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2010-201I学年度第二学期五年级讲义（2011年3月19日）第三讲长方体与正方体练习:1、ー个长方体底面是ー个边长为20厘米的正方形,高为40厘米,如果把它的髙增加5厘米,它的表面积会增加多少?答案:400平方厘米2、把两个相同的正方体拼在ー起成一个长方体,这个长方体的表面积是两个正方体表面积之和的分之.答案:六分之五.设ー个正方体的ー个面积为1,则两个正方体表面积为1x6x2=12.而将两个正方体拼成一ー个长方体之后,这个长方体的表面积是10,它是12的ユ.63、把ー个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体,截成两个长方体,使这两个长方体的表面积之和最大.这时表面积之和是平方厘米.答案:298.把ー个长方体截成两个长方体,只截一次,增加两个横截面,由题意应增加面积为7x6=42（平方厘米）的横截面,其表面之和最大,最大面积为（7x6+7x5+6x5）x2+7x6x2=298（平方厘米）.4、ー个长方体正好可以切成5个同样大小的正方体，切成的5个正方体的表面积比原来长方表面积多了200平方厘米，求原来长方体的表面积?答案：500平方厘米5、一个长方体侧面积是360平方厘米，高是9厘米，长是宽的1.5倍，求它的表面积.答案：6600平方厘米6,用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?［方法一］:［思路］:整体看待面积问题.尸解：不管叠多高,上下两面的表面积总是3x3:再看上下左右四个』ヰ4面，都是2x3+1,所以，总计9x2+7x4=18+28=46.メ.［方法二］:［思路］:所有正方体表面积减去粘合的表面积マ|〕、解:从图中我们可以发现,总共有14个正方体，这样我们知道总共的表面积是：6x14=64,但总共粘合了18个面，这样就减少了!8x1=18,所以剩下的表面积是64-18=46.［方法三］:直接数数.［思路］:通过图形,我们可以直接数出总共有46个面,每个面面积为!,这样总共的表面积就是46.7、把三个棱长是1厘米的正方体拼成一个长方体,这个长方体的表面积是多少，比原来3个正方体表面积之和减少了多少?答案：14平方厘米,减少4平方厘米8、有一一根长52厘米的铁丝，恰好可以焊接成一个长6厘米,宽4厘米，高多少厘米的长方体?答案：3厘米9、用27个体积是1立方厘米的小正方体粘合成一个大正方体，粘合后的大正方体的表面积是多少平方厘米?答案：54平方厘米10、ー个长15厘米，宽6厘米，高4厘米的正方体的木块，可以截成多少块棱长2厘米的正方体木块.答案：42块
111、有一个长方体,它的侧面展开图是个正方形,它的底面也是个正方形,那么底面正方形的边长是长方体高的多少倍?答案:丄412、ー个木料长3米，宽和厚都是20厘米，把它截成4段，表面积增加多少平方米?答案:0.24平方米或者3.6平方米2010-201I学年度第二学期五年级讲义（2011年3月27日）第四讲圆柱与圆锥练习题1.如下图，有六个圆柱体，表面枳都是50.24平方厘米：底面积相等，都是12.56平方厘米。把这六个圆柱连接起来，成为ー个大圆柱,这个大圆柱的表面积是多少平方厘米?0〇〇答案：175.842.同学们在手工课上用硬纸板做底面周长是12.56厘米，高是8厘米的笔筒，每个笔筒至少要用多少平方厘米的硬纸板?（得数保留整数）答案：1143.ー种压路机的前轮是圆柱形状的，轮宽1.6米,直径0.8米。前轮滚动ー周，压路的面积是多少平方米?答案：4.01924.ー个圆柱形粮囤的底面积是6平方米，高4.8米，如果每立方米小麦重0.75吨,这个粮囤存粮多少吨?如果用载重量是4.5吨的卡车将这些粮食ー次全部运走，至少需要几辆卡车?答案：21.6；55.ー根圆柱形木材长20分米，把它截成4个相等的圆柱体。表面积增加了18.84平方分米,截后每段圆柱体积是多少立方分米?答案：15.76.如右图,ー个正方体的纸盒中恰好能放入ー个体积是628立方厘米的圆柱体，求纸盒的容积。答案：8007.用ー块长80厘米、宽60厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面,另找ー块铁皮做底。这样做成的铁桶的容积最大是多少?（精确到1立方厘米）答案:305738.有两个边长为8厘米的正方体盒子。A盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的圆柱体铁块ー个,B盒中放入直径为4厘米、
2高为8厘米的圆柱体铁块四个。现在A盒注满水,把A盒的水倒入B盒,使B盒也注满水。问A盒余下的水是多少立方厘米?答案:〇2.牙膏厂将牙膏口的直径由原来的0.4厘米改为0.5厘米。如果每人每天用牙膏的长度是2厘米左右，一年里每个人大约要比原来多用去多少立方厘米牙膏?答案:51.57453.（1）ー个圆柱的体积是1.8立方分米，与它等底等高的圆锥的体积是（）立方分米。（2）ー个圆锥的体积是1.8立方分米，与它等底等高的圆柱的体积是（）立方分米。答案:0.6；5.411.张师傅要把ー根圆柱形木料,木料的底面直径是2分米，高是3分米，削成一个圆锥。削成的圆锥的体积最大是多少立方分米?答案：3.1412.用长30厘米宽20厘米的铁皮做ー个圆柱形容器的侧面，另取ー块铁皮做底，怎样设计才能使其容积最大。答案：长为高时V=乃x（処）2x30=処四（立方厘米）宽为高时v=竺”（立方厘米）所以以铁皮的宽为圆柱形容器的髙时，容积最大。13.甲乙两个圆柱形水桶容积相同,甲桶底半径是乙桶的1.5倍，乙桶比甲桶搞25厘米，求两个桶的高度。答案：设乙半径为r,则甲半径为1.5r;甲桶高为h,则乙桶高为h+25万x（1.5r）2〃=万パ（厶+25）h=20cm所以甲、乙两个桶的高度分别为20cm和25cm求这个油桶的容积。(201I年414.如图长方形铁皮，用阴影部分刚好做成一个油桶,答案:圆的直径为：16.56チ（1+3.14）=4cm桶髙为两个直径=8cmV=10〇.482010-2011学年度第二学期五年级讲义月16日）第六讲浓度问题
3练习题1.浓度为10%的糖水300克,要把它变成浓度为25%的糖水,需要加糖克.解:300X(1-10%)4-75%-300=60(克)2.有浓度为2.5%的盐水200克,为了制成浓度为5%的盐水,从中要蒸发掉克水.解:200-200X2.5%+5%=100(克)3.有一堆含水量14.5%的煤,经过一段时间的风干，含水量降为10%,现在这堆煤的重量是原来的%,解：954.有浓度为60%和30%的盐水,要配成50%的盐水900克,应在这两种盐水中各取多少克?解:设60%的盐水有x克,则30%的盐水有(900-x)克.60%x+(900-x)X30%=900X50%,解得x=60〇.900-600=300(克).5.甲容器中有浓度为2%的盐水180克，乙容器中有浓度为9%的盐水若干克，从乙中取出240克盐水倒入甲,这时，甲、乙两个容器内的食盐量相等.乙容器中原有盐水多少克?解:(180X2%+240X9%)4-9%+240=520(克).6.A、B、C三个试管盛水若干克，现将浓度为12%的盐水10克倒入A管中，混合后取出10克倒入B管中，混合后再取出10克倒入C管中，结果A、B、C三个试管中盐水的浓度分别为6%、2%、5%三个试管原盛水最多的是哪个试管,盛多少克?解:10xl2%E%-10=20-10=10克——A试管里的水.10x6%+2%-10=30-10=20克——B试管里的水.10x2%+5%=4克盐水，小于10,此时不应加水,应加盐.所以，三个试管原盛水最多的是B试管,盛20克.7.一个容器里装有10升纯酒精,倒出1升后,用水加满，再倒出1升后,用水加满,再倒出一升用水加满，这时容器内的酒精溶液的浓度是多少?解:(1-0.1)x(1-0.1)x(1-0.1)=72.9%,可采取画表格法.8.甲乙两种糖水甲含糖270克,含水30克，乙含糖400克，含水100克，现要得到浓度是82.5%的糖水100克，问每种应取多少克?解：得出甲乙糖水的浓度分别是90%和80%,90-82.5=7.5----这是乙糖水的份，82.5-80=2.5----这是甲糖水的份数，那么甲糖水应取100x2.5/(7.5+2.5)=25克，乙糖水应取100x7.5/(7.5+2.5)=75克.9.将75%的酒精溶液32克稀释成浓度为40%的稀酒精，需加入水多少克?解：稀释时加入的水溶液浓度为〇%(如果需要加入干物质，浓度为100%).32+8x7=28.答：需加水28克.32克75%〇%40%浓度差之比7：8重量比8：7余下货物的丄，乙仓运出的货物相当于余下货物的丄，这时两仓共余下货物327吨,3甲仓原有货物多少吨?乙仓原有货物多少吨?解析这题中两个分率出现有些特殊,单位“1”为余下货物,为了运用浓度问题进行计算,需将単位“ピ转化为全部物品.这样甲运走了它的丄,甲运4走了它的丄,一共运走(420-327)4-420=215140再根据浓度配比计算.答：甲仓原有货物180吨,乙仓原有货物240吨.第七讲行程问题甲喘)乙128テ雨)浓度差之比4:3重量之比3:4ヽ21420吨140コ420吨x六=180吨10.甲乙两个仓库共存放420吨货物，甲仓运出的货物相当于练习:
41.甲、乙两城相距520千米,货车从甲城开至乙城需8小时,客车从乙城开至甲城需10小时,两车同时从甲、乙两地相向而行,几小时后两车还相距52千米?解答:(520-52)4-(5204-8+5204-10)=4小时.2.ー辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两地出发,相向而行,经5小时相遇,相遇后快车继续行驶3小时达到乙地。已知慢车每小时行48千米,求甲、乙两地相距多少千米?解答:(48X54*3+48)X5=640千米.3.甲每小时行7千米,乙每小时行5.5千米，两人同时从甲地出发到乙地，甲行10.5千米后,因忘带东西，又返回原处,取了东西继续向乙地走,后来和乙同时到达乙地，求甲乙两地距离.解答：5.5X(10.5X24-7)4-(7-5.5)=11小时,7X11=77千米.4.甲车每小时行60千米，乙车每小时行50千米,乙车从某站出发2.5小时后,甲车也从这个车站出发去追乙车，求多少小时能追上乙车.解答:50X2.54-(60-50)=12.5小时.5.一列火车全长315米,每秒行驶30米,要经过一座长1035米的大桥,需要多少秒钟?解答：(1035+315)+30=45秒.6.一艘敌舰在离我海防哨所5千米处，正以每分钟400米的速度仓皇逃走,我快艇立即从哨所出发.9分钟后,在离敌舰500米处开炮射击,ー举击沉敌舰,求我快艇的速度比敌舰快多少?解答:(5000+400X9—500)4-9-400=500米.7.在双轨的铁路上，甲、乙两列火车向同一方向行驶，甲车长300米，乙车长240米,甲车每秒行驶45米，乙车每秒行驶30米,求甲车追上乙车后，再经过多少秒超过乙车?解答：(300+240)+(45-30)=36秒.8.两个码头相距600千米,一艘汽艇从甲码头顺水行驶25小时到达乙码头,已知汽艇在静水中每小时行驶20千米,这艘汽艇从乙码头逆流回到甲码头需要多少小时?解答：6004-[20-(6004-25-20)]=37.5小时.9.甲、乙两车分别从相距219千米的东西两城相对开出,甲车以每小时36千米的速度先开出小时后,乙车オ以每小时30千米的速度相对开出,甲车再开出几小时后才能与乙车相遇?解答：(219-36x1.5)+(36+30)=2.5小时.10.ー架飞机执行空投任务,原计划每分钟飞行8千米,为了争取时间,将速度提高到每分钟12千米,结果比原计划早到了40分钟,机场与空投地点相隔多少千米?解答：12X[8X404-(12-8)]=960千米.11.图上正方形48C。是一条环形公路.已知汽车在A8上的速度是90千米/小时，在8c上的速度是120千米/小时,在CD上的速度是60千米/小时，在DA上的速度是80千米/小时.从CO上一点尸，同时反向各发出ー辆汽车，它们将在48中点相遇.如果从PC中点ASNS巨离M,同时反向各发出ー辆汽车,它们将在ん8上一点N处相遇.求B至N距离ーA,CPMD
