2021辽宁全卷解析

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高考数学（辽宁理科）一.选择题.1.已知全集U=/?,A={x|xW0},5=ははN1},则集合Cu（AU8）=（）A.{x|x>0}B.{x|x0}n{Hxb>cB.a>c>hC.c>a>bD.c>b>a,11解析:〇<23<2°=l,/.0log22=1,.\c>1,:.c>a>b,故选CI34.已知m,n表示两条不同直线,a表示平面,下列说法正确的是（）A.若m//a,〃//a,则6//〃B.若z〃丄a,〃ua,则6丄〃C.若か丄a,a〃丄れ,则〃ノ/aD,若加//a,m丄れ,则〃丄a解析:若"2,〃〃ク,则m,n可以平行、垂直、异面,A错;若m丄a,〃ua,则加丄〃,正确;若根丄。,相丄〃,则〃〃。或れua,C错;m//a,mLn,则〃丄a,〃ua,〃与a相交但是不垂直,D错,故选B5.设。,み,c是非零向量,已知命题P:若义石=0,b»c=0,则。•c=0;命题q:若a//んZ?//c,则a//c,则下列命题中真命题是（）A.p7qB.pへqC.（「p）A（—!4）D.pv（-Iり）解析:若。メニ。，b-c=0t因为。,b,c是非零向量,则。丄い涉丄c,「.a//c/.a・c=土レトト0c=0,命题P为假命题:若a〃b,b//c,因为。,b,c是非零向量,则。〃c,命题Q为真命题,PvQ为真命题,故选A

13.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为（）A.144B.120C.72D.24解析:本题为排列组合中的插空问题，3个空位先排，但是空位相同，没有顺序,产生4个空,接着3个人排列，有用=24种方法,故选D7.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A.8—2万B.8—乃C.8ーーD.8ーー24解析:几何体为ー个底面是边长为2,高为2的正四棱柱去掉两个底面半径为1,高为2的四分之一圆柱，所以几何体体积V=8ー万，故选B8.设等差数列｛4｝的公差为d,若数列｛2"ム｝为递减数列,则（）A.d<0B.d>0C.atd<0D.axd>0解析:)=T'd<1=>qd<0,故选cTVTT9.将函数y=3sin（2x+§）的图象向右平移万个单位长度,所得图象对应的函数（）A.在区间［上,上］上单调递减B.在区间［上,上］上单调递增12121212C,在区间［ー工,巳］上单调递减D.在区间［-工,生］上单调递增63637F7T解析：将函数y=3sin（2无+可）的图像向右平移ラ个单位长度，所得图像对应的函数为rr2万冗1T7TT令f2k7く2xく—F2k兀=>fk/rくスWfkjv，解得增区间为2321212—+k7T,—+kK（丘Z）,当ん=0时，在区间［匕・,上］上单调递增，故选B1212ゝ）121210.已知点A（-2,3）在抛物线C：ブ=2.ス的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线8尸的斜率为（）1234A.-艮一C.—D.—2343解析:法一:由点ム（一2,3）在抛物线。:バ=2.尤的准线上,得ー‘=一2=>°=4.つ2=8”易知,直线AB斜率一定存在,令直线AB的方程为y=Z（x+2）+3（4>0）与ザ=8x联立得

2左2ズ+[2%（2%+3）-8]x+（2Z+3）2=0,因为直线与C在第一象限相切于点B,所以△=[2k（2Z+3）—8丁ー4ド（2%+3）2=64—32M2左+3）=0,解得ん=一2或ん=丄•.•左>0.•.た=丄,代回方程解得x=8,8（8,8）,直线8ド的斜率为一,故选D3法二:由点A（-2,3）在抛物线C:ザ=2px的准线上,得一・^=一2=〃=4:.ザ=8イ,令«¥，%,则以8为切点的44（v2ヽ切线的斜率为—AB:y=—|x—■・レ+yQ,%为18丿=>2yoy=8x+yo2»将A点坐标代入,解得%=8（%=-2舍掉）,直线6b的斜率为3,故选。法三:如图所示,利用阿基米德三角形的特性知,AF1BFKhf==-阿基米德三角形过任意抛物线焦点F作抛物线的弦,与抛物线交与A、B两点,分别过A、B两点做抛物线的切线ム,ム相交于P点。那么4PAB称作阿基米德三角型。该三角形满足以下特性:1、P点必在抛物线的准线上2、/XPAB为直角三角型,且角P为直角3、PF丄AB（即符合射影定理）另外,对于任意圆锥曲线（椭圆,双曲线、抛物线）均有如下特性1、过某ー焦点F做弦与曲线交于A、B两点分别过A、B两点做圆锥曲线的切线ムん相交于P点。那么,P必在该焦点所对应的准线上。2,过某准线与X轴的焦点Q做弦与曲线交于A、B两点分别过A、B两点做圆锥曲线的切线ム,ル相交于P点。那么,P必在一条垂直于X轴的直线上，且该直线过对应的焦点。11.当xg[-2,1]时,不等式加一ズ+4x+3N0恒成立,则实数a的取值范围是（）A.[-5,-3]B.[-6,--]C.[-6,-2]D.[T,-3]8解析:法一:令x=—2,得一8。ー920=>——;ス=1,得。+6と0=>a>-6;8x=-l,^-a-2>0=>a<-2;,故排除B,又当a=-6时,

