《【高分复习笔记】孟道骥《高等代数与解析几何》（第3版）（下册）笔记和课后习题（含考研真题）详解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
目录内容简介目录第5章线性变换5.1复习笔记5.2课后习题详解第1节线性变换的定义第2节线性变换的运算第3节线性变换的矩阵第4节特征值与特征向量第5节具有对角矩阵的线性变换第6节不变子空间第7节二、三维复线性空间的线性变换第8节复线性空间线性变换的标准形5.3名校考研真题详解第6章多项式矩阵6.1复习笔记6.2课后习题详解第1节多项式矩阵及其标准形第2节标准形的唯一性第3节矩阵相似的条件第4节复方阵的Iordan标准形6.3名校考研真题详解第7章Euclid空间7.1复习笔记7.2课后习题详解第1节Euclid空间的定义第2节标准正交基第3节Euclid的空间同构第4节子空间第5节共轨变换,正规变换第6节正交变换
1第7节对称变换第8节酉空间及其变换第9节向量积与混合积7.3名校考研真题详解第8章双线性函数与二次型8.1复习笔记8.2课后习题详解第1节对偶空间第2节双线性函数第3节二次型及其标准形第4节唯一性第5节正定二次型第6节二次型在分析中的应用第7节二次型在解析几何中的应用8.3名校考研真题详解第9章二次曲面9.1复习笔记9.2课后习题详解第1节二次曲面第2节直纹面第3节旋转面第4节二次曲面的仿射性质第5节二次曲面的度量性质9.3名校考研真题详解第10章仿射几何与射影几何10.1复习笔记10.2课后习题详解10.3名校考研真题详解
2第5章线性变换5.1复习笔记ー、线性变换的定义1.线性变换设V是数域P上的线性空间,A是V的ー个变换（即V到V的映射）,并满足4a+B）=+40,ね,0WV（5-1）A（ka）=Ma,Vk€P,aCV（5.2）则称A是V的ー个线性变换.等式（5-1）,（5-2）分别称为A保持加法与保持纯量乘法.2.零变换零变换〇,即。（a）=0、"a6V。3.恒等变换（单位变换）id（a）=a,Va€V恒等变换（单位变换）id,即4.数乘变换数乘变换k,即将a对应到ka.数乘变换是线性变换.当k=O时,为零变换;k=l时,为恒等变换.二、线性变换的运算设V是数域P上的线性空间,EndV为V的所有线性变换的集合，以下为EndV中的几种运算.1.加法（1）定义设ス,6eEndVa与b的和定义为（4+B）a=Aa+Ba,VaGV.求和的运算称为加法.（2）性质(4+6)(a+万)=A(a+0)+B(a+(3)
3=Aoi+Ba4-A0+B13=(/+B)a+(«4+8)万(A+B)(ka)—A(kct)+B(ka)=kAa+kBa—k(A4-B)a若a,万WV,たeP,则有因而4+6WEndV.2.纯量乘法设んWP,/€EndV.k与a的积定义为(史/)0;=k-Aa,VaEV.3.乘法(1)定义设48eEndV.A与B的积定义为(加)a=48a),Va€V.(2)性质(AB)(ka+忖=A(B(ka+ゆ))=A(kBa+IB0)=kA(Ba)+IA(B0)=k(AB)a+l(AB)^若k,IGPya,36V,则故ス8CEndレ..4.定义(1)若V的线性变换A还是ーー对应,则称A为可逆线性变换,否则称A为不可逆.ズ°=id,4n+1=AAn(2)设V是数域P上的线性空间,又AeEndV定义A”称为A的n次哥.m/(工)=£由"£P[x]
4(3)若定义/(4)=Qoid+aM+3+am5”[称为a的ー个多项式.2.定理(1)设V是数域P上的线性空间,V的所有线性变换的集合为EndV,则①EndV对加法及纯量乘法为P上线性空间;4め=(/6)c,V48.C€EndV②EndV中乘法满足结合律id<=id=4CL4=X0=0且46+C)=43+AC;(B+CM=BA+CA③EndV中乘法及加法适合分配律k(AB}=(kA)B=A(kB),\/keP.A.BeEndV④EndV中乘法与纯量乘法满足(2)定理2:设V是数域P上的线性空间,GL(V)为V的所有可逆线性变换的集合,①ideGL(V\②4€G厶"),则パWGL(V),且(パ宀A.③4B€GL(VY,则46cGL(W,且(48)ー】=絵んビ3)=/M),vハエ)6尸团
5(3)设A是P上线性空间V的线性变换.定义P[x]到EndV的映射中A为则有以下结论:①8ス是线性空间P[x]到线性空问EndV的线性映射./人(f(i)g(エ))=34(f(l))/ス(g(エ)),v/(x),g(エ)6P\x\②けス保持乘法,即③kerタス=け⑺げ(4)=0}是P図的子空间,且若f(x)g(x)€kerw4Vg(めWP\x\f(z)€kerタん则2.推论(1)m,n€Z,m»〇,nユ〇,则(/")'"=Xwn.(2)若kerぐスキ{0},,以d厶(N)表示ker夕ス次数最低的首ー多项式,称为kerタス={dA(x)g(x)\g(x)€P[x]]A的最多项式,则〃ブWkerQi当且仅当メ4(£)げ(0.等价的说,有3.特别说明①线性空间EndV的零元素就是V的零变换0,A的负元素一/=(-1)-4,(—4)a=—/a,Va€V于是②若keP,则kid就是由k决定的数乘变换k.③乘法交换律一般不成立.三、线性变换的矩阵
62.定理(1)设°レ°2,•••,an是数域P上n维线性空间V的ー组基,则对于V中任意n个向量61，夕2，•一，万门存在唯一的线性变换A使得Aoti=Bい14Iwれ.crd(»4a;ai,…，an)=M(-4;aレ…，an)crd(a;«i,…，otn)(2)设6,02,♦•一an是p上线性空间v的ー组基,4GEndV»则(3)设v是数域p上n维线性空间,ai,02，•…，On为v的ー组wG4)=M(A\6,…，an),V 7Af(4仇,匹…，/3n)=T-1MM；a1.a2,...,an)T若。EPnxn,且。〜M(4g,a?,…，an),则在V中有基”(47nナ2，…，7n)=。71，72,•••，7n使得2.矩阵线性变换的相关定义crd(a;«1,•••.Qn)=crda,aeV设ai,tt2,,,,an为P上n维线性空间V的ー组基,记又ス6EndV.称矩阵3d46,crcMs•crcUan）为ん在02,…,而下的矩阵.记为6,。2,…，％）.在不混淆时,简记M（A）.3推论（1）设dimV=n,则dim（Endレ）=n2.⑵设dimV=n,A€EndV则dA（x）存在d人（エ）又称为夕（/）的最低多项式.detA/（んai,。2,…，«n）=detM（A:。い鱼，…，6n）（3）A的矩阵的行列式及迹均与基的选取无关.即trM（Aan,。2,•…,即）=trM（ん4,%，…，4）由于A在V的任何基下的矩阵的行列式与迹都是ー样的,故可分别称为A的行列式与迹,记为detA与trA.5.相似矩阵（1）定义:设A，BW尸•若有可逆矩阵TW尸"X"使得T-14r=8.则称A与B相似,记为A〜8. 8（2）性质①反身性:A〜A.②对称性:若4〜B,则B〜4③传递性:至ー厶〜日8〜。,则ん〜C.④4〜同,则/⑷〜〃B）.⑤若厶〜则detA=detB,trA=trJ3四、特征值与特征向量1,特征值与特征向量设v是数域P上的n维线性空间,46EndV,AqGP,若有££匕£#。使得ス¢=ス。ミ,则称入。是a的特征值,8为人的属于特征值X。的特征向量.2.特征子空间&。（ム）=依wv|4=ス〇£}设V是数域P上线性空间,A€EndV,スoC尸.令dimE入0(X)=dimV—rank(Aoid—A)则后人(/)是v的子空间，且又E人。（/）关于下面三个条件等价：（1）%是A的特征值;（2）&ぱス）ナ{〇）,或dimE%（4）>0:（3）det（Aoid—X）=0称Eス。（人）为a的属于儿的特征子空间.3.特征多项式（1）相关定义①设A€Pnxn,入是一个文字,称det（A7n—厶）为a的特征多项式,它的根称为a的特征值或特征根.若入。为a的特征值,则称齐次线性方程组（A。厶-A）X=〇的非零解为A的属于入。的特征向量. 9相似矩阵的特征多项式相等.②若 10(2)设V是P上n维线性空间,AGEndV,则下面四个条件等价:①A在某组基下的矩阵是对角矩阵;②A有n个线,性无关ゆ特延向量;③V=Eh(4)/ん(乂)*…*Ea*(4)11,辰…,儿是A的不同的特征值;④a的最低多项式d4(入)为不同的一次因式的积,即d4(八)=(スース1)(スース2)…(入—Afc)2e推论⑴设1&i&k,1?ロ£2,,,,,0，バ为&.(<)中线性无关组,则れ11,•一，Qlr”,一,Qfcl,•一,。えヘ为V中线性无关组.(2)设ス1,ス2,♦一,スえ为A的不同的特征值,则A有对角矩阵当且仅当EdimE.^^)=dimレ(3)设a有对角矩阵,人为a的特征值,则九是a的特征多项式的dimE九(4)重根.(4)v为p上线性空间，A€EndV.若A的特征多项式在P中有dimシ个不同的根,则A在某组基下的矩阵为对角矩阵.特别地,若p=c,a的特征多项式无重根,则A在某组基下的矩阵为对角矩阵.六、不变子空间1.定义设v是P上线性空间，AGEndV.w是v的子空间.如果对任何aew,有AaWW,则称W是A的不变子空间,简称A一子空间.此时A可看作W的线性变换,称为A在W上的限制,记作スw.即€EndW,且Aw(a)=ス。,Va€W.2.性质(1)A一子空间的和与交仍是A子空间.(2)设卬=厶(3,。2,…,か)，W为A一子空间当且仅当Aoti6W,1 11A/(4;ax,•••,ak,Ojt+1,此时ん=M(A\w^«i,…，%).②W-Wz都是A的不变子空间当且仅当矩阵As=0,此时A2=Af(v4|wa;am,…,即).(2)设V是P上n维线性空间,AGEndV,W是A的不变子空间,TT是Att=7rAv到商空间V7WI二的自然同态.则存在唯一的スeEndV/W使得V-V门1*V/WムV/W称ス为a在ジ/w上诱导的线性变换.(3)设V是复数域C上n维线性空间.f。)为V的线性变换A的特征多项式.且有因式分解/(ス)=(スース1)”(入一入2产…(スーん)し,其中ス€C,£#ラ时,%ナスノ,则V可分解为A的不变子空间的直和取(4)=ker(«4-んid「={a€V|(4-Ajid)n,a=0}レ=ル1(4)キル2(4)4•…キ&.C4),其中称为A的属于Ai的根子空间.1.推论(1)V可分解为A的不变子空间的直和y=レ1キレ2~iVV3,当且仅当a在某组基下的矩阵为准对角矩阵diag(4i,ム2，•…，As),J其中ん为在相应基下的矩阵. 12（2）若V分解为A的不变子空间的直和V=レ1キッ24••••キレ。,分别以/（ス）力（入）记a,41V.的特征多项式,以d（ススム（ヌ）记44k的最低多项式,”ス）=厶（ス）力（ス）•••ん（ス）d(A)=[di(A),d2(入)，…，d5(A)]（3）设スGEndV,且w为a子空间.又<, 13（2）推论1:对应定理1中三种情形,A的最低多项式分别为（入ー九DO。一九2）,ん一人0,（X~~Ko）?.（3）定理2:设V是C上3维线性空间,AGEndV,f（人）为A的特征多项式.①若/（入）=（八一川（スーあ乂スース3）,X,ス2,入3互不相等,则A在适当基下的矩阵为diag（入1,入2,As）.②若/（"）=（スース1）（スース2）,则在适当基下,A的矩阵为下面两种情形之スI00Ai00=（スース0）3则当4—Aoid=0;^4—Aoidナ0,而(-4—Aoid)2=0.(«4-Aoid)2*0,而(4—Aoid)3=0时,在适当基下,A的矩阵分别为ス〇000ス〇000Ao0Ao0Ao（4）推论2:对应定理2中六种情况,A的最低多项式分别为(A-Ai)(A-A2)(A-A3)(A—Ai)(A—A2)(A一Ai)2(A—A2),A—Ao,(A-Aq)2,(A—Ao)3.1.定义（1）形如矩阵.Ao00AoAo01Ao的2阶方阵称为2阶Jordan 14(2)形如、儿。0、1Ao000Ao/At00Aj00Ao10Ao01%入I00A(00Aj00内ノ,Ao00Ao0000Aoノ的3阶方阵称为3阶Jordan矩阵.注:两个2,3阶复方阵相似当且仅当它们有相同的Jordan标准形.ハ、复线性空间线性变换的标准形1.定义J(A.t)⑴设ス,スレ•••,As€C.中矩阵J=diag(J(》i,h),J(ス2,均)，…，J(しな)),右1+「2+…，+な=ねCnxn.中矩阵称为Jordan矩阵,ノ(ヽ，厶)称为J的ー个Jordan块.(2)任一n阶复方阵A相似于一个Jordan矩阵,此Jordan矩阵称为A的标准形.2.引理(1)设V是数域P上n维线性空间,A6Endレ."为v到レ/ker3上的自然同态,ス为a在V7ker4上的诱导,则①ker么=7r(kerA2).②ai,•••，dk€V,且7r(。1),ア(。2),…,万9Q为kerス的基・则 154ai,Aa2,•••,Aak€kerス线性无关,进而dimkerA&dimkerA③又若a是幕零的,则ス也是幕零的,且degdズ（入）＜deg&4（入）.（2）设v是p上n维线性空间,/EEndV,则下面三个条件等价:①a的最低多项式dエ（入）=An.②A在某组基下的矩阵为Jordan块J（0,n）；③存在acv使得a,"a,.一，Aa为v的基，而＞/4,Ct—0.3.定理（1）设A是数域P上n维线性空V的幕零线性变换,即ス“=0•则A在适当基下diag（J（0,nJ,J（0,n2）,•••,J（0,na））れiユれ22••.2％》1,れ】+れ2+•••+九s=れ的矩阵为Jordan矩阵（2）设V是复数域C上n维线性空间,AGEndV,则A在V的适当基下的矩阵为Jordan矩阵.4.推论⑴若ス€EndV,且（スoid—A）n=〇,则A在适当基下的矩阵为Jordan矩阵颯（川。,吼」施咄,、」（ス0:%）），diag（J（Ao,Tii）,J（Ao»的），…，J（Aq,n,））,町》顶》ム》1（2）AGEndV,在某组基下的矩阵为deg44（ス）=ni,dimE\o（A）=s则又若ス为A在V/EAo（ス）上的诱导,则 16degdj[(A)=ni-l.dim&o(1)=|{小|ル22}|(3)任一复n阶方阵A相似于ー个n阶Jordan矩阵,此Jordan矩阵称为A的标准形. 175.2课后习题详解第1节线性变换的定义判断下面习题1到习题12中定义的变换A是否为线性变换.1.在线性空间v中,<4=ミ+a,其中a为v的一固定向量.解:当a=0时,a是线性变换;a・〇时,a不是线性变换.2.在线性空间V中,ん=a其中a为V的ー固定向量.解:当a=0时,a是线性变换;a・0时,a不是线性变换.3.在P"’中4孙助二3)=(X],エ2+エ3,斓.解:因为对keC,k*O,1时4kエ1,えエ2,し3)=(ゼ蟬封の+て3)/%そ)幷(昂エ2+13萬)所以A不是线性变换.4.在P中ス(“)切[3)~(2エ1ーエ2l12+エ31力).(2(め+シ1)一(め+ヲ2),(12+協)+(エ3+附),+2/1))=(221ーエ2,①2+13,エ1)+(2勿-J/2,V2+2/3,2/1),(2kx\—kg,k工2+kxs,kx1)=k(2xi—工2,エ2+エ3,了1)解:因为所以A是线性变换.5.在P[x]中,Af(x)=f(x+1).解：设keP,f(x),g(x)eP[x],再令f(x)+g(x)=h(x),kf(x)=m(x),于是由h(x+l)=f(x+l)+g(x+l),m(x+l)=kf(x+l)可知A是线性变换.6.在P図中,Af(x)=f(x.)»其中x。是P中一固定的数.解:设keP,f(x),g(x)GP[x].再令f(x)+g(x)=h(x),kf(xj=m(x“),于是由h(xj=f(xj+g((x«), 18m(x.)=kf(xj知A是线性变换.1.把复数域作为复数域上的线性空间,理=ミ,ミ为4的共筑数.解:因为对keC,k£R时,4椎)キ紜所以A不是线性变换.2.把复数域作为实数域上的线性空间,エミ_=£.解：因为对任意的keR，4的=代,且对eC+&)=&+£2=ミ1+ミ2=41+ん2所以A是线性变换.r>nxnonxn3.在厂中,A(X)=BXC,其中B,C是L中两个固定矩阵.A(X+丫)=B(X+Y)C=BXC+BYC=<(X)+4(匕A(kX)=B(kX)C=k(BXC)=M(X).解:对xywpu'kEP』所以A是线性变换.4.在。セな,塩川(工)=咎+エ饗+血エソ(句解:对伟ルg(け€。8伍丸kwR,可得到 194た）+g。）=叱当）手曰）+エ^^+sinl・（泡+g（エ））d2/（エ）刈（エ）d2g（エ）dg（エ）一百+エ宙+的エヅ⑶+声+エ古+如工3㈤= 204(た)+g(エ))=K(り(八り+g(り)dtK(t)/(t)dt+K(りg(りdt=4(エ)+毒(エ),Ja•4(Aハエ))=[K(t)(V(O)dt=k「K(t)f(t)dt=kAf(x),kgJaJq所以A是线性变换.ker言={/(1)eP[x]阴二0dx解:因为加》〇，有我（も）=が€奈卩冋所以】P国=卩恸又因为13.求P［x］的线性变换蛊勺像及核：言尸:幻=｛蒙工），尸田｝,石/（r）=o,当且仅当网中所以可得ker余=P13.求P［x］的线性变换んエ:L"（0）=7/3）的像レ］）及核kerL工.Lx[P[x\)=I£aiX1a 21第2节线性变换的运算1.在空间取定直角坐标系OXYZ,以A表示空间绕0X轴由0Y向0Z方向旋转90。的变换,以B表示绕0丫轴由0Z向0X方向旋转90。的变换,以C表示绕0Z轴由OX向OY方向旋转90。的变换,证明ス,=ガ=°：=%48¥BA：A2B2=B2A2;并验证（即）=ス由是否成立・于是イ=ざ=C4=id,又因为故ABMA.又可得 22rーエ1B2A2a=—y=A2B2a.\z/因此(45)2丰ス2が.再注意到所以§2/2=^2^21.A6wEndP[xj,其中んf(エ)=/(力,Bf(x)=ー加),证明メド—BA=id.(48-B⑷(加))=(歯C加))-(叼(人工))=(xf(x)Y-xf(x)=加)证:直接进行计算,可得因此结论成立.2.设んB€EndV,且1/46—BA=id,试证AkB-BAk=kAk-\k>lA2B-BA2=A2B-ABA-ABA-BA2=A(AB-BA)+( 23Ak+}B-BAk+1=Ak+1B-J^BA+AkBA-BAk+i=Ak(AB-64)+(AkB-BAk)A=(k+l)Ak因此可知结论成立.4.设曲，62，•一，£れ为线性空间V的一组基,AGEndV.证明aggl（V）当且仅当ノ标1，462，''',スmれ线性无关.证:若aggl（V）,则可知a是ーー的,即=°当且仅当a=0.于是可^3工,£?=〇tI当且仅当i=i,当且仅当“'I即ス£1,/£2,•一,ズ£ハ线性无关.=X2=t-=Xn=0,AI£あら)=0\t=iノ,则有反之，假设ス£1，ズ広2,一•，＜£れ线性无关,若‘nn£XjA£i=0あ=①2=…ニラi=0,即どあ加=0r=l•因此!=1,所以A是的.由＜£1，＜£2，•''，ん《れ线性无关，知为v的基.故对于n/nB—ゝ2Uj人Ej= 24+a.2）=a1,0!€A/!02ENB（O\+a2）=¢>2）0116A/J〇2€N4.设线性空间V有直和分解V=MキN,作V到V的映射A,B如下:分别称为V关于上述分解对M,N的投影,证明1）A.8WEndV；2）V，A/时ス@GL{V\3）«4+8=id,スユ=ス,B2=8,4）若んB4G〃り,则ム（工）=dB{x\证:1）设a=6+。2£匕3=4+4€レ,其中。1必€Af,a-2,02£N4a+3)=4(91+。2)+(万i+02))=<((ai+61)+(。2+02))=Oti+01=Aa+A0.A(kot)=A(koti+kct2)=kon-kAot.・又设kCF,则有因此スeEndレ'，B=id-4€EndV.2)若MhV,则Nh{〇},对于Va£N,有4a=°,因此ASGL(V).3)由B=id-A,可知A+B=id,又从ん91+Q2)==4S+&2),知Az=A,同理可得Bz=B.4)因为A,B0GL(V),因此AM,A*id,而A-A=0,因此dAM=I?一氢同理=X2-X5.设AWEndV且A?=A,证明1)V有直和分解:V=MキN,其中M,N分别为Af={aGVIAct=a},N={aEVAct—0)2)若スa="a,ヒ〇,1,则a=0. 25证:1)设m€Af,Q2gN,且Qi+ニ0,则0=+ol2)=于是=°,故ルI+N=M+N,又A(Aa)=A2a=Aoi,A(a.—Aoi)=Aoi—A2oi=0.设aev,于是可得a=4a+(a-Aa),而且于是スaGAI,q-4aGN,因此ビ=MキN.2)设仪=di+Q2,Ql€M,a26ハ,又因为スa=k。,因而可知ka=kai-^ka2=«i,故有(k-l)ai+ka2=0,从k(k—1)皿,可得ai=a2=a=0.7,设A,BCEndV且ス2=4を=B,证明(/+6产=«4+8当且仅当AB=BA=O.="+8)2-#ーびニス+阴ースー8=0证:设ス2=4,B2=8,(<+6)2=4+8,则有因此可得A(AB+64)=AB+ABA=0(4b+ba)a=aba+0^=0又因为,AB-BA=O,所以AB=BA=O.反之,设ab=ba=o,于是有(4+ロジ=ガ+6?=人+8注:仅仅有AB=O成立,不能得到(<+8)2—A+B,例如人=(：:ル(：),则有#=4B2=及邓=0,BA=「リナ。I。。ノ,而(<+"=(：；)=(：；»+" 268.设AB€EndV且ス2=スび=及证明若ab=ba,则M+泊6)2=4+6—AB..L4+8-AB)2=M+が+(附+2AB_2^B-2AB2=4+8-48证:直接计算,有因此结论成立. 27第3节线性变换的矩阵1.设V是P上n维线性空间,AGEndV.cq,…,an）=rankM（A4,…,0n）=rank>l1）Qi,一•，aれ与氏,仇,,一，Bn都是V的基•证明2）A可逆当且仅当rankA=n当且仅当/Ia1，/02，’…，ス。〃线性无关.nnAa=£りス5=fyjAB]nncUua=£xiQi=£yj0j证:1）设a£v,于是有t=i）=i,所以AV=L（Aa\.Aoti,•••,Acnn）-Z（/31,43ノ，…・、<8n）因此可得另一方面,由于a一crd（a；6a,…,斯），a一E（a:即%…,虱都是v到P"*[的线crd（4aj；a】,Q2,…，a”）=coレM（«A;a-…,所）,1WjWれ性同构,而于是结论1）成立.2）由结论1）成立即可得,A可逆当且仅当rankA=n,当且仅当Aai,ス。2,•，、スa燃性无关.2.求线性变换A在指定基下的矩阵.1）在plX3中,4あ,X2）為）=（211一切エ2+%あ）,基为 28J=(1,0,0),£2=(0,1,0),£3=(〇,〇,1)2)(0：£1,£2)为平面直角坐标系,A是平面向量对第一,三象限角平分线的垂直投影,B是平面向量对ビ2的垂直投影.求人,B,AB在‘1，52下的矩阵.£〇=1,£)=拓ー1),‘‘レーi+1114i(n-13)在P凶n中4/(て))=f(X+1)一，(工)基为4)六个函数门=e"cos必钻=6"疝狂,白cos狂却=1严疝机门=拉2e"C0Sbz,，=如《眼而必的所有实系数线性组台'6I£Q同％€R>L=1J构成的R上的6维线性空间.求“(屏0，…，陶./101\M(ん如,り2,り3)=110〈721丿5)46End尸1X3且り1=(-1,1,1),り2=(1,0,一1),り3=(0,0,1)其中又设门=(1,0,0),£2=(0.1,0),63=(0I〇,1).求”(<；£],£2,£3)6)^A.GEndpi*3,又りi=(~lf〇,2),り2=(0,】,1),小=(3,-1,0)与<1=(1,0,0),£2=(0,L0),的=(0,0,1)为评3的基,且 29メル=（-5,0.3）ノか=（0,-1,6）"り3=（-5,-1,9）求Mんりひり»小），WA走%。）.解:所求矩阵如下:’2-I〇、011DV10°Z2）“価いこ晒倆=（：）（01ヽ01・・13）K〇7.ん。=1-1=0,00\001001ab-ba/.=;エ（エー1）•••（エーi+2）（（z+1）—（工ーi+1））=ハくエ（エーI）•♦•（エーi+2）=¢,-1.这是因为/ab10-ba0I00ab00-6a00004）\00005）由假设,有 30Ml；;爲）=:。。M（＜；£],£2,£3）=T£1£2ロり1り2り3m（んりトり2,り3）7£!《2£3り】リ2り3r-11-2112-1可得所求矩阵为I201/.（4いスり2,スり3）=（£i ）A=0,り2,り3）丁（アユ:丁）4f-50-5'A=0-1-16）令\369/»由假设有/-103ヽtァ他リ2り3）=〇1一1（£1£2"〔?10ノ而 31M（A”1,り2，り3）=Af（A£ ）=T（"2コ3）l（んル,り2,り3）丁（ッ”リ\<1¢2<3Zゝ£】<2£3ノ=7（り1り2り3）T7（りIり2り3）at（り1り2り3）=ス7（リ］り2り3）-K«1¢2<3Z<5ら.丿Vfl^2«3/\C1<23/'-520-20ヽ二ラー4-5一2271824ノ3.设“=（*）€p2x2定义Endp2x2中元素:LaX=AXRaX=XA,YX€p2'2adA=LA-RA求七ス,Ra＞エん況ん及adA在「2x2的基E\1,Ei2?E21,Eq.2ド的矩阵.'ac00、bd0Q0Qac\QQbd）/a0b0ヽ0a06c0d0ゝ0c0dノ解:所求エム，Ra的矩阵如下于是LaRa及adA的矩阵为 32'Macabbe0-cb0abadb2bd-ba—d0bacc2adcdc0d-a-cbedebd(P)\0c-b0'011012013'A/(Aei,q,£3)=021Q22«23\031032O33ノ4.设苫1，£2，£3为V的基ACEndV,且求M(4¢3,，，£1),M(Aei,屉2,£3),M(4G+功,ら,。)‘033。32M(A\£3，£2，J)=。23。22\〇130!2'011M(A:ri,kq,禽)=L021、〇31M(A\£1+5£2,<3)'011+01252=ー〇11十〇22ー〇12〇22""〇!2,〇31+〇32〇32&ん,…，#一七解:由假设有5.设 33线性无关. 34证:设Qoミ+田ス£+…+妖ー1スト七=°以作用上式两边,得Q1スミ+,•,+Qk—lストセ=〇。。ズレ±=0,由スんーズナ0可知ao=0.于是有再以万一2作用上式两边,得あ力-1£=0.由ホーセナ〇,知句=0如此继续进行,可得ao=Qi=-1=保-1=0,故&4,…，#ーセ线性无关.5.设dimV-n.AEEndレミ€ド使得00\000010/上ー依メ〇,ス険=o,则存在基ロい（^2,•一,an使/O010M(A\ai,…，an)=01\00且A"=0.证:根据习题5知,ミ，nミ线性无关,因此为V的/00•••00\10-••0001-••00・・♦•ヽ00…10)基.A在此基下的矩阵为 35又因ズ(邓ミ)=0,k=0,…,几ー1,所以ス"=0.注:n维线性空间的线性变换A在某组基下的矩阵如上述矩阵当且仅当4nTチ0,4n=07.设dimV=n,证明AeEndV对下面条件是等价的.1)A=kid；2)AB=BA.VBeEndV:3)A在任何基下的矩阵都相同.证」)=>2)ス=kid,则有期=B4=kByBeEndV.2)>3),设A在V的基。1，。2,…，M与万1,乃2,…，3n下的矩阵分别为ん厶】•又ヨ6€Endい使得66=民(1&i《れ).于是河(氏。1,。2,•••,即)=7；(⑸3二常),记此矩阵为T.由AB=BA,有TA=AT,于是Ai=T-LAT=A3)=>1),设A在任何基下的矩阵都是A,于是TA=AT,因此对于U可逆矩阵T,取T=dia则也,…,片),G,〇,iBj时,たメぢ,于是可知t可逆,并由此可得4=diag(au,022Qnn),再取T=In+Efj,则可得AEm=与4于是=Q力,因此,A=kin、即イ=Aid.31=(1,2,—1),02=(2)2«—1),02=(2.-1,-1).4€EndI8.V=plX3中有基s=(L0,I),Q2=(2,1,0),a3=(LL1)与Qia2a3Bl02。3,Af(Ag,色,。3),Af(A5い匹备)且メla：=3ハ，=1,2,3,求 36解:因为スa，=Bt（I=1,2,3）,所以丁（在窗窗）=“（ん将此矩阵记为「则可得7=小冋吟"吟〈.£2£3丿V310203）122122-1-1-1-1J121011101M（ん氏,32,33）=ア7アア=7.而「ー2-3/23/2=13/23/2ヽ11/2-5/28.设21，22，'…，2れ是1,2,n的排列,证明diag（入1,あ,…,儿）与diag（スい，スハ,…,んれ）相似.证:方法1:设ス（1424れ）在域p中,作P“xi的线性变换ん使得4。=%£ハ1W，（九,于是A在基却（1＜，（与基diaggi,入2,…，An）与diag（ん］,%2,…,スト）軌,（1（Jくn）下的矩阵分别为因此它们相似.方法2;令ア=E1ハ+E2わ"1HEnin,于是Tdiag（Ai,ヌ2,…,し）T=diag（スハ,スレ,…,スム）TT'=し,即T-l=r,此时有9.设4.B€PT，yn,且A可逆,证明AB与BA相似.证:因为A可逆，于是有B4=4因此AB与BA相似.注:在本题中条件A可逆不能去掉,例如ん=（：：），B=（o?）,此时AB=（〇;）‘旧4=（：：）,此时AB与BA不相似.10.若A与B相似,C与D相似.证明I<>C）与（。D丿相似. 37证:设8=ATi,。=丁/。72,则『=（。’T?）是可逆矩阵,而且可得,因此两矩阵相似.注:本题可推广如下:若ん与昆（1W2>§）相似,则diag（ム,也,…，4）与diag（B【,凡,•ソ,相似. 38第4节特征值与特征向量1.设v是复数域c上的线性空间,-4eEndV己知ス在某组基下矩阵a(如下).求人的特征值与特征向量.ズ:;)2こ;)f1111'11-1-11-11-13)I1-1-11/，001'0104)\100/f56-3'-1015)112-1ノf021、-2036)[-1-30)(31〇、-4-107)\4-8-2ノ’142'0-348)\043/解:所求特征值及对应特征向量如下:1)7,(1,1)'；-2,(-4,5)'.2)axO时,。，一1,ー。ノー1，(1,ーイー1)' 39(-3\1~\/5)II-\/3-2ノ/3-2G'冋,13(2+3冋ノ5)6)1+協!;V任ユノ'3+2依、-/44,13J-3冋ノ7)2.A如上面习题1之8),求A-f121\T=01-2解:令K°21/,则广1ア=diag(l,5,-5),因此可得『】#T=4iag(l,5ク(-5)り’12(1—(一l)k)5*T—1+(4+(-1)&)5レ1'Ak=0(1+4(-1)*)5*-12(1-(ーが)5卜】、02(1—(ーび)5レ1(4+(—1)*)5*tノ于是可得ス"=Tdiag(l,5fc,(-5)fc)T-1I经计算得3.设ス1,ス2是线性变换A的两个不同特征值,与02分别为属于A1,ス2的特征向量,试证+02不是A的特征向量.证:如果+。!2是A的属于ん的特征向量,则有 40A[a\+a2）=ス3（。192）=Ai«i+ス2a2（ス31%）8=（ス2一ス3）的Qh>2线性相关,应是A的属于同一特征值的特征向量,矛盾，故+。2不是A的特征向量.注:从不同特征值的特征子空间的和是直和也可得到本例的结论.2.设AeEndV,若V。£レ,aそ0都是A的特征向量,则A是数乘变换.证:设a,月ナ°,则有スa=ス（。）O;,43=ス（3）日,若A（a）キス@则由上题结论可知a+タ不是特征向量,矛盾,因此A（a）=A（/3）;A。,ス=A°id/(A)=An+Q1スnTH1-fln-lA+Qn3.设v是p上n维线性空间，A€EndV,其特征多项式为则Q]=tr/,〃れ=(一1尸det/(A)=An+aiAn-1+…+Qn-iX+anA-an—0-12,••一Qln—021A—022,•,一Q21—anlOn2…A—Onn=(A-On)(A—022)•••(A—Onn)+/1(A)证:设ん=(。ガ)为A在某基下的矩阵，因此其中deg九。）《n-2,或/心）=0,因此 41Ql=-Qu-Q22一’‘‘一ann=ーにスan=/(O)=(-l)ndetA=(-l)ndetX又注:一般(一1)"Qた为A的所有k阶主子式的和.6.设V是P上n维线性空间,AGEndV.证明A£GL(V)当且仅当存在f(人)eP囚,f(O)*O而f(A)=O.证:若acgl(v),则detAR,因此ナ(ス)=det(Aid-<)满足要求.反之,若有加)=。ト・+稣ー1ホ"+…+Q0+伙)，满足A-.(稣#—1+…+a[id)=id/(0)二〇〇キ0,/(X)=0,则有因此ACGL(V).7.设AeGL(V),则A的特征值入HO,且スー1为T的特征值.证:因为awgl(v),故对于レ'a£K,aナ〇,4aヰ〇.于是入ナ。,由スa=ヌa,可得スー%=スー10,于是スー1是メー1的特征值.8.设AGEndV.证明detA=O当且仅当〇为A的特征值.证:若〇为特征值,则有aキ0， 42证:若スー，〇心ひ）,贝曲ひ）=（スース〇）d心）,因此あ（4）#0,即有aGV,使得。=ム（⑷Q*0,但是Mー刷h（ス〜刷オ枷二H）a二。,因此褊是a的特征值.反之,设スース〇和4（入）,则（トス0イメス））=1,因而有u（入），v°）〃（八）aース〇）+。（入心（入））=1使得于是对于V。€ノ,。ナ。,有個川（ス一スoid）+v（4）のホ））q=aR0,于是（•4ースoid）aナ〇,即ん不是a的特征值./100'A=1016.设I01°丿.证明:若短3,则厶"=厶"一2亠4"-73,并求H°°.A-100/(A)=-1A—1=A^—A2-A+】0-1A证:A的特征多项式为设n>3时,有于是n=3时,有人ユごA+厶之一Ir.An=A4"ー】エん"2+ス3ー厶=スれー*ん2ムダ"=4n-34-A'-ム,则 434100=ム98+(ん2ーム)=人96+2(A2-/3)=-.•=ん2+49(A2-13)=5042_4973由上式可得/100'A100=5010ゝ5001ノ因此则有注1：A的特征多项式/入)=(ス11)2a+1),设p(A)=/(A)7(A)+r(A),r(A)=。或degr(X)&2,(a-64-c=g(-1)a+6+c=p(l)2q+b=g'⑴r(A)=aA2+bA+c,于是=50A2-49厶.当g(')=ス时,可得a=50,b=0,c=-49,故A注2:由A可得 44则可得ム)XnC)6.设M是线性变换A的特征值,h(x)EP[X],证明h(入。)是h(A)的特征值.证:设a是a的属于入。的特征向量,故有=Aoa«因此ハ(⑷。=九(ヽ))a,h(%)是h(A)的特征值.7.证明实对称矩阵的特征值为实数.证:设A是n阶实对称方阵,于是A=んスニA儿是A特征值,X是对应的速征向量,于是セ=AoX,因此スoX'X=XAX=(AX\'X=\QXrX,又XX>0,故ス〇=Ao,入。为实数. 456.证明实反对称矩阵的特征值为零或纯虚数.证:设A是n阶实反对称方阵,于是4,二一ス,ス=A,ル是A特征值,X是对应的特征向量,于是AX=AoX,因此ん*’X=XAX=一(而)'X=-XqX'X,又XX>0,故ス0=-Ao,儿为纯虚数或零.AB-BA/idy,V4BeEndV7.设V是线性空间,且dimV=n<0c.证明证:设线性空间v中的线性映射ス,H和idリ对应的矩阵分别为a,b和a则下面只要证明AB-BAhI„即可.lr(AB-BA)=tr(AB)-tr(BA)=O^n=〃ノ“事实上,有因此可知AB—BAHh,故结论成立.8.设レ=PH】是数域P上一元多项式集构成的线性空间.证明1)人=石’8='idッ都是v的线性变换;2)AB-BA=idv.证:1)设れ尸，/(x),g(x)eP[x]再令/(x)+g(x)=〃(x)4f(x)=w(x)i则易知f(x)+g(x)=ガ(x)W(x)j=ダ(x)即有 46A(7(x)+g(x))=N(/(x))+/(g(x))4（ダ（力）=乂（/（め）8(/(x)+g(x))=x(/(x)+g(x))=ガ(x)+xg(x)=8(/(x))+8(g(x))因此“4为线性映射.同理有B(kf(x))=kxf(x)=A/?(/(x))即B也是线性映射.(AB-BJ)(/(x))«(y4B)(/(x))-(^)(/(x))=(xf(x)j-#(x)=/(x)+ザ(x)—xf(x)=/(x)=id(/(x))2)直接计算有因此可知有ABBA=idy得证. 47第5节具有对角矩阵的线性变换1.在第4节习题1中哪些矩阵与对角矩阵相似?若相似于对角矩阵,求T使『Tj4T为对角矩阵.解:除7)外的另7个都与对角矩阵相似,对应的T如下.2)(-QQ)/111-1\100101013)10011//011ヽ1004)\01T丿'-2-3-3'1115)、0v^3-2-\/3—2)/-33+2\/-143-2，—14ヽ113136)1ー22-3ノ—142+3，—14ノ/121\01-28へ。21丿 48f5—2-433-1-32M(A:£t,e2,2.£-1)=-319522~2ゝ-10311ぐノ2.设£1，£2，£3，£4为线性空间v的基,AGEndV,且/1200）ゝ,ヽ2300（り1，り2，り3,Z）=（広】•£2,£3，ロ）]][0\1001ノ1）求A/（＜;り1,り2，り3，り4）,其中2）求A的特征值与特征向量.3）求可逆矩阵t使ア-1厶ア为对角矩阵.'000V〇解:1）所求矩阵为06-5\〇ー5407/2-3/205-2ノ对应特征向量为2)特征值为0,0,1/2,1,3)令 49/12e23T=11\10-43\-21116-2ノ则可得r-1AT=diag(0,0,l/2,l).3.1)2)设A=(出う)是n阶下三角矩阵,证明如果ixj时,aH/ajj,则A相似于对角矩阵.若Qi1=。22=‘‘'二ann,且至少有一个fliojoB。(如>Jo),则A与对角矩阵不相似.证:1)A为下三角矩阵,故其特征值为。