5解答:两车同时出发至相遇,两车行驶的时间ー样多.题中有两个“相遇”,解题过程就是时间的计算.要计算方便,取什么作计算单位是很重要的.设汽车行驶CD所需时间是1.根汽车行驶BC所需时间是稳］汽车行驶AB所需时间是紧；.汽车行驶AD所需时间是黑=据“走同样距离,时间与速度成反比”,可得出804分数计算总不太方便,把这些所需时间都乘以24.这样，汽车行驶CD,BC,AB,4。所需时间分别是24,12,16,18.从タ点同时反向各发ー辆车，它们在A8中点相遇.尸ー。j4与P-C~*B所用时间相等.PCI:所需时间ー尸。上所需时间=D4所密时间-C8所密时间=18T2=6.而（尸C上所需时间+P。上所需时间）是C£＞上所需时间24.根据’‘和差”计算得PC上所需时间是（24+6）4-2=15,ひハ上所需时间是24-15=9.现在两辆汽车从M点同时出发反向而行，M—pm与Mm所用时间相等.M是PC中点.P—DH与CT-N时间相等,就有BN上所需时间ーAN上所需时间=Pf。ーん所需时间ーC8所需时间=（9+18）T2=15.BN上所需时间+AN上所需时间=48上所需时间=16.立即可求BN上所需时间是15.5,AN所需时间是0.5.A至N距离AN所需时间0.51_B至N距离BN所需时间15.5311.小红傍晚六点钟之后去商场买本，走到商场看到钟表上的时针和分针的夹角是120。，买完本后，走出商场看到钟表上的时针与分针的夹角又是120。，但已近晚上七点钟了，问小红买本用了多少时间?（精确到分）解答:时针相当于例3中的人,分针相当于例3中的列车.从六点两者夹角是180°,同时运动到两者夹角120。,这个过程可以看作是从刚开始相距180T・米，到苜次相距120千米,这时时针在分针的前面,则有相等关系:分针转过的角度+120°=时针转过的角度+180。设首次分针与时针夹角是120°时是6点过ズ分,则有6x+120=0.5x+180,x=10—P1次时针与分针夹角为120°时,分针己经超11过了时针且与时针夹角为120。,这时相当于从六点起分针比时针多走了!80°加上120°,相等关系:分针转过的角度ー时针转过的角度=180。+120°.设时针分针再次夹角为120°时是6点过y分，则有6y-0.5y=180+120,v=54—I则买本11总共用时间为：549-10W=43ユ-44分.1111112010-201I学年度第二学期五年级讲义（2011年4月30日）第ハ讲比与比例问题练习题1.甲乙两个油库所存汽油的桶数的比是5:3,如果从甲库运出180桶到乙库,这时甲乙两库所存油桶数的比就成为2:3,求现在甲库有汽油多少桶?525解1：5+3=8,2+3=5,180+（--）=800,800x-=500,500T80=32〇.858开始是甲500桶,乙300桶,最后甲是320桶,乙480桶.答:现在甲库汽油有320桶.解2:设原来的油库每份为x桶.（5xT80）:（3x+180）=2:3（5xT8O）x3=（3x+180）x2
615xろ40=6x+36015x=6x+9009x=900x=10〇.100x5T80=320（桶）.解3:设原先甲乙两油库的油的桶数分别为5k和3k,则（5kT80）+（3k+180）=2+3，解得k=1002.某班级学生参加大扫除的人数与未参加的人数之比为1:4,后来又有2个同学主动参加大扫除，实际参加的人数与未参加的人数之比为1:3,问这个班级共有多少学生?解:原来1+（1+4）=1+5,现占1+（1+3）=1-^4,多144-1+5=1+20,2+（1+20）=40人.3.三个工程队共有270人，因工作需要，从第一、ニ两队各抽调15人到第三队，这时三个队的人数比是1：3：2,求三个工程队原来各有几人?60,150,60人4.比例尺为12:1的图纸上，精密零件的长度为6厘米，它的实际长度是厘米.根据:实际距离=图上距离+比例尺.可得:6+（12:1）=0.5（厘米）5.自然数A、B满足1/A-1/B=1"82,且A:B=7:13.那么，A+B=.设A=7K,B=13K,1/A-1/B=1/7K-1/13K=6/91K=1/182,故K=12,从而A+B=20K=24〇.6.有一块铜锌合金，其中铜与锌的比是2:3.现在加入锌6克，共得新合金36克,求在新合金内铜与锌的比.解：旧合金重量为36-6=30（克）.铜在旧合金中占2/（2+3）=2/5,旧合金中有铜30x2/5=12（克）,有锌30-12=18（克）.新合金中，铜仍为12克,锌为18+6=24（克）,铜与锌的比为!2:24=1:2.7.一段路程分成上坡、平路、下坡三段,各段路程长之比依次是1:2:3.某人走各段路所用时间之比依次是4:5:6.已知他上坡时速度为每小时3千米.路程全长50千米.问:此人走完全程用了多少时间?解：路占总路程的1/（1+2+3）=1/6,上坡路程为50x1/6=25/3（千米），上坡时间为25/3+3=25/9（小时）.平路时间为25/9x5/4=125/36（小时）,下坡时间为25/9x6/4=150/36（小时）.全程时间为25/9+125/36+150/36=125/12（小时）8.一个圆柱体的容器中，放有一个长方形铁块.现在打开ー个水龙头往容器中注水，3分钟时,水恰好没过长方体的顶面,又过了18分钟，水灌满容器.已知容器的高度是50厘米.长方体的高度是20厘米，那么长方体底面积:容器底面面积等于多少?解：注满容器20厘米高的水与30厘米高的水所用时间之比为20:30=2:3.注20厘米的水的时间为18x2/3=12（分）,这说明注入长方形铁块所占空间的水要用时间为12-3=9（分）.已知长方形铁块高为20厘米，因此它们底的面积比等于它们的体积之比,而它们的体积比等于所注入时间之比,故长方形底面面积:容器底面面积=9:12=3:4.9.小明通常总是步行上学，有一天他想锻炼身体,前1/3路程快跑，速度是步行速度的4倍,后一段的路程慢跑,速度是步行速度的2倍.这样小明比平时早35分到校,小明步行上学需要多少分钟?解：设步行到学校的时间为1份,跑步所用的时间=l/3X+2/3+2=l"2+l/3=5/12份,!份ー5ハ2份=7/12份=35分，所以!份=60分.10.小明步行从甲地出发到乙地,李刚骑摩托车同时从乙地出发到甲地.48分钟后两人相遇,李刚到达甲地后马上返回乙地,在第一次相遇后16分钟追上小明.如果李刚不停地往返于甲、
7乙两地,那么当小明到达乙地时,李刚共追上小明几次?解:当第二次相遇时小明走了16份，李刚走了48*2+16=112份，速度比为1：7,当小明走了1个全程，李刚走了7个全程，追上次数=(7-1)12=3.3.ー项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天,乙就要多做4天,或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天?解:丙2天的工作量,相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4+2=2倍),甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.他们共同做13天的工作量，由甲单独完成,甲需要26天.4.制作一批零件,甲车间要10天完成,如果甲车间与乙车间ー起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间ー起做，需要8天才能完成.现在三个车间ー起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件?解:10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.乙、丙ー起，8天完成.乙完成8x2=16(份),丙完成30-16=14(份),就知乙、丙工作效率之比是!6：14=8：7.已知甲、乙工作效率之比是3：2=12：8.综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是12：8：7.当三个车间ー起做时，丙制作的零件个数是24004•(12-8)x7=4200(个).答:丙车间制作4200个零件.第九讲利润问题[练习]:1.ー种商品先按20%的利润率定价，然后按定价的90%出售，结果获利256元,这种商品的成本是多少?解答：256M(1+20%)x90%-l]=32002.某商店按20%利润定价,然后又按8折出售，结果亏损了64元.问:这ー商品的成本是多少元?1600元.64Xロー(1+20%)X80%]=1600(元).3.某商品按每个5元利润卖出4个的钱数，与按每个20元利润卖出3个的钱数一样多.问这ー商品的每个成本多少元?40元.(20X3-5X4)+(4-3)=40(元)？4.某种密瓜每天减价20%.第一天妈妈按定价减价20%买了3个密瓜，第二天妈妈又买了5个密瓜，两天共花了42元.如这8个密瓜都在第三天买，问要花多少钱?第三天买，只要30.72元.每个密瓜原来定价是424-[(1-0.2)X3+(1-0.2)X(1-0.2)X5)]=7.5(元).第三天买每个价格是7.5X0.8X0.8X0.8=3.84(元)5.成本0.25元的练习本1200本，按40%的利润定价出售.当销掉80%后，剩下的练习本打折扣出售,结果获得的利润是预定的86%,问剩下的练习本出售时是按定价打了什么折扣?