3―6ギー+4x+3=3—3バ+3x—3ギ+x—0V=3(1—x)(l+x+ゼ)+3x(1—x)(l+x)+x(l—x)=(1-x)(6x=>-l+7x+3)=(1-x)6ル+ヱ]+—>0(成立,排除A,D,故选C法二:讨论x,当x=0时,显然成立:当〇＜xWl时，a?-x2+4x+3N0可化为a>——-,当ー2Wx<0时,以:iーエー+4x+3N0可化为a4ミ——-xx令/i(x)=x~-4x—3ピヵ’(x)=(2X-4)%3-3x2(x2-4x-3)

4-x2+8x+9_-(x-9)(x+l)当。O；.y=〃(x)在(〇』]上递增,〃(x)=/z(l)=-6..a>-6当ー2Wx<0时,令/z'(x)=O得^=一1.つ=/1(ス)在(一2,ーリ上递减,在(—1,0)上递增〃㈤哂=〃(-1)=一2；.”4ー2,综上-6WaV-2,故选C法三:7(x)=必3—x2+4%+320对XW[-2,1]恒成立9必要性《/(-2)>0/(1)>0=,ハー1)20a<——8ciN—6-6a=——<—2

5②对所有X,ye[0,1],且xHy，有l/(x)-/若对所有x,ye[0,l],"")—/(メ)|<ス恒成立,则え的最小值为()1111A.-B.-C,D.一242万8解析:解法一不失一般性,不妨令ス>y,分情况讨论当0；综上，え的最小值为丄4解法三:•.•"(x)-/(y)|

6解法四:条件①说明ア(x)必须过点(0,0),(1,0).条件②即|"ゼー"'')|＜丄,说明任意两点确定直x-y2线斜率绝对值小于;(可以看出T'(x)关丁一直线x=丄对称:值得商権!),结论说明，(お在[0,1]上，IV(x)a1＜上，其实就看/(x)的最大值即可,若I"(©max1=；，则/(X)=g(x)=；X,Xe[0,—],刚好不符合题意，故たmin=—•解法五.利用物理背景秒ー下：时间re[0,l],位移S(0)=S(l)=0,即最后回到起点，V,＜0.5求在运动过程中两个时间点的距离最远.解决方案：假设质点在直线上运动,否则无法达到相距最远,另外假设所经过路程只能往返ー个来回,否则也无法达到距离最远看，速度的临界值0.5假设质点从。出发，速度0.5,0.5小时后必须以0.5小时返回，最远到达距离为0.5x0.5=0.25本题是对2003北京理的改编.(2003北京理)设y=/(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件,①/(-1)=/⑴=0②对任意的“、ve[-1,1],都有|/(〃)-/(箕)凶〃ー(I)证明：对任意xw[-1,1],都有x-lW/(x)Wl-x(II)证明：对任意的〃,vw[-1,1]都有|『(〃)一/(v)区1(III)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=/(x)且使得"(〃)-/(v)|<|m-v|uve[0,-]I/(«)-/(v)1=1«-v|wve[；,l]若存在请举一例，若不存在，请说明理由.(I)证明:由题设条件可知,

7当XG[-1J时,有If(X)H/(%)-/(l)区IX-11=1-X,即X-1W/(x)I从而有|/(«)-/(v)|<|/(M)-/(-l)|+|/(v)-/(l)|<|M+1|+|V-1|=2-(V-M)<1总上可知,对任意的“,ue[-1,1],都有|/(“)-/(レ)区I(III)答:这样满足所述条件的函数不存在.理由如下:“ノe[二,I]得假设存在函数/(X)满足条件，则由I/(〃)一f(V)|=!〃ーVI.又"1)=0，所以I八;)l=g①又因为/(x)为奇函数,所以/(0)=0,由条件I/(〃)-f(レ)|<|w-vI.u,ve[0,—]得l/(；)H/(；)-/(O)l

