新城王锦辉中学九年级奥数培训教程

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第一讲走进追问求根公式形如の2+か+c=（）（。エ〇）的方程叫一元二次方程,配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法.而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法.求根公式メ2=士セニ^内涵丰富:它包含了初中阶段已学过的全部代数运算;它回.答了一元二12a次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题;它展示了数学的简洁美.降次转化是解方程的基本思想,有些条件中含有（或可转化为）一元二次方程相关的问题,直接求解可能给解题带来许多不便,往往不是去解这个二次方程,而是对方程进行适当的变形来代换,从而使问题易了解决.解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法.【例题求解】【例1】满足（パー-1严2=1的整数n有个.思路点拨从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程.【例2】设メ2是二次方程x2+x-3=0的两个根，那么・--4孙2+19的值等于（）A.-4B.8.C.6D.0思路点拨求出占、れ的值再代入计算,则计算繁难,解题的关键是利用根的定义及变形,使多项式降次,女口X[=3—X]，x2=3-*x2.【例3】解关于x的,方程3-1ドー2"+“=〇.思路点拨因不知晓原方程的类型,故需分a-l=O及〇-1看〇两种情况讨论.【例4】.设方程x2_|2x-l|-4=0,,求满足该方程的所有根之和.思路点拨通过讨论,脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.【例5】已知实数"、b、c、"互不相等，Ra+l=b+-=c+-=d+-=x.试求x的值.bcda思路点拨运用连等式,通过迭代把ら、c、d用a的代数式表示,由解方程求得x的值.注:一元二次方程常见的变形形式有:

1(1)把方程aJ+bx+c=O(ahO)直接作零值多项式代换;(2)把方程+bx+c=0(a*0)变形为ax?=-bx-c,代换后降次;(3)把方程ax2+わx+c=0(a0)变形为aM+8x=-t•或ax?+c=ー加,代换后使之转化关系或整体地消去x.解合字母系数方程。ぐ+か+，=()时，在未指明方程类型时，,应分a=0及。メ。两种情况讨论;解绝对值方程需脱去绝对值符号,并用到绝对值ー些性质，如卜「=卜2卜X?.学历训练1.已知。、ウ是实数，且ノ2。+6+卜-阎=0,那么关于x的方程(。+2ド+心=a-1的根为.2.已知ゴ-3x-2=0,那么代数式(スー"ー1+1的值是x-\3.若ア+孙+>=14,ザ+孙+ス=28,贝リス+y的值为.4.若两个方程ペ+at+Z?=0和i+ん+〃=0只有一个公共根,贝リ()A.a=bB.a+b=0C.a-\-b=1D.a+b=—15.当分式「ー!——有意义时,X的取值范围是()-X+3x4-4A.x<-lB.x>4C.-l

2不便于求出时,可设出公共根,设而不求,通过消去二次项寻找解题突破口.5.若x2-5x+1=O,贝リ2x2-9x+3+—；—=.x2+\6.已知,"、"是有理数，方程X?+znx+n=0有一个根是后一2,则m+"的值为7.已知"是方程ズーx-2000=0的ー个正根。则代数式3+—券后一的值为.1+,20001+13.对于方程x2-2|x|+2=m,如果方程实根的个数恰为3个,则m值等于（）A.1n.2C.6D.2.514.自然数"满足（"2_2〃ー2）"ゝ47=（"2-2”_2严16,这样的”的个数是（）A.2B.1.C.3D.415.已知a、シ都是负实数，且丄+丄——!那么と的值是（）aba-b=0aaV5+!已!―^5p—1+V5ハー1ー后222216.已知x=419-84，求・ヽ…「と版セ23的值x"—8x+1517.已知m、n是一元二次方程ズ+2001x+7=0的两个根,（m2+2000/n+6）（w2+2002,1+8）.18.在ー个面积为1的正方形中构造ー个如下的小正方形:将正方形的各边〃等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来,如图所示,若小正方形面积为丄,求"的值.nc,（:19,已知方程—ー3ズ+1=0的两根a、タ也是方程イー/+4=0的根,求p、タ的值.20.如图，锐角AABC中，PQRS是AABC的内接矩形,且ル,=〃S%般のs,其中〃为不小于3的自然数.求证:霊需为无理数.UJ追冋求根公式【例题求解】例I4提示:由W+2ao-パ一磚ー1=。朽れ31-2.由",一舞ーI1得”一i•Mー2t由丁ー”-1且。+2为偶敬•得”i

3例2选A由地意有ル+ス,3=0.*Iれ一3-0.即メユ3—，i・ヰ=3y・施式エ・（3—n）4（3ハ）ル】9・3.ーズイ4ハ+7・3ハー《3-f"+S+7==4（jri+れ＞+4==4X1-D+4=0例3U）当L］时,方程的根为L9当，。且マ】时・方检有两个不相等的冥数根—注中5=賞マI。〇时・方程有两个相等实根ー・小=0,当qV。时・方程没有实数根.例4当2オー＞0即エ＞チ・时•厚方程化为メー2丄3・0,解得上i=3.れ一】《舍去”当2よー1ー。即イ・4・时•代入境方程不合,會去:当2よIVO即オ＜ラ时•蟆方程化为〉"］ー5go•鮮肉，匸1一宿,厶IIカ＞タ舍去）•故所有根之和为3+（I—6）=2ー疽例S由已知有力。」ー・＜一.”一“，・代人イ十レー冏十匸J+2=0・即ぜゴー（。•一1）/T2d"レトad+l=O・又由d+?=よ楞ud+l=aj",代人上面方程得（＜Zい（バ2力・〇.由ビ知/一"メ。•故ザー2T=0.若ゴ・-。•则a-r千岛故有メ-2.即.”土伍【学力训练】1.1士務2.23.-7或6前方程相加.将（エ亠y）*+G+W-42=04.D5.D6.A当上＞0时,，-ー1（會去）,当I《』V0时•原方程没有实根.当・V-1时,，=一;舍左・7・（い当mI时-021当mM且e＞得时•gい丝リ缘"工専”】凡切・為时5=n-5凸eWIftm＜3时・方程无实效根.（2）6:一|川ー1-0,|川・与度或|川・ヒ泸（會去）・战へ・・-±!?叵.（3レ,《»厶ー-1,ム.,』-3±2衣».I原式・=3《ゴー2”）-5=L丸瀨设存在符合条件的实数m且设这两个方程的公共实职カヘ则（«Mm«I2«0①①一②・将《e—2）储D»0la'+2a4iw—0②•・・》»-2或aU1.当m-20寸,巳知两个か程为同一个方程・H没有实数根.故m«2舍去,当a=l时•代人①得m3.求得公共极为，10.6ゴ+1-Sx•丄•5~x.・ム亠ーーf9-2m+h-0一11.3代人有（9-2m+“）+（m4）西・0.则く,解得一I.Im—4-012.シー“ア遒,提示:メ七a+2000.ボ0aB200013.Bx=1+ノポ=T或jt1ー1土ノm-114.Cボ+47=16”一16或がー2k—2=1.メー2“一2=ー1•IS.C16.上"（4一万y・4一先,№ゴ+8イ:13・〇•代人原式-*，17I调十2001m+7・0.ザ十20（Mn+7=0.原式=（Mt2001wi+7如一］）（バ（20011t+7+ni1》0（in1＞（«4-1）ー（eii+柄十w宀1）-（7-2001+1）-1993.18.ん8ーデ,8=う・んCイピ十（三ン.过C作CP丄んCナP,则RSABCsRQCPC.得匸$=空二厚雑"、"'AiC7ポ赤ビ0嬴:"2”二”ザあ用（"71""M=0•故"=19,ゴ=3エー1.则ザ=«（3#ー】ジ•9ゴー61+】代入第二个方程相9ゴー6*+1。ド+g=0.整理为（9ーゆ）ゴー6よ+"十I10＜■）＜*＞方程ワ方程メ3エ+1=0是同解か程,则号=三I=中•解沿0=7.q=1.

42。.如图.设BCa・BC边丄的高八Dh,PSx,RSヰ由△ASRs&ABC.得て三・丄・:.yー、ユ・ahVSf："5"for,二2aAnjry!iu•トー•"•整理促2，，’2r上ん+ガ・02n(本)-2”・チf1=«0・;・チ・ラ士古ノバー2“‘显然ズー2w<(i»ー］ア,又心3.••・ザー2Q«2)，战”一2».不是完全平方敝,ノアニ石为无理教,从而エ为无理数,于是第/为无理数.第二讲充满活力的韦达定理一元二次方程的根リ系数的关系,通常也称为韦达定理,这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的.韦达定理简单的形式屮包含了丰富的数学内容,应用广泛，主要体现在:运用韦达定理,求方程中参数的值;运用韦达定理,求代数式的值;利用韦达定理并结合根的判别式,讨论根的符号特征.；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等.韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路.韦达定理，充满活力,它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法.【例题求解】【例1】已知a、タ是方程x2-x-l=0的两个实数根，则代数式a2+a(£2-2)的值为.思路点拨所求代数式为a、£的.非对称式,通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果“、わ都是质数，且/ー］30+m=0,b2-\?>b+m=G,那么纟+色的值为()aba123D125十。「125ハ123千。A.——B.——或2C.——.D.——或222222222思路点拨可将两个等式相减,得到a、ル的关系，由于两个等式结构相同,可视a、ケ为方程/_13x+m=0的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件.注;应用韦达定理的代数式的值，一般是关于事、々的对称式,这类问题可通过变形用メ+あ、七与表示求解,而非对称式的求值常用到以下技巧;(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造対称式.【例3】已知关于x的方程;一2)x-Q=0(1)求证:无论m取什么实数值,这个方程总有两个相异实根.

5(2)若这个方程的两个实根修、々满足|心卜MI+2,求m的值及相应的x2.思路点拨对于(2),先判定XrX2的符号特征,并从分类讨论入手.【例4】设X2是方程21-4mx+2加2+3m-2=0的两个实数根,当m为何值时，xj+x2?有最小值?并求出这个最小值.思路点拨利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示,再从配方法入手.，应注意本例是在一定约束条件下(△20)进行的..注:应用韦达定理的前提条件是一元二次方程冇两个实数根,即应用ギ达定理解题时,须满足判别式△与〇这一条件,转化是一种重要的数学思想方法,但要注意转化前后问题的等价性.【例5】已知:四边・形ABCD中,AB/7CD,且AB、CD的长是关于x的方程x?-2机x+(/n-丄/+(=0的两个根.(1)当m=2和m>2时,四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由.(2)若M、N分别是AD、BC的中点,线段Mx分别交AC、BD于点P,Q,PQ=1,且ABくCD,求AB、CD的长.(2003年哈尔滨市中考题)思路点拨对于(2),易建立含AC、BD及m的关系式,要求出m值，还需运用与中点相关知识找寻CD、AB的另一隐含关系式.注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化,既要注意通过根的判别式的检验，乂要考虑几何量的非负性.

6学历训练1.(1)已知X1和X2为ー元二次方程2x2-2x+3m-l=0的两个实根,并占和x2满足不等式・^由一＜1,Xj+%2—4则实数m取值范围是.(2)已知关于x的・元二次方程8x2+(加+l)x+m_7=0有两个负数根,那么实数"I的取值范围是.2.已知a、£是方程的两个实数根，则代数式"3+。2£+m2+尸2的值为.3.CD是RtZkABC斜边上的高线,AD、BD是方程x?-6x+4=0的两根，则△ABC的面积是二.4.设M、XZ是关于x的方程X?+px+g=0的两根,*+1、x2+!是关于x的方程x?+qx+p=0的两根,则p、g的值分别等于()A.1,-3B.1,3C.-1,-3D.-1,35.在RtZXABC中,ZC=90°,a、b、c分别是/A、/B、/C的对边，a、b是关于x的方程x2-7x+c+7=0的两根，那么AB边上的中线长是()A.-B.-C.5D.2226.方程ピ+px+1997=0恰有两个正整数根ム、ル，则•——的值是()(x,+l)(x2+l)A.1B.-1C.--D.-227.若关于X的一元二次方程的两个实数根满足关系式:X](X[+1)+ス2。2+1)=(X1+1)区+1),判断(a+b)144是否正确?8.已知关于x的方程X?-(2k-3)x+«2+1=0.(1)当ス是为何值时,此方程有实数根:(2)若此方程的两个实数根毛、巧满足:\x21+|xi|=3,求k的值.9.已知方程x2+px+q=0的两根均为正整数，且p+q=28,那么这个方程两根为.10.已知a、タ是方程x2-x-l=0的两个根,则。4+3A的值为.11.ZXABC的ー边长为5,另两边长恰为方程2x2_12x+m=0的两根，则m的取值范围是

72.两个质数。、万恰好是整系数方程的两个根,则セ+巴的值是(abA.9413941319499・9ラ3.设方程有・个正根匹,ー个负根ル,则以|士|、旧|为根的一元二次方程，为(A.x2-3x-/n-2=0B.x2+3x-7?z-2=0C.x2—Vl-4/zzx—2=0D.x2-a/1-4/mx+2=04.如果方程(x-l)(x?-2x+阳)=0的三根可以作为ー个三角形的三边之长,那么实数m的取值范围是()A.OWmWlB.m2—C.—BC)的长是关于x的方程的两个根.⑴求rn的值;(2)若E是AB上的一点,CF丄DE于F,求BE为何值时,ACEF的面积是れCED的面积的丄,请说明理由.6.设m是不小于ー1的实数,使得关于x的方程工X?+2(加一2)x+,/ー3〃?+3=0有两个不相等的实数根不、め・(1)若xj+X2?=6,求!n的值.(2)求竺匚+竺。的最大值.1-X]1—X27.如图，已知在れABC中，NACB=90",过C作CD丄AB于D,且AD=m,BD=n,AC2：BC2=2：1i又关于x的方程:/-2(”_1»+Mー12=0两实数根的差的平方小于192,求整数m、n的值.8.设a、b、c为ー:个不同的实数,使得方程和x?+ax+l=0和X?+かx+c=O有一个相同的实数根，并且使方程x?+x+a=0和デ+cx+b=0也有一个相同的实数根，试求a+b+c的值.参考答案

8図充満活力的韦达定理【例题求解】选B当时,原式=2.当aWb・a、6为方程二ー】3x+m=。的两个粮•a+6ー13・"、b只能为2或11.原式0号+2_1251122例」《1)42(5ー】ア+2>0(2)r,T!一ザ・く。,财そく。，厶ヌ0,或J.>0.x,<0.①若Mく0・れ》0,则れ・一”14Xis2..*.m2=2.得m-4.x-1±-/5»②若れ。〇,ハ<0.则ー厶=»+2,:・ハ+才,ニー2・1・m-2"2.得m00、よ:«O.x,-2.由△—(-4m)T4X2X(2パ+3m—2)'〇•得e4,・・・2wi'+3m—2・エ1+ヰ=Zwi，工।普ー57-当”暂时,“十行取得修小偵,且最小值为9.C)サ勒-2时.A•。・・・AB』CD,故四边形ABCル是平行四边形.当m>2时.△・M一2>0.又AB卜CD2mAB・CD(”lチ)+：>O・・・・A"CD,而AB/CD,故四边形ABCD是梯形.(2)PQy/X-y/tHI.A/JC-AH-2V(DC-AB)J=(DC+AB),-4DC-AB二2*=(2m*—4(ハーm-2).解得m=3.从而んB=2,CD=4.【学力训练】1.(D--|-<»i<-y(2)m>72,-33.64.C5.B6.C工1,,=1997=1・ハ=1997・。=—(©+4)—-1998.7.由条件得(ブ+ふアー3Uれー】ー。二(a+bプ=4必+1又△9(ui-6),-4X3X4a6^0二熊Iルプフ号必・郎UA+1。©レ;府加&3从而4。6+1《4.即Lナ6ア〈4.8.(l)k<9.30.2修⑵由ハ,T+1〉。知工,5同号,分れ>0.ム>。及目VOiVO情况紂论用・一0,10.5设ス-I+3dB屮+ヌ,由A+H-10及.4-8-0,得ん=5.11.yAB—8.BC—6,由^1t=4••得D£»3EF乂△DAEs△0"れ得隽二煤,AEー与产=铝导.设AE=y,则い己=んび+卄ア=36+«.・・・ア・红此フメ‘聊ザ-12y+36-0.解得y-6.故BE-2.ふ・ニ-Ami4>0•得»»Vl.结针髄设如i—IMwiVl.=2(ーー3m+l>-2(I).ri4-r・Lれ+i?)？，2あ及一2パー10»»+】0=6.H得加=5±マ亘.由于l&mV】.故“咻耳ーハれー£为+4)+1m(m-D当rn时’产丄+器的场大值为,0-②・把①代人②傅»<2.4ボーいー8”+4Vo③.無iwn"~4-•W»»2m①.△-4ボーハー8it+16>0<5，ノWI又ハ十才,D.Xij：=4(ハー12)•由(jj—ハ)‘<19’.得把①代人③用内>4Ay<»<2,ヽ”ー丨2从前縄m』2或九18.设xf+a，4-1=0.x*+6r+ぐ・0・物Ti・仁~^.同理.由イ+ム+a=O.H+5—・掲・ラ二^(寸故「‘=J.另一方面由ル达定理比1是第一个方程的根.这就表明れ是方程r+。エ+】•。和ゴ+/+<1・。的公共根因此两式相1I诚有Q1)(ハ1)=0.但当a=H时,这两个方程无实輾.故公=1.从而ヰ=1.ナ是。-ー2,b+c=-l,所以“+6+《一-3.第三讲明快简捷一构造方程的妙用有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关,但是如果我们能构造一元:次方程,那么就能运用一元

9二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是:1.利用根的定义构造当已知等式具有相同的结构，就可把某,两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根.2.利用韦达定理逆定理构造若问题中有形如x+y="，り=ム的关系式时，则x、y可看作方程ゴ-az+6=0的两实根.3.确定主元构造对于含有多个变元的等式,可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程.成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之卜.的;成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果.注:许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件,以已知条件为素材,以所求结论为方向,有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解,这就是解题中的“构造”策略，构造图形,构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法.【例题求解】【例1】已知x、y是正整数,并且xy+x+y=23,x2y+xy2=120t贝リx?+y2=.思路点拨X?+y2=(x+y)2_2xy,变形题设条件，可视x+y、xy为某个一元二次方程两根，这样问题可从整体上获得简解.【例2】若ab#1,且有5/+200レ+9=0及9M+200レ+5=0,则色的值是()b,9D5「2001n20015959思路点拨第二个方程可变形为=+驷+9=0,这样两个方程具有相同的结构,从利用定义构造方程入b2b手.【例3】已知实数a、わ满足。2+姉+及=1,S.t=ab-a2-b2,求，的取值范围.思路点拨由两个等式可求出。+万、。人的表达式,这样既可以从配方法入手,又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间.【例4】已知实数。、b、c满足。+b+c=2,abc=4.(1)求。、ル、c中最大者的最小值:(2)求|a|+W+|d=3的最小值.思路点拨不妨设a2b,a》c,由条件得ケ+c=2-a,bc=士.构造以b、c为实根的ー元二次方程,通过a△20探求”的取值范围.,并以此为基础去解（2）.