れ,向“れ对应的特征向量♦(1W£(n),由妬I。ガ,故%(14i4”)线性无关,故a相似于diag(aii@2,…,。加).2)A为下三角矩阵,故其特征值为而"订ー"jj,若A相似于对角矩阵,则A必为Qf£1n,由此知,若有°诂ラ0ナ°,则A不相似于对角矩阵.4.设£=en,ei=el=e"，o 50/010 ••0\f或、(£?\001…〇軌£(••・・•••••••・f?=却000 ••1**\100•••0J、ズー‘ノk£ドノ5.设メWCnXn,f(A),d(入)分别为A的特征多项式,最低多项式.证明下面三个条件等价.1)A相似于对角矩阵;2)(纲,ホ囚)=13)rf(A)=/(A)/(/(A),/W证:1)==^2)设a相似于小外(入iLii,ス2厶2,…入［ム),于是d。)=(A-Ai)(A一A?)…(A—As),因此(以ス),ガ(ス))=1.(/(A),nA))=(A-A,)n«-»(A-Aユ尸厂】...(A-A.)n・T/(A)/(/(A),r(A))=(A-A,)(A-A2)...(A-A.)d(A)=(A-Air*(A-Az)"18…(A-A・尸m.W%,14i4s2)=►3)设/(A)=(A-Ai)叫スース2产…(スーAJ”,于是由(d(A),d'(A))=1,可知岫=1(1 51反之,a相似于对角矩阵diag肉ん】，ス2ム2，’’‘，）§1ム）,于是a的最低多项式为動二レ楓ー枷セ-拈小脚ー變…。ー即.因此小=1,$=于是A有n个不同的特征值.6.设4£CnXn,且有mWN使得陵=In,试证A相似于对角矩阵.证:设A的最低多项式为d（人）,由4"=In,知始）バー1,因此（或ス）讨（ス））=1,故A相似于对角矩阵.7.设v是p上线性空间.AEEndy的最低多项式d＜（X）因式分解:V=瓦上后2キ…キEk,Ei=kerpi（＞1）レ（八）二P心）P2（入）…Pm）,其中P心）为不可约因式,且はj时,伍（儿?jW）=1,则Ei=kerp*（⑷,且dimEj〉0.（4內,砲）=1;砲|d叫沖;曲（入）曲（从…4（ス））=1ム（入）=IIPj（入）（1WiWk）证:令,于是可得因此存在，£P%得=i.于是Pt(4)矽(4)&(⑷V=ut(A)d(A)V={0}v=£3⑷&(<)レ占,并且有 52V=Ei+Ez+…+Ek又因为&M),〇,故存在。W匕使得ム(<)。ナ°,而di(A)aekerpi(4)0(4)4(4)。=o,故dim£>0于是可得设0,《°,于是jwi时,4(ス旭二0.又存在为(スレゆ(入)使-。)+如臨())=1得a,=.(⑷+Vi(A)di(A)at=-4(4)£(一%)=0于是有••♦因此可得レ=E1+E2+…+Ek. 53第6节不变子空间1.设V是P上n维线性空间,AeEndV,且ズー1そ。,ズニ0.证明A只有n+1个不变子空间.证:因为ズ‘B°ノ"二°,所以v有基な,如,…，#-"设ルニ〃ズ-《4ー2仪…/，Q)W是A的不变子空间,因此也是A的不变子空间,下面证明:当dimW=k时,有用ーi。マニイズ、£卬3=£，4匕若k=l,则有p€W,p*O,,=0.设iVi。时，bi=O,而boHO.因此Wニムズ》)于是可得Mニムズ、/%,…パ/*3若dimW=k>l,则W有k—l维子空间n-k6=£biA'a/0于是有肥W,且有i=O.设iVt。( 54ズT。ーや二瓦0イーb+デ加0厶ズ+い诂ーレ6W因此十二人ズー"川ー23…,川ーも）于是可知*"'Q£ル,所以有,由此结论知V只有n+l个A的不变子空间.2.设V是P上n维线性空间,AGEndV,且有n个不同的特征值,证明A只有2n个不变子空间.证:设A的特征值为人”则A的非零不变子空间W为w=&“キe%#…キE%其中以=七スリ（A）为A的特征子空间,于是结论成立.3.设V是C上n维线性空间，AeEndV,证明A在某组基下的矩阵为对角空阵的充分必要条件是对A的任一不变子空间W有A的不变子空间W',使得V二卬キル’.证:设A在基Q1,。2,0れ下的矩阵a为对角矩阵曲吶,わ,…也于逑V有分解:V=V1+V2+••ス匕,其中匕=Eル（4）为A的属于囚的特征子空间,ゝ1，ゝ2,…‘从中有dimW个为快.ルニ・キw讦…キ［匕,w^wnVi若W是A的不变子空间，则W有分解设W/是W在W中的补子空间,则W”ニ町+W，+…+叽是A的不变子空间,且V=卬训” 55反之，设A的特征值为佻"2，"S,则火ル⑷是a的不变子空间,于是有A的不变子空间W，,使得ゾ=若W，w{0},则存在i使得（エ）#{0},这与クか卬’={0}矛盾，故W因此レ,二E川（⑷キE/M-…上Eル={0}，（“）,故a在某组基下的矩阵为对角矩阵.注:本题充分性也可如下证明.设是A的属于特征值え的特征向量,于是〃。1）是不变子空间,于是有补子空间%也是不变的.因而在V】中有A的属于特征值え的特征向量02.因为04,线性无关,且£（ロ1，°：2）是不变子空间,于是有不变的补子空间V”再从Vz中取特征向量。:3,再从厶的不变补子空间中取特征向量.如此继续,于是可以得到V的基,其中每个向量都是特征向量,于是A在此基下的矩阵为对角矩阵.1021ヽ,ー1213“""宀宀）=125512-21-2;2.设灯,62，益，ル为V的基,AGEndV,且1）求A在基ル二切ー2包+细ワ2=3勒一白ー5%=a+1，ワ广加下的矩阵.2）求A的值域与核.3）在kerA中取基，并扩充为V的基，求A在这组基下的矩阵,.4）在A（V）中取基,并扩充为V的基,求A在这组基下的矩阵.解:1）设A=M伏を冏の同,B=M（杭机电曲）,丁=理紋;，/1000、--2300=0-110k1T12ノ则有 56<2-332HT'AT-2/3-4/310/310/38/3-16/340/340/3ヽ01-7-82)解齐次线性方程组AX=0,知kerA有も=一2白一如+£3,%=一£1-2£2+%再由A的第1,2列线性无关,知A(V)有基:31=人£卜02二ス功.3)v的基可取为Sニウ，Qノ=E2，。3ニケ1，=72,于是可得5200ヽ9/210012002-200;<1000ヽ/£j_&3ム、_-1200の6304丿1210\2-201ノ4)V的基可取为d二ん1,为二“跖03=£3»仇=G,于是有522Iゝ9/213/2200000000> 575.设V是C上n维线性空间,A,BGEndV,且AB=BA,证明1）A,B至少有一个公共特征向量;2）若A,B各在ー组基下的矩阵为对角矩阵,则A,B可在同一组基下的矩阵为对角矩阵.证:1）设%是A的特征值,于是在B下不变,且B在其上的限制,为其线性变换.故有山与aCaナ。,使得Ba—ル〇a,/a=Aqq,故a是a,b的公共特征向量.V=E\t（⑷キ&式«4）キ•••キE入.（⑷V—+-EMt（B）2）因为A,B各在ー组基下的矩阵为对角矩阵，于是有再由AB=BA知，EM4E内（B）是a,B的公共不变子空间，于是Eヨ””（功为子空间的直和分解,Eス（4）nE円（B）中非零向量是A,B的公共特征向量,于是在E%（/）GE〃う（8）的基合成的v的基下均为对角矩阵.6.设v是c上n维线性空间,4wEnd1乙£1,£2，£n为v的基,fXo)ヽAo10A〃»4:£レ.,…fレ)=01(治/且证明:1）V的包含ら的A一子空间只有V；2）V的任一非零A一子空间都包含£1；3）V不能分解为两个非平凡的A一子空间的直和;4）设A的特征多项式，最低多项式分别为f（入），d（入）,则f（入）=d（入）=（入一九）证:由fAo1' 58Ao10M(A£i,Q，…，品)=4****o•♦・!\%)M-Aoid)fc£n=品メ1 59即有可逆矩阵使得4rlァメA1T2为上三角矩阵,若令ア二71C100T2幻.可归纳假定存在可逆矩阵»使得),则T*t4T为上三角矩阵.7.设ん€Endv,1$t0,且峋时,am”则存在aWVf使峋时,4a丰んa.ker(んー4)阴V证:因为はj时,ん・ん,于是可得Uker(Xt—Aj)*V-所以有aGV\Uker(4ーム)取ん。/AjOt.则可知用时,有8.设V为P上n维线性空间,AGEndV,W为V的子空间,4(H)=｛如何€リ［证明dim4(H/)+diin(ker»AnH')=dimH,证:因为A为限制在W上是W到A(W)的线性映射,而此限制的核为kerAnWf于是可得 60dimA(W')+dim個人PlW)=dimW.7.设A,BGEndV,证明rankUB))rank/+rankfi-dimVrank(心)=dim-4B(V)=dim^4(IV)=dimW-dim(kerA0W)》dimW—dim(ker<)=rank(B)—(dimV-rank(X))=rankw4+rankB-dimV证:记W=B(V),于是AB(V)=A(W).由此有因此结论成立.注:这也是Sylvester公式的ー种特殊形式.8.设A,BGEndV,且=A,B2=B.证明1)A(V)=B(V)当且仅当AB=B,BA=A；2)kerA=kerB当且仅当AB=A,BA=B.证:由az=a,bz=b,可知V=及(4)+Ei(4)=a(v尸E4A),B[V)=Et(B),kerA=Eo(A),kerB=EQ(B],1)若a(v尸b(vj,则对于VaWV,有ん>eEi(<)=Ei(6),因此BAa-Aa,即ba=a.同样可证ab=b.A(V)=BA(V)=B(4(V))CB(V)反之,由Wレ)=48(り=AmC4(り,可知A(V)=B(V).2)若ker4=kerB,设awV,则有 61a=ai+。2=%+20:2=万〔+%万2=国+a2。1,01,必必GkerA=kerb。2,必e4"),即优WB")•46（a）=A02=012=Aoi,BA（ot）=B012=/32=Ba.由于S+优,d+&€ker.=kerb,于是可得血=必优=ル于是因此AB=A,BA=B.反之,若aekerス则ba=BAa=0,于是awkerb.若0£kerb,则ス回一A,130ー。,于是BekerA,因此kerA=kerB.注:结论1）与2）实际是可以相互推导的,只要令4=id-4Bi=id-'12.设V是C上n维线性空间,AGEndV,W是A一子空间,人为A的特征值.证明:瓜G4|w）=®G4）nW.证:设a€Eス,（川卬）,于是a€W,且有k使得（Aid-ス伝=（加加一んげa=0,于是可得R気M卬）Q仆（人）nW.（Xi\dw-A\w）ka=（Xlid-A）ka^0反之，若qcR%（用则存在k使得臥•M•か（7価于是可得因此结论成立. 62 63AX1=aX1—bXユ、AX2-bXi4-0X2X由X。=Xi-ノニ!X2是线性方程组4X=ヌoX在C"X1中的非零解,知Mb左线性无关,从而も,先线性无关.令%=（。1,。2ド、る以1,02=（。1,。2ド、%ぱ2,则ム（61，02）是A的2维不变子空间.证毕.15.设V是数域P±n维线性空间.AGEndV的特征多项式f。）有不可约因式分解Vi=kerpj（4）ni,l 64如ひ)ん(4)VC%V=%+还+…+匕円（种I他"他。）,附））二1设“"卜=°注意到.于是有响时,fi（A）otj=0,因此ん（4）q=。.又存在外（入）,必。）,使得我（林囚+助（加（ナニ1则%=”•（⑷为M仙+叱（＜）仍（ス严以=〇可得因此有レ;V1+V2+,•1+K 65第7节二、三维复线性空间的线性变换1.求下列矩阵的!ordan标准形. 66解:这里只给出T与T」スT,略去求解过程.3)4)5)7)6)8)0G0ヽ2.设A，BWC.证明A与B相似当且仅当它们的最低多项式相同.证:设A,B的最低多项式分别为ルW，［2（ス）,由于相似矩阵的最低多项式相等.于是A,B相似,则dQ）=d2（*.反之,设ん（ス）=ル2（入）,于是有三种可能: 67第一,山（入）=あ（ス）=（A-A|）（A-％）,Ai/ス2.此时,a,B都相似于diag（X,あ）,故a与b相似.第二,由（入）=ノ2（ス）二スース0.此时,a,B都相似于ス。’2,故A与B相似./Ao0\第三,di（A）=d2（A）=（A-Ao）2.此时,a,B都相似于11ス。ノ,故A与B相似.总之,A与B相似.2.设んB€C3x3.证明ん与b相似当且仅当它们的特征多项式，最低多项式都相证:设A,B的特征多项式和最低多项式分别为ル（入），&（A）和/2（人）,心（ヌ）.由于相似矩阵的特征多项式相等,最低多项式相等,于是A,B相似,则/1（A）=/2（A）,di（A）=d2（A）反之,设ん（A）=/2（A）,ム（ス）=d2。），.于是有三种可能.001A20〇A3y〇Ai〇〇1〇A2ノAo01Ao0100Ao第一,ル（入）=/2。）=ム（ス）=ゼ2（ス）.此时,a,B同时相似于下面三种矩阵之ー，故A与B必然相似.第二,/】（ヌ）=72（A）,dQ）=d2（A）,degJ,（A）=2此时,A,B同时相似于Ai0Ao0下面两种矩阵之ー, 68所以A与B相似.第三,ル（ス）=/2（入），d心）=あ（リdeg4囚=1此时,A,B都相似于ス03故A与B相似.综上所述,A与B必相似.2.在C中求出两个最低多项式相同但不相似的矩阵.‘％00B=〇あ〇I00ス2（尢00A=0Ai0、〇〇ス2解:设ス1キス2,则有于是易知A,B的最低多项式均为（スース1）（スース2）,但A,B不相似.00ヽ00Ai01A!ノ000>Ai000Ai000Aiノ3.在C中求出两个特征多项式,最低多项式都相同但不相似的矩阵.Ai01Ai00解:令的最低多项式均为于是易知A,B的特征多项式均为（ス一ス1J；A,（スース1产,但A,B不相似.4.设ん、｛〇（或〇ユ'?）,且a,B都只有一个特征值入O.证明A与B相似当且仅当 69此曲⑷=dimEMdim&o(4)=dimExo(B)证:A与B相似,则可视为同一线性变换在相应基下的矩阵,于是可得dimExo(A)=dimE、(B)=2反之,设dim£\o(A)=dimE%(B),当4,Bw时,有则可得A=B=A0Z2.(Xo0\若dimE儿(4)=dim£\)(B)=1,则a,b都相似于八。ノ,故a与b相似.当48€C3x3时,若dimEh(4)=dimE端(为=3,则A=B=XqI3.‘ス〇00\1Ao0、O0Ao/若dimEA〇(4)=dimEx0(B)=2则ん,B都相似于00Ao01Ao若dimExo(4)=dimE\O(B)=1,则a,b都相似于因此A与B相似.7.在C4x4中求矩阵a,b使得 701)A,B都只有一个特征值Ao；2)dimE》0(A)=dimEx°(B)；3)A与B不相似.(Ao000、'%000ヽ1Ao00,B=1Ao0000Ao001Ao0(001Ao;<000Ao>解:取则A,B都只有一个特征值九;并且dimEx(A)=dimE*(B)=2;因此A与B不相似. 71第8节复线性空间线性变换的标准形stれ1ユれ22••・ユれ，;れI》心ユ…》《;£小=£%=n»=ij=i1.设自然数组町，几2,…，レ及・，n2»***»%,满足mk=|{njni》=|{n；|n 72li=rm,£=&+1,&+2,—•,nini£厶=n-n,i=l由此及归纳假设有£ム+工厶=£（叫ー】）+£m,=n-na,LHl,=n因此故结论3）成立.4）若?1，=*,1<"Ws,自然,mi=m\反之,mi="1,i=L2，….仍然对n作归纳证明.n=l时,结论自然成立.れ1—1ユれ2一12••・ユム—1；-12tig—1》・・・》れ;—1£（n,-1）=£（宿ー1）i=li«l由于四=s,必=t,于是根据m1=mi得到.考虑注意,虽然可能有れ§—i=o,れ;一1=°等情况出现,但不影响下面的讨论.令Pk=I佃1%-1»矶其=IW|n；-l》Ml.则有Pt=^i+bPf==1,2,…因此有Pt=Pi.故有小-1="-1.于是结论4）成立.注:本题有一个形象的解释.在第一行放m个方块,第二行放ル个方块,第s行放m个方块:ni:□□•••□712•□0,••n8:□・・・ 73mim2・••mni于是第一列,第二列,...,第m列的方块数,分别为叫‘m2?mni块.diag(J(O,nJ,J(0,n2),•••,7(0,n,))2.设V是P上n维线性空间,AeEndV,若A在某组基下的矩阵为其中ni>n2>...>ns>l.贝リIdimker#・二川1+用2+…+加えiWAWu这里岫=眄师》41.如习题1中定义.Q1,ス。1,…，/"1一4。2,/。2,••,スむー1。2a,,Aaa,•••,4nLiロ，证:A在某组基下的矩阵如题所述，则此基如下:于是kerA有基スrHTai，4n27a2,•••,幺“'ー】。§,因此dimker贝=s=令TT是V到V/kerA的自然同态.ス是A在V/kerA上的诱导,即有ス万=ガ<,于是行#7=爲.再注意加M£#+ン于是ガ(ker#+i)=ker(#).再由ker乂Cker#T,于是dimker#+】=dimker“り+dimkerん再者,当7rgI),4r(6),…,スF-27r(aj丁(。2)，&(。2),….ス吁27rg2).••••••プ⑸),ぶ⑸)，…,即T5r(5), 74即+1=ム+2=ハ，=ル=1,ル>］时,V/kerA有基ス在此基下的矩阵为—例う即-1J(0，"2T),J(O,nT-1)),于是可归纳地假定曲メer#=叱+…+叫+1因此dimkerスa+i=mi+m2+•一+m^+iJ=diag(J(O,m),J(O,旳)，…,J(O,nJ)J'=diag(J(O,%),J(〇,一),…,J(O,a))‘町》"2》•ー》ム;用》%>•••»れ，；'£%=とnj=n.\I«1j=lノ3.试证相似的充分必要条件是s=t,且％=%14VS.证:若s=t,且ル=ホ,l 75dimkerj*=mi-I-m24--••+1WkWれ1dimkerノ*=m；+mZ+•••+m\由此可得mi=mi,m2=饱,…因此由习题1知s=t,且%=れ;，l 76J=diag(J(Ai,nJ,J(A2Iれ2),…”(ん,%))注：若一个线性变换（矩阵）的标准形为 77则称（スーん尸（1W£4s）为其初等因子.此习题说明,初等因子是唯一的.证:视J为ー个n维线性空间V的线性变换び在某组基下的矩阵.于是V分解为V=V(h,n1)W(杭帕キ…W(Ln4)び的不变子空间的和ク在レ（ヽ・,九»）上的限制,在相应基下的矩阵为ノ（ス，，れつ•若s=t,且有1,2,s的排列い2,ト使得」（スカ引=ノ（スむ，小）,1张s.则将（I〈《S）重新排列有V=V（即!）w偽,。“…W（X，Q于是ノ在相应基下的矩阵为J',因而〕与J’相似.反之,若J与J’相似,则均可视为ー个n维线性空间V的线性变换ク的矩阵,而且均为Jordan标准形.对于J的ー个特征值儿,〕在对应的根子空间（の的限制,则有ム0=diag（J（ス〃,川）J（スね,n—）,・・•,J（ん.〇，小,0）），スリ=ス〇厶=diag（J（Aj|,れス），J（スス,れス），…，バユ），“；％）），スス=ス〇Jordan标准形因此由习题3的注知,s°=t。,而且J（%"%）J（＞，/）,…，J（A,0,%』是J（当，可），J（ル嫉），…，J®。，叽）的排列.于是s=t,且有1,2,..,s的排列»1,况…,ル,使得メスカnD=ノ（ス314,wsW=L（a,人q,…）3.设V是P上n维线性空间,ズ£EndV,W是ス一子空间.若有aew使得则称W为A的循环子空间.证明:若A|w在W的某组基下的矩阵为Jordan块〕（九,nJ,则W是A的循环子空间. 78证:方法1:设“1，物…，源】为W的基,且Aa\=Ao«i+a2；(Actk=ス0。凝+a"+i，1Wk(れ1-1M（川皿:。卜。2,…,斯1）=J（Ao.ni）即显然,。1，401，‘.''",故〃aiMs,儲8,…）£W：.又由于a：€丄（ai,4ai,>l2ai,•••）而佻=/oQi+m1E［向ルレ#。L…）设…,3e-（aiMai/ai,…）则他+げ%“+M=（小砌セ］•仙,师メ。h…）因而卬=。（636,卬。い…）为a的循环子空间.fi（a）=di（A）=（スー％产,dimW=7h方法2:设「（入），&（入）分别为A|w的特征多项式，最低多项式.则由丄（8,ス。1,#。1,…）…）仍为人的不变子空间.设ム（入）为a在其上的限制的最低多项式,则メ乂ス），（入）.但是（<~A）id严ー&R0,故dz（人）=由（入）.dim£（Qi.4aiM2Q!i,<'-）n\,于是W=L（ai,4ai,篇a1,…）3.设メWEndV且A在V的某组基下的矩阵为Jordan矩阵diag（J（Abni）,J（A2,n2）,•••,J（A„n,）） 79且iwj时,九ナ九试证:V为A的循环（子）空间:A的最低多项式与A的特征多项式相等.じ=匕キLキ…キ匕证:由A在V的某组基下的矩阵如上,于是V有A的不变子空间分解か）=姒）=（スー］叫いルド…（入ー种V,有基・如“…,ガ于是A的特征多项式、最低多项式f（入），d（入）为令。!=+012+••,+as.于是…）是A的不变子空间.若g（A）w〈礼degg。）＜degd（入）,则有i使得•ーん）/d（A）因而9（＜）へキ〇.于是9（厶）aヰ〇,故〃。"。メ%,…）=匕即v是A的循环空间.3.设V是复数域C上n维线性空间.ルWEndV.证明v可以分解为A的循环子空间的直和ノ=レ1+%2キ，♦・キム,且满足:1）A|Vi的最低多项式d（人）为A|Vi的特征多项式;2）4（人）I4+1（入），1=1,2,,,,,t—1.注:ム（入），14tW£称为a的不变因子.证:设ん，入2,••ヽス是A的全部互不相等的特征值.于是由习题3与4,A有初等因子 80（A-Ai）n*»,（スー“尸巴…，（スース］尸“】（スース2）n2'，（A—A2）naa,••,,（スース2）n%（スー“）n”，（スース2尸マ・••，（スーん尸”叼1》叼2》•ー》明修,14/WS.V（Ai,Tin）,V（Ai,ni2）,,••,卜（ス1,れ出）ゾ（ス21れ21）,叭ス2,れ22）,…,レ（入2,れ2ね）V（ス81れ81）,レ（ヌ2,れ32）,,一，V（ス3,718レ）这些初等因子对应的A的不变子空间记为令£=max｛£i"2,…,レ｝再约定l>t时,サ二°,Kt+i=レ（スiEm）キリ（ス2,n2）4•…キV（ス・,ハ“）,1Wi4tV（Xj,nji）=｛〇｝.于是由题$易知んT+1（ス）=&T+1（ス）=（スース1严（ス・ス2）叫…（スース,尸“，ICtCt都是A的循环子空间,“”〜，い的特征多项式与最低多项式为因此&（ス）|ム+1（ス）,且•=%キ匕キ,..4•匕.3.设V是复数域C上n维线性空间,<€EndU.试寻求A的初等因子与不变因子之间的关系,由此证明A的不变因子是唯一的. 81解:设ス（ス）,ム（入），…，4（八）是A的一组不变因子.于是有对应的A的循环子空间ュトV1,fiW=4（ス）=（A-Air»（A-A2产,…（スハ）m”,IW的最低多项式与特征多项式相等,即再由ム（ヌ）］4+1（入）,于是°<四】<吗2<叫,1〈テ《S,而且川・的初等因子（スースハ”1。1'フ 82为V的基,因而k=n.而且/（/）（^a）=4-/（X）a=0,于是む）=〇.又若degg（入）=l 83g（朋%（川=g（4瓜⑷）二曲%（内ー/“限（4）=（スーh可瓜⑷于是g（4）戻%（⑷n，=0因而A„=g（A）是幕零线性变换.这时有As,ん均为a的多项式,且ん=4+4,44=44.A4；=(4+4)4=4(4+灼=44必=(4+4)4=4(4+4)=44满足条件1），2）.于是由此可见4，スス与A"ん彼此交换.而且由<§一厶;=/入ースれ知在某组基下的矩阵既是对角的，又是幕零的,故为〇.因此ス;=乂s,4="n.5.3名校考研真题详解ー、选择题1.下面的命题中正确的是().［中国人民大学研］A.如果数域/'ー数域。,那么P必构成ハ的线性空间B.如果数域ア二数域戸,那么P必构成P的线性空间C.把复数域看作复数域上的线性空间,则变换ア1=ズ是线性变换(エ是x的共规变数)D.在线性空间V中，变换丁オ=。，其中a是V中一固定向量,则T是ー个线性复换【答案】A【解析】A项,数域ひに数域ア,则P构成P的线性空间.B项,例如『一R,戸C(复数域),取戸,16R而ノ•1W尸,即数乘不封闭,所以P不是戸的线性空间.C项,例如k=i,a=i,则「(Zra)=T(-1)=一lMT(a)=iT(i)=l.故ア(Ga)ナえア(a),这说明T不是线性变换.D 84项,比如V是n维(n“)线性空间,取aGU,且awO,则T(2a)=a，27Q)=2a，=>aW2a,故T(2a)六2T(a),因此t不是线性变换.2.设A,B均为n阶矩阵,E为n阶单位阵,则下面结论正确的是().［中国人民大学研］A.若E-AB可逆,必有E-BA可逆B.若E-AB可逆，不一定有E-BA可逆C.E-AB与E-BA有相同的特征值D.若A,B都是正定阵,则AB也是正定阵【答案】A,C【解析】AB项，当A,B都是n阶矩阵时有UE-AB［=AEBA\(5-i) 85若E-AB可逆,则E—ABラ£〇,由此说明1不是ab的特征值.从而由式(5-1),它也不是ba的特征值,所以:EBAiWC.C项,A与(-B)都是n阶方阵,类似于式(5-1)有|AE+AB|=|AEh-A|(5.2)|AE-(E-AB)|=|(A-1)E4-AB|lAE-(EBA)|=|(A1)E+BA|那么|(A-1)E4-AB|=Ka-1)E+BA|由式(5-2)得|AE(Eab)i=(ae-(e-/m)i即-1rr6-1AH=1一都是正定阵,但[_2()J,不是实「21-1r3A=\・B=D项,设L1对称阵.综上可知A,C正确.二、证明题ゝ1.设a为二阶方阵,如存在矩阵b,使/4+AB=.证明:A一二0.［南京大学研］"(A)=tr(AB-BA)=0证:由ん+A8=BA^u,4:BA-AB,因此有又a为2阶方阵,所以 86I\E-AI=A*-/r(A)A+\AI=A2+IAItr(E+B)=tr(A'］BA)这里I4丨=0,否则,由已知得内+R=A'84.所以因此2+(r(B)=Zr(B),导出矛盾.所以IAE—AI=A?.由哈密尔顿ー凯莱定理知ス‘二〇.2.设V是数域F上n维线性空间,0是V的线性变换.又设F上多项式f(x),g(X)互素,年=f⑹，w=g(〇).证明:k3=れゆ㊉ken/ノ,其中ker屮是屮的核空间,kerり=ae.V\tp(a)=0.［厦门大学研］〃(%)/(%)+r(x)g(x)=1证:因为f(X)、g(X)互素,所以存在多项式U(X),V(X),使从而有Vaeker^Gkerシu⑻/⑼+v⑻£8)=E(£为归拿史换)(5-3)a=〃(8)p(a)+r(のシ(a)=〇由式(5-3)得所以kertp+kenp是直和.下证kercpip=kerq?+kerip. 87因为V8wkergル,f(0)g(0)0=0.而由式(5-3)得0="(の/(8)だ+”(6)g(①ガ3(u(6)g(e)Q)=V(0)f(0)g(=0W(w(e)/(e)6)=〃(め/(e)g(9)乃=o且有kerpシCkerw+ker”所以3”(ア)=f(0)g(の(ア1+ア2)Vygkrr(p+krn/z/?¥=，+%,ywkrr(p,y2ekerシ所以=8(のa片)+/(のル(た)=0kerw+ker“Ckeゆル故kercpip=kerゆ+kerシ从而 882.设A是数域R上n维线性空间V上的ー个线性变换,用I表示V的恒等变换,证明:/=/=ア•(/-0+ア斓(/+イ+スう=”.［北京大学2005研］C/(x),A(x))=l,/(x)=/(x)A(x)证:记/(力=1ーズ,g(x)=l-x,ル。)=1+ズ+ズ,其中因此4ヅ(A)=陥rg(A)㊉K?r"(A),Mrg(A)cA^rA(A)=0A3=I<=>/(A)=0=&V-Kerg(A)@Kerh(A')=dimV-dimKrg(A)+dimKerh(K)=力=シーrankg(A)+n-rankh(A)0%=rank(I-A)+rank([+A+A2)4.线性空间P”中定义变换。:(1)证明:。是P”的线性变换.(2)求值域。(P")及核厂】(0)的基与维数.［北京交通大学2007研］证:(1)任给k,1WP和p”中两个向量a=(xi,X2,...»Xn),p=(yi；y2；y„),都有o(ka+ip)=a(kxi+lyi,kxz+lyz；...；kx+lyn) 89=(0；kxz+lyz；...；kxn+lyn)=k(0；Xz；...；Xn)+1(0；yz；...；yn)=ka(a)+la(p)；所以0为P"上线性变换.(2)由定义可知a(PQ=L(e2；...；en)!〇1(0)=L(ej,其中ei；...；e”为P。的标准基.故值域。(Pn)的基为e?；...；e„»维数为n-1;核ア(0)的基为e”维数为1.5.设V为F上的有限维线性空间,A,B为其上的两个线性变换,满足条件片=ガ=0以及=E.［中山大学2008研］(1)记、/,-れ分别为ん,b,的核.证明:N『ANb,Nb=BNa,并且ク=必㊉必;(2)证明V的维数是偶数;［°1(3)若V的维数是2,证明V有一个基使得A,B在其下的矩阵分别为1°0丿和证:(1)任给。ぐ必,则«=どク=(45+氏!)«=ん8。.又が=0,于是Sac%,所以N4皿,另一方面,由片=0可得因此Mug.同理可证ぎ3=氐匕.任给ctecNb,有a=Ect={AB+BA)ct=0,故N/@Ns任给ae，,则a=A5a+A4aeN/㊉.4(•.•/=32=0),所以，=必㊉/.(2)任取M的ー组基%,...,%,则由必=心可知存在后，…,月使得%=a区…,%=跖于是若エ>f£=。,则汇ホ%=と.円/=め;妬)=°,因而。广…=%=°,即月,...,用线性无关.任给则由M,=3N,可得存在アe也,使得ガ=5几故存在46F使得B=sQL：-也4)=工［ルヰ%=Z：_也3—.铝B)=汇:-也£ァ=Z"/,于是 90综上所述,6,...,月为阳)的ー组基，又ク=也㊉砥,故必，…，％,片,.，A为V的一组基，因此dimク=2<(3)由(2)可知存在。ぐ也,ガe/满足a=メガ且5a=瓦!2=3-.")£=尸,使"IP1得a,タ为V的ー组基.于是A,B在该组基下的矩阵分别为1°〇丿和い〇).6.设V是数域P上n维线性空间,T是V的线性变换,储，ス2，•••，ん是T的互不相同的特征值,ビん（'=1，2，・・・,ム）是1的特征子空间,且V=匕1㊉V"㊉’••㊉匕,，w是t的不变子空间.证明:w中的每个向量”,可唯一表示成り=/i+f2Hg・，其中&《匕;ロW，'=12…，た・［西南大学2010研］ヮ=/1+f2++f*,证:先证存在性.由ビ=匕1㊉匕2㊉…㊉ら，可设り=，1+<2-1た"./り=A］Z】+ス242+,,,+ス4k，71り=すf-+・・—,这里ぐ，G匕,，?=1，2•…。丸不妨设ざiW0,，=l2…，R,因为1あAi…Af1AzAf-ボ（り•7、り.….L;り）=¢い,―…ぐ»）1A3A：…At,・・・••••••••••・・1AiAi…A”所以记右端的k阶矩阵为A,由ス1，ス2，•••，九互不相同，则 91（ずI，f2,…，ぐ*）=（り,7リ,…,71り）4T,ー厉!し’ス‘レ,于是ん是可逆矩阵.由—，乙，…,乙ew,故れ6K,nw，i=i2…ん注意到小7か…，丁’‘りGW,则り=りi+り2HF%,下证唯一性.如果”,还有分解式（，［ーリ1）十（ず2ーり2）+,,*+（,*一7）=0,这里クe匕;nw,，=i,2,…,ん则注意到,，一"り，岁为0，或为入i的特征向量,由属于不同特征值的特征向量线性无关,总有广，,F?，'=1，2,ん唯一性得证.三、计算题1.设3阶实对称矩阵A的各行元素之和为3,向量a尸（一12-1）ス产（0.-1JJ’是线性方程组Ax=O的两个解.（1）求A的特征值与特征向量.（2）求正交矩阵Q和对角阵D,使Q'AQ=D・（—R-\-1--B'-BI1__3r（3）求行列式〈3/9'I,其中B是“ラと的相似矩阵,B•是B的伴随矩阵.［武汉大学2010研］解:（1）由ク1，aワ是线性方程组八X=0的解,则a1，a”是A的属于特征值ス1=0的两个线性无关的特征向量.由A的各行元素之和为3,则 92。3=（1，1，1）是A的属于特征值ス?=3的特征向量.因为A是3阶矩阵,故ス1=0（2重）,ス2=3是A的特征值，对应的特征向量分别是即g+/d2，鬲メ2是不全为〇的实数,他必,。ナ為GR（2）将明・公正交化,则-f。,打巾=jL(—12-1)，,リ2=强(-1,0,-1)'再单位化,得。=(©・d2，。3)」)=diag(0,0,3)将心单位化,得"ー后"」’".令则Q是正交矩阵,D是对角阵,且。‘AQ=D3(3)由A的全部特征值为0,0,3i则A2,E的全部特征值为__3_3__3.r4__3め_3_332，2'2'由(ム2")~B，则B的全部特征值为ラ’ラ’ラ,且(4»2)'+4b>=4b2+4i®ib"*+B0yイy=|B'I2ラと+*||8|8+B，=陽)++2299一IT?"8,于是 931.设V是数域F上的4维线性空间,0是V上的线性变换,在基&,£2,&,&下的方阵表示为120〇、01001310、〇421ノ(1)求0的含£1的最小不变子空间W.(2)记6为。在W上的限制,求6的方阵表示「的若当标准形k［清华大学2000研］解:(1)由E1GW,则0'()=&+EjGW,于是EsEW,由〇'(Es)=E3+2eWW,则E’eW.由O(E4)=E怎W,故含El的最小不变子空间(Ei,Es,E4)100Tt=110021(2)由5在W的基Ei,e3,e,下的矩阵为则|加一BI=(スー1”.于是,1是5的三重特征值，1的几何重数为100J1=110,011.3—r(E-T,)=1.故其若当标准形为「ー㈠A=x4y3.设矩阵(一3-35丿,已知a有三个线性无关的特征向量，2=2是A的二重特征值.试求可逆矩阵P,使得尸-レP为对角形矩阵.［湖南大学2006研］解:因为A有三个线性无关的特征向量,ノ=2是A的二重特征值,所以A的对え=2的线性无关的特征向量有两个，故秩"花ー厶)=1.经过行的初等变换 94于是,解是x=2,y=-2,T-11ヽA=24—2-3-35ノ矩阵スー11-1—yl|=—2え-42=（え-2）"（え-6）33えー5其特征多项式由此得特征值:4=ん=2,厶=6.解(空ース汰=°,得对应4=る=2的特征向量为%=QT。)’七=QO,1)'解(6£_d)x=0,得对应ム=6的特征向量为七=(1,-23)'.00、20〇6ノ1+y+z2x-y-\-zy-z3.设变换〇:R'fR"定义为 95(1)证明:CT是线性变换.(2)求出CT在下述基下的矩阵:。=(l,O,O)’・e?=(0,1,0)',仇=(0,0,1),(3)求出ct在下述基下的矩阵:佐=(1,1,1)%?=(1,-1,2)',a=(0,1,1)'(4)写出〇】,aoa，到e「e2，e3的过渡矩阵.［北京师范大学2004研］1-11解:(1)证明:由已知,得Va・昨R.£,/£Rメ加+/)=A(妞+/夕)=kAa+スゴ=わ(。)+レ(ダ),因为所以CT是线性变换.グ(め)=(1,2,O)',メ02)=(1,—1,1)',メe：l=(1,1,—1)'(2)由故CT在基e】,,03下的矩阵是A.110r=1-11121.(3)令 96则(©,観,。3)=«].e：?.e3)T,故。在基Oh，02，a§的矩阵为 973r'AT=40-31-1][1-11212|oill:0]ru146■1=y-2-8011.-7-7-6一（4）由（的，。2，。3）=（喲，02必）了,故由©，侬，な3到的，上，。3的过渡矩阵是 98第6章多项式矩阵6.1复习笔记ー、多项式矩阵及其标准形1.多项式矩阵设p是数域,人是ー个文字.p［入］为p上人的所有一元多项式的集合.以p［入］中多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵或入矩阵.2.逆矩阵(1)定义设砲eP印xn若有8(ヌ)e尸［ス『X%得4囚8(ス)=In,则称A(A)可逆,B(入)为A(A)的逆矩阵,记为4(入)—.(2)定理厶(入)Wア囚れxへ逆当且仅当det4》)—d为非零常数，a0)t=-A(xy(1且A(入)有唯一的逆矩阵A(A)-1A(A)=厶(A)A(A)-1并且,A(A)T满足3.秩4ス)€P［A1mXn,如果A(A)中有一个r级子式不为零,而所有r+1级子式全为零,则称A(A)的秩为r.零矩阵〇的秩为〇.A(A)的秩记为H(4入))或rankA(A).4.A矩阵的初等变换(1)将A(A)的某行(列)乘以非零常数. 99(2)将A(入)的某行(列)加上另一行(列)的瀨)倍,这里屮(ス)WP風(3)将A(A)的两行(列)互换.5,初等矩阵将单位方阵In经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.6.等价(1)定义4(ヽ)，A(zX)G刊スピxれ如果经过一系列初等变换可将A(入)化为B(入),则称A(A)与B(A)等价.记为4(ス)〜5(A).(2)性质①反身性:，(ス)〜4(入).②对称性:4入)〜8(ヌ),则B(入)〜-4(A).③传递性:若厶。)〜5(A),B(A)~C(A),则A(A)~C(A).④A(A)~B(A),则A(A)元素为B(A)的元素的(多项式)组合:B(A)的元素为A(A)的元素的组合.⑤A(A)~B(A),则R(A(A))=R(B(A)).(3)定理①设ス。)eP因mxn,4(入)キ〇厕冇3(ス)eア內mxn满足.a.A(A)〜B(A),bentnB(A)|entijB(A),②设4(*G尸囚mxn,ん入)キ0,则A(A)与下面形状的矩阵D(A)等价,即 100/rfi(A)\d2(A)D(A)=dr(X)0\0/ル（ス）心+1（入），1くC〈アー1其中r》!,ム（入）为首一多项式（l 101(3)设ム(ヽ)W尸[スドxn则A(入)可逆的充分必要条件是A(入)可表成初等矩阵的乘积.3.推论(1)若A(入)，B(A)等价,则它们的秩相同.(2)A(A)的标准形是唯一的.(3)设A(A)的行列式因子为:。](ヌ),。2(ス)，•••,ク式ス),0,••:则:①(lv)ivjvr时,丄(ヽ)I?•(人)；(2)D1(A),。