算图8-2-66所示刚架。图8-2-66解:(a)根据对称性,取半边结构如图8-2-67所示，并取结点D竖向位移△1为基本未4=10kN/m知量。注意:对称结构受对称荷载作用时,DE杆无弯曲变形,即/=8。图8-2-67(1)荷载作用下的分析①杆端弯矩ボ10x64Vつ•,1""二一A=一~\T~=-*•3kN•Jル=53.3kN-in

67♦Su=5"・>〃=グ12Mo=于.Mor=Jル例=0.435,=0.217.从样!=0.348（ラ分配系数求解③弯矩分配弯矩分配过程如图8-2-68所示。

6817.78-6.19-3.86-7.731.29-0.45-0.28-0.560.09-0.03-0.02-0.04-6.67-4.1611.23-1.93-0.14-2.07-3.09-0.22图8-2-68④ル图根据以上计算结果得到ムん图如图8-2-69(a)所示。

69Mp图（单位:kNm）图8-2-69⑤国求解由CE、BD杆的平衡可以求得杆端剪カ如下5=-43.6kN(t),=0.78kN(j)所以Kp=-42.82kN(f)o(2)单位支座位移下分析CE、BD有固端弯矩,％="レ=""”=1仆ー：：=-9.375x而,弯矩分配过程略,371图见图8-2-69(b)〇%弘7悬(い5=2.07恁(I)由CE、BD杆的平衡可以求得杆端剪カ如下

70所以・“=3⑼4為八)(3)列位移法基本方程411Al+FIV=0=-Kp42.82x100_1094.02劣k”3.914£/El(4)作M图根据叠加法原理,由ハ，=•レd+ルム,得到最终弯矩图如图8-2-70所示。M!釈单位:kNm)图8-2-70(b)在D处附加竖向链杆得到位移法基本体系,如8-2-71(bj所示。用カ矩分配法,计算得到"p图,如8-2-71(b2)所示,则有-51.6kN74.43-87.58-100x4…kN30.38+1。,37しべぐ八qlxj卜qe"=gkN=5.09kNらZ明=?—09kN=0.056kNoFqm=ユ」",*kN二-1.41kN

71所以Kp=(-51.6-5.09+0.056+1.41)kN=-55.22kN03れ图与（a）中的相同,所以再作へ=1时的弯矩图标1如图8-2-71再3）所示。00234lOOkN875XI99孰”《图（単位kN•m）3080067400791^2、ヘレ00234I463971瓜00674006741TTZ0067400806（b丿位移法M木体系\0.05577ス湎ヰ’00864BOOH700117^2'一(bjWffl(单位kN・m)2045勺=09,84。代入位移法方程,解得へ=7°丄3。用叠加法作m图如8・2・71（b4）所示。图8-2-718-19试作图8-2-72所示4孔空腹刚架的弯矩图。

72图8-2-72解:根据对称性,取半边结构计算,如下图8-2-73(a)所示,通过受カ分析可将结构简化为8-2-73(b)图中结构,再取一半结构如8-2-73(c)所示。求固端弯矩/ノIM\h=--^―=-x7.5x4kN,in=-15kN•in=A/L=-4~x(7.5-5)x4kN•in=-5kN,in=M%5bh~3ルZ=12，，%=iH(=3=^=0.25,^.=0,75,^.=33+2+12=0.176212^=-=0.118,Mhh=-=0.706求分配系数计算过程如8-2-73(d)中所示，并作M图如图8-2-73(e)所示。

73lOkN5kNlOkN0.250.75-15-2.364.34-0.510.13-13.413.020.3813.40.1180.1760.706-152.36-53.5214.12-4.340.510.763.07-16.47-0.721719—5-3.52-0.76-9.28(d)计算过程(单位:kN•m)

7410.4/10.4/(e)M冬1(単位:kN•m)图8-2-738-20剧院眺台结构如图8-2-74(a)所示,其计算简图如图8-2-74(b)所示,杆旁数字为杆的线刚度L在竖向荷载q作用下，试作M图。注意:本题有结点线位移。(a)ammmmzmmm

75(a)immmmnm图8-2-74解:利用复式刚架的求解方法,注意柱的串联关系和结点线位移的处理方法,可采用位移法和力矩分配法联合求解,过程略,M图如图8-2-75所示。

76图8-2-7550kNgH①①lOOkN⑦紛~~dr②②②4m/一6m8-21试用反弯点法作图8-2-76所示刚架M图。

77图8-2-76解:设柱的反弯点在柱的中点,且由于顶层各柱线刚度相同,底层各柱线刚度也分别相同,1所以各柱分配系数都为テ。则柱顶剪カ为:上层柱:小=50X卜苧kN；下层柱:Fv2=150xj=50kNo上层柱:，孔="卜=-£x2.5=-4L675kN•m；下层柱:ルん=Mド=-50x2.5=-125kNmc所以柱端弯矩为:c4q——q求转动刚度〃，-Q，"ED-]7，1017据上所述,对梁端弯矩进行分配，得到弯矩图M图如图8-2-77所示。

78图8-2-778-22试作图8-2-78所示两端固定梁AB的杆端弯矩Ma的影响线。荷载Fp=1作用在何处时,Ma达到极大值?图8-2-78解:在截面A加校,并施加单位力偶1kx皿,作m图,如图8-2-79(a)所示。作出用=1作用下的弯矩图，如图8-2-79(b)所示。

79(c)M」影响线图8-2-79列カ法方程:41m+/=°。求系数和自由项EI8n=ヽ"6/"J(2/-X)-y-(/+x)j="(ノー*)2叫:4(2x14)=：忆=_生=キ/_ボ解得当ハ,作出影响线,如图8-2-79(c)所示。对上式求导,解得4=レ3时,有极值,此时"8-23试作图8-2-80所示两跨等跨等截面连续梁Frb、Md、Fqd的影响线。

80图8-2-80解:（1）作る的影响线去掉B支座,施加竖向的单位カ,作出后=1作用下的弯矩图。图8-2-81列カ法方程:41•戸的+/=°求系数和自由项KI8lt=yx/x-j-x~xyx2=^-AB段,有

81Ir/1x(2l-x)2x1.x2/\Eil(-2-xx2/XTXT-T/XTXTXT)1J〃Xx(2/-x)/2jrI/\-yX(/-v)XXlyXy+yX-I-1x(/-x)xfx(|xf+|xf)]x(3l2ー/)12万Frb=-T=TJ7X(3/'-a')(AB段)On21ドI阳=一雪=/(2/-*)[3广-(2/-x)'](8C段)on21解得作出心影响线如图8-2-81所示。(2)作“D的影响线将截面D加钱,并施加一对集中力偶,作M图,如图8-2-82所示。A7S)।=2x1.x/x2x；-x2=ケー/求カ法方程中的系数和自由项

82aI[1x(J-2x)22A1z.ヽA/|2'x~"3xI+2('-i)x-1(/-x)xxx(1x^+|AD段,有x2）-2Xルい枭ユ卜ー5^^a1fle,ヽ(x-/)(2/-x)..22(2/-x)15'i=£/l-2x(2/-r)x/一^xtx/^-yx,ハ(x-/)(2/-x)(22(21-x)1.\i(X-/)XムXIyX-1+yx2lj(x-1)(21-x)(31-x)3ElIBC段,有

83ん。段:=ー含=奈%（3/+デ）；加段:必=ー含=も（ノー*）（4『ー拉ー.デ）；8c段:必=ー雪=一白（4-/）（2/-*）（3/ーゝ）。51解得

84”（イ。段）W（ハ砲）作出“D的影响线,如图8-2-82所示。”（SC段）ヤ1作用下的弯矩图2图8-2-82（3）作»影响线将截面D加定向约束,施加一对集中力,作M图如图8-2-83所示。KI8n=2x*^x/x/x-x/="!一求力法方龍中的系姓和自由领E/5,,,=ヨゼ、壬+“+”广％+y/x/xjx=/x-/.一AD段,有DB段,有

85EI8,,,=-yx(/-x)2xfJX/+yxx)-yx(/-x)Xy=--r(/-*)(4/2-lx-St1)6cね!xw(x-1)(21-x)w2ハ,ヽhl8ri=--x(2/-x)x/xx(2/-x)-1,ハ(x-1)(21-x)r2/つノvI.12x(x-/)x/—x[tx(2/-x)+tx/16BC段,有皮."ル"4/'，明段:Fv„=^(/-x)(4/2-/.t-r)；8C段:Fv/,=-^j(x-/)(2/-.t)(3/-x)o解得

86作”影响线如图8-2-83所示。

8704060594出,影响线ル=1作用ド的弯电图3图8-2-83

888.3名校考研真题详解一、判断题1.图8-3-1所示结构,叱为カ矩分配系数,则ル尸び"，（/ー/"/8）。（）［厦门大学2011研］图8-3-1【答案】错Mba=Nba（M0—3PI/16）【解析】BC杆为一端固定一端简支,J784=-3P//I6,所以2.多结点结构的力矩分配法计算结果是精确的。（）［上海理工大学2013研］【答案】对【解析】カ矩分配法属精确解法，解题过程采用渐进方式,理论上要多精确就多精确。3.梁上均布荷载如图8-3-2所示布局，支座B上弯矩Mb出现最小值。（）［西南交

89通大学2012研］

90图8-3-2【答案】错【解析】求支座最大负弯矩时,应临跨和隔跨布置活荷载°二、选择题1.图8-3-3所示结构（EI=常数）用カ矩分配法计算时（A.|1bc—1/8>Cbc~"1B.［1bc=2/9,Cbc—1C.Hbc=1/8,Cbc=1）。［厦门大学2011研］ABCD.|1bc=2/9,Cbc=-1图8-3-3

91【答案】D【解析】MBA：MBD：MBc=4iBA：3iBD：iBc,分别计算其中的i,代入其中,可得叫=2/9,滑动支座的传递系数为ー1。2.图8-3-4(a)所示结构中截面B弯矩Mb与截面C弯矩Me大小关系为()。［西IIIIIMIIIIII(b)图8-3-4A.|MB|=|MdB.|MbI<|Mc|C.|MB|>|MclD.以上答案均有可能,随跨度长短变化【答案】B【解析】本题可以用カ矩分配法也可以用位移法的思路分析。先求固端弯矩,可知B结点的约束力矩小于C结点的约束力矩［见图8-3-4(b)］,结点发生位移后,截面C的最终弯矩将介于qh/8和qb/12之间，并且比截面B弯矩大些，这ー现象读者用力矩分配法分配ー轮即可发现。3.图8-3-5(a)所示结构中(EI=常数),カ矩分配系数画=()。［哈尔滨エ业大学2013研］A.7/4B.1/2

92图8-3-5【答案】C【解析】先求转动刚度Sba和Sbc,其中如何求Sbc是关键。单位转角下BC杆的变形见图8-3-5(b),需要用カ法求B端弯矩。里;图8-3-5(c)所示的基本体系(轴カ对弯矩无影响,故不取作未知量),再分别画出显图(8-3-5(d))和支座位移引起的位移图(8-3-5__ax_EI(e)),カ法方程为8iX+Ac=0。系数り"百,ヘ。=-1,代入力法方程解得、a,所以B端弯矩为EI/a,即Sbc=EI/ao易知Sba=4EI/3,所以|1ba=4/5〇三、填空题1.图8-3-6所示结构中14杆的分配系数円,为。［西南交通大学2006研］

93图8-3-6【答案】0.361【解析】由于结点1无线位移,支承端4应视为固定端,并注意14杆长度。2.用カ矩分配法计算图8-3-7(a)所示结构,EI=常数,可得:Mab=KN-m,Mba=(a)(b)kN-m,Mca=kN-m。［哈尔滨工业大学2006研］

94【答案】15；-15；0【解析】图8-3-7(a)中的悬臂部分为静定,荷载和结构可简化为图8-3-7(b)所示,不经计算即可直接画出其弯矩图如图8-3-7(c)所示。据此可得各杆端弯矩值(顺时针为正)。注意:由于忽略轴向变形时A点无水平位移,因而AC杆不弯曲也不会有弯矩产生。3.图8-3-8所示结构(EI=常数)，用力矩分配法计算的分配系数円c=。［中南大学2010研］图8-3-8【答案】0【解析】BC杆的支座反カ沿杆轴作用,对弯矩无影响,因此BC杆相当于悬臂杆,转动刚度等于零。4.图8-3-9(a)所示结构中各杆EI=常数,用カ矩分配法计算(因C处转角微小,故BC杆无水平位移),则可得:Mba=,Mcb=(均以外侧受拉为正)。［浙江大学2012研］

95图8-3-9【答案】0.75EI/1；0.75E1/1【解析】转动刚度和分配系数Sbc=EI/1,Sba=3EI/1»叫=0.25,叱=0.75;固端弯矩见图8-3-9(b),M〉=EI/,ヽ&=-EI/,分配传递过程见表8-3-1,弯矩图见图8-3-9(c)〇结点ABC杆端ABBABCCB分配系数固端當矩0.750.25-EI/1EI/I分配传递〇ー。75どノ//O25A7//—-0.25WZ杆端弯矩00.75E///-0.75内〃0.15EI/1表8-3-1四.计算题1.用カ矩分配法计算图8-3-10所示结构,并作M图。(循环两次)［华南理工大学2010研］