10注:构造一元二次方程,在问题有解的前提下,运用判别式△N0,建立含参数的不等式,缩小范围逼近求解,在求字母的取值范围，求最值等方面有广泛的应用.【例5】试求出这样的四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方,恰好等于这个四位数.思路点拨设前后两个二位数分别为x,y,则有（x+y）2=100x+y,将此方程整理成关于x（或y）的一元二次方程,在方程有解的前提下,运用判别式确定y（或x）的取值范围.学历训练1.若方程加2ズー（2n,一3）x+l=0的两个实数根的倒数和是S,则S的取值范围是2.如图,在RtZXABC中，斜边AB=5,CD1AB,已知BC、AC是ー元二次方程ズ-（2m-l）x+4（m-l）=0的C两个根，则m的值是.ノ/卜3.已知。、6满足メ_2a-l=0,b2-2b-i=O,则q+纟=.\ha乙ヽADB4.已知a2+a-l=0,夕2+夕ー1=0,,则a"+a+ガ的值为（）（第2题）A.2B.-2C.-1D.05.已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于点〇,若么,侬=4,Saco»=9,则四边形ABCD的面积S的最小值为（）A.21B.25C.26D.366.如图，菱形A6CD的边长是5,两条对角线交于。点,且AO、B0的长分别是关于x的方程的根，则m的值为（）pA.-3B.5C,5.或ー3n-5或3B（第6題）7.已知p?-2P-5=0,5グ+2ワー1=0,其中“、ヮ为实数,求p?+—y的值.q-8.已知x和y是正整数,并且满足条件スy+x+y=71,x2y+xy2=88（）,求/+ザ的值.9.已知3m2-2m-5=O,5n2+2w-3=0,其中m、n为实数,贝リ团ー丄=

115.如果a、b、c为互不相等的实数,且满足关系式庐+¢2=2a2+16a+14与ん=a2-4a-5,那么a的取值范围是.6.已知5—+2y2+2孙-14x-10y=17=0,则メ=,y=.：7.如图,在Rt^ABC中,ZACB=90°,AC=b,AB=c,若。、E分别是AB和AB延长线上的两点,BD=BC,CE±CD,则以AD和AE的长为根的一元二次方程是（第20是可＞1工已知a、b、c均为实数,且a+b+c=0,abc=2»求冋+网+卜|的最小值.14.设实数・わ、c满足］ガニんー8a+7=0,求0的取值范围.け+c+い。ー6a+6=015.如图，梯形ABCD中,AD/7BC,AD=AB,为幽巴=U,梯形的高AE=£LK—+—.SMBC82ADBC40（1）求/B的度数;（2）设点M为梯形对角线AC上一点,DM的延长线与BC相交于点F,当5必D“=至叵,求作以CF、DF32的长为根的一元二次方程.（第16题）（第15题）16.如图,已知AABC和平行于RC的直线DE,什么关系时,存在直线DE,有儿条?且4BDE的面积等于定值ゼ，那么当ピ与ふBDE之间满足参考答案国明快筒捷——构造方程的妙用【例题求解】fjt卜1yB=8例1由已知.，y+i+y23,“メ《よ+ゝ）=120,则rア、!・4y是方程尸23，+12。・。的网根•得り-8.ル-15.；•,或Iハー15（jriy™15（"（舍大》,ゴ+ア・nG+W'-ZijQ療2XJ5-34.Iり=8例2选A必然け0,由9ザキ2001"5-0得5•（丄）'+200】•I+9=0.又MW1,即a9：・剜a，兄方理5M+200レ+9.0的睥个根,由韦达定理得a即看=«卷.例3由条件帯帅・牛!.〃+ル十イ亨"Nー3》.1・a、6是关于，的方程デ士亨ユ。的角个实噸・由ユ今ー;>0.解得イ一；・故’的取值检图是34.当。亠4/=r-!时.・6"満足条件,故a、M，中最大者的最小値为イ.（2ね.机・・只可能一正二负.设a>0・YO・YO,则a|+|b|+<|-a-6-c-2«-2由3）知a>4,故2a—2》6.当a=4・育=c=ーl时.a/、c満足条件•旦使、同+|c2a2》6中等サ成立・故+I"的最小值为6.例5由"+3》‘。IOOj•十y・得エ‘+2”-50）"+（マy）«0.当ム-4（>50プUy-y）«=4（2500-99y）^O.Wア/25时•方程有实敷解

12ゴ・50つ丄>/^5而"^7由于2500-99_>必为完全平方数・而完全平方数的末位数字仅可能为ス1.4・5.6,9・故，仅可取25.此时イ三30或アー2〇.【学力训练】1.W-ラ且,ヌー3.エ43.2或ー64.B5.B6.A7.（1）当pW;时“い是关于，的方程メ2*-5ー。的两个不相等的实数權./>+/2”・チ——5.用式ーM.,（2）3p丄时.。」是美チノ的方程メ-2/5=0的ー个根,解得れL1土々・・ダ+4Zp2（1土百）？14土4死.qgv故ダ+と的仅为M女!4卜4G或144《・8.146套覓例19.0或210.4-1由舱设中的繭个条件求出b+c关于a的表达式•构造无二次方程，11.Uy技r的降哥排列警理原等式得5ゴ+（2ツーM"+2y*-IQy+17・。•从△フ。入手.12.ザー2«工+八013.aい中有两个为负,ー个为正・不妨设&<0,Y0Q0.旦a+“…igga、Z）为方程ゴ+ut/・〇的荫根.:.△・ゼーラ训,弼さ2,故原式ー。ーb+c=2cN4,即原式有最小值为4.14.由条件褥ん=がー&*+7.6+イー土（4一1）.1・b、r是关干エ的方程メ干いー1）,+ゴー8&十7―0两实根.由△=［平储ー1）了一イ《ボー&»+7）幾〇,将14a49.15.⑴,先期学饗="I"・解沟ん。=5衣=8.4!13=鍔=空,・・・"ー60,（2）过点M作两底的垂线"N,H、N为垂足,MN=樂,MHn纟算一空5H增;△AMDsaCMド・エ然ユ丄6IlolbMHp-=y・・・FC=3・B15.得厂7ABFD,DF=5,所求的方寿为デ8ア+15=0.16.设=，*5ユ*="則S&A1M一/gS"如・，,由S*4f=S^ux丄・得Tt-デュ〒*''却メ，一"+ギ=0.要使方程有实根・财△=/一“'，》0,褥，扌4ド.设这个方程两根为X1,则人+ハ=1.エ5=ヤ.，:J,.X,都为歩负数,又，ネ4"04エ,,X1<1.于是，当宀“’时,大ーら,即只有一条直统DE,当,04ギ时,チメハ,印有这样的曲条直线DE满足要求.第四讲一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中,在各类数学竞赛中,一元二次方程的整数解问题一直是个热点,它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活,综合性强,备受关注,解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有:从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解;从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围,或引入参数（设△=42）,通过穷举，逼近求解;从韦达定理入手，从根ヮ系数的关系式中消去参数，得到关于两极的不定方程，借助因数分解、因式分解求解;“从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解.注;•元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、书达定理等与方程相关的知识,又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关.【例题求解】【例1】若关于X的方程（6イ）（9ーわズー（117-15か+54=0的解都是整数，则符合条件的整数是的值有个.思路点拨用困式分解法可得到根的简单表达式,四方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论,这样确定是的值才能全面而准确.注;系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件,看是否要分类讨论.【例2】已知a、ウ为质数且是方程x2_13x+c=0的根,那么セ+ク的值是（）aba127D125r123ハ121A.D.し.I）.

13思路点拨由韦达定理a、わ的关系式，结合整数性质求出。、h.c的值.【例3】试确定一切有理数r,使得关于x的方程r.r2+（r+2）x+r-l=0有根且只有整数根.思路点拨由于一方程的类型未确定,所以应分类讨论.当r#0时，由根与系数关系得到关于r的两个等式,消去r,利用因式（数）分解先求出方程两整数根.【例4】当,"为整数时，关于x的方程（2m-l）x2-（2m+l）x+l=O是否有有理根?如果有,求出,"的值如果没有,请说明理由.思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数.设ふ=（2m+1）2-4（2m-1）=4,"2-4”?+5=（2加一1）2+4="2（"为整数）解不定方程，讨论m的存在性.注:一元二次方程ax2+/jx+c=0(aWO)而言,方程的根为整数必为有理数,而△=>ー4改为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件.【例5】若关于x的方程”2-2(a-3)x+(a-13)=O至少有一个整数根,求非负整数”的值.思路点拨因根的表示式复杂,从韦达定理得出的。的两个关系式中消去a也较困难,又因。的次数低于x的次数,故可将原方,程变形为关アa的一次方程.学历训练1.已知关于x的方程(a-l)/+2xー。ー1=0的根都是整数,那么符合条件的整数。有一.2.已知方程x2-1999x+，”=0有两个质数解,则[11=.3.给出四个命题:①整系数方程。ズ+云+，=0也ナ0)中,若△为ー个完全平方数，则方程必有有理根:②整系数方程。x2+bx+c=0CaWO)中,若方程有有理数根,则△为完全平方数;③无理数系数方程"2+fct+c=0(aW0)的根只能是无理数:④若。、b、c均为奇数，则,方程。デ+bx+c=O没有有理数根，其中真命题是.4.已知关于x的一元二次方程ス2+(2。ー1»+パ=0(°为整数)的两个实数根是匹、々,则J*]-JX]~•5.设rn为整数,且4

141.求使关于x的方程し2+(た+l)x+&-1=0的根都是整数的k值.2.当〃为正整数时，关于x的方程2x2_8〃ス+10x-"2+35"_76=0的两根均为质数,试解此方程.3.设关于x的二次方程(M-6k+8)/+(2ピー6k-4)x+ピ=4的两根都是整数,试求满足条件的所有实数k的值..10.试求所有这样的正整数。，使得方程。x2+2(2a-l)x+4(a-3)=0至少有一个整数解.11.已知p为质数,使二次方程メ2-2px+p2-5p-l=0的两根都是整数，求出p的所有可能值.-12.已知方程X?+6x+C=0及X?+CX+匕=0分另リ各有两个整数根X|、X2及X、x'2,且X]*2>0，X'\X，2>0.(1)求证:X]く〇,*2<0,x；<0,xバ0；⑵求证:b-\

15参考答案図ー元二次方程的豐敬解【例题求解】供!5当A-6时・稗「•2ぺ时,得・・ー3.当上H6M时・・・ら・占山・岗•当6*-±1.±3.±»耐・X必整数•达时ん•7・5・3・15,-3./9ールー土1.±2・土3・±6时.i是整敷.这时A10.8.11•7.12.15.3.绛上所述43.6.7.9.15吋第方程的解为整数.例2速B」上6・13.9".A为2.11・<・必ー22.M3⑴当アi时.傅・・ナ不・・小I(2)当r#0时.设方程的两根力ヰ.V・ハ・対X,I"・一ザ・れ当=ア于是.&|ハー(れ亠れ)一2《二」1+匚ヨエ3•有(2"-1)(2ハー1)・7・・・》・・,为・效・且・1«ハ.•縄，I或ユ.剜,・ー』r，1ル-4し,•03或，・1・故所求一切有理效，カーチ遁!.倒4右カ・收)•用(2，ー1ジ+4-/

16IL△一イ,_4（ガ_5/>1）-4（52メ1》为完全平カ敷,从而t>p：i为克金平方敢,令"+］エメ,注意到p22,故“〇•!.且“为整敏•于是5/»«为セ動い•：5。+1ロ25m±10）十1,0=ル（5*t2）.由。为质数,5A:2>1知上ー】,户・3或7.当0-3时,原方程变为ゴー6*—7=0,得らU_1・厶♦7:当/>一7时.原方程变为,一“X+13-0,^J,-1.x,«13.所或小エ3我7.1A《】>蟆设る>0.由r^>0知ハ>。•もー厶・-6-ーゴド‘い还与已知あq>0.メイ、>0矛盾,故x,<0,x><0.MWx*i<0.x\<0.<2）「ー❶ー】）・ム&+オ亠エ，+】=（ヨ+1）（よ:イ1》ユ。.故，》ル-1.对于方狎ゴ+“+シ=0迸行同样讨怆.那8》。一1・捺上有b-IGYb+L（3）①马c=6+】时•スi厶=ーEー4+1.从而（*）+1）（*,41）-2—（—1）X（—2）-1X?.ノオ宀--1jあ+32抜し+…-2或L+.一由此算出ー，…符合M*.②当ぐ=〃.有・Iム・ー（6+ハ）•从而《西+n<ヰ+l）=】•因此,あ・ーー2.故,符合雑意③当eb-1时,ルユ¢+1.时方程ゴ+s+6・。作类似①讨论有6.’-5.嫁上所述博三的依.くんC-（6.5）J5*6）.（4.4）.い.17二ーーテ—•当b=1时,,-2或。•这样的宣角三角形不存あ,假设还存在不为「,成］的整数加使得方程有整数根.则バー加+1-プq为整数）•即ザー切がー】,必有Meー］）テなー1）3+わ.而郁（（»_】）姑两个连续的不为0的整数的乗根.但是"-1）靴な+ル、】知（オー1）鼻不是连纹畫数.故切ザ・O貝mH］时.パーe+I不是菜维数的平方・徐上所述,満足条件的頁角.:角形不存在.第五讲转化一可化为ー元二次方程的方程数学（家）特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑,通常运用符号进行形式化抽象，在ー个概念和公理体系内实施推理计算,若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女教学家路莎・彼得在《无穷的玩艺》书屮写道:“作为数学家的思维来说是很典型的,他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形,直至把它转化为已经能够解决的问题.”转化与化归是解分式方程和高次方程（次数高于二次的整式方程）的基本思想.解分式方程，通过去分母和换元;解高次方程,利用,因式分解和换元,转化为ー元二次方程或ー元一次方程去求解•【例题求解】【例1】?y2x2-5x+-5=0,贝リ21-5X-1的值为.2x2-5x+l思路点拨视2パー5x为整体,令2x2-5x=y,用换元法求出y即可.【例2】若方程あ五=一有两个不相等的实数根,则实数P的取值范围是（）A.p>—1B.p«0C.-l0的階含制约.注:转化与化归是ー种重要的数学思想,在数学学习叮解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化:实际问题转化人为数学问题,数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化等.解下列方程:

17x2+3xx2+x-4111=——2x2+2x-83x2+9x12(2)(1999-x)3+(x-1998)3=1；13x-x〜x+1(x+13-xx+1按照常规思路求解繁难,应恰当转化,对于(1),利用倒数关系换元;对丁イ2),从(1999-x)+(x-1998)=1受到启,示;对于(3),设),=え士,则可导出x+y、xy的结果.X+1注:换元是建立在观察基础上的,换元不拘泥于一元代换,可根据问题的特点,进行多元代换.【例4】若关于x的方程之ーユー=如ノ只有一个解(相等的解也算作一个),啾ス的值与方程的解.X-1X2-XX思路点拨先将分式方程转化为整式方程,把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论,“只有一个解”内涵丰富,在全面分析的基础上求出な的值.注:分式方程转化为整式方程不一定是等价,转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有・个解,也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中・个是原方程的增根,故分式方程的解的讨论,耍运用判别式、增根等知识全面分析.【例5】已知关于x的方程(x+巴)2-5xー丄=-6有两个根相等，求a的值.XX思路点拨通过换元可得到两个关于ズ的含参数a的一元二次方程，利用判别式求出"的值.注:运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨，是近年中考、竞赛中一类新题型,尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为基础,但对转换能力、思维周密提出了较高要求.学历训练1.若关于x的方程丝把一1=0有增根,则。的值为:若关于X的方程型经=-1曾=一1的解为x—1x—2正数,则4的取值范围是.