2(入)/(a)，…，以囚/几ー1(ス)为不变因子(4)厶(入)，B(ヌ)e则A(A)~B(A)当且仅当存在可逆的m阶方阵P(A),n阶方阵Q(A)使得B(A)=P(A)A(A)Q(A).三、矩阵相似的条件1.不变因子(1)设4€pnx-一4£ア內れXれ为A的特征矩阵,ス7九一ム的不变因子为A的不变因子,スズれ—厶的行列式因子为A的行列式因子.(2)设V是P上n维线性空间,AGEndV.0卜。2，，"れ为V的基称M伙Q1J曲…，％)的不变因子，行列式因子为A的不变因子，行列式因子.2.初等因子设心(ヽ),め(入)，…,ム(ヽ)为46/^Xれ(或线性变换&(ヌ)=0(ス卢】P2(ヾ卢2…Pr(ヽ)"，l^i^n人)的不变因子.又这里品う》0,sメ£时,(ps(A),pt(ス))=1,Ps(ス)是不可约的首ー多项式.则称｛。メス)％丨IWJWr,依う21｝为A(或4)的初等因子.3.相关定理(1)设4€Pnxn,t7(A),V(A)€P[A]nxn,则存在Q(A),R(A)G刊ヾ产x%U°,V0€尸71xn使得 102=(Ain-A)Q(A)+UoV(X)=R(X)(XIn-A)+Vo⑵ムBepnxn,则A与B相似当且仅当スIn—4•与ス1\一B’等价,即有相同不变因子.(3)设ム，86P,则A与B相似当且仅当A与B有相同的初等因子.。囚=diag(/ii(A),■(入),…，/in(A))(4)设4ejpnXn,a的特征矩阵スム—A:等价于对角矩阵生(A)=p](A)皿ワ2ひド2・..ア,9アラ小打ユ。其中信(ス)是首一多项式,且有因式分解-m叫77Iかユ1}则A的初等因子为3.推论(1)设厶，BW尸"X"则A与B相似当且仅当A与B有相同的行列式因子.(2)设んE€P"；Po,Qo6Pnxn..且“n-A—P0(AZn—B)Qo,则Pg.Qn可逆,且Qo=ア〇1；a与b相似.四、复方阵的Jordan标准形l.Jordan矩阵J=diag(J(ス1,卜).),J(ヌ2,ん2),••,,J(スs，ks))复n阶方阵 103ハ、1AjJ(AOki)=ec七・七\1Xノ这里称为Jordan矩阵,ノ(ス£,た£)际为Jordan块.2.相关定理(1)Jordan矩阵的初等因子为(スース)'，1WクくS.J1=diag(J(Ai,烏)，J(A2,1),…，J(スs,/))J2=diag(J(/2i,Zi),J(〃2,一)，…，J仙,It))(2)两个Jordan矩阵ヌi=Niゝ=ム,0=丄,2,,一，S相似的充分必要条件是s=t,且经适当排列后(3)设んeCnxn,则A相似于一个Jordan矩阵,且这个Jordan矩阵除Jordan块的次序外是唯一的,它称为A的Jordan标准形.(4)设V是复数域C上n维线性空间,A€EndV厕ス在V的某组基下的矩阵为Jordan矩阵，且此Jordan矩阵除Jordan块的次序外是唯一的. 1046.2课后习题详解第1节多项式矩阵及其标准形1.设ん（入），BW€卩[スドハ,且ん囚〜b（人）,试证R（A0））=R（B（入））.证:只要证明:若P是初等矩阵,则PA（入）与A（入）的秩相等即可.1）设P=P（i（c））,cGP,c*0.此时,PA（人）与A（人）的对应的k级子式或者相等,或者差一倍数c,因而PA（人）与A（a）的秩相等.2）设P=P（iJl（R））,切ス）€「印.此时,PA（入）与A（a）的对应的k级子式相等或ー个k级子式与另一个k级子式的屮（入）倍,因而PA（人）与A（入）的秩相等.3）设P=P（i,））.此时,PA（人）的k级子式与A（入）的k级子式相等,或相差ー个负号,因而PA（人）与A（入）的秩相等.因此等价的多项式矩阵的秩相等.证毕.2.设ん（内£「:バ"".试证下面条件等价:1）A（人）可逆;2）A（A）=P1P2...P„P1为初等矩阵;3）A（入）的标准形为1„.证:1）03）设。=diag（di（R,d2（入）,…,ム（ス））为a（入）的标准形,Q,…Q即）凡...于是有初等矩阵Ql，Q2,…，QrH,%,…，凡使得山。）•…dn（A）=det£>=detA（A）[]detQ,[]detRjeP\{0}因而于是可知di（入）=…=册（入）=1,D=2n. 1053）=>2）ム（入）的标准形为L于是有初等矩阵Qi'Qか,'♦，Qr，R2,，,,,凡Qr•••Q14ス)…Ri=In使得因而4入）=Qj-QhR「…=Pi22…H,p^为初等矩阵.2）=>3）因为硼=PM..A所以d"叱ロdetH"\{0}A（入）可逆.3.求下列矩阵的标准形.(バース2バ)o\A2+5A3A)/1-AA2A\AA-A2)\1+A2A2-A2ノ/A2+A00ヽI0A013)\00(入+I)2/ハメ+2スー32A-1A2+2A-3\4A2+3A-53A-2A2+3A-44)\ス2+スー4A-2A—1//〇00A2ゝ〇0A2—A00(A-l)2〇〇5)、ボース〇〇0/ 106/2A301A4A3Aシ60A+22A06AA2A0A-10A-1006)3A-31-A2A-200解:将所给矩阵进行初等变换.1)/3A001120-(A3-10A2-3A)1--A01I!ー鼻(入+5)(A000A3-10A2-3A301l1—^(A4-5)于是所求P（R,Q（入）及A的标准形分别为 1072)3) 108/Aa+A000A000(A+1)2100>010001/Aa+AA(A+1)20A000(A+ザ111>010001100010(001ノ100010<001//A2A1-AA-A00(A+I)2111)010001+/1AA2-AA-A(A+1)200111\010、00110-1-11-1<001/-101-11-1<100/ 109f1A*111\0A(A+1)A3-AAA+1A0-A(A+I)2-A2(A+1)2-(A+1)2-(A+1)2-(A2+2A)-101-11-1<10oIf10o11I.、0A(A+1)A3-AAA+1A0-A(A+1)2-A2(A+1)2-(A+1)2-(A+1)2-(A2+2A)-1Al+A2-11+A-1+A2ゝ!—A一ス’ノ/100111\0A(A+1)A3-AAA+1A00A(A+1)2A+10A*-1Al+A2—11,+A-1+A?ゝ1-A-A，//100111\0A(A+1)0AA+1A00A(A+1)2A+10Ai・-1AA+1-11+A0ヽ!-A-Aノ<111ヽ'-1AA+1ヽ。〇0\AA+1A—11+A00A(A+1)0トス+10ス/\1一人一人ノ、〇0A(A+1)2丿 110/3*+2スー32入ー1A2+2A-3100\4A2+3A-53A-2A2+3A-4010ス2ふスー4X-2A-1001100010\001) 111-—*,2104Aa+3A-53A-2A2+3A-4A2+A-4A-2A-l-11-1ヽ010001100010、〇01f1003A—24入ッ—3A—1A?+3A—4A—2A2-AA—1/-11-1'0100010101-20、〇01/一ー*<10004A2-3A-1A2+3A-40A2-AA-1一1I一1ヽ3A-23(1-A)3A-2A-22-AA—10101-20、〇〇!<1000A—1A。ーA0A?+3A-44A2-3A-1/-11-1'A—22-AA-l3A-23(1-A)3A-200110-2、〇10/f1000A-l00A2+3A-4-(A-lWA+D-11-1A-22-AA-l3A-23(1-A)3A-200110-2ト〇1-A100-11-10A-l0A-22-AA-l00(A-n2(A+n-(A+2)(A-3)A2-A-52-A200-110201A 112/-11-1'’00-1ゝ/1o〇\スー22-AA-111020A-1〇「(ス+2)(入-3)A3-A-52-Aユノk01Aノ\00(A-1)2(A+1)//000A21000、00・-A001000(A-I)2000〇!0A2-A00000011000010000100001丿(〇(A-1)2；F—AA21110ゝ00)i2-A001000(A-1)2000010A2-A0000001-100001000010＜〇001ノf01-AA2111〇、0-2(A2-A)A2-A001000(A-炉000010A2-A0000001100001000-210＜〇-1-11ノ5) 113/01-XX300(1-2人)(ドー》)2A,(AJ-A)00A(A-l),ハセ-1)4Aa-A000100001000-210、〇ー1-11/10000A3-A0000(1-2A)(A)-A)2Aa(A3-Aj00A(A-l)3-A^A-IK1110\2(A'-A)2(Aa-A)f12(Aa-A)0YA-1)'YA-l)'- 114<0100'10-AA2-202A-12(1-A)2、TOA+l2-(A+l),ノf1000、0A2-A0000A2-A0k000A2(A-1)2；2A301A10000\4A3A+60A+22A0100006AA2A000100A-l0A-l00I000103A-31-A2A-2000000110000010000010000010000010001010000000A+2-A30100000A2A-2A200100A-l0A-l00000103A-31-A2A-200000011000001000001000-301-A-20001 11510000、-A-21000-2A01000001000001‘000Io000000A0-2AaA-10A-l003A-3"A2A-2〇〇1000001000001000-3〇l-A1-2000102Aa000\0001-10-AA00-21000100000010A(A-1)000A-l1-A02,10000100A-l010 1160-301-2000 117 118ヽ0-0000000**00-0000010>>AI1—231〇1〇〇〇11〇ム〇1〇10000>2■2ェ\一L匕〇〇〇A>〇〇12一ヽー>1:1,1200-00〇1〇1〇>厶A〇丄〇10000ーノ0—000〇〇〇〇ー00-0000010AA金シ>ル〇1〇ー\!〇〇〇〇ム〇ー〇■—10000A2I2一一L匕〇〇>ミ（〇Aシ〇〇f2**>1-AA1〇;一一12001001〇1〇ー〇>■1Aoi〇2―10000 119/100000100000A(A-D人一I100A(A-l)0A(l-X)00QA-l1-A10。〇〇’-2A01-I02(-Aa>4A-l)2A-J1-Aスー212(2-A)(A-l)2(X-l)1-AA0000-2100I07001-1001A-l02》2-X-l1073-A\00-203/I00000I000〇0A(A-1)A-I100(バーバ+A)0-1)A(A-l)a000A(A-l)1MA-1)0I0000\-2A01-102(-Aa+4A-1)2A-11-AA-21P4lPCP43P44PれPaipsaP53PmPss0010-I001TO〇】A-l02Aa-A-l10-33-A\00-203注IP41P42P43P44P45I、,リ似»2)レリ(g+2)Q那M)呼ー3对烟(PB1P52P53p54P55)レ3ルリ。-リ叩炯屮Wス/l000010000\0I000-2A01-10000012(-A2+4A-l)2人ー11-AA-2100(バード3(*-nM"l)20P41P42P43P44P4B00A(A-l)3A(A-l)0PsiPS2P»3PS4P5500AJ-X+1X-1T001T001(5(32,3)(l-A)-ロバ・レリ2A2-A-110バー*-3a'—A+3-A\°0-3入’4-3A—23(1-A)3/ 120继续进行初等变换. 121/I0000010000000100M入-1)20000A(X-l)010000\-2A01To2(-A屮A-l)2A~ll-AA-2IP41P42P43P44P45PSIP&2PS3P54P55-♦00X入-1-100AT0n!《・-】)•C-ハクバー、ー01(?バTバ^wo》。ジ亠!)ノ入ス1〇A^—4AA“—A+3~A\00-3A+13(1-A)3<10000010000000100A2(A-1)00000A(A-1)0I2(-/100。〇、-2A01To*A^^4A—1)2入-I1—AA—21<-:むヒ>，壊)2X(I-X)-7バ0p&lP&3P55P34Ps&00AA-1T00AT0n〕(*■リCT>ラバースー1U1(Zバユか2>eバ亠”2人一入ー】10A，-イユAa-A>3-A、〇0亠+13(J-A)3/，1000〇、-2A01-102(メ+4A-1)2A-11-AA-J1岫・ル（・バ加リ請）*屮A(A-3)A盤“）•トバ出イ）K)M")-7A»0/’00-14-1A1hooo01000-1A0100001加--1。少3“・リ（レリ,像レJP.UJ）00100104スイ+3AJ-4A000A(A-l)0(。0330")-3A+1ノ^0000吹1）丿于是所求P（入），Q（入）及A的标准形分别为 122第2节标准形的唯一性detA=(スー2)31.求下列矩阵的行列式因子与不变因子（入ー2〇-1入ー20ヽ-11)1。0入—2ノ/A-100\0A-1000A-12)\5413A+2ノ'X+a010ヽA+o0100A+c03)I00-BA4•0/，000A+2\01A+200A+2004)1A+200。ノ'AQnヽ-1•XQn-1一1Aか5)I-1A+fli;解:1）将上述矩阵记为A,以D“d表示其行列式因子,不变因子.由于所以可知Di=D2=di=d2=l,D3=d3=（入ー2）3.2）将上述矩阵记为A,以D-d表示其行列式因子,不变因子.由于 123-100A-100A-1=-1,detA=A44-2A3+3A2+4A-I-5所以可得Di=D2=D3=di=d2=d3=l.D4=dq=ス"+2ス3+3入2+4A+53)将上述矩阵记为A,以D,d表示其行列式因子,不变因子.下面分两种情形讨论.(3A+a0=—23(ス+0)(1)0Ho.由于《凯02一a+a)2互素,故可知Di=Pa=あ=小二イ2ニム二1,。4=ノ4=((A+a)2+於)2.1234=1,A123134A+a001001=—(A+a)a,detA=(A4-a)4入+a〇(2)0=0.由于 124d3=(ス+ザ,ぬ=(ヌ+a)2所以得D尸Dz=l,。3=(ス+ザ,。4=(A+«)4,厶=d2=1,=一（ス+2）イ:::）=〇】0…+2），4）将上述矩阵记为A,以D,d表示其行列式因子,不变因子.由于而2级非零子式,为（入+2）或（入+2ア的倍式,3级非零子式为（入+2）2或（入+2）3的倍式,所以Di=l,Dz=入+2,D3=（入+2レDa=（入+2）セd.=l,dz=入+2,d3=入+2,d4=（入+2）z.A（""I=（—l）n-l,det4=ス"+ルバーI+…+qれ二iヌ+anい…n-1/5）将上述矩阵记为A,以D,4表示其行列式因子,不变因子.由于D\=£>2=•••=Dn-l=di=dz=…=dn-i=1Dn=ム=バ+aiAn-14-,••4-Gn-iA4-an所以可知 125第3节矩阵相似的条件1.设スwPnx”.证明A与A’相似.证:对于任何lvkvn,入In-A与入レーA'=（猫ーA）’有相同的k级子式.故有相同的行列式因子,故A与A’相似.2.设んB.ム,Bl€且A,Al可逆.证明AA—B与AAlBi等价的充分必要条件是存在可逆矩阵厂’"-L使得ん=PAQ,B,=PBQ.证:若存在可逆矩阵P，QWPm使得A尸PAQ,B,=PBQ,则有ス小一B]=-B）Q,.于是m—b与AAlBi等价.AA-B=A（AIn-AAi-Bi=ム（スムー4」Bi）反之,AA—B与AAi—Bi等价,由可知スA-B.XAi-Bi,XIn—4々ド与ス/n-AjBi均等价而スムーAB与"广ム加等价,即ズセ与a「凡相似.于是有可逆矩阵于是ん=AQ””Q,敏1パbq=&ん「Bi=Bi因而可取P=4|Q〃”Q=Q.3.设g（入）6P囚,AWpnxn,又g（A）=O.试证存在WQ0‘卩囚"”"使一）ム=（ルー项。）二则（ルT）得证:首先注意 126XkIn-Afc=(AIn)・一T=(Ain-A)£スス1+1i=0(AIn-A)g(A)In=p(A)In-g(A)=£ak(XkIn-Ak)k=0mm=£afc(AIn-A)Hk=£akHk(XIn-A)fc=lk=lm/m\=(AZn-A)y^akHk=I£。田人!(AZn-A)k=i\fc=i/记外一る'”.再设g(A=觴小+。/一1”i+…十qiMqo,于是有mQ(A)=R(X)=EflfcHfc因而可取*=i.4,设AePXn,又D】(ル卿)，…，反。)为M-A的行列式因子.试证存在B(A)6P[A]nxn满足:1)DJB(入))=1；2)(AIn-A)*=Pn_i(A)B(A).证:首先注意0朮り。ムー4).是en%(A/nー厶)的代数余子式,因而是入1n—A的n-l级子式的±1倍.于是可被Dn一心)整除,且entij(Mn-[正区れ的最大公因式为a-1(A)因而有叫(鴉-パ=Dz(帅,ル|レ4ハ)互素.于是B(A)=(如)为所求.5.设4€Pn”,di（A）,ゐ（入），…,ム*（人）是A的不变因子.证明へ（入）是A的最低多项式. 127ル囚=7^^,degdn（»Wnリnー】（入ノ证:以Dn-l（4,On（入）表示A的n—l,n级行列式因子,于是(Xin-Ay(\In-A)=Dn_i(A)B(A)(A/n-A)=Dn(X)In再由习题4,有("n—4)*=。《ー1(ス田(入).因此B(A)(AハーA)=dn(X)In所以可得deg3(degentu(AIn-A)*Cn-l再注意dn(X)=anAn+an_iA"-1+,••4-a】A+0〇(a,EPB(A)=Bn_iAn-l+Bn_2An-2+…+BQ+Bo,B?ePnxn于是可设故 128(バー】Bn一1+An-2Bn_2+…+Bo)(A/n-A)=anXnIn+An-1an-iZn+•••+aoLi-Bn-1=aJnBn-2-Bn.\A=On-l/nBo-A=—Bo4=。01べ以AゝAn,•••,AyLl依次右乘上面第1式,第2式,…,第n式与第n+1式,再相加.左面为〇,右面为cL(A),于是dn(A)=O.4W=p(A)?(A)现设g(入)€ア闪为A的最低多项式.于是g(A)=0,且9(川%(ス).因此(Ain-A)B(A)=dn(A)In=q(A)g(A)[n=^(A)(AZn—A)Q(X)g(人)是首项系数为1的多项式.再由习题3知有 129画e叫B(A)=hj又由习题4知,妬。（。《れ）互素,故人（ス）=9（ス）是a的最低多项式.（人\hム<，2ムノ5.设a,beR,且a2V4b.又るニ（1"）,求2n阶实方阵的不变因子与初等因子.解:A作为实方阵与作为复方阵的行列式因子是一致的,因而不变因子也是一致det（スI?ーム2）=A2—aA+b=（スース1）（スース2）ス1==（a+，q2—4b）ス2=^（a-一"4b）的.故先将A作为复方阵.由于=T142T2二小研んメ2）npr「2x2因为入は入2,故有」2モし,使得 130T=diag（T2,T2,.«-,r2）”个 131'b2'I2B2B=Tー14T=卜h^2y于是可得将B的行按1,3,...»2n—1,2,4,2n排列,再将所得矩阵的列按1,3,C=S~lBS=diag(J(Abn),J(A2,n))2n-l,2,4,2n排列,于是有S,使得diag(l,1,•••,1,(A—A])n,(A—A?)")2n-2个于是スん厂ス等价于“2n-C,等价于于是A不变因子为2n二I个”,(ス2ー。ス+评.初等因子均为(・一Q"+ザ7.设スWP“x",且为准对角矩阵A=(3〇)厶ユノ.试证A的初等因子为ん,ん的初等因子的并.证:设A的阶为n”入し—A的标准形为D”i=l,2.于是有m阶可逆矩阵P“Q”PQレー4)Qlワ.使得P=diag(Pi,P2),Q=diag(QHQ2) 132P(AZn-A)Q=diag(DbD2).则有于是由教材的定理6.3.3知结论成立. 133第4节复方阵的Jordan标准形1,求下列复方阵的Jordan标准形・<3100ヽ-4-10071211)\—7—6-10//1234\012300122)\0001/(1-303ヽ-260130-3133)1ー】208ノ/1-303\-2-60130-313、ー4—408)4)ヽ/4uC""cntijA=ent234=,,,二entn-in-A=15)，entniA=0.其他en吃4=0.解:以A表示1),2),3)及4)中所说特征矩阵・1）由于 134detA=入+1-1600スー2（入ー】） 135与detA互素,于是A的行列式因子为1,1,1,（入ー1）3初等因子为（入ー1）3故所求Jordan标准形为J（l,4）.=-4A(A+l)2）易得detA=（入ー1ア,而与detA互素,于是A的行列式因子为1,1,1,（入ー1）3初等因子为（入一I）“故所求Jordan标准形为J（l,4）.A-130—3detA=:八;60ーく=（A-1）2（A2-14A+19）1—20入-83）由于<030-3\2-50-13030-3\1-20-7/而diag(l,l,7+y/30,7-v/30)的秩为2,故A的Jordan标准形为A-130-3detA=:スす。ー?=（入ー1）（バー3バ+12入ー64） 136UJ入ー丄一0440A-84）由于而1不是ス3-3ス2+12スー64的根.又バ-3A2+12A-64（バー3*+12入ー64,（バー3A2+12A-64）り=1,因此的三个根ス2,ス3,ス4互不相等,且均不为1.于是所求Jordan标准形为diag（l,A2,A3,A4）.メ一3れ必ー&=（计リ3-3（"1八12（计ト世穽+9レ54注:入2,入3,“可用三次方程的求根的方法得到:令人=X+1.于是&=27+6，21&=27-6，51,3=4（-1+{3）记{ヌ2=1++\/^2ス3=1+32\/^7+3ス4=1+3\/^\+32ッ囲则可得5）A的特征矩阵为 137Vn-A=注意第n行,第1列的余子式为(-1尸一1故A的Jordan标准形为J(0,n)./A00\A=I1A02.设l。1ス丿.求Ak.A-スり=100，(ムーAZ3)2=000,(A-XI3)3=o解:注意X*=(A+(r-A))*-xk+*A*-*(i-A)+-1)A*t(i_a/(mod(エ・A)3)又多项式Xk满足却”I003,求」(ス0:")*1.解:注意(J(Aq.n)—XInY=J(0,n)1=特别（ノ（“0，"）—"7n）n=0, 138n-1工ん=（ス〇+3ース〇））"=£クナ‘吊ー’ノ（ス〇,れ）‘（mod（エ—Ao）n）i=0约定组合数。に在i>k与iVO时为〇.又多项式xk满足J（八〇,ザ=£优7MTj（0,ザ’ホ、Cアメf+2\GALマメー…..•代ギA・ノ于是4.设ん8£R""・证明存在可逆矩阵T€R"x"，使得广"T=B,当且仅当存在可逆矩阵S£びゝ使得尸AS二B.证:只要证明存在可逆矩阵S£C"x",使得S^AS二B时,必存在可逆矩阵TwR“xn使得T~[AT=B设5=51+/152352£11阴52科.AS=B可知AS二SB即ん(S]+ノコ;$2)=(Si+ノニ!あ)8因此 139A(Si+ルS2)=(Si+4$2)8,V/z6RASi=S\B,AS2=S2B进而由det(Si+V-1S2)キ0,知det(Si+g2)是n的非零多项式,故有円使det(Si+40S2)R0得于是得T=Si+〃oS2wRnxT-lAT^B叫;T7))s«。0)4.设即二Q+b，T,"レRb#0.求证存在可逆的SeC2X2,使得证:因为二:：27="""+('必(fFス〇そ為于是结论成立. 1404.设スo=a+bQ,a,bGR,b+0.证明2n阶方阵・ハ\D/0-(d+明,••工12a\hD/\/相似于Jordan矩阵diag(J(ス0,71),J(ス0,71)).证:由(2a)2一大紋+庐)=一4b2<〇和第3节习题6以及习题5可知,1,1,,,,,1,(ス2—2aヌ+(q2+b2))n、〜ン2n-1个所说方阵的不变因子为作为复矩阵,初等因子为Q-ス。)』(八ース。)",因而相似于diag(J(A0,n),J(A0,n))diag(BbB2,•••,Bs)7.设スERnxn试证A相似于下面形状的准对角矩阵其中B或为Jordan块“'ハ"),或为且メく助し而且除Bi,B2,•••,的排列次序外,上述形状的矩阵是唯一的（称为A的标准形）. 141｛（A-Ai）n\A,GR:メーもA+ん严,ん｝证:因为4£R“”,故A的初等因子如下D.I2D,而J仇,小）的初等因子为（入一ん尸,矩阵其中有m个I\1。，丿的初等因子为1（スー“ス+ん尸’.因而结论成立.A=£E]n-t-bl8.设i=!,求J（人,n）A.J（AJれ）=ATn+J（0,n）—XIn+£Ej+ij,j=i解:由于因此 142n-1n入ん+££Ej+i声…+1J-li-lJ(A,n)A=A/nA+(ミEj+“)An-1=入ス+>：Ej+iロー,+]J-l/A\A1J（A,vi）A—•,1、入1ノ写成矩阵形式注:A实际是将h的列（行）按照第n,n-1,...,2,1列（行）排列而得到.所以J（人,n）A只要将J（入,n）的列按照第n,n—1,...,2,1列排列即可.8.设J为n阶Jordan矩阵,则J可写成一个复对称与一个实对称矩阵之积.证:只要证明一个Jordan块可写成一个复对称与一个实对称矩阵之积即可.沿用习nn—In-1AJ（An）^4=A/n+〉[）:Ejn_.+]Ej+iれー=ATn+$:Et14-1—«7（An）题8的符号.注意到AERnxn且a'=A,A2=In.又J(An)=AJ(XげA于是可得A'=A,(J(An)'A)'=A'J(Xn)=AJ(Xn)=J(An)'A注意 143所以结论成立.注:AJ(入n)也是对称矩阵.10.证明任ー复方阵可写成两个复对称矩阵的积.证:设A是ー个复方阵,于是有可逆矩阵P,使得P4P=ノ为Jordan矩J=S\S2阵.由习题9,有对称矩阵ペ,Sz使得于是可得A=PS1S2P-I=(PS]P)((pT)'S2PT)其中psi',(pTyszpT都是对称矩阵.注:ー复方阵可写成两个复对称矩阵的积,还可要求这两个对称矩阵中的第一个可逆,也可要求第二个可逆. 1446.3名校考研真题详解ー、选择题1.设方阵AM,但Ak=O（k是某一正整数）,则ん（）相似于对角矩阵.［中国人民大学研］A.一定能B,不一定能C.不可能【答案】C【解析】由假设可设入k是A的零化多项式,则A的最小多项式为入m（IVm 145这里"i+〃2H卜"、=〃.于是111J（1.%）=..ヽI1下面证明J（1，几）〜J（1•匕）*,i=l,2,s.由,1,k1ゝ・k1它们的行列式因子都是D”,(ス)=(スー1)”,D”,ー】(A)==Di(A)=!于是《/(1,",),J(1,%•)*,i=i,2故Ak与A相似.2.(1)设n阶矩阵A和B有相同的特征多项式及最小多项式,问A与B是否相似?若是,则给予证明;若不是,则举出反例.(2)设A.3Gハイ3(C)都只有一个特征值入。,证明:A与B相似的充分必要条件是dim\\(A)=dimV\(B),这里ら(A)工⑻分别表示A,B的属于儿特征子空间.［武汉大学2009研］证:(1)矩阵A与B不一定相似,例如1000110001000100A=B=00110011.0001.■0001.则它们的特征多项式相同,均为(スー1尸,最小多项式也相同,均为(A-I)2.显然A与B 146不相似.P(AflE-A)P=A(E-B(2)=由A〜B,则存在可逆矩阵P,使得PAP—B.于是dim匕(A)=3-HXE-A)=3—NんE-B)-dimV^CB)因而rOcE—A)=ra0E—B),故"设dimV%⑷=dimKル⑻=川,优=123,则ふ的代数重数为3,几何重数为m,故A,B的若当标准形中对角线上皆为儿，若当块的块数为m.Ao1O,0Ao1、〇0Ao,当m=l时,A,B的若当标准形皆为故A〜B.当m=2时,A,B的若当标准形皆为 147Ao000Ao100Ao,Ao0O,0Ao0、〇0Ao.故A〜B.当m=3时,A,B的若当标准形皆为故A~B.综上所述,总有A〜B.2.设n维线性空间V上的线性变换A的最小多项式与特征多项式相同.求证:ヨae匕使得a,Aa,/a,…,ゴー泣为、的一个基.［北京大学2007研］ム（え）=ガ+ス一＞修+…+んス+%证:据题设,设A的最小多项式与特征多项式同为则.4的前〃T个不变因子为1，1,…，1,第〃个不变因子为ム（の容易知道，矩阵的不变因子也为1,1…14（ス）,所以存在V的ー个基れム…,ぬ使得A在这个基下的矩阵为A,即 148イ（る,厶…4）=（歯4.…4）イ/a,….イ・セ为v的ー个现在令a=或e匕则Aa=厶A2a=ふ…,/"A=或,基.4.己知矩阵122-10O'A=2a2B=0—10221.00b.问a,b为何值时,A与B相似,并求可逆矩阵P使得P」AP=B.［兰州大学2009研］a—b=—413a+み=8.解:若A〜B,则trA=trB,|A|=|B|,于是得方程组解得a=l,b=5.AE—AI=A—1-2-2-2A—1-2-2-2A—1=(A4-1)2(A—5)当a=l,b=5时,由故A的特征值为人|=-1,入z=5.解方程组（-E—A）X=0,取基础解系”=（1,-1,0）,,a2=（1,0,-1）解方程组（5E—A）X=0,取基础解系c（3=（1,1,1）令P=（Qi，。2，の）,则P7Ap=3,且A〜B.三、计算题1.设2n阶方阵 149A1EE)其中E是n阶单位矩阵.(1)求A的特征多项式;(2)求A的最小多项式;(3)求A的若当标准形.［华中师范大学研］UE-AU(八―ゼ，.(ハ2)E-E(A-l)£-E(A-DE解;(1)*,A2-2E=〇(2)由(1)知A的最小多项式至少是2次多项式,又因为所以,A的最小多项式山4(人)スーー2.4(A)=ム(入)=…=d"(入)=1(3)由于入E—A存在n阶子式1,所以有其n阶行列式因子"“=1，从而有又d2n(入)=入ユ-2,所以ム.［(人)：：…二d2n(人):八〜2.从而A的若当标准形为2.设A为n阶方阵,det(A)=18,且34+A*=15J其中a・为 150A的伴随矩阵,し为n阶单位矩阵.(1)求A的ー个零化多项式;(2)求A的最小多项式m(A):(3)求A的若当标准形.［武汉大学研］A2-5A+6E=0解:(1)对34+A'=15E两边左乘a,移项整理得/(A)=A2-5A+6所以是A的ー个零化多项式.(2)由(1)知,所求最小多项式m(A)是/(A)=(A-3)(A-2)的因式.所以m(A)只能为3-2；A-3或(入・3)(A-2).如m(A)为一次,即加(八)二八一S或入ー2,则有A=3E或A=2E,det(A)=18此均与 151m(入)=(A-3)(入-2)相矛盾.所以（3）由于A的最小多项式与特征多项式不计重数时根相同,由（2）得A的特征值为3和2,又A所有特征值之积为del（A）=18,所以A有且仅有另外一个特征值3.即A的所有特征值为3,3,2.因此A为3阶方阵,其不变因子为1,入ー3，（入ー3）（久一2）•所以A<3ヽ3I2ノ的若当标准形为3.已知。也ce尸,求矩阵b’丿的极小多项式.［中山大学2008研］20-1ス、〇ー】ス(2)+(1)(0だ(3)+(1)-1T1°0万一Cxi'ーシえ—40オーこ万—bス—ai00-10解:解法1:考虑特征矩阵的初等变换故所求极小多项式为えーC宏一以ーa.-1え解法2:直接计算矩阵的不变因子为03=才一C才一ル1-4,因为0ー1一,则な=1,所以所求极小多项式为2+2=えーイ-4-a.4.设 152’131616A——5—7—6、一6一8—7求矩阵A的不变因子,初等因子,若当标准形,有理标准形.［燕山大学2010研］A—13—16—16IAE-A1=5A4-76=（A-l）-11A=22-112-1,5.设求方阵P,使P-AP为A的若当标准形.［中国科技大学2010研］（A4-3）68A4-7解:因为故A的特征值为入2=3,尢=1（2重），1的几何重数为3-r（E-A）=1,故A的若当标准形为diag（—3,J（1,2））.A的初等因子是A+3,（人-1）へ不变因子是4（ス）=ん（ス）=14（ス）=（スー1尸（ス+3）0〇-3105,01一L由イq（ス）=ス3+ス2—5ス+3,故A的有理标准形为 153スー21一1IAE—A|=一2ス一21=（A—1）-1-2A+1解:因为所以A的特征值是1(3重)，1的几何重数为3—r(E—A)=1I故A的若当标准110J=011,001.形是设P=(ai,处,の),使PAP-J,于是A(©,な?,の)=(©.©)J,故Aa】=环覆?=a-a?,Aa<=妣+a3,即(E—A)ai—0(E—A)な?=—a1(E-A)a^~—a>解齐次线性方程组(E-A)X=0,得治=0,x*=X3,取其基础解系ai=(0.1,1)\1=1-1-解线性方程组(E—A)X=—s,得い一づター五十/3,取特解氏=।マ・，,〇)=2___1解线性方程组(E—A)X=ー。2,得あー9ふーー不十由,取特解小=舟ー会0)'. 15401/32/9P=11/3-1/9100则p」ap=j注这里取特解ル=（すす（り,也可以取别的特解（更可靠的办法是取通解）,我们的目的是解方程组（E-A）X=-使之有解,从而可以得到。3, 155第7章Euclid空间7.1复习笔记ー、Euclid空间的定义1.Euclid空间（1）定义设v是实数域r上的线性空间.v上的二元实函数（0，3）如果满足:①对称性:（a,万）=（6,a）,Va,/3€V.②线性性:（M+辆,6）=晒f）+M助班曲，尿eV.③正定性:（a,0）》〇，而且（a,a）=0当且仅当a=0.则称（a，°）是V的ー个内积.定义了内积的实线性空间称为Euclid空间.（2）性质①伍M1+附=Ma仇）+卜2（。%）.②（0,B）=（⑶0）=0,VZ36V.\ka\=因|a|,keR,aEV③（a,a）ユ〇,故，（a,a）有意义,称为a的长度,记为㈤•则\a\=。当且仅当a=0・\ka\=,（Ka,ka）=y/k2（a,a）=|fc||a||a|=0即（a,ot）=0,即a=0.若aヰ0,则底的长度为i.占0称为a的单位化.长度为1的向量称为单位向量.2.夹角设0，0为Euclid空间V中两个非零向量,则称 156g,/3)=arccosW3F,为a与卩的夹角.1.正交（相互垂直）设。，。是Euclid空间v中两个向量若（a,0）=〇,ー则称a与©正交（相互垂直）,记为。丄6・〇丄a,Vaeレ;aJLa当且仅当a=0；a/0,万ナ0,a丄3当且仅当（ロ，=Q2.相关定理13,即ぐ训例Va,“V（1）设V为Euclid空间,则而且等号成立当且仅当a与3线性相关.注:上式称为Cauchy—EyHnKOBCKHii不等式|a+/3|一|a|十冋（2）设v是Euclid空间,a，万€レ,则下面三角形不等式成立（3）（余弦定理）设（a，°）为Euclid空间两个向量,则|a-^|2=|a|2+|/3|2-2|a||/3|cos（a,伊（4）（勾股定理）设Q1,。2，,Qk为Euclid空间V中向量，且峋（a,Qj）=o时, 157+。2+…+ttfcl2=|«1|2+何2『+…+冋イ2,贝リ1)设,，ん‘R，’=1,2,,•,,ハ,则f{x}g(x)dxW(/f2{x}dx1/2（2）设ハ，'g⑴£a①可），则二、标准正交基1,正定矩阵设厶eR"Xれ如果A满足下面的两个条件:（1）A是对称矩阵,即ユ’=厶;（2）YX€Rlxn,X7^0,XAX'>0.则称a为n阶正定（对称）矩阵.2.正交矩阵（1）定义'设スeR"xn如果ん4=Zn,则称a为n阶（实）正交矩阵.（2）性质①7rx是正交矩阵.②A为正交矩阵,则41=A'也是正交矩阵.③A,B都是正交矩阵,则AB也是正交矩阵. 158(厶B)(AB)'=ABBA'=In.所有n阶实正交矩阵的集合记为°(%R)-2.正交向量组设口2，.',,仪え为Euclid空间V中非零向量组(即〇，丰0,co.若,ナ，时,(，,％)二0:,则称。1，…,Qk为正交向量组.3.标准正交基(1)定义n维Euclid空间V中由n个向量组成的正交向量组称为V的正交基,又若正交基中每个向量都是单位向量,则称为标准正交基.(2)性质加g(d])d2)…,ム，dj-(otj,aj>0①v对于正交基a1，。2，，。れ的度量矩阵为对角矩阵1l«n|11厠小區!S，…,②仪1，°^2，,…，为正交基,则为标准正交基.③v对标准正交基ミ1，©2,•’‘，£れ的度量矩阵为/瞪・又crd(a;€1,£2,…，£n)=Xcrd(0;Cl,e2,…,en)=Y,则QB)=x'y.④《1,£2,•••,£n为标准正交基，aW匕则 159na=),(a,£l)£icrd(a;£いむ。»金)=(a.£1)(a门)(。，，)/2.相关定理⑴设V是n维Euclid空间,01，°2，'''，Q?!为V的ー组基,则有以下结果'(cki.a】)(ana2)•••(«i,an)ヽ(。2,5)(。2,。2)♦・・(。2,an)A=ヽ(an,«i)(0…«2)•••(an,an)ノ①矩阵是正定矩阵，称为v对于基a1，。2,‘一,aれ的度量矩阵. 160crd(cx;5,a2,•…,aれ)=Xcrd(/3；oti,oc2,•••,a九)=V②设0W匕(a,3)=XfAYTT(alQ2,•,Ctn\一ゝ函的…M)③设31，。2,•••，けれ为V的另ー组基,又为从“1,…,Qn到万1,62，…，ル的过渡矩阵,v对仇，仇，…,6n的度量矩阵为B,则B=T'AT(2)设Qk为Euclid空间V的正交向量组,则Qb。2,',ヽQk线性无关,因而kWdimV.(3)设£1，62,,£几为Euclid空间V的标准正交基.Qh。2，，Qn为v的ー组基.则Ql,Q2,・・，，On为标准正交基当且仅当从身,©2,,*'5£れ到'，Qn的过渡矩阵t为正交矩阵.6.Schmidt正交化方法£1、62,',•,£れ定理:设V为Euclid空间,°レ"2，‘‘‘，0”是ー组基则在V中有标准正交基 161丄(6,3…，Q/J=丄(身)實,…，£ホ14k《n7.