96lOkN/m4x2£Z04x2E!Cペ3xEI3Scs=-=2%=ア下解:（1）求转动刚度,令EI=1,则（2）求分配系数6结点B：Mba=、東=°"5,"sc=0-25,〒っ4cB=t=0S，—0.4j结点C：（3）求固端弯矩

971qr!,ハ-10.XTA心="-=—xl0x4=—kNmレI212310x1640,、T=——klS-m12123在C点的外力最大,所以先放松C点,固定B点,分配如表8-3-2所示。4£8点c点ABBXBCCBCD分配系数0.75Q250.570.43外力荷載-3.333.33-113313.33放松c点-3.799♦-7.598-5.732放松8点S.18.10.353.45♦1.73放松C点-0.493♦-0.986-0.744放松8点0.19♦0.3700.123求和2.0414.05-14.056.48-6.48表8-3-214.05作弯矩图如图8-3-11所示。

982.采用カ矩分配法求解图8-3-12（a）所示连续梁下列问题。（进行三个循环即可）［海南大学2013研］（1）分配过程（注意杆BC段截面抗弯刚度为2EI）:（2）绘制弯矩图;1L6m14mL4mL6mIイ「111(a)rt0.40.62/31/3.1/'-6060-10010000分配与传递-33.35—-66.7-33.314.67—29.3444.01—►22分配与传递-7.33--14.67-7.331.466-2.9324.398—►2.199分配与传递-0.733――-1.466-0.7330.145——0.290.44最后M值-43.729256-92.5641.36-41.36_0(b)

99A/图(kN•m)(c)ふ图(kN)(d)图8-3-120,El2EIc,2EIc...c,ElEl解:计算转动刚度.计算分配系数:|1ba=0.4,|1bc=0.6?比b=2/3,|1cd=1/3o固端弯矩

100M\b=ーら=_60kN•m,M;ハ=《=60kN•inptlFlルん.=-=-lOOkN,in,Ml-,,=-7-=lOOkN,m0O本题为两个结点,应先从结点不平衡力矩大的开始分配,计算过程如图8-3-12(b)所示,根据计算结果作弯矩图如图8-3-12(c),再根据弯矩图绘剪カ图如图8-3-12(d)所示。3.用弯矩分配法计算如图8-3-13所示连续梁,并作弯矩图,各杆EI=常数。［西安交通大学2005研］w=100kN•mFP=60kN图8-3-13cイ£/ロ,ぐc人EI2EI03EI解:计算转动刚度:H,4',,<(H634o计算分配系数:"始=也6,Mac=0.4；=8/17«%.0=9/17。固端弯矩・レ;，尸ー’。=T5kN'm,,%=45kN•m;此,=-'(=-20kN-in车题含有结点カ偶,计算过程如图8-3-14所示,根据最后弯矩值作M图如图8-3-15所/Ko

101(-100)分配与传递分配与传递分配与传递最后M值0.60.48/179/1743.5ーー_873.82—7630.18^—0.3647.594.99-454558—►29-12.71.-25.415.08—►2.54—0.6•一1.20.245.0149.93-20-28.59-1.34-49.93_0图8-3-153.试用弯矩分配法作图8-3-16所示结构的弯矩图,只需分配两轮。CG杆的EI=8,其余杆EI为常数。［同济大学2008研］

102图8-3-16=SK(:=4£//6,从"：=ルヤ=0・5；SCA=4E//6,S(:H=3E//6,Sa)=0解:‘(1)’先求各杆端的转る刚度和分配系数Sca的求法见图8-3-17,先画出单位转角下的变形图。

103图8-3-17由于CG段的EI=8,需要先画EI有限大的GA段弯矩,该段相当于一端固定一端定向发生单位转角时的弯矩图,即McA=icA=EI/3;再将GA段弯矩图延长就可以得到整个CA杆的弯矩图(CA段弯矩图的特点是直线,因为其上不作用外荷载),所以Sca=EI/3。再324Mf.ft=百"，ム:A=す，从メ=6，ル:"=由转动刚度求出分配系数,即M%=6-^62=27kN•m.=-3x3=-9kN-m（2）求固端弯矩(3)分配和传递过程见表8-3-3,M图见图8-3-18。

104（単一位:kN•m）表8-3-3单位:kN«in结点EFC4B杆曷EFFEFCCFCRCl）CAACBC分配系数向设疗矩分配和传递1-0.06・0.520.IIas-42-0.220.II4/9-83/927-60-902/9-440:'00-1--0.44-0.330-0.23最后。矩1.062.11-2.11-7.4420.67-9-4.234.23图8-3-185.用カ矩分配法计算并作图8-3-19所示结构的弯矩图。各杆EI相同。［重庆大学2012

105图8-3-19S4C=0,SW=4EI/4=EI解:（い先求转动刚度和分配系数求Sab时应注意,B点虽然是定向支座,实际上却不能移动,否则将引起AB杆的伸长或缩短,因此B点相当于固定支座,即Sab=4川/5,Mw=5/9,=4/9,ルIc=°M\(:=-，-=-24kN•m,M\d=-=却^^=10kN•m(2)求固端弯矩求AB杆的固端弯矩时应注意，B点20kN的集中力不引起固端弯矩。

106Mゝ=-Mba=]2=4kN•in(3)传递和分配见表8-3-4,结构最后弯矩图见图8-3-20。结点BAD杆端BAABACADDA分配系数4/905/9固端弯矩一44-2410-10分配传递20/9--40/9050/9-・25/9杆端弯矩-1.88.4-2415.6-7.2表8-3-4

107图8-3-206.图8-3-21中单位荷载Fp=1在AB上移动,画出C处的弯矩影响线和B点的反力影响线。(C点弯矩下侧受拉为正,B点的反カ向上为正)［北京航空航天大学2007研］图8-3-21解:(1)求Me的影响线去掉Me对应的约束,施加一对カ偶,如图8-3-22所示。图8-3-22根据影响线的概念，用カ法求解Me,见图8-3-23(a)〜(d)〇

108A/p图(二)(d)的影响线(g)图8-3-23

109的求法如下:当Ovx［时,图8-3-23(c)与图8-3-23(d)图乘,得«IAA(/-A)2AII-AA(/-A)/A2I\1\lへ5j"=e7xTx-/xTxT+e/x-x-/x(7xJ+T)-e7x7x2x66EIIa11/c,\z.vIx1.2\—(2/—x)'(x+4/)A|p=一菊xテx(2—x)x(2/-x)x—x—+2x—=El2\l33IoEll当，4X42ノ时,图8-3-23(a)与图8-3-23(b)图乘,得代人力法方程前此+A|P=0得寫’+4寫/2M(=p—；当04X4I时,16/-(2/-x):(x+4/)当セx父/时，16/-求出六分点处Me的值,画出影响线如图8-3-23(g)所示。(2)求Frb的影响线。3”1フ父/3x—x2/x2/x2/x—=3-7^-(2/-%)2(%+4/)6EI233EI-7^xx(2/-a)x(2/-x)x(.Vx+2/x申)El2\33/

110基本方法同上,见图8・3・23(e)、(f)得卜，_(2l-x)2(x+4l)代人力法方程8uFrb+ムp=0='U，16/',画出Frb的影响线,如图8-3-23(h)所示。

111第9章矩阵位移法ーー结构矩阵分析基础9.1复习笔记ー、概述1.结构矩阵分析方法结构矩阵分析法是以传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表述形式、以电子计算机作为计算手段,三位一体的方法。2.矩阵位移法矩阵位移法是有限元法的雏形,因此结构矩阵分析有时也称为杆件结构的有限元法。3.有限元法(1)有限元法的要点①把结构整体拆开,分解成若干个单元,这个过程称为离散化;②将这些单元按一定的条件集合成整体。(2)有限元法包含的基本环节①单元分析;②整体分析。二、单元刚度矩阵(局部坐标系)1.一般单元的刚度矩阵(1)单元坐标系图9-1-1所示为平面刚架中的一个等截面直杆单元c。

112图9-1-1图中采用坐标系土兀其中モ轴与杆轴重合。这个坐标系称为单元坐标系或者局部坐标系。（2）单元刚度方程单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力时所建立的方程ーー记为ムード方程。（3）推导单元刚度方程时的注意事项①重新规定正负号规则;②讨论杆件单元的一般情况;③采用矩阵表示形式。（4）单元刚度方程的建立图9-1-2①由杆端轴向位移”いも可推算出相应的杆端轴向カ・”、〃,2的计算公式为

113②由杆端横向位移リ、%和转角伉、/可推算出相应的杆端横向カへ、ジ，:和杆端カ矩"，、凡,计算公式如下M；+半羽+牛（・二;）通单+等+粘ユ;）%=牛（ス+被）+竿（片ー%）%=一半国+ゐ一竿（U）③将上述六个刚度方程列成矩阵形式:尸"ニム',ユ:即

114仔,、.rEA00EA——0〇］,、—12£76EI0I2E/6EI一匕0尸尸P%06EI4E106EI"Z22EI一%I211,ハEA00EA00%—0\2EI6EI12£76£7一ド井,■1尸0'I2v2—016EI2EI6E14E1r用2ノI210尸1J9丿(!)，EA00EA~~0012E/6EI\2EI6EI(2)0P7~0戸1r06EI4EI6EI2El_(3)T/0~7~1ア=EAEA(4)-0000\2El6EI\2EI6El(5)00,ドI3I2/A\6EI2EI6EI4El（〇）01ド/0/其中・就是局部坐标系下单元刚度矩阵,即为1.单元刚度矩阵的性质

115(1)单元刚度系数的意义:え二ワ代表单元杆端第6个位移分量等于1时所引起的第⑴个杆端カ分量'、的值。(2)〒是对称矩阵,即ル⑴0)丨デ丨=013)一般单元的モ’是奇异矩阵,即3.特殊单元的刚度矩阵(1)梁单元通常忽略轴向变形。(2)根据刚度矩阵,由一般单元生成梁单元。即去掉位移分量为零的相应行和列。/4E/2E1刚度方程为单元刚度矩阵4El2EI]~T~Tk'=2EI4EI三、单元刚度矩阵（整体坐标系）1.单元坐标转换矩阵分析在不同坐标系下各单元杆端力的关系,根据图9-1-3杆端力的表示,有下列关系

116陷=KN（）sa+KanaRi=-F^|sina+FJjCosaに2=/\2cosa+Kzsinot耳2=ーダ2sina+62,）sa=/W；图9-1-3可写成矩阵形式

117(ム］£r'cosasina0-sinacosa0001000)000000‘し、‘尸“心ハ、な,000000、〇00cosasina0-sinacosa00〇1ノFaド"、%，cosasina0：000一sinacosa0，000001000/:.000cosasina0000*一sinacosa0000001简写成戸=だ’,式中T为单元坐标转换矩阵,即注意:T为正交矩阵,即T'=/\K=T'Ko同理,可以求出单元杆端位移在两种坐标系中的转换关系。设局部坐标系中单元杆端位移列阵为ユ',整体坐标系中单元杆端位移列阵为A,则1.整体坐标系中的单元刚度矩阵(1)整体坐标系下的刚度方程为ド'=〃4'；

118(2)局部坐标系下的刚度方程为ド=KA"；(3)由上述关系和单元坐标系的变换,可求出A'=ブた7。1.ピ的性质(与エ’相类似)(1)ん"⑺代表单元杆端第⑴个位移分量等于1时所引起的第⑴个杆端カ分量;(2)た’是对称矩阵;(3)一般单元的ピ是奇异矩阵。四、连续梁的整体刚度矩阵1.传统位移法(1)对于图9-1-4(a)所示的连续梁,位移法基本体系如图9-1-4(b)所示。图9-1-4(2)根据每个结点位移对附加约束上的约束力｛F｝的贡献大小进行叠加。如图9-1-5(a)〜(c)所示。

119图9-1-5(3)所得结点カ偶耳、ド:、鸟如下记为

120KA上式称为整体刚度方程。/4»,2110ヽK=2レ4,；+4厶2»,、02%4Gノ其中称为整体刚度矩阵。1.单元集成法的力学模型和基本概念(1)如图9-1-6(a)、(b)所示,分别考虑每个单元对｛F｝的单独贡献,整体刚度矩阵由单元直接集成。

121图9-1-6(2)KT是单元①的贡献矩阵,Kエ是单元②的贡献矩阵,可得整体刚度矩阵K为K=K'+K1=ヽKkr丄记」・(3)单元集成法求整体刚度矩阵步骤为3.按照单元定位向量由ピ求K'(1)两种编码:总码和局部码;(2)两种编码(总码、局部码)之间的对应关系由单元定位向量来表示；

