勾股定理重难点

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第十八章勾股定理§18．1勾股定理（一）一、教学目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。2．难点：勾股定理的证明。三、学案（一）阅读课本第64页，并完成思考题：1、毕达哥拉斯在地板上的发现：（1）图中线条加黑的三个小正方形围成了一个；（2）若设两个较小正方形边长均为，则它们的面积都为，设较大的正方形边长为，则它的面积为。（3）再次观察，可以发现两个小正方形的面积和较大的正方形面积，即有＋=。（4）因为三个正方形边长恰好是围成的等腰直角三角形的三条边，由＋=可知，等腰直角三角形的两条边的平方等于边的平方。2、由第1题知等腰三角形具有上述性质，是否一般的直角三角形也具有这样的性质呢？观察下图，尝试探究.（如图，每个小方格的面积均为1）观察图（1）正方形A中含有____个小方格，ABCABC图（1）图（2）即A的面积是_____个单位面积；正方形B中含有_____个小方格，即B的面积是_____个单位面积；正方形C中含有______个小方格，即C的面积是________个单位面积．图（2）正方形A中含有____个小方格，即A的面积是_____个单位面积；正方形B中含有_____个小方格，即B的面积是_____个单位面积；正方形C中含有______个小方格，即C的面积是________个单位面积．3、根据上述观察分析，你能得出什么结论．（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去四个直角三角形的面积．）（二）归纳：直角三角形三边关系：勾股定理：；用公式表示为。变式：①②。直角三角形性质归纳：如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）ACB（1）两锐角之间的关系：；（2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：；（3）直角三角形斜边上的等于斜边的。（4）三边之间的关系：。（5）已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则c=。（已知a、b，求c）a=。（已知b、c，求a）

1b=。（已知a、c，求b）.（三）例题精讲例1、如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高?例2：在Rt△ABC，∠C=90°⑴已知a=b=5，求c。⑵已知a=1，c=2,求b。⑶已知c=17，b=8,求a。⑷已知a∶b=1∶2，c=5,求a。⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。81144xABCD7cmFE（四）课堂基础训练1、求出下列直角三角形中未知的边1030°351045°第3题2、（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=。（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=6，b=8，则c=。（3）已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。3、如图：所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2。

2§18．1勾股定理（二）一、教学目标1．会用勾股定理进行简单的计算。2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。二、重点、难点1．重点：勾股定理的简单计算。2．难点：勾股定理的灵活运用。三、学案1、直角三角形性质有：如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）ACB（1）两锐角之间的关系：；（2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：；（3）直角三角形斜边上的等于斜边的。（4）三边之间的关系：。（5）已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则c=。（已知a、b，求c）a=。（已知b、c，求a）b=。（已知a、c，求b）.2、（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c=。（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=6，c=8，则b=。BC1m2mA实际问题数学模型（3）在Rt△ABC，∠C=90°，b=12，c=13，则a=。四、学习过程（一）例题尝试例1：一个门框的尺寸如图所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？（注意解题格式）当堂练习：如下图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点．测得CB＝60m，AC＝20m，你能求出A、B两点间的距离吗?OBDCＣA例2：长3米的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．①求梯子的底端B距墙角O多少米？②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？③算一算，底端滑动距离的近似值④你还能对例题提供的问题情景进行变式训练吗？（结果均保留两位小数）．

3例3：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3m，消防队员取来6．5m长的云梯，如果梯子的底部离墙基的水平距离是2．5m，请问消防队员能否进入三楼灭火?（三）巩固练习BAC1、一个高1.5米、宽0.8米的长方形门框，需要在其相对的顶点间用一条木条加固，则需木条长为。第2题2、从电杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离为。3、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，圆的直径至少为（结果保留根号）4、一旗杆离地面6m处折断，其顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前高。AEBDC5、如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长100cm，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为60cm，当端点B向右移动20cm时，滑杆顶端A下滑多长？

4§18．1勾股定理（三）一、教学目标1．会用勾股定理解决简单的实际问题。2．树立数形结合的思想。二、重点、难点1．重点：勾股定理的应用。2．难点：实际问题向数学问题的转化。§18．1勾股定理（四）一、教学目标1．会用勾股定理解决较综合的问题。2．树立数形结合的思想。二、重点、难点1．重点：勾股定理的综合应用。2．难点：勾股定理的综合应用。三、学案（一）问题引入：1、你能画出长为cm的线段吗？小组讨论后说说你的办法。2、你能在数轴上找出表示的点吗？请作图说明。3、在数轴上表示、、、……、的点又如何表示呢？4、你能找到、、、、……，在数轴上更简便的画法吗？（二）例题尝试例：用圆规与尺子在数轴上作出表示的点，并补充完整作图方法。步骤如下：1．在数轴上找到点A，使OA＝；2．作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB＝；3．以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点．当堂练习：课本第69页练习第1题例2：已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