18•Tx(x-l)x(x+l)(x+l)(x+2)(X4-9)(X+1O)12,3.已知方程J3x+2m='xー〃7有一个根是2,则加二,4.方程x?+3x——=9的全体实数根的积为()x"+3x—7A.60B,一60C.10D,一105.解关于x的方程上——亠=亠不会产生增根,则是的值是()x-lX2-1X4-1A.2B.1C.不为2或ー2D,无法确定6.已知实数オ满足I+ム+メ+丄=0,那么x+丄的值为()xlXXA.1或一2B.-1或2C.1D.—27.(1)如表,方程1、方程2、方程3、……,是按照一定规律排列的一列方程,解方程1,并将它的解填在表中的空格处;(2)若方程巴一一!一=l(a>b)的解是西=6,x2=10,求a、b的值.该方程是不是(1)中所给的一列方XK-b程中的一个方程?如果是,它是第几个方程?x-4-x4-12x~+x+219'=—x2+1x24-X4-16x2+llx-8x24-2x-8x2-13x-8(3)(x4-l)(x+2)(x4-3)(x4-4)=120；.(4)2ピ+丄)-3(x+丄)=1.x2x9.已知关于x的方程メ+2x+f•竺と0,其中机为实数，当m为何值时，方程恰有三个互不相等的X.4-2x-2m

19实数根?求出这三个实数根.9.方程1-2--\-=2x+x2的解是XX111.12.解方程，一+テユー+ナ二ー+テニ——x+xx+3x+2x+5x+6x+7x+12-X-エロx+1x+8x+2x+7力在+=+x+2x+9x+3x+813.若关于x的方程“ア十丄行ー丄=0恰有两个不同的实数解,则实数a的取值范围是2314.解下列方程:(1)(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6；(2)(x2+3x-4)2+(2x2-7x+6)2=(3x2-4x+2)2；15.当a取何值时,方程を三一三=ア+”有负数解?x-2x+1x2-x-216.已知x4-5x3+8/-5x+1=0,求x+丄的值.X17.已知:如图,四边形ABCD为菱形，AF丄上AD交BD于E点，交BC于点F.(1)求证:AD、丄DEXDB；2⑵过点E作EG丄AE交AB于点G,若线段BE、DE(BE0)的两个根,且菱形ABCD的面积为6人,求EG的长.

20参考答案囱转化一可化为ー元二次方程的方程【例题求解】例I。或2设2デー5kル则"詣ー5ー〇,解得丁ー[，”ニカ例2选Cム>。且めユれVO,心ハ例3⑴1イ二・ピ「r,方程化为ナア+[=整,解得め・ー1.わ・ーイ.W0ユ麥'（2）设1999よ=0.エー1998二仇1999ーI+イー1998=1.则原方程ボ+か二（0+わ3刑2・。.即（1999一ズ）（エー1998）n（>・[・あ=1999,工?M1998.（3）设y・丁:‘剜ry{jc\y）=42.又ハ+（ア+ン）•岑下古十ラテ!^=13・:・ハ.m十ア是方程ハー⑶+42ー。的网根・策得れ®36,厶=7,即，或（,迹而可悔501.ム=6.ハ=3i隹・I・3-72.Uy*=6Iハ-7例ノ睨方程化为»デー熊バ2Nー1-0<*）（D当20时.原方程有惟一川・一チ，（2）当・#0时•方程（嫌）ム=5ど+4なー1ド>0.总有两个不同的实数校.由题廠知必有一个根是原方程的埔根•从原方軽知增根只能是。或1.・热。不是《※）的根，故よ匸1•科2:・例5设オ+浮つ・则ザーわ+6-0.解福弘2.»・3:*>—2ズ+&ー。（D.エ‘ーシ+'■»（）②若①有関个相等的实根,则»T一い〇•得m…若②有两个相等的实根・则ム・-9一“0,得ム一年.若①、②厶公共根.則y—2x+«デー3.+".得1・0•不合物意•舍去・故a=】或1・・【学力训练】1.-1*u<2且けメ12.お程中每个分式可分拆交静，得メ「ア片:キ鯉得エ，=二丝子丝々,一二殳デ變.3./it3—14.A5.C6.A7.（1>Mマ3.ハnれ（2>a=6+2Ji.b6-2J二原方程为!―k-L不是表列的系列方程中的ー个,（3）第川个方程为火严ー"ア卜”为自然数）•解得ハ司丄2.为=25+1）.8.(I)ビピ!j-4-ir丁,-7k+1+产す=丁,，，=11，-^"——•（2>设!•+2,8=.丫,第得メ=9I或了-5”,进而稗w・8・n・ー1.ハ=8.ムエ】(3)-6.*,=・1,(4)ヨニラ,厶=2.9.设M+Zr-y,贈羸方程可化为ガー2,“+ボ】・0•解得あ"m+I・・3m—1・;・V+2オー例ー1—。①・デ+2上一和+1=0②从而へ=4e+8,%4E中应有ー个等于零・ー个大于零.紐讨论当△。即冽=0时・ヘ>。•此时方野②布■两个相等实根上ー1.方程①有两个不等实根…・ー1土”.13.心〇或L一福・注意，ア《ンア）"原方程有两相等实根或由负数实根・14.（1）血十び（6上+8M6よ+6）・72.加掰スLー号・mLー告.（2）（ズ亠3j1-4）'十0-レ+6>=[（，+3スー4）+（2メー7X+6）ゴ♦解得カ。14山=1.ハ=2.r「歩⑶［，一品:・+2.缶ー3.即（まf）'+2.%=3,-L峙^.⑷あ=7・エ「——.15•原方程去分母整理,得2/6/+3-O・0①（1）当カ程①的两个解ハ,孙晶是负数时,マ4十ハ・3..•・方程①不存在网个负数解.⑵方程①的两个斛,心中有一个W是负效时,可用!g0,即，"2+8Q。.得»3,.,（x-2>（x*D^O,Ax^2且エX-l,即aW-］且aK".故当a>3Ra^ll时,原方程有ー个负数解】6.方程中各項系數关チ中同项对称,づ口,住方程网边问除以イ,得（ゼ+チ）3（工+；）48=°,即（,トナ）‘一5（Nチ）+60.•Hレ+ナ=2或エ+ラ-3.

211Z<1>连AC•交B"于H.if咧△EA3AAHD.iJ£'-2«-BK=m,BD-3m.|^---l..EG=jAD=-i^/yDEXDB=^n,..$-6V3=BDxACX-1...4（.-^.AH=乎.又DH-yBD=-1-m,4D-v?m..,.3In,キ+%ゝ”2正6ー号》!=竽.第六讲化归ー解方程组的基本思想初中阶段已学过的方程组有:二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组.尽管具体到每类方程组的解法不全相同,但纵有千变万化,而万变不离其宗:化归是解方程组的基本思想,降次与消兀是化归的主要途径,因式分解、换元是降次的常用方法，代人法、加减法是消元的两种主要手段.解・些特殊方程组（如未知数系数较大，未知数个数较多等）,需要在整体分析方程组特点基础上，灵活运用一些技巧与方法,常用的技巧与方法有迭加、迭乘、换元、配方、取倒等.注:转化与化归是解方程（组）的基本思想,常见形式有:分式方程整式化无理方程有理化高次方程低次化多元方程一元化通过恰当的转化,化归目的明确，复杂的方程（组）就会变为我们熟悉的、简单的方程（组）.【例题求解】1x+y+め=8y+z+yz=15，则x+y+z+xyz=-z+x+zx=35思路点拨由ab+a+b+l=（a+l）3+1）想到从分解因式入手，还需整体考虑.【例2】方程组"的正整数解的组数是（）A.4B.3C2D.1思路点拨直接消元降次解三元二次方程组较困难,从分析常数项的特征入手.

22【例3】解下列方程组:り+x+y=-13x2+y2=29⑵[x（x+D（3x+5y）=144x2+4x+5y=24⑶（胃+1+わー1=2[x+y=26思路点拨对于⑴,先求出整体ス+y、町的值,对于（2）,视ド+ス、3ズ+5），为整体,可得到（ズ+ズ）+（3ズ+5）リ、（パ+x）（3x+5y）的值;对于⑶设§x+l=a,^/y-1=b,用换元法解.【例4】已知a、b、c三数满足方程组]:+'ポ,试求方程bx2+cx-a=0的根.[ab-c2+8ノ2c=48思路点拨先构造以。、ウ为两根的一元二次方程,从判别式入手,突破c的值.注:方程ワ方程组在一定的条件下可相互转化，借助配方法、利用非负数性质是促使转化的常用工具，一个含多元的方程,往往蕴含着方程组.【例5】已知方程组[丫2=4X有两个实数解为卜和ド=り且ス产ガ〇,メ产ス2,设パ丄+丄,[y=2x+aい=力[y=y2ムス2.（1）求a的取值范围;（2）试用关于a的代数式表示出ワ;（3）是否存在ヮ=3的。的值?若存在,就求出所有这样的。的值;若不存在，请说明理由.思路点拨代人消元,得到关于x的一元二次方程，综合运用根的判别式、韦达定，理等知识求解，解题中注意隐含条件的制约,方能准确求出。的取值范围.注:方程组解的性质、个数的探讨问题，往往转化为一元二次方程根的个数、性质的讨论,但这种转化不一定是等,价的,注意隐含条件的制约，如本例中y2=4x>0,则x>0,这就是ー个隐含条件.学历训练

231.一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是?=-2,试写出符合要求的方程レ="4组（只要填写ー个即可）.2.若方程组卜2+ザ=团有两组相同的实数解,则加的取值是.Ix-y=23.实数x、ハz满足卜+"-2り+2z2=0,则ズ2>+N的值为x=6-3y4.已知x、y、z2是正整数,并且满足[3x；4y=o,那么x+y+z的值等于[x+y+z=Vx+y+z-3+155.已知〃ノ+2ノ〃〃=384,3mn+2/12=560»贝リ2〃!？+13〃!〃+6M-144的值为（）A.2001B.2002C.2003D.20046.已知ス+y=l,x3+3x2+3x+3y-3y2+y3=37»则。+1尸+（ドー1尸二（）A.337B.17C.97D.17.解下列方程组:⑴卜,+プ胃=1]⑵卜。2=3;+3y[x-y^xy2=30]ズーり+ヅ2=汇8.已知方程组ト有两个实数解和ド=*2,且丄+丄=ユ,求机的值..y=x+m[y=y1[y=y2x1x229.方程组[2x;y="的解是lx-+y+x+y=3210.已知实数.あ是方程组丄y~x的解,则Xq+.oy=kl+i111知"2+"3+"4+"5"|+"3+"4+fl5"1+a2+d4+"5a\+a2+a5a\+a2+a3+a4a\a2"3a4"5%+a2-^a3+a4+a5w0,则え是的值为.12.已知方程组的两组解是（スいカ）与（々ノ2），则修ぎ2+ス2H的值是.13.已知〃?〃+p?+4=0,〃?=4»则〃2+れ的值是（）

24A.4B.2C.—2D.014.设x,y为实数,且满足卜ー%+2003(-1,则=()[(y-l)3+2003(y-l)=lA.10B.-1C.2D.—215.解下列方程组:へ1，¢2)(X2+9)(y2+4)=24xy(3)x=(x2+3ズー2)2+3(x2+3スー2)—216.已知方程组イ2-y+y石⑴的两个解为ド」和・:;,且“,れ是两个不相等的实数，若占ー+め~-3.*］め=8a~-6。—11.(1)求。的值;(2)不解方程组判断方程组的两个解能否都是正数?为什么?17.已知〇、h是方程バT-l=0的两个实根,x解方程组。bVH—=1+ya18.已知ス、y为实数,且满足り+无+,=17,x2y+xy2=66y求ス"+ズ3y+/y2+り3+ゴ的值.

25参考答案ロ化归——解方程组的基本思想【例覇求解】例】36的条件町如GT1“1rM》-9.（ア+1貝・，1）・16・（*+1）（*+1）-36,三式相累・又rD（y|）（x卜】）-72B十1-2.即）・丨・所以凱式―・+・+EI-3§.例2逸C由（1亠ア）=-23X1•得X・1,イ",—23.倒4丁C8.“メー832。卜48・よ是方程ーー。+ーー8宿+48・。的川桜,故バ阴式△-8:〃イ80+48）-TUTvW次,—路从前::“'.・之得ドン所以有4デい岀4=0.制腸あー乌二军レ〜16l"42第s0.解得“〈ラ且マ6（幻人的中）（3）■よ或『十メ"ー4.解掰-1丄々，hj・2±K.

2616.⑴。・ーチ(2)xi-rxj-l＞O.x,•xt-a+l-1＞0••,エ:且シー》+1＞。•カ・れ+＞。•故存在カ程组的两个解都是正数・।I(6x+ajr=—(l+x)①一,公《•丄217.原方也加化为丄ムハ亠、ベ•①+②・得エ+'.一|イ!lar+by=ー《1+》)②、=_»L(含去)或工+y-11ハユ6—个二元一次方程Arx-y+b=0:任意一个关于x、y的二元一次.方程＜u+6y+c=0,可化为形如y=-@x-£(bwo)的函数形式.bb数的思想可以研究直线位置关系,【例题求解】【例1】如图，在直角坐标系中,第七讲坐标平面上的直线一般地,若y=h+b(k,b是常数,^0),则y叫做x的一次函数,它的图象是一条直线,函数解析式y=履+b6中的系数符号，决定图象的大致位置及单调性(y随x的变化情况).如图所示:坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程,而利用方程和函求坐标平面上的直线交点坐标转化为解由函数解析式联立的方程组.直角梯形0ABC的顶点A(3,0)、B(2,7),P为线段0C1・点,若过B、P两点的直线为丫］=&1ス+d,过A、P两点的宜线为ッ=ム2*+レ2，且BP丄AP,则た也因+&2)=.思路点拨解题的关键是求出P点坐标,只需运用几何知识建立0P的等式即可.【例2】设直线nx+(〃+l)y=拉(〃为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为5.(〃=1,2,…2000),则Sl+Sz+…+S2000的值为（）..„1999„2000n2001A.115.し•u.200020012002思路点拨求出直线与x轴、y轴交点坐标,从一般形式入手,把S“用含"的代数式表示.【例3】某空军加油飞机接到命令,立即给另ー架正在飞行的运输飞机进行空中加油.在加油过程中,设运输セ机的油箱余油量为。吨,加油匕机的加油油箱余油量为5吨,加油时间为，分钟,Ch、Q2与r之

27间的函数图象如图所示,结合图象回答下列问题:(1)加油も机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输ミ机需多少分钟?(2)求加油过程中,运输飞机的余油.量Q(吨)与时间，(分钟)的函数关系式;(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由..思路点拨对于(3),解题的关键是先求出运输飞机每小时耗油量.注(1)当自变量受限制时，一次函数图象可能是射线、线段、折线或点，一次函数当自变量取值受限制时,存在最大值与最小值，根据图象求最值直观明了.(2)当一次函数图象与两坐标轴有交点时,就与直角三角形联系在ー起，求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题的基础.【例4】,如图，直线y=-3x+l与X轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等3腰直角△ABC,ZBAC=90°,如果在第二象限内有一点P(a,丄),且ハABP的面积与ふAABC的面积相等,求。的值.思路点拨利用S△加,=Sa.建立含a的方程，解题的关健是把S△加表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差.注:解函数图象与面积结合的问题,关键是把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形面积来表示，这样面积与坐标就建立了联系.【例5】在直角坐标系中，有以A(一1,一1),B(l,一1),C(l,1),D(—1,1)为顶点的正方形,设它在折线y=|x-a|+a上侧部分的面积为S,试求S关于的函数关系式，并画出它们的图象.思路点拨先画出符合题意的图形,然后对不确定折线y=|x-a|+a及其中的字母"的取值范围进行分类讨论，"的取值决定了正方形在折线上侧部分的图形的形状.