推论⑴若6，ロ2,…,佻是Euclid空间V的正交向量组,则Q],な2,…，aAc可扩充为v的正交基ロ2,…1佻+卜…,。ル(2)设a是对于基0卜02,jQn的度量矩阵,则有可逆上三角矩阵t使得TAT=In.⑶设TeR"”则t为正交矩阵当且仅当rowiT,row2T,…,rowセ为Rixn的标准正交基;当且仅当ColiT,CO12T, ••,ColQ为R"x1的标准正交基.三、Euclid空间的同构1.同构映射(1)定义(c(a),。(3))=(a,0)，Va,66レ设V与V’都是Euclid空间,0是V到V’的线性同构映射,且则称。是V到V’的同构映射,并称V与V’同构.(2)性质①自反性.V与V同构.②对称性.若V与V’同构,则V’与V也同构.③传递性.若V与V'同构,V,与V”同构,则V与V”同构.2.定理dimV=dimV'设V与V’是两个有限维Euclid空间,则V与V’同构的充分必要条件是nn特别地，任何n维Euclid空间都与上£同构.四、子空间1.正交子空间 162（1）定义设丫トV2是Euclid空间V的两个子空间.如果"a€ソいQ£レ2,有（a,6）=0,则称し与%是正交的,记为（レ1,レ2）=。或V］丄ビ2・若a€V,Y/3Wレ］有9,。）=°，则称a与V1正交,记为a丄片或（外％）=0.（2）性质①若（匕,レ2）=0,（匕,レ3）=0,则（レ1,レ2+レ3）=〇.②若（レ1,レ2）=0,则レ1Gレ2={0}.③若（W,ル）=0,则ッ={0}.2.正交补设ド1是Euclid空间V的子空间.如果V的子空间%满足:（1）（レI,レ2）=。;⑵V=V14-V2.则称ビ2是ド1的正交补.若ソ2是V1的正交补，则ジ1也是ジ2的正交补.3.内射影。=。1+。2,€Vba2EVy设V1是n维Euclid空间V的子空间,又aeV.则由a的唯一分解确定的。1称为a在子空间%上的内射影.V到V1的映射。t又称为v到V1上的内射影.4.距离d（仇％）=min{如,a）=-a|}aWi设V"1为n维Euclid空间V的子空间,万€レ・称为万到丫1的距离.5.最小二乘法在实际中往往知道Vi的ー组生成元01，02,'…，Qs,求出ー元素万在ッン上的 163内射影,这种方法称为最小二乘法.注:在实际中可能需要解非齐次线性方程组（在实数范围内）AX邛,但由于某些原因（如测量误差,资料不准确等）,这个方程组无解.此时就用A，AX=A下的解作为1ケ卩=+16ドー2laii例cosん的近似解,称为IケK=|q|2+16卩-21all81cos4的最小二乘解.求方程组的最小二乘解的问题称为最小二乘法问题.注:AX（X满足A，AX=A乍）是0在〃811ん…,81s4）上的内射影.6•相关定理（1）设W是Euclid空间V的线性子空间.将V的内积限制在W上,则W又称Euclid空间.（2）设ソ1,レ2,•一,レ\是Euclid空间V的子空间，且,#う时,S匕=v1+V2+,•,4•匕<=1（Vi>匕）=〇则（3）设V］是n维Euclid空间V的子空间,则%有唯一的正交补,记为ブス（4）设ヅ1是n维Euclid空间V的子空间,又3€レ，且d（四％）=伊2l=d（仇氏）B=仇+%为€V1IdCリL（如图7-1-1所示）则 164图7-1-1¢5）设Vl=。2,…，%）为Euclid空间R”的子空间.设0WR，0在口上仇=『is+e2a2+…+エ6as=（。1,。2,…，Qs）X的内射影为A'AX三A'A—91工ユ,…,以）则X满足7.推论v^{aev|（q»レ1）=0}¢1）ジ的子空间メ1的正交补为（2）/3eV1当且仅当d（/3,V1）=0.五、共飘变换与正规变换1.共柜变换¢1）定理设V为n维Euclid空间,AeEndV，则存在唯一的乂・GEndV使得 165(4q,0)=(a,ズかVa,/3eV称ス*为ン4的共鋸变换.(2)性质①(<+B)*=/*+8*.②(L4)*=kス,keR.③(4B)*=&/*.④(ん)*=4⑤ユ可逆,虬4・可逆,且(ス尸二(47)，1.正规变换X4*=スひ设V为n维Euclid空间,AeEndV.如果则称A为正规变换.2.正规方阵AA!=AfA没AGRnxn如果则称A为正规方阵.正交矩阵,对称矩阵与反对称矩阵都是正规方阵.3.正规变换的标准形4=diag(Ai,ヌ2,…,Ar,4,4,…，4) 166定理:设ノ4为n维Euclid空间V的正规变换,则ノ4在某标准正交基下的矩阵为 167Fj>0/cos，—sinipiAt=^\sin屮i5•相关定理（1）设",ら,£れ为Euclid空间V的标准正交基,A6EndV则」为正规变换当且仅当/I在£1,£2,***?£れF的矩则匕的正交补W阵为正规方阵.（2）设ノ1是Euclid空间V的正规变换,レ1是ノ1的不变子空间,又称ス的不变子空间;而且V】•レf都是ス“的不变子空间.4="cos夕-sin^\r＞（）（3）设A为2阶正规方阵，且其特征多项式无实根.则有（4）设ス为n维实线性空间V的线性变换,则ス有1维或2维不变子空间.6.推论M（イ・;£1,£2,…,品）=M5:£卜£2,…,金）'（1）若£1，じ2，，£れ为标准正交基,则（2）若い是正规变换ス的不变子空间，则スル1是レス的正规变换,且（スレ］）*=4*1%.（3）实れ阶方阵工为正规方阵当且仅当存在正交矩阵Q使得 168QAQ=diag（Ai,…，Ar,Ai,•••,As）4=%（3例-sing）,r<>0ysin（ficos/iJ六、正交变换1.正交变换（Aot,A/3）—（a,/3）,Vet,0EV设V为n维Euclid空间,A€EndV.如果厶满足则称ノ为正交变换.将V的所有正交变换的集合记为0（V）.2.相关定理（1）设v为n维Euclid空间,A£EndV,则，4对下列条件等价:①ノ（是正交变换;②|«Aa|=|a|,VaeV;③/将标准正交基变为标准正交基;3ス在标准正交基下的矩阵为正交矩阵;44=/T.注:若ス将某一组标准正交基变到标准正交基或在某ー组标准正交基下的矩阵为正交矩阵,则ノ!一定是正交变换.Af（«4；£1,<2,…， 1694=(cosq-sin^X]W，W力 1703.推论(1)若スcO(V),则パwOM・(2)若A8wOM厕如€0(り.(3)设ス叨(丫),〃ス)=det(》id一川为メ的特征多项式.若ス0为f(入)在c中的ー个根,则ス0%)=1.(4)设スe。(レ)，IjiijdetA=±1.若 171（1）推论设4€Rnxn.A'=A,则存在正交方阵T使得T-14T=T/AT=diag（Ai,A2,•••,A”）为对角矩阵,此对角矩阵称为A的标准形.（2）求实对称矩阵A的标准形的步骤①求出A的特征值ス1,入2,•一，Afc.②对ス求出齐次线性方程组（スtin—厶）X=〇的基础解系,并用Schmidt方法将其正交化,即求出&.（4）的标准正交基りハ，り12，’一，りtn,.T'AT=diag（AiZm,-”…,スメn*）③令T=（りい…，り川,"2い…，り则T为正交矩阵,且ハ、酉空间及其变换1.酉空间（1）定义①酉空间设V是复数域C上的线性空间.V上的二元复函数（a,P）若满足下面条件:a.（a,/3）=（3,a）,Va,0€レ,这里（⑶。）是（p,a）的共筑复数;b.（岛ai+k2a2,3）=岛（6,3）+k2（ot2,3）.Vai,a2,/3€V,ki,k?€C:c.（a,a）》0,而且（a,a）=0当且仅当a=0.则称（a,P）为V的内积,并称V为酉空间.②半线性（a,岛万1+ル262）=ん】（。,万】）+ん2（。,。2）若内积对第二个变量满足则称此内积是半线性的. 172③长度称e=ノ8,。）为a的长度.④向量夹角从Cauchy-BymiKOBCKH说不等式,可定义两个非零向量a,B的夹角为 1739,4=皿マ譬第,。"a"）ぜ⑤正交正交向量组标准正交基若（a,p）=0,则称a与。正交.非零向量组•一,oん中向量若两两正交,即当峋时,（«»»aゴ）=0，则称为正交向量组.酉空间的基。1，。2,•…，an,若满足（。い°j）=ら，1W，，jW七则称为标准正交基.⑥酉矩阵A€cnxn,且满足スス=AA'=厶.则称A为酉矩阵.⑦共筑变换设V为酉空间,jleEndV.则存在唯一的线性变换ス・使得Ma,仇=（a.A^）,Va,0®V,称ス・为4的共筑变换.⑧正规变换若=ん!.则称工为正规变换.若ス为正规变换,则有标准正交基瓦，电，…An,使得M优4勛…，&）=鹹侃ル,…）八）.此式称为正规变换的标准形.⑨Hermite变换Hermite矩阵若ス*=4,则称ノ!为Hermite变换.ス在标准正交基下的矩阵A满足ズ=ん这种矩阵叫做Hermite矩阵.⑩反Hermite变换反Hermite矩阵若ス*=--4,则称ス为反Hermite变换.ズ在标准正交基下的矩阵A满足ズ=-4,这种矩阵叫做反Hermite矩阵.（2）性质（a,-+—2）=6（。,0i）+国a,32）①内积对第二个变量是半线性的,即这个式子也等价于下面两个式子 174(a」8)=I(a,fl)(a,A+a)=(a,即一(a,02)②|a|=0当且仅当a=0.③Cauchy-Byn冰OBCKMH不等式成立,即।(a,p)|<|a|.|p|.而且,当且仅当a,P线性相关时等号成立.④交向量组必线性无关.(a，<>i)crd(a:aj.a2.….an)=(a.a2)(a,<>n)ノ⑤向量的坐标及内积有如下形式(a,6)=crd(a;aセ。2•…，ajcrd(0:an,。2,…，%)⑥对酉空间v的任何ー组基。1，02,••ヽOn,用Schmidt正交化方法,可找到标准正交基ビ1,&2,•••,三几使得L(£1,£2,…，£0=厶(aトク2,….at),1《礼⑦若A,B为酉矩阵,则A",AB也是酉矩阵,即|detA|=l.从标准正交基到标准正交基的过渡矩阵又称酉矩阵.⑧酉空间V的子空间匕也是酉空间,且当dimVVs时,有レ=Vl+V^,其中リア={a€V|(a,3)=0，V3€ジ』为V的子空间,称为ビ1在V中的正交补.⑩对于酉变换下面条件是等价的:a.(4a,A0)=(a,万)；b.(4a.4a)=(a,Q),或114al=|a|；C.ス将标准正交基变为标准正交基;d.メ在标准正交基下的矩阵为酉矩阵. 175⑪Hermite变换的等价条件:a.（/Q,。）=（a.项）,ね,0€匕b.4在标准正交基下的矩阵A满足ズ=4Hermite变换的特征值为实数.⑫反Hermite变换的等价条件:a.（＜a,3）=-（a,万），Va,/3EV;b.ス在标准正交基下的矩阵A满足ス'二一ん反Hermite变换的特征值为纯虚数.九、向量积与混合积1.相同的定向与相反的定向（1）定义设Oil.ft2,&3与月2,都是基,如果则称Q1,。2,。3与Qi,62,33有相同的定向.否则称Q1,。2,。3与01,©2,万3有相反的定向.（2）性质①a1,a2,。3与自身有相同的定向.②若6,。2,。3与31,万2,仔ヨ有相同的定向,则氏,仇,3ユ与四,Q2,伍有相同的定向.③”坳。当ル,区,应有相同的定向,31»鱼,B泻メ,72,73有相同的定向,则。2,。3与ナ1，72«サ3有相同的定向.④a1,“3与。2、。3有相反的定向;任一'基氏:万2,万a或与。:1,Q2,Q3有相同定向，或与口2,«1,。:3有相同定向.2.右手系若基。2Q。3与右（左）手系标准正交基定向相同,则称Q1,。2,。3为右（左）手系.3.向量积 1763设但1,£2,£3｝是右手系的标准正交基.』""ー5'*,则a与£1£263の02。3bl62と30的外积（向量积）,记为ax0,%硼+岫7岫+岫7岫,ax万=det由上面定义,可用行列式符号表示1.混合积设a,0,Y是三个向量,称（。，仇ケ）=（axB,ナ）为a,B与丫的混合积.2.向量积与混合积的几何意义A邛与a,。正交,且a,p,ax0构成右手系.&X例=|a|・|3|・sin（。,万〉恰为a,B所张成平行四边形的面积.以。表示（ax0,Y）,则（a，日,））=|aX例•Ecos。.其中Mcos。为丫在ax0所在直线上的投影，而此直线恰为a,0张成平面的垂线（又称法线）,因而l（a，3，ナ）1为以a,0,丫为棱的平行六面体的体积.当a,p,丫为右手系时,（a,p,Y）为正,当a,P,丫为左手系时,（a,P,丫）为负,因而称（a,P，丫）为a,p,丫张成的平行六面体的有向体积,也简称为体积,如图7-1-2所示. 1776•相关定理(1)设£1,£2,《3与£ノ,£2’，£3’均为右(左)手系标准正交基,则£1,却2ゝ63与£1',£2’,23’有相同定向.(2)设a,0是两个向量,则:①|aX0|=|a|•\/3\sin(a,0),04(a,6)W万②(aXB,a)=(aX函0)=0.③若a,0线性相关,则ax0=0;若a,0线性无关,则a,0,ax0也线性无关,且构成右手系.(3)设a,p,丫为向量,k为实数,则下面结果成立:①aX白=ー万Xa;②(んa)XB=ん9X/?)=ax(Ar/3);③(a+6)x)=ax)+6x),ax(3+))=ax/3+ax)(4)设(聲,ら,0｝为右手系的标准正交基.又 178a=乙a声い0=とん％,ナ=)i=l1*1i=l,则 179Q1。2。3(a,8,7)=Mb2b3ClC2C37.利用向量的内积,向量积与混合积,写出空间平面的方程(1)通过点,与向量a垂直的平面方程为(R)P，a)ー0.如果在直角坐标系｛0;","｝中R的坐标为伍，W，M)q的分量为a,b,a(x—x0)+b(y—y0)+c(z—z0)=0c,则可写成(2)通过ル点平行于向量a,p(a,P不共线)的平面方程为(2P,aX0)=0,或(〇:,ar)p)=o.若在直角坐标系｛0;舁，£2J引由R)的坐标为(如的,4);a,p的分量为i-xqy-yoz-zqaiaZ。3-0，hb2b3Ql,Q2,Q3与ん,电,公.则上述方程可写成 1807.2课后习题详解第1节Euclid空间的定义a=Si,。2),0=(团,电)1.在R2中定义下面六种二元函数.试问R2对哪些是Euclid空间.这里1)(a,。)=a他+。2瓦;2)(a，0)=(ai+。2)瓦+(の+2a2)あ;3)0]=aibi+q2b2+1；4)(a,0)=Qibi-a2b2；5)(a,0)—3a161+5a2あ;6)(a,0)=paybi+qa2b2.p,<7€R.解;1)由于a=(0,—1)时,(a,a)=0,因而对此二元函数不是Euclid空间.(0:,0)=(ai+02)61+(ai+2a2)62=(01,02)((团)2)由于(a,a)=a?+2-。2+2a；=(a［十02)2+ag>0因而(a,/3)是对称双线性的,又a=キ0时因而对此二元函数是Euclid空间.(7ca,3)=仙瓦+ka2b2+1/k(ct用3)对于kGR,kナ1时,有即此函数是非线性的.因而对此二元函数不是Euclid空间. 1814)对a=(0,1)ヰ〇,有(a.a)=-1<0,即此函数是非正定的. 18230因而对此二元函数不是Euclid空间.(a,0)=3ai6j+5q2b2=(a1.02)5)由于(a,a)=3q?+5qう>0因而(a，0)是对称双线性的,又a=(a],Q2)*。时,有所以对此二元函数是Euclid空间./p〇、(瓦(a,3)=卬出+/2与=(。い。2)ハ,V〇q)ゝ36)由于(a,a)=加キ+滋因而(a，0)是对称双线性的.又当a=(。1，。2)キ0时,有故当p>0,q>0时,对此二元函数是Euclid空间，否则不是.2.在R?xn中定义二元函数(A.B)=tr(4B'),M4.BwR"n.证明R"n对此二元函数为Euclid空间.(B.A)=tr(BA,)=tr(BA，Y=tr(AB')=(A.B)(*i4+k2A2,B)=tr((后ん一①ん归‘)=A'i(A|.B)+k^A：.B)(A.A)=tr(4W)=£(entv4)2》0(44)=0当且仅当ん=0证:因为 183因此结论成立.H= 184d(a0)-即,7)くd(a,7) 185[0\-即。)=0,Va€V因此凡ー。2=。,即61=饱.7.在R"中求ー单位向量与(1,1,-1,1),(1,-1,-1,1),(2,1,1,3)正交.ェ]+て2ー13+工4=〇X\-X2ーエ3+工4=〇く2X1+N2+丁3+3エ4=0+場+竭+竭=1解:设所求向量为a=(あ,エ2,エ3,エ4),则有首先求出由前三个方程构成的齐次线性方程组的非零解,再将此解单位化得所要求的向量为a=土ふ(-4,0,T，3).0+例2+心一例2=21al2+2冋2,⑸⑶=扣+例2一;同一Z3|28.设V为Euclid空间,a,pGV.试证a十32+。ー刼ツ=9+3.a+S)+(a-仇。ー3)=2qド+23|2a+02-a02=(a+0.a-t-0)-(a-0.a-0)=4(a,0)证:直接计算因此上述两个公式成立.9.设a，8为Euclid空间中两个单位向量,且ar万，试证(へタ)#L证:因为a-©/0,故a~例2=2-2(a.0)>O.因此(a,0)ナ1.注:由证明可进ー步得(小。)<1.10.设'ビ为Euclid空间V中两个向量,且/〇.试证〇十リ」°巧当且仅当a=k/3,kユ0 186证:|a+阴=|a|+网当且仅当|a+。卩=（岡+|0|ア成立,当且仅当（a,万）=|a||一a=k。,k>0成立,当且仅当ク，0线性相关,且（a，万）ユ〇,当且仅当\a-0\\y\W-ーケ|冋+|。ー711al7.设a,3,ナ为Euclid空间v中向量.试证并讨论何时取等号.证:若。，©，ナ中有为。者,则上式成立.故设它们全不为。.令a'=\a\~2a,0=mド民y=卜門n>a>,2__12（a,/3）1_a—02@3一岡2■・向弼而一司旅则有1"ー田=皆^于是可得a'-,'1=.:7.IV-屮—071Iall7l517p1-TyiiX同理有 187メータIWI”-VI+げーVI再由㈤冋、MIj!」ウ|可得a-0g|4|aーフ|向+0-y\\a\两边乘以Mil例印,即得若a,0,3q-0,。ーメ8ーナ中有为。者,这时,可视为二维空间的向量,可视它们或为一点,或为ー线段,或为三个不共线的点,总之这些点在一个圆上.々ー巾=|az-け|+げー巾现假定这6个向量都不为〇.上式取等号,从证明知必有因此a，8,1线性相关,故可视为2维空间中,即平面中向量.在平面中取点:〇,A,B,c使得a=。ん0=0B.ケ=0C.由平面几何的Ptolemy定理:凸四边形内接于圆的充分必要条件是四边形两对对边乘积之和等于两对角线的乘积,即a-0け尸aーサ网+0ーザれ,当且仅当。,A,B,C共圆.注：空间四点,可以连接六条线段,此例给出了这六条线段的关系,称为Ptole-my不等式,或Ptolemy定理. 188第2节标准正交基1.设ん=他リ）WR""为正定矩阵,而a=（力，了2,…,エn）,6=如段,…,ル）6Rlxn=R".在R"中定义二元函数（a，6）=aA0'.1）试证（。，°）为内积,R"为Euclid空间;2）求对于基ア。0,…向旬=（0」，…用…，。二（0，…,”リ的度量矩阵;3）写出对此内积的Cauchy-£vr只kobckh的不等式.证:1）（a，3）是双线性的,又由A'=A,知对称性成立,由A正定知正定性成立.故为内积.2）对于基£1,芭2,,一,的度量矩阵为A.乙aijUUjW£%产1も、と。リV必，レ，=1\i,j=lヽ,げ=13）对此内积的CauchyEvHHKOBCKHii不等式为2.设V是R上n维线性空间,Q1,&2,一，，Qn为基.乂AwRnx”为正定矩阵.试证可在V中定义内积使V是Euclid空间,而且对于。2,,一,れれ的度量矩阵为A.9,0=x"证:设0，ズ在所述基下坐标分别为x,y,定义则a，3是对称、双线性、正定的.故V为Euclid空间.对所述基的度量矩阵恰为A.3.证明下面矩阵是正定矩阵.f2ーコ）1）1-36ノ;'I〇〇、-^1-10 1890-12-12）1。。T2丿;‘2-10..•〇、-12-1：0ヽ.0:工・12-13）\00ー】2/.证:将要证明正定性的矩阵记为A,只要计算X,AX即可.1）因为X4X=2岩-6あ工2+同=2（力一/）2+躬2〇,且为〇当且仅当あ=め=0.故a正定.2）因为X'AX=h泊（ヵ一党+佃+わ-増+物ーロ）"。,且为〇当且仅当X=o.故A正定.3）因为X'AXM+い増+”叶（ス・「一+ビ）。,且为〇当且仅当X=0.故A正定.4.AfRnxn.试证A为正定矩阵当且仅当存在可逆矩阵C€R’"n,使得A=C'C.证:设A为正定矩阵,于是在Rlxn中,（X,Y）=XAY’为内积,R」xn为Euclid空间.对基£1=（L0,…,。）,6=（〇」,…,〇）,…,金=（0，…ルリ的度量矩阵为A.设从口，£2,•••,£n到标准正交基G1,。2,•••,an的过渡矩阵为T,则丁AT=In.令の=TーI于是A=C'C.反之,A=C'C,C可逆.于是A'=A,且XeRixn,XM时,有XC'*0.于是XAX'=（XC'）（XC'Y>0.即A正定.5.设A为正定矩阵,试证detA>0.证:由习题4,有A=C'C,C可逆.于是det4=（detC）2>0.6.设61,£2,£3为3维Euclid空间V的标准正交基.试证 190=扌（2ナ+2£2一方），8=:（2门ーの+ク⑹,。3=キ他】ー2£2-2£3）也是标准正交基.2212-1-2-12-2证:容易验证矩阵是正交矩阵,于是在1，。2，。3是标准正交基.け（工），g（エ））=£1メエ）g（エ）な4.在Rヌ】4中定义内积从1.エ,エ2,エ3用Schmidt正交化方法求出R㈤4的ー组标准正交基.（1,（1）=2,（1,ゼ）=（X,x）=|（l,z）=（1,T3）=（Z,T2）=（エ3,エ2）=0江,エ3）-（ボ,エ2）=看,（エ3,エ3）=|解:容易算出由此可得正交向量组 191徐冬、手（3ハ1）,孚5エ3宀）再经过单位化,可得标准正交基8.证明上三角矩阵为正交矩阵当且仅当它为对角线上元素为1或ー1的对角矩阵.证:设T=（幻）为上三角矩阵,于是T’为下三角矩阵.T为正交矩阵,当且仅当tn=±1上三角矩阵的逆矩阵也是上三角矩阵.若ア为对角矩阵,则T也为对角矩阵,且显然,对角线上元素为1或ー1的对角矩阵既是上三角的,又是正交的.9.设スsRn",且detAR.试证存在正交矩阵Q与上三角矩阵T,且の5グン0,使得A=QT,且Q,T是唯一的.证:因为detAM,故COhA.COトん…，COレ4为Euclid空间的基，由Schmidt正交化方法,将其变为标准正交基Qi，Q2,…，Qn.此时,从。。hA,cohA（Ql，Qか….Qn）=（叫ん岫丸…,叫⑷ハ…，ColnA到Ql，Q?，ヽQn的过渡矩阵Ti是对角线上元素为正的上三角矩阵,即于是Q=（Q1.Q2・…,Qn）为正交矩阵,T=ア」仍是对角线上元素为正的上三角矩阵，且A=QT.若有正交矩阵P,对角线上元素为正的上三角矩阵S使得A=PS,则有QT=PS.于p-[Q=ST'1=In是pTQ=5T-i是正交的,上三角的,对角线上元素为正.因此由习题8可知即P=Q,S=T.注:A也可唯一地表示为ん二丁1し1,し1正交，T1为对角线上元素为正的上三角矩阵. 192事实上,设A1=Q2T2为相应的分解，则A=IQ2I=T1Q1.9.设ん£Rnxn为正定矩阵.证明存在上三角矩阵T.使A=TT.证:设A为正定矩阵,于是在Rレ"中（X，y）=为内积,Rlxn为Euclid空间. 193对基&=（Lル“•,0）,£2=（0/,…向…隔=（〇,…,〇」）的度量矩阵为A,用Schmidt正交化方法从身，£2,…,品可得标准正交基02,••ヽ«n,此时过渡矩阵C为上三角矩阵,且C'AC=h.令T=C7,于是A=T'T.11.试证Lcos爲sin或，一，cosnXysinルス,・い是Euclid空间C（［0,26）的正交向量组,并将它们单位化.sinycosz=；(sin(j/+z)+sin(y-cosycosz=：(cos(y+z)+cos(シ・sinysinz=I(cos(g-2)-cos(yTsin2y=；(1-cos2y)cos2V=；(cos2J/4-1)证:因为三角函数关系,2ガ,2ガcoskxdx=sinkxdx=0.k€JoJo及三角函数的积分11.1—=,—=sinmx,—=cosmx,x/5?ハ6知1,cosh,sinx,•••,coenx,sinnx,•••是正交向量组z))-z))7))Z,k#0771€N.它们的单位化是 194第3节Euclid的空间同构1.在R㈤4中定义内积为（メエ），g（エ））=AJ（エ）g（エ）ム求出RIM到R』的Euclid空间同构.解:R团4有标准正交基格号工，印（3ゼー1）,空（5デー3エ）’于是有Riエレ到R4的映射Euclid空间同构W满足为Euclid空间同构.2.设V,V'均为n维Euclid空间.。1，。2,…与可，M，…a分别为V,（7（〇1）=〇!」,1＜，W九V’的基.试证存在V到V’的同构映射。,使得当且仅当V对四,的,n的度量矩阵与V，,对…，《的度量矩阵相等.（7（«,）=a/,1&iWn证:由dimV=dimV',于是存在V到V’的线性空间的同构0使得此时aWV与o（a）分别在基6,02,…与基必必…,《下的坐标相同.设v对山，佻，…，期的度量矩阵与V'对“，a4….履的度量矩阵分别为G,G1.于是。为Euclid空间的同构当且仅当XGY'=XG]Y'^X.Y^即G=Gx 195(a(a), 1962(a(a),a(0))证:此题只要证明。保持内积.设a，6w匕于是有倂q)M0))=(q,S),他0£レ由此可得(a(a),(7(a))=(a.a)再由可知kero={0}.于是。是v到v’的同构映射. 197第4节子空间ん)1.设mVn,4为m阶实对称矩阵.试证存在n阶正定方阵A使得んー1んムノ的充分必要条件是ス】为正定方阵.证:设A为正定矩阵.于是在Rlxn中定义内积と,Y)=XAY',则R】xn为Euclid空间.而且对基却=(L〇,…用,S=(O」〇,…,〇),…,金=(0,…,〇」)的度量矩阵为A.Rix啲子空间ル=丄(身,£2,…*m)也是Euclid空间,ん为W对基史,£2,…エ朮的度量矩阵,因而是正定矩阵.X=(X1,X2)(XleRlxWX26Rlx(n-m))反之,4为正定矩阵,令A=diag(4，In_m).对ス2€Rlx(n-m)),有且等号成立当且仅当X】=0,X2=0,即x=o.故A是正定的.;二;)>“Iレ,い2.设A为n阶正定方阵,则A的子式证:因为4い2…,对应的矩阵是正定的,且4い2”.力>°又由正定矩阵的任何主子矩阵是正定的可知，正定矩阵的任何主子式为正.反之对矩阵的阶用归纳法可以证明:对称矩阵的顺序主子式全为正，则此对称矩阵为正定矩阵.6=%+右,。2=£1—£2+£4,"3=2£1+£2+£33.设£1，82,，3,2为Euclid空间V的标准正交基.又求し=L(a\,a2.。3)的标准正交基.解:因为 198⑶⑼）=2,（〇2t〇2）=3,（01,02）=0,（〇卜〇3）=3,（02,03）=1り1=f（£i+■）り3=-7=（£1-£2+6一~254）故用Schmidt方法可得H的标准正交基:{2X1+工2一工3+24-3X5—0皿+12-X3+工5=°的解空间(作为R5的子空间)的ー组标准正交基及其正交补的标准正交基.解:由方程组系数矩阵前两列线性无关,故可取ル3，「4，エ5为自由未知量,由(6=(0,1,1,0,0)<。2=(-1,1，0,1,0)[a3=(4,-5,0,0,1)此得基础解系,即解空间S的基为り1=爰(0,1,1,0,0)<り2=1,-1,2,0)り3=7歳(7,-6.6,13.5)再用Schmidt正交化方法,可得S的标准正交基为系数矩阵的两行为S的正交补S丄的基,用Schmidt正交化方法,可得S丄的标准正交基为りい剑, 199り5=3,-3,4,-13)5.设V为n维Euclid空间.a€匕aナ0.令［=（册レ‘低。）=0}.试证・为V的子空间,并求dimも及K丄的基.“用+ん％a）=人（仇,a）+£2（%。）=0证:显然0¢匕.又设机協€R.仇,仇6匕,则有于是瓦01+*202€匕故％为子空间.又因为。eり当且仅当（8,Aa）=0,Vk€R.于是匕1=£（a）,a为匕丄的基.dim%=1.6.设位1，"2，''',Q/tt是n维Euclid空间中一向量组,令4=（（、•引）eRF".试证外,…,Qm线性无关当且仅当detA证:若S、。2,线性无关,则为Euclid空间尔=厶（。い。2,…,Qm）的基,对应的度量矩阵恰为△,因此detA*0.反之，若Q1,注2,•一,Qm线性相关,不妨设明»可被田,鱼，…，•践性表m—1Om=とよ。/ts1示,即m—1rowmzl=tりrow/于是,在△中,有因此detA=0.7.设R'中子空间「=厶（。トQ2,。3）,レ‘2=1（4.02.3a，0J,其中 200g—(1,0,1,—2),as=(1»2,-1,0),c*3=(it1.0,-1)；氏=(0,-2.2,-2)32=(-l,3,0,4)03=(1，5,0,2).氏=(-1,1,2,2)求W+4）丄.a'xX=0,l 201（“+も）丄=片・「写小n%%）=（%c%号）=0・丄+サ£（--4）丄可知dim（匕丄+写）=dim匕丄+dimV/-dim（匕丄C写）—In—dimV\—dim6—dim（%+必）丄-n-dimV1—dim%4-dim（匕+%）=n—dim（匕A匕）=dim（%Cl%）丄又因为因此・丄+%=（匕C匕）丄.注:第二个等式也可如下证明.首先证明（匕丄）丄=%.事实上,因（％,匕丄）=0,故・G（匕丄）丄设a£（ケ）丄,a=6+（12,8£%a26V,1 202（a2.a）=（ai,ai2）=0则有 20332.Q2）=（Q2,Q_6）=0故可得s=o,a=a\eV\.于是（片1）丄=%.再来证明题中第二个等式.（・丄+%）丄=（匕丄）丄C（号）丄=匕Cし由第一个等式及上面的等式有（匕C%）丄=（（匕丄+写）丄）丄=匕丄+サ再用上面的等式得0.39x—1.89g——10.61r—1.80j/=10.93エ-1.68y=11.35エ—1.50レ=19.求下列方程组的最小二乘解3.2116-5.4225\/3.28\-5.422511.8845丿・ヽー6.87ノ解:记上述方程组为AX=B,于是方程组的最小二乘解为:A'AX=A'B,即解之,得x=0.197,Y=-0.488.10.设必是Euclid空间V的有限维子空间.试证必的正交补存在唯一.（注:V可以是无限维的.）证：设于是MM，a）=ロ是"dim%维子空间,因此a=Qi+。2e匕,（。2,匕）=〇又若a=d+82,其中仇£九（。2,匕）=。,则有 204-3i€（a2-4,=00=（Q）-3i）+Mー仇）Q】ー仇"+€»2ー師二0故a1-0i,。2=02.故%的正交补存在唯一. 205第5节共趣变换,正规变换1.设A是Euclid空间V的正规变换.入い入2是A的特征值,且入#尢.试证:1）队（人）=队（ん）；2）岡（4）息）=0（did-仇idーズ闷=（（Ajd-4）a,（A,id-4）a）证:1）由于A正规,于是、id-ス也正规.设aWE%（4）（»=1,2）,有于是（Aid一ス・）a=0当且仅当供id-«4）a=0,因此结论1）成立.2）设ヘ€心,（＜）.于是由结论1）有ス131,9）=Mai,02）=（Q1,4a2）=ヌ2（。1,。2）因为入が入2,所以（ai,。2）=0,故结论2）成立.注1:上题的结论2）可以化为下面的命题.设A是Euclid空间V的正规变换.％是A的不变子空间.则%的正交补匕丄也是A的不变子空间;而且V”匕丄都是A•的不变子空间.£1,…，£卜,"+1,…，£n证:在V中取标准正交基4」ん・ハ\0a丿使得必=〃£1，…，ム）,故A在此基下的矩阵为其中んwRE.由a，a=aa，得 206A\AiA\Az\（A\A\+A3A2A3A2\A^AiA3A3.イルノ\ん複んんノA\A\+=A\A\trA3A3=EJ（/entjjAs）2=0于是因而ent"A3=o,即A3=0.故可知因此结论成立.注2:若V1是正规变换A的不变子空间.则川匕是Vi的正规变换,且( 2071001-12002-1ノ12-2-200若A是正规变换,问B可否为正规变换?ェ1=（01,01）,12=（01,02）,^3=（〇1,〇3）,工4=（〇2,〇2）,エ5二（〇2,〇3）"6=（〇3^〇3）,解:令エ2エ3弓（。1,。2，。3）=12エ4エ6、エ3エ5エ6ノ则矩阵为正定矩阵.A的特征值为1,2,-1,对应的特征向量为s+az+a3,3az+2a3,（X3.因A正规,由习题1知它们相互正交.B的特征值为0,3I-3,对应特征向量2al+4a：2+5a3,2a1+。2ー。3，。1-02+03为4X1+10エ2+8エ3+4エ4+—5エ6=02X1+2X2+7X3-4x.j-X5+5X6=02X1-X2+X3-X4+2X5-X6=03X2+2X3+3X4+5x5+2X6=0ェ3+エ5+工6=0ゝ3X5+2X6=〇若B正规,则它们也应相互正交.因此有 208由计算可得此方程组的系数矩阵的行列式非零,故只有零解.因而B不是正规变换. 2092.设A为n维Euclid空间V的正规变换,且Az+id=O.试证:1）=6；2）A'=-A=A~\且n为偶数.4=diag（M,ス2,•・・,尤，Ai，んa,♦一.ん）一向物）证:设A在某标准正交基下的矩阵为由Az+id=O知Az=ーし.,于是s=0,ム|=土（10）是正交矩阵,也是反对称矩阵.由此知,A是正交矩阵,也是反对称矩阵.因此结论1）,2）成立.4.设A为n维Euclid空间V的正规变换,mCN.试证存在正规变换B使得外»1=ス又若A的特征多项式f（人）的实根非负.试证存在正规变换&使得虏か=<4A=diag（Ai,入2,…,スいム.42,…,ん）A|=r7008%一sin洛）ysinGcos白!证:设A在某标准正交基下的矩阵为COSBi=2e・怖2m+12m+1COS中・2m+1取内满足ザl"=%,再令设在所述基下以diag（内,。2,…,也,B],82,…，8!）矩阵的线性变换B,则82m7=4.へN0时,令 210设diag佃ル,…,ルEiB,…,BJ对应的线性变换为Bl,则B件=A.4.设AWR2X2..又A的特征多项式/囚=（スー%）。ーあ）。,eC）.试证A为正规方阵的充分必要条件是"44=%ド+3匕证:设厶=（：3,且特征多项式为/（入）=（入一ス川スース2）.于是有入］+ヌ2=Q+&入1ヌ2=ad-fee,tr（44'）=a2+62+c2+d2スキ+*=（Aj+一）?-2ス［ス2=（a+d）?—2（ad—be）=ゼ+d2+2bcW♦+—+—+c21）若ス1€R,则入2€R,且•=Iス/,ス”Iス2卩.此时有而且等号成立当且仅当b2+a=2bc,即b=c,故当且仅当A为对称矩阵,为正规方阵.|八1|2=&卩=ス1ス22）若h£R,则ス2=ス1,于是I入1产+|A2|2=2AiA2=2ad-2bc&パ+b2+c2+d2=tr（AA'）因此等号成立,当且仅当 211q2+d2=2ad,624-c2=26ca—6cos0=f,sin0=/ーー・入y/a2+bi2\/a24-b2其中因此A为正规方阵.,nnxn/（A）=fl（スーA,）（AieC）6.设AeR"11,又A的特征多项式.试证A为正规trA4'=玄|%|2方阵的充要条件是iti'.证:对n作归纳证明.n=l自然成立.n=2由习题5知结论成立.设小于n时,结论成立.n>3,视A为Euclid空间R>（通常意义下的内积!）的线性变换.于是A有非平凡的不变子空间V】.在Vi及％丄中各取标准正交基％（k=dimり）•••.otnB=TAT=T-lAT=（ん，ハ\0A3J因此ア（8,。2,…q”）为正交矩阵,而且 212/(A)=^det(A/n-A)=det(AZn-B)=det(A/k-A\)det(XIn^kーム)kn=n。ー％)n。ー%)仁1tr(A4')=tr(LATTXA!T)=tr(BB')=tr(Aa)+tr(ん風)+tr(んホ)£んF因此kntr(4A；)=£|ん巴tr(A3Ai)=£内巴tr(A2Ai)=0•«1j=k+l等号成立当且仅当当且仅当Ai,A3正规,A2=0,即B正规,即A正规.7.设A,B及AB都是n阶正规方阵.试证BA也是正规方阵.nf(A)=detain-AB)=detain-BA)=J](A-A,)t»i证:由于AB与BA有相同的特征多项式,于是可设由人,B及AB正规,故有AA'=A'A,BB'=B'B,tr((AB)(ABy)=tIAil2因此有 213tr((BA)(BAY)=tr(BAA'B')=tr(AA'B'B)=tr(A,ABB,)=tr(4BB'A')=tr((AB)(AB)z)=£!A,|2再由习题6知BA正规.7.设A为n阶正规方阵,则A的最低多项式へ(入)无重因式.T1AT=diag(A),Ajt*",A„Aj,4,…,ム)1,sing#0sin 2149.设V为n维Euclid空间,A6EndV.若Vi为A子空间,则匕丄为A,子空间.(X*v,u)=(v,Au)=0证:设0€匕丄,uGVi,于是对€Vi.因而伏と。)=0,故故んue屮,即匕丄为ん的不变子空间. 215第6节正交变换ィA2/3-aAB=B-ra（a，a）1.设a为Euclid空间V的非零向量.又A为V到V的映射,满足试证A是第二类正交变换.（注:A称为镜面反射.）4仇+氏）=（劣+生）ー”;,容・明セ一言ハ。”督号a=m+g＜（响十一畳…（加音°）宀°证:由于也.あ。’,卜€R,有因此A是线性变换.（皿“02）=3-ルー=（仇,02）又由于因此A是正交变换. 216最后,由Aa=—a,及若中,a）=0,则A0=0,知detA=—1.因此A是第二类正交变换.注:将】（.丄想像为一面镜子,对此镜子的反射就是A.因此A称为关于a的镜面反射.1.设ス£〇ル），dimV=n,加瓦（カニn-1.试证a为镜面反射.证:因为dimF=n,加%a)=n-l,于是dimEi(4)丄=1.又スe0(り,故瓦(4)丄也是a的不变子空间,于是。£瓦(川丄,有ん匸炉a特征值只能为±1,故卩=一1.