122(3)由单元刚度矩阵ビ得出单元贡献矩阵K’。3.单元集成法的实施方案(1)将K置零,得K=0；(2)将k①的元素在K中按1①定位并进行累加,得K=K①；(3)将k②的元素在K中按】②定位并进行累加,得K=K①+K②：(4)按此作法对所有单元循环一遍,最后即得整体刚度矩阵ー〇4.整体刚度矩阵的性质(1)整体刚度系数的意义:跖称为整体刚度系数,它表示当第j个结点位移分量D=1(其余D=0)时产生的第i个结点カE；(2)K是对称矩阵;(3)由反问题的性质来确定K是否可逆;(4)K是稀疏矩阵和带状矩阵。五、刚架的整体刚度矩阵1.结点位移分量的统ー编码ーー总码(1)每个结点位移的编码按u、v、e顺序，逐个结点给以统ー编码。(2)采用如下规定:对于已知为零的结点位移分量,其总码均编为〇。2.单元定位向量单元定位向量上就是由单元结点位移总码组成的向量。3.单元集成过程根据单元定位向量脑及其换码关系,将单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中定位并与前阶段结果累加,按此方法对所有的单元实施一次,即得到整体单元刚度矩阵K。4.较结点的处理（1）考虑结点位移分量的统ー编码,较结点处的两杆杆端结点应看作半独立的两个结点,它们的线位移相同,角位移不同,因此线位移采用同码,角位移则采用异码;（2）考虑单元定位向量。

123六、等效结点荷载向量心+ド产01.矩阵位移法基本方程为当荷载单独作用时在基本结构中引起的节点约束カ。2.等效结点荷载向量（1）原结构荷载有多种样式,可以是非结点荷载、结点荷载或者二者的结合。为了方便计算,将不同荷载依据"等效原则”都转化成结点荷载。（2）等效原则要求两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束カ。3.按单元集成法求整体结构的等效结点荷载向量（1）单元的等效结点荷载向量り（局部坐标系）戸=-F；其中ダ为固端约束力向量。（2）单元的等效结点荷载向量P。（整体坐标系）现在考虑整体坐标系,由转换公式，得

124(3)整体结构的等效结点荷载向量P依次将每个尸中的元素按单元定位向量人在P中进行定位并累加,最后即得到P。七、矩阵位移法的计算步骤—1.整理原始数据,进行局部编码和总体编码;2.求出局部坐标系下的单元刚度矩阵后’；3.求出整体坐标系下的单元刚度矩阵ビ;4.用单元集成法形成整体刚度矩阵K；5.由局部坐标系下的戸‘ー单元等效结点荷载ドー整体等效结点荷载ア;6.解方程心二?，求出结点位移△;7.求各杆的杆端内力戸‘，即ド’=*▲'+尸;。ハ.桁架及组合结构的矩阵位移法1.桁架(1)桁架单元的局部坐标系如图9-1-7所示

1251.组合结构计算组合结构时,先区分梁式杆和链杆:(1)对梁式杆,采用一般单元的单元刚度方程及相应的计算公式;(2)对链杆，采用桁架单元的单元刚度方程及相应的计算公式。

1269.2课后习题详解A/|=50kNmム/、h=ii9-!试计算图9-2-1所示连续梁的结点转角和杆端弯矩。9-2-2所示。图9-2-2（2）单元刚度矩阵和定位向量分别为0112プ=户2ッ。,プイ罰2\1〔2し4，J112ム4，ノ2（3）整体刚度矩阵根据单元刚度矩阵和定位向量,依次将各个元素"对号入座”,即〇不需要编入整体刚度中。图9-2-1解:（1）根据题意,有两个结点位移分量,即ユ=（耳乂）,;单元编号和结点编号如图A/）=50kN•m叫~~”ラドエ

1274，］+4，］2，］8，14，12，1（4）等效结点荷载向量-（0°）原始结点荷载,在1点有顺时针的集中力偶,则心=尸（5）基本方程C飲:）吋）0=解得50ヽ257し丿（6）结点位移单元①:叫»,0ヽ50畠

128单元②:/50\元25「"丿（7）杆端弯矩50ヽ7ム2521.430^=10kN/m6m5SHSBBISSHS②，2=ハ6m9-2试计算图9-2-3所示连续梁的结点转角和杆端弯矩。图9-2-3解:（1）编码过程较为简单,可直接写出整体刚度矩阵⑷I+4i|\/防\ヽ2ら4112ら4iJ

129（2）非结点荷载处理戸一碎戸一环=（コ。）等效为结点荷载:1°丿1-30丿/30P=I因为局部坐标与整体坐标一致,不必进行坐标变换,所以V-30/8レ2］り(仇］—/30\\2i,4iJb2/=1-30)(3)基本方程45ゝ元75ー冗）（4）结点转角(0ヽ⑺丿45\75ー后丿（5）杆端カ

1302レ12.86kN,tn'0ヽ45同25.71NA£/=常数,/=4m9-3试用矩阵位移法计算图9-2-4所示连续梁,并画出弯矩图。チ=5kN/m^=5kN/mア图9-2-4解:（1）在A、B、C、D四点编号为。、1、2、0,直接写出整体刚度矩阵_/4i+4z：2i\_/8i2m~\2i4i+4i/~\2i8ノ（2）等效为结点荷载由0=p=一戸匕及查表得固端约束カ,得到

131/20\320I3"ノ(20\/8i2へ/仇、3\2i8儿2丿=20I3丿(3)基本方程r10ーエ10、卬丿。(4)杆端カーザト“8.89]

132图9-2-59-4图9-2-6所示为一等截面连续梁，设支座C有沉降△=0.0051。试用矩阵位移法计算内力,并画出内力图。设E=3xlO，MPa,'24m\图9-2-6解:（1）编号,只有B、C有转角,因此B、C编为1、20直接写出整体刚度矩阵（注意CD杆的刚度不同），/4ネ+4ネ2ム\令册=1.5ら/⑵2312K~\2i,4i1+4iJ\3i210i2.EI.EIム=9令、I*1.57,则

133（2）等效结点荷载由于支座沉降产生的弯矩:7〇

134寇」ー。叫所以对bc杆:ヽー0.03«|百③/0.02らI对cd杆:J\0.02i2/„P=集合得到:0.03it,0.03んー。.02h0.045ij\0.025ス丿。⑵23ら］（4］/0.045ら］3ら10ら八ル丿10.025ら丿（3）基本方擅_^M_/3.38xIO-解得UJ11.49x10-（4）杆端カ4ふ2h）102厶4tJ\3.38X10-34八2h）/3.38XIO-?2ム4iJし.49X10-34为2iz\/I.49X沢2i24iJX0104/0.845>F11.690ノ戸=（*二黨:）屮1Q4/—1.690-2.16）（0.02外=史（2.16）I9.02シ丿1X1.92/

135八東1（x10サリ单位kN-m图9-2-79-5对图9-2-8所示结构,试用单元集成法求出其整体刚度矩阵K,并列出基本方程（忽略轴向变形影响）。图9-2-8解:（a）①编号如图9-2-9所示。

136图9-2-9②单元刚度矩阵和定位向量,图中只有结点转角,与方向无关,所以不需要考虑坐标变换2北N:3Y靠1240K=4246、〇612.③整体刚度矩阵④整体荷载向量，结点荷载均是弯矩,不需要转化,则

1376e212人ル(Mハ=、0ノP=M20<124424ゝ06⑤基本方程(b)①编号如图9-2-10所小。②③“图9-2-10

138各单元的定位向量El(12+24+24)早一6书EI(-12+12)早ー峠12号0(4+4)早2早’000ヽE1(4+8+8)—-12多吟0K=对1(24+3)早ー畤ー严?ア称E1(8+4)y2号E1(4+4)y对应各个单元刚度矩阵,集合到总体刚度矩阵中得到

139r60E/6E1ーア0_24EI12ElI108EI2EI0〇02QEI112EIパ4£70对27E112EI3E1I1I1I1称12E112EI3E1~T\荷载为〇,直接列出火4二°。9-6试求图9-2-11所示连续梁的刚度矩阵K（忽略轴向变形影响）。图9-2-12

14003/12E/6EIF6E14E1F~T\2EI6EIァ戸6£72£7TT412£/06EI\一戸I206EI2El一戸13\2EI6E14eZ26EI4E10I21)(2)单元①和单元③都含有竖向结点位移,应该采用4x4的梁单元,单元②可采用2x2的梁单元,则1002/12EI6EI\2E16EI\FI2ー尸I216EI4EI6EI2EIA='1~7~10\2El6EI\2EI6EI0一Pー/P一I26EI2EI6EI4ど/21I2T)

14112EIZ16E/0012EI4EI0K=11对12016E1~~称12E1139-7试求图9-2-13所示刚架的整体刚度矩阵K（考虑轴向变形影响）。设各杆几何尺寸/=相同,1=5m,A=0.5m2,-24,E=3xlQ4MPao图9-2-13解:（1）编号,如图9-2-14所不

142图9-2-14(2)各单元的定位向量

143000i23EA0EA0T0一000\2EI6EIハ\2EI6ElI3「0I3T006E14EI06EI2EII21ア~T0EA00EA00T10\2EI6EI0\2EI6EI2p'Tド1員06El2EI6EI4EI3T10I2T123000EA00EA0へ\.01012EI6EI012EI6EIeTI3T~26El4EI06EI2El0/—----I213EA0EA00-T0T00\2EI"I36EI~T0\2EII3SEI~7~06El2EI06A.74EI00TTプT丿

144A'K=(4)213"y00n\2El6E1uハーハrrn6EI4EI°~TT000-y00ヽn\2El6Eluーニー,「I26EI2EI7~~r213EA-y00n\2EI6EI(J-,■p-ハ6EI2EI1°アア(EAE\\2KIハl+7+「0c12£/\2E10,+,rrー券0II整体刚度矩阵PAy00ハX2E16E1Uハq「I2n6EI4EI°TTJ6EIゝ+y0=IO4/AAハEl(4+4+4)—ノノ000[6120x0324ゝ・300-30]0300ノ9-8在上题的刚架中,设在单元①上作用向下的均布荷载q=4.8kN/m。试求刚架内力,并画出内力图。解:（1）等效结点荷载题9-7中已经求得了整体刚度矩阵,只需求结点荷载即可。

145<6120IO4x0324ゝ・300(2)基本方程组0)12—10ノ解得结点位移-0.00164>0.03704-0.03350ノ0]0120100=一瑶=01122.—103

14630000-3000〇)(0)(0\01230〇-12300-120301000-30...竺.......O.....-10-300003000〇-0.0016400-12-30012-300.03704-12030500-30100\1-0.03350J110)/0.493kN\T3.449kN-12.786kN•in-0.493kN'-10.551kNゝ5.539kN,tnノF2=<3000001230030100-30000\0-12300-3050(-0.00164)0.03704-0.03350(-0.493kN\-0.560kN-2.239kN-in-300000-12-30、〇305030000012-300-30100丿卜0.493kN0.560kNゝ-0.564kN,inノ单元③的局部坐标系与整体坐标系不一致,按照定位向量调换位移次序,将其与局部坐(30000012-300-30100-3000〇、0-12-3003050(0.03704)-0.00164-0.03350—(11.112kN\0.985kN-3.301kN•in-300000-1230<0-30503000001230030100；00ゝ0，-II.H2kN-0.985kNゝ-1.627kN•inノ标系下的刚度矩阵相乘,则有

147A/ffl（中位:kN•m）ル图（单位:kN）戶n图（単位:kN）图9-2-159-9试写出图9-2-16所示刚架在荷载作用下的位移法基本方程（考虑轴向变形影响）。设各杆的E、A、I为常数。

148图9-2-16解:(1)编号如图9-2-17所示。图9-2-17

149ス①=0,0012.3,,A®=4,2300,0,,ス③=r0,0012、3000123/EA00EA0へ、31—03100幽2EI04EI2EI9尸3尸連31202EI4E1ハ2EI2EI03l231()プ310ゼ=kv二EA00EA00137310_4旦J2EI-7"04EI_2E[291'3129/31202EI2EI02E!4A73k3/231プ3/)（3）单元刚度矩阵

150123000(EA2100i*■EA2100ヽ103E72/33Eli2ri03El~2-3El~2?2ェ2-L203坦2尸2EIiIi03EI~2l2ElT3K—K一EA"2700iEA~2l00003E/一2-3E/i~2l2；03EI2户3EI~2l20013E72/2EIT：03El'2122EI1)0单元③需要进行坐标变换

151(2EA51002EA510096£7125-24坦25尸096EI-125/还ー024£725/2迴51024£7一25尸K一2EA~51002EA510096EI_2AE[一25『096環125/30V24步25124EI~51024£/~25/2对单元③，=矩阵为故si"%=-0.8,COS以3024£725戸4EI歹024EI一25/8坦歹丿0.6变化

152(3~5。いr2!I0i4i"5:0根据编码可知,单元③的矩阵中只需要右下角的3x3阵列需要集合进整体刚度矩阵,因此只计算这一部分即可,则单元③的刚度矩阵为123[0.144”+0.492乌ー0.192毕+0.369夕ー0.76821]II3I尸I21FAF/F3pipi-0.192早+0.369粤0.256早+0.276答ー0.576与2II3II3I2-0.768累ー0.57631.6?3(0.977竺+0.492夕-0.192竺+0.369--0.768II3II3I2

153K=对0.256早+2.221答0.257管III称4.9334\I)(5)结点荷载ク〇、「二2FP<0ノ只有一个荷载是作用在结点上的,因此直接得到(6)等效结点荷载单元①