8质点落在阴影区域的概率是.解析:阴影部分的面积S=2「（lーギ）（^=4（（1一スユ＞な=4x-丄"）=g,正方形的面枳为4,所以质点落在图中阴影区域8a22的概率"=3=W,故填エ43315.已知椭圆C：—+^-=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线94段MN的中点在C上，则|AN|+|8N|=.解析:如图所示,P耳〃んV,|P耳|=，4V|,PF2//BN,\PF2\=^\BN\,所以IんV|+|BN|=2(|P制+|P周)=4a=1216.对于c>0,当非零实数a,6满足4/一2"+4〃-。=。，且使|2a+b|最大时，ユータ+»的最abc小值为解析:方法一(重要不等式aみセ)模型)c=4a2-2ab+4b2=(2a+b)2-3b(2a-b)=(2a+b)2---2b-(2a-b)2..J3.2b+2a—b■y5....2>(2a+b)2--(——-——プ=-(2a+b)22.2.oc/瓦2a/10j3V10ra=yjc203Viora=7c20所以|2a+4最大时,V55=>],_或く2b=2a-bパ®厶10103叵r20'’时3_45_2Vlb4丽5_-2厢5Jl〇/—dbCy[cy[cCyfcC

9>0即求/(r)=5f2-2而t(t>0)的最小值=ハツ)=-2.即之ー:+!的最小值为ー2.5abc3加r‘"デ""什3452而4布52屈5ョ1时,+-==-H=—+-==—+—,VK)厂abcyjcJccJccb=\Jc10>0即求=5/+2術。>0)的最小值,,/(/)=5r+2Mい0)在(0,+00)上递增/(f)=5/+2加”>0)无最小值。综上巳一二+ビ的最小值为2abc方法二:(柯西不等式)4a2-2"+4パー。=0,可推得20=3(4+份2+5(a-b)2(2a+b)2=—xV3(c!+b)-\x-\/5(tz—b)<210+2丿い。丿+か)+[y[5(ci,へ,、ッ8c3厢厂a=A/r3710「a=7c当|2a+q最大时，所以，(2。+い厂=—5=><2a=3b20レ=叵丘或20b=一画厶ゝ!0[10345271047105-27105I=I_Iabc4cy[ccyfcc>0即求/(t)=5t2-2Mt(t>0)的最小值V10345/(りmin=f(u)=-2,即-+—的最小值为25abc

103叵r20”m3452，104后52而5时,1—=—I—I—=『—I710厂abcVcQccくcc设「=>0即求/(0=5r+2y/\0t(t>0)的最小值,,/(/)=5r+2710/(/>0)在(0,+00)上递增f(t)=5r+2屈t(t>0)无最小值。综上巳ーミ+ビ的最小值为ー2.abc方法三:(判别式法)令加+b=r,则い=rー勿,代入4イー之ル+4パーc=0中,得到4メー2a«-2a)+4(.—2a尸一c=0,BP24a2-18«/+4/2-c=0(*)方程(*)是关于a的二次方程,且有实根,所以公=182产-4x24(4r-c)N0,QQQa=ー巫正当〈时,10可得产<-c,即(2a+b)2<-c,再将(2a+b)2=?c代入4a2—2姉+4b2—c=0,得到2a=",3a/703\/10广CL一■yjC(X—yjC代入(2a+b)2=§c,解得]??或〈5,V10/~.x/10rb=vcb=vc[10103，10r-、レ“-20"1345271047105-2710517ョ<_时,1=3=3=—1—=-f=1=3(3=b，10r-abc，C，cC，Cc，cーー'^)2-2>-25)3452M4710527105+-=7=—+=-+——=—+-abcy/cJccsjcc设，=う〉0即求f(/)=5〃+2術(r>0)的最小值,八「)=5产+2術”>0)在(0,+oo)I:递增/(/)=5r+2Mt(t>0)无最小值。综上巳一二+ビ的最小值为2abc方法四:(化齐次法)

11设|2a+q=1则\2a+b\,,,j4a2-2ab+4b2=c-l2=c(2a+〃),整理后,有4(r2-c)a2-2(/2+2c)ab+(4r2-c)b2=0(**),该方程为关于变量a,b的齐次方程,现将方程（**）看成关于。的方程,则（1）当产=c时,此时わ=2a,代入4グー2。ワ+4ダ-c=0,解得＜?=16ガ,此时,_451-p-a16a2,此时最小值为一一.5(2)当厂エc时,△=[—2(厂+2c)]—4,4(厂—c)(4厂—c)=-60/4+96c广と0,0Q所以メ42。,即（2a+b）2解得＜a=7ca=20十_或＜b=叵ハb=—103710叵加3710a—2010正时,345271047105一2师5设r=ナ>0即求/(r)=5t2-2师(r>0)的最小值，/(r)min=/(巫)=-2345271047105271053710ra=yjc时,VIO/-b=\lc10设」=3＞0即求f⑴=5尸+2加（，＞0）的最小值,/（り=5产+2而ル＞。）在（0,+ao）上阐!y/c/(0=5产+2>/ior(r>0)无最小值。345,由（1）（2）可知,+ー的最小值为ー2.abc方法五:（三角换元法1）由已知得（2aー丄わ1+—b2=c,令2a——b=厶cos。2nb=y/cs