28注:我们把冇自变量或关于自变量的代数式包含在绝对值符号在内的ー类函数称为绝对值函数.去掉绝对值符号,把绝对值函数化为分段函数,这是解绝对值的一般思路.学历训练1.一次函数的自变量的取值范围是ー3

29A.32元B.36元C.38元D.44元质量/f克（第6題）

306.某医药研究所开发了・种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么服药后2小时时血液中含药量最高,达每毫升6微克(1微克=10。亳克)，接着逐步衰减,10小时时血液中含药量为每亳升3微克，每毫升血液中含药量(微克)随时间x(小时)的变化如图所示,当成人按规定剂量服用后.(1)分别求出x<2和x22时y与x之间的函数关系式;(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长?(第7題)(第8題)(第9題)7.如图，正方形ABCD的边长是4,将此正方形置于平面宜角坐标系xOy中,使AB在x轴的正半轴上，A点的坐标是(1,0)⑴经过C点的直线y=タズー号与x轴交于点E,求四边形AECD的面.积:33(2)若直线/经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分,求直线，的方程，并在坐标系中画出直线I.8.如图,已知点A与B的坐标分别为(4,0),(.0,2)(1)求直线AB的解析式.(2)过点C(2,0)的直线(与x轴不重合)与ふAOB的另ー边相交于点P,若截得的三角形与AAOB相似，求点P的坐标.9.如图，直线y=-2x+6与x轴、y轴分别交于P、Q两点,把△POQ沿PQ翻折，点。落在R处,则点R的坐标是...(第10題)10.在直角坐标系xOy中，x轴上的动点M(x,0)到定点P(5,5)、Q(2,1)的距离分别为MP和MQ,那么，当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标为.11.如图，在直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(15,6),直线丫=丄ズ+ケ恰好将矩形OABC分成'3面积相等的两部分,那么b=.12.如果一条直线/经过不同的三.点A(a,b),B(b,a),C(a-b,b-a),那么，直线/经过()象限.A.二、四B.ー、三C.二、三、四D.ー、三、四

316.ー个一次函数的图象与直线y=2x+史平行,与x轴、y轴的交点分别为A、B,并且过点(一1,一4425),则在线段AB(包括端点A、B)±,横、纵坐标都是整数的的点有()A.4个B.5个C.6个D.7个7.点A(—4,0),B(2,0)是坐标平面上两定点,C是y=-Lr+2的图象上的动点,则满足上述条件的直角AABC可以画出()A.1个B.2个C.3个D.4个16,有一个附有进、出水管的容器,每单,位时间进、出的水量都是一定的,设从某时刻开始5分钟内只进不出水,在随后的15分钟内既进水又出水,得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如下图.若20分钟后只出水不进水，求这时(即x220)y与x之间的函数关系式.17.如图，4AOB为正三角形,点B坐标为(2,0)1过点C(2,0)作直线交A0于D,交AB于E,且使△ADE和△DCO的面积相等，求直线/的函数解析式.18.在直角坐标系中，有四个点A(—8,3),B(—4,5),C(0,〃)，D(w,0),当四边形ABCD的周长最短时，求丝的值.n19.转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气,某装置可通过冋收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污染,该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关.现经过试验得到ド列数据:通过电流强度(单位A)11.71.92.12.4氧化铁回收率(%)7579888778如图建立直角坐标系,用横坐标表示通过的电流强度,纵坐标表示氧化铁回收率.(1)将试验所得数据在右图所给的直角坐标系中用点表示(注:y|该图中坐标轴的交点代表点(1,70)；(2)用线段将题(1)所画的点从左到右顺次连接,若用此图象来模拟氧化铁回收率y关于通过电流X的函数关系，试写出该80函数在1.7WxW2.4时的表达式;_c(3)利用题(2)所得函数关系,求氧化铁回收率大于85%时，该装置通过的电流应该控制的范围(精确到0.1A).-77^720.如图,直线0C、BC的函数关系式分别为y=x和y=-2x+6,动点P(x,0)在0B上移动(0

32参考答案

33頂）坐标平面上的直线【例题求解】例］一年或•.设（）”・・由!<心「財8氏心ん汽，得ラ・‘3’，解蹲ア1或ノ=6.当P40.】）时•8<2.7》.ん（3.0〉.貞技PBカッーカト1.直线PA为リーチr+h当P（0,6）时•8（2.73人（3.01,则貨线PB为・•;工ー6.五战PA为,——2M干6.例2选CS,-j^-p.Si+S,+-+S»«-j^2+2^^―+2000X2001-200l,例3(1)30啤,10分»，f40*61A-2.9(2)设Q=»Alん揖(0.40〉和《10.69»代人得い,ー丄人併科h_,ハ:・Q,2.9r-40(0G，V10)169-10A+や.lo=4V《笛曲图象知运,飞机的耗油量为毎分・0.1咤・・・・1()小时，E油・为:IOX6OXO.1，60(吨)<69(吨)••••油料够用例4A(V3.0).H(0.1).OA-y3.OB-l.AB-2.SAAM-SAAM2.连P0・Sy>r=g,S"一ーy»S9.亨ズSae+Se-S3-3•”尹亨一ヰ•2.解得い'^^A例S(I)当aNl时メ:エー”+”的曲象与正方形ABCD没有公共部分.S・0,(2)^OCaCl»f.S-y(la)X2(l-a)-(l-a),i⑶当TG<。时ユa，(ー吗。ー一生—十か.(4)^5a<1时.S=2・0(a>l)(ーア«XaH2.0）.Sセ呼」!ユ・Ioく平オ単位）；L13^X（2）过点E及正方形对称中心的直线即カ所求真线.逹.ACBD交于G,求得G（3,2）.设ホ线/的叫书チャ"オアよ方程为y=ん代入£（2,O）.G<3.2）.49±-2.5=-4.故声线［的方理为、=2イー4.9.《I”-2r+2；<2）当CP〃人H时.PNO.I）i当3〃（出时.日（2.1）.当".丄人B时,P,（，.等）10.（3胃）II.y?2,】）关チよ箱对称点0’（2.一1）,〃线ド。与,输交点即为乂亂1，;直线过矩影。ABC的中心6（学.3）.13.A可将“+20.I4・Bん”为ぎ・年l学ヰ"-19）バ19是I的倍收,又一19G-I9«0,15.D16・当°4よ45时・只透水不出水ヅ・レ・每分怦进水4升,当5VY2O网.既透水又出水ジ・20Jれ这样以送又出,毎分忡还可进水I升•则每分・出水3升1ッ》2。时•只出水不进水ヅ・35-3。ー20）.即v-3x4-95.

3417.$ム.!»*_5A*|(|〜内\设点・里标カ55),m5"><—・・・・»4§«乂ス3的筹析式为さ・ー・('2),:・•”一《52).伸」,■•!・・・”(テ・チ).故百絞/的鲫析式为び亨い+2).1民作点A(ー8.3)关于ア轴的对称点A'(-8.ー3),作点8(—4.5)关于ア轴的对部.点B’(4・3)，直线A%’的方程为パf［线AW、」•交点D(加。),与y知史点为C(0・“)•叫傅”y.(2)图象”析式为げX+2.5(1.785.W1.885,得2.185.掾合L述可知:满足要求时•谟装置的电废应控制任!.«A±2.2AZH•20.U)C点セ标カ《2.2h(2)作CD一，轴于点。.MD<2.0)①当0W时.设H线ノ交OC于点Q-則Q<3)•♦•”チメ.②当2V上<3时.设直线ノ与Ob交ナ点Q.则QG.6-2G.向氏3.0).剜△BQア的囱枳-JX(3—x)(6-2x)(3—j),.Z.ji«S—<3—^),即、・ーゴ+61-6(4)・・・(2)中AODC面根大于△BZX・面板,若直线/要平分△OBC曲釈.则点P只能在我段OD上,即0VxV2.乂三角儿OBCifi帜为3..•.设ラザ・言鮮之树イ・肉G會去)S然0V&V2.工，平分△()比・面租时,相应x的值大心.第ハ讲抛物线一般地说来,我们称函数y="2+bx+c3、b、c为常数,awO)为x的二次函数,其图象为ー一条抛物线,与抛物线相关的知识有:1.a>b>c的符号决定抛物线的大致位置;2.抛物线关于x=-2对称，抛物线开口方向、开口大小仅与“相关,抛物线在顶点(ー丄,处正)2a2a4a处取得最值;3.抛物线的解析式有下列三种形式:①一般式:y=ax24-Z?x4-c；②顶点式:y=6z(x—h)~4-k；

35③交点式:y=a（x-X1）（x-X2），这里ム、ル是方程0+か+，=0的两个实根.确定抛物线的解析式一般耍两个或三个独立条件,灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键.注:对称是一种数学美,它展示出整体的和谐与平衡之美,抛物线是轴对称图形,解题中应积极捕捉、创造对称关系,以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有：（1）从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息;（2）从抛物线的对称轴方程与抛物线被x轴所截得的弦长获得对称信息.【例题求解】【例1】二次函数y=x2+fcv+c的图象如图所示,则函数位y<0时，对应x的取值范围是思路点拨由图象知抛物线顶点坐标为（一1,一4）,可求出b,c值,先求出y=O时，对应x的值.【例2】已知抛物线y=x2+bx+c（。く0）经过点（一1,0）,且满足4“+め+c>O.以下结论:①a+か>0；②a+c>0;③-a+6+c>0;®b2-2ac>5a2.其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个思路点拨由条件大致确定抛物线的位置,进而判定“、6、c的符号;由特殊点的坐标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系.【例3】如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4分米,抛物线顶点处到边MN的距离是4分米,要在铁皮上截下一矩形ABCD,使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?),思路点拨恰当建立直角坐标系,易得出M、N及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式,设A（x,y建立含x的方程,矩形铁皮的周长能否等丁•8分米,取决于-求出x的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内.注:把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题,需要观察分析、建模,建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法,同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解.【例4】二次函数y=ー丄x2+3x+”-2的图象与x轴交于A、两点（点A在点B左边）,与y轴交于C点，22'且/ACB=90°.(1)求这个二次函数的解析式;(2)设计两种方案:作一条与y轴不重合,与AABC两边相交的宜线,使截得的三角形与ふABC相似,

36并目.面积为ふBOC面积的丄,写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注:设计的方案不必证明).思路点拨(DA、B、C三点坐标可用m的代数式表示，利用相似三角形性质建立含m的方程;(2)通过特殊点,构造相似三角形基本图形，确定设计方案.注：解函数与几何结合的综合题，善于求点的坐标,进而求出函数解析式是解题的基础;而充分发挥形的因素,数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键.【例5】已知函数y=(a+2)x2_2(a2_l)x+l,其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x何值时,函数值最小.思路点拨将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为ス=でユ=(«-2)+丄,因〇＜丄く1,4+2a+2a+2a-2〈巴」4a-l,故函数的最小值只可能在x取a-2,a-2,二二1时达到.所以，解决本例的关键在〃+2a+2于分类讨论.学历训练1.如图，若抛物线y=a/与四条直线・=1、ズ=2、y=l、y=2所围成的正方形有公共点，则a的取值范围是•2.抛物线丫="2+かr+6•与ス轴的正半轴交于A,B两点,与y轴交于C点，且线段AB的长为1,AABC的面积为1,则b的值为.3.如图，抛物线的对称轴是宜线x=l,它与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点A、C的坐标分别为(-1.,0)、(0,-),则(1)抛物线对应的函数解析式为:(2)若点P为此抛物线上位于x轴上方2的ー个动点，则ふABP面积的最大值为.(第1题)(第3题)(第4题)

374.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,且OA=OC,则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的式子①夂"'-"-=-1,②℃+。+1=0,③aん>0,@a-b+c>0,>0,其中正确结论的序号是4a(把你认为正确的都填上).5.已知a<-l,点(a-1,力)，(a,y2)>(a+1,)?)都在函数丫=ズ的图象上,则()に，1<，2<丫3B.J!2C.，3<丫2<力D.丫2<月<丫36.把抛物线)，=/+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位,所得图象的解析式为y=r_3x+5,则有()A.b=3tc=1B.Z?=—9»c=—15C.b=3,c=3D.b=—9,c=217.二次函数y=41+bx+c的图象如图所示，则点(a+b,ac)所在的直角坐标系是()(第7题)8.周长是4m的矩形,它的面积S(nO与一边氏x(m)的函数图象大致是()9.阅读下面的文字后,回答问题:A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,a),B(l,-2),求证:这个二次函数图象的对称轴是直线x=2.题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.(1)根据现有的信息,你能否求出题目中二次函数的解析式?若能,写出求解过程;若不能,说明理由.(2)请你根据已有信息,在原题中的横线上，填加一个适当的条件,把原题补充完整.10.如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的解析式;(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手，问:球出手时,他跳离地面的高度是多少?(第!0题)

3810.如图,抛物线和直线ヅ=ほー4k（た<0）与x轴、y轴都相交于A、B两点,已知抛物线的对称轴与x轴相交于C点,且/ABC=90°,求抛物线的解析式.11.抛物线），=如2+わx+c与x轴交于A、B两点与y轴交于点C,豁ABC是直角三角形,则ac=12.如图,己知直线y=-2x+3与抛物线y=デ相交于A、B两点，〇为坐标原点,那么△OAB的面积等于.13.已知二次函数y=ax2+bx+c,一次函数y=Jt（x-l）一二.若它们的图象对于任意的实数是都只有一个4公共点,则二次函数的解析式为.14.如图，抛物线第暑以に締乂黜〃J是A,B,E,且4ABE是等腰直角三角形,AE=BE,则下列关系式中不能总成立的是（）A.b=0B.Saadc=c2C.ac=-1D.a+c=O15.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:已知二次函数y=x2+/>x+c的图象过点（1,0）…求证:这个二次函数的图象关于直线x=2对称.根据现有信息,题中的二次函数不具有的性质是（）A.过点（3,0）B.顶点是（2,-2）C.在x轴上截得的线段长为2D.与）,轴的交点是（0,3）16.已知A（x“2002）,B（X2,2002）是二次函数y=32+ウx+5（aw0）的图象上两x=占+孙时，二次函数的值是（）A.—+5B.^-+5C.2002D.5a4〃17.某种产品的年产量不超过!000B'll,该产品的年产量（单位:吨）与费用（单位:万元）之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的•部分（如图1所示）;该产品的年销售量（单位：吨）与销售单价（单位：万元/吨）之间函数的图象是线段（如图2所示）.若生产出的产品都能在当年销售完,问年产量是多少吨时,所获毛利润最大?（毛利润=销售额ー费用）.18.如图,已知二次函数)，=2/-2的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与｝,轴交于点C,宜线:x=m(m>l)りx轴交于点D.(1)求A、B、C三点的坐标;(2)在直线x=m(m>l)上有一点P(点P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、〇为顶点的三角形相似,求P点坐标(用含m的代数式表示)；

39(3)在(2)成立的条件下，试问:抛物线y=2--2上是否存在一点Q,使得四边形ABPQ为平行四边形?如果存在这样的点Q,请求出m的值;如果不存在，请简要说明理由.10.已知二次函数y=x2-x-2及实数a>-2,求(1)函数在ー2

40参考答案回抛物线【例题求解】例1~3./=-2/+4エ+8,剜的數/的自雙環的軍值范州是ー2VエオヂKV2.且アW0,并/=8,即ー2ゴ+い宀8-8,・得・・。或・=2.矛盾•故，不可能取8.一/£八,ヽ例4(い设A《ム・〇),B<ハ,。)・则ハ厶・ー2(中一2).04=一q.(汨ユム.又C(0.m-2),则fX7-m-2.由△AOCs^CUH.傅orOA・OB^ー了,不,即(切ー2ジ2(m-2).Xm—2>0•・•・ホ7.得y齐+2.(2)以下方案供参考:①分别取BO、BC的中点。いG・作直线01c.△801G符合.3(4.0).。(2・0).a(2,1).②在AB上裁ハ8Lん7一信.在•AC上取AO，AOエ1,作点线a&，4B。八符合・以《招1・0>。(ー1+”.例Sy("2)(よラヨ)〒1一笑三:•其时牀轴为了一三ヨ2'+1君,因カa为正・教・故。〈ふ〈】.•一2〈ラぐ〈。ー1.因我,•收的・小值只可・在1^“・Z^ーLm川达到・(I)当会oa-l时・!时.由ナユ热正整H.面《二为小数・故1。三)不曜达到・小他・