8打了8折.解:先销掉80%,可以获得利润0.25X40%X1200X80%=96.按86%获得利润0.25X40%X1200X86%=103.2.因此,出售剩下的20%,要获得利润!03.2-96=7.2（元）,每本需要获得利润7.24-（1200X20%）=0.03（元）.现在售价是0.25+0.03=0.28（元）,定价是0.25X（1+40%）=0.35（元）.售价是定价的0.28+0.35=80%.1.商品甲的成本是定价的80%,商品乙的定价是275元,成本是220元.现在商店把1件商品甲,与2件商品乙配套出售,并且按它们的定价之和的90%作价出售.这样每套可获得利润80元.问:商品甲的成本是多少元?解:2件商品乙可获得利润275X2X90%-220X2=55（元）.1件商品甲获利润80-55=25（元）.成本是定价的80%,定价是成本的125%.25+（125%X9O%-1）=200（元）.2.某电子产品去年按定价80%出售,能获得20%的利润.由于今年成本降低,按同样定价的75%出售,能获得25%的利润.问今年成本比去年成本下降的百分数是多少?今年成本比去年成本下降!0%.解:设今年定价是1.去年卖出价是0.8.它仍能获得20%的利润,因此去年成本是230.8-?（1+20%）=3.今年成本是0.754-（1+25%）=532_954-3=10,即下降io%.3.北京海淀图书城内九章数学书店对顾客实行ー项优惠,凡购买同一种书100本以上，就按书价90%收款.某学校到书店购买甲、乙两种书,其中乙种书的册数是甲种书的册3数的3,只有甲种书得到了90・的优惠,这时,买甲种书所付钱数是买乙种书所付钱数的2倍.已知乙种书每本定价是15元,问优惠前甲种书每本定价是多少元?甲种书原价每本20元.55买的甲书是乙书的ラ.设打9折后，甲书书价是X,可列出比例式:X:15=2:す,x=18（元），184-90%=20（元）.4.某商店同时卖出两件商品,每件各得60元,但其中一件赚20%,另一件亏本20%,问这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？
9解:一件商品赚20%后是60元,即这件商品原价应为:604-（1+20%）=50（元）。一件商品亏20%后是60元,即这件商品原价应为:60-?（1-20%）=75（元）。.ゝ50+75-2X60=5（元）即商店卖出这两件商品亏了5元。1.一台收录机如果按原售价的"九折”出售可获利?0元,如果按原售价的"九五"折出售可获利100元,那么这台收录机的进货价格是多少元答案:470元2.水果商店以每千克2.6元购进ー批苹果,又以每千克3.4元卖出,当卖出这批苹果的5/6时,不仅收回了购进这批苹果所付的货款,而且还获利56元.这批苹果共有多少千克答案:240千克3.某服装厂生产ー种服装,每件的成本是144元,售价是200元,一位服装经销商定购了120件这种服装,并提出:"如果每件的售价每降低2元,我就多定购6件".按经销商的要求,这个服装厂售出多少件时可以获得最大利润这个最大利润是多少元答案:144件,6912元
102010-2011学年度第二学期四年级讲义（2011年5月8日）第九讲鸡兔同笼与牛吃草问题【鸡兔同笼问题】1.鸡兔同笼,共有30个头,88只脚。求笼中鸡兔各有多少只?答案:鸡：16只,兔：14只2.小明用10元钱正好买了20分和50分的邮票共35张,求这两种邮票名买了多少张?答案：20分的邮票25张,50分的邮票10张。3.三年一班30人共向北京奥运会捐款205元,同学每人了捐了5元或10元,你知道捐5元和10元的同学各有多少人吗?答案：捐了5元的同学有19人,捐10元的有11人。4.松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20个,雨天每天只能采12个。它ー连8天共采了112个松籽,这ハ天有几天晴天几天雨天?答案:晴天2天,雨天6天5.52名同学去划船,•共乘坐11只船,其中每只大船坐6人,每只小船坐4人。求大船和小船各几只?答案:大船4只,小船7只。6.一队强盗ー队狗,二队拼作一队走,数头ー共三百六,数腿ー共八百九,问有多少强盗多少狗?答案:强盗275人,狗85只。7.100个和尚吃了100个面包,大和尚1人吃3个，小和尚3人吃1个。求大小和尚各有多少个?答案:大和尚有25个,小和尚有75个。
11【牛吃草问题】1.有一块牧场,可供10头牛吃20天,15头牛吃10天,则它可供25头牛吃多少天?(200-150)/(20-10)=510*20-5*20=100100/(25-5)=5(天)2.有一块牧场,可供10头牛吃20天,15头牛吃10天,则它可供多少头牛吃4天?(20*10-15*10)=510*20-5*20=100100/4+5=30(头)3.如果22头牛吃33公亩牧场的草,54天后可以吃尽,17头牛吃28公亩牧场的草,84天可以吃尽,那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草,需要多少头牛?答案：354.有一个灌溉用的中转水池,一直开着进水管往里灌水,一段时间后,用2台抽水机排水,则用40分钟能排完;如果用4台同样的抽水机排水,则用16分钟排完。问如果计划用10分钟将水排完,需要多少台抽水机?答案:6台5.ー水池,池底有泉水不断涌出,要想把水池的水抽干,10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽!2小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时?答案：24小时
121.林子里有猴子喜欢吃的野果,23只猴子可在9周内吃光,21只猴子可在12周内吃光,问如果有33只猴子ー起吃,则需要儿周吃光?（假定野果生长的速度不变）答案:4周2.物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款,每一-个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻,超市如果只开设一个收银台,付款开始4小时就没有顾客排队了,问如果当时开设两个收银台,则付款开始几小时就没有顾客排队了答案:0.8小时3.有两个顽皮的孩子逆自动扶梯行驶的方向行走。男孩每秒可以走3级梯级,女孩每秒可以走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端,男孩走了100秒,女孩走了300秒。请问:该扶梯共有多少级梯级?答案：150级4.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经过计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或者供16头牛吃6天,那么这片牧场上的草可供1I头牛吃几天?答案:8天5.有一只船漏了一个洞，水以均匀的速度进入船内,发现漏洞时船已经进了ー些水。如果用12个人淘水，要3个小时才能淘完。如果只有5个人淘水,要10个小时才能淘完。现在要想在2个小时内淘完,需要多少人淘水?答案:17人6.某画展早上10点开门,但早有人排队等候入场，以第一个观众到来时起,每分钟观众来的人数都一样多。如果开了3个入场ロ,9分钟以后就不再有人排队;如果开5个入场口,5分钟以后就没有人排队。请问:第一个观众是甚么到来的?答案：早上9点15分2010-201I学年度第二学期四年级讲义（2011年5月8日）第九讲鸡兔同笼与牛吃草问题【鸡兔同笼问题】8.鸡兔同笼,共有30个头,88只脚。求笼中鸡兔各有多少只?
138.小明用10元钱正好买了20分和50分的邮票共35张,求这两种邮票名买了多少张?答案:20分的邮票25张,50分的邮票10张。9.三年一班30人共向北京奥运会捐款205元,同学每人了捐了5元或10元,你知道捐5元和10元的同学各有多少人吗?答案:捐了5元的同学有19人,捐10元的有11人。10.松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20个,雨天每天只能采12个。它ー连8天共采了112个松籽,这ハ天有儿天晴天几天雨天?答案:晴天2天,雨天6天11.52名同学去划船，ー共乘坐11只船,其中每只大船坐6人，每只小船坐4人。求大船和小船各儿只?答案:大船4只,小船7只。12.ー队强盗ー队狗,二队拼作一队走,数头ー共三百六,数腿一共八百九,问有多少强盗多少狗?答案:强盗275人,狗85只。13.100个和尚吃了100个面包,大和尚1人吃3个,小和尚3人吃1个。求大小和尚各有多少个?答案:大和尚有25个,小和尚有75个。【牛吃草问题】12.有一块牧场,可供10头牛吃20天,15头牛吃10天,则它可供25头牛吃多少天?(200-150)/(20-10)=510*20-5*20=100100/(25-5)=5(天)13.有一块牧场,可供10头牛吃20天,15头牛吃10天,则它可供多少头牛吃4天?(20*10-15*10)=510*20-5*20=100100/4+5=30(头)14.如果22头牛吃33公亩牧场的草,54天后可以吃尽,17头牛吃28公亩牧场的草,84天可以吃尽,那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草,需要多少头牛?
14答案:3512.有一个灌溉用的中转水池,一直开着进水管往里灌水,•段时间后,用2台抽水机排水,则用40分钟能排完;如果用4台同样的抽水机排水,则用16分钟排完。问如果计划用10分钟将水排完,需要多少台抽水机?答案:6台13.一水池,池底有泉水不断涌出,要想把水池的水抽干,10台抽水机需抽8小时,8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时?答案:24小时14.林子里有猴子喜欢吃的野果,23只猴子可在9周内吃光,21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子ー起吃,则需要几周吃光?（假定野果生长的速度不变）答案:4周18,物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款,每ー个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻,超市如果只开设ー个收银台,付款开始4小时就没有顾客排队了,问如果当时开设两个收银台,则付款开始几小时就没有顾客排队了答案:0.8小时19.有两个顽皮的孩子逆自动扶梯行驶的方向行走。男孩每秒可以走3级梯级，女孩每秒可以走2级梯级,结果从扶梯的一端到达另一端,男孩走了100秒,女孩走了300秒。请问:该扶梯共有多少级梯级?答案:150级20.由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天以均匀的速度减少。经过计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或者供16头牛吃6天,那么这片牧场上的草可供11头牛吃几天?答案:8天21.有一只船漏了一个洞,水以均匀的速度进入船内,发现漏洞时船已经进了一些水。如果用12个人淘水,要3个小时才能淘完。如果只有5个人淘水,要10个小时才能淘完。现在要想在2个小时内淘完,需要多少人淘水?答案:17人22.某画展早上10点开门,但早有人排队等候入场,以第一个观众到来时起,
15每分钟观众来的人数都一样多。如果开了3个入场ロ,9分钟以后就不再有人排队;如果开5个入场口,5分钟以后就没有人排队。请问:第一个观众是甚么到来的?答案:早上9点15分2010-2011学年度第二学期四年级讲义（2011年5月8日）第九讲鸡兔同笼与牛吃草问题【鸡兔同笼问题】15.鸡兔同笼,共有30个头,88只脚。求笼中鸡兔各有多少只?答案:鸡:16只,兔:14只16.小明用10元钱正好买了20分和50分的邮票共35张，求这两种邮票名买了多少张?答案:20分的邮票25张,50分的邮票10张。17.三年一班30人共向北京奥运会捐款205元，同学每人了捐了5元或10元,你知道捐5元和10元的同学各有多少人吗?答案:捐了5元的同学有19人,捐10元的有11人。18.松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20个,雨天每天只能采12个。它ー连8天共采了112个松籽,这ハ天有几天晴天几天雨天?答案:晴天2天,雨天6天19.52名同学去划船,ー共乘坐11只船,其中每只大船坐6人,每只小船坐4人。求大船和小船各几只?答案:大船4只,小船7只。20.ー队强盗ー队狗,二队拼作一队走,数头ー共三百六,数腿・共八百九,问有多少强盗多少狗?答案:强盗275人,狗85只。21.100个和尚吃了100个面包，大和尚1人吃3个,小和尚3人吃1个。求大小和尚各有多少个?
16【牛吃草问题】23,有一块牧场,可供10头牛吃20天,15头牛吃10天,则它可供25头牛吃多少天?(200-150)/(20-10)=510*20-5*20=100100/(25-5)=5(天)24.有一块牧场,可供10头牛吃20天,15头牛吃10天,则它可供多少头牛吃4天?(20*10-15*10)=510*20-5*20=100100/4+5=30(头)25.如果22头牛吃33公亩牧场的草,54天后可以吃尽,17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽,那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草,需要多少头牛?答案:3526.有一个灌溉用的中转水池,一直开着进水管往里灌水,一段时间后,用2台抽水机排水,则用40分钟能排完;如果用4台同样的抽水机排水,则用16分钟排完。问如果计划用10分钟将水排完，需要多少台抽水机?答案:6台27.一水池,池底有泉水不断涌出,要想把水池的水抽干,10台抽水机需抽8小时,8台抽水机需抽12小时,如果用6台抽水机,那么需抽多少小时?答案：24小时28.林子里有猴子喜欢吃的野果,23只猴子可在9周内吃光,21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子ー起吃,则需要几周吃光?(假定野果生长的速度不变)答案:4周29,物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款,每ー个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻,超市如果只开设ー个收银台,付款开始4小时就没有顾客排队了,问如果当时开设两个收银台,则付款开始儿小时就没有顾客排队了答案：0.8小时30.有两个顽皮的孩子逆自动扶梯行驶的方向行走。男孩每秒可以走3级梯级,女孩每秒可以走2级梯级,结果从扶梯的一端到达另一端,男孩走了100秒,女孩走了300秒。请问:该扶梯共有多少级梯级?