5例3：已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。（1）求等边△ABC的高。（2）求S△ABC。（三）小结※在数轴上寻找无理数：①___________________②____________________③。（四）达标训练1、已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。2、已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。3、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。4、在数轴上作出表示的点。5、如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出一个三角形，使三角形的三边长分别是，，。6、（B组）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，∠A=60°，CD=，求线段AB的长。

6§18．2勾股定理的逆定理（一）一、教学目标1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。二、重点、难点1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。2．难点：勾股定理的逆定理的证明。三、学案ABC1、勾股定理：直角三角形的两条_________的平方____等于______的_______，即___________.2、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，、、是△ABC的三边，则（1）。（已知、，求）（2）。（已知、，求）BCA（3）。（已知、，求）3、填空题（1）在Rt△ABC，∠C=90°，8，15，则。（2）在Rt△ABC，∠B=90°，3，4，则。（如图）4、直角三角形的性质（1）有一个角是；（2）两个锐角，（3）两直角边的平方和等于斜边的平方：（4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的边是边的一半．四、学习过程（一）阅读课本第73页，并完成思考题：ABC1、对于一个直角三角形，如果知道任意的两条边，我们可以根据勾股定理的公式及其变形求出第三边，例如Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，试求AB的长？2、如果已知一个三角形的三边分别为5，12，13，你能判断这个三角形的形状吗？3、若一个三角形的三边、、满足，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程．尝试证明你的结论？（二）归纳定理及知识点1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边、、满足，那么这个三角形是直角三角形。2、命题：对一件事情做出的语句。命题由和组成，命题可以改写成“如果……，那么……”的形式。3、逆命题：把一个命题的和调换位置后，称这个命题是原命题的逆命题。4、原命题与逆命题的关系：在一定条件下可以互相转化。原命题成立，逆命题成立（填“一定”或“不一定”）。5、互逆定理：原命题与它的逆命题经过都是正确的，这样的两个定理称为互逆定理。例如勾股定理和它的逆定理就是互逆定理。勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数。（三）例题精讲

7例1：判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形：（1）；（2）．方法小结：给出三边判断组成的三角形是否为直角三角形，应验证“较两边平方和=较大边的平方”，如相等，则是且较长边为斜边，如不相等，则不能组成直角三角形。当堂练习：课本P76习题第1题例2：说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?（1）两条直线平行，内错角相等．（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．（3）全等三角形的对应角相等．（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．当堂练习：课本P76习题第2题（4分钟）（三）达标练习1、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________，能构成直角三角形的是____________．（填序号）①3，4，5②1，3，4③4，4，6④6，8，10⑤5，7，2⑥13，5，12⑦7，25，242、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A．5，6，7B．1，4，9C．5，12，13D．5，11，123、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　）A、a=9，b=41，c=40B、a=b=5，c=C、a∶b∶c=3∶4∶5Da=11，b=12，c=154、若一个三角形三边长的平方分别为：32，42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是（）A．42B．52C．7D．52或75、命题“全等三角形的对应角相等”（1）它的逆命题是。（2）这个逆命题正确吗？（3）如果这个逆命题正确，请说明理由，如果它不正确，请举出反例。

8§18．2勾股定理的逆定理（二）一、教学目标1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。二、重点、难点1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。§18．2勾股定理的逆定理（三）一、教学目标1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。二、重点、难点1．重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。2．难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。三、学案（一）复习练习1、判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形：（1）；（2）（3）2、写出下列真命题的逆命题，并判断这些逆命题是否为真命题。（1）同旁内角互补，两直线平行；解：逆命题是：；它是命题。（2）如果两个角是直角，那么它们相等；解：逆命题是：；它是命题。（3）全等三角形的对应边相等；解：逆命题是：；它是命题。（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等；解：逆命题是：；它是命题。（二）例题精讲例1：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？反思：（1）解应用问题的三个基本过程：建立数学模型→求解数学模型→回到实际问题中去；（2）本题的关键在于判断的形状。

9当堂检验：完成课本P76练习第3题，习题第3题（独立按照格式完成）例2：如图，有一块四边形地ABCD，,m，m，m，ABCDm，求该四边形地ABCD的面积?反思：构造直角三角形是解题的关键。（三）达标练习（5分钟）1．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是()．A．1，2，3B．7，24，25C．5．8，10D．7，12，152．“内错角相等．两直线平行．”的逆命题是.3．一个三角形的两边长分别为4和5，要使三角形为直角三角形．，则第三边为.4．在Rt中,,若,,则.5．在Rt△中,,,,则.6．在Rt中,,,则.7.已知的三边为、、，且，求三角形三个内角度数的比．8.写出下列命题的逆命题，并判断它是否正确．(1)等腰三角形的两底角相等；(2)三角形的三内角之比为l：1：2，则三角形为等腰直角三角形；(3)正方形的四个内角都是直角．9．的三边、、满足．试判断的形状．