41当エ・・ー2时・a・<。イ»(•-：),-ZC^-DCa-JJ+l.当I*•,■<■+2”*—1アー2(デー1)("T)+l・又y\ー»・4一・，。)当4一”>0.即IV・V4且。为■效时.I取uー】•使y:为・小值:3)当4一Q・0.即a4时・齐»・力・此时r敢2或3|(氾)当4ー。V0.即a>4昼为整R时.ア取"ー2.使,y为・小值.1・当a・1时・0-1»当1VY4N.隆ヒ・・・《一皿小(其中0为・数)2或3.当a•く时・a-2.当9>4时.【学力训练】I.ナ《2X3X⑴尸ーア+*+ヨノ2乂4.②(3>WS.C6.A7.D1.D9.(1)能求出風日中二次函教”析犬.“折式カア・イーい・1・(2)可扑克的内容有(透其・町),aル-1或或②与Y・翁交点为e.n，③与1■的文点セ保为(2-G・0»或(2S/I.0),④量值カー3»⑤頂点第标为<2.一3h"-4W-12等.18.(I)ザー0.2ゴ+3.5.(2)当，・一2.5时ヅ-2.25(米)•博出ア时.他能寓康而型2.25-1.8-0.25-0.20(*).・f1.,.一］。・・«4+1プ+Aー.1211.A(4.O).B(O.2).fty-a(x-hD>^A.M(“解，l2-a(0f1V+Aレ・空二，‘一白，4D'+得ーー綻ーチよ+212.OT--I13.6ん(1.13H(3.9).14.由30«しQゴ+C。わよ+く「+*+キ>-0即U-a)¥-22+2aルレ"-4")-0.al.b・ー2・く・1.，・メ一2よ+1.415.Dli.B由同葬性知ワ,一交女为(3.0》.《1.0)》-ゴー"+3・17.D4(厶+・ハ・ー€n+18,ー丄18.南田!将曾用尸标メ.由阳2”浦び伶广ー焉，+30.故”溝WJ•，-L一吉デ+30…一吉《よ-75。ア+11250.所目.当年产量为750”时・所靛毛利・雄大.19.(1)(10.-2)»<2ゆ当△PDB^ZiCOH.梅P,g.2m-2>Q"PMABOCWMP,

4221.(I)(x_<2>)•(3I由点AU.S.a，.-6・hH<7,0>得/BACh/ABC=3O

43：ACB=12O•.①若以AB为腰,/BAQ为度角‘使△4时sZSCBA.WQ-2.3G“②告以BA为点不是抛物线的頂点i⑶粒物线产"，+的頂点电标为1ーW”>由同意用ん<・・鬻,'*1‘二:"把j._竽^代人,•«0メ+"+<="_与^〉'+M-)+cm>a*~"点ん在#i的蝮,=。メ+め1+’上，问理,点B也在鞄物线〉=ユメ+心+C上・第九讲方程与函数方程思想是指在解决问题时,通过等量关系将已知与未知联系起来,建立方程或方程组,然后运用方程的知识使问题得以解决的方法;函数描述了自然界中量与量之间的依存关系,函数思想的实质是剔除问题的非本质特征,用联系和变化的观点研究问题,转化为函数关系去解决.方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题,也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时,常将问题转化为解方程或方程组;而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答.【例题求解】【例1】若关于的方程|l-x|=mx有解,则实数n1的取值范围.思路点拨可以利用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨:作函数y=|l-x|,y=mx函数图象，原方程有解,即两函数图象有交点，依此确定m的取值范围.【例2】设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根匹,x2,且ム〈1くり,那么“取值范围是()A.—v〃<—B.a>—C.a<--D.

44【例3】已知抛物线.y=x2+(l-2a)x+a2=o(a*0)与・轴交于两点A(占,0),B(x2,0)(巧キ孙)・(1)求a的取值范围,并证明A、B两点都在原点0的左侧;(2)若抛物线与y轴交于点C,且OA+OB=OC—2,求”的值.思路点拨X2是方程x2+(l-2a)x+a2=o的两个不等实根,于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决,利用判别式,根与系数的关系是解题的切入点.【例4】抛物线)，=丄メ2-2(加+ラス+2(加+1)与丫轴的正半轴交于点3与x轴交于A、B两点,并且点B在A的右边，4ABC的面积是ふOAC面积的3倍.(1)求这条抛物线的解析式;(2)判断△OBC与ふOCA是否相似，并说明理由.思路点拨综合运用判别.式、根与系数关系等知识，可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键.对于(1),建立关于m的等式，求出m的值;对于(2)依m的值分类讨论.【例5】已知抛物线y=*2+px+g上有一点M(,y。)位于x轴下方.(1)求证:此抛物线与轴交于两点；(2)设此抛物线与x轴的交点为A(X],0),B(,0),且X[くガ，求证；X[0;对于⑵，即要证(勺ーム)3。-ル)<0.

45注:(1)抛物线与X轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨,需综合运川判别式、韦达定理等知识.(2)对较复杂的二次方程实根分布问题,常转化为用函数的观点来讨论,基本步骤是:在直角坐标系中作出对应函数图象,由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组.⑶ー个关于二次函数图象的命题：己知二次函数〉=ガ2+乐+。(axO)的图象与x轴交于A(スい0),B(,,0)两点,顶点为C.①AABC是直角三角形的充要条件是:△=/-4ac=4.②AABC是等边三角形的充要条件是:△=いー痴ぐニな学历训练1.已知关于x的函数y=(め+6)/+2(机-l)x+m+l的图象与x轴有交点，则m的取值范围是2.已知抛物线y=x2-(k-l)x-3«-2与x轴交于A(a,0),B(£,〇)两点，Ha2+/72=17,则&=3.已知二次函数y=kx'+(2k—l)x—1与x轴交点的横坐标为xi、xKxKxz),则对于下列结论：①当x=-2时,y=l；②当x>xz,时,y>0；③方程kx°+l(2k—1)x—1=0有两个不相等的实数根Xi、x2；④x1くー1,x2>-1；⑤xz-x,=ペ逊之,其中所有正确的结论是(只需填写序号).4.设函数)，=ス2-(攵+1)スー4伏+5)的图象如图所示,它与ズ轴交于A、B两点,且线段0A与0B的长的比为1：4,贝リえ=().A.8B,一45.已知:二次函数y=x?+bx+c与x轴相交于A(xi,0)、B(x2,0)两点,其顶点坐标为P(一9,4c'b-),24AB=IXi—x2|,若Szxapb=1,则b与c的关系式是()A.b2—4c+l=0C.b2—4c+4=0B.b2—4c—1=0D.b2-4c-4=06.已知方程W=+1有一个负根而且没有正根,那么〇的取值范围是()A.a>-\B.a=lC.a21D,非上述答案7.已知在平面直角坐标系内,0为坐标原点,A、B是x轴正半轴上的两点,点A在点B的左侧,如.图,二次函数y二ax?+bx+c(aWO)的图象经过点A、B,与y轴相交于点C.(1)a、c的符号之间有何关系?(2)如果线段0C的长度是线段OA、0B长度的比例屮项,试证a、c互为倒数:(3)在(2)的条件F,如果b=-4,A.B=4V3(求a、c的值.

46(第7题)8.已知:抛物线y="2+%x+c过点A(-1,4),其顶点的横坐标为丄,与x轴分别交于B(Xi,0)、C(xz,'2〇)两点(其中且＜x2),且ボ+ボ=13.(1)求此抛物线的解析式及顶点E的坐标;(2)设此抛物线与｝，轴交于D点,点M是抛物线上的点,若△MBO的面积为△DOC面积的1倍,求点M的坐标.9.已知抛物线y=丄.ドー•|/nx-2n!交x轴于A(み，〇)、B(x2,〇),交y轴于C点，且再V0＜ム(AO+OB)2=12CO+1.(1)求抛物线的解析式;(2)在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P,使/APB为锐角,若存在，求出P点的横坐标的范围;若不存在，请说明理由.10.设m是整数，且方程3x2+鹿ー2=0的两根都大于-2而小于之,贝リニ5711.函数y=x2-3|x|+7的图象与函数)，=--3x+ドー3x|+6的图象的交点个数是.12.已知"、6为抛物线y=(x-c)(x-c-d)-2与x轴交点的横坐标，a＜b,则ト-]+k-4的值为.13.是否存在这样的实数k,使得二次方程ド+(2た-l)x-(3«+2)=0有两个实数根,且两根都在2与4之间?如果有,试确定k的取值范围;如果没有,试述理由.14.设抛物线y=x2+Qa+l)*+2a+W的图象与x轴只有一个交点.4(1)求a的值;(2)求ノ&+32a4的值.15.已知以x为自变量的二次函数y=4x2-8小ー3〃ー2,该二次函数图象与ズ轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于x的方程x2-(7n+6)x+2(〃+1)(«+4)=0的一整数根,求”的值.16.已知二次函数的图象开口向上且不过原点0,顶点坐标为(1,-2)(与x轴交于点A,B(与y轴交于点C,且满足关系式。C?=0408.(1)求二次函数的解析式:(2)求ム皿じ的面积.17.设p是实数,二次函数y=x2-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点A(七,0)、B(,0).(1)求证:2px\+x22+3p>0;(2)若A、B两点之间的距离不超过|2?ー3|,求P的最大值.

47回方程与函数【例题求解】賓|作出よ敢‘・Pー"‘'"与・瓯方程れ*,即傅!B象有交点・由密第如l«r-1（エ>1）例2逸D“Whteア・ゴ上（什刀・卜9.同这个雄物政开口向上•因イ1V1V厶・故号11时•K。・y即|+《l+》+9V0・得一条VYa_ヾ彭/例3⑴由。エ。及ハTI>0.W«-2O.C（0・2wH2）是ア輪正事轴上的点,m2w»+2>O・WIe>-1.乂と-4（iw-彳）>O.jr•ハ・4•（m+1）>。，:,*>r>。,由S_j1kAM3S^a»r胃S2・••••厶3•由根、条敷关系可播峥，。ぶーjg.耐应的由也绞的修析式カl尹’一”+2ヅチ4ーも，y*（2）当”〇时.△Aav）A>aMJ凸H》-一]1时，△人or与厶げ出不和m例S⑴エ"L（ハ+专）'ー纥デ59，則ア:“>（4十号）N0.有"7q>。.即瀨物线与J»交于住点.（2）宀♦ハ・-0・_r".-g代人工」.タれy-«A<：°衣m'—Ui十，ハ，,+nMV°・（4一・】“れ一IハV。,敛ア「4<れ・【学力训练】I.—123.①CD④4C5•ロ・•(7.(l)«>0.c>0Aa<0.c<0»《2)设A(xi.0).B(xi.0).W0<^»Q・A8エ^^フ2・«0・S.(t)-2・a—-r»参考答定(2)ftA(x,Xi<0,x»>0.OA-’,用7ハ00”="・由ホ4"爲"""±+±=击,即びほTX.UAl--士凡=プ.故,々或アーいメーわ寸ぜ.⑶者存存満足条件的施,线・射。408,即ー*[―れ・・2+ム―〇.ー措・〇,的b0特“>3Z矛盾.故不存在,足条件的触物线・⑴E-l・kか«号「-2,<2>存在这样的P点式横驰为,,.使《APB为钱用.A（_I.0）.8“Q.C<0,n.A/r+婚.“♦，△んbc为鹿爲三.形,过ん冃,三点作©。用.为O0的直%r点美ア!rL.等对薜点m星@ル与立物鎖的另一交点.M（3'-2）.0<&V3.由覇•,春«3X(戸+««号-2>o.•*•3捺VmV411.412.a+b当，■.时・ッ——eVO.IUaVc<&

4813,这样的上值不存在,理由如下.设yn/（エ）=ゴ+（24ー］）エ.ー（3ル+2）井作出如图所示图象,则JI△-t2*-D,+4（3*+2»01/（2）-44-2（2i-l）-<3*+2»0\/“八4）一】6+4（2八ー1）ー（3ル+2）>0这个不等式组无解.2dニなx2<一/=_*+チ<414.U）由A-0将”=1（2）由（1）知・メ，。+1,反复利用此式可将a,«（aTl）,-3a+2»a'"（3fl+2）,-2U4!3.«w・ヽ/（210+13）"匸987a+610.=（987a+61O）（“+1）=2584a—1597•又a~*=Tし7=（3c+2）（a+I）・丽と・マがー。ー1=0,'64がー54a65=—1.即（8a+5）（8a-13）=一1,故原式二2584a»1597+323（-&i+13）=5796.1*ラ的值为1和。Iえ设二次福敷解析式为y・。（スー】）’一2aエ2.且a>O.a，2.ACxt.O.Bfx,,0）.C（0.a-2）（1）由ルえ!'=IOA|1。81,得（0-2）1|xixj=--—,即ガー4ボ+4a=ia-2|・当。VaV2,有ガー4が+5a—20»即いT/（a-2）・〇,傅ai-!或5-2（會去）,从而ぎNメー2i—1|当a>2时,有メー4ガ+初十2-0,即5—2）《ボ2aー】）.0,傅5・2（舍去）.・・|十だ・51一々V0（舍去）・从南ア=（1+々）ゴー（2+27fレ+々ー1.（2）S△心=&Sa.«（V2-1>72（V2-1）.け.（］）ム=4，+42>0.ズー2。不ーZ>=0•・・2,4+1ノ+3。・2。へ十2/»ハ+,+32=2び工［+*ハ+4。・4ダ+4,>0.（2）AB-lx,-xiI-y（xl4-xJ）,-4x^J=ノびギラV2。ー3|・解得。«卷,又当さ时満足题意,故p的最大值是916-第十讲怎样求最值在生活实践中,人们经常面对带有“最”字的问题,如在一定的方案中,花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等:解数学题时,我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题,这就是我们要讨论的最值问题,求最值问题的方法归纳起来有如下几点:1.运用配方法求最值;2.构造一元二次方程,在方程有解的条件下,利用判別式求最值;3.建立函数模型求最值；4.利用基本不等式或不等分析法求最值.注;数学中最大值、最小值问题，运用到社会实践、生活实际中所体现出来的就是最优化思想,所谓最优,就是我们所期望的目标量能达到最大或最小.一次函数、反比例函数并无最值,但当自变量取值范围有条件限制的,最值在图象的端点处取得；定义在全体实数上的二次函数最值在抛物线的顶点处取一得.即:ヌ寸于y=の,+む+c(。エ〇)⑴若a>0,则当ア一よ时，y最小值=ザゼ;2a取」出4a⑵若aく0,则当x=-2时,y最大值二4℃ーメ,2a般人值4a【例题求解】【例1】设a、b为实数，那么。2+油+后ー。ー2万的最小值是思路点拨将原式整理成关于a的二次多项式从配方法入手;亦可引入参数设标+成+庐ー。ー⑦=f,将等式整理成关于a的二次方程経+S-Da+(b2-2b-t)=Q,利用判别式求最小值.