设a《Ej(⑷丄,a/0l则由a决定的镜面反射恰为A.2.设ス€。(り,%为A的不变子空间.试证匕丄也是A的不变子空间.证:方法1:因为A是正规变换，故结论成立.方法2:因为A是正交变换,AVi=%,于是ス-%=%.且(斯『,匕)=(ケスー峭)=(屮メ)=。,故结论成立.3.设ス€S°(り,dimV为奇数,试证1为A的特征值.证:因为A的特征多项式是奇次的,故有奇数个实根,A是正交的,故这些实根只能是±1,且它们的积为1,故其中至少有一个为1.4.设/eO"),且为第二类正交变换.试证ー1为A的特征值.证:因为スWO(V)且为第二类正交变换,故det4=-1.于是a的特征多项式的根之积为ー1,此时,一定有根ー1.( 217二0A(ka)-M(a)|2=(A(ka).A(ka))-(ル4(a).瓦4(a))-2k(A(ka).A(a))=(ka.ka)—(ka,ka)-2k(ka.a)=0证:设0外匕k€R,于是有故A是V的线性变换.1.设Q1,。2,.‘、期与用，册…，0n是Euclid空间V的两组基•证明存在<6=即i=1,2,…，n⑴4e。"）,使得（6,引=（d,円），14i,『《n⑵的充分必要条件为证:存在ス《。（レ）使得⑴成立,于是仇%）=（ス。ス％）=（旬%）.因此⑵成立.反之,有唯一的线性变换A使得（1）成立.设（2）成立.于是对于基｛aj与基串｝的度量矩阵相同,G（s,a2,…,aj=G（仇,％…闻=G.设%pev,于是Aa,Ap在2a.明=X'GY=（为夕）基串｝下的坐标分别与a,0在基｛6｝下的坐标相等,设为X,Y.于是因此A为正交变换.8.设a,0是Euclid空间V中两个不同向量且ね=13.证明存在镜面反射A使得Aa=0. 2182（a-伙a）=2同2-2（a,0）=ー2（a.0）+\0\2=|a-が证:因为岡=桝,于是痴=吁爺哥（。ー8）=a-（a叫=0又因为a+6,即a-6,0.作关于此向量的镜面反射ス=え。ー8,则有注:此题有一个形象的解释.如图7-2-1,由a—0决定的镜面反射,就将a变为p.在2维空间即平面中,以。ーZ3）丄=乙9+3）修改是,⑶的角平分线.图7-2-1冗1冗2***Rs=ス8.设ス€。（レ），dimV=n.试证存在镜面反射&,即…，ム使得V=Ei（X）+£-1（X）+Vj+,•,证:由于ズ£。（ド）,故V有对A的不变子空间分解:其中dimV；=2,匕是平面旋转,而且这些不变子空间互相正交.若a”a?是Vi的标准正交基,则有スけ二d=costfai+sinメa?=02ニーsin%]+co§%2凡I=&广。1Ri2~R%/3i—QiZ3o. 219令1,?分别为关于1,飞的镜面反射.由习题8知有凡冋=^1,（7^102,31）=0于是R所坳,但是レ，匕,因此凡1。2=ー伉，.再由（31，02）=°,于是有な12花iiai=61,凡2尺1^2=02.而且凡2凡1在修（J羊”,Ei（A）及E-1W）上的限制均是恒等的.又若ナいナ2,•••，フr为E-l（厶）的标准正交基,令我メ=叫，为关于マゴ的镜面反射,则有 220rt<=n%n冗2冗…j=lic：l 221第7节对称变换1.求正交矩阵T使T'AT成对角形.A为’2-20、・21-21)〇ー20/；’22-2\25-42)I-？-*45/;/0041ヽ001441003)\1400/；/1111\111111114)\1111/；’—1—33—3ヽ-3-1-333—3—1—35)-33-3-1ノ.解:1)2)3)将T及TAT列于下,具体的计算过程省略.-22I1T=:-I-22\212],T,AT=diag(l,4,-2).2ヽ45)T/4T=diag(10.1.1)1\-1/T/AT=diag(5,-5,3,-3)2222/T//////1A・・11Ar▲-l/>/2-l/>/6ーイ/6\l/通・1/5/6ーぺ/602ノ遥-V3/600&/2ノ,TAT=diag(4,0.0,0)<-1/21/6-l/x/6y/3/6ヽ 222T—1/21/n/2l/v/6-v/3/6—1/202/y/6。/65)k1/200何2),T'AT=diag(8,-4,-4,-4)2.设A,B都是n阶实对称矩阵.证明存在正交矩阵T使T-iAT=B的充分必要件是A,B的特征多项式相等（或特征多项式的根全部相同）.证:若广スT=8,则A,B的特征多项式相等./（A）=n（A-A,）反之,设A,B的特征多项式相等,为看」丁产方力丁2=（!吨依,辰…,％）于是有正交矩阵Tユ使得T-」T=B令T=T1T£,则T为正交矩阵,且有3.设4WRnxn且A，=A.试证:1）若A2=A,则存在正交矩阵T使得rAT=diag（/r,0）;2）若A2=l.,则存在正交矩阵T使得TAT=diag（77,证:1）因为Az=A,故A的特征值为0或1.于是结论成立.2）由Az=In,知A的特征值为±1.故结论成立.Ai（a,a）《（a.4a）WAn（a,a）4.设对称变换A的特征值为ス<ス2<…くスn.试证Va€レ,满足 223证:因A为对称变换,故对ん有a”使得Xotj=A,ttj(Qt,a?)=6ij1くク《れnn(a,«4a)=£ 2242.设A,B都是n阶实对称矩阵,且B是正定的.证明:存在实可逆矩阵T使得T'AT,丁BT都是对角矩阵.证:因为B正定,故有可逆矩阵R,使得1:4rl仍是实对称矩阵,故有正交矩阵Tz,使得乙に4ハ)72为对角矩阵.令T=「T2,则アBT,丁AT都是对角矩阵.3.设A,B都是n阶实对称矩阵.且A是正定的.试证AB相似于对角矩阵.又若B也是正定的，则AB的特征值为正实数.C'-\AB)C'=CBC'证:由A正定，可得A=C'C,其中C为可逆矩阵.于是由可知AB相似于实对称矩阵C'BC,从而相似于对角矩阵.若B正定，则C'BC正定,故特征值为正,故与其相似的矩阵AB的特征值为正.4.设。《肥,1国=1.证明存在对称正交矩阵a使得血川=a.证:令な=C01Jn.于是£1，£2,…,鼠为Rn的标准正交基.Rn的镜面反射衣。』冗aーム€0(R"),彫=id,=a满足:设凡»-射在£】，£2•…，品下的矩阵为A,则有A'A=I„,A2=i“，collA=a,由A'A^A2=In,知a'=A.于是A为所求.(Xa,6)=-(a,4/3),Va,/3€V5.设V为n维Euclid空间,紅ElldV.若则称A为反对称变换.试证：1)A为反对称变换当且仅当A在标准正交基下的矩阵是反对称的;2)反对称变换A的特征多项式的根为纯虚数(即实部为零的复数)；3)设Vi为反对称变换A的不变子空间,则レ;丄也是A的不变子空间. 225证:由A，=-A,知A是正规变换,若在标准正交基下矩阵为A,则A'=-A,再由其标准形知本例的结论全成立.2.设A为实对称矩阵,B为实反对称矩阵,且AB=BA；A—B可逆.试证(A+B](A-为正交矩阵.(A+6)7=((A-BY)~l=((A一B)-*)z证:由A-B可逆,A'=A,B'=-B,知(A-B)'=A+B可逆,且((A+B)[A-B)-lY(A+B)(A-B厂】=(A+BY\A-B)(A+B)(A-B)-l=In再由AB=BA,有因此(4+B)(A-B)~x为正交矩阵.3.设スeR"0.试证:1)A=A'当且仅当A'A=AA',且A的特征根都是实数;2)A=-A’当且仅当A'A=AA',且A的特征根都是纯虚数;3)H=当且仅当A'A=AA',且A的特征根的模为1.证:由AA'=A'A知A是正规矩阵，由正规矩阵的标准形知，A的特征根都是实数,纯虚数,模为1时，A分别为对称,反对称，正交.反之,对称,反对称,正交矩阵都是正规的,即A'A=AA',特征根都是实数,纯虚数,模为1. 226第8节酉空间及其变换证明教材7.8节给出但未证明的结论.1.正交向量组的线性无关性.证:设…，毎为正交向量组.若と"。'=°,故可得ij(aj.aj)=.x,(a„aj)=0,] 227设身,以…,即是标准正交基,又り1,り2,•••，りn满足りj=£如ら,1《ノくれt«lノシ则リI,り2,…，ル是标准正交基,当且仅当T=（5）是酉矩阵.nnn（りいりノ）=5,〉:tsi厶/（£8,，）=>]S=1t=lル=1证:事实上,有于是（りいル）=妬,当且仅当デ7=ム,即T为酉矩阵.以U（n）表示所有n阶酉矩阵的集合.则有以下性质:1）厶€U（n）,2）TeU（n].t则T%U（n）,因为ア=Tザ,3）1/4（。）,则ア晩峋,因为和=あ"=ア/ア=①プ2尸.|detT|=l4)T£U(n［则有1=detIn=det(デT)=detデdetT=detTdetT因为3.酉空间的子空间的正交补子空间.证:设Vi是酉空间v的子空间.将Vi的标准正交基£】，£2,•••,ス扩充为V的标准正£1,ら,…,以,以+1,5n交基如下【2=［（以+1，…,金） 228na=£4Gi=lMV=V1+V2,(VnV2)=0.又若aev,且对于V3e匕,(a,3)=0,设ェj=〉ら）=0,14jgk于是有因此a€Vz.因此一般有有限维酉空间的子空间的正交补子空间存在唯一.3.正规变换的性质.1）若A为正规变换,册瓜（儿则展氏的且ム（。）丄为A与A•的不变子空间.见教材第7章7.8节.M”;如物…,金）二曲g（h,辰…，％）2）若A为正规变换,则有标准正交基身，實,使得这是结论1）的直接结果.4.酉变换的性质.设A是n维酉空间V的线性变换,则下列条件等价.1）A是酉变换,即4*= 229证:事实上,由（4a，43）=（a,＜，43）,则可知1）与2）等价.设M（4h,门,…,金）=7Aei人な…ス品£1,52,♦•.,却为标准正交基,于是ス£|,42「一,4n为标准正交基当且仅当为酉矩阵.即4）与5）等价,（4%,＜与）=（e»,£j）=3,1WれJWれ设£1,£2，一・,£n为标准正交基,A是酉变换,于是因此メ£1，比2,…，4n为标准正交基.反之.メ£トん2,…,んn也是标准正交基.nQa0=Vエ后P—Vjej占ズ=1nn（＜a,«4。）=£Xiyj（AEi,Aej）=£エ诙=（a,3），丿=i««=i于是即2）与4）等价最后,证明2）与3）等价. 230（Aol.Act）=（a,〇:）若ね,06レ,有（人aMB）=（a,0）,则易知设a,pev,kec.注意到(人(a+k(3),4a+k0))=(a+和3,a+k0)(4a+k0),<(a+A6))=(如,如)+M朋加)+K如，即)+底(邓ス3)=(a,a)+k(Af3,Aoi)+k(Aa,A0)+k4(0,⑶(a+根a+k0)=(a.a)+k(0,a)+k(a.0)+kk(0,0)k(A0,Aa)+H(Aa.A0)=k(0.a)+I(a,0)(«4a.=(a,0)分别取k=l,k=Q可得7.Hermite变换的性质.设A是n维酉空间V的线性变换,则下列条件等价.1)A是Hermite变换,即A*=A； 2312)ね,0€「,有(Aa,0)=(a,A0)；3)A在标准正交基下的矩阵A是Hermite矩阵,即ん~A.证:事实上,A=A•当且仅当对于ア。,。£レ,都有(Aa,か=(a,A0).即1)与2)等价.3A在某标准正交基下的矩阵为A,则A•在此基下的矩阵为ス’,于是A=A•当且仅当ズ=A若A为Hermite变换,则有标准正交基を，勒,…,品,使得M(A£1,%…，£n)=diag(》h入2,…，An)AjERM(X;£1,ら,…，£n)=diag(AbA2,•••,An)因为A是正规的,故有标准正交基£1，£2r•,!en,使得又因为A・=A.于是可知Ai=A「,即证人｛R.8.反Hermite变换的性质.设A是n维酉空间V的线性变换,则下列条件等价.1)A是反Hermite变换,即A*=—A；2)2,06V有(Aa,p)=-(a,Ap)；3)A在标准正交基下的矩阵A是反Hermite矩阵，即4=—A.证:事实上.A=-A•当且仅当对于6V,都有(Aa,p)=-(a,A似.即1)与2)等价.若A在某标准正交基下的矩阵为A,则A・在此基下的矩阵为ん,于是A=—A・当且仅当ズ=-4若A为反Hermite变换,则有标准正交基修,ら,’••,品使得M(4£1,£2,…,en)=diag(Ai,A2,•••,An)%wQr因为A是正规的,故有标准正交基£卜£2,••,,品,使得 232M(んを,助,…,3=趣。1,辰…,％)A：=—%又因为A・=-A,于是可得即得A,€y-iR9.酉空间与Euclid空间不同之处举例.解:1)内积的差别.Euclid空间的内积(a,0),对第一个变量a,第二个变量0都是线性的,即双线性的.酉空间的内积(a,P),对第一个变量a是线性的,对第二个变量0是半线性的.这样可以保证内积的正定性.2)夹角的差别.在Euclid空间中,两个非零向量a,0间的夹角＜a,降由其余弦(ag)cos(a.^)=\ot\0\定义.这时,余弦定理成立,而且"正交"与"垂直"是一致的.在酉空间中,两个非零|a-OF=!a|2+1例2-2同向cos(a,0)向量a,0间的夹角＜a,0＞由其余弦定义，为保证余弦定理成立,即此时应有cos(a,0)=:制Re依0)=3他,。)+(0®)(a,0)的实部.这时"正交"与"垂直"是不一致的.例如,V=C为1维酉空间， 233与「垂直",即夹角为90。，但不正交,冋);Go.在酉空间中,两个非零向量a,0间的夹角＜a,/由其余弦定义,为保证"正交"与“垂直"是一致的,应有 234此时,余弦定理不成立.cos00)=豔 235第9节向量积与混合积（ax。）xケ=（a,ヶ）0-（B,ヶ）01.设a,0,丫是三个向量.试证a=a囘+衅2+族3,8=b囘+陵2+ルユ7=ciei+c2e2+c3e3证:方法1:设6八あ，63是右手系的标准正交基.又因为（ax0）xケ=^2QibjCk（e】メ名ノ）乂e/于是可得因此需要讨论（色X与）Xek若i=j,则（Gxejxefc=0xefc=0若用则々X与二土色,"#’力进而可分为三种情形®xCj）Xejt=o当k知.kwj,则1=1此时有 236（e,x巧）x4=&xei=±ej当k=i,此时有再注意混合积的性质,有 237（（e.x与）xルウ）=（e（xej,^ey）=x与）=®x与,e,x与）=1(e,xら)xei=ezxei=e>因而当k=i时,利用上面结果得(eixejxej=一(与xe,)xe；=-et(ax3)メナ=と。也な(。!父与)メ伙33=yfl,b>C|(e,X与)Xe,+E。向Cj(e,x与)x与=,叫Ci与一•a^bjCjd=(a.ケ)”(佚マ)a.♦J.l于是有因而结论成立.方法2:分成两种情形讨论.(ax")x7=£(axa)x/=O1)a,B共线,不妨设G=ka.于是一方面有(a,/)^-(/?»y)a=k(a,y)a-k(a,/)a=0另一方面还有因而结论成立.2)a、0不共线.于是ax/7HO,且(ax夕，a)=(ax共〃)=0,因此 238y=ka+10+m(ax0)ax夕，。，"不共面.于是对丫有(ax/7)xア=A(ax/?)xa+/(ax#)x,因此这样问题归结为讨论(ax3)xa,令6=(ax/)xa,于是(机a)=0.若<5=pot,则p(a,a)=0.因此,a=0.即a邛与a既共线又正交,因而为〇,这与其不为〇的假定矛盾.故(ax3.a)=(ax0.0)=(qx00=00与a不共线又。与a邛正交，因此0=qa+r(ax。)xq由此可知a,p,〇共面，于是可知进ー步,由(a,p)=q(a,a),(a,0)=r(a»0),于是可知r=(6,6)(a.a)(ぶ.6)再由则可知 239(8,8)=(a,a)(ax(3.ax/3)(R0)=((ax/3)xa.0)=(ax0,ax0)此外,有(a.3)1.P-f、。+メヽ6(a,a)(a,a)于是(ax8)xa=(a.a)/3-(a.0)a即有(ax3)x3=-(8,3)q+(a、0)3同理(ax0)xケ=k(ax0)xa+/(ax0)x0=k((a,a)0-(a,0)a)+1(-[0,0)a+(a,0)0)=(-1(0,0)-k(a.0))a+(A(a,a)+l(a,0))0.于是有（a，）。ー-(0,7)a=(a.ka+l0+m(ax0))0-(0,ka+l0-t-m(ax0))a=(k(a,a)+l(a,0))0-(k(a,0)+1(0,0))a=(ax0)xヶ.再有因此结论成立.注:本习题给出的公式称为三向量积公式. 2402.设a,p,丫是三个向量.试证(ax3)x)+(/3x7)xa+fyxa)x/3=〇(此式称为Jacobi恒等式.)(aX/3)X7=(a,7)/3-(/9,ナ)。(3x7)xa=(a,3)7-(a.7)6(7xa)x3=(a7)«一(3,a)7证:方法1:由习题1的结论,有将上面三式相加,即得Jacobi恒等式.方法2:设e“e2,e3是右手系的标准正交基.又a=a的+好2+眦30=b四+加2+娅37=。向+地2+6イ(ax0)xケ+(0xフ)xa+(ヶxa)x03=〉OibjCk((eiXej)xe*+(ejxek)xe<+画xe<)x与)，げ,m因此有(e,xejx佻+何x佻)x&+(佻xe,)xe；=0当i=j=k时,显然有当i,j,k互不相等时,有etxej=±eke7xejt=±Cie*；x6=±e>，，(etxち)x.+(ejxek)xe,+(ekxe,)xe;=0.因此,可得 241当i.j.k中有两个相等,而与第三个不相等时，不妨设［="!<.这时有e,xe?=0e；xejt=土色xe,=干e,，，（e,xe；）xek+（e；xefc）xe,+（efcxe,）xe；=0这里1是1,2,3之一,且Iwi,k.因此仍有于是Jacobi恒等式成立.（ax万,ナx6）=（a,ヶ）（け,6）-（6,ケ）（a,6）2.设a,p,y,8是四个向量.试证（此式称为Lagrange恒等式.）（ax伙ケx6）=80.ヶx«）=（7x6a0）=（（7x«）xaJ）证:方法1:由混合积的性质及习题1的结论,有=（（ヶ,a）6-（6,a）7,夕）=（a7）（/3,6）-ケ）（a.6）即Lagrange恒等式成立.方法2:设ei,e29e3是右手系的标准正交基.又a=。述1+。2该+。3。30=む勾+ル2。2+ケ=qe1+C2&2+。3©36=ム61+&02+ゼ3。3? 242于是可得 243/33Ar.Ul(ax/3,7x5)=I')q也(勺xe’),£♦&(.xe()”・13£atbjCfcdj(eixej,efcxe().イ1,t丰j,i=k、j=I:(e 244(ax0)x(ヶx6)=(a,。,ろ)7-(a,0,ヶ)6;(仇メ6)a+但a,6)0+(a,0,<5)7+(6,a,1)6=0.(ax/3)x(7xi)=-(7xi)x(ax3)=-(7,ax0)8+(んax6)7=(a.6,6)7Ta留ケ)ん证:由混合积的性质及习题1的结论,有(a,B,<5)7+(⑸a,7)^=(ax0)x(7x<5)(6,7,<5)a+(7,a,6)3=(7x6)x(ax0)利用上面的结果有再将两式相加,即得所求证恒等式.(ai,。2,。3)(劣，02、03)=det((a,.0}))(«ix01,。2x02,a3x03)=(ai,a2.02)(0X,«3,03)-(<*1.。3,03)(01,。2,02)5.试证对向量aレA(l 245再证第一个恒等式，设&,e2,e3是右手系的标准正交基.又因为 246Q?=at\e\++。钻£3。（ニ+&202+瓦3°3£=1,2'Qll012。13'A=Q21022023\。31O32。33ノ再令’6iiあユ613'B=。2132623Xg。32。33ノ于是可得（a1,a2'Q!3）=detA=detA'（⑶,6?,月③）=detB（01,02«。3）（氏,％%）=detAdetB=det（A'B）=det（（Q”％））因此有6.设〇,A,B,C四点不共面.又令a=043=0B,7=0C.求证〇到平面ABC-19,万，ナ）11（3-a）X（7-a）|的高为 247证:过〇作0D垂直平面ABC（图7-9-1）,令B=OD,图7-9-1因为A,B,C不共线,故p-a,y-a不共线,因此（3一①X（ナーa）ナ〇,又OD垂直ABC平面,故此0与0—a,y-a正交,〇不在ABC平面中,于是有6=エ（（3—a）x（7—a）エ*。（んJ）=（d,a）=i（（/3-a）x（7-a）,a）=巾-aガーa.a）=工（我スa）又D在ABC平面中,故AD与0D垂直,因此（u,a-a）=0.由此有(<5,(5—a)=0再由ゼ((0-a)x(7-a).(0-a)x(ヶ-a))-i(3.Xa)=0可得1(0.0-2)：K3-a)X(7-a)|由x*0,于是有 2487.设£1，£2,方与ぱ咽寸均为右（左）手系标准正交基,且门'=±£3,则£1,£2,£3与イ，£2’,げ有相同定向.证:不妨设｛0;一门，£3扁｛0;4，時引的坐标系分别为OXYZ,OXZYzZ,且均为右手系.若二=打,则OZ轴与OZ’轴重合.若OX到OX’的角为屮,绕OZ旋转OX到cosv-sinシ0sin0cosr0001OXZ,则&变至!J&',&变到げ.于是可得故£1，£2,£3与イ,Ci,白’有相同定向.若げ=一&.此时0Z轴与OZZ轴反向.绕0X轴将0Z轴旋转到0Zz轴,即旋转180°,&转到ー&转到ー&.绕0Zz轴将OX轴转到0Xz轴,转角为＜p,则&转到,此时ー。转到げ.注意到丁（胃］？:［）=sinルcos"。\001/于是ぜ,額,白与©/,£2’,禽’有相同定向.注:此时,定理?.9.1的证明中的0可分别取为〇,気•W,"的取值范围为一7Tく。族《».仇W，V称为£；,62,メ关于£1,£2,£3的Euler角. 2497.3名校考研真题详解ー、选择题下列结论不正确的是（）.［中国人民大学研］A.在欧氏空间中保持距离不变的变换一定是正交变换B.在欧氏空间中两个正交变换的积仍是正交变换C.欧氏空间中保持向量长度不变的线性变换是正交变换D.欧氏空间中保持向量内积不变的线性变换是正交变换【答案】A【解析】定义了:バfR"则+ブ’靑ノデ+ザ‘'V"y'SR（7］）丨ア”ド=ピ/+と/=ブ+ザ=Lド令则由式（7-1）知所以「gol.Va6V,即T保持长度不变.TP=（Vr,VrJ,TaL，％お，Ta,=（1.1）设#=（2.1）,则伊ー+*其中6=（1.0）皿=（1•1）,于是所以7紆:アの+7',从而T不是正交变换.二、证明题1.设A是正交矩阵,且A的特征根均为实数,证明A是对称矩阵.［华南理工大学研］证:A的特征根均为实数,则存在正交阵T,使广セT为三角阵.不妨设ズUT为上三角矩阵,由题设,A是正交矩阵,而正交矩阵之积仍是正交矩阵,所以厂セア是正交的上三角矩阵,从而ブセT是主对角线是+1或ー1的对角阵,令 250(E,即A对称.1.设a是欧氏空间V的线性变换,t是V的ー个变换,且V,都有(。(a),p)=(a,t(p)),证明(1)t是V的线性变换;(2)t的值域Imt等于0的核ker(a)的正交补.［武汉大学研］+y))=(a(a)+a)=( 251由式(7-2)、式(7-3)得T是V的线性变换.(2)可等价地证明ker(び)二(Imr)丄.（明7（6））=（o-（a）,j8）=（。,。）=0①Vaeker（ぴ）,丁（尸）eImア有aeIm（r）丄所以(cr(6)w(6))=(0,了(。(0))=0②如だe扃(ア),则有 252此,设片是a在。上的正交投影,则由己证得的必要性及题设条件知 253|aー勾引aー万区|aー用|a-タ『=|3ー4)+(同一0|2=|。一旦『+|ルーガ『所以I。一四"a一片I.注意到a-AeU丄,耳ー。3,根据勾股定理得因此,月一向=°,即£=ガ是a在び上的正交投影.3.设B是实数域上nxn矩阵,4=R'R,对任一大于0的常数n,证明(a,0)=a(A+"£)6定义了R"的ー个内积,使得R"成为欧氏空间.其中ク・表示列向量”的转置,E表示建X屋单位矩阵.［浙江大学研］{aJiy-a1(A+aE)//=aE)a=(fl.a)证:⑴( 254V«7^0,(a,a)=a'[B'B+aE)a-(Ba)r(Ba)+aa'a.由于(Ba)T(Ba)^0,aa'a>0(a>0),所以(a.a)N0.由上可知,(a,6)=a'(A+a£)0定义了R”上的ー个内积,从而R"成为欧氏空间.5.设A是n阶实矩阵,其ー个特征值为。."メ‘°，相应的特征向量为え+け湛中xjeR".TTTf\证明:如果ス是正交矩阵,则xx=yy和ズy=°•[南京航空航天大学研]证:由于。+必是正交矩阵ス的特征值,所以a+g=S+步ド=1.x'j=(Ax)'(Aj)=(ax-fly)'[fix+@),rAx=ax-py.又由A(x+iJ)=(a+逐)(x+iy)得しy=.+ay•所以所以afix'x-2p'xy-a0yy=0.(7-4)x'x=(Ax)1(Ax)=(ax-pyY(ax-py)又所以-fiXX-lalix'y+0yy=0.(7.5)-20(/+ダ)x'y=0.由(7-4)、(7-5)消去.ズ、ザア得#0.a+/3'=1,又 255所以xy=0.结合(7-5)得x'x=y'y.三、计算题1.给定两个四维向量®(1‘一れ烏’"(一石・。,石，石)求作一个く阶正交矩阵Q,以内’。2作为它的前两个列向量.［中国科学院2005研］解:令W=/，(aa)则8，仅是w的标准正交基.V，12，13,4)£W一得.めー2x2+2ユ=0-2x\+13+1$=〇线性方程组解得一般解为丫3=爲•れ=P>セ、=y(2,8.-3.7)/取基础解系ル=(2.1.4.0)'.B.=(2.5.0")’则ん屛是印的基.正交化,得a,--Lz.(2«1.4.〇)'.な1=—^^(2,8.—3.7)'72T3x/14再单位化得则正交矩阵。=(&，侬,小,ゐ)为所求.2.设£1，和，£3是欧几里得空间V的ー组标准正交基,设ai=£i+做一£§，a?=6-£2-£3,W=L（s，a2） 256（1）求w的ー组标准正交基.（2）求W丄的ー组标准正交基.0）求。=处+2心在卬中的内射影（即求能w,使a=6+y，アGW-）,并求a到W的距离.［华南理工大学2009研］ド1ーリー（11ー1）一,°ー】）\1-1-1/V〇-20IX〇］0I解:（1）由ル一般’小=为出一ハ记風=8-故W=/.（ai・a，）=L（£「a,〉,且£，，a，是W的正交基.令则ル・リ是W的标准正交基.12=0xiーム=0（2）Vど=Zi£i+1E>+n£?eW,.则（ざ,り|）=（#，グ）=0,得方程组解之,取基础解系（1,0,1）,记ア=£】+£3,则W-=L（y）,其标准正交基为%（£1+£.）ft=（a.り।）り）+（a・り”）り，=—&+«；--Bi（3）a在W中的内射影为a到W的距离为 257d(a/)=\a-p\=\—E]—:あI=ZTo3.设。是n行维欧几里得空间V的对称变换,则Q的值域。（V）是。的核kero的正交补.［燕山大学2010研］a；♦••••«,;ル1,ル2•…,4•证:由线性变换的秩与零度的和为n,在。（V）,ker。中分别取正交基（a,）="（回）“）= aP，）=Ou=1,….rJ=r+由a；6。（レ）,则存在pev,使び（6,）=a,i=i,2,r,于是clim（（j（V）+kerび）=dinv（V）+dim（kera）=那么メV）丄kero.注意到WV）Dkcm=<0;1则于是び（V）+ker（T=V,故。（V）是。的核ker。的正交补.a=（1,—1.-1.1）.a?=（1.-1.011）aj—（1♦—1,1,0）,4.在标准欧几里得空间V=R'中有向量线性子空间W=L（a.a：.aJ,求向量0=（2,4,1,2）在w上的正交投影.［东北师范大学2010研］I0-10100-1 258解:由所以a.a,の是w的基•解线性方程组(Ch.a)G(tti« 259第8章双线性函数与二次型8.1复习笔记ー、对偶空间1,线性函数(1)定义设v为数域p上的线性空间,v到p上的映射f若满足:①/(。+0)=/(a)+/(4ね,匕②f(ka)=kf(a),VaEV,k€P则称f是v上的线性函数.V上线性函数f即为V到P的线性映射,以V・表示V上所有线性函数的集合.(2)性质f(ka+助==好(3+//(/?),VfcJeP.①V上函数(即V到P的映射),为线性函数当且仅当②若/€V*,则〃〇)=0,/(-«)=-/(a).=エhf(*\i=lノ・=1③若fGa,€V,6P.1s,则f(€i)=g(€i),i=l,2,•••,n④设，,gwy・,£1,£2,•一，£“为V的ー组基,则f=g当且仅当⑤设£1,£2,,一，£n为V的ー组基.Q1,"2,•一，«nwP,则存在唯一的feレ’使得ア(')=i=1,2,--,n 260*Oi=(佃)./⑸,…"(ち))crd(a;£1.£2,•••,£n),则称.2,'''，£n下的矩阵.2.对偶空间与对偶基线性空间v上所有线性函数所构成的线性空间ゾ称为V的对偶空间.又设¢1，£2,,•,1£れ为v的基,由人(ら)=ルハ1Wi，jWn所决定的V"的基生,见…，£nfl,，2,,一，/n称为的对偶基.3.相关定理(1)设V是数域P上的线性空间.V.为V上所有线性函数的集合.又设(7+g)(cr)=f(a)+g(a),Va€VAgwV*,定义f与g的和f+g如下(c/)(a)=cf(ot),VateV又设cep,定义c与f的积cf如下则/+.q,cfgV*!レ’对上述加法及数量乘法构成p上线性空间;dimV*-dimV.(2)设6レミ2,•一，与り1，り2，••’，りn都是线性空间V的基，7(£1£2…品、7(71A•,•/nA_J〈り1り2…りnノ'g192…)ル,ル,…,ん与ク1,92,…，如分别为它们的对偶基,则(3)设(V*)’为线性空间V的对偶空间ノ"的对偶空间，对aev,。・・定义如上，则V到(ビ)’的映射。T。”是线性同构映射.二、双线性函数 2611.双线性函数数域P上线性空间V上的ー个二元函数f（即f将V中任意ー对元素a,0,唯一地对应于P中二个数,f（a,p））如有下列性质:（1）/（hs+k2a2.S）=kJ（ai,0）+幅出例,（2）/（a,え必+人%）=ん/（。,4）+机/（。.闻,k2€P.a,ai,a2,仇西仇”则称f为v上的双线性函数.如果f（a,0）为V的双线性函数,固定a（或0）,则f（a,0）是以B（相应地以a）为变量的线性函数.2.度量矩阵设f是n维线性空间V上的双线性函数,£卜£2，•‘’，£れ为V的基.称nG（/；£】•门.…,金）=/に卜为)〃£卜ら)…£n)/(e2-£1)/k2,£2)…/传2.金)ヽ/（金,£】）/（品.G）,,'/（£”.品）J阶方阵为f在61，‘2，’‘,，£れ下的（度量）矩阵.3.合同设ス,B€若有可逆矩阵TGP'ixn使得B=ア4T,则称B与A合同.合同是等价关系，即满足:①A与A合同:②B与A合同，则A与B合同;③B与A合同，C与B合同,则C与A合同.A=l'nAIn\B=TfAT,则ス=（T-'/BT-1;B=TAT,C=TXBTX,则C=（TT1）/A（TT1）.4.满秩设f是线性空间v上的双线性函数,若从 262/(«,。)=UZ。£V可推出a=0,则称f是非退化的或满秩的.2.对称双线性函数与反对称双线性函数f(a,(3)=〃け,ct),Vet,€V如果线性空间v的双线性函数f满足"万)=一f(3,a),Va,/3€V则称f为对称双线性函数.如果f满足则称f为反对称双线性函数.3.二次齐次函数(1)定义设V是数域P上线性空间,f(a,B)是V上的双线性函数.当a=0时,得到的V上的函数f(a,a)称为与f(a,p)对应的二次齐次函数.(2)性质/(a,3)+/(6.a)=g(a,3)+gG3,a),Va,0eV①设f,g均为v上双线性函数，则a)=g(a,a),Va€リ当且仅当②设v上双线性函数f,g在基El，《2，£れ下的矩阵为&j+Q,i=b：j+bj返1<£,j4れA=3り)，B=(bり)则Va€V,/(a,a)=g(ct,a)当且仅当③v上二次齐次函数与v上对称双线性函数间有ーー对应关系.4.二次型数域P上线性空间V到P的映射q,若满足: 263(1)q(kct)=ゼワ(a),VA：€P,aGV；(2)“a,3)=ろ⑷。’团ー與。)-g(夕))是v上对称双线性函数,则称q为V的ー个二次型.2.双线性度量空间数域P上线性空间V中,定义了非退化双线性函数,则称V为双线性度量空间.3.伪Euclid空间实线性空间V上若定义了非退化的对称双线性函数,则称V为伪Euclid空间.4.辛空间实线性空间V上若定义了非退化的反对称双线性函数，则称V为辛空间.5.相关定理(1)设£1，金2,…,品与り1，り2，••,，77rz都是线性空间V的基,①设a,肥V,它们在ゼい62，•…，£れ下的坐标分别为X,Y.f是V上双线/(a,0=X'G(/;か,e2,,en)Y性函数,则G(f：ei.£2,…,£n)=G(g:勺,ら,…，,)②V上双线性函数f,g满足f=g的充分必要条件是A=G(/;ei,む，…,en)③对任ー一厶Gアれxれ存在唯一的双线性函数,使得④f为V上双线性函数,则 264G(/;り1,り2,…,りn)=T'G(/；£],¢2,…,£n)T(2)设f是线性空间V上的双线性函数.£1，62，•一，£れ是V的基.则下面条件等价:①f是非退化的;②G^(/,£i,£2,,•,,)是非退化的:③若ア(a,月)=。,Da£V,则p=o.(3)设V是数域P上n维线性空间,f(a,P)为V上对称双线性函数,则存在VG(/;£1,£2,…,品)=diag(ム击,…,ム)的基£1,£2,…，5n使得G(/;小£2,…，品)为对角矩阵,即外,纪…,品(4)设f(a,p)是n维线性空间V上的反对称双线性函数,则存在V的ー组基6(/；ルな….en)=diag(S2,Sレ…、S2.0.0.•••,0),使得其中2.推论(1)设―电…,ス为v的基，使得G(ハ小纪…,金)=diag(di,(fc,…,ム).a=£エ回，仆=とリノejf(a.73)=S］ムエiレ(2)若P=C,则可取加，62,…1无,使得G(f;身,也•••,€n)=diag(Ifc,0). 265（3）若P=R,则可取リ，纪…，品,使得G（f:Ci,e2,1••,£n）=diag（Ip,-Iq.0）.（4）如果n维线性空间V有非退化的反对称双线性函数f«则n=2m为偶数,且存ハ“、（0[m\G（/:り1,他…，りn）=,ハ\〇Z在V的基りI，り2,•••，りn使得三、二次型及其标准形2二次型nf（xi,エ2•…，Xn）=^2°»»x?+2〉]a.皿•i=li 266ェ1=C112/1+C122/2H1-Cln2/n12=。212/1+^222/2HFC2nynXn=Cnij/i+Cn2j/2+…+jnj/nq,eP,1W，（"、关系式X=CY或者（其中X,ホ田…,动ア=限收…小）£屮セ叼C=%,臼,阿）称为由ゐ,22,…，ち到//1,U2,…，Vn的ー个线性替换,简称线性替换.如果detC¢O,则称此线性替换是非退化的.2标准形/（め,エ2,…，Xn）=di#+d2yl+…+dn3/n二次型ア（エ1，62,•一，经过非退化线性替换化为平方和形式,即此平方和称为/（叫，エ2,…，Hn）的标准形.类似地,与对称矩阵合同的对角矩阵称为此对称矩阵的标准形.3求标准形的方法（1）配方法化标准形/（X1,エ2，…,エn）=V。，产Hj，aij=aJi.设i.jI.若有2c使得=0刀。=°，1WJWn,则f是n—i元二次型.故可以假定，V而,总有.デ。使得めOラ〇・〇.分两种情形讨论.①若Qf，不全为零，不妨设ailナ0.故 267n/（X1,x2,•••,Xn）=¢211ボ+2xiTaijXj+J=2iiQ+2詣叼）n+〉ンO-ijXiXj>.j=2ム（エ2,…,ち）=ーヨ（£。1）エJ）+于是nレ1ーエ1+）一ユ叼,レ=卬二ら。い为ー个n—l元二次型.若n工1=シ1ー〉ー^•%,叫=レ“23=2011或则这是非退化的线性替换.此时有1め,エ2••一,エn）继续将，l（«2,•一，Un）化为平方和即可.ェ1=Zi+Z2,エ2=Zi—22,X,=Z②a11=。22=•,,=“れー0,,则有。“羊。.则这是非退化线性替换,此时有n〉ンaワエ旳t.J=2n£"リエ，ウi.j=224iWnWiWれ・=ail圻+/l®2,…，Vn),再れ3WiWれ不妨设ai2#〇・若 268f（x1,エ2,…，Hn）=2a>2（Zi+Z2）（zi-22）+2al3（?i+22）23+…=2の2?；-2al2君+,，,此时已变为前ー种情形,故可按前ー情形做下去.（2）初等变换法化标准形若A'=4,则有可逆矩阵T使得T'4T为对角矩阵.T可逆,则T可分解为初等Tat=（•••（尸，（P；apx）P2）---）Pfc矩阵的乘积,T=PB…Pk,此时ア=R…HR.则因此假定T为初等矩阵,讨论?MT与A的关系.①7=P（£（c））,c#0,T'=P（i（c））,将A的第i行乘C,得到T'ん再将此矩阵的第i列乘c,即得T'AT.@r=p（»,j）,r,=p（»,j）.将a的第i行与第j行互换，得TM,再将Tン的第i列与第j列互换，得ア・l.③T=PR,j住）），T=尸（j,晒）.将A的第j行加上第i行的k倍，得一ん再将ア4的第j列加上第i列的k倍得ア仃.总之,将A进行ー次行变换,而后进行ー次相应的列变换,这样一直变为对角矩阵.为求出T,将（从”进行行变换,而后将前面部分进行相应的列变换.最后得到プ）,其中D=diag（di，d2,•••,ム）为对角矩阵.2定理设ア（宓1,ノ2,**,よn）为数域P上的二次型,则下面结论成立.（1）若9（リ1,ヲ2，・一，シJ是P上的二次型,则存在非退化线性替换X=CY/（エ1,エ2,・一,xn）=g（y1,外,•••,yn）使得的充分必要条件是ル0与Mg合同.（1）№1,エ2,♦一,工"爲过非退化线性替换可化为平方和的形式，即有 269X=CY,detCナ〇,使得 270f（エ1,工2,•一,Xn）=din々+d2y2HFd八四、唯一性1.二次型的唯一性/（®1tエ2,…,エn）=+あ或+…+ムー一般地,数域P上n元二次型/（エ1，％あJ的标准形并不是唯一的.若ハ,力2,•••,な全不为零,若M=なZ],1\2（几则这是非〃よ】,*2,,,,,In）=+ 271/（孙ズ2.