17答案:150级30.由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天以均匀的速度减少。经过计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或者供16头牛吃6天,那么这片牧场上的草可供1I头牛吃几天?答案:8天31.有一只船漏了一个洞,水以均匀的速度进入船内,发现漏洞时船已经进了ー些水。如果用12个人淘水,要3个小时才能淘完。如果只有5个人淘水,要10个小时才能淘完。现在要想在2个小时内淘完，需要多少人淘水?答案:17人32.某画展早上10点开门，但早有人排队等候入场，以第一个观众到来时起,每分钟观众来的人数都一样多。如果开了3个入场ロ,9分钟以后就不再有人排队;如果开5个入场口,5分钟以后就没有人排队。请问:第一个观众是甚么到来的?答案：早上9点15分练习题:1.把ー堆苹果分给8个朋友,要使每个人都能拿到苹果,而且每个人拿到苹果个数都不同的话,这堆苹果至少应该有几个?2.图中是一个堆放铅笔的V形架,如果最上面一层放60支铅笔.问ー共有多少支铅笔?3.在1〜100这ー百个自然数中所有不能被11整除的奇数的和是多少?4在2949,2950,2951,…2997,2998这五十个自然数中,所有偶数之和比所有奇数之和多多少?5.求一切除以4后余1的两位数的和?6.ー个剧场设置了20排座位,第一排有38个座位,往后每ー排都比前ー排多2个座位.这个剧场ー共设置了多少个座位?7.小明和小刚赛跑,限定时间为10秒,谁跑的距离长谁胜.小刚第一秒跑了1米，以后每秒都比前面一秒多跑0.1米;小明从始至终每秒都跑!.5米.问两人谁能取胜?8.若干个同样的盒子排成一排,小明把50多个同样的棋子分装在盒中,其中只有一个盒子没有
18装棋子.然后他外出了，小光从每个有棋子的盒子里各拿了一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排列了一下.小明回来仔细查看了一番,没有发现有人动过这些盒子和棋子•问共有多少个盒子?5.小刚计算从1开始若干个连续自然数的和,结果误把1当成10来算,得错误结果恰为100.你能帮助小刚纠正错误吗?小刚算的是哪些自然数的和?6.有10只盒子,44只乒乓球,能不能把44只乒乓球放到盒子中去,使各盒子里的乒乓球数不相等?11.ー个正三角形A8C,每边长1米,在每边上从顶点开始每隔2厘米取一点,然后从这些点出发作两条直线,分别和其他两边平行（如图）.这些平行线相截在三角形ABC中得到许多边长为2厘米的正三角形.求边长为2厘米的正三角形的个数.1+2+3+4+5+6+7+8=(1+8)X8+2=9X8+2=72+2=36(个).2.1830.从最底层到最上层每ー层堆放的铅笔支数组成一个等差数列,所以一共放铅笔.(1+60)X604-2=61X60+2=3660+2=1830(支).3.2009.(1+3+5+7+…+97+99)-(11+22+33+44+55+66+77+88+99)=(1+99)X504-2-E(11+99)X4+55]=2500-495=2005.4.25.根据题意可列出算式:(2950+2952+―+2998)-(2949+2951+―+2997)注意到这两个等差数列的项数相等,公差相同,且对应项差为1,所以25项就差25个1I即原式=(1950-1949)+(1952T951)+-+(1998-1997)=1+1+1+…+1
192.1210.除以4后余1的最小两位数是多少?12+1=13.除以4后余1的最大两位数是多少?96+1=97.除以4后余1的两位数-共有多少个?96+4-2=22(个).它们的和是:13+17+21+…+97=(13+97)X224-2=1210.3.1140.第20排有多少个座位?38+2X(20-1)=76(个).这个剧场ー共设置了多少座位?38+40+42+—+74+76=(38+76)X204-2=1140(个).4.小明胜.小刚10秒跑多少米?1+1.1+1.2+—+1.9=1+(1.1+1.9)X94-2=14.5(米).小明10秒跑了多少米?1.5X10=15(米).因为15米>14.5米,所以小明胜.8.11.由于小明有一个盒子没有放棋子,而小光在有棋子的盒子中各取ー个后都放在原先的空盒中,这时又应出现ー个空盒,也就是说小明有一个盒子只放了一个棋子.同样道理也有一个盒子放了2个棋子.依次类推,小明的放法为:〇,1,2,3,…因为0+1+2+3+…+10=(1+10)X10+2=55,所以ー共有11个盒子.9.1,2,3,4,,,,,13.多加了多少?10T=9.正确的和应是多少?100-9=91.因为1+2+3+—+13=(1+13)X134-2=91.所以,小刚算的是1,2,3,4,-,13这!3个连续自然数的和.10.不能.按最少量计算:0+1+2+-+9=45,而45>44,所以原题不能.11.2500.从图中不难看岀边长为2厘米的三角形的个数:第一层有1个;第二层共有3个;第三层共有5个.于是想到共有几层,最底层共有多少个.边长为2厘米的三角形的个数实际上就是从1开始连续50个单数的和;1+3+5+―+99
20=(1+99)X504-2=2500(个).练习题:1.ー个数四舍五入到百分位,结果是3.45,这个五位小数最大是多少?最小是多少?最大:3.45499最小:3.445002.三个数的和是!44,则符合这样的三个数的积最大是多少?48x48x48=1105923.ー个长方体的长、宽、高的和等于36分米，当这个长方体的长、宽、高分别是多少时，这个长方体的体积最大?长=12分米宽=12分米高=12分米4.有一个三位数字，能组成六个不同的三位数，它们相加的和是2886,求其中最小的ー个是多少?2886+222=13其中最小的ー个是;1395.有34吨货物，从甲城运往乙城,大卡车的载重量是5吨,小卡车的载重量是3吨，两种卡车的耗油量分别是10公升和7.2公升，问用多少辆大卡车和小卡车来运输耗油量最少?7辆大卡车!6、各位数字互不相同且能被72整除的八位数，那么这个ハ位数最小是多少?最大是多少?能被72整除的数字能同时被8和9整除最大的8位数是99,999,999,能被9整除，因为这个数+1能被8整除，所以这个数除以8余7、因为9除以8余1所以这个数减去7*9是最大的能同时被8和9整除的8位数，即99,999,999-63=99,999,936最小的8位数是10,000,000,能被8整除，除以9余1,所以最小的能整除72的8位数是：10,000,0088、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯•次都要损耗1毫米的钢管,那么只有当锯得的38毫米的钢管和90毫米的钢管各多少段时，所损耗的钢管才能最少?分析:要使损耗的钢管最少，应该使锯的次数最少，而且1米长的钢管不要有剩余。解：设38毫米、90毫米的钢管分别锯了x段、y段，ー共需要锯(x+y-1)次，由题意得:338x+90y+(x+y-1)=1000,并且要使x+y最小，化简方程得y=ll一一X,由于x、y都是正整数，得：=7(x=14(x=21レ=8レ=5レ=2要使锯的次数最少，应取x=7,y=8即当锯得38毫米的钢管7段,90毫米的钢管8段时,才能使钢管的损耗最少。9.用10元钱买4角、8角、1元的画片共15张,则最多可买1元的画片几张?解:设1元的画片买了x张,8角的画片买了y张,则4角的画片买了(15-x-y)张,共用了10元钱,可列方程:0.4(15-x-y)+0.8y+x=1020-2yハ2(1つ)X==6+即2y+3x=20,33,x最大,y应该最小,故y=l,x=6,15-x-y=8
21因此,1元的画片最多买6张说明:此题也可以ーー试验,从买9张1元的开始,逐渐减少，直到买6张为止。9.已知2不大于A,A小于B,B不大于15,A和B都是自然数,求的最小值.AB解：由题意知2WA
22b=2；a=3,b=3不难得出当a=3,b=3时，24a+168b为24的平方，贝リa+b的最小值是6。如果a+b的最小值很大,显然这种方法是不太好的。下面我们换ー种方法来做。解:24a+168b=2ZX2X3X（a+7b）,又a,b为正整数，则a+7b28,鞭22X2X3X（a+7b）是完全平方数,则a+7b必有因数6XK:K是正整数。要使a+b的值最小,则K应该最小。因此K=2,当K=2时,a+7b=24即当a=3,b=3时,a+b的值最小是6,此时24a+168b是24的平方。第七讲工程问题练习题1.甲、乙两个打字员4小时共打字3600个.现在二大同时工作，在相同时间内，甲打字2450个，乙打字2050个.求甲、乙二大每小时各打字多少个?分析:已知条件告诉我们:"在相同时间内甲打字2450个,乙打字2050个.”既然知道了”时间相同”,问题就容易解决了.题目里还告诉我们:"甲、乙二大4小时共打字3600个.”这样可以先求出”甲乙二人每小时打字个数之和”,就可求出所用时间了.解:①甲、乙二人每小时共打字多少个?3600^4=900（个）②”相同时间”是几小时?（2450+2050）4-900=5（小时）③甲打字员每小时打字的个数:2450+5=490（个）④乙打字员每小时打字的个数:2050+5=410（个）答：甲打字员每小时打字490个，乙打字员每小时打字410个.2.抄一份书稿,甲每天的工作效率等于乙、丙二大每天的工作效率的和;丙每天的工作效率相当于甲、乙二人每天工作效率之和的丄;如果三人合抄只需8天就完成了,那么乙一人单独抄需多少天才能完成?答案：1+--r|1+—|——4-2=24（天）._8I5）8_
231.一ー项工程,甲独做需10天,乙独做需15天,如果两人合作,甲的工作效率就要降低,只能完成原来的二,乙只能完成原来的ユ,现在要8天完成这项工程,两人合作天数尽可能少,那么两人要510合作多少天?答案:设两人要合作x天,依题意得:—（8—X）4x=1,故x=5（天）.10502.师徒三人合作承包ー项工程,4天能够全部完成.已知师傅单独做所需天数与两个徒弟合作所需天数相等;而师傅与乙徒弟合作所需天数的2倍与甲徒弟单独做完所需的天数相等.那么甲徒弟单独做,完成这项工程需要多少天?乙徒弟单独做,完成这项工程需要多少天?1チト2一:+3）=24（天）.3.某车间要加工ー批零件,原计划由!8人,每天工作8小时,7.5天完成任务.由于缩短工期,要求4天完成任务，可是又要增加6人.求每天加班工作几小时?分析:我们把1个工人工作1小时，作为1个エ时.根据已知条件,加工这批零件，原计划需要多少，，エ时，，呢?求出“工时”数，使我们知道了工作总量.有了工作总量，以它为标准，不管人数增加或减少，工期延长或缩短，仍然按照原来的工作效率，只要能够达到加工零件所需"エ时"总数，再求出要加班的工时数，问题就解决了.解：①原计划加工这批零件需要的"エ时"：8x18x7.5=1080（工时）②增加6人后每天工作几小时?1080-?（18+6）44=11.25（小时）③每天加班工作几小时?11.25-8=3.25（小时）答：每天要加班工作3.25小时.4.甲、乙、丙三人从三月一日开始合作ー项工程,甲每天的工作量是乙每天工作量的3倍,乙每天的工作量是丙每天工作量的2倍.三人合作5天完成全工程的丄后,甲休3天,乙休2天,3丙没有休息,问这项工程是在几月几n完成的?甲的工作效率为丄x15=已,乙的工作效率为」-X45152135丙的工作效率为ーx15B5乙丙三天干了12+丄］メ3=丄,甲丙二天干了（135135丿15整个工作剩下111143-1513567135
24由甲乙丙合干还要包1351145135135=7产完成此项工作共需5+3+2+7±=17土（天）,即3月18日完成.1.ー个蓄水池装了一根进水管和三根放水速度ー样的出水管.单开ー根进水管20分钟可注满空池.单开一根出水管,45分钟可以放完满池水.现有ヱ池的水,如果四管齐开,多少分钟后池水3还剩工?52_23~5も34=16（分）.2.ー空水池有甲、乙两根进水管和一・根排水管.单开甲管需5分钟注满水池,单开乙管需10分钟注满水池,满池水如果単开排水管需6分钟流尽.某次池中没有水,打开甲管若干分钟后,发现排水管未关上,随即关上排水管,同时打开乙管,又过了同样长的时间,水池的1/4注了水.如果继续注满水池,前后ー共要花多少时间?答案:设注满池中丄的水需x分钟,故有继续注满池中水的1一一=一需要一十44435共需时间ヨ+±=4（分）.223.有一个蓄水池装有9根水管,其中一根为进水管,其余8根为相同的出水管,进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水.后来有人想打开出水管,使池内的水全部排光（这时池内已注入一些水）.如果把8根出水管全部打开,需3小时把池内的水全部排光;如果仅打开5根出水管,需6小时把池内的水全部排光.问要想在4.5小时内把池内的水全部排光,需同时打开几根出水管?答案:将每根进水管每小时的进水量看作单位1,则每根出水管每小时的排水量为（5x6-8x3）+（6-3）=2,而池中原有水量为5x6-2x6=18,从而要想在4.5小时内把池中水抽干,需要打开2+18+4.5=6（根）出水管.4.蓄水池有甲、丙两条进水管,和乙丁两条排水管.要灌满ー池水,单开甲管需要3小时,单开丙管需要5小时,要排光・池水,单开乙管需要4小时,单开丁管需要6小时.现在池内有と池