15400P1—pレ=_瑠—00123T单元②

155对于单元③,先计算局部坐标系下的固端约束カ。将作用于杆③的カ分解为垂直于杆和沿杆方向,然后查教材表9-1的第2和第6种情形,得到杆③在局部坐标系下的固端约束カ为尸3_/4_ダr/Sダー生/—Fl\(5ハ15ハ3也5ハ3へ，3叫P*=(-0.107FP,0.92尸p,yFpZ,0.107Fp,2.08FP,-yFPZ再将上述固端约束力分解为总体坐标系中的固端约束カ，得<0ヽ③单元总厶整合得到,整体荷载矩阵

156(0.10フ傾ー5.858储,-をFpl(6)0.977竿+0.492舁1r-0.192^+0.369笄11ダノヽ-0.768二/*小、ro.IO7FP\ヌ寸EAEI0.256y+2.221y0.257%ム2=A5.858K.[6へ丿(7)基本方程称4.933斗1/ユノ4=12,2-4-9-10设图9-2-18所示刚架各杆的E、I、A相同,且I2〇试求各杆内力。

1573(0,0,0)\1(0,1,0)14507\し»2(000)R解:(1)编号,如图9-2-19〇图9-2-19定位向量ス①=(0,0,0,0,1,0ジス②=(0,0,0,0,l,0)T(2)单元刚度矩阵,取，=E1/1,则

1581242~F001242~~T~00012y67012ア6K①==陵=1x06T40__6.z21272~e~00127200012ア6_7012y__6Z06T20__6744242224242_~2~2004242000001.单元②，a=45°o则转换矩阵为

15912ア001200037230342~~3703724203_I々12ーア00127000342~F__310342~7~__3.70_342037272K②=yOTR②212)坐标转换000010―12+3&12-3&3々-12-3々ー12+3々3202尸2/22/2/,21,2/12+383a-12+34-12-3々3ル0212212ド2/21K'=/x对241空ー”丘21217012+3立!2-375-3后02/22/22112+3。3显121121称242.0

160得

1612/2（3）集成总刚度矩阵36+3返2戸△=解方程Fp/3(36+3b)EI（4）计算杆件内力单元①00i一旦タ00卜:/•ハ126iハ126r〇フア一スア丨〇0-j-4：0--j-20|71JZ1A1:v/一i\ユ一，X11U一^^00：00ドノ口ノ1-,厶（36+3々）初n126;ハ126。スーアi0戸一了L〇J6へ:ハ60—2!0——4

162Z=(0,-0.2982耳»,一0.1491FpZ,0,0.2982F„,-0.1491FPZ)T

163'42丙丘テ0000-0--0*0VLーテV£20000000--001000F„r0に/A-=7A=000a亘0（36々+6）£/22FPr（36+3丘）どノ（36&+6）占/.0.0000巨~2巨20-0-L〇0001J单元②700n3ル3°下702^2ザ。0'n3h3I21。ーラ々-0*00Fj12一号。〇rn3々3°ア・70'―ル00rハ3030戸・y0-y2h（36丘+6）以ド/（36丘+6）以.0.F-=（-0.2I09F,.,-0.0745F,.,-0.0527Kノ,0.2109ル,0.0745ら,一0.0527ドユ）,

1640.052790.0527ダメ0.1491ジメ0.149け’/0074510.074560.2982即0.2982际ヽ-O.O527Fp/01491尸p/

165ム图图9-2-2010kN5?E16ElEl20kN22E13}.5El}.5El9-11试求图9-2-21所示刚架的整体刚度矩阵、结点位移和各杆内力（忽略轴向变形）。图9-2-21解:（1）编号,如图9-2-22所示

166图9-2-22（2）各单元的定位向量（3）整体刚度矩阵根据各单元刚度矩阵和定位向量,可以集合得到整体刚度矩阵,为

167'3ElEI¥E[~2El~23El~8EI13£/El3EI3E1824888E1El3El3£/0288K二El3El3El02El2883EI3EI3EI3E13El一8一8一8一883EIElEl3El()8228ElElEI3Elハ、"/一08228E/\3EIEl3El3EI3EI8248888E/El3E/EI3EI02882E/3El3EIEl02E/2882二EI3EI3EI3El3El3EI8-888883ElEIEl3EI〇——2EIk8228/(4)基本方程(5)结点位移03E1~8~El7El~23EI~~82El

1681Ei

169A/ra（単位:kN・m）据此可求得杆端内力,做内力图如图9-2-23所示。

170いマ二[11ロI]u[II]111111[E5.00=JIIIIIIIII^IIIIIIIIIII==10.00=3r=O=々图（单位:kN）尸n图（単位kN）图9-2-239-12试求图9-2-24所示桁架各杆轴カ,设各杆フ相同。

171图9-2-24解:1.图(a)(1)编号,如图9-2-25所示。

172图9-2-25（2）各单元的定位向量‘學。t半〇,oo!oo.（3）单元刚度矩阵单元②、单元③需要进行坐标变换,变换矩阵为

173单元②、③在整体坐标系下的单元刚度矩阵为

174(3A--_,3G—―—4444万I"""'A1EA4444一Z33334444爲1万I14444(丄_A1A一■—4444臣3_爲_3_EA4444~1131A-44444_3A314444ヽ(4)整体刚度矩阵

175(竿)(4)二(心)(7)据此推算出各杆的内力,做轴カ图如图9-2-26所示图9-2-262.图（b）

176图9-2-27T、2・・••00‘〇0ス1*—••••120（2）各单元的定位向量'1'2ス①=....,X®=0¢3）单元刚度矩阵

177№=エ②=戸=心=,竽。00EA0]~T0O0EAjEA.°jT°(00：00叵_ユ~2~~2丄耳~2T731221項~2~2各单元的坐标变换矩阵:％=-3〇'％=-6(r,%=9。14=3(r

178丄瓜2~~2丄翼~2~~2用!~2~2.A!T~2!展~~2~2（4）整体刚度矩阵瓜[2~21駆22

1794EAXTEA了4Fリ_卢)1_Aツレ2ノ3丿「44)(5)基本方程

180Fp轴カ图图9-2-283.图（c）9-2-29所不。（1）编号,如图（〇〇）30编号图图9-2-29（2）各单元的定位向量

181（3）单元刚度矩阵单元坐标系下的单元刚度矩阵/10:-10、<00=00,在整体坐标系下单元①和单元⑤的刚度矩阵不变。各单元的坐标变换矩阵:も=75°,%=90°,%=45°〇cosa2一sin%sina2cosqs」ノfcosa2sin%:I

182一sina2cosa2；(JlJ2:22；巨包!22；U0!2、也I:2

183(4)整体刚度矩阵(5)基本方程

184\47为0.2357册ー0.23574R轴力图(7)据此求出杆端内力,作出各杆轴カ图如图9-2-30所示。图9-2-309-13设图9-2-31所示桁架各杆E、A相同,试求各杆轴カ。如撤去任一水平支杆,求解时会出现什么情况?图9-2-31

185

186(00)T解:(1)编号如图9-2-32所示。图9-2-32(2)各单元的定位向量(3)单元刚度矩阵长度为/的单元<10:-10\k—岑00500-1〇r1〇00:00ノ

187プ=鉀=毕イ一Rル〇;2{〇〇:000ノ长度为0，的单元单元②、单元④不需要坐标转化,单元①、单元③坐标变换比较简单,可直接转化得到。单元⑤、单元⑥中,生=-45'生=45ニ则转换矩阵为

188空・fo1±2&oEA44'00一]遅4+ノ2(4)整体刚度矩阵,根据单元刚度矩阵和定位向量,集合得到

18904+匹也44"EA44T斉0〇40-1g（6）基本方程一1迎444~ノ2aムA=ムA解得结点位移1.3267,2.2510p?i一0.6732EAゝ2.5778

190da89rslco-0.6732尸p轴カ图图9-2-33（8）撤去任一水平支杆,刚度矩阵变为奇异矩阵,无法求解。9-14试求图9-2-34所示特殊单元的单元刚度矩阵ん（忽略轴向变形）。图9-2-34解:（a）由于忽略轴向变形,单元的自由度为2,编号如图9-2-35所示。

191J1ベ1图9-2-35ん1=12EI/13,ん,=4EI/l,ん2=^2iニ卑根据位移法求各刚度系数

192(12EI6E/\(⑵-/f.广ル二-6EI4E76i1I21)It所以单元刚度矩阵为X;L5(b)忽略轴向变形,单元自由度为2,6£>4iJ7编号如图9-2-36所示。

193图9-2-36根据位移法求出各刚度系数为;4£7.12EI;z6A74A76EI6Eハ12EI4;6/6ハI12;故单元刚度矩阵为9-15试求图9-2-37所示结构的整体刚度矩阵K（忽略轴向变形）。弹性支座刚度为匕图9-2-37解:（1）编号如图9-2-38所示。

194图9-2-380012f\2E16EIT\2E!6EIkI2（2）各单元刚度矩阵6EI：\2EI6E1\ア,尸戸4E/；6E/2E1Fi~T-F6E/：12E16E/T:アV2EI：6/：/4/-：/~Fi~T~Fo012

1951230(\2El6EI\2EI6EIヽeI2一I3I26EI4EISEI2EII2I一FI\2EI6EI\2El6EI-I3I2I36EI2EI6EI4E1kI2/—F~j12301k'=(A)1(3)整体刚度矩阵K=012iLi2o8i6i

196\2iiア6iー了12iT」根据各单元刚度矩阵和定位向量,集合成整体刚度矩阵为

1979.3名校考研真题详解ー、填空题1.图9-3-1所示平面刚架缩减后的总刚度矩阵的阶数为。［中南大学2011研］图9-3-1【答案】6【解析】总刚度矩阵的阶数就是位移未知量的个数,本题为6个。矩阵位移法中,若题目未说明是否忽略轴向变形,通常的做法是刚架考虑轴向变形,多跨连续梁忽略轴向变形。2.刚架受如图9-3-2（a）所示荷载,试回答:（1）忽略杆件轴向变形,用位移法求解时最少有个未知量。考虑杆件轴向变形,用矩阵位移法求解时未知量有个;（2）用矩阵位移法后处理法求解时,原始总刚度矩阵为阶,处理完位移边界条件后结构刚度矩阵为阶;（3）试写出矩阵位移法求解时的荷载矩阵。［同济大学2010研］【答案】（1）3；7(2)12；7（3）0=（31.56-1.51.50-1.5），（弯矩假设沿杆端顺时针为正）

1983kE/Nぎ图9-3-2【解析】(1)用位移法和矩阵位移法的基本未知量分别见图9-3-2(b)、(c),注意本题的坐标系x轴向下,位移编号顺序是先x轴后y轴。(2)用后处理法求解时,先不考虑位移条件,按每个结点均有三个未知量考虑,形成原始刚度矩阵,共12阶;考虑位移边界条件后,将位移为零的行和列划掉,剩下的刚度矩阵有7阶。(3)单元编号和方向如图9-3-2(c)所示,①、③单元局部坐标系方向最好假设为与整体坐标系一致，这样便不需坐标变换。②单元需要坐标变换，由于是逆时针坐标系,a规定从整体坐标系x轴至局部坐标系刀轴逆时针旋转为正,即a=90。。原题未给出转角和弯矩的正方向,可自行假设(需要作出说明),本题假设为顺时针。①、②单元的杆端カ分别见图9-3-2(d)、(e)〇还应注意，写单元定位向量时,应按整体坐标系先写x方向，再写y方向,即

1991.50-1.5)t0-1.5kN•m)TPl=-F^=-(0-630-6-3)T=(06-3063)TA11=(23400l)TP2=ー尸;=-(01.5-1.501.51.5)t=(0-1.51.50-1.5-1.5)t1〇-10000\，〇）(1.5)仔）100000-1.503P:=T1P2=0010001.5一1.5,入ー'=40000-I001.55000100-1.506ゝ〇0000しゝ-1.5ノゝ-1.5ノノノ尸=（306-3000）T+（01.501.5=（3kN-m1.5kN6kN-1.5kN-m1.5kN将各单元等效结点荷载集成后形成结构的结点荷载列阵为二、判断题1.结构刚度矩阵与结点位移编号方式无关。（）［湖南大学2005研］【答案】错【解析】结点编号方式对位移计算结果无影响,但对结构刚度矩阵中各元素的位置有影响。2.矩阵位移法只能计算超静定结构,不能计算静定结构。（）［中南大学2012研］【答案】错【解析】矩阵位移法和位移法的原理相同,都是增加约束的方法,可以计算静定结构。三、计算题1.求出图9-3-3所示梁的整体刚度方程。［华中科技大学2010研］

200「12E/6A7\2EI6EI1I)r2一!?r26A74EI6EI2El1=k2=F~T—"y~L\2E16EI\2EI6EIL3—L3一-r6E12EI6EI4£7.FTア~LJ解:单元1和单元2的单元刚度矩阵是相同的,即バ=(0012)t各单元定位向量为集成得到整体刚度矩阵为

20124ド/0\2El6El~1TL31/08EI6EI2EILr2~L\2EI6EI\2El6EIーグ1}厶3-1:6EI2EI6E14EIL2LL2L一kv/整体刚度方程为:【勺【»=仍］其中2.用前处理法建立图9-3-4(a)所示结构总刚度方程(忽略轴向变形)。［海南大学2012研］图9-3-4(a)(b)

202解:单元编号及结点位移分量编码如图9-3-4(b)所示。由于不计轴向变形,故单元③只有转角未知量,用前处理法取2x2阶的单元刚度矩阵4i2r=l2i4i..II2.单元①、单元②的局部坐标系与整体坐标系一致，不需坐标变换,取单元刚度矩阵为单元定位向量为:人‘=[0!]T,A®=[12]T,A®=[13]To按照单元定位向量,依次将各单元刚度矩阵中的元素在[K]中定位并累加,最后得到整体4/+4/4-4Z6/6/12/；22i12/6/2/02/4/2/04/刚度[K]如下等效结点荷载:尸=1か3め1;整体刚度方程为:心=尸，即

203\2i6i2i2005研](a)3.用矩阵位移法计算图9-3-5(a)所示桁架,求①杆内力,EA为常量。［武汉大学图9-3-5解:根据题意,可知有两个位移未知量，分别是2结点的水平位移和竖向位移,各单元的方向如图9-3-5(b)所示。局部坐标系中的单元刚度矩阵为■10—10'-10—10-1'=デ=空a0000,k2EA0000—1010y/2a—1010[0000..0000.