…,あJ=Z；+Z升…+ガ过非退化线性替换可化为右式称为f（工1,立2,•一，On）的规范形./（61,12,**,よ兀）的规范形是唯一的.注：实二次型的标准形中系数为正、负的平方项的个数是唯一确定的,分别等于正、负惯性指数.1.正惯性指数与负惯性指数在实二次型f（11，エ2,•一,1』的规范形中正平方项的个数p称为/31,N2,•一，Hn）的正惯性指数,负平方项的个数アー,=ワ称为/（11，12,•一，°n）的负惯性指数,它们的差「ー9=。ー（アーか=2『ーア称为f（11,エ2,•一,ズれ）的符号差.注：任一实n阶对称方阵a合同于ー对角方阵diag（Ip,-IQ,0）,p+q=rankAp,q由a唯一确定,分别称为a的正、负惯性指数.两个实n阶对称方阵合同，当且仅当它们的正、负惯性指数分别相等.五、正定二次型1.正定二次型实二次型/（エ1，12,1n版为正定二次型，如果对任何不全为零的Q,）ら£R均有,。2,***J。れ）＞°.设A//=A,则f为正定二次型的充分必要条件是a为正定矩阵.2.k级主子式与顺序主子式设A€RnXn,又14£1くルく…く正〈る将A中不是...A（«i»2•••ifc\办,’一,O的行，列均划去得到的k阶方阵的行列式Kムハ•••"丿叫做A的ー个k级主子式.特别地 272叫做A的顺序主子式.3.负定,半正定或半负定（1）负定实二次型f=X'AX称为负定,如果f满足VCWRnxl,CRO,有（2）半正定实二次型f=X/4X称为半正定,如果f满足VCGRnXl,有C'AC》0.如果f满足YC€Rnxl,有。4c＜〇.（3）半负定实二次型/=X'AX称为半负定,4.定理设f（0l,12,•一，7n）是实数域上的二次型,则下面条件等价:（1）/（^1»の2,•一,よれ）是正定二次型:⑵/（あ,如,…,ら）的正惯性指数为n,即A合同于7〃;12…卜12…k>0,14卜《"（3）A的顺序主子式都大于零,即5.推论/（旳,ワ,…，xn）=X'AX为正定二次型的充分必要条件是A的特征值都大于零.六、二次型在分析中的应用1.多元函数的梯度设U=/31，エ2,,一，In)是n元函数.设X=(へ％…,エノ.则Y是X的函数,记为y=f(X). 273设y=f(X)在Xn处有三阶连续偏导数,记△X=X-Xq.，的梯度/d2fd2fダf\dx\dx\dx2dx\dxnd2fd2fd2fA=。エ2aHia遥dx2dXn在X。处的值记为(gradf)〇.又令即,diidx,ditdxt,又记a在X。处的值为厶。.1.定理设y=f(X)在X。处有三阶连续偏导数,又(grad/)。=0.则当4。为正(负)定矩阵时,y=f(X)在X。处取得极小(大)值.2.推论(1)设一元函数y=f(x)在切处三次连续可微，且「(如)二〇.则r(x0)>〇(<〇)时,f(x)在エo处取极小(大)值.(2)设二元函数z=f(x,y)在(1。，伙))处有三阶连续偏导数，又 274af（エ。,yo）_a/（如,y0）diー闻ア八エ〇,y0）d2f（x0,yo）_（びfは0,yo）\2び/（私yo）则aエ2dx2dy2\；）>o（ 275则称为等距变换.2.二次超曲面〉］。ワあエノ+2):小工1+c=0,(a»j=cij)i,j=lt=l由二次方程的解X=(11,12,•一，Nn)’构成的R"中子集称为二次超曲面,以后简单地说上述方程为二次超曲面.4.引理(1)R”中平移满足下面性质:①平移是可逆变换,即R"到R"的ーー对应,且丁(Xo)T= ).②两个平移的积是平移,且可交换,又ア(Xo)T(丫0)=7(Xo+Yo).③平移是等距变换.(2)Rn中等距变换有以下性质:①两个等距变换的积仍是等距变换;②qク是等距变换,且ぐ(〇)=〇,则ッフ是正交变换.反之,亦然;③任一等距变换可唯一地分解为ー个正交变换与一个平移的积;④等距变换是可逆的,逆也是等距的.ハ(。:卜…1(3)设ん€R,,xn,A'=A.beRnxl,cER则当且仅当=R(厶b).5.相关定理(Ab)(1)(二次超曲面的度量分类定理)设A是n阶实对称矩阵,则Ib'c庸以下三种情形:①kb'c)这时有正交矩阵P与bGRn使得 276（；'：）（；：）（：：）=颯（スレ",…メ。）P0、（レガ1丿Iy其中ス1,ス2,•一,ヌn为A的特征值.=diag(Abス2,…，％,C1)R\Af6)=R(A)+1.e②\bc)这时有正交矩阵P与6£R”使得其中ス1,ス2,•••»ヌ7»为A的特征值,C1=ア传)#〇.®，e（：）=，“）+2.这时有正交矩阵p与6£Rれ使得其中ス1,ス2,•一,スA:为A的非零特征值,k 277XyXo2+10-入―fJL卫+=〇入2Iム25③点丁2三一季一1=0A2"215④双曲线,厂2バ卫—①=0入2ム2ロ⑤相交直线泊—2P①2=〇.⑥抛物线ポ—"2=0⑦平行直线N,+が=0.⑧平行虚直线⑨重合直线 278一2定=0.（3）（二次曲面度量分类定理）空间二次曲面经过等距变换可化为下列十七种二次曲面之ー.五海+星+必4-i=o.M3①椭球面Xi+Xq必4+1=0."3②虚椭球面空Tよ技"まナ2十号=O.44③点（虚二阶锥面）Ml十遥M2グ2穹ー1=0.必④单叶双曲面若+X%湯2野+1=0.M3⑤双叶双曲面⑥二次锥面 279-Q+Miグ2グ2て3_ハ•)0—＜ハM2M3ク・2+2'チーラー263=0•⑦椭圆抛物面MiM2⑧双曲抛物面土マ4-2^3=O.M222ェ:XoT+-4-1=o.⑨椭圆柱面MiM2Xy04"1—0*⑩虚椭圆柱面MiM2一2〃スよあC+―〇=〇・⑪直线⑫双曲柱面産 280警一考一1=0.MiM2るギ2一n02⑬相交平面—2px2=0-⑭抛物柱面Xj—底=0.⑮平行平面若+関=0.⑯虚平行平面=0.⑰重合平面注:⑪中曲面也叫零柱面或相交于实直线的两个虚平面. 2818.2课后习题详解第1节对偶空间1.设v是数域p上三维线性空间,£1，£2，¢3为V的ー组基.f（xid+X2E2+工3£3）1）若アwレ*,且/由+门）=1J他一如）=7/伍1+£2）=-3.求2）求/€ゾ,使得/（克+门）=/伍2一為）:0,/伍1+£2）=1.Q1=£1-€3）。2=£1+£2+门,。3=£2+£33）设ゴ1,fa,ゴ3是£1,ぎ2,三3的对偶基.试证也是V的ー组基，并求它的对偶基（用プ1,于2、E表示）./佃+ら）=/（G）+/（ら）=1ノ（ら-2ら）リ（%）-2/（ら）=-1ノ（与+ら）=/（ら）+/（ら）=-3解:1）因为f为双线性函数且由所给的条件可知“る）=4,"ら）=-7,ハら）=-3求解上述方程组可得 282因此有 283/（X向+X2£2+/ら）=//（G）+め/（ら）+xj（ら）=4.0—7x,—3x?/（ら+ら）=/（ら）+/（ら）=。ノ（ら-2ら）=f（g）-3/（ら）=0ノ（ら+ら）=/（与）+/（ら）=12）由已知条件可得/（与）=-；,/（ら）=も，（ら）=；解上述方程组可得a=須ら+工2ら+—于是对于任意的aeV,当。在给定基与，ど2，へ下的坐标表示为/（。）=/（メ向+メの+占ら）=»/（ち）+XJ（ら）+XJ（ら）I3I=X.+-x5+-X,（%,七,%）=（ら,£ゴら）/3）设 284‘I10ヽ4=01IE1>>则由已知条件可得因为141ヱ°,故ク1，。2,13为V的ー组基.设刍，&!，83为。ドクず。3的对偶基,（gn）=（，//）（彳）”’〇I-1、=（，//）IT2「II-し则有刍=ルーム4=，ール+ル,&=ー工+2ムール因此可得2.设/1,12,•一,れ是线性空间V上的s个非零线性函数.试证存在aeV,使得ん（a）ナ。,1く，くs.证:对S用数学归纳法.当S=1时,/1所以存在at/,使得/即当S=1时,命题成立.，（a）=q（，=1,2…,A）假设当s=k时命题成立,即存在aw使得下证当s=k+l时成立.若ん+1⑻・0,则命题已经成立.若加5）=0,则由.。+10。知,必存在A€ク,使得q+c“工0(z=1,2,...,A)设ルタ)=4¢=1,2,..."),于是总可以取cw0,使得 285£(7)=a,+cd尸〇(/=1,2,...,^)若令ア=a+cガ,则可知ア且有亦有ん+1(ア)="jエ。,得证.2.设Qi，Q2,‘…，QS是线性空间V的s个非零向量,试证存在fev・使得/(叫メ。，证:因为V是数域P上的ー个线性空间,V・是其对偶空间.若取定V中的一个非零a"(/)=/(a)(/wに)向量a,则可定义V・的ー个线性函数a*・如下且a**为V・的对偶空间(V*)・中的一个元素,于是V到其对偶空间的对偶空间(V*)*的映射afa是ー个同构映射.又因为ク|’。2,…，a、•是v中的非零向量，所以%“，％，….为对偶空间V・的/(a,)=a1(/)w0,(/=1,2，…,s)对偶空间(V*)*中的非零向量.从而由上题可知,存在/ey\使得3.设v是数域p上的线性空间，A6EndV又/€ゾ\定义v上函数ス*/如下:(乂7)(。)=/(如),WaC.试证:1)A\fev*;2)4(EM(ABy=B*AT3)EndV至リEndV・的映射ス―►ス”是线性同构映射,且4)若E1，&2,***,£n为V的ー组基,fl,7*2,***1/n为它的对偶基, 286M(イ;/1,/2，•••,ん)二M(ん门,画…,金)'称ス・为ノI的转置映射.(才，)(a+4)=/(4(a+夕))=/(Wa)+/(ス")=(彳ノ)(。)+(/7)(0)证:1)设a，〃W/，女€尸,于是由A・的定义可知有(A'f)(ka)=f(A(ka))=f(kAa)^kf(Aa)^k[因此可知ス*/Wド、/•(/+g)(a)=(/+g)(彳a)=/(/a)+g(/a)=(/了)(。)+(イセ)(。)A'(¥)(«)=^(Aa)+k(f(Aa))=A(イノ)(a)2)设/，gwr，aw/,kwP,于是由则可知/fgEndV*.3)设A,BeEhdV,fe『,kwP,awP,于是由(力+町ノ(a)=/((/+8)a)=/(/a)+/(8a)-(Z/+r/)(a)(AJ)/(a)=f[kAa)=kf'(Aa)=kA'f(a) 287(A'B*)/(a)=B'f(Aa)=f(BAd}=(BA^f(a)（＜+8）・=/f+ダ,（uy=u\（84）•=イダ则可知Za=0又若イ=0,即对于任意/'w因此有故有ス=0.力［/（ク卜/«ガつa）,eV\aeV对任何"wE加ノに,依照上面的方法可以定义（彳’）6EndV,使得（（ガ»）=力.于是有八’ノ,因此结论3）成立.（カら,力£?，…,力ら,）一（％，£ユ,…,£”）/（カノ,ガエ,…,力N）=（エ/,.."）s4）设下面只要证明力=S,即可.一方面有 288（力ス）（て）=ナ％£（ク,）=ルノ=1,2,…,n从而可知（47）（〃,）=力（奴）=力は%〃,\/-|ノ=エJ（功）Ml=a”ij=1,2,…,〃另一方面有于是可得％=""ヽJ=1，2,…,〃,即ス=S1.得证.5.设v是数域p上线性空间,ハ,h，•一，人£v\试证:1）卯={aWV|fi（a）=0,14カ《卜}是v的子空间,称为fl、于2,一，,人的零化子空间，记为心改んん,…、fk）.dimann{厶,/2,…，A}=dimV-rank{/i,/2,…,ハ}2）零化子空间的维数为 2893）V的任一子空间皆为某些线性函数的零化子空间.证:1）由/（°）=°，i=L2,...,s,可得。七ル,即w非空.设a、0eW、kwP,则有£（。+ガ）=£（。）+£（ガ）=0,i=l，2,…バルんa）=鲂（a）=0,/=l,2,...,s所以a+ガ£ル，Aawル,因此w是v的子空间.2)不妨设エ，人，…，.ル为エ，/2,…，ん的极大线性无关部分组,将其扩充为V*f\‘人,…‘エ’gf+l，…，g〃/(az)=0,\ 290工（。）=須X。且有14iWr,为エ。,则因此w有基%■+ド％•+2，…，レ，，,故2）成立.因,a?，••,»a〃3）设w为V的ー个线性子空间,a”ク2,,••，0リ为w的基,将其扩充为V的基a=Xi%+ズ、a、+...+xrar+xr+1ar^+…+x〃a〃,则对于任意的/i（。）=ル+i/⑷=ヨ+2,•••，£□⑻=ム可定义£（a）=0,i=1,2，...,〃ーV易知/1，.厶，…，・厶/•都是V的线性函数,且显然对于任意awル,有n 291a=Yxa若对tr满足ft(cr)=0,/=1.2，…,na=xiai+エa[+...+xrareW则有ム+i=…=x“=0,从而可得因此w是エ’ル，…，/”ー「的零化子空间.证毕. 292第2节双线性函数1.设P为数域,AW二P.定义V上二元函数f(X,Y)=tr(X/AY),X,YGV.1)试证f(X,Y)是V上双线性函数.2)求f在基{風,U4[《叫1&j&n;entfc/^.j=ム向J下的度量矩阵./(Xi+X2,r)=tr((xI+X2YAY)=tr(X；AY)+u(X'2AY)=/(Xi,y)+/(x2,y)ル匕メ+"2)=tr{Y'A{X\+X2))=tr{Y'AX\)+tr(Y,AX2)=/(y,x1)+/(y.x2)f(kX,Y)=tT((kX),AY)=ku(X'AY)=灯(X,y)=f(X,kY)证:1)设Xi,X2,YGV,kep.由再根据双线性函数的定义可知，f是双线性函数.Eli,,t,»当……，Emi,…，Emn2)设4=3i),由于/(Eij,Ek[)=tr(Eス凰%)=如明于是f在基。1ム内21n…Glmln0211nQ221n…%ム卜OmlLi21n'Ommlnノ下的矩阵为2.设V=P•上的双线性函数f(X,Y)为 293/(X,丫)=3エ1J/2-5エ2阴+エ3火ー4a：4j/3其中X=(xi,Xz,X3,xj,Y=(yi,y2»y3,y4).1)求G(f：£i,£2,£3,3,其中3=(1,-2,1»0),助=(1,-L1,0),£3=(-1，2.1,1),0,1)（小，小，り3,%）=（£］，£2,爺,J）T2）求G（/;り1，り2，り3，り4）,其中0),e3=(0,0,1,0),e4=(O,0,0,解:1)记Ci=(1»0>0»0),ez=(O,1,011)-(0300)-5000G(f;ei.e3.e3.e4)=0001卜00—40/则有'11-1-1'-2-12-1ト回3なノ111010。11ノ又因为 294r47-3"2'-122-7G（/；£M/3金）=.n,,,-bTl114L74-15-2j注:由直接计算阳闻也可得G（/;4,S，«3.门）.'-1826-88'ヽ23832-56第:小,り2,小，り4）=2-42。〇1-2820。ノ2）由アG（/："局向向!T直接计算可得3.设V是C上线性空间,dimV>2.f（a,0）为V上一个对称双线性函数.1）试证V中存在非零向量£使得/（&&=0./（€-€）=/（り,り）=〇,ル&り）=12）若f（a,0）是非退化的,则存在线性无关的向量&リ满足证:在V中有基Q1，。2,Qn使得f的矩阵为diag（L,0）.若rVn,则当k>i•时,/（<**.«*）=0.若r=n,即f是非退化的.令白加1+いル），好加「/欣）.则る”线性无/（&り）=-+/（。2,。2））=12//«.£）=ン（8++Vー】O«2）=X（/（Q*»a,）~/（Q2，Q2））=0/（り，り）="（5一>/—T〇（2<〇!|~>/-I02）=/（/（ai,ai）_/（<*2-<*2））=0关,且 295于是结论成立.3.试证线性空间V上双线性函数f（a,囚是反对称的当且仅当Vq€v,/a,a）=0..证:由f反对称,故他，。）因此/9,a）=0.府,0）+加。）=加+&a+ル他0）=0反之,对a,pev有因此双线性函数是反对称的.4.设f（a,0）为线性空间V上的对称或反对称双线性函数.若f（a,0）=0,则称a与0正交.设W是V的真子空间.试证:1）对球W,必有り川/+丄长）,りナ0,使/価Q）=0,曲,屮;2"厂=@白リ&m二°，取町是v的子空间（称为w的正交补）；3）即ル丄={0},贝心叫吐4）f（a,か在W上的限制非退化的充分必要条件是「=『ヨ1'丄.证:1）设8,…，S为W的基,于是四’….①飞为线性无关向量组.因此齐次线f(ai.ai)•••f(ai.ak)f(Q2-ai)••・”。2皿)f(a2.()f(at.ai)■• /(at,at)/(aド)/性方程组(エ',纵+1)り=工1。1+…+Cゆ4+以+iSw卬+〃£），死幸〇 296/(ij.a)=±/(a,i|)=Ovaeir2)显然OeW丄,又若sow卬丄khk2eP他S+桢2,0)=向+材(。2，0)=0则对于梃肝,有因此小”是v的子空间.3)设“匕"".于是由结论1)有り砥)ハル丄,りナ。.于是り=a*H,aeW.若k=0,则リ£“〇"一={0},矛盾.故kHO,于是可得因此y=%卬丄.WCW丄={0}4)由于f(a,0)在W上限制非退化当且仅当6.设f(a,0)是n维线性空间V上的非退化对称双线性函数,又设a€V.定义V上函数or：a邻)=f(a,P),マ8WV.试证:1)a-GV-»且a—a・是V到V啲同构映射；2)设ナ，4,…,ち为丫的基.存在V的唯ーー组基ス或…，或,使得 297/（%,す=&力1W3ハハ/（♦,ら）=&力1〈]，ラ（れ3）若V的基域为复数域C,则存在V的基£卜£2,•・ヽ,n,使得♦住6+kM=hf（a,仇）+・饱酒2）="（%）+卜2ゼ（闻证:1）设k£P,PiGV（i=l,2）,由a♦的定义有（kxa*+卜2访）（0）=-5+—,6）=+灯ノ（。2,6）=あ。:（。）+fc2a5（3）.因此crew.又若a”a2eV,k“k2GP,则有因此（xtcc是V到V•的线性映射.若ゆ€匕a•（仇=/（a,仇=0,则由f的非退化性,可知a=0.于是a—a・是V到V・的映射.又dimV=dimV，,故此映射是线性同构.2）因为身，的,…，玩为v的基,故す，％…，嚣为V•的基,设メ，4，…，或为其对偶基,则有他d）=a：（矶ニ媪由对偶基的唯一性,知£’1，，2,…，累是唯一的.3）由f对称,非退化,故有v的基使得G（/;3,£加…岛）=ム.注:结论1）,2）的证明并未用到f的对称性,只用到f的非退化性.7.设V是对于非退化对称双线性函数f的n维伪Euclid空间.V的基身,£2,…,品称为正交基，如果G（/：£],为…，品）;diag（レーIn-p）,又AeEndV称为伪正交变换.如果A0）—f（a,0）vQ<公リ,试证:1）a为伪正交变换当且仅当在正交基下的矩阵a满足 298A/diag(/p,-In-P)A=diag(/p,-In-P)2）伪正交变换的行列式为1或一1；3）伪正交变换是可逆的,其逆仍是伪正交变换;4）伪正交变换的积仍为伪正交变换.证:1）以A表示线性变换A在正交基"，々,撕下的矩阵.于是A为伪正交变换当且仅当/（んメJ）=貝。，も）,即A'diag（Jp,-In-P）A=diag（Ip,-/n-p）2）由结论1）知detA=±l,即detA=±l.3）由结论1）知（ボツ杀以ん,ー厶-p）A7=diag（Ip,ームーp）.故伪正交变换可逆,其逆仍为伪正交变换.4）设A,B为伪正交变换,则有/レ!Bq.即阴=れ妬M0）=/（a,0）,于是AB为伪正交变换.8.设V是对于非退化反对称双线性函数f的n=2m维辛空间.V的基£1（除…，£加G（/；€1,£2,…，e2m）=（_/mV）称为辛基,如果又AGEndV称为辛变换,如果/（如・期）=/（シ。）,孙0£Vt试证:1）A为辛变换当且仅当在辛基下的矩阵A满足2）辛变换是可逆的,其逆仍为辛变换;3）辛变换之积仍是辛变换.证:1）以A表示线性变换A在辛基加，《2,'''，6n下的矩阵.于是A为辛变换当且仅当 299/(朋,朋)二り)バ0d2)由结论1)知detA=±l,即detA=±l.于是A可逆,且故辛变换可逆,其逆仍为辛变换.3)设a,b为辛变换,则有ん出aMBS)=儿4a,A8)=f(a,£),于是ab为辛变换.8.设V是数域P上n维线性空间.以"8レ)•表示V上所有双线性函数的集合.分别以Sy®(V'V)',り’表示V上对称,反对称双线性函数的集合.对于厶g£(レgり,,,kep,定义f+g,kf如下(/+g)(a,0)=/(aS)+g(。，0)(kf)(a,0)=kf(a,0)Va,fl€V|试证:1)(レ®V),对上述加法与数乘构成P上nz维线性空间;2)若な，6,,••，品为v的基:£チ€(V®V).满足Gじ;£1,¢2，…，£n)=E“,臼,j 300(/+g)(ai+。2,0)=/(«i+。2,0)+9(。1+。2,0)=/(ai,/3)+/(c*2,0)+g(a1,8)+9(。2,0)=(/+g)(s,0)+(f+9)(。2,0)(/+g)(k\a,0)=f(k\a,(3)+g(kia,fl)=kx(f+g)(a,0)(り)(6+<12,6)=kf(ax+a2,0)=(kf)(ax,0)+(kg)(a2,0)(kf)(kia,0)=kf(kxa,0)=kkxf(a,0)=kx(kf)(a,0)证:1)设6，。2£匕kにP,则有即有f+g,kf对第一个元素是线性的.类似地能证明f+g,kf对第二个元素也是线性的,故f+g,Vg(V0V)\设口制…岛为V的基,于是肾ケ到Pnx”的映射屮:附)=。/修例、品)是ーー对应，而且附+9)=附+岫),胃切=地(り.于是"®り・是与「ノ”同构的线性空间,维数为02.2)因为出川Wi,j 301第3节二次型及其标准形1.用非退化线性替换化下列二次型为标准形,并用矩阵验算所得结果.1)-5&+"1窝+24T32)了，〒2工法2+姐+5為十ぜ3)J?-3j：2-2”2亠2X113-6X2X34)8114+2窝い+2了2エ3+纳ル5)わ了2+エ1了3+21X4+了2了3+n了4+了3エ46)X)+2i1+4J1J2+4X)13+2X)/4+2n13+2nい*江3ら7)X：+X：+X；+X：+2X1工2+2X2X3-2X3X4解:记所求二次型为f.1)令则可得2）令 302/=!/?+yl 3033）令则可得ェ1/=代ー1则可得5）令 304/=城ー拯ー施ー源6）令则可得\00017）令/二ザ+3イー次+必则可得2.用非退化线性替换化下列二次型为标准形,并用矩阵验算所得结果.1）エロ2n+12エ2n-l+…+跖£+12）エIエ2+エ2エ3+…エn£姆+Eエ用3），=1iwyQn4）ひ"—"其中元=乂あ+数+…+ち） 305解:1）令则可得2）分两种情形.（1）n为奇数.令则有（2）n为偶数,令Hl="1+"2n，ェ2="2+42n—1・Hn=2/n+ソ”+1，ェn+1=i/n-S/n+1/=曲+…+成一必+1yin1ZヽVi=エ,+h什1+ム+2）,必+1=2（^t—エ!.1+孙+2）1=1,3.--»n-2,/=资一点+或ー或+…+解ー2一解一1 306=三（ユ"+エ.+1+ユジ+ク），シ・一1=K（エメー工・+1+エ・+2）i=1.3,••,■7T—3,1z,ヽ"n--1==,K（Hr—1kr»）,1,ヽヽリr>=三（エれ一1—H,a）・/=--+yl-l~Vn则有3）由题意可得4）令[=3""エ,l 3071）A'=—A当且仅当ザX€Pn",有X'AX=O；2）A'=A,且VX"l,有X'AX=O,则A=0.证:1）若A=—A',则由（X'AXY二MX二一X'AX,可知X'AX=O.反之,由ぼ;丫）スな+丫）=ズ）ズ=匕!丫二0.可知ズん丫=ー丫，AX,因此A，=-A.2）由结论1）,此时A'=-A.故A=-A,即A=0.メん1ん叶4.设小I,も2分别为s阶方阵,且、あ包ノ是ー对称矩阵,且detAiナ。.（し。/X）仆°）\X'I,J\01.J\0BnI证明:存在rxs矩阵X使得证:因为detM，Q,故可逆.令x=-4スリ［2,由a对称，故山ト働对称，且xー闻ム=ル】,于是有 308第4节唯一性1.证明秩为r的对称矩阵可表示为r个秩为1的对称矩阵的和.T'AT=diag(di,d2,…,ム,〇,…,〇),4#〇证:因为R(A)=r,A'=A于是有可逆矩阵T使得4=6+4什…+4于是可得ん=(7-1ア(ム岛)厂】(1WiWr)其中是秩为1的对称矩阵.diag(M,ス2,•••»An)2.设伍机…，%是1,2,....n的ー个排列.证明diag(%[,Ajj,,•,,Ajn)与合同.T叫1+%+…+E%n证:令 309T=©ハ+£?2<2Enj,TT'—In于是可得Tdiag（Ait,スら,…,ゝ）ブ=T（%Eii+ん/宾・!^ハス人刀ア=£%Eウ"=diag（Ai,ス2,…,An）.ノ・1而又有因此结论成立.1.如果把实n阶对称矩阵按合同分类,即两个实n阶对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同.证明每个实n阶对称矩阵属于也仅属于ー类.试问共有几类?diag（Zp,-Iq,0）,0WP+qWn证:A与其规范形属于同一类,而且每个实对称矩阵只能属于ー类.由于规范形为故共有;（n+D（n+2）个合同类.2.证明一个实二次型可以分解为两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是其秩为2,且符号差为零;或秩为1./（あ,％…,エn）=/ー防证:若f的秩为2,符号差为〇,即有/（あ,劭,…,ら）=（%+生乂凯一如于是可知为一次齐次函数的积. 310若f的秩为1,则/（力，エ2,…，厶1）=ゴ,自然为一次齐次函数的积.他曲…Un)=2叫»产j=ルん\.=1/v=i反之,设f为一次齐次函数的积:若fz=kfい则/=k/Lf的秩为1.否则,但向，…ム)与。ル…也)线性无91=1(71+ん)，92—1(71-，2)关.令则臼与取线性无关,此时,二9キー9キf秩为2,且符号差为零.9］。12…OlnQ“Q.2…。いZ1.设外孙カ,…,エn)=226沔»=1u=i/试证的秩为rankA.证:二次型/优,エ2,…，エn)的矩阵为A'A.故只要证明R(A'A)=R(A).自然齐次线性方程组AX=O的解为齐次线性方程组A'AX=0的解.反之,设X为齐次线性方程组A'AX=0的解,于是X'A'AX=0,即(AX)'(AX)=0,因此AX=0.于是齐次线性方程组A'AX=0的解也是齐次线性方程组AX=0的解.因而R(A'A)=R(A).得证.注1:此例中f是半正定的,正惯性指数为R(A)vmin(s,n). 311注2:若B是半正定的,则有A使得B=A'A.B=(Lydiag(ム,0)L事实上,此时有可逆矩阵T使得TBT=diag(L,0).于是可得A=diag(lr,0)r1令则有B=A'A./(xi,物…，=G+…+>?+i—.1.设其中h(14ivp+q)是孙め，…，エn的一次齐次式.证明/(エhエ2,…,エn)的正,负惯性指数分别小于等于p,q.1/2»,•,>Un)=Y'C'MfCY=y?+•,,+!/«-“证:设f的正,负惯性指数分别为s,t.于是有非退化线性替换X=じ丫,使得'h(X)=0.レ(X)=o,!/-i(X)=Oゝ!/n(X)=0,若s>p,注意L(X),y,(X)都是カ，め,…,％的一次齐次式，于是是关于カ，エ2，…Mn的齐次线性方程组.其中未知数的个数大于方程个数，故有非零解Xo. 312仙)=-2—端却="(XJ…ル附二0{/i(Xo)=«-=y,(Xo)=0故有于是可知CXo=O.这与detCxO矛盾.故svp,同样可得tvq.7.设A是n阶实对称方阵,证明存在正实数c使得ヤXER/rl有XXXくメ'X成立.TAT=diag(h,杭…，％)证:因A是实对称矩阵,故有正交矩阵T,使得AcoljT=AjColjT,1WIWれ于是有c=max{スト,同,…,%1}令nXニエCjCohTi=i设则有 313\X'AX\»此时有因此结论成立.8.若上三角矩阵t的对角线上元素都为1,即enthT=l,则称t为特殊上三角矩阵.イ;二:）二（:二:），I-1）设A为对称矩阵,T为特殊上三角矩阵,又B=T'AT.试证イ:二»。，"…2）如A为对称矩阵,且试证存在特殊上三角矩阵T使T'AT为对角形.セ丹Tぐ::）证:1）将A,T分块其中 314’Q110lkヽf1…MヽAi=••••・・,T\=***\0lk0kk/1/B二T'AT=*岫B；ThT3均为特殊上三角矩阵.由此有于是可得b=（。n1,Qn2,•••,。れれー1）2）对n作归纳证明.n=l显然成立.设n—l时结论成立,令4=（クb）.風=ム，detムナ。\bannJ于是可得（・0"b\/In.i-A/叶/ん01[イ媪1八y[01/\0"bX'b+flnn/由归纳假设有n-l阶特殊上三角矩阵Tい使得T/ん「为对角矩阵.又因为于是可知 315T七・即为特殊上三角矩阵,且丁AT为对角矩阵.证毕. 316第5节正定二次型1.判别下列二次型是否正定.1)99d"とあ［2+48エU3+130エ*60エ213+71琢2)10z?+8あI2+24X1X3+2す-28エ23+琢£w+E片り3)t=l.nn-1E対+Eエロi+i4)t=li=l.99>0.99-6一6130=12834>0,99-62499-60一6130-30=234-1700=755874>024-307124-30-49解:1）此二次型对应矩阵的顺序主子式为因此,此二次型是正定的.10412-1341721242-14=172-194-14=-3588<0,12-1410012）此二次型对应矩阵的行列式为因此,此二次型不是正定的.3）此二次型对应矩阵的顺序主子式中第k个为 31711・・•211...1k4-1ハ22>0••11122…因此,此二次型是正定的.注1:此二次型5.=i\»=1）,因而是正定的./=a£W+2b£1,1；注2:上述正定二次型可以推广.若a>0,且a>（l—k）b,l 318nn—1f=Q£姆+2b£エ開i+1t=lt=l注2:上述正定二次型可以推广.若。22|几则二次型是正定的.事实上,f对应矩阵的顺序主子式中第k个为仇=嘤>0当。时,Dk>0.当。=2|ル时.即a?—4b2=0,此时有因此,f是正定的.2よ取何值时,下列二次型是正定的?1)3+t介5す+2"H2-21M+如Z32)6+嬌+另+2仞1エ2+101113+6m门1t-11ts=1-12>0,t12=-5产-4t>041-125解:1)此二次型是正定当且仅当经计算可得一［v£v°,此二次型是正定当且仅当ー£vtv〇2）记此二次型为/（ハ“2，13）,由f（i,〇,-1）=l+l-10=-8<0»知不论t取何值,此二次型不可能正定. 3193.证明A是正定矩阵当且仅当A的所有主子式都大于零.证:若A的所有主子式都大于零,则顺序主子式都大于零,故A正定.反之,A正定,则/（X）=X'AX{X'=（孙坳…イ』是正定二次型.设1《れく12く…くik 320(t'atL=デ即有sTs=hS=（T尸因此A一1正定.注:从此题的证明可得:A与的正惯性指数相等,负惯性指数相等.3.设A是正定矩阵,且用时,ent?[440.证明entり4ー》0,1W，，jWn叫:）证：n=l结论成立.设n—1时结论成立.令'anA\=\Oln-1其中显然Ai是正定矩阵,且用时,enレ必4Q特别,ベス在,正定，且其元素非负.又Cニー開ハル产齡＞0其中(001心バJ” 321..1/ガ。、//”T-C-'b\(/„,I〇\0"(0】ノしガJ即注意,矩阵Mr,〇ヽ（如y叫）|矯〇］［0（Tリ［01丿IM1ノ中的元素都是非负的,于是A」的元素也是非负的.3.A正定当且仅当A=M'M,其中M为可逆矩阵.A=俨サ?イ=（PT）/P“证:因为A正定当且仅当存在可逆矩阵P使得P'AP=L,即有令M=P",则有M可逆,且A=M'M.注:此题可推广为,A是半正定矩阵当且仅当A=M'M.P'4P=（第）因为A半正定当且仅当存在可逆矩阵P使得24gイズ）即有M=（%：）p7令则可得A=M'M.A正定,当且仅当M=P”故可逆.4.设B是实n阶对称矩阵.试证B为正定矩阵当且仅当对任何正定n阶矩阵A及实数人20,咋。，入+―0,XA+pB是正定矩阵. 322X\XA+pB}X=XX'AX"BX>0证:若B,A正定,则XeIT",XM,X'BX>0,X'AX>0.于是因此AA+pB正定,反之,取入=0,卩=1,则B正定.3.设B=（如i是n阶正定矩阵,Q1,。2,,Qn是n个互不相等的正数.证明m是正定的.6（工1,方,…，Hn）=£b,jXiXj>0证:由B正定,故わ，エ2,…。エn不全为〇时,广川H所。“宀e-叫…,エバ3）也=0,gエバ…かホJOノ。<.>-!='b,.XiXj[e-（へf"dt=52—%-x*xi>°。£J。,上产+,因此（3因此,ノ是正定的.4.设A为实n阶对称矩阵,且detA<0.证明存在X£使得X'AX<0.证:因为detAVO.所以A的负惯性指数大于零,因此有可逆矩阵P使得P'AP=diag(/p,-Iq),p 3233.证明二次型/（エhエ2,''•，エn）半正定当且仅当它的正惯性指数与秩相等.P4P=diag.p,一%〇）.证:设A为f（め,坳…,以）的矩阵.于是存在可逆矩阵P使得并且有。+勺=冃（4）,若p 324设14れくル 3252)3)4)设TER"〉且可逆,则厶-Y'A-1：）&；）=（：ーニ丫detA0。;…:一;);det4＜。11。22…。nn.证:1）由于A可逆,且A7正定.同时由/仙即・,命）:丫匕他刈バ）丫可知-（detA）パ又因为是负定的，故f负定.般（タと）2）将A分块,如下（/n-I0］厶（んb\1）~\0-b'A^b^ann由于所以可得 326detA=(^Af'b+annidetAi 327Xo=ColpP-Colp*lPXqAXq-（rowpP+防叶ア闻叫P+cd叶［P）=0.则有XoWO,且16.设实二次型X'AX满足X'AX=O当且仅当X=O.试证X'AX或正定或负定.证:若X'AX既非正定又非负定,再由A是非退化的,故有Xi,先使得X;幅〉。X；AXi<0于是由题15,易知有x#o,使得XMXo=0矛盾.故结论成立. 328第6节二次型在分析中的应用1.求下列函数的极值.1）u=ゼ+ザ+ゴ+21+如ー6z2）ノ=工+为+普+¥（エ>。,y>0,z>0）‘打+21gradu=2y+4、2z—6ノ解:1）由于X。=一2I3ノ所以驻点为，d2ud2ud2uヽdx2dxdydxdzA_d2ud2ud2udxdy&y2dydzd2ud2ud2u\dxdz&ydzdz2ノ又因为在X。处AXo=2h正定,故u在X。处有极小值ー14.〃二ア十ア十ス2+2エ+旬-6z=（エ+ザ+®+2）2+（z-3）2-14注:本题有很简单的解法.因为 329gradi2）由于当且仅当“=,y=z=l 330第7节二次型在解析几何中的应用1.判断下面二次曲线的几何图形.1）ゼ+23+/+2エ+2y+l=0；2）エ2+勿+3y2+3エ+5y+2=0；3）叫+7ザ+リニ0；4）~-2ry+2アー4i+y+6=°解:1）此二次曲线方程可写为（工+g+1）2=°,故为二重合直线.3-25-22135KM11353-22）此二次曲线方程对应的矩阵的行列式为（ね）而是正定的,故此曲线是椭圆.3）此二次曲线方程又可写成y（x+7y+l）=0,故为二相交直线.0^057：=〇0チ0注:此二次曲线方程对应的矩阵的行列式为而矩阵 331(H)的正负惯性指数都是，因而为相交直线.’1-1-2A=-12I1-2*64）此二次曲线方程对应的矩阵1,1,V的顺序主子式分别为因而此二次曲线为椭圆.2,判断下面二次曲面的几何图形.1）メー2八2メー働+皿+8孤一江+y-4z+1=0；2）?+i/2+z2+2iy+2zz+2j/2+2i+2j/+2z+l=0;3）3?-6/+3¥_抑一皿-蜘+2工+2卄42+4=0f1-22-1ヽ4=-2—24IゝT5-21）解:1）此二次曲面方程对应的矩阵1,-6,-28J警的顺序主子式分别为 332因而此二次曲面为单叶双曲面.2）此二次曲面方程可写为(z+g+z+1)2=0故为二重合平面.‘3—2-41'-26-21A=-4-232l1124ノ3）此二次曲面方程对应的矩阵的顺序主子式为3,14I-98,-651.因而此二次曲面方程的二次项对应的矩阵的正惯性指数为2,负惯性指数为1；A的正惯性指数为3,负惯性指数为1.因而此二次曲面为双叶双曲面.3.写出二次曲线与二次曲面的度量分类定理（即教材中定理8.7.1和定理8.7.2）的证明.证:若ceR,且CHO,则F（X）=O与cF（X）=O对应的图形是相同的.首先证明二次曲线的度量分类定理.二次曲线的方程可写为其中なR叫A!-A.设（beノ与A的秩分别为r,r,.根据二次超曲面的度量分类定理（即教材的定理8.7.1）,可分为以下情形.1）r=n=1.这时,曲线方程可化为が二°,即为二重合直线;AjX]+ヌ2エア=0,Aj>0,ス2>。2）r=n=2,A正（负）定.这时,曲线方程可化为即为ー个点.3）r=r>=2,A非正定,非负定.这时,曲线方程可化为 333ス1堺ーあ蛙=0入>〇,入2>0即为二相交直线.（銷4）「=ロ+1=2.这时C=1,且AiZj4-c=0,Ai>0,c>0的正（负）惯性指数为2,曲线方程可化为即为二平行虚直线.（知5）r=n+l=2.这时n=l,可知ス1元—c=0,Ai>0,c>0的正（负ア惯性指数为1,曲线方程可化为即二平行直线.（四6）r=ri+l=3.这时口=2,可知ス1エ;+ス2就+1=0,Ai>0,Aa>0的正（负ア惯性指数为3,曲线方程可化为即为虚椭圆.7）r=ri+l=3.这时n=2»可得 334Abb'cス1婢+入2避-1=0,Ai>0,八2>〇及A的正（负）惯性指数为2.曲线方程可化为即为椭圆.（加）5）r=n+l=3.这时n=2,可知ヌ1えース2避一1=0,A1>0Jス2>0A的正（负）惯性指数均为2,1.曲线方程可化为即为双曲线.え-2P就=0,p/06）r=n+2=3.这时n=l,曲线方程可化为即为抛物线.其次证明二次曲面的度量分类定理.二次曲面的方程可写为F（X）=X'（ラb）x=0AeR3x3H=4に0ノ,其中,短）设与A的秩分别为r,H.根据二次超曲面的度量分类定理（即教材的定理8.7.1）,可分为以下情形.I?=0 3351）r=ri=l.这时,曲面方程可化为即为二重合平面.A1X?4•入2エキ=°，X>。,入2>。2）r=n=2,A正（负）惯性指数为2.