25水,如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的顺序,轮流各开ー小时,多少时间后水开始溢出水池?按甲、乙、丙、丁顺序各开ー小时水池中进水丄ー丄+丄ー丄=ユ.345660这样5个周期（即20小时）后,池中有水一4x5=—,再开甲管注满水池需时1-2133—=—（小时）,34故ー共要20+ビ=20三（小时）开始溢出.44练习题1.ー只船在河里航行,顺流而下每小时行18千米.已知这只船下行2小时恰好与上行3小时所行的路程相等.求船速和水速。解逆水速度:18X2+3=12（千米/小时）顺水速度:18（千米/小时）船速：（12+18）4-2=15（千米/小时）水速:（18-12）+2=3（千米ノ小时）2.两个码头相距352千米,一船顺流而下,行完全程需要11小时,逆流而上,行完全程需要16小时,求这条河水流速度。解逆水速度:352+16=22（千米/小时）顺水速度：352+11=32（千米/小时）水速：（32-22）4-2=5（千米/小时）3.两列火车相向而行，从碰ヒ到错过用了15秒，甲车车身长210米，车速是每秒18米:乙车速是每秒12米,乙车车身长多少米?解（18+12）xl5-210=240（米）4.两列火车相向而行,从碰上到错过用了10秒，甲车车身长180米，车速是每秒18米;乙车车身长160米，乙车速是每秒多少米?解（180+160）+10-18=16（米）5.甲火车从后面追上到完全超过乙火车用了110秒,甲火车身长120米，车速是每秒20米,乙火车车速是每秒18米，乙火车身长多少米?解（20—18）xll0-120=100（米）6.甲火车从后面追上到完全超过乙火车用了31秒,甲火车身长150米，车速是每秒25米,乙火车身长160米,乙火车车速是每秒多少米?解25-（150+160）+31=15（米）7.一列火车长150米，每秒钟行19米。全车通过长800米的大桥，需要多少时间?解（800+150）+19=50（秒）8.一列火车长200米，以每秒8米的速度通过一条隧道,从车头进洞到车尾离洞,ー共用了40秒。这条隧道长多少米?解火车40秒所行路程:8x40=320（米）隧道长度：320-200=120（米）9.一列火车长119米,它以每秒15米的速度行驶,小华以每秒2米的速度从对面走来,经
26过几秒钟后火车从小华身边通过?解火车与小华的速度和:15+2=17（米/秒）相距距离就是ー个火车车长:119米经过时间:119-5-17=7（秒）1.一列火车通过530米的桥需40秒钟，以同样的速度穿过380米的山洞需30秒钟。求这列火车的速度是每秒多少米?车长多少米?解火车速度:（530-380）+（40-30）=150+10=速（米/秒）火车长度：15x40-530=70（米）2.一人以每分钟60米的速度沿铁路边步行,一列长144米的客车对面而来,从他身边通过用了8秒钟,求列车的速度.解人8秒走的距离=车身长-车8秒走的距离（144-60+60X8）+8=17（米/秒）3.甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去,已知学校到少年宫的距离是2400米,甲到少年宫后立即返回学校,在距离少年宫300米处遇到乙,此时他们离开学校ー30分钟.甲,乙每分钟各走多少米?解:甲90米/分;乙70米/分.速度差=300X2+30=20（米/分）速度和=2400X24-30=160（米/分）甲:（160+20）+2=90（米/分）乙:（160-20）+2=70（米/分）练习答案:1、ー个数的小数点向左移动一位，比原数小0.72,原数是多少?0.72+（10—1）x10=0.82、甲数减去878,就等于乙数,如果甲数加上1142,就等于乙数的5倍.甲、乙两数各是多少?（878+1142）4-（5-1）=505505+878=13833、把数字5写到一个三位数的左边,再把得到的四位数加上400,它们的和是这个三位数的55倍，这个三位数是多少?（5000+400）+（55-1）=1004、甲在银行存款4000元,乙在银行存款2000元。两人从银行中取出同样多的钱后，甲的存款是乙存款的5倍。两人各取出多少元?2000—（4000—2000）+（5-1）=15005、甲有糖果120颗,乙有糖果30颗,甲给乙多少颗糖时，甲的糖果数是乙的2倍?分析解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量.从已知条件中得出，不管甲给乙多少颗糖，还是乙从甲得到多少颗糖,甲、乙两人糖果总和是不变的量.最后要求甲的糖果是乙的2倍,那么甲、乙两人糖果总和相当于乙现有糖果数的3倍.依据解和倍问题的方法,先求出乙现有糖果多少颗，再与原有糖果数相比较，可以求出甲给乙多少颗糖.解：①甲、乙两人共有糖果数是：30+120=150（颗）②甲给乙若干颗糖后，甲、乙两人共有的倍数是：2+1=3（倍）
27③乙现有的糖果数是:15g3=50（颗）④甲给乙糖果数是:50-30=20（颗）综合算式：（30+120）+（2+1）=50（颗）50-30=20（颗）答：甲给乙20颗糖后,甲的糖果数是乙的2倍。验算（120-20）チ（30+20）=2（颗）（120-20）+（30+20）=150（颗）。6、A、B、C三条公路,B公路的长度是A公路的2倍,C公路比B公路的3倍还多15千米，A公路比C公路短230千米，三条公路各长多少千米?（230-15）+（2x3-1）=4343x2=8643+230=2737、你今年10岁,5年前你母亲的年龄是你的6倍，你母亲今年多少岁?分析与解:你今年10岁,5年前的年龄为5岁,那么5年前母亲的年龄为5x6=30（岁），因此母亲今年是30+5=35（岁）.8、小红全家人的年龄加在ー起，刚好是90岁。小红的爸爸比妈妈大3岁，小红比妹妹大5岁.但是,8年前,他们全家人的年龄和刚好是60岁.想ー想，小红家四人今年各是几岁?90-60-3x8=66+5=11（90—6—11—3）+2=3535+3=38求现在各人的年龄.甲所以丙9岁,同理,乙:9+3=12岁,丙:12+3=15岁9、有老师和甲乙丙三个学生，现在老师的年龄刚好是三个学生的年龄和:9年后，老师年龄为甲、乙两个学生的年龄和;又3年后，老师年龄为甲、丙两个学生的年龄和;再3年后,老师年龄为乙、丙两个学生的年龄和.解答;老师=甲+乙+丙，老师+9=甲+9+乙+9,比较一下这两个条件，很快得到丙的年龄是9岁；同理可以得到乙是9+3=12岁,甲是9+3+3=15岁，老师是9+12+15=36岁.10、全家4口人,父亲比母亲大3岁,姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家的年龄和为58岁,而现在是73岁。问:现在各人的年龄是多少?解答:73-58=15^x4,我们知道四个人四年应该增长了4x4=16岁，但实际上只增长了15岁，为什么呢?是因为在4年前，弟弟还没有出生,那么弟弟今年应该是几岁呢?我们可以这样想：父亲、母亲、姐姐三个人4年增长了12岁，15-12=3,3就是弟弟的年龄!那么很快能得到姐姐是3+2=5岁，父母今年的年龄和是73-3-5=65岁,根据和差问题，就可以得到父亲是（65+3）+2=34岁，母亲是65-34=31岁.ー、还原问题练习题：1.某数加上6,乘以6,减去6,除以6,其结果等于6,则这个数是多少?解答:（6x6+6）^6-6=1,这个数是1.2.两个两位数相加,其中一个加数是73,另ー个加数不知道,只知道另ー个加数的十位数字增加5,个位数字增加1,那么求得的和的后两位数字是72,问另ー个加数原来是多少?解答:和的后两位数字是72,说明另ー个加数变成了99,所以原来的加数是99-51=48.3.有砖26块,兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖,哥哥赶到了。哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半。弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半。哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块?解答：先算出最后各挑几块：（和差问题）哥哥是（26+2）+2=14,弟弟是26-14=12,然后来还原:1.哥哥还给弟弟5块:哥哥是14-5=9,弟弟是12+5=17；2.弟弟把抢走的一半还给哥哥:抢走了一半,那么剩下的就是另一半,所以哥哥
28就应该是9+9=18,弟弟是17-9=8；2.哥哥把抢走的一半还给弟弟:那么弟弟原来就是8+8=16块.4.甲、乙、丙三人钱数各不相同,甲最多，他拿出ー些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多;接着乙拿出ー些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍,结果丙的钱最多;最后丙拿出ー些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍,结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有81元,那么三人原来的钱分别是多少元?解答：三人最后ー样多，所以都是81+3=27元,然后我们开始还原:1.甲和乙把钱还给丙:每人增加2倍,就应该是原来的3倍,所以甲和乙都是27+3=9,丙是81-9-9=63；2.甲和丙把钱还给乙:甲9+3=3,丙63+3=21,乙81-3-21=57；3•最后是乙和丙把钱还给甲:乙57+3=19,丙21+3=7,甲81-19-7=55元.5.甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来ー些，使自己的糖豆增加了一倍;接着乙从丙处取来ー些,使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来ー些,也使自己的糖豆增加了一倍。现在三人的糖豆ー样多。如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆?解答:先假设后来三个人都是4份，还原后得到甲、乙、丙分别是3份,5份,4份，实际上甲原来有51粒，51+3=17,那么我们可以把1份看成17粒,所以乙最开始有糖豆17x5=85粒.6.有一筐苹果，把它们三等分后还剩2个苹果;取出其中两份,将它们三等分后还剩两个;然后再取出其中两份,又将这两份三等分后还剩2个。问:这筐苹果至少有几个?解答:如果最后的1份只有1个的话,我们很快就可以发现前面的11份嫗（1x3+2）-2=2.5个，这是不可能的，所以最后的那一份至少是2个，那么这筐苹果原来至少有：（2x3+2）+2x3+2=23个.7.兄弟三人分24个桔子,每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二,接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大,最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三,这时每人的桔子数恰好相同。问：兄弟三大的年龄各多少岁?分析与解:由于总共有24个桔子,最后三人所得到的桔子数相等,因此每人最后都有24+3=8（个）桔子。山此列表逆推如下表：老大老二老三初始伏态14-(24-2)=138-(2+2)=72X2=4老三分过后老二分过后16—(4-5-2)=148X2=164X2=88—(8+2)=44—(44-2)=28—(84-2)=4老大分过后888由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13,7,4个，现在的年龄依次为16,10,7岁。逆推时注意，拿出桔子的人其桔子数减少了一半，逆推时应乘以2；另两人各增加拿出桔子的人拿出桔子数的一半，逆推时应减去拿出桔子数的一半。二、盈亏问题1.少先队员去植树,如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖;如果其中两人各挖4个树坑,其余每人挖6个树坑,就恰好挖完所有的树坑。请问,共有多少名少先队员?共挖了多少树坑?【分析】:解这道题的关键在于条件的转换，把“如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑”转换成“每人挖6个树坑，还差2x（6-4）个树坑。”则本题成为“ー盈ー亏”的盈亏问题;对比两个条件，因为每人多挖（6-5）ー个;所以就要多挖（3+2x（6-4））个,这样就可求出人数,继而求出树坑数。在这里我们把两个条件中每人挖的差（6-5）叫分差，因两个条件中每人挖的数量不同而产生的差叫总差。本题中:总差+分差=人数:推广可得:两次分配的差叫分差,