49【例2】若メー1=巨==,则x+ザ+メ可取得的最小值为(C.-.D.62思路点拨设x_1=211=EZ=A,则X?+y，z2可用只含ス的代数式表示・,通过配方求最小值.【例3】设修、X2是方程2x:-4mx+2駆ユ+3加一2=0的两个实根，当m为何值时，xj+x2,有最小值,并求这个最小值.思路点拨由韦达定理知xj+xzユ是关于的二次函数,是否是在抛物线的顶点处取得最小值,就要看自变量m的取值范围，从判别式入手.注:定义在某一区间的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形:(1)当抛物线的顶点在该区间内,顶点的纵坐标就是函数的最值;(2)当抛物线的顶点不在该区间内,二次函数的最值在区间内两端点处取得.【例4】甲、乙两个蔬菜基地，分别向A、B、C三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A提供45吨，向B提供75吨，向C提供40吨.甲基地可安排60吨,乙基地可安排100吨.甲、乙与A、B、C的距离千米数如表,设运费为1元/(千米•吨).问如何.安排使总运费最低?求出,最小的总运费值.思路点拨设乙基地向A提供x吨,向B提供)，吨，这样总运费就可用含x,y的代数式表示;因为04x+y41000,04x445,所以问题转化为在约朿条件下求多元函数的最值.【例5】某单位花50万元买冋一台髙科技设备,根据対这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后,若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x天应付的养护与维修费为［丄(x-l)+500］元.4(1)如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天,叫做

50每天的平均损耗,请你将每天的平均损耗y（元）表示为使用天数x（天）的函数;（2）按照此行业的技术和安全管理要求,当此设备的平均损耗达到最小值时,就应当报废,问该设备投入使用多少天应当报废?思路点拨在解本题时可能要用到以下数学知识点:对于确定的正常数”、わ以及在正实数范围内取值的变量、，一定有:お2旧二2注,即当且仅当汨时,客有最小值赤注:不等式也是求:最值的有效方法,常用的不等式有:(1)0:(2)a2+b2>2ab；(3)若a>0,b>0,则(4)若a>0,b>0,x>0,则-+->2.-.xb\b以上各式等号当且仅当a=b（或巴=土）时成立.学历训练xb当x变化时，分式ザ+6x+5的展小值为—x2+X+12.为如图，用12米长的木方,做ー个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的长、宽各ヽ米.3.已知实数〃、bヽc满足a+b+c=0,+Z?24-c2=6»则a的最大值为4.已知x、y>z为三个非负实数,且满足3x+2y+z=5,x+y-z=2,若s=2x+y-z,则s的最大值与最小值的和为（）A.1B.-C.1D.36285.已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点〇,若S„=4,SAOT）=9,则四边形ABCD的面积S脸彩丽的最小值为.（）A.21.B.25C.26D.366.正实数ス、y满足り=1,A.1B.-C.128那么と+亠的最小值为（）x44y4D.-E.V2

517.启明公司生产某种产品,每件产品成本是3元,售价是4元,年销.售量为10万件.为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验,每年投入的广告费是x（万元）时,产品的年销售量将是原销售量的y倍,且y=ーピ・+Nx+Z,如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费:101010（1）试写出年利润S（万元）リ广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元?（2）把（1）中的最大利润留出3万元作广告,其余的资金投资新项目,现有6个项目可供选择,各项目每股投资金额和预计年收益如下表:项目ABCDEF每股（万元）526468收益（万元）0.550.40.60.50.91如果每个项目只能投ー股，目.要求所有投资项目的，收益总额不得低于1.6万元，问有几种符合要求的投资方式?写出每种投资方式所选的项目.8.某市20位下岗职エ在近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职,工数和产值预测如卜.表：作物品种每亩地所需职工数每亩地预计产值蔬菜丄21100元烟叶13750元小麦丄4600元请你设计・个种植方案,使每亩地都种上农作物，20位职エ都有工作,且使农作物预计总产值最多.9.如图，行长为24m的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度”为10m）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽为xm,面积为sm）（1）求s与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为45mユ的花圃,AB的长是多少米?请说明理由.⑶能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积，并说明围法;如果不能,10.设X1、X2是关于エ的一元二次方程雜+办+。=2的两个实数根，则（内-2X2）*2-2X|）的最大值为•11.若抛物线丫=/ー伏ー1いイー1与ス轴的交点为人、B,顶点为C,则ふABC的面积最小值为12.已知实数a、ル满足/+他+庐=1,且f=M_a2_b2,则•的最大值为,最小值为.13.如图，B船在A船的西偏北45°处，两船相距10历km,若A_船向西航行,B船同时向南航行，H.B船的速度为A船速度2倍，那么A、B两船的最近距离为km.

5214・销售某种商品’如果单价上涨m%，则售出的数量就将减少隔，为了使该商品的销售金额最大，那么m的值应该确定为..15.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出;当每辆车的月租金毎增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出辆车(直接填写答案)；(2)设每辆车的月租金为x(x23000)元,用含、的代数式填空:(3)当未租出的车辆数租出的车辆数每辆车的月租金定时,租赁收益最大?所有未租出的车辆每月的维护费租出的车每辆的月收益为多少兀公司的月最大月收益是多少元?16.甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润依次是「(万元)和q(万元)，它们ワ投入资金メ(万元)的关系有经验公式ア=丄ズ,4=ユ爪.55今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品,为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少?能获得多大的利润?链接17.如图,城市A位于一条铁路线上,而附近的ー小镇B需从A市购进大量生活、生产用品,如果铁路运费是公路运费的一半.问该如何从B修筑一条公路到.铁路边,使从A到B的运费最低?(3)ス/+ス2?+♦•♦+ズ〃ユ=99.求町3+ぐ+…+ム3的最大值和最小值.

53参考答案园念样求・值【例题求解】«I0カ实我9=“一1ア一”"-2»-，>2.即，，AW-S*-l.”>S“一l>"一，>-4当ム-1时”的・小・カーレ这时・・0.ft2建Bf・♦♦1.ン7-1・ー312・・式-l“'+m+6T4小計Q!1・ft3由△・（ー4mプ4X2X（2・I+3Mー2）>。树・く仔.ア1+ムTiwy,i~~♦ハ»-2（w»—•+丁■”チー.）■:.《キ.•■・チー•«^；・告〉。・从而当.-1时5r+ザ取用•小值・旦・小值カ”（ヂヂ）’トチ・も例4向］優供:100いーアむ•.用甲星壊向人実供《く5めH・供（75ー屮・,向CU供［40-（100rー》）］■［（，♦》）一8」•・則总运费为用二10（45-^）♦5（75ーか+6［<,+ア）一¢01+レ+い-15口00G+ン）］-1%5一”（，，ァ）+3iJ•因（Xr+.yC100.0G«r445.故当・+ア100.4-45时・・ー・1965-3（200+口5）•»96。4え）500000-（チX0+500）+（キメ1700）+（：X2+500）.”•+（^«1.500）ftS⑴ア-■+［300000+500,7・丐3］•亨イー99チ,⑴ア・吟0テ+499I-メ誓9•貰T”y-5004-m卷T99チ.リ仪当电8•吉.即上•ク〇〇〇时・以等号.所以这台设备投入使用2000天.应当・療..【学力训圏】….式…7Tzハ•2X2/ーー《・ーか・・0•卜，+〔-（•・カア=6.即”+"+af-3=0•从有ムアゴー〃ゴ-3））0.ーZ«3く2.当a-2时.8-r--l.4.Aイ-l220.ア・5■|uN0.Z・1ー1ア。.1^2W«3・S.B♦•C7.（I）-10X（一书+而・+4）（4-3）つ・メ・レ+7.与"3彳."a=16i（2）用］用投資的费位是】6-3・13（万え）•布阿静投竇方式符合要求,一毫取ん.B,E各一般・一是・B.D.E号ー收・收总分例为1.85万元、1.8万元.8.设W菓I育•・叶v育・附小麦孙⑸一・つ）■・由-0有ナ，+キ・ア+ヂ（50—，ーア>・20.・いア・90・・・・アー90-レ・力&演计总产值为W・西・-IKKU+75Oア+《00（5〇一，ーア）"-SOi+lSOア+WOOO-5O*+43SOO・・・.y-90-3x>0..%0VY30且为偶数.依キ4・3OB|・・a-45OOO（元）.此时1星整的育15人.聆小友的有5人.9.（DS——Sx,*24^（-y

54Iaー譬原丈23：+ハア+9覆工2・ー2（0ーキ•ジー旱.ll・1没ハ5・01・85,0）・ハ"メ宣"ー厶）'・グ"宀沁.又«（1.一七竿0）.Szr»ナ/P+24+5•|-&-,マ二5トチ,ノくド»2ム+5ジ,ん"+2~5=・+】ジ+4*4.4・二一|时,等号成立,エSgM»春""T.〇1エーキ,一?,由公设条件傅必ー竽イa+屮ユ中,[•a+”土ヤマ7,“、ル是力程ノへ/亨什甘!亠〇两实根.由△妾〇且3+，》。姆ー3《£くーラ.13・20设经过，小时后•人、B船分周航行到.も.卬.没人ん=*.则BB«2x.AAt=ノ10一川ー110-2,：“/a-6n肛14.设原京商品单价カa元时,售出的®[量为ん则单价上藤ル％时,铜鲁的总金・W4从1一念1•冶ふ!；（m-25ドチ15625ス故当ル=25时,Jエ15625.1<（]）aa（’ハエー3000।jc~~3000工ー3000Yーハ,_2.U>»«»（Z）一而一1100而一！—元一XoOix-150世卷辆车的月租金为上元,租賃公司的月收益为ア元,则布茅ユ《]ooーミー泗タ）<イー峠0）一二響0X50--Mj•-I）。3。5。4050尸+307050:,当ア=405。时,y—三307050.16.设对甲,乙再神商品的資金投入分别为1.13ーれ元,又设获取利润カ,,则,・上宀うノ/テ.$_*■]ノー,两边平方•整理得ア+（9—10x）x425イー27=0A797（U》"TX《25/-27）>O•得，4揺・1.05.从而lO.75（万元）.3-*=2.254万元）.17.如囲・设铁路与公路的交接点处为C・AC-j"千米,比・フ千米,AD=マ千米千米.世铁B路每千米的运费为。兀・则从A到8的运费s=a（i«—ノアニテワ+2ay,郎a”一,+2aly•卜、。ノアーバ".两边平方•整理得レ‘ブ+4a（a”ハッ+《an—ハ'+a'n»'=0・A・[4a《“》r—$）アー'k4X3a工（a“F'+a'm7NO,EP3-0”》’>3/ザ・La”A/yaM.!!PQa时+岛m,故s的最小,X值カam4-73am,*iゝ，ヽDCA18.设m”.・・中有，个ー1ノ个!メ个2,則（"搏8yL59.0W9.nlr+,+4，・99・•••*/+*/+…十”」・一ア亠メ+8r=6r+19.•'•ば〈皿’+ハ’+…+キ/く6X】9+19-133,在，=。イー59.，エ《0时•iJ+*J+…+よ」取得・小值19.在,-19.5一2"-21吋・X|'+ガ+…+ズ」取得最大值为!33.第十一讲图表信息问题21世纪是一个信息化的社会,从纷繁的信息屮,捕捉搜集、处理、加工所需的信息,是新世纪对・个合格公民提出的基本要求.图表信息问题是近年中考涌现的新问题,即运用图象、表格及一定的文字说明提供问题情境的ー类试题.图象信息题是把需要解决的问题借助图象的特征表现出来，解题时要通过对图象的解读、分析和判断,确定图象对应的函数解析式中字母系数符号特征和隐含的数量关系，然后运用数形结合、待定系数法等方法解决问题.表格信息题是运用二维表格提供数据关系信息,解题中需通过对表中的数据信息的分析、比较、判断和归纳，弄清表中各数据所表示的含义及它们之间的内在联系，然后运用所学的方程（组）、不等式（组）及函数知识等解决问题.【例题求解】【例1】一慢车和一快车沿相同的路线从A到B地，所行的路程与时间的函数图象如图所示,试根据图象,回答下列问题:

55（1）慢车比快车早出发小时,快车追上慢车时行驶了千米,快车比慢车早小时到达6地;（2）快车追上慢车需小时,慢车、快车的速度分别为千米/时;（3）A、B两地间的路程是.思路点拨对于（2）,设快车追上慢车需f小时，利用快车、慢车所走的路程相等,建立•的方程.迷）注:股市行情走势图、期货市场趋势图、エ厂产值利润表、甚而电子仪器自动记录的地震波等，它们广泛出现在电视、报刊、广告中,渗透到现实生活的每一角落,这些图表、图象中蕴涵着丰富的信息，我们应学会收集、整理与获取.【例2】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，并设M=|a+"d屮ーH］+|2〃+ル卜|2”耳,则（）A.M>0B.M=0C.M<0D.不能确定M为正、为负或为〇思路点拨由抛物线的位置判定“、b.c的符号,并由x=±l,推出相应y值的正负性.注:函数图象选择题是广泛见于各地中考试卷中的ー种常见问题，解此类问题的基本思路是:由图象大致位置确定解析式中系数符号特征，进而再判定其他图象的大致位置，在解题中常常要运用直接判断、排除筛选、分类讨论、参数吻合等方法.［例3］某人租用ー辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位:小时）如图所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/时,而汽车每行驶1千米所需要的平均费用为1.2元.试指出此人从A城出发到B城的最短路线.思路点拨从A城出发到B城的路线分成如下两类:（1）从A城出发到达B城,经过0城，（2）从A城出发到达B城，不经过〇城.【例4】我国东南沿海某地的风カ资源丰富,一年内日平均风速不小于3米/秒的时间共约160天,其中日平均风速不小于6米/秒的时间约占60天.为了充分利用“风能”这种“绿色能源”,该地拟建一个小型风カ发电厂，决定选用A、B两种型号的风カ发电机.根据产品说明，这两种风カ发电机在各种风速下的日发电量(即・天的发电量)如下表:

56根据I:面的数据回答:(1)若这个发电厂购X台A型风カ发电机,则预计这些A型风カ发电机一年的发电总量至少为千瓦田寸;(2)已知A型风カ发电机每台0.3万元,B型风カ发电机每台0.2万元.该发电厂拟购置风カ发电机共10台,希望购机的费用不超过2.6万元,而建成的风カ发电厂每年的发电总量不少于102000千瓦•时,请你提供符合条件的购机方案.思路点拨对于(1),注意“平均风速不小于3米/秒”的时间区分;対于(2),利用购置费用和发电总量分别列出不等式.日平均风速V/(米/秒)v<33くvC6v26日发电量(千瓦•时)A型发电机02362150B型发电机0224290【例5】•蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜,根据今年的市场行情,预计从5月1日起的50天内,它的市场售价月与上市时间x的关系可用图1的一条线段表示；它的种植成本カ与上市时间x的关系可用图2抛物线的一部分来表示,假定市场售价减去种植成本为纯利润,问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱?思路点拨由图象提供的信息，求出宜线、抛物线的解析式,利用市场售价与成本价相等建立时间x的方图I图2注;本例综合运用•次函数和二次函数的有关知识,涉及信息量大,题中呈现信息的方式不仅是文字和符号,还包括表格.解图象信息问题的关键是化“图象信息”为“数学信息”,具体包括:(1)读图找点；(2)看图确定系数符号特征;(3)见形(图象形态)想式(解析式)，建模求解.

57学历训练/1.如图,是某出租车单程收费y（元）与行驶路程x（千米）之南キ/函数关系的图象,请根据图象回答以下问题:L-/（1）当行驶8千米时,收费应为；1：!（2）从图象上你能获得哪些正确的信息（请写出2条）012345678①;②.（第I廳）（3）收费y（元）与行驶x（千米）（x，3）之间的函数关系式为.2.甲、乙两人（甲骑自行车,乙骑摩托车）从A城出发到B地旅行,如图表示甲、乙两人离开A城的路程与时间之间的函数图象。根据图象,你能得到关于甲、乙两人旅行的哪些信息?答题要求:（1）请至少提供四条信息，如,由图象可知:甲比乙早出发4小时:甲离开A城的路程与时间的函数图象是一条折线段,说明甲作变速运动.（2）不要再提供“（1）”中已列举的信息.①;②;③:④.设水库水位匀速上升，那么ド列图象中,竹（米）伊（米）1357⑶7106/!106KPTio『（天）Pioフ（天:能正确反映这10天水位ん（米）随时间r（天）变化的是（）件（米）产米）且:K（才10?（天）寸102（天）5.三峡工程在6月1日至6月10日下闸蓄水期间,水库水位由106米升至135米高峡平湖初现人间,假DABC（第2題）（第3題）3.如图,已知函数丫="2+ム+，的图象过（ーL〇）和（〇,一1）两点,则〃的取值范围是

586,在同一坐标系中,函数丫=才2+か+じ与y=と的图象大致是()CD7.某博物馆每周都吸弓I大量屮外游客前来参观.如果游客过多,对馆中的珍贵文物会产生不利影响.但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题,还要保证一定的门票收入.因此,博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数.在该方法.实施过程中发现:每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系.在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收人,那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元?UC8.行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用,还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为‘‘刹车距离”,为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140千米/时)，对这种汽车进行测试，测得数据如下表:刹车时车速(千米/时)1102030405060刹车距离(米)00.31.02.13.65.57.8(1)以车速为x轴,以刹车距离为y轴,在坐标系屮描出这些数据所表示的.点，并用平滑的曲线连结这些点,得到函数的大致图象;(2)观察图象,估计函数的类型,并确定一个满足这些数据的函数的解析式;(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5米,请推测刹车时的速度是多少?请问在事故发生时,汽车是超速行驶还是正常行驶?9.二次函数y="2+fev+c的图象如图所示,则化简二次根式&+c)2+ァb-c)2的结果是.10.小刚、爸爸、爷爷同时从家中出发到达同一目的地后都立即返回.小刚去时骑自行车,返回时步行；爷爷去时是步行,返回时骑自行车:;爸爸往返都步行.三个人步行的速度不等,小刚与爷爷骑车的速度相

59等.每个人的行走路程与时间的关系分别是下面三个图象中的・个.走完一个往返,小刚用分钟,爸爸用分钟,爷爷用分钟.12.二次函数y="2+bx+c的图象如图所示,11.小明同学骑自行车在上学的路上要经过两座山梁,行走的路线如图所示.已知上山的速度为ッ米/分钟,平路的速度为ワ米/分钟,下山的速度为ウ米/分钟,其中ッくりくウ.那么,小明同学上学骑自行车行走的路程s（米）ワ所用的时间M分钟）的函数关系,可能是下面图象中的（）则在下列不等式中，①abc<0；②a+b+cく。;③a+c>b；④。a6>o,将一次函数y=bx+a与y=ar+わ的图象画在平面直角坐标系中，则有一组a且AB=OB=3.设直线!：x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为わ的取值,15.某商场为提高彩电销售人员的枳极性，制定了新的エ资分配方案，方案规定:毎位销售人员的工资总额=基本工资+奖励エ资,每位销售人员的月销售定额为10000元，在销售定额内,得基本工资200元;超过销售定额,超过部分的销售额按相应比例作为奖励エ资,奖励エ资发放比例如表1所示.（1）已知销售员甲本月领到的丄资总额为800兀，请问销售员甲在本月的销售额为多少元?（2）依法纳税是每个公民应尽的义务，根据我国税法规定，全月エ资总额不超过800元不要缴纳个人所得税;超过800元的部分为“全月应纳税所得额”.表2是缴纳个人所得税税率表.若销售员乙本月共销售A、B两种型号的彩电21台,缴纳个人所得税后实际得到的工资为1275元，又知A型彩电的销售价为每台1000元，B型彩电的销售价为每台1500元，请问销售员乙本月销售A型彩电多少台?