204•1100"■0100"5ゝ1-1100-1000T2=—プ;豆00110001.00-1L.00-10.单元②a=衣_だ4«单元③2.坐标转换矩阵为单元②、单元③需要坐标变换,但由于每个单元只有一端有位移未知量,故坐标变换时取2x2阶（后两行、后两列）的单元刚度矩阵简化计算。即腔、単［I0单元①也取2x2阶单元刚度矩阵,即«1〇0.各单元的定位向量为:入'=人ー’=入'=（12）］按照单元定位向量,依次将各单元刚度矩阵中的元素在［K］中定位并累加,最后得到+2722及12721+—2V2EA1.3540.3540.3541.354f20］尸=〈＞等效结点荷载为:'0J

205EA1.3540.3540.3541.3542015.85-4.145EA列基本方程■10プ二［可H=空00-10,00-10—10-15.85kN'EA000〇。a0V—1010I15.85►—=イEA15.85kN,.0000J1-4.145.0,单元①的杆端カ①杆内力值如图9-3-5(b)所示。4.试建立图9-3-6(a)所示结构的结构刚度矩阵(忽略轴向变形)。R胡南大学2011研］

206图9-3-6解:本题未规定坐标系以及结点、单元编号等,可自行确定,见图9-3-6(b)〇其中:①单元只有转角未知量,可取2x2的特殊单元刚度矩阵,不需坐标变换;单元②、③局部坐标系与整体一致,也不需要坐标变换,可以取特殊单元刚度矩阵;④单元将局部坐标系方向假设为与整体y轴方向相反，在忽略轴向变形时也不需要坐标变换,取4x4的单元刚度矩阵。则

20712A76A712£76A7ヽI3I2戸/26A74A76也72EIH)\TTア1,A1~412/：/6/：/12/：/6A75I3.アP、〇」6A72EI6A74El1VT~ア集成后的结构总刚度矩阵

208(_12”/\2EIe4EI00I2A736EI6A76A7I2「ア()4EI6A.712EI2KI1I211()6EI2EI8£76EI07"11产6EI\2EI0卜001,5.考虑弯曲变形和轴向变形,试按先处理法写出9-3-7（a）所示结构的结点总荷载列阵P。［华南理工大学2013研、北京工业大学2010研］图9-3-7解:本题有六个结点位移未知量,结点荷载列阵有六个元素,各单元和结点位移编号见图9-3-7（b）〇先求非结点荷载引起的等效结点荷载（在此应注意每个单元均为两端固定），③单元需要坐标变换（本题考虑轴向变形,不能用简便方法），a=90。（逆时针坐标系，a逆时针旋转为正）,则

209F1=一理=-（。号［。4ぐ）,入D-(102345)严山=-Fp=-（。ヨ*。4T，,人>(345060)戸=-F®=-（。号堂。田崎/0)fqly_uL2(0-10()0〇、20100000ー式ーせ/),=プ7»1=0010008一80000-100uL000100一せ2、〇0000し20ピ武18丿18丿45)将各单元结点荷载按照单元定位向量进行集成,再直接加上结点荷载,得该结构的结点总p=p,:+几=(。"I：frfヰヽ+(0ql20-2ql00)=(°普f7f-f)r荷载列阵6.图9-3-8（a）所示结构用矩阵位移法计算,其原始刚度矩阵是多少阶?试求结点2和3的综合结点荷载列阵。［中南大学2012研］

2103kN/m2(4.5.6)4(10.11.12)6(16.17.18)图9-3-8解:（1）根据题意,先不考虑位移边界条件,共6个结点,每个结点有3个未知量,故原始刚度矩阵是3x6=18阶。（2）求结点2和3的综合结点荷载列阵。首先编号,见图9-3-8（b）,再求出相关单元的等效结点荷载，①、②单元需要坐标变P'=户2=ー尸;=P'=P1=P1=-jP'=p2=T'p1=A'=(1234-(022=-(0(<0-1010000102-2))406\0T-4)T<0\(2ヽ-20-2-20k56)t,A0-10J00001；25=(7890~2-20ゝ2ノ、2ノ101112)t,换，a=90°,则A1=(456101112)t将①、④单元的等效结点荷载按单元定位向量集成后,得结点2的综合结点荷载列阵

211P?=(2kN-6kN-2kN-m)P,=(2kN0-2kN•m)T②单元的等效结点荷载按单元定位向量集成后,得结点3的综合结点荷载列阵1相同，不计轴向变形。已求得图9-3-9A(a)结构的结点位移列阵为旦:太96EI192Z7(按结点2、3、4的顺序)。试求图9-3-9(a)、(b)两结构1端的竖向反力和反弯矩。［浙江大学2011研］6.图9-3-9(a)、(b)所示两结构,各杆EI、图9-3-9解:依据题意可知,题设给出了图9-3-9(a)的结点位移,没有给出图9-3-9(b)的结点位移,故需要根据图9-3-9(a)确定。两图之间2结点的转角是存在一定关系的，这可以由力矩分配法的原理分析，见图9-3-9(c),均布荷载下等效到2结点的カ偶为q〃12,引起的转角为ql3/96EI(逆时针)(已知),而图9-3-9(b)中的结点力偶是qlz(顺时针)，则其引起的2结点转角应为96EI8£T两结构的杆端力求解如下(假设12杆的编号为①单元)

212f12"6El12EI6EI\尸I2I3I2/0ヽ6EI4El6EI2EI0ア1下1圮=k'ネ!+元,=0+12£76EI12£/6EI一PpP一qド\96EI)6EI2EI6EI4EI~T1~TJ(1)图9-3-9(a)中见2武12並2也一12J皿16V48並16其中1端的竖向反カ为9ql/16（方向向上）,反カ矩为5q〃48（逆时针）。(\2EI6EII26EI4EI一ー-T1F：=k；A'.=\2EI6El一Z36E/2ElII2I(2)图9-3-9(b)中\2EI6EI\f3ql\PI2/0\-46EI~~T2EI00ー式4\2EI6EI3ql.I_nL46EI4EIISEI)ーピI2/丿I2)其中1端的竖向反カ为3ql/4（方向向下）,反カ矩为qlz/4（顺时针）。6.用矩阵位移法计算图9-3-10（a）所示结构,并作弯矩图。设各杆的轴向变形不计,E1相同,为常数。［重庆大学2012研］

213195kN/m图9-3-10解:本题有三个结点转角未知量,单元、结点位移编号等见图9-3-10(b)〇由于每个单元只有转角位移,可以只取2x2的特殊单元刚度矩阵,不需要坐标变换。先列出用整体矩阵方程:其中整体刚度矩阵为3阶。再对各单元分析,写出/4£//52El/5\,t,/EIEI/2\\2El/54E//5)'"(e//2EI/单元刚度矩阵、单元定位向量和单元等效结点荷载

2149EI/50EI/2K=0EI0EI/202EI.将各单元刚度矩阵集成形成整体刚度矩阵将各单元等效结点荷载集成并加上结点荷载，形成综合结点荷载列阵

215代入整体刚度方程求解得:最后求各单元的杆端弯矩ァ=心ア+砕=(斤2=アエZ+户:=(戸=kス③+岸=(产“に④”用\El/2»=10/El,4=-6/E/«ム=4/E/o4EI/52EI/5\I0\/-6\_/-2\2EI/54£〃5八10/E力+\6/14/E，Eレ2\（0）+（『二「9）E//2EI）\-6/E//\6/\0/ElEI/2\/\0/EI\/-26\_/-14\EI/2El）\4/£7丿*[26丿ー[35丿El/2\i0\_/2\EI]WEI）=\4/结构弯矩图如图9-3-10(c)所示。

216第10章结构动カ计算基础10.1复习笔记ー、动カ计算的特点和动カ自由度1.结构动カ计算的特点（1）静カ荷载与动カ荷载的区别①“静カ荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载,由它所引起的内力和变形都是确定的;②"动カ荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载,由它所引起的内力和变形都是时间的函数。（2）动カ计算与静カ计算的联系和区别①联系:根据达朗贝尔原理,动カ计算问题可以转化为静カ平衡问题;两者都是建立平衡方程。②区别:在动カ计算中,利用动静法,建立的是ー种动平衡。其中力系包含惯性カ,考虑的是瞬间平衡,荷载、内力都是时间的函数。2.动カ荷载的分类（1）周期荷载荷载随时间作周期性变化。①简谐荷载：荷载随时间按正弦或余弦函数变化。②非简谐荷载：除简谐荷载外的其他周期荷载。（2）冲击荷载荷载值在短时内剧增或剧减。（3）随机荷载荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。3.动カ计算中体系的自由度(1)自由度的定义

217确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需确定的独立几何参数的个数称为体系的"自由度”。(2)简化方法①集中质量法把连续分布的质量集中为几个质点,此时就将无限自由度的问题简化成有限自由度的问题。②广义坐标法用ー组待定参数确定的形函数,来表示全部质量的位置,此时待定参数的个数就是体系的自由度数。③有限元法把结构分为若干个单元,每个单元内用广义坐标及其形函数表示。有限元法综合了集中质量法和广义坐标法。二、单自由度体系的自由振动1.自由振动微分方程的建立(1)应用原理达朗贝尔原理。(2)应用条件①微幅振动(线性微分方程)；②忽略振动过程中受到的阻カ。

218图10-1-1(3)应用方法①刚度法研究作用于被隔离的质量上的力,建立平衡方程这里从受カ平衡的角度建立微分方程,引用了刚度系数,称“刚度法"。②柔度法研究结构上质点的位移,建立位移协调方程y=Fx8=(-my)8这里从位移协调的角度建立微分方程,引用了柔度系数,称“柔度法”。注:刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。1.自由振动微分方程的解做自由振动微分方程的解为y（t）=«sin（（ot+a）

2192"❶03[k“=vn+-.a=Ian.

220②T与m的平方根成正比,与k的平方根成反比,据此可改变结构的自振周期;③T是结构动カ性能的重要数量标志,反映着结构的动カ特性。三、单自由度体系的强迫振动1.简谐荷载下的动カ反应和共振现象(b)ymy如图10-1-2所示单自由度体系的振动模型,质量为m,弹簧的刚度系数为k图10-1-2(1)简谐荷载AP(/)—例，ド•〜(2)运动方程(3)求解方程

221Hy(/)=ア.,r(sin例ー-s

222a)l).fT(o1——ra)~（4）振动的合成①按荷载频率0振动;②按自振频率3振动。（5）阶段划分由于阻尼的存在,振动过程会分为两个阶段:①过渡阶段:振动开始两种振动同时存在的阶段;②平稳阶段:后来只按荷载频率振动的阶段。a.任意时刻位移y（/）=>„7sin例1上12oT=アイb.最大位移（振幅）がU)~c.动カ系数。（最大动位移与最大静位移的比值）

223注:过渡阶段延续的时间较短,因此主要考虑平稳阶段。图10-L3①当とー/时・夕”,荷载变化得很慢,可当作静荷载处理;“a②当〇<£<1时,6>|,并且随，的增大而增大;③当:。“的,।例ー，即当荷载频率接近于自振频率时,振幅会无限增大,称为“共振",通常把。.75〈エ（1.25称为共振区:02④当行时,。的绝对值随二的增大而减小。1.一般动カ荷载下的动カ反应ーー杜哈梅积分（1）瞬时冲量的动カ反应

224体系在r=0时处于静止状态,假设ー个瞬时冲量S作用,体系将产生一个初速度”=晟,则v(t)=sinormcoFp(r)FM(2)一般动カ荷载下的动カ反应图10-1-4在图10-1-4中,整个时间段t积分为>3=—[r^(r)sin的ー加工此积分称为杜哈梅积分,这就是初始静止状态的单自由度体系在任意动カ荷载下的位移公式。如初始位移线和初始速度必不为零，则总位移应为y(/)=+-sina>/+I/*\(t)sina>(/-t)