29总差分3种:一盈ー亏中:盈+亏=总差;在双盈或双亏中:大数一小数=总差;总差+分差=份数份数在不同的题目中表示不同的意思。解（3+2x（6-4））+（6-5）=7（人）7x5+3=38（个）-ー树坑数答：共挖了38个树坑。1.钢笔与圆珠笔每支相差1元2角,小明带的钱买5支钢笔差1元5角,买8支圆珠笔多6角。问小明带了多少钱?【分析】：关键在于条件的转换，要么都转换成钢笔，要么都转换成圆珠笔，解1:都转换成钢笔:买5支钢笔差15角，买8支钢笔差（12x8-6）90角,这是双亏:分差是（8-5）3支,总差是（90-15）75角，就是说多买3支，就多差75角:这样就可求出1支钢笔多少钱;继而求出小明带了多少钱。（（12x8-6）-15）+（8-5）=75+3=25（角）-ー钢笔的价钱25x5-15=125-15=110（角）=11（元）-一小明带得钱数解2:都转换成圆珠笔;买5支圆珠笔多（12x5-15）45角，买8支圆珠笔多6角。（（12x5-15）-6）+（8-5）=39+3=13（角）一圆珠笔的价钱13x8+6=104+6==110（角）=11（元）--小明带得钱数2.某校到了一批新生，如果每个寝室安排8个人,要用33个寝室;如果每个寝室少安排2个人,寝室就要增加10个,问这批学生可能有多少人?【解答】:关键在于条件的理解，每个寝室安排8个人，要用33个寝室;因没说盈或亏,我们只能认为至少有:（33—1）x8+1=257（人）;至多有:33x8=264（力:每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，也没说盈或亏，我们也只能认为至少有：（33+10-1）x（8-2）+1=253（人）;至多有:（33+10）x（8-2）=258（人）;根据这两个条件可以得到人数在257与258之间。（至少取大数，至多取小数,）3.有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部分给第一组,那么每人4本,有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组,那么每人3本，有剩余;每人4本，书不够。问第二组有多少人?【解答】:因分给第一组,那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。说明第一组的人数不到48%=12人，多于（48+5=9…3）9个人，即10到11人；同理，第二组不到48+3=16人，又多与48X=12人，即13到15人,因15-10=5（人）；由此可知:第一组是10人，第二组是15人。4.用绳测井深,把绳三折，井外余2米，把绳四折，还差1米不到井口，那么井深多少米?绳长多少米?【分析】:绳三折，井外余2米，说明绳子比井深的3倍多（3x2）6米；绳四折,还差1米不到井口,说明绳子比井深的4倍少（4x1）4米，总差:（因多1折，就差）；（3x2）+（4x1）；分差:（4-3）:这样可求出井深。解（（3x2）+（4x1））+（4-3）=104-1=10（米）一井深10x3+2x3=36（米）--绳长5.有一个班的同学去划船。他们算了一下,如果增加1条船,正好每条船坐6人:如果减少1条船，正好每条船坐9个人。问:这个班共有多少名同学?【分析】：条件可以这样理解，每条船坐6人，多6人;每条船坐9人，差9人。解（9+6）+（9-6）=5（条）：5x6+6=36（人）6.“六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等。花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个。因节日商店优惠销售,两种球的售价都是2元钱5个,
30结果小明少花了4元钱,那么小明共买了多少个球?【分析】：根据题意我们可知盒内的球的数量一定是2、3、5的倍数，假设1份球数是30个;原来各买ー份要：30+2+30+3=15+10=25（元）;现在要（30+30）+5x2=24（元）;即小明每买30+30=60个球，就可以少花1元钱,那么小明一共就买了4x60=240个球。解:假设1份球数是30个;4チ（（304-2+304-3）-（30+30）4-5x2）=4（份）（30+30）x4=240（个）答:小明共买了240个球。ー、方阵练习题1.有一队士兵,排成了一个方阵,最外层ー一周共有240人,问这个方阵共有多少人?（240*1）+1=61（人）61x61=3721（人）2.某校少先队员可以排成一个四层空心方阵如果最外层每边有20个学生,问这个空心方阵最里边一周有多少个学生?这个四层空心方阵共有多少个学生?（20-2x3-1）x4=52（^）（20-40x4x4=256（个）3.六一儿童节前タ,在校园雕塑的周围，用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵求最外面一层每边有鲜花多少盆?最外层每边人数=总数44+层数+层数204y+3+3=20（盆）4.三年级（1）班的学生参加体操表演,排成队形正好是由每7个人为ー边的6个三角形组成的一个正六边形,求正六边形ー周共有多少名学生?三（1）班参加体操表演的共有多少人?7x6-6=36（人）7x12-6x2-5=67（人）5.现有松树和柏树以隔株相间的种法,种成9行9列的方阵,问这个方阵最外层有松树和柏树各多少棵?方阵中共有松树柏树各多少棵?三年级奥数知识要点系列之方阵练习答案最外层松柏各是:（9-l）x4+2=16（棵）共有松柏树是:（9x9+l）+2=41（棵）81⑷=40（棵）6.某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人?这个方阵共有五年级学生多少人?的总人数就可以求了。解:方阵最外层每边人数:6OX+1=16（人）整个方阵共有学生人数:16x16=256（人）7.晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵,最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个?分析方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个,就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数,就可以求出各层总数。解：最外边ー层棋子个数：（14-1）x4=52（个）第二层棋子个数:（14-2-1）x4=44（个）
31第三层棋子个数：（14-2x2-1）x4=36（个）.摆这个方阵共用棋子：52+44+36=132（个）另解：中空方阵总个数=（每边个数一层数）x层数x4进行计算。（14-3）x3x4=132（个）1.ー个圆形花坛,周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药?多少棵月季?两棵月季之间的株距是多少米?分析①在圆形花坛上栽花，是封闭路线问题,其株数=段数.②由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季,则每6米之中共有3棵花，且月季花棵数是芍药的2倍。解：共可栽芍药花：180+6=30（棵）共种月季花：2x30=60（棵）两种花共：30+60=90（棵）两棵花之间距离：18g90=2（米）相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另ー棵是芍药花,所以月季花的株距是2米或4米。2.有16个学生站在正方形场地的四周，四个角上都站1人，如果每边站的人数都相等,问每边站几个学生?解析：我们把16人围成的方形,看作一个方阵的最外层。由公式：每边人数=每层总人数+4+1,可得每边人数为：16+4+1=5（人。注:按公式解题结束后，最好让孩子画画点子图，验证ー下，进ー步巩固认识。3.国庆节前タ，在街中心一塑像的周围,用204盆鲜花围成一个每边三成的方阵。求外面ー层每边有鲜花多少盆?解析:因为：空心方阵的总花盆数=（最外层每边花盆数一空心方阵的层数）X空心方阵的层数X4。4.同学们排练团体操,排成一个方阵,中间的实心方阵是女同学，外面三层是男同学,最外圈两层又是女同学。已知方阵中男同学是108人,问女同学是多少人?解析：我们可以把这个团体分解成三个方阵:3层的男生空心方阵，里面的女生实心方阵，外面的2层女生空心方阵。女同学的人数就是两个女生方阵的人数之和。先由男生总人数,求出3层的男生空心方阵外层ー边的人数：1084-4+3+3=12（人）因为每向里一层，每条边上的人数就少2,所以：（1）里面女生实心方阵每行人数为：12-3X2=6（人），总人数为:6X6=36（ハ；（2）外面2层女生空心方阵最外层每边人数为：12+2X2=16（人），总人数为：（16-2）X2X4=112（八;女同学总人数为:112+36=148（人）。5.ー队战士排成三层空心方阵多出9人,如果在空心部分再增加一层,又差7人,问这队战士共有多少人?解析:由题意空心方阵再往里一层的总人数是:9+7=16（人），每边人数为:16+4+1=5人）；所以3层空心方阵最外层每边人数为：5+2X3=11（人），总人数为：（11-3）X3X4=96人）；这队战士的总人数是：96+9=105（为〇6.一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从A每个小三角形的顶点开始，到下ー个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上4^.栽有多少棵花?整个花园中共栽多少棵花?/▼ヽ分析①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株，则大三角形边上栽的棵数为9x2-1=17棵）。②又知道这个大三角形三个顶点上栽的ー棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形
32三条边上共栽花（17-1）x3=48（梯〇③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.在计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为9-2=7（棵）解：大三角形三条边上共栽花：（9x2-l-l）x3=48（棵）中间画斜线小三角形三条边上栽花：（9-2）x3=21（棵）整个花坛共栽花：48+21=69（棵）答：大三角形边上共栽花48棵，整个花坛共栽花69棵。
33a=()b=()4.下面图中有21个点,其中相邻的三点所形成的等边三角形的面积为1,试计算四边形的面积。分析与解答:这个四边形图的一周共有4个格点,中间共有5个格点，运用三角形格点图形的面积公式的:5x2+4—2=12（面积单位）。5.计算下面三角形格点多边形的面积分析与解答:这个六边形图的一周共有7个格点，中间共有8个格点，运用三角形格点图形的面积公式：8x2+7—2=21（面积单位）。6.计算下面三角形格点中多边形的面积。分析与解答：方法一：这个多边形图的一周共有10个格点，中间共有9个格点,运用三角形格点图形的面积公式的：9x2+10—2=26（面积・单位）。7.下图中有16个格点,以图中三点为顶点连ー个三角形，并且至少有一条边水平或垂直。问共有多少个这样的格点三角形,面积分别是多少?’‘•♦♦♦♦分析与解答：以这16个格点中任意三点为顶点连成的三角形面积最多为整，♦♦♦个图形面积的一半,即任一三角形的面积至多为3x3+2=4.5（面积单位）。面积为4.5的直角三角形有4个;面积为4.5的非直角三角形有2x4=8（个）：面积为3x2+2=3的直角三角形有4x4=16（个:面积为3x2+2=3的非直角三角形有6x4=24个）；面积为2x2+2=2的直角三角形有4x4=16（个!面积为2x2+2=2的非直角三角形有8x4=32个）；面积为3xl+2=l。5的直角三角形有4x6=24个）；面积为3xl+2=l。5的非直角三角形有4x6=24（个;面积为2xl+2=l的直角三角形有4x12=48（个）；面积为2x」2=l的非直角三角形有（4+8+8+4）x2=48个）；面积为lxl-5-2=Oo5的直角三角形有4x9=36分）；面积为lx」2=0。5的非直角三角形有（6+12+12+6）x2=72（个:所以图中共有4+8+16+24+16+32+24+24+48+48+36+72=352(个)格点三角形。
348.用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵（如右图）.如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到ー个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少?共有32个....②底为2,高为13X2=6（个）底为1,高为23X2=6（个）⑤⑥底为2,高为1底为1,高为22'2=4（个）2*2=4（个）解:分类统计如下:底为2,高为13X2=6（个）④底为1,高为23X2=6（个）所以,面枳等于1平方厘米的三角形的个数有:6+6+6+6+4+4=32（个）.【练习】1.把ー张长28厘米,宽20厘米的长方形纸,剪成边长4厘米的小正方形,能剪多少个?答案:352.ー个长方形若宽减少4厘米,面积就减少40平方厘米;若长增加8厘米,面积就增加32平方厘米,求原来长方形的面积。答案:40平方厘米3.求下列图形的周长和面积（单位:厘米）答案：周长18,面积164,求下列图形中阴影部分的面积（大正方形边长为7,小正方形边长为5,重叠部分是个正方形，边长为2）（单位：厘米）答案：49+25-4=705.ー个长方形若宽增加7分米就是ー个正方形,面积就增加77平方分米,求原来长方形的面积。答案:44平方分米6.ー个长50米,宽25米的游泳池，四周铺2米宽的走道，走道的面积是多少平方米?答案:284
355.下图中ABCD是6X8的长方形，AF长是4,求阴影部分三角形AEF的面积.