60销售款奖M1資比例超过10000元但不超过15000部分5%超过］5000元但不超过20000部分8%20000以上的部分10S全月蝴税所得設不超过500元部分超过500元S2000元部分

6115.有麦田5块A、B、C、D、E,它们的产量（单位:吨）、交通状况和每相邻两块麦田的距离如图所示,要建一座永久性打麦场,这5块麦田生产的麦子都在此打场,问建在哪块麦田上（不允许建在除麦田以外的其他地方）才能使总运输量最小?（图中圆圈内的数字为产量,直线段上的字母a、b、d表示距离,Rb

62参考答案【例専求解】MI(D2.276.4i<2)ACe»!«X^一12X迪.•，，=，J、-，6<千米/M>.V.=半・69(千米/"レ<3>82“千米)fl2ftCa>0.0<-^0.2«-4>0A3从A城”0战所寓•・时風为26小时.从”城KB城所“•包时同カZ2小时.这家"蝮所・・电时闰カ«8小M，从

63A城出发到达8城.不经过。城.必定经过C.D.E城或F、G、"城.所需时间至少为49小时,年上知所走的路域为ハ•F-0-E-B•所需的费用最少为80X48ズ］.2=4608(元)例4(l)12600xt一］。,31+0.2(10ー］)42.6(幻设EM型发电机,台,则购8型发电机”。ーエ)台,由願意得126。。ハ7町03。つ)2。2Moア博日,46••.可利,4璽发电机5台,B型发电机5台;或购A型发电机6台,B圈发电机4台•例S8・一な+5.1(0d50),»三看《エー25尸+2(0&E50〉,令”・贝，得一も+5・3志《エー25ジ+2,鮮裨35•エ・二9.匹.ハ均在0Vエく50内,よいハ均合依意,故这艸绿色釐菜在5月9日和6月4日上市时既不西本也不・钱.【学力训练】1.(1)1イ2)咯メ3)y=L2エ+1.4《よ》3》2.略3.0。,即b>0.4.D5,B6・D7.叁现人数与票价之间的ー次函数关系式为メ--506r+l2000•由题意得や40000•即メヌX)*+1280)=40000•解得工,-2。•れ=4.分别代入ゴ=-500x312000得リ=2000小ー】0000,因为控制叁现人数•所以取よユ20.メ-ZOO0.8a《1》近似发物蝮1《2)设メ=ar*+fcr+c•求得a一。.。〇2.6=0.01け・«。.i・y一。.002/+《)・0レ(。くエ4140)・姫检验•表中箕他各组值也符合此解析式M3)当ン=46.う时,即0.002/+0.0レエ46.5.修得エ二150(负值巳會去).所以雄龍制车时的建度为150千米ノ时,因为150>140.所以发生事故时.汽车超速行驶.9.-a+6—2r10・21.24.2611.C12.BaV0,c>Q.2a+厶=。•。<デー以+6:・〇一《V。正稿13.D14.B网亶线的交点为(1,。+か・1S.《I)慢精修员甲该月的相曾飯为1元.则200+5000X5%+(エー15000)X8%—800.解禅工―19375.(2)设铜传员乙未交个人所得税縮的エ费总做为a元•则。ー(。ー8OCX5%—1275.1I得。ー1300.••・勒过20000兀部分的博鲁・为(1300-85。)+10%=450Q・・・・精伸员乙的的售息・为20000+4500-24500。设A型彩电情得エ白・则”型彩电犒售了《21-外台,期10001+1500(21ー工)・24500.解得丁二14・16.设在X处的最少运输價为S(X)♦据三爲舷三边关系有a+b>d•ナ是5(A>*3a+5(a4-6)+4j+d1+6a-】8a+55+4w7o+3(a+A)+M+4dd10a4-36+4d»S(0ヨ6d+7(add)+34a+”>+5a=18a+】ユ・5(D)«3a*7(a+〃)+6A+4aAUa4-136.S(E)7a+6S+n)+4Q+a)+5a-26a+66.姫比较知min(S(A).S(B>.S(C).S十】8+】8。矛版，故Eo-SO.同理分•故£・・60分,ルマ7。分.。.80分分,或E.=6O分./TO分・Q・90分・B・I100分，填表对这两种情况分う给予检验(见下始・论文敢学外语倉沢気运总分名次Affl304040W3¢18012B蛆010303040110Cffl2020200208¢3D祖1030101010704E里400020O605语文数学外・常沢•运总分名次A処前40404030ISOBffl10103030401002Cffl20202。1020初3Dfi03030010704E!fi400020050(注:答案中只给2艸填表法.另外还有其他填法・只要満足条件均可)蜩抑情尻都成立.第十二讲统计的思想方法20世纪90年代,美国麻省理工学院教授尼葛洛庞帝写过一本畅销全球的《数字化生存》ー书.事实上,我们的生活、工作离不开数据,要做到心中有数、用数据说话是信息社会对人的基本要求.统计学是ー门研究如何收集、整理、分析数据,并在此基础上作出推断的科学.随机抽样与统计推断是统计中最重要的思想方法,也是认识客观世界的事物和现象的方法之一.即用样本的某种特征去估计总体的相应特征,用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律.【例题求解】【例1】现有A,B两个班级,每个班级各有45名学生参加一次测验.每名参加者可获得0,1,2,3,4,5,6,7,8,9分这几种不同的分值中的一种.测试结果A班的成绩如下表所示，B班的成绩如图所示.(1)由观察所得,班的标准差较大:⑵若两班合计共有60人及格,问参加者最少获.A班分オ可以及格.分数0123456789

64人数1357686432思路点拨对「(2),数一数两班在某一分数以上的人数即可,凭直觉与估计得出答案.注:平均数、中位数、众数都是反映一组数据集中趋势的特征数,但是它们描述集中趋势的侧亜点是不同的:(1)平均数易受数据中少数异常值的影响,有时难以真正反映“平均”；(2)若一组数据有数据多次重复出现，则常用众数来刻画这组数据的集中趋势.【例2】已知数据X|、x2-X3的平均数为a,あ、为、カ的平均数为わ，则数据2X1+3月、2x2+3y2'2メ3+3)，3的平均数为()A.2a+3bB.—a+bC.6a+9bD.2a+b思路点拨运用平均数计算公式并结合已知条件导出新数据的平均数.【例3】某班同学参加环保知识竞赛.将学生的成绩(得分取整数)进行整理后分成五组,绘成频率分布直方图(如图).图中从左到右各小组的小长方形的高的比是1：3：6：4：2,最右边ー组的频数是6.结合直方图提供的信息，解答下列问题:(1)该班共有多少名同学参赛?(2)成绩落在哪组数据范围内的人数最多，是多少?(3)求成绩在60分以上(不含60分)的学生占全班参赛人数的百分率.思路点拨读图、读懂图,从图中获取频率、组距等相关信息.【例4】为估计,一次性木质筷子的用量,1999年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取次家作样本,这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为:0.63.72.21.5.2.81.71.22.13.21.0(1)通过对样本的计算,估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子(每年按350个营业日计算)；(2)2001年又刘该县ー次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查,调查的结果是!0个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒,求该县2000年、2001年这两年一次性木质筷子用量平均每年增K的百分率(2001年该县饭店数、全年营业天数均与1999年相同)；(3)在(2)的条件下，若生产ー套中小学生桌椅需木材0.07米:'，求该县2001年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅.计算中需用的仃关数据为:

65每盒筷子100双，每双筷子的质量为5克，所用木材的密度为0.5X10a千克/米、(4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做,筒要地用文字表述出来.思路点拨用样本的平均水平去估计总体的平均水平.注(1)运用数学知识解决实际问题的过程是:从实际问题中获取必要的信息——分析处理有关信息一建立数学模型——解决这个数学问题.(2)通过图表获取数据信息，收集、整理分析数据,再运用统计量的意义去分析，这是用统计的思想方法解决问题的基本方式.思路点拨【例5】编号为I到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中，15号弹珠在篮子A中，把这个弹珠从篮子A移到篮子B中，这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加丄，B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加丄，问原来在篮子A中有多少个弹珠?思路点拨用字母分别表示篮子A、B弹珠数及相应的平均数,运用方程、方程组等知识求解.学历训练1.某校初二年级全体320名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试,考分都以同一标准划分成“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级.为了了解电脑培训的效果,用抽签方式得到其中32名学生的两次考试考分等级，所绘制的统计图如图所示.试结合图示信息回答下列问题:(1)这32名学生培训前考分的中位数所在的等级是,培训后考分的中位数所在的等级是.(2)这32名学生经过培训,考分等级“不合格”的百分比由下降到.(3)估计该校整个初二年级中，培训后考分等.级为“合格”与“优秀”的学生共有名.(4)你认为上述估计合理吗?理由是什么?答:，理由K動

661.某商店3、4月份出售同一品牌各种规格的空调销售台数如下表:根据表中数据冋答:（1）商店平均每月销售空调（令）;（2）商店出售的各种规格的空调中,众数是（匹）；（3）在研究6月份进货时,商店经理决定（匹）的空调要多进;—（匹）的空调要少进.2.为了了解某中学初三年级250名学生升学考试的数学成绩,从中抽取了50名学生的数学成绩进行分析,求得提样本=94.5.下面是50名学生数学成绩的频率分布表:分组频数累计频数频率60.5—70.5正3a70.5-80.5正正60.1280.5-90.5正正90.1890.5—100.5正正正正170.34100.5-110.5正正b0.2110.5—120.5正50.1合计501根据题中给出的条件回答下列问题:（1）在这次抽样分析的过程中,样本是:（2）频率分布表中的数据a=,b=（3）估计该校初三年级这次升学考试的数学平均成绩约为分;（4）江这次升学考试中，该校初三年级数学成绩在90.5-100.5范围内的人数约为人.4.小明测得一周的体温并登记在下表（单位:ヒ）星期0—»二一四五六周平均体温体温36.636.737.037.3■36.937.136.9其中星期四的体温被墨迹污染,根据表中数据,可得此日的体温是（）A.36.?℃B.36.8℃C.36.9℃D.37.0℃5.甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛,参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表:班级参加人数中位数方差平均字数甲55149191135乙55151110135某同学根据:表分析得出如下结论:①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同;②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数、150个为优秀）；③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大,上述结论正确的是（）

67A.。②③B.①②C.①③D.②③6.今年春季,我国部分地区SARS流行,党和政府采取果断措施,防治结合,很快使病情得到控制.下图是某同学记载的5月1日至30H每天全国的SARS新增确诊病例数据图，将图中记载的数据每5天作为一组,从左至右分为第一组至第六组,下列说法:①第一组的平均数最大,第六组的平均数最小;②第二组的中位数为138；③第四组的众数为28;其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个7.某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计,调价前后各景点的游客人数基本不变.有关数据如下表所示:景点ABCDE原价阮）1010152025现价（元）55152530平均日人敬（千人）11232（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平.问风景区是怎样计算的?（2）另一方面,游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%.问游客是怎样计算的?平均数方差中位数命中9环以上次数（3）你认为风景区和游客哪ー个的说法较能反映整体实际?平均数方差中位数命中9环以上次数甲71.21乙5.4（2）请从ド列四个不同的角度对这次测试结果进行分析.①从平均数和方差相结合看・;②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）；③从平均数和命中9环以上次数相结合看（分析谁的成绩好些）;④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜カ）.9.明湖区一中対初二年级女生仰卧起坐的测试成绩进行统计分析，将数据整理后,画出如下频率分布宜方图，已知图中从左到右的第、第二、第三、第四、第.六小组的频率依次是0.10、0.15、0.20、0.30、0.05,第五小组的频数是36,根据所给的图填空;（1）第五小组的频率是,，请补全这个频率分布图；（2）参加这次测试的女生人数是；若次数在24（含24次）以上为达标（此标准为中考体育标准），

68则该校初二年级女生的达标率为.⑶请你用统计知识,以中考体育标准对明湖区十二所中学初二女生仰卧起坐成绩的达标率作一个估计.（2）以下各示意图中正确的是（9.我国于2000年11月1日起进行了第五次全国人口普查的登记工作,据第五次人口普查,我国每10万人中拥有各种受教育程度的人数如ド:具有大学程度的为3611人:具有高中程度的为11146人;具有初中程度的为33961人;具有小学程度的为35701人.（1）根据以上数据填写下表:受教育程度每10万人中所占百分比（a%）（a精确到0.01）大学程度高中程度初中程度小学程度）.（将正确示意图数字代号填在括号内）11.新华高科技股份有限公司董事会决定今年用13亿资金投资发展项目,现有6个项目可供选择（每个项目或者被全部投資,或者不被投资）,各项目所需投资金额和预计年均收益如下表:项目ABCDEF投资（亿元）526468收益（亿元）0.550.40.60.40.91如果耍求所有投资的项目的收益总额不得低丁T.6亿元，那么,当选择的投资项目是ー时,投资的收益总额最大.12.新华社4月3日发布了一则由国家安全生产监督管理局统计的信息;2003年1月至2月全国共发生事故17万多起,各类事故发生情况具体统计如F：事故类型事故数里死亡人数（单位：人）.死亡人数占各类事故总死亡人数的百分比

69火灾事故（不含森54773610

70林草原火灾）铁路路外伤亡事故.19621409丄矿企业伤亡事故14171639道路交通事故11581517290合计17396720948（1）请你计算出各类事故死亡人数占总死亡人数的百分比,填入上表（精确到0.01）；（2）为了更清楚地表示出问题（1）中的百分比,请你完成下面的扇形统计图;（3）请根据你所学的统计知识提出问题（不需要作解答,也不要解释,但所提的问题应是利用表中所提供数据能求解的）.13.将最小的31个自然数分成A、B两组，10在A组中,如果把10从A组移到B组,则A组中各数的算术平均数增呜，B组中各数的算术平均数也增呜.问A组中原有多少个数?