225①定义体系原处于静止状态,在t=0时,突然加上荷载Fp。,并一直作用在结构上。这种荷载称为突加荷载。②表达式y(/)=(1-(<)s£o/)3动カ位移式中、"，〃0?n，,表示在静力荷载Fp。作用下所产生的静位移。④动カ系数(2)短时荷载①定义短时荷载是指荷载Fp。在时刻t=0突然加上,在OVtVu时段内,荷载数值保持不变,在时刻t=u以后荷载又突然消失。②表达式

226f（）.t<0/1,p（/）="ゝ."iou,九（（1一"zw）,（）W/W“バ）=，c.3".Iu\,ヽy„xZsm-y>in

227s

228u）t（〇yy+（o：v=0式中‘2，"3,C为粘滞阻尼系数。（1）时的情况体系在自由反应中会引起振动。

229/ヽ％+触〇,ヽy(t)=e(y0rosa)rt+sm(or/)3r①振动方程的解式中3,-COvI-ペ。②相邻1个周期的阻尼比,1%]九F-In2行3九.IIn—式中“ハ称为振幅的对数递减率。(2)ず=1时的情况①振动方程的解y=[Jo(1+3ハ+vot'e-"②临界阻尼常数a.定义体系在自由反应中不再引起振动,这时的阻尼常数为临界阻尼常数。b.表达式c,=2ma=2y/mk一其中阻尼比へ。(3)ぐ＞1时的情况体系在自由反应中仍不出现振动现象。

2303.有阻尼单自由度体系的强迫振动(1)突加荷载スv(t)=—&1-e'^'(cosのイ--sina)rt)かびL以动カ位移为(2)简谐荷载5>S=Fsin仍①微分方程为y+=—sin8y(t)=ピ軻(G(:osのイ+GS山口イ)}+{メsin8,+3cos因②方程的全解为式中A和B分别为I_ドM__tf'-in(メーザ)2+4；%守Bー丄_2ざg『-m(よーガ尸+4ど%ユび(3)结论叱ヒ・@由ア丿丁之间的关系曲线图和以上的讨论,可得以下几点:①8《①体系振动很慢,动荷载主要与弹性カ平衡;

231②ウ》・ル体系振动很快,动荷载主要与惯性カ平衡;③"=3体系共振情况,动荷载主要与阻尼カ相平衡。图10-1-5五、双自由度体系的自由振动1.刚度法（1）自由振动微分方程

232叫タ0+ん历（，）+ん2力⑺=°m2y2（t）+%ア1（。）+%，2（，）二。yt（/）=匕sin（a>/+a）y2（z）=y2sin（（0Z+a）（2）方程解的形式上式所表示的运动具有以下特点:①在振动过程中,两个质点具有相同的频率3和相同的相位角a,K和B是位移幅值;②在振动过程中,两个质点的位移在数值上随时间而变化,但二者的比值始终保持不变。ハ=卜"巧坛=0（3）特征方程（频率方程）（4）主振型①定义结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型。=—ルム1ー旺叫②第一振型（基本振型）③第二振型

233二—%左1一小也y,(/)=4jynsin()+A:Kl2sin(a)2t+a2),レy2(t)=K2Jsin(cUjt+aj)+A2Y22s

234(a>2t+a2)(5)微分方程全解其中两对待定常数し、«!和ム、出可由初始条件来确定。(6)双自由度体系(或多自由度体系)自由振动问题①在双(或多)自由度体系自由振动问题中,主要问题是确定体系的全部自振频率及其相应的主振型;②双(或多)自由度体系的自振频率不止ー个,其个数与自由度的个数相等。自振频率可由特征方程求出;③每个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自由度体系能够按单自由度振动时所具有的特定形式；④与单自由度体系相同,多自由度体系的自振频率和主振型也是体系本身的固有性质。1.柔度法%(£)=ー〃［げ1(り3"ー〃セy2(，ガ12y2(0=ー〃?げ0お21ー〃?バ2(ノ)&，(1)柔度法的方程

235%(/)二丫パ以col+a)y2(t)=丫2点】(cot+a)(3)特征方程(频率方程)(4)第一振型る呵ー茯(5)第二振型1.主振型的正交性两个主振型之间存在的第一个正交关系叫几ん+セらハ，=0六、双自由度体系在简谐荷载下的强迫振动I.刚度法

236m30+ん，（，）+储2ア2（，）=（，）］小2デ2（，）+ら>1（，）+ん22>2（，）=Fp2（り］与自由振动相比,只多了荷载项る（ウ、れ（り,解法过程跟自由振动相似。（2）位移的幅值ァーりー。:I-」,-D、=（k*-ザa）En一七J/式中,。0=（对ーダ旳心ーダ%）ーた内ID1=ーも/十（勺1一タ飞）&2〇2.柔度法（1）振动方程ァ［（，）=ー四％（ハ苗］一"セy2（,）312+4Wオ】例.>）2（1）=一ノ〃1丫1（りお?1ー〃セダ2（ハあ22+AzpSin仇.

237D_Tipム叱ダ*72P3Mm,夕ー1)つ。式中,（可产ザー1）ら叼ダ.旳ダ（ら旳ダ-1）D：=（も网8—1）（-A1P）ら叫ブ（f注:当荷载频率9与任一个自振频率い、g相等时,则D°=0。当DハDユ不全为零时,位移幅值将趋于无限大,即出现共振。

23810.2课后习题详解10-!试求图10-2-1所示梁的自振周期和圆频率。设梁端有重物W=1.23kN;梁重不计,E=21xl()4MPa,I=78cnT»。ElZ=lm图1021S-JL解:用图乘法求得柔度系数"3A7.,周期为=62.57广2〃2万co=—=T0.1004自振圆频率为10-2ー块形基础,底面积A=18m"重量W=2352kN,土壤的弹性压カ系数为3000kN/nv。试求基础竖向振动时的自振频率。解:由题意知,基础的刚度系数为竖向振动时的自振频率为

239--10-3试求图10-2-2所示体系的自振频率。图10-2-2解:图示体系有一个水平自由度,则在杆顶施加一个水平的单位カ,作单位カ下的弯矩图如图10-2-3所示,图乘法得图10-2-3根据公式,自振频率为

2402ir1]IJeTロ7‘ノ砺附、"//山ヽ/3A710-4设图10-2-4所示竖杆顶端在振动开始时的初位移为0.1cm（被拉到位置/，’后放松引起振动）。试求顶端B的位移振幅、最大速度和加速度。必=0.1cm/E=2x|04MPa•/=16><104cm4图10-2-40—解:图示结构为静定结构,先求出其柔度系数3A7,则自振频率为ノ茄・一ぐ吟厂、照

241»=、’(/)=4a><*<>s((ot+a)a=,"(«)=ー』“*in(3/+a)当％=0时,B点的振幅.=>o=0・l(m,又)(ハ=Asin(w/+a),则有fnnx=0.1x/3x2x1()4xI06X16X1()4X1()-8x9.82()X1()3x333x2x1()4x1()6X16xIO4X1()-8x9.8=4.I74cm/s2()x1(),x3=174.2ciii/s20/Ci=20xl04cm4£=3xlO'MPa起。ル=20kN10-5试求图10-2-5所示排架的水平自振周期。柱的重量已简化到顶部,与屋盖重合在ー/c2=10x105cm图10-2-5解:图示结构为静定结构,易求得柔度系数,在柱顶施加一个水平的单位カ，产生弯矩图,如图10-2-6所示。

24241图10-2-6eel18-2xxx卜」a2364/-Elr2+3ル__4_104-3ドム+3と〃图乘法,进行自乘计覧,代入と、ム•厶的数据,12475=-br-tXI()-7i»/N,19x10\,A=5=12.4N/m_区®_3ーヽ,“ー、II-7ク，一―TTハ/==ハ=0io59.636141k2/11\1つ6x3xyx3+2(£7(-£7Jxyx2xlxyxlレー%)截面刚度有变化,积分时用"修补法”,得得到/9x0x9.8636卬レS12.4x2()x1031054sI

24310-6图10-2-7所示刚架跨中有集中重量W,刚架自重不计,弹性模量为E。试求竖向振1__1_H►]动时的自振频率。图10-2-7解:图中为对称结构,取半边结构进行研究。半边为一次超静定结构,用カ法求得最终的弯矩图如图!0-2-8所示。图10-2-8图乘法自乘计算,得到柔度系数为

2446=れ曲士如).1192(2j34-3n)A7g疗(8万+3〃)代入公式,得10-7试求上题图10-2-7所示刚架水平振动时的自振周期。解:把结构分成正对称和反对称两种,只需考虑反对称荷载作用,取半边结构如图10-2-9(a)所示;单位カ下的弯矩图如图!0-2-9(b)所示。(a)半边结构图图10-2-9I/P亠心I.(,ガ+2区3)“ハ12ガ6〃リーZ！;/12/?柔度系数.（AV.J2；?_）__ル3Ml\II-6VW（〃-+2ダ）\llプ（"+2p）自振频率

245T2ガ.［叫+20）I=-=in\：（〇Y12g"兀/自振周期10-8试求图10-2-10所示梁的最大竖向位移和A端弯矩幅值。已知W=l°kN,FP=2.5kN,E=2x105MPa,/=1130cm4,"=57.6s，/=150cm图10-2-10解:柔度系数/：而结构自振频率

246=44.37*”/3A7g/3x2xIO5xl()bx1130x1()x9.8W-ly~\IOxIO3xl50JxlO**レ(り］皿=タル+A”=0Fpb+W5一“2.5xl03xl503xl0-6,ヘヘ=1.459x；x1〇〇3x2xl05xl06x|130x10s+IOxIO5x3x2x105xI06x1I30xI0-8xlOO最大位移=0.181cnrH0.498cm=0.679cm动カ系数=1.459梁端的弯矩幅值此max=(0Fp+IT)/=(1.459x2.5+10)xl.5=20.47kN・m10-9设有一个单自由度的体系,其自振周期为T,所受荷载为Fp(r)"がi吟,当0GWT尸p(，)=o,当いr

247试求质点的最大位移及其出现的时间(结果用R,。、T和弹簧刚度k表示)。解:体系荷载分为两个阶段(1)体系受简谐荷载作用•

248TT〇2TTIzxcosア，-Zcos-•/+1=Uit-I±/l+4x2x1-1±3COS/==T-2x2-4利用一元二次方程求解（2）有初始位移和初始速度的自由振动（,N［）据上所述,最大位移出现在第一阶段,第二阶段的初始位移就是自由振动的幅值,不可能大于（1）中所求的最大位移。眞1=ム，综上所述，最大位移为k,出现在3时刻。10-10图10-2-11所示结构在柱顶有电动机,试求电动机转动时的最大水平位移和柱端弯矩的幅值。已知电动机和结构的重量集中于柱顶,W=20kN,电动机水平离心力的幅值EI】・i=-L=5.88x108N•cmFp=250N,电动机转速n=550r/min,柱的线刚度/Z〇

249Fp(t)=FPcos0tW-Z\f5^7〃〃〃〃〃〃〃〃〃//7,I—>oo图10-2-11解:图中结构的超静定次数较多,因此采用刚度法。结构的刚度系数最大静位移,れ后二隠詳川2が结构自振频率荷载的频率IU9H7

2502itii2x3.14x55O=57.6s*动カ系数P=—=1-=-1.375.0-.57.62ar43.8272=⑼匕=1.375x0.0064=0.0088cmぶ以最大水平位移为1/=6x5.88」1()x()(X)SX*10-i-〇52kN>mh一6x10-柱端弯矩的幅值10-11设有一个自振周期为T的单自由度体系,承受图10-2-12所示直线渐增荷载T作用。试:(a)求，二T时的振动位移值メ(丁)。(b)当キ/、プ二・j/、ア=57\7=丁=9ネ7、t=ioア、ア=10；ア时-T)l'r分别计算动位移和静位移的比值ル。静位移治=k,k为体系的刚度系数。

251(〇从以上的计算结果,可以得到怎样的结论?