1202a=715sinO+Wcos。b=坐sin。2a+b=-f^=sin0-i•—^sin0+4ccos0=^-j=^sin0+\[ccos0=-sin(8+。)V15V15V155ゝ

13因而(2a+b)=\/max2Vibe5此0•寸4a2+4ab+b2=-c=>4a2+4ab+b2=5*(4ピ-2"+4ガ)整理得4a2-12ab+9b2=0=(2a-3b)2=0=>2a=3b5レれ2Vibe,Vibe345252so5(1VioYハう“2a+b=4b==b=,1—=1—=尸—I—=5—f=-2と-2,故510abcbe4cc5丿填-2方法六:（三角换元法2）张立彬4ガー勿わ+4ペーc=0,可推得2c=3（。+か2+5（。ーガ2（0[2々+4=一(g+b)H—(a—h)22(2)代入（2）,ロ+4M在（1）中,令。ー。=4J—,此时sin6=V10VH,cos6=-,代入(3),解得《43Vibrb=M八设T>0即求/(t)=5t2-2瓜(t>0)的最小值J10345/（f）min=/（半）=一2,即三一1+二的最小值为25abc方法七:设。=み/IgR时,|2a+A|取得最大值|（24+1）可把a=肪代入4a2-2ab+4い之一e=0整理得，け=—4A2-2A+4人/へ.，+3令6スー3=/,ス=6所以四叶・一ス+Db=借土屮+拼畫;c（l+———）当且仅当f=6时，即え=一时|2a+わ|取得最大t+—+32

14こ…3451211,1111.12へ所以1—=-=(4—)>(—1-4—)=-2abc2b2b2bb24bb方法八(由盘锦大洼高中王业志提供解法):数形结合由题意。ル同号.当a>0,〃>0时,由4a2-2姉+4ルー¢=0得(2。)2+(&)2-2.2夕2か丄=(厶)2所以cos6=—nsin6=Vi-cos-0=2a44C-eatTS由正弦定理2bcl4厶,2sinA+sinB、2Vc.2a+Z?=~f—()――.—[2sinA.+sin(A+夕)]V152V152五,9.人。15..2疝.,ん..715.==-^=(-sinA+—cosA)=―^sin(A+e),(tan0=-^—).兀X/15...3限当2。+わ最大时,A+0二—=>tan(0==cotA=>sinA二298g,c.t4c376Vc360c,242cへ272c360cWOc所以2a=sinA•—=-=-==—j=——2a=—t==658后10454510103Mra=7c当。く0,bv0时一。＞0,ーわ＞0,用一。替代上面的。,用ーわ替代上面的い,可得八一巫ハ1045200471052，105从而F—=7=-47=—+—=―+—abCy/c\lccyjcc>0即求f(t)=5/2+2J而。>0)的最小值,/(f)=5r+2，10ヤ>0)在(0,+oo)上递增/(/)=5r+2阿(/＞0)无最小值。综上所述ヨーユ+メ的最小值为ー2.ahc方法九(由盘锦大洼髙中王业志提供解法):由题意。わ同号.当。>0,Z?>0时

15令ス=2a,y=b,由—2。カ+4ク2—c=0得デーり+4ザ=c.求ト+Mmax,即Z=X+y=y=—X+Z所以只需ブ=一1就可以求出最值.两边对隐函数ドー町+4ザ=c求导得:2x-(y+盯’)+8ジ‘=0令y'=_l,则2x_(y_%)_8y=0=>3x=9y=>x=3y=>24Z=3bg,c,“，2ボGc,VlOc所以2。+/?=4〃=nb=,510345252M5J1后丫ハC+-=——+-=^+—=5—j=-2>-23>/iora~赤“ー巫正abcbcJccIVc5当。<0,力<0时一a>0,-6>0,用ー。替代上面的n,用ーわ替代上面的わ,同样可得“=3452710471052so5从而F-=尸ーH戸一+—=-7=—+—abCy/cy!ccyjc〉0即求/。)=51+2>/10/(;>0)的最小值,/(f)=5r+2s〇ハ，>0)在(0,+oo)上递增/⑺=5〃+2JiR(/>0)无最小值。综上所述ニーユ+メ的最小值为2ahcf(x0)=ax1-x；+4无〇+3=-X；+4x0+3=-—+-x0+3>--——+3=0满足条件,所以ae[-6,-2],故选C12.己知定义在［0,1］上的函数ア(幻满足:①バO)=AD=O：