这时,曲面方程可化为即为一直线.Ai!?—ヌ2場=0,Ai>0,A2>03）r=ロ=2,A正（负）惯性指数为1.这时,曲面方程可化为即为二相交平面.Ail?+>2^2+A3X3=0,Ai>0,A2>0,A3>04）r=ri=3,A正（负）定这时,曲面方程可化为即为一点.入1ゼ+ス2エ之—入3エ3=0,Al>〇,ス2>0，入3>°5）r=n=3,A非正定，负定.这时,曲面方程可化为曲面为二次锥面.6）r=n+l=2.这时n=L并可知的正（负）惯性指数为2,曲面方程可化为Air?+c=0,Ai>0,c>0即二平行虚平面. 3361）r=n+l=2.这时n=1,并可知All?-c=0,Ai>0,c>0的正（负）惯性指数为1,曲面方程可化为即二平行平面.の2）r=n+l=3.这时n=2,并可知Aix?+A2名+1=〇,Ai>0,A2>0的正（负）惯性指数为3,曲面方程可化为即为虚椭圆柱面.（第3）r=n+l=3.这时n=2,并可知Aix,+.堀-1=0,Ai>0,Aj>0和A的正（负）惯性指数均为2.曲面方程可化为即为椭圆柱面.Ab\be)4）r=n+l=3.这时n=2,可知 337ス1犹ーヌ2貶-1=0,Ai>0Jも>0和A的正（负）惯性指数分别为2,1.曲线方程可化为即为双曲柱面.（駕1）r=n+l=4.这时C=3,并可知A1X?+ス2Hヱ+ス3H§+1=0,八［>〇,ス2>0,入3>0的正（负）惯性指数为4,曲面方程可化为即为虚椭球面.（射）2）r=n+l=3这时n=3,并可知A1X?+刖谴+入3瑶-1=0»入1>0,ス2>0,ス3>0・及A的正（负）惯性指数为3,曲面方程可化为即为椭球面.3）r=n+l=4.这时n=3,并可知 338此）入1婢+ス2状—ス3必4-1=0,A1>0Iス2>0,ス3>°和A的正（负）惯性指数分别为3,2,曲面方程可化为即为双叶双曲面.（判1）r=n+l=4.这时n=3,并可知Aix?4-ス—A3X3—1=0,Ai>0,ス2>〇,ス3>〇及A的正（负）惯性指数为2.曲面方程可化为即为单叶双曲面.Xi—2P時=0,p/02）r=n+2=3,这时n=1,曲面方程可化为即为抛物柱面.Ai工マ4-A2x^-2Pエ3=〇,Ai>0,A2>0,p^Q3）r=n+2=4,这时n=2.A的正（负）惯性指数为2,曲面方程可化为即为椭圆抛物面.Aiエ彳-A212-2Px3=0,Ai>0,A2>0,p/04）r=n+2=4,这时n=2.A的正（负）惯性指数为1.曲面方程可化为即为双曲抛物面.5）出平面二次曲线在可逆线性变换及平移下的分类定理（仿射分类定理）.解:根据CeR,且cho,则F（X）=O与cF（X）=O对应的图形是相同的.实二阶对 339称方阵合同于规范形及二次曲线的度量分类定理,可得二次曲线的仿射分类定理如下:二次曲线有以下九种类型:1）椭圆目+すー1=0;2）虚椭圆ヰ+回+1=%3）点婢+避=0；4）双曲线4一名ー1=°；5）相交直线ザーす二°：6）抛物线ヌーI2=。:7）平行直线ヰー1=°；8）平行虚直线イ+1=°；9）重合直线てア=0.1）出平面二次曲面在可逆线性变换及平移下的分类定理（仿射分类定理）.解:根据CCR,且cM,则F（X）=0与cF（X）=0对应的图形是相同的.实三阶对称方阵合同于规范形及二次曲面的度量分类定理,可得二次曲面的仿射分类定理如下:1）椭球面デ+す+岩一1=。;2）虚椭球面ヰ+d+W+l=°；3）点（虚二阶锥面）浒+好+达=0；4）单叶双曲面£+另一右一】=0；5）双叶双曲面"+右ー状+1=。;6）二次锥面®?+不一状=0；7）椭圆抛物面ヰ+右一エ3=0；8）双曲抛物面X?一就一エ3=〇,9）椭圆柱面と+ざー1=。；10）虚椭圆柱面堺+名+1=°；11）直线婢+就=°；12）双曲柱面ヰ-dT=0；13）相交平面/ー4=°;14）抛物柱面4一エ2=0；15）平行平面エキー1=。;16）虚平行平面ヰ+1=°； 34017）重合平面ざ=°.1）明平面内动点到ー定点与一定直线的距离之比为常数,根据常数小于1,大于1或者等于1,此动点的轨迹分别为椭圆,双曲线或抛物线.解:在平面中取直角坐标系,使得给定的定点P。为原点。,定直线1的方程为x-c=0动点的轨迹的图形为广・.则P=（x,y）到Po,1的距离分别为di（x,y）=y/x2+y2ム（エ,y）=江一。RS.班）,卩2（工2例）于是,可得小（孙如）:ム（ゐ,刈）=厶伍,の）:あ（工2/2）则有下面分三种情况讨论.情况1：wpwr,山（エM=0,此时「={B}情况2："Per,も（エ,!/）=o;ヨPer，&（エ,か*0,此时r=I,情况3：d2（エ,！/）ナ〇;ヨ马,为€],使得山（工1,孙）#0,如孙ぬ）・。.ム（あ,协）&（エ2,勿）=山（あ,!/l）d（工242）ナ。此时有將二わ。于是对于VP（あひ€r,可知是常数.又分为P。日,P。的两类.1）P。在1上，即c=o,这时r的方程为ゼ+ア=(Ax)2 341(A2-l)x2-y2=0即「={R}当入VI时,有当人=i时,r是通过%与1垂直的直线;当人＞i时,r是通过p。的两条相交直线.2)れ不在1上,即CWO,这时r的方程为ボ+ゴ=バ(エー(ザー1)ボー!/2—2cA2エ+ビス2-0即A2-10-cボ0-10=ゼス2-cA20dA2此时当入VI时,上面方程左边的X2,yz的系数为负,0入2＞0,故!'是椭圆.当人=1时,上面方程左边的XZ的系数为0,X的系数不为〇,故「是抛物线.当人＞1时,上面方程左边的xz,yz的系数异号,C2入洋0,故r是双曲线. 3428.3名校考研真题详解ー、填空题f=26+#+4jT3+2jjj*2+2ノス2ス,31.若二次型正定,则t的取值范围是ー.［武汉大学2000研］【答案】ー氏<点-2I〇・.A=11/0I4【解析】设f对应的矩阵为A,则△i—29△2=1・△,<=4-2t2它的三个顺序主子式为所以当M・时聊一展，く・ノカ正定二炮ピ、.［厦门大2.设A是n阶实可逆矩阵,则0丿的正惯性指数是,符号差是学研］【答案】n,011E_鬥【解析】取"々屋’んノ,则p为可逆矩阵,且 343因此い’。ノ的正、负惯性指数均为n,符号差为0.二、证明题1.设f（X,Y）为定义在数域P上的n维线性空间V上的ー个双线性函数,证明:=XAY=*'“‘宀’可以表示成两个线性函数/：（X）=七“エバカ》=£卬之积的充分必要条件是f（X,Y）的度量矩阵A的秩41.［华南理工大学2009研］证:设f（x,Y）在基£い£2，♦••，部下的度量矩阵为A=（即）0)・X=若r（A）<1,则A可以分解成行矩阵与列矩阵之积,设h\ly\/(X.Y)=X’AY=5△…レ:(nC2…a)：=£め',/|（X）=とんエ,ノ2（丫）='ey 344故线性函数 345为所求./(X,Y)=とんr，X，y=5仇I"AXAYb„（-喏ハX.Y）ラハ（X）厶（丫）,b\f>2b“则X,丫的任意性,知是f的度量矩阵,故r（A）<1.1.证明:n阶可逆对称矩阵A是正定矩阵的充要条件是对任意n阶正定矩阵B,AB的迹tr（AB）均大于〇.［厦门大学研］证:=因为A正定,所以存在正交阵P,PR 346所以 347A(ヽPABP1=**,PHP'、し由于trB>0,且入,>0.所以lr(AH)>0.<=反证法.TAT=diag(入］,入2,…,人”)设n阶可逆矩阵A不正定,由于A是对称矩阵,所以存在正交阵T,使且存在某个るく°(否则与A可逆且不正定矛盾).令B=Tdiag(出,出,…，即)T',这里出>0(/=1,2，…ノ1),且lr(4B)=lr(TART}=lr［(T'AT)•(T'RT)=ミ4p,<0ニスハ<°,则与tr(4")>()矛盾.故A是正定矩阵.1.设A、B均是正定阵,证明(1)方程|XA-B|=0的根均大于0;(2)方程|AA-B|=O的所有根等于loA=B.［华东师范大学研］ス、PAP^E,P'BP=**.、、证:(1)因为A、B正定,所以ヨ可逆阵P,使又因为B正定nP'Bア正定,所以人i>°,»=1,2•・一,ル而 348P'(XA-R)P=ハスー"IIアド=[|(A-A.)所以即IXA-BI的根为储,…,人”,且全大于〇.(2)=因为|AA-B|=O的根A,=1J=I,2,•••,n.P'BP:E=P，AP=A=B由(1)知u因为4=8.M-8=レZ?-B=(A-1)'H.(B>0),所以|AA—B|=O的所有根均等于1.1.(1)用非退化线性替换将下面二次型化为标准形,并确定其秩和符号差=x^+2jC,+4+4玉x,+44ら+2^X4+及毛+2x44+2X3X4f(Xi；Xz；X3；X4)(2)t取什么值时,二次型=x；+4Xj+q+2匹w+1OXjX3+6x2x3f(Xi；Xz；X3)为正定的?［北京交通大学2007研］解:考虑所给二次型对应矩阵的合同变换 349「1221、'1221、’1000、22110-2-3-10-2-3-12101-2⑴+(2)0-3-4-10-3-4-11111-2(1)+(3)0-1-10相应列变换0-1-101000-(1)+(4)10001-2-2-10100♦01000100001000100010(0001,、〇〇01ノ、〇〇01ノZ100〇、10-2-3-1000110-4(2)+(3)T⑵+(4)V010-212-21才-1相应列变换-►01-T01000001001°001ノ1〇00〇、-2000ii0fI-2101TToioooし则得二次型的标准形为故其秩为3,符号差为1.(-5〕t43(2)给定二次型所对应的矩阵为ヘ3り,其顺序主子式依次为1,4ーセ,一(セー30t+105),它们不可能全大于零,故无论t取何值二次型都不是正定的.5.化"X】宀•X3)=2XiX「6xy3+2x】X3为标准型,并且写出变换矩阵,问这个二次型是否正定?［湖南大学2006研］ 350110-3-3Qノ’〇ノ4=1解:作V/(xi.x2,x3)-2貝-gj*+6jJ1-131-A-i001丿.因此,令刀=ア丫,有为标准型.它不是正定的.6.设A为实对称矩阵,B为实反对称矩阵,A-B可逆,且AB=BA.证明:(/+8X4-3尸是正交矩阵.［中山大学2008研］((イ+BXA-By1),-((A-B)-ly(A+By=((メ-5ガ(4+B)'证:由已知条件可得=(j-B'YXa'+B')=(4+B)~\a-B)(イ-BXAB)~A2-BA+AB-B2-A2-.4B-fBA-B2=A{A-B)+B(A-B)={A+B)(A-B)故((イ+3X4-B)T)'((イ+BXA-BY1')=(イ+BY\a-BXA+3)(イ-5)'1=E因此（4+3X4-B尸是正交矩阵. 351三、计算题1.设も•斑，心是数域P上线性空间V的ー组基,/い"，人是日・£:•£、的对偶基,令(T=8+f+r«a-=&+&3・Ch=£；.(1)证明:cn.a是v的基;(2)求8，a，a的对偶基,并用7'いカ，/ユ表示a：©•8，的对偶基.［华中师范大学2002研］100A=110,111证:(1)设则(a，aa)=(8.£•£)A,由丨A丨エ0,&,配,し是v的基，故の,a,内也是V的基.1-10(Kl，K2«X3)= 352A=1十a1—a0,002解:（1）/（め，ス2，73）的矩阵イー。叶。『イ22"（11）=イ111］、l+a1—a''1+ 353A=-2-243.设实矩阵I?4-2)(1)求正交矩阵P,使得/しい为对角矩阵;(2)若出+ス正定,求t的取值范围;(3)求二次型Xn的规范形.［中山大学2008研］えー12—2Ix£-J|=2え+2-4=(2-2):(A+7)解方程组-2ヽ-4X=04丿,所以A的特征根为4=る=2,得特征向量る=(2「L。),^2=(2,04).-82-2ヽ2-5-4オ=0-2—4—5ノ解方程组得特征向量爲=/ーり.对击,备,金进行标准正交化得彷=(春总リ小飞访ふ品)%司则P为正交矩阵,且ア"=diag｛ユユーフ｝.(2)因为A的特征值为2,2,-7,故tE+A正定的充要条件为其特征值t+2,t-7都为正数,即t>7.(3)因为A的特征值,两正一负,故二次型ヤ4X的规范形为ゴ+4つ;.4.设V是实数域R上一个三维线性空间,a”a2,心是V的ー组基,f(a,p)是'ab0A=-220.001. 354V上的一个双线性函数，它在基s,az,a3下的度量矩阵为(1)问a,b满足什么条件时，f(a,p)是V上的内积?(2)当a=4时,求欧几里得空间的一组标准正交基.［北京理工大学2008研］解:(1)若f(a,P)是V上的内积,则度量矩阵A正定，则b=-2,且A的顺Pi=a>0；，乙=H=2a—4>0序主子式全大于0,即故a>2.当a>2,b=-22时,则A正定.由f(a,p)是双线性函数,只需验证f(a,p)具有对称性,非负性，则其是内积.事实上,f(a.p)=X'AY=(X'AY)'=Y'A'X"=YAX=—a：Vな=(a，aa)X,6=(Qia，倣)YGV由A正定，则ハa，a)=X'AX>0;且”a.a)=X'AX=—X=0=a=0 355(2)由(1)知f(a,p)是V上的内积,不妨记f(a,p)=(a,0).用施密特艮="一第当ル=•+ハ(1"ダー号…正交化方法先将s,a2,ot3正交化:り「贵=つ冲=證｝=知十。'り=/7=0再单位化:则作,ヰ,ヰ是欧几里得空间的标准正交基.20〇M=00E,0Er05.设M2r7(F)是数域F上的全体2r+l阶方阵组成的集合,设是分块矩阵,其中Er是，ー阶单位矩阵,设B=X6M2r.,(F)X'MlMX=6,其中バ表示X的转置矩阵.进ー步,对任意ゼ=SXGB,设・。欠!已知:ex6M2r,(F)(1)求dimB和B的ー个基.(2)证明:对任意XCB都有行列式det(ゼ)=1(3)设列向量空间ド"”上的双线性型(一,一)在它的基 356&=（1,〇,…,〇）',暁=（0,1,。.…,〇）’,…•£”=（〇,…，0,1）'下的度量矩阵为上述M.证明:对任意XCB和列向量卜都有（e%，e»）=（明/［四川大学2009研］bapX=-2りA夕Ai解:（1）VXWB,将X按M进行分块,设bダボ（200|200।16afiaA\A、丨U0E.=-00E"んAzpA-A40E,00Er。ワムん其中，A.EM,（ド）•由X1V1+MX=0,得2b2a2,于是0apX=~2fiA,A?—2aAj-A'： 357故其中Az,A3反对称.取B的ー个基为 358dimB=r+r+r+2X丛ユテ"»=2/+r.故(2)设Xa=入a,其中aHO,则X'Ma=-MXa=—XVfa由M可逆知MaHO,于是一人是X,的特征值,从而一人也是X的特征值,即X的特征值成对出现.注意到对于次数大于零的多项式f(x),若ん，ス2,••••入”是A的所有特征值,则x_ザ丄x*f(A)的所有特征值.由°-Mた!,故的特征值ノ，ぐス成对出现，于是det(e*)=e*ie*2,•,eA"=e0=1.X'=-MXM-}=(3)由M可逆，X'M+MX=O,则(exa.exp)=(e*a)'Me»= 359第9章二次曲面9.1复习笔记ー、二次曲面1.对称设タ为ー空间图形.R),g与!!分别为空间中的点,直线与平面.(1)对称中心如果ソPWE.ヨ。€E使得R!为PQ的中点,则称ル为£的对称中心,又称ア关于R是(中心)对称的.(2)对称轴如果ヨ使得PQ被g垂直平分，则称g为E的对称轴，又称タ关于g是(轴)对称的.(3)对称平面如果V尸£ロヨQ€リ使得PQ被!T垂直平分，则称TT为2的对称平面,又称£关于7T是(面)对称的.ェ2I/?Z2S:靛+羽+3=1(a，AC>0)2.椭球面(1)S与平行于XOY平面的平面的交线a.|k| 360(0,0,±c)称为椭球面S的顶点.a,b,c称为椭球面的半轴,依其大小分别称为长、中、短半轴.椭球面S的图形如图9-1-1所示.图9-1-13.单叶双曲面ェ・ヅゴa2b2c2(1)S与平行于XOY平面的平面的交线-7a+k2-7&+A?为椭圆,半轴为"V’「V.随着図的增加,椭圆的半轴变大.ゴyァ十庐2=0(2)当k=0时,半轴最短称为单叶双曲面的腰圆,其顶点(土a,0,0),(0,±b,0)称为单叶双曲面的顶点. 361羡+庐ーさ=133)S与平行于YOZ,ZOX平面的平面的交线是双曲线.y单叶双曲面S的图形如图9-1-2所示.图9-1-2S:京+戸一胃=T(ム"c>0)4.双叶双曲面S分成两部分,分别在平面z=土c之上、下,|z|zc.(1)S与平行于XOY平面的平面z=k(|k|>c)的交线 362为椭圆(|k|>C)或点(0,0,k)(|k|=c).(0,0,±c)称为S的顶点.{x2y2z2庐+庐ー圆x-k(y=k)(1)S与平行于YOZ,ZOX平面的平面的交线是双曲线.双叶双曲面S的图形如图9-1-3所示.图9-1-3(3)共朝双曲面x2y2z2ひ2+ら2c2单叶双曲面与双叶双曲面 363称为共辄双曲面.S:X2a2(a,b,c>0)5.二次锥面<丁ドc2(1)S与平行于XOY平面的平面的交线为椭圆(kM)或点(0,0,0)(k=0).此点称为二次锥面的顶点(注意,此点也是对称中心).ェ2レ2Z2ホ+庐一戸一。(2)S与平行于YOZ,ZOX平面的平面的交线是双曲线(kM)或一对交于。的直线(k=0).二次锥面S的图形如图9-1-4所示. 364图9-1-4（3）二次锥面,双叶双曲面与单叶双曲面与平面z=k的交线均为椭圆.它们的半轴a=—|Ar|b=-|fc|cc=°Mドーc2=-J憑c2cccc分别为由于它们的离心率相同lim（aa-ai）—lim（あ6j）=0故为相似椭圆,且即|k|无限增大时,三个曲面无限接近.因而称二次锥面为双叶双曲面与单叶双曲面的渐近锥面,如图9-1-5所示. 3656.椭圆抛物面图9-1-5（1）S与平行于XOY平面的平面的交线(9-1)不存在（kVO）,为原点。（k=0称它为S的顶点）,或为椭圆（k>0）.（2）S与平行于YOZ（ZOX）平面的平面的交线(9-2)（耳6昜）（8る金））为抛物线.抛物线的开口向上,顶点为这些顶点的轨迹是抛物线 366椭圆抛物面可视为ー抛物线(9-1)沿另ー抛物线(9-2)平行运动而成,如图9-1-6所示.图9-1-6S:装ー1=2z(a,b>0)7.双曲抛物面(1)S与平行于XOY平面的平面的交线为相交于原点。的两条直线(k=0),或为双曲线(kM).(2)S与平行于YOZ(ZOX)平面的平面的交线(9-3)(x-k=k)(*,。廚(屏菊)为抛物线.抛物线的开口向下(上),顶点为这些顶点的轨迹是抛物线 367(x2=2a2z/y2=-2.:\［片。U工=0/(9-4)其开口向上(下).双曲抛物面可视为ー抛物线(9-3)沿另ー抛物线(9-4)平行运动而成.由于双曲抛物面形如马鞍,故又称马鞍面或鞍面,如图9-1-7所示.图9-1-722S:ブ庐=1（如6>0）7.椭圆柱面(託一In=Ar(1)S与平行于XOY平面的平面的交线为椭圆.,ホトア］、エ=«(1/=k)(2)S与平行于YOZ(ZOX)平面的平面的交线①当|k|>a(b)时,不存在; 368②当|k|=a(b)时,为一条直线;③当|k|Va(b)时,为两条直线.椭圆柱面可视为一条平行于Z轴的直线沿ー椭圆运动而成,如图9-1-8所示.S:^2-^2=1(a,ft>0)9,双曲柱面(x2y2_.1ホ一戸(1)S与平行于XOY平面的平面的交线为双曲线.(工ユ一パ・]くポ羽](2)S与平行于YOZ平面的平面的交线@当|k|〈a时,不存在;②当|k|=a为一条直线;③当|k|>a时,为两条直线.(3)S与平行于ZOX平面的平面的交线为两条平行于Z轴的直线.双曲柱面可视为一条平行于Z轴的直线沿一双曲线运动而成.如图9-1-9所示.10.抛物柱面 3695:x2—2pyJ工2=2pyjZ=キ(1)S与XOY平面的平行平面的交线是抛物线.tx2-2pyV=k(2)S与平行于ZOX平面的平面的交线①kVO不存在;②k=0是一条直线;③k>0是两条平行直线.x2=2py(3)S与平行于YOZ平面的平面的交线为一条直线.抛物柱面可视为ー平行于Z轴的直线沿ー抛物线运动而成,如图9-1-10所示. 370图9-1-8图9-1-9图9-1-1011.圆截面x2y2z2I0,-2+京"+^2=1，OVcVaVb过椭球面S的中心并与S的交线为圆的平面称为S的圆截面,此交线称为截圆.推论:以中心为圆心的截圆的半径为a,面且圆截面通过X轴.二、直纹面设s为ー曲面.若对s上任一点P,存在直线I使得PelGS,则称S为直纹面.称1为直母线,简称母线.1.柱面(1)定义设「是一条空间曲线,1是一条固定的直线.和「相交面且与1平行的直线的集合所构成的曲面称为柱面,称r为柱面的准线,柱面上与1平行的直线称为母线,如图9-1-11所示.图9-1-11 371注:S可视为1沿「平行运动面成. 372(2)定理r.f1/)=0,ヽz=0①若柱面S的母线平行于Z轴,又S与X0Y平面的交线为f（エ,2/）=0则S的方程为②设柱面s的准线r的参数的方程为x=/（り+ks 373图9-1-12②设v为锥面s的顶点,r是s上的曲线（不要求是平面曲线）.如果v与「上的点连接的直线的全体构成锥面s,则称r为s的准线.锥面的底线是准线.（2）定理心?）=。S为锥面,则在适当坐标系下,S的方程（除去顶点）为（3）锥面S的方程的表示方法グ.（后（エ,y,z）=0I見（エ,y,z）=0若锥面S的顶点为い（エ。,如,Z0）,准线为x-xp_y-yp_z-z0Xi-xq2/i—2/oz\—zq①设Pi（め,yi,2i）€r,则母线VP1的方程为{6（工1,yi,zi）=0B（エi,ル,zi）=0将此式与联立,消去11,ソ1,21后所得三元方程F(x,y,z)=0即为所求锥面S的方程. 3741X1=10+(C-XQ)t孙=Jo+(U-yo)tZ1=2o+(z-Zo)t②上述母线リ尸!的方程可写作{6(よ〇+(エーエ〇)厶!/O+(1/-I/O)ムZO+(Z—ZQ)t)=0—〇+(工ーエ0)£,I/O+(!/-Vo)ちZq+(z-ZQ)t)=0则从这两个等式消去t所得三元方程即为锥面S的方程.工=〃リr: 375后+京一戸=i是直纹面,且通过每点均有两条直母线.1.双曲抛物面S:忘ー左=2n双曲抛物面是直纹面,而且通过每点均有两条直母线.三、旋转面（1）定义①一条曲线「绕一条固定直线1旋转产生的曲面称为旋转面（回转面）,「称为此旋转面的母线,1称为旋转面的轴.②过旋转面的轴1的半平面与旋转面的交线称为旋转面的一条经线.③母线「上任一点P,在旋转时产生一个圆,称为旋转面的纬圆.（2）建立旋转面方程的方式①取旋转面s的轴为Z轴,取母线r为在ZOX平面上的经线/(イボ+此z)=0则旋转面的方程为ェ=f(t)Sy=<7(t)a&t&b[z=h(f)②取旋转面s的轴为z轴.母线r的方程为 376a^t^b0W8W2万X="2(り+g2(りcos。 377称旋转面S为旋转双叶双曲面.（y2z2{庐ー-I[x=0⑤取旋转面s的轴为z轴,母线「的方程为x1+y2z2_ーア=1则旋转面s的方程为称旋转面S为旋转单叶双曲面.（y2=2PzIx=0⑥取旋转面S的轴为Z轴.母线「的方程为则旋转面S的方程为よ+リ=2pz•称旋转面s为旋转抛物面.{y=az+bz=0⑦取旋转面s的轴为z轴,母线r的方程为则旋转面s的方程为メ+“=（。々+げ.a.awO,是以（°，0‘一!）为顶点的圆锥面;b.a=0,是以|b|为半径的圆柱面.c.）取旋转面S的轴为Z轴.母线「的方程为 378(y—b)2+z2=a2x=0则旋转面S的方程为+?-げ+z2=a2.(b)所示.此曲面称为圆环面,或环面.其形状犹如车胎,如图9-1-13(a)、图9-1-13(エ=(b+acost)cos0y=(b+acost)sin0z=asin£环面的参数方程为四、二次曲面的仿射性质1.二次曲面工的方程F(x,y,z)=a1E+2め2エ!/+2a13エz+a221/2+2a231/z+a33Z24-2a此エ+2a24y+2a34Z+<144=0二次曲面£的方程 379【尸(r),a]=XFi(r)+YF2(r)+ZF3(r)定义:在三维复空间C3={(エ,リz)Ey,zWC}中(1)若x,y,zGR»称(x,y,z)为实点;否则称为虚点;(2)称(x,y,z)与(1,亂う)为共貌点;マ>I->(3)设Pl,P2€CJ,称PiB与尸122为共规向量;(4)如果R8=戸]戸2,则称它们为实向量.2.直线与二次曲面的关系切线(1)定理设£为二次曲面F(r)=0,g为直线ア=ra+ta,其中1Z为空间动点,fxo\(X'「〇"1Moia«Yシノ为空间固定点,\Zノ为空间ー非零向量.又设4—[jF(ro),at]2— 380(1)定义设E为二次曲面,PMeR3.如果F(「o)カ。,则称平面 381才:(t,oI)a(i)=(xo.yo.2〇,1>4为£的极面,2ケ〇)为对エ的极点,若极点R(ro)wE,则称极面!T为£的切面,马(「。)为切点.(2)定理设B(ア0)为E的切点,则过R(ro)的切面!T由过B(r。)的所有切线组成.(3)推论假设九,畋分别为二次曲面工过极点R(川.Pz(す的极面，则Pi(门エ的当且仅当附す(町若极点打(门)与乃(「2)满足推论条件，则称它们为对ブ的共扰点.2.奇点与正则点(1)定义设£为二次曲面，P(r)如果F(r)hO,则称P(r)为エ的正则点.如果尸(プ)=0,则称P(r)为£的奇点.(2)定理设P(r)则P(r)为奇点当且仅当ん⑺ニ〇,1《，《《此时,detA=O.(3)推论①椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面、二次柱面、平行平面等均无奇点.②锥面a/+by2-cz2=0(a,b,〇〇)有唯一奇点ーー锥面的顶点〇.Jx=0[y=0③相交平面a?/・必ゴ=0(a,5>0)的奇点构成相交平面的交线5•渐近方向(1)定义①对于二次曲面£满足利a)=4(X.工Z)=0的方向a称为£的渐近方向.②过的具有E的渐近方向的直线的全体构成的曲面称为E的过为ケ。)的渐近方向锥面.(2)定理二次曲面£总有无穷多个（包括虚的）渐近方向;总有无穷多个非渐近方向;总有三 382个不共面的实的非渐近方向.注:E可能没有实渐近方向,例如椭球面就没有实渐近方向.6.中心（1）定义①设a为二次曲面£的非渐近方向,直线プ=方+妬与七的交为两点（包括虚点,重合点）Pi.P2,线段R丹称为エ的弦.②点〇ケ〇麻为二次曲面E的中心,如果过C（『0）的弦均以。（ア。）为中点.③通过二次曲面£的中心,具有渐近方向的直线称为ブ的渐近线.顶点为中心的渐近（F（ア〇）=〇[—ro）=0方向锥面称为渐近锥面.渐近锥面的方程为（2）定理C（ro）为E的中心当且仅当F（%）=0-（3）推论①£的奇点即为E上的中心.②二次曲面按中心分类有以下情形:a.留ス44）=3,工有唯一中心，称エ为中心二次曲面.椭球面，双曲面，二次锥面均为中心二次曲面.b.m444）=R（A14b）=2,E的中心构成一条直线,称エ为线心二次曲面，椭圆柱面.双曲柱面与相交平面都是线心二次曲面.c.R（A14）=R（Aいb）=1,E的中心构成一个平面,此时称£为面心二次曲面.平行平面与重合平面为面心二次曲面.d.口A"か=/?（スd[）+1,工无中心,此时称エ为无心二次曲面.双曲抛物面,椭圆抛物面都是无心二次曲面.a-c中曲面统称有心二次曲面.③原点。（0,0,0）为ブ的中心当且仅当F（r）不含一次项.7.奇向共読直径面（1）定义①设£为二次曲面.如果方向。=（X・匕Z）’满足①（a）=0,则称a为£的奇向. 383②如果a为非奇向,则称平面[F(r),a]=0为共辗于方向a的直径面,或a的共挽直径面,简称直径面.(2)从奇向的定义得到的结论①奇向为渐近方向;②71(ム44)=3,即中心二次曲面无奇向;(3)R(A44)=2有唯一奇向,特别地,线心二次曲面的奇向为中心所成直线的方向;④7?(厶44)=1,有无穷多个奇向,它们平行于同一平面.特别地,面心二次曲面的奇向为中心所成平面上直线的方向.(3)定理设£为二次曲面,则有以下结果;①非渐近方向a的共筑直径面!t为平行于a的弦的中点的轨迹.②若£为有心二次曲面,则平面n为直径面当且仅当£的所有中心C(r)en.③非奇向a为渐近方向当且仅当a平行于它的共枕直径面.④a为奇向当且仅当a平行于所有直径面.7.共扰方向共扰直径(1)定义「X'\(X,Y,Z)A44Y'=0\Z，)①方向a=(エ匕zy与z'y称为对于二次曲面ブ共筑，如果又称a,。’为关于エ的共筑方向.②通过中心二次曲面£的中心的直线称为£的直径.若一条直径1的方向为a,则a的共筑直径面tt,又叫做共挽于1的直径面.若两条直径Zi厶的方向是共筑的,又称这两条直径是共加的,或称它们是共辗直径.(2)相关性质①a为奇向当且仅当a与每个方向共筑.a为渐近方向当且仅当a自共筑.②。,与非奇向a共読当且仅当〇;’平行于a的共辗直径面.③设!t,7T’分别为非奇向a,〇!’的共较直径面,则a平行于メ当且仅当ゴ平行于!T. 384④若a共辗于M则a共趣于必’+la",k,leR.(3)定理①二次曲面£总有三个不共面但互相共筑的方向,它们中可以有口4”)个非渐近方向,3-/?(ん」公奇向.②设中心二次曲面E的直径面n的方程为Ax+By+Cz+D=O,则エ的共筑于n的直Fi(r)_F2(r)_F3(r)ABC径1的方程为五、二次曲面的度量性质(1)定义①若函数f(A)对任何直角坐标系的变换(〇!),PP=ハ满足则称f为カF(r)=0的正交不变量,简称不变量.ーイ(")ヌ"))“二②若则称f为£的正交半不变量,简称半不变量.③若 385则称f为E的平移不变量.④设£为二次曲面,又入为エ的特征值.A"的属于人的特征向量a=(XKZア的方向称为£的主方向;共加于主方向的直径面称为主径面;具有主方向的直径称为主直径,如图9-1-14所不.图9-1-14(2)引理设F(r)为二次多项式，贝リ:①F(r)的二次项是平移不变量;②经过正交变换(即(0】)对应的变换)F(r)的二次项,一次项与常数项分别变为二次项,一次项与常数项.特别地,常数项不变,即为半不变量；③F(r)经过等距变换，二次项变为二次项,且不变，即(カ为不变量；④若尸(「)=ボ+レ2+22,则ド(r)在等距变换下的二次项部分为ブ2+?/2+z々(3)定理①设£；F(r)=0为二次曲面,则:a.エ的特征多项式，G.G.C3.。版特征根都是不变量;b.K,的是半不变量.②a为ブ的主方向的充分必要条件是存在两个不共线的与a既垂直又共読的方向〇;2，(4)相关性质①E的特征值为实数,且不全为零. 386②不同特征值对应的主方向互相垂直共筑.③D(A)=0的单根对应唯一的主方向;D(A)=0的二重根所对应的主方向是和ー平面平行的一切方向,且垂直于此平面的方向也是主方向;D(A)=0的根为三重根时,任何方向都是主方向:一定有三个互相垂直共鋸的主方向.④奇向是对应特征值。的主方向；非奇渐近方向不是主方向.(5)推论①设a是ブ的非渐近方向,则a为主方向当且仅当a垂直于它的共筑直径面.②设a是非渐近主方向,则a的共筑直径面!t是£的对称平面.③中心二次曲面的主直径1是ブ的对称轴. 3879.2课后习题详解第1节二次曲面124-サキピ一11.试求平面X—2=0与椭球面正!24ー丄相交的椭圆的顶点坐标和半轴长.Ix—2=0,解:考虑方程组并将第二个方程代入第一个方程,得因此,此椭圆可得顶点坐标为:（2,±3,0）,（2,0,土v③,半轴长为3.ノ&.2.已知椭球面的轴（对称轴）与坐标轴重合,并且经过椭圆和点A貿1,2,723）,求其方程.京+庐+戸=1，氏“ユ0解:因为椭球面的轴（对称轴）与坐标轴重合,故可设其方程为 388又因经过椭圆 3892L16XI21-9=2a+有是.J23万十416+1-9因此可知az=9,b2=16.再由经过点M（L2,ノ回），,于是有x2y2z291636故得C2=36,最后得此椭球面的方程为かB+g3,二椭球面1相交成怎样的曲线?解:将方程组 390X2a2x2庐ィG4)-，G4)=ゼ・「)Gー最)=。中两个方程相减,得于是有两种情形.1)az=bz,两个椭球面重合.2)azwbz,则x=±y,于是相交曲线为这是两个椭圆,当（占+表=/）或圆若4.由椭球面S： 391E+B+的中心引三条相互垂直的射线,分别交曲面于P“Pz,P3,设I而1=。,i=l,2,3.试证キ+,+,=++ホ+戸.W+"+婿=1证:设Pi的坐标为先（ぢ如，Zi）,这里n>0,则有0叼+仇力+ZjZj=&か1<，,ノW3由于はj时,°p“°り垂直,于是可得’为!/I厶、ェ2m口1エ3如Z3ノ即得才"=£0=］；=1是正交矩阵,所以有又P在S上,故可得 392辰+京+&=不，1W2W3将上面三式相加,即可完成证明.き+松+3-1+，（スf+By+Cz+0=04.证明方程g［方+方+专，'I41+均+Cz+D=O（人为参数）表示经过曲线的椭球面族,并求此族曲面的中心的轨迹方程.ル（エ也z）=を+和+キ-1证:设了2（エ.!/,z）=Ax+By+Cz+D力（1,y,z）+スカ（エ,y,*）=0设方程对应曲面为£,显然这是椭球面.注意方程组4（エ,y,2）=o,ル（エ,!/,z）=0, 393h（エ、!/,2）+A/2（x,弘z）=0/1（Z,J/.Z）=O.ん（エ,！/㈤=0.与方程组有相同的解,故£经过g.反之,设椭球面£经过g.方程f2（も歩Z）=〇的图形是平面死取PqEE吊«ガ,R=（エ0,如,Zo）・3ポ闯#0因而ス1/1优.如,4）+ス2厶（如如%）=0.于是有人I,%CR,且入津〇,使得川エ,シ2）+入2スノ/2（エ,シZ）=O注意方程所代表的椭球面经过g,又（エ。，如，知）是此方程的解,故P。在此椭球面上,因而此椭球面必为匸又由 39422+を+アー1+X(Ax+By+Cz+D)XAd1XBb2Y1+~)+?ACc2~2~+りD\=一ー(イ0ユ+82b2+C2c2)ヌ2+。ス_14则可知此椭球面族中心的轨迹是直线か&ー多=土16：求共筑双曲面在YOZ平面与ZOX平面上的交线,并问这两个交线有什么关系.£+レわ士i解:共枕双曲面1,y*_4-1ポ+庐一ぎ一士11=0.在YOZ平面上的交线,为 395因而是YOZ平面上的共加双曲线.溟+｝一3;±1共筑双曲面ゼ+［とー±1を+庐ー心一土】y=0.在ZOX平面上的交线,为因面是ZOX平面上的共加双曲线. 396第2节直纹面fラ+¥っ2=11.已知柱面的准线方程为I片な,母线平行于丫轴试求此柱面的方程.解:此柱面的准线方程可改写为ェ2_戸_0柱面4"■"的母线平行于丫轴,也经过上面的准线,故此方程为所求.fxa+ya=252.已知柱面的准线方程为1z=°,母线方向数是［5,3,2）.试求此柱面的方程.（エ=5sin。y=5cos8z=0解:方法1:柱面的准线方程可写为又母线方向数是（5.3.2）（故此柱面的方程为 397z=5sinJ+5ty=5cos。+3tz=2t用如队わ）方法2;设尸（巩ルZ）为柱面上的点,过此点的母线与准线的交点为，=・い1=ーー・=i532,Xo+!/o=25ゝ％=0于是有（x-5t尸+（y-3t尸=25z—2t=0故可得（x--z）2+（y—另z）2=25因此x+ゼ+—5x2—3j/2—25—0.最后得此柱面方程为2.已知锥面的顶点V及准线「求锥面的方程. 398Dレ=。，｛自:加ヨ2ア0,｛ザ;V=O,（をj3）lz=k.V-nJx3-2ya-62=04）ド—u,!エ+y+z=lf逋+能=1J。2十ダ号I%=ん[x=xot,y=ty0,z=tz0解:1）设R）（no,〃o,zo）er,p（n，仏z）在直线。ユ上,于是有由于V不在准线所在平面上,于是可知kHO,故所求锥面方程为注:如果容许顶点在准线所在平面上,则可能有k=0,此时锥面为平面z=0.此就1圆一庐マx-Xot,y=tyo,z=tz（）2）设B（如如，Zo）£尸（],ルZ）在直线op。上，于是有由于V不在准线所在平面上,于是kHO,故所求锥面方程为工2ylz2a262依u 399注:如果容许顶点在准线所在平面上,则可能有k=0,此时锥面为平面z=0.Iエ6cホ=2pyo,ぬ=k,x=xot,y=切0,z=tzo3）设B（エ。，W，S）Er,P（エ,!/,z）在直线op。上,于是有zxkxkyt=館xo=7=T*yo==~由于V不在准线所在平面上,于是kHO,故有罄=吟所求锥面方程为X=g,Y=检Z'Z做ー变量替换キ=2Py.则上述方程可写成 400注:如果容许顶点在准线所在平面上,则可能有k=0,此时锥面为平面z=0.4）设P（エ，!/，Z）为锥面上的点,因顶点为V=o,故有t,使得ね,切/z）er.I（tx）2-2（旬）2-6tz=0.I+v+z）=1.于是有‘I+y+z由第二个等式得__2-^6z=0.（工+y+邛（工+y+z）2エ+g+z代入第一个方程得x2-2ゴー6z2-6エ2-6/=0去分母,得锥面方程为4.求过M（2,1,3）的单叶双曲面丁+ターW=1的两条直母线.6+909=（1+翅1ー动解:单叶双曲面的方程可改写为于是过一点的两条直母线的方程为 40131-）=入（＞9[*（1+レ）=ア居ー9与将（2,1,3）分别代入.则得卩=A入,ド=0,于是过点M（2,1,3）的两条直母线！升j=1+シi-u=o,\T2IXzn\X-y=2-32-3=°4.求双曲抛物面?一物"??上互相垂直的直母线的交点的轨迹.解:由抛物面S的方程可写为于是其两族直母线为于是过B（エ0，Jo,Zo）€S的两条直母线,为 402心メ"（シ引m:n=a:-6:p+^\ab/于是可得它们的方向数: 403lf:mf:n'=a'b:iテノ因此它们垂直当且仅当a2h2,xoHo~b+&-戸=0.又P°es,故有于是P。的轨迹满足:ェ0+勤=〇,2〇=0：当a=b时,为双曲线.当a=b时,为二相交直线:エ。ー%=0Zo=0.和4.试证单叶双曲面,双曲抛物面的母线有下列性质:1）同族的两条母线不共面; 4042)3)4)异族的两条母线共面;经过单叶双曲面的一条母线的平面也经过另一族的一条母线;经过对双曲抛物面的不平行对称轴的一条母线的平面也经过另一族的一条母线.41-?