36AB8解:三角形AEF中,我们知道ー边AF,但是不知道它的高多长,直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB,底边AB,就是长方形的长,高是长方形的宽,即BC的长,面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半,而扩大的三角形AFB是直角三角形,它的两条直角边的长是知道的,很容易算出它的面积.因此三角形AEF面积=（三角形AEB面积）-（三角形AFB面积）=8X64-2-4X84-2=8.这一例题告诉我们，有时我们把难求的图形扩大成易求的图形,当然扩大的部分也要容易求出,从而间接地解决了问题.前面例9的解法,也是这种思路.8,如图,长方形的长是8厘米，宽是5厘米,DE是2厘米，CF是1.5厘米，求阴影三角形的面枳。【解析】:原长方形被线段AE,EF,AF分解成了4个小三角形。先求出原长方形的面积为:5X8=40（平方厘米）再求出3个空白直角三角形的面积:三角形ADE的面积:2X5+2=5（平方厘米）；三角形ABF的面积:8X（5-1.5）4-2=14（平方厘米）;三角形CEF的面积:（8-2）X1.54-2=4.5（平方厘米）。所以阴影三角形的面积为:40-5-14-4.5=16.5（平方厘米）。9、如图，两个正方形边长分别为9厘米、6厘米，求图中阴影部分面积。解法一:把题中两个正方形拼成的图形分解成三个部分，两个空白的三角形和阴影部分。阴影部分面积就等于两个正方形的面积和减去两个空白三角形的面积:9X9+6X6-9X94-2-（9+6）X6+2=31.5（平方厘米）。解法二:在原图上添加一条辅助线，如下图。阴影部分面积就等于两个正方形面积和的一半减去蓝色三角形的面枳：（92+62）+2-9X6+2=31.5（平方厘米）。
3710、如图，大正方形边长为3厘米，小正方形边长为2厘米,求阴影部分面积。解法一:先求出△FHA的面积为:（3-2）X2+2=1（平方厘米）。所以阴影部分总面枳为:32+22-32+2-（3+2）X2+2+l=4.5（平方厘米）。解法二：如下图，连接FD厕FD〃AC。阴影部分4AFC与れADC等底等高，面积相等。所以阴影部分面枳就等于ふADC的面枳为:324-2=4.5（平方厘米）。解法三:图中梯形ADEF与△EFC的面枳相等,都是（2+3）X2+25则从这两个图形中去掉相同的梯形DGFE,剩下AAGF与AGDC的面积也相等;所以4AGC的AAGF的面积和与4AGC和4GDC的面枳和相等;即阴影部分ふAFC的面积等于AADC的面积为:32+2=4.5（平方厘米）。11、如图,ABCD是ー个长10厘米,宽6厘米的长方形,三角形ADE的面积比三角形CEF的面积大10平方厘米，求CF的长。【解析】:/F如上图，AADE的面积比4CEF的面积大10平方厘米，则ムQADE与梯形ABCE的面积和しtACEF与梯形ABCE的面积和也|ノC大10平方厘米。即长方形ABCD的面积比AABF的面积大10/平方厘米。1/所以4ABF的面积为:10X6—10=50（平方厘米）产BBF=50X2+10=10（厘米）CF=10-6=4（厘米）。ー、方阵练习题1.有一队士兵,排成了一个方阵,最外层ー一周共有240人,问这个方阵共有多少人?（240*1）+1=61（人）61x61=3721（人）2.某校少先队员可以排成一个四层空心方阵如果最外层每边有20个学生,问这个空心方阵最里边一周有多少个学生?这个四层空心方阵共有多少个学生?（20-2x3-1）x4=52（^）（20-40x4x4=256（个）3.六一儿童节前タ,在校园雕塑的周围，用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵求最外面一层每边有鲜花多少盆?最外层每边人数=总数44+层数+层数204y3+3=20（盆）4.三年级（1）班的学生参加体操表演,排成队形正好是由每7个人为ー边的6个三角形组成的ー个正六边形,求正六边形ー周共有多少名学生?三（1）班参加体操表演的共有多少人?7x6-6=36（人）7x12-6x2-5=67（A）
381.现有松树和柏树以隔株相间的种法,种成9行9列的方阵,问这个方阵最外层有松树和柏树各多少棵?方阵中共有松树柏树各多少棵?三年级奥数知识要点系列之方阵练习答案最外层松柏各是:（9-l）x4+2=16（棵）共有松柏树是:（9x9+l）+2=41（棵）81-41=40（棵）2.某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人?这个方阵共有五年级学生多少人?的总人数就可以求了。解:方阵最外层每边人数:6OX+1=16（人）整个方阵共有学生人数:16x16=256（人）3.晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵,最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个?分析方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个,就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数,就可以求出各层总数。解：最外边ー层棋子个数：（14-1）x4=52（个）第二层棋子个数:（14-2-1）x4=44（个）第三层棋子个数：（14-2x2-1）x4=36（个）.摆这个方阵共用棋子：52+44+36=132（个）另解：中空方阵总个数=（每边个数一层数）x层数x4进行计算。（14-3）x3x4=132（个）4.ー个圆形花坛,周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药?多少棵月季?两棵月季之间的株距是多少米?分析①在圆形花坛上栽花，是封闭路线问题,其株数=段数.②由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季,则每6米之中共有3棵花，且月季花棵数是芍药的2倍。解：共可栽芍药花：180+6=30（棵）共种月季花：2x30=60（棵）两种花共：30+60=90（棵）两棵花之间距离：18g90=2（米）相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另ー棵是芍药花,所以月季花的株距是2米或4米。5.有16个学生站在正方形场地的四周，四个角上都站1人，如果每边站的人数都相等，问每边站几个学生?解析：我们把16人围成的方形,看作一个方阵的最外层。由公式：每边人数=每层总人数+4+1,可得每边人数为：16+4+1=5（人。注:按公式解题结束后，最好让孩子画画点子图，验证一下，进ー步巩固认识。6.国庆节前タ，在街中心一塑像的周围,用204盆鲜花围成一个每边三成的方阵。求外面ー层每边有鲜花多少盆?解析:因为：空心方阵的总花盆数=（最外层每边花盆数一空心方阵的层数）X空心方阵的层数X4。7.同学们排练团体操,排成一个方阵,中间的实心方阵是女同学，外面三层是男同学,最外圈两层又是女同学。已知方阵中男同学是108人,问女同学是多少人?解析：我们可以把这个团体分解成三个方阵：3层的男生空心方阵，里面的女生实心方阵，外面的2层女生空心方阵。女同学的人数就是两个女生方阵的人数之和。
39先由男生总人数,求出3层的男生空心方阵外层ー边的人数：1084-4+3+3=12（人）因为每向里一层，每条边上的人数就少2,所以：（1）里面女生实心方阵每行人数为：12-3X2=6（人），总人数为:6X6=36（ハ；（2）外面2层女生空心方阵最外层每边人数为：12+2X2=16（人），总人数为：（16-2）X2X4=112（八;女同学总人数为:112+36=148（人）。
401.ー队战士排成三层空心方阵多出9人,如果在空心部分再增加一层,又差7人,问这队战士共有多少人?解析:由题意空心方阵再往里一层的总人数是:9+7=16（人），每边人数为:16+4+1=5人）；所以3层空心方阵最外层每边人数为：5+2X3=11（人），总人数为：（11-3）X3X4=96人）；这队战士的总人数是：96+9=105（为〇2.一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从A每个小三角形的顶点开始，到下ー个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上4^.栽有多少棵花?整个花园中共栽多少棵花?/▼ヽ分析①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株，则大三角形边上栽的棵数为9x2-1=17棵）。②又知道这个大三角形三个顶点上栽的ー棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花（17-1）x3=48（梯〇③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.在计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为9-2=7（棵）解：大三角形三条边上共栽花：（9x2-l-l）x3=48（棵）中间画斜线小三角形三条边上栽花：（9-2）x3=21（棵）整个花坛共栽花：48+21=69（棵）答：大三角形边上共栽花48棵，整个花坛共栽花69棵。
41a=()b=()4.下面图中有21个点,其中相邻的三点所形成的等边三角形的面积为1,试计算四边形的面积。分析与解答:这个四边形图的一周共有4个格点,中间共有5个格点，运用三角形格点图形的面积公式的:5x2+4—2=12（面积单位）。5.计算下面三角形格点多边形的面积分析与解答:这个六边形图的一周共有7个格点，中间共有8个格点，运用三角形格点图形的面积公式：8x2+7—2=21（面积单位）。单位）。7.下图中有16个格点，以图中三点为顶点连ー个三角形，并且至少有一条边水平或垂直。问共有多少个这样的格点三角形,面积分别是多少?’‘•♦♦♦♦分析与解答：以这16个格点中任意三点为顶点连成的三角形面积最多为整，♦♦♦个图形面积的一半,即任一三角形的面积至多为3x3+2=4.5（面积单位）。面积为4.5的直角三角形有4个;面积为4.5的非直角三角形有2x4=8（个）：面积为3x2+2=3的直角三角形有4x4=16（个:面积为3x2+2=3的非直角三角形有6x4=24个）；面积为2x2+2=2的直角三角形有4x4=16（个!面积为2x2+2=2的非直角三角形有8x4=32个）；面积为3xl+2=l。5的直角三角形有4x6=24个）；面积为3xl+2=l。5的非直角三角形有4x6=24（个;面积为2xl+2=l的直角三角形有4x12=48（个）；面积为2x」2=l的非直角三角形有（4+8+8+4）x2=48个）；面积为lxl-5-2=Oo5的直角三角形有4x9=36分）；面积为lx」2=0。5的非直角三角形有（6+12+12+6）x2=72（个:所以图中共有4+8+16+24+16+32+24+24+48+48+36+72=352(个)格点三角形。