252（り图10-2-12y(r)Fp(t)sino*(t-/)T)=2(I-THIO)'(0\SIIKMTCUT.SIIICOTI—\（OT/解:（a）用杜哈梅积分可知y(r)=y.1所以/sin-y-T2ttt（b）由（a）知动位移和静位移的比值为

253ヽsillery(7)/,l=IU)T对应不同的l有不同的值,如表10-2-1所示。TT中4-j-T57屮山107吋ry(『"ア.1.21210.8731.03410.96971.0心10.9M5表!0-2-1(〇计算结果表明:y(r)①当r是r的整数倍时,②当T>57’后,V.t。10-12设有一个自振周期为T的单自由度体系,承受图10-2-13所示突加荷载作用。试:(a)求任意时刻t的位移y(t)〇(b)证明:当tVO.5T时,最大位移发生在时刻t>T(即卸载后);当t>0.5T时,最大位移发生在tVr(即卸载前)。(c)当ア=().17,T=0.2r,7=0.37,,r=0.57‘时，求最大位移丫皿与静位移&义«=«的比值。(d)证明：八的最大值为2;当tV0.1T时,可按瞬时冲量计算,误差不大。

254图10-2-13解:（a）阶段,由杜哈梅积分可得!’ドア＞（，）=-A'p*iiKott-r）＜lr="、（丨-・イ，no/）=、」（I-メ）w＜o•»m3）=■■■m（oAr*iiuo（/-t*）（f-r）-<<»xtX阶段,由杜哈梅积分可得(积分上限为て)，〃ガバ“)=|”,、,所以位移(b)当2时,最大位移出现在第一阶段,此时ガ=2T当2时,最大位移

255-つ.S./Truscol=)w2sin-^-sinail/——ガ=2sin?此时所以有即当ア＜0.5ア时,最大位移发生在卸载后;当，＞0.57•时,最大位移发生在卸载前。(c)由(b)可知S=2sin——=2sinn—2T可计算得到8值如表10-2-2所示。表!0-2-2r/T0.10:0.30.560.618L1761.6182(d)由(b)可知当’2时,B2,最大可以取得ル皿＜2T当2时,所以先皿=2

256ドド.按瞬时冲量计算位移为“"=嬴テ”山,而精确解为»(/)=.»„♦2>in'-を)ゝ⑺一，"Asin

257r=20、ふーio3卜、!()X1()x2*p=104kN/mk|()7y(/)=)、(I-<-<>W)对于突加荷载=2厶=2mm则由<”ド2()底i=一I得/=—^==0.070s20751/6A76x7.2x1()736x2xIO-3=24kN-ni柱端最大弯矩为

258则画动弯矩图如图10-2-15所示。

259动M图(单位:kNm)图1021510-14某结构自由振动经过10个周期后,振幅降为原来的10%。试求结构的阻尼比・和在简谐荷载作用下共振时的动カ系数。(=~~^rlnlO=-=0.()3ハハ2ttx1020itW=In解:由•ユガ"可得当6=つ时,即共振,则時叩、か4デチ=(4デ)一:=13,6610-15通过图10-2-16所示结构做自由振动实验。用油压千斤顶使横梁产生侧向位移,当梁侧移0.49cm时,需加侧向カ90.698kN。在此初位移状态下放松横梁,经过ー个周期(7=1.40s)后,横梁最大位移仅为0.392cm。试求:(a)结构的重量W(假设重量集中于横梁上)。(b)阻尼比。

260(c)振动6周后的位移振幅。图10-2-16解:(a)利用固有频率,可以求出质量:90.6980.49x10-=18509.8kNm刚度系数振动频率。,=—=4.488radsrTf二チTn亠ユ2宣/ア*.i又因为则有

2614ガ.In3Jス.1w=W(iーざ)3,代入数据得了=8995kN,ず=0.0355。(b)由(a)已求得ナ=09355。=().1285

262,ドV+co'y=—sin”/my-7sin例=Ysin例1空12CO'其特解Fp九二丽".际其中静位移ド・，./=-mV=；sin例=ムsi】制更一］（f惯性カ

263其中,"3=尸ノ是动荷载幅值F作用下的〇点的静弯矩。所以,1点水平位移放大系数西"=-।ダ=03I0<〇点弯矩的放大系数(2)求荷载不作用在质点处的动カ系数按柔度法求解y=-inySu+Sl?F,sin例y+a>2y=:ドsin",代入上式,则

264一が｝+of>=•F所以,1点位移放大系数为〇点的弯矩放大系数'.%川=aFl,Mqm=aFl+/,/=aFl其中,所以

265ISip1Bm.o=〃ル］_近一ズ（3）①当0<31时,其动カ反应有如下特点:a.当动荷载不通过质点作用时,动荷载和惯性カ随时间变化规律相同；b.由于动荷载和惯性力不共线,所以各截面各量的放大系数不同;c.位移放大系数与内力放大系数不同。②当。1时,其特点为:a.动荷载和惯性カ随时间变化规律仍然相同；b.动荷载和惯性カ共线,所以各截面各量的放大系数相同,体系各量的放大系数也相同。10-17试求图10-2-18所示体系中弹簧支座的最大动反カ。已知如、“（#3）、，”和弹簧系に禹…ギ段3图10-2-18解:设绕B转动的转角为基本未知量,则£=シノ。（1）建立强迫振动微分方程

266・・む,3・・つ,テm国了+咻I2+6bIz=レ象/〇sin併（lx对B点取カ矩平衡ヮ〇・in，/『.3x=例（7）其中・・•9

267zゝ9,凉!Jcm.»ー尸（九）7~/IJ（2）弹簧处最大位移（0~弹簧处最大动反カ

26810-18试求图10-2-19所示梁的自振频率和主振型。图10-2-19解:图中为连续梁,按柔度法求解,作出k.丛图,如图10-2-20所示。图10-2-20图乘法求得各项柔度系数

269x±x/ー丄x丄+2x41一止[32+34)]-48£7eIIZ5/25/25/I5///25/I3/\^=£/lTXTX32XTX32XTX32+TX32XTX(TX32-TXi6)代入公式求频率15/23ハ]7p-TX32+TX^)J=768£7(b]]〃[I+522〃%)土+b”〃7ッ)—4(b]1bツッ。いお")〃，[〃[•>AL2=-=對烏+表)土缶+丽)宀あ*福+4x(ーロ)A।=0.1()667"7T»ス、=0.()0661-rrr则I卜」ー£/0代入公式求振型nil

270玩・〃Y2lc10.1602S)i--ゆ匕2612m0.1602ルーエ11如ノ〃--U)2m“Ef?'*XilnEl出L—0一斗ー0―7i212d10-19试求图!0-2-21所示刚架的自振频率和主振型。图10-2-21解:图10-2-21为静定结构,用柔度法求解,作明、丛图,如图10-2-22所示。

271图10-2-22必中。.25〃・つ0.25”•年卜陪〇Iz2ゝ0.667«30«=77：(a•a•a•—)tt;—KI3hlaa1/1ハつく“"丄Iハつく“21°・。625”必=必=風テ・0•25”•妻・す+了•0.25“・爹・プトー订-求出各项柔度系数111(品+5コ)土\/(Su+5nドーー的ヨ逐ユーME)人।.2=2=■[(0.021+0.667)±/(0.02I+0.667)2-4(0.021x0.667-O.O6251)代入公及求频率则ん=0.673詈•入ユ=0.015胃所以

2721_二i0.42-gl2-0.0625(J0.021-0.6731.222A7匕2-Sl2m-g-0.0625-10.42ル。1cT0.021-0.015r22Snm--8.,--Tー;心,18.I6'£/代入公式求振型10-20试求图10-2-23所示双跨梁的自振频率。已知l=100cm,mg=1000N,I=68.82cm”,E=2xl0sMPa=图10-2-23解:方法一:用柔度法求解,单位力作用下的弯矩图如图10-2-24所示。

273图10-2-24つ3/6,1=^=1536A73戸九=ち="512A7图乘法求各项柔度系数代入公式可得1所以100へmF07m7‘X.i=/-ヽ=48£Z,*：68£748x2x104x68.82x980ヽ,ソ==254.45$

274Cs)2=五ー,768x2xl04x68.82x9807xlOO3=384.70s-1方法二:利用对称性。原结构可以分解为单自由度的正对称振动和反对称振动,可分别取半边结构如图10-2-25所示。图10-2-25如图10-2-25(a)所示,为反对称半边结构,求解其柔度系数为°2I//2/r，=X-X-X—X—X一二1£72243448E7=254.45s-'1~1_I48E/_I48x2xI0"x68.82xI0-8,嬴ガ,1000小V9.8同理，图10-2-25(b)为正对称半边结构,求解其柔度系数为

275eIrl5//25/I5//z25/I3/.O.=X—X——X—X—X——+—X——X—X(―XX-)E12322332232233231613/+—X—X216—x(—233/1xx1637/3768£710-21试求图!0-2-26所示三跨梁的自振频率和主振型。=68.82cm4,E=2xlO，MPa。（提示:利用对称性。）ク〃=图10226I768A7768x2xIO11x68.62x1()一'r必=5Z哂77mF1000レ，x°ぶxI从而得到已知l=100cm,W=1000N,I解:图中结构㈣质量分布对称,其振型也是正对称和反对称的,分别取半边结构计算,如图10-2-27所示。图10-2-27

276(1)正对称半边结构计算单位力作用下的弯矩图,如图10-2-28所示。图10-2-28,0.016「00.023/‘。03尸5,145,2=521="320A7计算柔度系数入「0.02075%.3。.00675晉

2771…ヱ(O.==6.94k山川11クI7再めッ==12.1//仄<加所以ん如"る=-=—r2I父1ちかゆぐ一m匕2612XT1ルーづ1~223对应主振型(2)反对称半边结构计算/厶ハイ/2xIO4x68.82x980=6.94;=255sドV1003T……/2xio4x68.82x980イいT=12.17/,=447sPV10031_T单位力作用下的弯矩图,如图10-2-29所示。

27810.125/图10-2-2900.013尸兄ニーテ柔度系数11ノ〃浴”/（）.013m/3VEI自振频率为/2xlO,x68.82x980V0.013x10()3他=255s-\rH：r2I：r3I=i：-i：i=322s-\rI2：y22：r32=i：o：-iw3=447s-',ん:％:%=1：2：1(3)体系的自振频率与主振型10-22试求图10-2-30所示两层刚架的自振频率和主振型。设楼面质量分别为nh=120t和m2=100t,柱的质量己集中于楼面,柱的线刚度分别为ii=20MN-m和iz=14MN-m,横梁刚度为无限大。

279图10230解:（1）求自振频率侧移刚度,2x12匕2x12x2xl()4、ハ,ハリ、“A-.=；=；=3()x1()kN/m42422x12レ2xi2xL4xl()4,,リ小、”鼠=1===21x1()kN/m4242ん]=A]+k2-51x1()k\/in,k2i--k2=-21xl()kN/inAu=~k2=-21xIO,kN/m,%—k2=21x10’kN/m所以刚度系’数代入公式得丄/51X1()32]_X10\2\120+100//[1/51x10’21X10、j51x2lxl()6-212xIO6

28012()l(X)丿]120x100=317.5±219.80)1=537.3,ポ=97.7所以则如=23.18s。助=9.88s-1(2)求主振型匕|ーん221X1()31_ろん1ー叫3；51X1()3-120x97.7-1.87匕2ーん221_xlO3___1_%んI-叫あ51xlO3-120x537.3-"(X6410-23设在题10-22的两层刚架的二层楼面处沿水平方向作用ー简谐干扰カWsinet,其幅值Fp=5kN,机器转速n=150r/min。试求图10-2-31所示第一、二层楼面处的振幅值和柱端弯矩的幅值。FpsinOt

281图10-2-31”:弟=15.708s-160解:由转速得到叫テ1（f）+^11X1（0+ム2>2（。）=•刊（り,m2y2（£）+句）1（，）+ん22ア2（"）=ル2（，）.两个自由度体系的强迫振动,使用刚度法建立运动微分方程为FPI（t）=0/・、（/）=ル’psin例动カ荷载为则平稳振动阶段振幅方程为

282（ん［ー火〃］）匕+ん,匕=01ん21ヽ1+（ム.22ークー〃ち）＞2=ルP，〃〇=（An-が叫）（*22ーがm2）-ん2ん21=-519.6x106り1=-Ai2Fp=（）.105xl（）6儿=（ん“一球叫）ダ「=0.107Xi。。由爾!0-22刚度系数计算得-0.202X10—"，3},=ピ=-0.206x10"〃。

283可得位移的幅值为也一卢二6.06kN・m动弯矩幅值

28410.3名校考研真题详解ー、选择题1.图10-3-1所示结构,不计阻尼与杆件的质量,若要发生共振,。应等于（）。［天津大学2005研］。A/sin/图10-3-1【答案】B【解析】若要发生共振,则应使。=3,故本题实际是求自振频率问题,与外荷载无关。用刚度法求解,动平衡受カ图如图10-3-2所示。列动平衡方程，MA=0,得

285_1cl,,cヽ3/.ハハk—3〃げX——2kyx/+(-3/ni)x-+J/sin仞=()=>y+--y=———2-23/n6mlMsin例图10-3-22.图10-3-3所示等截面梁（忽略阻尼）承受一静力荷载Fp,设在t=0时把这个荷载突FP=12kN然撤除,则质点m的位移方程为（）。［浙江大学2010研］图10-3-3y(/)=

286【答案】A【解析】本题的质量m在阵作用下有初始位移,入撤除后相当于由初始位移引起的自由后力坨，(ハ=，“0s3+一^"3八上甘甘山_n振动,按ゆ计算,其中Vo=0。初始位移由图10-3-4(a)和图10-3-4(b)图乘得到(b)_^_x2x6xyxl+lx6xT+yxl图!0-3-4斌吟公パレリ嗫由"=、靛得自振频率

287将y。和〇)代入，(ハ得二、填空题1.如图10-3-5(a)中质点m自由振动时最大竖向ymax=5yst,且初始竖向位移为外,则(a)(b)质点m的初始速度为〇假设体系振动时不考虑质点阻尼的影响。［清华大学2011研］图10358わユ【答案】【解析】将A=ymax=5ys<、yo=yst代入自由振动的振幅计算公式、”