证:单叶双曲面的两族母线为双曲抛物面的两族母线为1）取单叶双曲面的同族的两条母线为 405ス"ヌ"__一一円一CA1一C也CA2-CA1一b出TM-T年出aAl-a竺a±a这四个方程的系数与常数项所组成的行列式为因此单叶双曲面的同族母线异面.pig+|)=2A1(叱へ(*)取双曲抛物面的两条同族母线为 406\ab/\a0/包?0一2MabAiA：MiPi0Ai——-r--Uab-2Ai-A!-"i0”华0-2A2ーあ"2"2〇A2abセーセール2〇A2-A2一“2020“100Aj4=—abAi-Ai—pi0"2〇0A2l〃2-A必）2キ0Aj-A2—"20这四个方程的系数与常数项所组成的行列式为故双曲抛物面的同族母线异面.2）取单叶双曲面的两条异族母线为这四个方程的系数与常数项所组成的行列式为 407ル0ルA4=——abc00A0tVースtルV0tV-A00000-Vt00-Vt4ー成=-(/ivAt-tpAv)=0由此知单叶双曲面的异族的两条母线是共面的.取双曲抛物面的两条异族母线为这四个方程的系数与常数项所组成的行列式为 408A〇V〇:OT〃fTUu-AtV-2IR=AV-2。--20〇イ〇T〃ーbAt-6V-bヒ。スー。t-av-Q-A(-i2A+pvt+taA))=00A-p00v-t0因此双曲抛物面的两条异族母线共面.3）过单叶双曲面一条直母线""〇ヨ）-A〇+钊ー”,（1小）-ス0D1=0的平面可以写成K+か”（T）］+八ト0他+1）11°即有显然它通过另一族的一条母线: 409卜(>8(T)4）取双曲抛物面的一条不平行对称轴的母线1为叩〇&-2耳+ルzf0/=0因双曲抛物面的对称轴为Z轴,故ア0,入エ0.且过1的平面7T为小（＞キ）+"]+ス卜21O削=。=2v整理得イモ」\ab,び1y故平面！T经过另一族得一条母线 4104.列举不是直纹面的二次曲面.解:椭球面.双叶双曲面.椭圆抛物面等二次曲面均不是直纹面..第3节旋转面1.设△ABC为直角三角形,=60.求AB绕AC旋转所成曲面的方程.证:方法1:由△ABC所在平面为XOY平面.A为原点.AC方向为X轴方向.分为两种情形:!y=x/3i.z=O,0W工w\AC\1）/C=90,此时可设AB满足（图9-2-1）：（ゴ十ス2—3工2=010\AC\.因此AB绕AC旋转所成曲面的方程为y—るエ'（2=0,[0WエWMCol=扌14cl.2）ZB=90°,此时可设AB满足（图9-2-2）：/+[2-3プ=0[OWエ41MC|.因此AB绕AC旋转所成曲面的方程为方法2:设AC所在直线为Z轴,C为原点,/C=90°,CB所在直线为X轴(图9- 411A=(0,0,q),B=(\/3a,0,0)2-3),设于是AB的方程为图9-2-1图9-2-2 412cB图9-2-3(x2+y2-3(z-a)2=0[04七Wv/3a.因此AB绕AC旋转所成曲面的方程为注:方法2中,AC为斜边的情形读者可自己写出.(エ=1+2t,y--3+3tz=t2.求直线1：绕z轴旋转所成曲面的方程.(i=v/(l-202+(3f-3)2cos^y=W+2り2+(3”3)2疝ノIz=ム解:所求曲面的方程为‘ 413x=\Z13t2-14t4-10cos^,(y=\/13f2-14tr10sin4z=t.?+メー13d+14:-10=0.通过整理,消去t,〇,可得1=1+£ 414于是所求方程为城+8「+82し9叩ー%ー业z+4r+加+4z-12=Q三二七セ二る4.试求直线Q01绕Z轴所成曲面的方程.并按a,b取值情况讨论它是什么样的曲面.(X=atz=t解:直线方程可改写为: 415X=，(砒卢+板cos0 416第4节二次曲面的仿射性质1.设エ,g分别为二次曲面与直线.在下列条件下求并作出示意图.£：.+&=2zイ:｛為:；£：g+g=10.ド小2）ソ'iv=vi.gn£=｛（あ加み+部）｝解:1）由X=X1,y=yi知为ー点.わ”12）由x=x"y=yt知,当gClE=0时,可得 4175+g当时，可得g。£=g注:不意图略.Ar+Bg+Cz+D=0（Dメ0）2.试求平面!T:ax2+by2+cz2=1（abcキ0）为二次曲面£：的切平面的充分必要条件.R）（エ。,!Z0,那）€ガ「ー解:7!为ブ的切平面当且仅当有!スエ〇+By。+Czq+D=0.\Q*+%+舄ー1=0,即叫エ+M+CZ0Z-1=0且！T的方程可写为 418ArtBy+Cz+D=O注意T！的方程为因此得 419ABCD=—==—aiobyoczq-1所以3二一务加TZo二一£a2b2an2nabc于是!t为エ的切平面当且仅当3.1)2)3)4)求下列曲面的奇点及曲面在正则点岛（如如，句）处的切平面方程.ァ°°°0点00°°ラ0\0000)解:1)奇点是方程的解（0,0,0）,即为原点.过正则点n＞（N0，V0，Z0）的切平面的方程为 4202）方程万°0°（如,加卬!）°得〇°00mo、〇000无解,因此没有奇点.过正则点R（エ0，/，20）的切平面的方程为 421ァー程一F000a-1〇ダ。。0000100003）方程的解为x=0,y=0,故奇点构成Z轴.过正则点B（劭，妳％）的切平面为淞ー捌=03ー%二0&a=x+a2三+¥—n注意a工b,于是切平面为a亠玄ーッ注:此曲面是二相交平面,交线上的点为奇点.正则点所在平面即过此点的切平面.4）方程在ax0时无解,故无奇点.a=0时,解为x=0.故曲面上每点都是奇点.aHO.过正则点为（工0，价，"）的切平面为XqX-a2=0Xq—a2于是Xo=a时,切平面为x—a=0；Xo=—a时，切平面为x+a=O.注:a=0时,此曲面是二不重合的平行平面,无奇点.正则点所在平面即过此点的切平面.a=0时,此曲面是二重合平面,每点都是奇点此时,仍将此平面作为过每点的切平 422F(r0)F(r)-([F(r0),r\+務0ア=04.证明通过点P°(r。)的二次曲面£的切线在ー个以P。为顶点的“锥面"上.此锥面称为£的切锥面,又问,是否此“锥面”上过P°(r°)的直线都是£的切线?又若P0(r。)为正则点,则此切锥面为切平面.证:直线9：r=7°+なヌ为エ切线有两种情形:1)若力(㈤ナ。:,此时[F(ro)，ap-F(ro)小(a)=0,gCE是二重合的点.2)若。(a)=0,此时|F(ro),a]=0,pCIif(ro),aj2-F(ro)¢(a)=O在这两种情形均有[F(r0),r-r0]2-F(ro)¢(r-To)=0p(r)为过p°(r。)的切线上的点,取a=r-ro,于是有F(r)=(M1)(々"。=[F(r).r]+F4(r)\b044ノ注意到[F(r),r]=F(r)-&(プ)进而于是 423[F(r0),r-r0]2-F(r0)#(r-r0)=([F(ro),r]-[F(r0),r0])2-F(r0)#(r-r0)=([F(r0),r]-F(r0)+F4(r0))2-F(r0)#(r-r0)=([F(r0),r]+F4(r0))2+F(r0)2-2F(r0)([F(r0),r]+F*(ro))—F(ro)小(r—fo)=(网ブo)，H+F4(r0))2+F(r0)(F(r0)-2[F(r0),r]-2F4(r0)-#(r-r0))F(r0)-2[F(r0),r]-2F4(r0)・拓-ro)=F(r0)-2rz(A445)(；)-2&ケ0)一(r-r0)zA44(r-r0)=F(r0)-2rzA44ro-2r'b-2&(ro)-rzA44r+2rz444ro-ア。)ー。(ア)=—力(プ)-2rfb=-F(r)其中F伍)州一(出岫£+&(嘲2=0于是切锥面方程为切锥面上过点P0(r”的直线不一定是切线.F(r)=x2+j/2—1例如 424fb(r0)=(2,0,0)此时F(r)=(x,y,0),F4(r0)=-1»ド(方)=3于是切锥面方程为3（ゼ+ゴー1）一（2工ー1产=3プー（1-2产=。这是二相交平面,交线1的方程为x=2,y=0.自然过P0（r。）,但是，ハダ=0,1不是£的切线.[F（r0）,r-r0）-0若Po（r。）是工上正则点,此时,F（ro）=O.由[尸（へ）,roj-[F（r0）,rj=0.可知有这是切平面.5.设7T为通过Po（ro）的二次曲面£的极平面.「为!T与E的交线.试证以P"r。）为顶点，「为准线的锥面为切锥面.证:根据题4,只要证明过Po（ro）与「上任一点Pi（ロ）的直线都是£的切线即可.«1）A（；）=O设£的方程为 425（%,1）4（；）=0,于是n的方程为,B」）A（；）=0.（も1）4（1）=。r的方程r=门+t（门ープ〇）P（ア】）ぐブ,过（川的直线g的方程为[（X»（：）=O,[（ホ）4（：j=〇.Pi（rJ满足（（n-ro）；O）A（7）=0于是有[F（ri）,r]-r0]=0即得所以g是工的切线.O（a）F（r）-F（r）、a：=〇5.试证二次曲面E的所有以a={X,Y,Z）’为方向的切线在柱面 426上.此柱面称为£的平行于a的切柱面.证:直线g:プ+1a为エ切线有两种情形:1）当。。）ナ。时,此时F（r）,a"ー尸（r"（a）=O,9Cタ是二重合的点.2）当«（。）=°时，此时有国レ）,al=09CS于是平行a的!'的切线在柱面式。）F（ア）ー风”,。卩=0上.5.求二次曲面”:圆十节一ア二士1的分别以P(0,1,2),0(0,0,0)为顶点的渐近方向锥面方程.并指出何为£的渐近锥面.綻+却ーびー/一2产=0.解:以P为顶点的渐近方向锥面为/+戸一ア=0以。为顶点的渐近方向锥面为由于E有唯一中心。.故后者为渐近锥面.前者为非渐近锥面.8.求下列曲面的中心.2)んが+8プ=1,(43ナ0);-2_023)[ーQ；4)。了ユ+by?=2z,(a,b不全为零).解:由中心方程F(r)=O得下列结果. 427しエースニ11)a7TPC1的中心为(0,0,0).2)Ax2+By2=1,(AB丰0)的中心为Z轴(x=y=O).3)工=Q的中心是YOZ平面(x=0).4)"之+切2=2z,(a,b不全为零)没有中心.9.求曲面布+Eーキニづ他’“0A的中心,渐近方向,渐近线及渐近锥面.解:由于F(r)=約所以曲面的中心为原点〇.注意ん4=豌&ホー=)a=(X,K,Z)X3y3z2-nァ+アp-u为渐近方向当且仅当因此二次锥面上通过中心的任何直线的方向都是渐近方向.9~，(あ小Z)因为中心为原点,于是渐近线 428をジ£=0其中(x,y,z)满足1+るーを=〇最后.由上面讨论知曲面的渐近锥面为10.试证二次曲面オ十916一1无奇向;方向a=(l,0,2)’为渐近方向,并求a的共枕直径面.证:注意ん1二也岷ぶV)非退化,故曲面无奇向.又因为 429(L0,2-=2+0-4x^=0故ロ,0,2)是渐近方向.又曲面的中心为原点〇,于是a=(l,0,2)的共腕直径[F(r),a]=iz-1z=0面的方程为即2x—z=0.10.试证平面！t:击ー3ヲ+2-1=0为二次曲面二3i2+z2-2iy-yz-x-1=0TT共筑的方向.的ー个直径面,并求与证:曲面对应的矩阵为于是曲面的中心满足由此可知中心为 430容易验证Co&TT.于是!T是直径面.(X.KZ)设与n共规的方向为a=(xy,z),于是n的方程又可与成即有于是可取a=(2,2,2)或ク=ロ,1,1).Qーピー110.求曲面49~丄的中心,奇向,直径面及其共规方向.(ル、尸(「)=一品0解:由{(0,0,c)|c€R}得到曲面的中心为即Z轴上的点.这是线心二次曲面,于是奇向a为Z轴的方向,即a=(0,0,1).线心二次曲面的直径面是通过中心所在直线的平面,于是为ax+by=0.设其共规方XYへ 4311・エープ=o向为(X,Y,Z),则其共规直径面方程又可写成 432于是(4a,-9b,0)为该直径面的共规方向.10.求曲面ドーダーZ=l的奇向,证明。=ロ,1,1)’为非奇渐近方向,并求其共挽直径面.解:设ー=(X，KZ)【由于剃a】)=(X,"%,因而曲面的奇向为(0,。,1)',即z轴的方向.于是Q=(LL1)不是奇向.但是(p(a)=0,故a为非奇渐近方向.注意F(r)=(工,-!/,ー犷故a的共鋸直径面为x-y-l/2=0.14,若h,必h为中心二次曲面£的三条互相共筑的直径.试证其中任意两条所在平面是第三条的共辄直径面.心)()证:设エ的方程为r=r0+t2aハ中心为C(r0).于是F(r0)=O.再设h的方向为・.于是L的方程为r=r()+ハ。1+12a2,Vti,t2€Rro+t>ai4-12a21h,b所在的平面TT的方程为F(ro+hai+12a2)=(A*b)=F(r。)+tl444al+12444=力ん446+，2ム44a2注意 433+hs+12。2),。3]=t&ん皎1+な5ん=。’因而T!是ト的共轨i直径面. 434第5节二次曲面的度量性质1.求下列二次曲面的相互垂直共筑的主方向及其共筑的主径面.1)2?.メーzリ仞ー2L如ー6z-12=0；2)E:，+y2-2司一2工一如ー2z+3=0.；3)E:q+iz+yz=q2,,202-1'0-10-220—1-3\—1—2—3—12j解:1)モ对应的矩阵为’202\A44=0-10120Tノ二次项对应矩阵的特征值为ー1，-2,3:它们分别对应互相垂直的主方向为对应的共趣主径面为 435河:!/+2=0,就"-〃-5=m:セ林ー5ニ。 436二次项对应矩阵-110-2000-1f1-10ヽAu=-110I000;的特征值为2,0,0:它们分别对应互相垂直的主方向为/1ヽ/1\/0、7T：(エ,ルス)ん44-1+(—1,-2,-1)一1=〇后两者为奇向,前者对应的共施主径面为艮卩2x——2y+l=0.，0キ・〇、10^0003)£对应的矩阵为二次项对应矩阵 437112，2,的特征值为它们分别对应互相垂直的主方向为对应的共鋸主径面为:i-2=0向:エー2y+z=Q才3"+y+zニ。，，2.试证二次曲面至少有一个确定的主径面.证:因为ん也力〇，,故有非零特征值,即有非奇主方向,因而其共规直径面为主径面.3.若平面71与二次曲面E的交线为圆,则称!!为エ的圆截面.试证1）平行于圆截面的平面也是圆截面;2）若E:F（r）=0,夕1:尸I（r）=。均为二次曲面，且F（r）与口心的二次项相等,则E与Ei有相同的圆截面;3）求1:卅）二ゆト）二。的圆截面.证:取直角坐标系使得！T的方程为2=1<,£的方程为 438an。12ana)4a12a22023a24F（ア）=（エ,ル2,1）013。23。33a34ゝai4024a34044F(r)于是有ECガ,且满足•11ボ+2a12エ・+。22ゴ+2（@18k+。14）エ+2（。23k+Q24）y=—（Q33k2+2a34k+a44）所以在平面z=k满足此方程为圆（虚圆）的方程当且仅当ゐ1=。22,fl12=0,此条件与k无关,故结论1）成立.此条件与一次项系数及常数项无关,故结论2）成立.3）由结论1）,2）的证明知工有圆截面,则在适当基下,ブ的方程中二次项对应的'ai0a*'0。23ト由3a23。33ノ矩阵为（ai0〇、0（210、00ノ此矩阵合同于 439不妨假定3>0,故E的方程中二次项对应的矩阵ユ心的正惯性指数".于是存在圆截面的二次曲面只能有以下几种.シ+方+ラ二1(0》，》。“)(1)椭球面c痛-Px±Q\/fe2-c2z+d=0由教材中例9.2及结论1)知,圆截面方程为常+初ー*=1(2)单叶双曲面皋+和ーを=0二次锥面か…=T与双叶双曲面g+g-,=1有相同的圆截面设azb.首先求过单叶双曲面 440的中心0=(0,0,0)的圆截面. 441（エ2y2=1.［当设截圆半径为r.如教材中例9.2,截圆的方程也可表示为丁百卜+丄丄r2・コy一2=0.两式相减得此方程的图形包含平面当且仅当r=a.于是圆截面方程为t2和+片=2z（3）椭圆抛物面与椭圆柱面ぎ+"1有相同的圆截面.设azb.先求过椭圆柱面的中心。的圆截面.设截圆半径为r.如教材中例9.2,截圆的方程也可表示为 442两式相减得G-*)b2r2\Z02—b2g土bz+d=0.此方程的图形包含平面当且仅当r=a,于是圆截面方程为注1:若m是二次曲面E的平行的圆截面族,则截圆的圆心在一条直线上.小メ+Qu/+2(。13k+孰市+2(。23卜+の切=_(。3322+2。34卜+。44),事实上,设m的方程为2=1<,于是从本题结论1),2)的证明知,截圆的方程为(ai3k+«i4)Q】i1..ヽyk-(a23k+024)QllゝZk=k,于是截圆的圆心为因而这些圆心在一条直线上.注2:椭球面 443TFrf：Z=d有圆截面族很明显有下面的情形.(1)当がく。时,£ハ取是圆.(2)当|d|=c时,£ETd是一点,且!Td是£的切平面,称点为E的脐点.(3)当"〉。时,タハ万メ=0,此时称ル为£的虚圆截面.E:かる=1注3:椭圆柱面而:Z=d有圆截面族专+[=1いい。)而对于7rd不是椭圆柱面£：的圆截面.(p(r)=O与(pi(r)=O的图形均为z轴.但仍然以F为ヤ(r)=0的圆截面,不为＜pi(r)=O的圆截面,(p(r)=O与(pi(r)=O作为复方程的解是不同的.4.求椭球面プ+2y2+2z2+2叫ー2工一物+4z+2=0上的圆的中心轨迹.解:椭球面工ッ+2屮+2z2+2胤-2I-4y+4z+2二0对应的矩阵为 444矩阵是正定的.由方程的解,可求得中心为过中心的截圆为f110-1'120-20022卜ー1—222ノr110Au=120(002ノ/110-10-2ェ2+(y-1)2+(z+I)2=产.ーエ2+2エ"-2rー2=-2r2第一式减第二式的2倍得 445r(i-2y+2)=2r2-2.注意平面x=0与椭球面的交是半径为1的圆,于是r=l.故可得圆截面Hi：x=0；Tiz：x—2y+2=0.于是与tti,712平行的圆截面族分别为x=c；x—2y+d=0.2ゴ+2(c-2)リ+2/+4z+2+c?-2c=0(1)x=c所截圆的中心的轨迹.将x=c代入原方程,整理后得(G—1)•于是此圆的圆心为rc+2y—2=0Iz=-1于是此族截圆的圆心轨迹是直线〇〇!2优丄述〇15-2ホ。ラ"2z〃+4イ+2=0.(1)x—2y+d=0所截圆的中心的轨迹.令xn-21'y'+2y。++エ‘—于是与E平行的平面的方程为X'=比椭球面的方程为将x'=由代入上式得 4462屮+2=0.（ゼ,"）=（れシ+多ー1）于是此圆的圆心为一メ+2イー式=0z'=-1（31+4y—4=0Iz=-1.由此知此族截圆的圆心轨迹是直线5.设平面んr+By+Cz=0,んロ。ナ〇是小（プ）=1的圆截面,问它们的系数间有什么关系.解:由于方程。（プ）=1中没有一次项,于是原点〇=（〇,〇,〇）是中心又所设圆截（@（プ）=1［ズ十铲+z?=J2面也过〇,于是此圆截面也满足方程组如）ース（メ+ブ+メ）=0其中d是截圆的半径.令スニ于是有 447e(r)一ス(/+/+z2)=(Ar宀8g+Cz)[A\x+&y+Ciz).由于圆截面上的点也满足此方程,因而有'Oil-(n,1/,z)a12ゝ<113'AAi=(x,y,z)BA\卜CAX于是有将等式两边展开,比较系数可得Ai=A-^an-A)B1=B-l(a22-A)q=^-1(033_^，，ai2=AB-1(022—A)=BA-1(au—A)023=BC-1(O33-A)=。パーI(〇22—A)013—AC-1(O33—A)=CA~1(on—A)进而有ABa\2=エ2(。22—A)=B2(on—A)BCq23—ホ(。33—A)=C2(O22-A)ACa13=A2(a33-A)=C2(on-A)由此可见 448(A2+B2)X=A2a22+B2an—2ABan(B2+C2)A=82a33+。2a22-2BCa23(A2+C2)X=4％33+C2an-2ACa1342a鉉+82ali—248a12木+炉B2a33+C%22—2BCa23互2+グ42a33+C>^G|l-2ACa\3不+C3最后得到所求的关系式为而且截圆的半径是此数的倒数的平方根. 4499.3名校考研真题详解本章暂未编选名校考研真题。第10章仿射几何与射影几何10.1复习笔记一•仿射几何1.陪集(1)定义设V是数域P上的有限维线性空间,M,N为V的子空间,a,0为V的元素.a模a+Af=+M｝M的同余类为又称a+M为M在V中的ー个陪集或平移空间.(2)性质①设a,pGV,则下面条件等价:a.a+Af=0+M;b.3€a+M;c.-a+06Af.②设a,peV,M,N都是V的子空间.若a+A/=0+N,则M=N.③V中任意陪集族之交或为陪集,或为空集.2.联接设｛Sil，W/｝是v的陪集族，则称包含，リ的所有陪集之交为此陪集族的联接VS.或联,记为W/注:对于两个陪集,更常用Sivs俵示.3.陪集的维数设M是V的子空间,则称M的维数为陪集a+M的维数,记为diin(a+M)=dimAf.4.仿射几何 450设S为线性空间V的陪集，称S中所有陪集的集合为S上的仿射几何，记为A(5).并称dims为A(S)的维数,记为dimA(S).A(S)中0,1,2维元素分别称为点,直线,平面.A(S)中dimS-1维元素称为A(S)(或S)的超平面.注:若S,T都是陪集,且SCT,则称A(S)为A(T)的子几何.二、基本仿射性质1.平行(1)定义设a+M,0+N是线性空间V的两个陪集.如果MUN或NUM,则称a+M与0+N平行,记为(a+M)||(8+N).注:对v的任何陪集s有S||S,又若s,t为两个陪集，且S||T,则(2)性质①自反性②对称性2.2维仿射几何的关联性质设dimV=2,则A(V)有以下性质：(1)两个不同点的联接是一直线;(2)两个不平行直线的交是一点.3.3维仿射几何的关联性质设dimV=3,则A(V)有以下性质：4.)两不同点的联接是一条直线;5.)两不平行的平面的交是一条直线;6.)交于一点的两条直线的联接是一平面;7.)两条共面的不平行的直线的交是一点;8.)两条不同的平行直线的联接是一平面;66)一点与不包含它的一条直线的联接是ー个平面；77)一平面与一不平行于它的直线的交为一点.注:两条既不平行又不相交的直线称为交错直线,它们一定不共面,故也称为异面直线.4•相关定理(1)设a+M=S.0+N=T分别为子空间M,N的陪集,则下述结果成立：①(a+M)V(B+N)=a+L(0-a)+M+N:②5CTW0,当且仅当6-a€"+N；③SnT=0,当且仅当dim(SVT)=dim(Af+N)+1.(2)设S,T都是线性空间V的陪集,则下述结果成立: 451①若SCT,则dimS《dimT,且等号成立时S=T；dim(SVT)+dim(SnT)=dimS+dimT②若SCT，0,则③若SnT#0,则SIIT的充分必要条件是SCT或TCS.dim(SVT)=max(dimS,dimT)+1若SGT=0,则S||T当且仅当三、仿射同构6.同构(1)定义设f是仿射几何A到仿射几何A’的ーー对应,并满足，(S)£_f(T)当且仅当S。T,VS,TeA,则称ア为A到A，上的同构.如果这样的同构存在,则称A与A，同构.注:同构关系具有自反性，对称性与传递性.(2)性质①保持交的运算,即f(n,s)=rv(s)vs,ea②保持联接运算,即f(V,S)=VJ⑸)VS.W4③保持维数不变,即dim/(S)=dimSVS；6A/(S)||/(T)当且仅当S||T④保持平行关系,即7.仿射变换（1）定义 452设V,V’为数域P上线性空间,a,a'；M,M'分别为V,V’的向量,子空间,g是M到M'上的线性同构.则称ルノ。ア-a为ス（a+Af）到4a'+"）上的仿射变换.（2）性质①记h=TaMa,则。=丁一ハ（6/斗,V/3€a+M.②hー是イ（a'+"'）到4a+M）的仿射变换.③レ:川S）—♦4（6）,hz:ス⑻）一・4S”）都是仿射变换，则h2h.：人⑸一・/（S"）也是仿射变换.6原点的参照标架dim（VRVQ）=川设A是n（＞1）维仿射几何.又Pi,用，…，B»，Q是n+1个点，且则称有序S+1）一重组（R，・用,…，Pn；Q）为A的以Q为原点的参照标架.7标准参照标架民=（〇,…,〇,1,〇,…,〇）,1WiWn设V=Pn,令。=（0,〇,…,〇）,及即E的第i个元素为1,其他元素为〇.因而我们得到A（P-）的ー个以。为原点的参照标架（Ei，4,•••，&;0）,称此参照标架为标准参照标架.8仿射坐标系若A是数域上P的n维仿射几何,则A到A（P“）上的一个仿射变换f称为A的ー个仿射坐标系.注:对于f存在唯一的a的参照标架（P】，乃，….，ル;Q）使得メQ）=O；f（Pi）=EitIWfWn.即A的参照标架与坐标系有ーー对应关系.9坐标设…哈僧.Q）"贝ホX）=（%物……n）,称（11,エ2,…,エn）为X对给定参照标架（尸1，后，…，ル;Q）的坐标.注:若。,E将写成列的形式,则X的坐标也是列的形式.10相关定理(1)数域P上两个仿射几何A,A’同构的充分必要条件是它们的维数相同.⑵若(Pi，外,…,兄;Q),(尸;，Pス、…、尸:;Q')分别是仿射几何A,A’ 453的参照标架,则存在A到A’的唯一的仿射变换f使得/(冃)=H,1wiWnf(Q)=四、仿射几何基本定理1.齐性向量(1)定义设A(V)是数域P上的三维仿射几何.S是A(V)中的一个平面,且不包含零向量0,S中的一点P即为V的一个非零向量.故。P=O\/P是V的ー维子空间,称0P中任何非零向量P为对于P的齐性向量,如图10-1-1所示.(2)性质①p为对于P的齐性向量当且仅当〇尸=L(P)；②P-OP是S到所有通过〇与S不平行的直线集上的ーー对应;③S上三点P,Q与R共线当且仅当OP,0Q与OR共面.2.引理设P,Q,R是A(V)中三个异于〇的点,又OP,0Q与OR共面,OQ*OR,p为对于P的齐性向量.则对任何エ,リ€P-{0},存在对于Q,R的齐性向量q,r(其中之ー可能为〇)使得pニエq+qn3.推论(1)若P，Q,尺€Ss为ー不含0的平面,p,Q,R互不相同且共线,则q,r都是齐性向量.注:OP,OQ与OR互不相同.(2)若题11°忆则q,r都是齐性向量. 454OP,OQ,OR也是互不相同的,如图10-1-2所示.图10-1-21.三角形若A,B,C是三个非共线点,则由这三个点和它们间的三个联接称为三角形ABC,记为△ABC,如图10-1-3所示.图10-1-32.透射如果七个点P,A,B,C,A',B',C’不同且ス4'058'0。。'ニ。，则称△ABC与△"ザ。’是从点P透射的.此时称P为透射中心，如图10-1-4所示. 4556.平行透射如果A川田B'licc,图10-1-4则称△ABC与△AB'C是平行透射的,如图且此六点不同,10-1-5所示.图10-1-57•相关定理（1）设AABC与是两个共面的透射三角形.①若スNnA'B'=L,HCnBfC'=Af,CAAC'A!=N,则L,M与N共线.②若BCIFUCA^C'A!,则エ81148'.（2）设A,B,C与A',B',C’分别在两条不同的共面直线上（此二直线可以相交,也可以平行）.①若AB，nA'B=L,BCnB'C=M,CA!qCA二N,则l,m,n共线.如图10-1-6所示. 456②若んBIWB,AC'WC,则B0RC,如图1017所示.图10-1-7（3）（调和结构）设A,B是平面S上不同两点,G在AB上.C在S上,但不在AB上.D在CG上,但不同于C,G.若E=4DC8C,F=BDCiCA,H=EFC4B4|JHVC,D的选择无关.8.调和共朝点在定理3中,H称为G对A与B的调和共読点.（A,B；G,H）称为调和点列.9.调和共読点的意义,b=OB,如图10-1-8所示. 457于是线段43由定理2知另一方面当,メ耐,GA:BG=(1-x):iOH=k(xa-gb),kx-ky=1HA:BH=(l-x):xGA:BG=HA:BHG,H分别称为AB的内分点与外分点.调和共読即内外分点分割AB的比例相同.五、射影几何1.射影几何 458设V是数域P上的线性空间.V的所有子空间的集合称为V上的射影几何,记为P(V).注:射影几何P(V)中所有射影点的集合称为由P(V)决定的射影空间.零子空间｛0｝不在射影空间中,又称｛〇｝为射影空间中的空子集.1.射影维数pdimM—dimM—1设M为V的子空间称dimM-!为M的射影维数,记为pdimM,即当pdimM为0,1,2或Pdimリー1时,分别称M为P(V)中的射影点,射影直线，射影平面或射影超平面.注:若M为射影点,则M中的非零向量m为M的齐性向量,即Af=L(ni).2.交错若ルrNeP(レ),则=｛0｝当且仅当pdim(AinN)=-l.此时称M与N是交错的.4.2维射影几何(即pdimV=2)的关联性质(1)不同两点的联接是直线;(2)不同两条直线的交是点.5.3维射影几何(即pdimV=3)的关联性质(1)不同两点的联接是直线;(2)不同两个平面的交是直线;(3)两条不同的相交直线的联接是平面;(4)两条不同的共面直线的交是点;(5)一点与不含此点的直线的联接是平面;(6)一平面与不在其中的直线之交是点.dim(Af+N)+dimlAfClN)=dimAf+dimN注:线性空间中关于子空间的交和的维数公式为用射影几何的语言即射影维数写出来是pdim(Af+N)+pdim(MCN)=pdimM+pdimN6.嵌入定理(1)定理内容设V是数域P上的线性空间,H为P(V)中一超平面.又设aeV,a£H.则 459A(a+H)giJp(V)中的映射tp：O(S)=L(S).(2)性质①(p是ーー映射;②+H)在tp下的象为P(H)在P(V)中的补集,即所有不在H中的V的子空间的集合A；③SCT当且仅当。(S)C0(T),VS.TW<(a+H);④o(nsJ=no(Si)若ns,チ。⑤。(ド)ニけ⑥dimS=pdimo(S),VS€人(a+H\⑦S\\T当且仅当0(s)nHCd(T)OH或0(T)nHC0(S)CH.(3)说明①S,TeA,S||T当且仅当s在无穷远处的超平面包含或包含于T在无穷远处的超平面中.②特别地,A中两条直线平行当且仅当它们作为P(V)中的射影直线交于无穷远点(即在无穷远处有相同的点)；A中一条直线与一个平面平行当且仅当它们作为P(V)的射影直线与射影平面时，直线的无穷远点落在平面的无穷远处的直线上.6.无穷远处的超平面若MWA,则称AfCH(diln(A/nH)=dimM-l)为M(或P(M))中无穷远处的超平面.这样，H为V的唯一的无穷远处的超平面.7.无穷远点若M为A中一射影直线,则MnH为射影直线上的无穷远点.8.无穷远处的直线若NGA为射影平面，则NDH为射影平面N在无穷远处的直线.注:射影几何是比仿射几何稍大一点的几何,即射影几何是仿射几何加上无穷远超平面的几何.9.截线设C是射影平面P(V)中的ー个构形.选取任一射影直线H,设a《H,(a+H)与C的截线(即(a+")CC的图形).截线产生仿射构形图即为在中下的象.不同截面(a+H)可以产生不同的仿射构形图,但它们总是代表相同的射影构形图.总是选取使C失去的东西最少的仿射构形图.六、射影几何的基本关联定理1.透射轴设ムABC与△A/B'C的六个边互不相同.若L=BCnB'C, 460M=CADC'A',N=ABC是不同的共线点,直线LMN不同于两个三角形的六个边,则称AABC与△4‘ウク’有透射轴LMN.1.相关定理(1)AABC与AA'B'C’有透射中心P当且仅当它们有透射轴LMN.(2)设a,b,c与a',b',c'分别在两条共面直线上.则=AB'AA'B=しクオハクエ=N共线.(3)(调和结构)设A,B是射影平面M上两个不同点,G在AB上.在M中取AB外一点C,再在GC上取异于G,c的一点D.则E==BOnCス与"=后尸0スド都是点,且H与C,D的选取无关.注:①与仿射几何ー样,称H为G对A,B的调和共枕点.(A,B；G,H)称为调和点列.②在射影几何的情形，若G为AB的中点，则H为无穷远点.七、射影同构1.射影几何的同构(1)定义tt(M)C7T(N)当且仅当MCN设P,P’是两个射影几何.T！是P到P’上的ーー对应,且满足则称!T是P到P’的同构,这时,称P与P’是同构的.(2)性质①射影几何P与自身同构.这时,可取!T=id.②射影几何P与P’同构,则P’与P同构.若!！为P到P’的同构,则灰ー1为P’到P的同构.③若TT：P一P；7T‘：PrT。"都是射影几何的同构,则tt'tt:V—>P”也是射影几何的同构.7r(MnN)=7r(M)n；r(N)④若7T：V—>P'是射影几何的同构,则VAf,Ne0,下面两式成立 4617r(M+N)=7r(M)+7r(N)⑤射影几何p,p’同构的充分必要条件是它们的维数相等.1.射影变换设/：V—V,是线性空间的同构.f诱导的p(V)到p(W)的同构p(〇称为P(V)到P(い)上的ー个射影变换.特别地,若v=v',则称P(f)为P(V)的ー个直射变换.注:若。ノーq'y-►ビ’都是线性同构,则v(gf)=夕⑼ア(ハア(/ーリ=アび)一】2.射影坐标系设P(V)为数域P上的n维几何，则P到P(Pノ上的射影变换n称为P的ー个射影(或齐次)坐标系.3.参照单形为=(1,0,0,…，0)ei=(0,1,0,…，0)en=(0,0,•••,0,1)设P"+%元素细タ，…，如下:由n为P(V)到P(pn+1)上同构,因而有Aie使得7f(Ax)=L(e,),0W，〈れ则称P（V）中有序的S+1）一重组（“。，4,…，ム）为给定坐标系TT的参照单形.4.参照标架设P（V）是n（＞1）维射影几何.并设（ス。，41，・一，4储U）是P（V）中有序的（n+2）-重点组,满足下面条件:其中任意n+!个点之和的维数为最大维数,则称G40,力 462I，・一，4n；U）为p（V）的参照标架,u为单位点,（ス〇,小,…，＜n）为单形.1.射影坐标7T（P）=L（（O：o,Xi,•••,Xn））设P为射影几何P（V）中的一点.若则称（图）,乃,…,エn）为P对n的射影（或齐次）坐标.2.相关定理（1）设f,g都是V到V’的线性同构,则P（f）=P（g）当且仅当g=kf,kEP,A:/0（2）设pdim。"）=n.①p（V）的每个参照标架（ル，ス】，•••，4n;ひ）至少为v的一有序基决定;②v的两个有序基（。0，a】，.…，。"），（00,目1，・一，3n）决定同一参照标架当1—koti,0W厶Wれ且仅当存在k使得③若（ル,ん,…，4；U）,（4,4,…，4;び）分别为p（V）,p（屮）的参照标架,则有P（V）到P（V'）的唯一的射影变换!T使得万(スり=4，0W£Wれ7F（U）=Uf注:射影几何的坐标系!!与参照标架(ル，41，・一，"n；0)之间有ーー对应关系.ハ、对偶与对偶几何1.对偶命题 463设P(V)是数域P上的n维射影几何.P(M)中一个命题卑就是涉及P(V)中元素(即V中的子空间)及其相互间的包含关系的ー个论断.如果在命题中中分别以つ、联接(即子空间的和)、交及维数n-1-r代替，、交、联接及维数r,这样得到ー个论断切・称为ヤ的对偶命题.2.射影几何的对偶原理(1)定理设P(V)是数域P上的n维射影几何.若命题¥对P(V)成立,则平的对偶命题中・也成立.(2)性质M°={/€V*|/(a)=O,VaeM}设M6P(V),即M为V的子空间,令则下面性质成立:pdim=n-l-pdimM①€P"*).即/lf°为リ*的子空间,而且②(M。)。=M；③MCN当且仅当ルf。d④（M+N）°=M°AN°；⑤AN）°=M°+N。.注:①M。称为M的零化子.映射Mt称为零化子映射,记为〇.②若6：P（V）tP（W）是ー对应,且满足AfCN,当且仅当6（M）颜N”M.Nw。（り,则称8为P（V）到P（W）的反同构.③零化子映射。:P（V）t。（リ・）是反同构.零化子映射〇的逆映射则是0（ゾ）到P（V）=。（（ゾ）*）的零化子映射,仍以〇表示.3.对偶若/:ノTW”是线性同构，则称。ア（f）为P（V）到P（W）上的对偶.特别地,P（V）到自身的对偶称为P（V）的ー个余关系. 4642.射影几何设v是数域p上的线性空间,p是一个集合.若屮是p到p（V）上的——对应,则称（P,屮）（或简单地P）为数域P上的射影几何.并称pdim。（レ）为p的维数.特别地,（。（レ），。）是射影几何,称为p（V）的对偶几何,记铲M.注:P（V）的对偶几何p-（V）不是P（V*）,P（V）与P，（V）作为集合是ー样的.但是,它们的几何结构是不ー样的.3.对偶标架称（4,4,…⑺为（ル，ム，…，ん!；S的对偶标架.4.对偶坐标设p为P*M中的一点,故P。为P（V）中的一点,则P为P（V）中的超平PO^O+P1N1+♦,・+Pn^n=〇面.则p为某个齐次方程的解空间.其中M为p。的齐性向量.因而对于参照标架（4b出,…，4：;び）,点P的坐标为（P。，P1，…，Pn）,并称为超平面p对（ん），ム，…，ん»;の的对偶坐标.九、射影二次型1.射影二次型(1)定义Q(の={PeL(a)GP(V)| 465①Q。)={P£P")|PCP丄}.②Q("=Q(助ノk£P,野0③若加P(V)tP(V')为射影变换,则万(Q(0))为p(V')的二次型.④设(〇〇,〇1,•••，°n)是v的ー组有序基,n为其决定的坐标系.尸€P(V)的坐标记为X"=(20,%1,，,.,In),又〇在(ao,«1,•••»。れ)下的矩阵为a.°(10，,'…，In)为a对基(〇〇，ロ1,•一，a")的二次(齐次)函数.则Q(cr)={P|g(x0,あ,…，xn)=0}={P\XAX,=0}Q(cr)={P\doXQ4卜ぐ琮=0,4ナ0}⑤在P(V)中有射影坐标系，使得⑥称。的秩为二次型Q(a)的秩•若?r:ア")ー。(守)为射影变换,则q(0),7r(Q9))有相同的秩.1.二重点设pdimV“，L为P(V)中任一射影直线.于是L0Q(0)是P(L)的一个二次型,记为Q(°厶),则下面的论断成立:aeV1•当且仅当P=L(a)eQ⑺且R(oqp)v2,V直线QP 466(a€Vi,P=L(a))称为Q2)的二重点.注:v丄决定之后,丁的秩也就决定了:rank/)二dimV—dimV丄,则称q(0)为退化的,当。为退化的,即V丄キ{0}. 467说明:本章不是考试的复习重点,只需大概了解,一般考试不作要求,因此暂未整理本章课后习题的答案和解析。课后习题如有更新，均可免费升级获得. 46810.3名校考研真题详解本章暂未编选名校考研真题.
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