428.用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵（如右图）.如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到ー个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少?共有32个....解:分类统计如下:底为2,高为13X2=6（个）②底为2,高为13X2=6（个）底为1,高为23X2=6（个）④⑤⑥底为1,高为2底为2,高为1底为1,高为23X2=6（个）2X2=4（个）2*2=4（个）则每个小长方形的面积为:所以,面积等于1平方厘米的三角形的个数有:6+6+6+6+4+4=32（个）.练习:1,有一块菜地长16米,宽8米。菜地中间留了2条宽2米的路,把菜地平均分成了4块,【解析】:解法一:因为两条小路把把菜地平均分成了4快,所以每ー小块长方形菜地的长为:（16-2）+2=7（米）;宽为:（8-2）+2=3（米）：面积为:7X3=21（平方米）。解法二、如下图，假设把两条小路平移到菜地的上方和左方，路的面积和剩下菜地的面积都不会发生改变。去掉小路,剩下菜地面积为：（16-2）X（8-2）=84（平方米）。每ー小块菜地面积为:84+4=21（平方米）。2、下图中大正方形比小正方形的边长多4厘米,大正方形的面枳比小正方形多96平方厘米。大正方形和小正方形的面积各是多少?【解析】:如下图,把大正方形比小正方形多出的96平方厘米的图形分成一个蓝色的正方形和两个同样的灰色长方形。可以求出蓝色正方形的面积为:4X4=16（平方厘米）；（96-16）4-2=40（平方厘米）：
43每个小长方形的长即所求小正方形图形的边长为:404-4=10（厘米）。所以,所求小正方形的面积为:10X10=100（平方厘米）；所求大正方形的面积为:（10+4）X（10+4）=196（平方厘米）。3、ー个正方形中套着一个长方形。已知正方形的边长是16分米,长方形4个角的顶点恰好把正方形四条边都分成两段，其中长的・段是短的3倍。阴影部分的面积是多少?【解析】:正好可以拼成大、小两个正方形。如下图,长方形把正方形中原阴影部分分成了4个等腰直角三角形，观察上图，结合题目已知条件可得，拼成的两个正方形的边长之和就是原正方形的边长16分米;拼成的大正方形的边长是小正方形边长的3倍。由和倍问题的数量关系式，可以求出:拼得的较小正方形的边长为:16+（3+1）=4（分米）;较大正方形的边长为4+3=12（分米）。所以，原图中阴影部分面积为:4X4+12X12=160（平方分米）。4、ー个边长为8厘米的正方形,依次连接4边中点得到第二个正方形,这样继续下去可以得到第三个、第四个、……求第四个正方形的面积。【解析】:如图，连接任意正方形四边中点所得的新正方形的面积与剩下四个三角形的面积之和相等，即新正方形的面积正好是是原正方形面积的一半:题中原正方形面积为：8X8=64（平方厘米）。所以，第四个正方形的面积为:64+2+2+2=8（平方厘米）。5、人民路小学操场长90米，宽45米，改造后,长增加10米,宽增加5米。现在操场面积比原来增加多少平方米?【解析】:用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面枳，操场现在的面积是：（90+10）X（45+5）=5000（平方米），操场原来的面积是:90X45=4050（平方米）。所以现在比原来增加5000-4050=950平方米。（90+10）X（45+5）-（90X45）=950（平方米）6,ー个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米，这个长方形原来的面枳是多少平方米?【解析】：由：“宽不变,长增加6米，那么它的面积增加54平方米”可知它的宽是54・6=9（米）:又由“长不变，宽减少3米，那么它的面积减少了36平方米”，可知它的长为:364-3=12（米），所以，这个长方形的面积是!2X9=108（平方米）。（36+3）X（544-9）=108（平方米）
447、ー块正方形的钢板,先截去宽5分米的长方形,又截去宽8分米的长方形（如图）,面积比原来的正方形减少181平方分米,原正方形的边长是多少?【解析】:把阴影的部分剪下来，并把剪下的两个小正方形拼合起来（如图），再补上长,长和宽分别是8分米、5分米的小长方形，这个拼合成的长方形的面积是:181+8X5=221（平方分米）,长是原来正方形的边长,宽是：8+5=13（分米）。所以,原正方形的边长是221+13=17（分米）8S如图所示,BD,CF将长方形ABCD分成4块,Z\DEF的面积是4cm\Z\CED的面积是6cmー。问:四边形ABEF的面积是多少平方厘米?方法・：连接BF,这样我们根据“燕尾定理”在梯形中的运用知道三角形BEF的面积和三角形EDC的面积相等也是6,再根据例1中的结论知道三角形BCE的面积为6X64-4=9,所以长方形的面积为：15X2=30。四边形面积为30—4—6—9=11。方法二:EF/EC=4/6=2/3=ED/EB,进而有三角形CBE的面积为:6X3/2=9。则三角形CBD面积为15,长方形面积为15X2=30。四边形面积为30—4—6—9=11。2010-2011学年度第二学期五年级讲义（2011年3月6日）第一讲分数综合题练习题1、已知三个连续自然数的倒数的和是”,求此三个数.60解:丄+丄+丄故为3,4,5.3452、甲在黑板上写了13个自然数,让小明计算平均数（保留两位小数）,小明计算的答案是12.43,甲说最后一位数字错了，其他的数字都对，正确答案应该是什么?解:12.46.3,x100求。的整数部分是多少?11x66+12x67+13x68+14x69+15x7011x65+12x66+13x67+14x68+15x69解:101.解:117.19901991+20065、ナ引4、已知a=-p-问a的整数部分是多少?19H20解：95.
45£r.11nfi11iw.111iwi1nI234丿（2345丿I2345丿（234丿解:一.5解:1.04.8、请在下面的方框内填上一个整数,使两端的不等号成立.24807一＜一＜—.319解：103.1x2x3+2x4x6+•••+100x200x3009,.2x3x4+4x6x8+…+200x300x400解：一.42010-201I学年度第二学期五年级讲义（2011年3月12日）第二讲计算综合练习:1.计辑:【分析与解】原式=23122317¥x—=4—481283-1-2.计算:（1）—2 34~51-x3-x0.26240.52x1.5x7-2数;分析:繁分数化简的常用技巧：①化带分数为假分数;②化小数为分数:③化分数为小④化小数为整数;⑤化复杂为筒単.（1）36~583x15-X1518__9_4020
46(2)法一i3一20一3一4-=153-4。・—x2020-x20―0.150.15151伝一I——===—；30.757554-2.42423.6-363：123472+3_6+6_67.1770452020201312X34XQ'26.1.5x3.75x0,261x1x!丄cs.c10.52x1.5x7.52x1x240.52x1.5x7—23.化简:ード=ー.(3—+4.375)4-19 129讲析:可把小数化成分数,把带分数都化成假分数,并注意将分子分母同乘以ー个数,以消除各自中的分母。于是可得2111至ーテx56.217179V95621241794.计算:8-1x6丄+1.3+1210458125105一X——X一X—1041375510981251052213910…1=——x——x——X—X—x—x——x—=202—104137551022139105.计算(1)2t+1112+\―r12解:⑴2+り=2肛(2)解析:连分数化简，通常要从最ド层的分母开始，自下面逐步化简。依此法计算，题目得数是2.lll.Jlxlll.ll.1989个11989M
476.下面是两个1989为整数相乘:问:乘枳的各位数字之和是多少?分析:在算式中乘以9,再除以9,则结果不变,因为［且二リ能被9整除,所以将一个m.jj乘以9,另一个除以9,使原算式变成:19894-119894-1999.…99123456790.....0123456791989个9共1988位数=(1000......00-1)X123456790……01234567919城个。共198、8位数=123456790......012345679000......00-123456790..…012345679共19点位数1989个。共1988位数123456790......012345679123456789876543209......987654320987654321=共1988位数共198。位数7.计算：(1)1012x988；(2)2952-1052.解:(1)999856；(2)76000.132481091111=xxXx,•,XX-^―Xx—223399101020，9.计算:3x5+5x7+7x94--+97x99+99x101.分析:这个算式实际上也可以看作是:等差数列3、5、7、9……97、99、101,先将所有的相邻两项分别相乘,再求所有乘积的和.算式的特点概括为:数列公差为2,因数个数为2.3x5=(3x5x7-1x3x5)+(2x3)5x7=(5x7x9-3x5x7)チ(2x3)7x9=(7x9x11-5x7x9)チ(2x3)97x99=(97x99x101-95x97x99)+(2x3)99x101=(99x101x103-97x99x101).(2x3)将等号左右两边分别累加,左边即为所求算式,右边括号里面许多项可以相互抵消。解:3x5+5x7+7x9++97x99+99x101=(99x101x103-1x3x5)+(2x3)=1029882^6=171647.10.计算:10x16x22+16x22x28+-+70x76x82+76x82x88.分析:算式的特点为:数列公差为6,因数个数为3.解:10x16x22+16x22x28+-+70x76x82+76x82x88=(76x82x88x94-4x1Ox16x22)+(6x4)=2147376.11.计算:Ixlxl+2x2x2+3x3x3+—+99x99x99+100x100x100.分析：nxnxn=(n-1)xnx(n+1)+n.解:Ixlxl+2x2x2+3x3x3+—+99x99x99+100x100x100
48=1+(lx2x3+2)+(2x3x4+3)+…+(98x99x100+99)+(99x100x101+100)=(1x2x3+2x3x4+-+98x99x100+99x100x101)+(1+2+3+―+99+100)=99x100x101x102%+(1+100)x100+2=2549240〇.9.计算Ix3+2x4+3x5+4x6+…+98x100+99x101.解:Ix3+2x4+3x5+4x6+—+98xl00+99x101=(Ix3+3x5++99x101)+(2x4+4x6+—+98x100)=(99x101x103-1x3x5)毋+1x3+98x1OOx102出=171650+166600=338250.10.若A*B表示(A+3B)X(A+B),求5*7的值.解:5*7=(5+3x7)x(5+7)=(5+21)xl2=26xl2=312.11.对于数a、b、c、d,规定,
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