288aII///2II/III2.I\8=nxTxTxTxTxT+^7xTxTxTxTXT+,XT"イ/JームJー“イいムムー\—j"7+^XTXTX,X(TXT+,XT)_3ly一WEII6A73mly自振频率3”o=8®ヽ代入前面V。算式得2.如图10-3-6所示体系EI=常数（忽略杆件质量）,则结构的自振频率3=在图示简谐荷载（荷载频率为6）作用下,体系的振动微分方程为〇［浙江大学2010研］MsinOt图10-3-6【答案】

289【解析】自振频率的计算与外荷载无关,可用柔度法求得。简谐荷载下的振动微分方程也可用柔度法列出:，（ハニ3“（一"げ）+6124/sin^/这里设质点竖直方向为1,转角为2;求出两柔度系数,便可列出该微分方程。2.图10-3-7（a）中k为支座A的转动刚度，瓜为支座B的弹簧刚度。不计杆重。则图示体系的自振频率为。［天津大学2006研］图!0-3-7【答案】、〃ガk+kI2ん0/x/+kaO-(-mlみ)x/=0=6+—~言—6=0ml~【解析】动平衡受カ图如图10-3-7(b)所示。由エMa=0,得

290故自振频率ml2.图10-3-8(a)所示体系中,mi=m2=m,EI为常数,不计阻尼。质点nn上承受简谐荷载，设荷载频率。由零开始逐渐增大,当其刚好达到时,质点mz的振幅便达到Fpsindz无穷大。［重庆大学2011研］正对称半结构(b)访图(d)图10-3-8陋【答案】\">!'【解析】利用对称性,将振动分解为单自由度的正对称振动和反对称振动，并取相应半结构,如图10-3-8(b)、(c)所示。当荷载频率等于体系自振频率时,体系发生共振。当荷载频率由零开始逐渐增大时,基本频率即为所求荷载频率0。由半结构可知,当体系反对称自由振动时,其约束较弱，故此时其所对应的自振频率应为基本频率。绘反对称半结构的4图如图10-3-8(d)所示,此时的柔度系数和自振频率分别为

291三、判断题1.如图10-3-9所示,串联n个弹簧的单自由度体系的周期T与具有相同质量的单根弹簧质量体系的周期T,的关系为アニノナ+け+…+ぐ。()［天津大学2007研］图10-3-9【答案】对

292ブ_2兀"!=—+—+【解析】单根弹簧体系的周期3"火，,串联弹簧的刚度〃占た则串联后体系的周期为

2937=2兀胆=2兀/丄+丄+.•.+丄kJ=＞アユ=（2兀）ッ〃1111-+.•.+kk2kJnえず+石+…+っつバ西+#+…+窘1.由于阻尼的存在,任何振动都不会长期继续下去。（）［湖南大学2005研、天津大学2005研］【答案】错【解析】当振动为强迫振动时,只要外力不撤除,就可以长期继续下去。2.结构在动カ荷载作用下,其动内力与动位移仅与动カ荷载的变化规律有关。（）［中南大学2012研］【答案】错【解析】还与其作用位置有关,例如荷载作用在质点和不作用在质点上动内力的形状不一样。四、计算题1.计算图10-3-10所示结构的水平自振频率。［北京航空航天大学2008研］

294EI=a£7=8£7=82x//4I图10-3-10解:柔度法在质量集中处施加一个单位水平カ,产生的弯矩图如图10-3-11所示。图10-3-11ヾ3I,,2.r则EI23E1,所以自振频率

2952.图10-3-12(a)为一等截面竖直悬臂杆,长度为H,截面面积为A,截面惯性矩为I,弹性模量为E,杆件本身质量不计,杆顶有一重为W的重物,试分别求水平振动和竖向振动时的自振周期。［海南大学2013研、中国地震局工程力学研究所2011研］图10-3-12I12//'$=ポメ〃、〃、ア/,ケ解:(1)水平振动在柱顶W处,加一水平单位カ,绘出水平振动时的单位弯矩图如图10-3-12(b)所示,图乘法得当柱顶作用水平カW时,柱顶的水平位移为所以其水平振动时的自振周期为

296ーエ,H//'1=2ir1—=2irJtFTL(2)竖向振动AH6=応在柱顶W处,加一竖向单位カ,竖向单位カ及位移如图10-3-12(c)所示,求得WH4,="F7EA当柱顶作用竖向カW时,柱顶的竖向位移为7=2/组=2”也EAg所以其竖向振动时的自振周期为3.计算图10-2-13(a)所示体系中的自振频率。m为集中质量，各杆El=常数。卩青华大学2006研］

297图10-2-13解:取两个质点的水平位移为广义坐标,如图10-2-13(b)所示,利用柔度法求解。运动方程为「，［(/)=一ノ〃げ］(ハ用［-，〃2ダ2(ハ»12172(0=一J〃げ()必ー“ガ2((电2作・%图、•功图,如图10-2-13(c)、(d)所示。柔度系数为C10/3aa47戸_67/3d,.=,d.,=dn=---.="8IE/u-162E/-81E/振型方程而n=mz=m,将系数代入振型方程得\81ど/

2981162A7,(81£7ぐ尸…J（20一人）％+47＞；=0147yl+（134-入）丫ユ=0162日162EI1__.用加、乘以上式各项,并令，，ガメ,则振型方程简化为（20一え）4747（134-;I）令简化后振型方程的系数行列式等于零,得到频率方程为展开此行列式得入2-154A+471=04=け。.88,4=3.12解得自振频率为

2994.求图10-3-14(a)所示结构的自振频率和主振型,并绘出主振型图。已知结构左侧两水平杆Eh=8,其余杆El=常数(有限值),两质点的质量mi=nh=m。［浙江大学2012研］图10314解:本题结构为两个自由度体系,由Eh=oo,可知刚结点处无转角,故采用刚度法计算。EI加两个水平附加链杆,令7作M图、府2图,如图10-3-14(b)、(c)所示,由此求刚度系数为

300可得频率方程为4.584A,731.416%:/劭=n-，«＞：=n—VmrVmr解得自振频率第一振型

30112A711ムー一んー叼3：24£74.584次一1.618戸ml3振型图如图10-3-14(d)所示。第二振型I2A7匕，A(1-m,w；=-24ム731.416と/0.618~F~niml3振型图如图10-3-14(e)所示。5.试求图10-3-15(a)所示体系的自振周期。杆AC、CD的质量不计,EI为常数。不计E!一I阻尼。［重庆大学2011研］图10-3-15解:将图10-3-15(a、简化成如图10-3-15(b)所示体系,按弹性支座计算。在余下的部分加单位弯矩并画力图,如图10-3-15(c)所示。K71由此求得柔度系数3/:/。

3023A7则刚度系数一6一71。画动平衡受カ图,如图10-3-15(d)所示,由ブMa=0,得ml2fi+-mly6+kit=0W+।"=()28m?整理得9A728"/47TntmW=\2«»i/,所以自振频率/=一二一77CO自振周期6.求图!0-3-16(a)所示体系在稳态受迫振动时的最大弯矩图,,〃为分布质量,日V石。［福州大学2。。7研］

303图10-3-16解:在支座B处加附加刚臂如图10-3-16(b)所示,绘单位弯矩图如图10-3-16(c)所/Jヾ〇用刚度法建立振动微分方程,,“—,・2A'ip+〃メ；(，)——xam(px-

304由己知条件'=ゝ4”;而,代入得所以12«2FP-,3ル|2

30511II曲=丁国一‘ル=«'"/6=帀'=/メ，+—ax/„x-pz=Apl

306-mu2(a)(b)-ma卜7.求图10-3-17(a)所示结构的自振频率。［华南理工大学2013研］图10-3-17

307解:本题虽然有两个质量,但由于AB杆刚度无穷大,只需要一个位移即可约束住所有质量的位移,因此是单自由度体系。然而多质量的单自由度体系不能用公式ル=ノネ//〃计算自振频率,必须重新列振动微分方程。现假设AB杆的转角为a,则任意时刻的惯性カ和位移图如图10-3-17(b)所示,其中AB杆上是分布质量，其惯性カ应为三角形分布カ。原结构可进ー步化为图10-3-17(c)所示结构,即将BC和DE杆组成的体系看作一个弹簧,弹簧反カ为ん。/,弹簧刚度按图10-3-17(d)求解,得k=48£//Z3ヾM.=()=>(—inal~)x/+---x/x(-mal)x——kalx/=0在图10-3-17(c)中,对A点列カ矩平衡方程36EIa=0将k代入式中整理后,纣=6圏因此自振频率为'〃ズ。8.图10-3-18(a)所示振动系统中各杆刚度El为常数,CD杆中点处固定了一个集中质量m。(1)试求出其自振频率(各杆自身的质量及杆的轴向变形忽略不计)。(2)如果将CD杆换成一根抗弯刚度无穷大,且具有均匀分布质量密度万的杆,如图10-3-18(b)所示，试列出系统自由振动微分方程,并求出其自振频率(其他杆自身的质量忽略不计)。［武汉理工大学2008研］

308q=-2秘。(d)图10-3-18解:(1)在质量处加一竖向单位カ,画出弯矩图如图10-3-18(c)所示,图乘法求柔度系数riet

309iSヽ，3//in自振频率(2)由于CD杆为分布质量,其惯性カ为三角形分布カ,假设CD杆的转角为。,其任意时刻的惯性力和位移图如图!0-3-18(d)所示,原结构可以化为图10-3-18(e)所示结构。用カ矩分配法或位移法画出C点单位位移引起的弯矩图,如图10-3-18(f)所示,弹簧刚度系数为

310*=3*//(16/)ヾMlt=()x2ax(-2inaa)x2ax—kx2aax2a-()在图10-3-18(e)一中,对D点列カ矩平衡方程9£732ma=0整理后,得振动微分方程9EI吁\32记イ因此自振频率为9.图10-3-19(a)所示结构,BC杆EA=oo,其他杆E［=常数，忽略阻尼,求质点振幅。［天津大学2011研］

311图10-3-19解:根据题意,质点动位移为，(ハ=8バM例,振幅为ス、=向・%先用图10-3-19(b)和图10-3-19(c)图乘求柔度系数(超静定结构求位移的方法)，15£7”/,代入动カ系数公式得再求自振频率’”"ア=7"^'■47＞由)・=・酒=而将以上所求代入振幅公式得

312I卜"匕?,(fm/3X15ど/15E/-ffmr10.求图10-3-20(a)所示体系的自振频率和主振型。不计自重,EI=常数。两自由度结构自由振动振幅方程为:图10-3-20解:本题有两个自由度。由已知自由振动振幅方程,要使方程有非零解,需系数行列式等于零,即展开后变为该方程的解即为频率计算公式

313叫ル+nl2^22士;，+〃セb£)-4(6),322-3|2S2|5,.=^(Tx«xyxTxy)x2=—o1/1,2I2-J6=(—xア"x"x"x'—+■■''x〃x〃x"x""I—5.2=«=^(-JX2«XyXy)=--分别画出"图和1/:图,如图10-3-20(b)、(c)所示,由图乘法求得柔度系数为(0(=0.967将柔度系数代入频率计算公式得nutリ7如〃「丽ー"ほ第一振型为第二振型为

31411.求图10-3-21(a)所示体系的最大自振频率。EI=常数。［西南交通大学2009研、图10-3-21解:本题有两个振动自由度,由于结构对称,其振动形式也分为正对称振动和反对称振动,故可以取半结构进行计算。正、反对称半结构如图10-3-21(b)、(c)所示,均为单自由度体系。画出两个半结构在单位荷载下的弯矩图,柔度系数为各自的弯矩图自己图乘,经比较,易得反对称结构的柔度系数小,因此对应的自振频率大。反对称结构的柔度系数为

315则体系的最大自振频率本题也可以通过振型的复杂程度比较自振频率的大小。分别画出正对称和反对称的振型图,如图10-3-21(d)、(e)所示,图形拐点多,可看出反对称振型较为复杂,其对应的自振频率就大一些。12.如图10-3-22(a)所示结构，已知AB刚度为ELBC刚度为EI=8,弹簧刚度系数k=3EI/E忽略杆件质量。试求:(1)分析结构振动自由度数:(2)列出质点的位移运动方程;(3)求出结构自振频率。［同济大学2011研］图10-3-22解:本题为带弹簧的两自由度体系,弹簧未与质量相连,不属于串并联的情况,只需在计算柔度系数时考虑弹簧的影响。(1)结构振动自由度数为2；(2)设质点处任意时刻的动位移为［(t)、y2(t)(向下为正),画出结构受カ图,如图10-3-22(b)所示，用柔度法列运动方程

316)I(/)=ールバi(/)8U-my2(t)Si2力(，)=-wvI(,)&]■)6.ム=か（呆2れハ争）.«.<=^x(Tx,xTxTxf)x2+^H"=^332217/1kI2A7I3wII//，2%="^xTx2/xyxT+-l-=°画版图、瓦图,如图10-3-22(c)、(d)所示,求柔度系数将系数代入运动方程整理得4A7)\(/)=。ml'PA7工⑺♦丁、ハニ。17m/（3）由上述方程可以看出两个方程是非耦合的,yi（t）和y?（t）前面的系数为各自的八2A7I4EI%=（万ポ•丝=v箭自振频率,即