71参考答案

72园统计的星短方法【例・求修】MI(DAi(2)4.M2选A例3(1)各坦貝敦依次是3.9J8J2.6.共有3+9+18+12+6-48名学生.C2)成••在70,5〜80.5数樵检用内的人敷•多・人数・18人.⑶3分以上的人数是45,所占全班叁竇人数的百分率为言X100%-93.75%.倒4(1);-2.0.该县2000年消耗一次性接子カ2X5OOX35O-42OOOO(含)，(2)设平均每年増长的百分率为れ用2(1ナ八,・“2.・襌ア-0.1・10%(负值已會去)1(3)可生产秦幡套敷为7260(套).(4)端.例3设療来俄チA中有内珠，个•1篇干B中有金珠(25ーわ个•乂设庫京A中，球号用数的平均故カ“.B中お尊号码兹的ア均・カ机由・・樗k»■⑵ーエ)“1+2+・h25-325①ax-151金由⑵H3>»・T^rr-アQM25-x)+15.1小曲③得2耳20・ft-；——”了③4将④.⑤代人①,得ナ《よ+59Hーチい+34け・ヰい34)・325••傅，-9.即原东宣干A中有9个弹珠【学力H)»】1.(I)不合格•合格M2)75%.25%イ3)240X4)合理.嫉样本接随机样本.2.(D56»(2)L2K3)1.2.23.(1)50名攣生的数学成情KZ)0.06.10バ3)94.5イ4〉854.DS.A6.D，・へ)海■制店的平均价格均为16元.平均日总收入持平B(2)游客计寡隙平均总收入150(千元).现平均总收入175(千元)・増氏了野蕾2、9.4%!C3)髀專的说海絞・反映•体实际・,4U-*1孙于*.*1+*3レ〜+l•-5•①・厶.8+”,+”»«Q②.但!:q'486.因而由①.0得一330+62>.2X484・・縄..21.故ん里中.422个数.由;HIT町旬,做対〇一ユ道图的总人数カ7.8+10121.46《人》,他的做Mi!目数的总翱为7XO+8X1+IOX2+21Xュ・91《用れ做対12-15道抬的总人数カ15+6ト3亠［025《人)•他旬做对・H数的和力15*12+6X13+3X14+1X15一315《・)・以ハ・れ・“・れ分第晨示・対。遒」道.…・15道•目的人数.由U靠得4ハ+5ロ+一十】5*11.60れ十イ•クメビナ迎!Iも・ハ・aキ…+工”•n+ム+厶+♦“+』・

73Kp+5ム+…+屿れ一6(ム+・、+・・・+*”>IOi"，：+2nー・・・+10ハ♦14(4+れ―・・・ナ12)・两式相M得1レ“+12i“+…+I5iハー《，|+2ハー3n)・6(れ+ハ+••«人・”)-44x»+ム+…+*i>)・6(，”+i“+…+ie)ー〃公+1|+r：—，|>+2<1・…+彳|©)・4(，”+*”+…+ユい>-6<へ+ム+，，十11)+2《，・+小+…+ハ，)-4*”44(*“+*“+*“+，”)-6(+】4]“+I5xi»―315,代人上式得Uru+315-91-4xu44X25-«X464-2(xc-»-X|-t--*-xn).故れ+工,+…-200+3.5jt“(-N0》•因此,当x„-0时•统计的总人数れ+ム+•”十・“娘少为200人.第十三讲锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要,他们发现并经常利用下列几何结论:在两个大小不同的直角三角形中,只要有一个锐角相等,那么这两个三角形的对应边的比值一定相等.正是古人对天文观察和测量的需要オ引起人们对三角函数的研究,1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，オ逐渐形成现在的sin、cos、tg、ctg的通用形式.三角函数揭示了直角三角形中边与锐甭之间的关系，是数形结合的桥梁之一,有以下丰富的性质:1.单调性;2.互余三角函数间的关系;3.同角三角函数间的关系.平方关系:sin2a+cos2a=1；商数关系:tga,ctga=；cosasina倒数关系：tgactga=1.【例题求解】【例1】已知在ふABC中,/A、/B是锐角,且sinA=3,tanB=2,AB=29cm,13则Saabc=•思路点拨过C作CD丄AB于D,这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=C2=』,tanB=C2=2,设AC13BDCD=5m,AC=13m,CD=2n,BD=n,解题的关键是求出m、n的值.注:设ム心じ中,a、b、c为/A、/B、/C的对边,R为ふABC外接圆的半径,不难证明:与锐角三角函数相关的几个重要结论:(1)Saabc=—hesinA=—acsinB=—ahsinC；222(2)=2R.sinAsinBsinC【例2】如亂在れABC中.NACB=90°,ZABC=15°,BC=1,则AC=()A.2+V3B.2-73C.0.3D.73-V2思路点拨由15。构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化.

74注(1)求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角宜角三角形.(2)求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比,有时需通过等的比来转换.【例3】如图,已知AABC是等腰直角三角形,NACB=90°,过BC的中点D作DE丄AB于E,连结CE,求sinNACE的值.思路点拨作垂线把/ACE变成直角三角形的ー个锐角，将问题转化成求线段的比.【例4】如图,在/kABC中,AD是BC边上的高,tanB=cosZDAC,(1)求证:AC=BD；(2)若sinC=巴BC=12,求AD的长.13思路点拨(1)把三角函数转化为线段的比,利用比例线段证明:(2)sinC=—=—,引入参数可设AD=12«,AC=13jt.13AC【例5】已知:在RtZ\ABC中,ZC=90°,sinA、sinB是方程x?+px+g=O的两个根.(1)求实数p、g应满足的条件:(2)若p、q满足(1)的条件,方程x2+px+q=0的两个根是否等于Rt^ABC中两锐角A、B的正弦?思路点拨由韦达定理、三角函数关系建立p、g等式，注意判別式、三角函数值的有界性,建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p、g应满足的条件.学历训练

751.已知a为锐角,下列结论①sina+cosa=1；②如果a>45°,那么sina>cosa；③如果cosa>丄2那么a<60°；@^/(sina-1)2=1-sina.正确的有.2.如图,在菱形ABCD中,AE丄BC于E,BC=1,cosB9,则这个菱形的面积为133.如图,4.化简(1)Vtan227°+tan263°-2（2）sinl°+sin22°+…+sin'88°+sin289°=.5.身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛.三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直的）,则三人所放的风筝中（）A.甲的最高B.内的最高C.乙的最低D•内的最低放出风筝线长（m）线与地面夹角0甲’!乙丙iooll〇〇9040135606.已知sinacosa=丄,且〇。

767.如图,若两条宽度为1的带子相交成30°的角,则重叠部分(图中阴影部分)的面积是()1A.2B.—C.1D.-22(第15題)(第16題)16.如图,在ふABC中,ノオ=30°,tanB=包,AC=2石，则AB的长是（）2A.3+73B.2+2石C.5D.-217.己在△,ABC中,a、b、c分别是/A、ZB>ZC的对边，且c=56,若关于x的方程(5退+わ求2+2め+(54一か=0有两个相等的实根，又方程21-(lOsinA)x+5sinA=0的两实根的平方和为6,求ふABC的面积.18.如图，已知AB=CD=1,ZABC=90°,ZCBD°=30°,求AC的长.19.设a、b、c是直角三角形的三边,c为斜边,n为正整数,试判断メ+げ与c"的关系,并证明你的结论.20.如图,已知边长为2的正三角形ABC沿直线/滚动.⑴当4ABC滚动一周到△ABG的位置，此时A点所运动的路程为,约为(精确到0.1,”=3.14)(2)设ふABC滚动240°,C点的位置为C',AABC滚动480°时，A点的位置在A',请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(a+3)=(tana+tan3)+(1-tanQ•tan3)»求出/CAC'+NCAA’的度数.参考答案园锐角三角函数【例题求解】例]]45冃£>=>»ー竽二AD.ノAC*-Cが=7(I3m)j-(5m)1-12M.从而将AB=AD4-BD«12m*ym=学献.由29Tm.得12.8=10,S3・チんb-CD=145.例2速B作NBAD=15•,交BC干ひ・财AD-BD・/人DC=30二例3过E作EF丄8D于F.设BE=a.MBD^CD^2^a,BC^4^a.DF^EF»^^a.CF-CD-^DF^3^a.CE^2JSu.cos/ECF二墨3..匚«nNACE.例』⑴UHt”謂,e/DAC筮」•・错・塞・m孙⑵由MnC-11.61s/W-12*.wAC-13*.ACD-5i.又由U)知flD«AC-13A..*.13i-t-5*=12.W*«y.AD«8.A・ボー4心。s»nA-*-stnB-一P内。sinA-，inB—gMS（いp,g应満足以下条件0V裳inAV】由此推褥,0Vg4ラレー2g.1

77sin*A-♦-cos1A1.（ダー佃，。（2）先设方程ゴ+px-q=0的网个根为。,仇若。、§溝足门）的条件,剜。ヤ満足<0<。<1・0<，<1・故&メ必定是し+”1RtZVIBC两锐角A、B的正优.【学力训练】I,②^3^5X3.2+ガ4.(1)col27,—tan27*i(2)44；5.B6.B7.B8・B9.tn^y/3过点。作DH丄RC于H.DH-BD-“in/CBD=8X^-6,由DH〃AE,得樂工普・綜"■1,・:4ど=言。“さ9.デ+メ—]设ifina.ア=3.剜丿つ-,解縄・12,0*3W*»in"AAiA»in-4»eペん-】.即（/’+（.）”V1.亦即ラ'++vi•故ダ+by20.11）を":8.，.（2）作UE丄ムA'F丄ハE、F分别カ垂足,则ビEnA'F一宿,A£=5.AF=9.：.t«»NCAL=^=室"umNCAA'I奈・亨•由公式得バユ“上。んい+/£!レ’）=<“11/（ス「+315Zむ.ぺ>+“一sn/CAU•t»n/CA心一空+%+（1ー,•§>ー亨....ncaU+zcA^'TO'.第十四讲圆的基本性质到定点（圆心）等于定长（半径）的点的集合叫圆,圆常被人们看成是最完美的事物,圆的图形在人类进程中打下深深的烙印.圆的基本性质有:一是与圆相关的基本概念与关系,如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等:二是圆的对称性,圆既是，个轴对称图形,又是・中心对称图形.用圆的基本性质解题应注意:

781.熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明;2.了解弧的特性及中介作用:3.善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化.熟悉如ド基本图形、基本结论:【例题求解】【例1】在半径为1的。〇中,弦AB、AC的长分别为お和セ,则/BAC度数为作出辅助线,解内角三角形，注意AB与AC有不同的位置关系.注:由圆的对称性可引出浒多重要定理,垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系,应用的一般方法是构造直角三角形,常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来.圆是ー个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性.【例2】如图，用3个边长为1的正方形组成一个对.称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（）A.V2B.正C.-D.あ叵思路点拨所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解.【例3】如图，已知点A、B、C、D顺次在。〇£,AB=BD,BM丄AC于M,求证:AM=DC+CM.思路点拨用截长（截AM）或补短（延长DC）证明，将问题转化为线段相等的证明,证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它.

79【例4】如图甲,。〇的直径为AB,过半径OA的中点G作弦CE丄AB,在CB伞取一点D,分别作直线CD、ED,交直线AB于点F,M.(1)求/COA和/FDM的度数;(2)求证:△FDMs^cOM；(3)如图乙，若将垂足G改取为半径0B上任意一点，点D改取在涼上，仍作直线CD、ED,分别交直线AB于点F、M,试判断:此时是否有△FDMs/\COM?证明你的结论.思路点拨⑴在RtZXCOG中，利用OG=，OA=LOC；(2)证明/COM=NFDM,ZCMO=ZFMD；(3)利用图甲的启示思考.甲乙注:善于促成同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处,要努力把圆与直线形相合起来，认识到圆可为解与宜线形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线形的知识与方法(主要是指全等与相似).【例5】已知:在AABC中,AD为/BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的.半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,且/B=NCAE,EF：FD=4：3.(1)求证:AF=DF；(2)求/AED的余弦值;(3)如果BD=1O,求AABC的面积.思路点拨(1)证明/ADE=NDAE；(2)作AN丄BE于N,cosZAED=-,设FE=4x,FDl=3x,利用有关知AE识把相关线段用x的代数式表示;(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x的值.注:本例的解答,需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面枳方法、代数化等知识方法思想,综合运用宜线形相关知识方法思想是解リ圆相关问题的关键.学历训练1.D是半径为5cm的。。内一点，且0D=3cm,则过点D的所有弦中,最小弦AB=.2.阅读下面材料:对于平面图形A,如果存在ー个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖.对于平面图形A,如果存在两个或两个以上的圆,使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离

80都不大于这个圆的半径,则称图形A被这些圆所覆盖.例如:图甲中的三角形被ー个圆所覆盖,图乙屮的四边形被两个圆所覆盖.回答下列问题:（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖,r的最小值是cm；（3）长为2cm,宽为1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是」1.世界上因为有了圆的图案,万物オ显得富有生机,以下来自现实生活的图形中都有圆:它们看上去多么美丽与和谐,这正是因为圆具佇轴对称和中心对称性.（1）请问以下三个图形中是轴对称图形的有,是中心对称图形的有（分别用下面三个图的代号a,b,c填空）.a.是轴对称图形但不是中心对称图形.（第4题）（第3題）（2）请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案（草图）（用尺规画或徒手画均可,但要尽可能准确些，美观些）.b,既是轴对称图形又是中心对称图形.2.如图,AB是。〇的直径，CD是弦,若AB=IOcm,CD=8cm,那么A,B两点到直线CD的距离之和为（）A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm3.ー种花边是由如图的弓形组成的，ACB的半径为5,弦AB=8,则弓形的高CD为（）A..2B.-C.3D.—234.如图，在三个等圆上各自有一条劣弧A1TcD、EF,瓶AB+C彘F,マ貶，AB+CD与E的大小关.系是（）A.AB+CD=EFB.AB+CD=FC.AB+CD

811.电向CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成,未切割前的单晶硅材料是ー种薄形圆片,叫“晶圆片”.现为了生产某种CPU芯片,需要长、宽都是1cm的正方形小硅片若干.如果晶圆片的直径为10.05cm,问:ー张这种品圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由（不计切割损耗）.（第7题ノ2.如图，已知。0的两条半径0A与OB互相垂直,C为A盆上的一点，且AB'OB'Bピ，求/OAC的度数.3.不过圆心的宜线，交。〇于C、D两点，AB是。。的直径,AE1/,垂足为E,BF丄，,垂足为F.（1）在ド面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形;（2）请你观察（1）中所画图形,写出ー个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；（3）请你选择（1）中的一个图形,证明（2）所得出的结论.4.以AB为直径作一个半圆，圆心为〇,C是半圆上一点，且OC'=ACXBC,则/CAB=.5.如图，把正三角形ABC的外接圆对折,使点A落在BC的中点A'±,若BC=5,则折痕在△ABC内的部分DE长为.6.如图，己知AB为。〇的弦,直径MN与AB相交于。〇内，MC丄AB于C,ND丄AB于D,若MN=20,AB=8后，则MC—ND=.（第11題）（第12题）〈第13题）7.如图,已知。〇的半径为R,C、D是.宜径AB同侧圆周上的两点,AC的度数为96°,BD的度数为36°,动点P在AB上,则CP+PD的最小值为

821.如图1,在平面匕给定了半径为r的圆〇,对于任意点P,在射线OP上取一点P',使得OPXOP，=/,这种把点P变为点P'的变换叫作反演变换,点P与点P’叫做互为反演点.图I图2(1)如图2,。。内外各有一点A和B,它们的反演点分别为A’和B',求证:NA'=NB；(2)如果ー个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另ー个图形,那么这两个图形叫做互为反演图形.①选择:如果不经过点。的直线与。。相交，那么它关于。。的反演图形是()A,ー个圆B.一条直线C.一条线段D,两条射线②填空:如果直线/与。。相切，那么它关于。。的反演图形是,该图形与圆。的位置关系是•2.如图,已知四边形ABCD内接于直径为3的圆0,对角线AC是直径,对角线AC和BD的交点为P,AB=BD,JiPC=O.6,求四边形ABCD的周长.3.如图,已知圆内接△ABC中,AB>AC,D为0AC的中点,DE丄AB于E,求证:BD2-AD2-ABXAC.17,将三块边长均’,侥E押?(ユ,ノ,グ、、“,，—,「黑死JU」内,则圆碟的直径至少是多少?(不考虑其他因素,精确到0.1cm)18,如图,直径为13的。。’,经过原点。，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点,线段。A、OB(OA>OB)的长分别是方程ズ+履+60=。的两根.(1)求线段。A、0B的长;⑵已知点C在劣弧6X上,连结BC交0A于D,当。ピ=CDXCB时,求C点坐标;(3)在。。,上是否存在点P,使弘园产S△的?若存在，求出P点坐标;若不存在,请说明理由.(第18题)

83【例题求解】参考答案例115•或75.分AH、AC在!S心。同创,异俐两艸情玩讨论.ボ+1・丿选D如関・博(2«ア"鮮那。崂"二嗜―延长DC至N•使CN-CM・连结ル、・剜/BCN-NBADq/BD人=NBCA.可匹德△BCNSABCM.Ri^BAM^iRx^BDN.

84M4(DZCriA-W.ZFDM-120*1（2）由耿ム0^?照4E。乂•傅/む”0,6乂£,又/Q乂ド・/。“£・・・・/0團•』し＞乂ド・・・・ム下ひ^0〇ム0）.:（箝/FDM-/0OA•先・RtACGMttRt△mM.博/GMC-NGME・・・・AFDMsACOM,故绪论仍成文.*5%関.《1》曲/ADE-NDAE•權EA-£r).Jl/DFE・90・・・・・Aド・DF.(2)过ん点作AN-BEチN・设ド£>4l・Fハ•3，•用DESx.AAt-DE-Sx.AF-FD«3x.,.*SA4«ir-yAD.EF-yDE-AN.A(3x-b3x).O-5x-AN..*.AN»yx.由勾臉定用得.£N・［，・・・eZAEDー罡•二・5・(3)由/CAE-/4/AEC-NBEA.得△CAEs/SABE..•.AEt-BE-CE.BK^I^C10F5z)•yx.MWx-2..*.AN-y.BCBD十DC75.S3-yBC-AN-72.【学力训练】I.82.(Dyi(2)y«(3)y3.(1)a,r(<2)■4.D9.A・.B7.可以切割出66个小正方给.技下列方式变放:4X9+2X8t2X6,2X>66《个)ュ设③。的卑履为，.财AH-a，・BC-/，•以8为Bi心，シカ・笈作・・与®。交ナ角点C・む・违BC,BC.AC.AU•延长BO交GM)TD・逢CD.CD-r.BD-2CD.ZQAC-15•或/0AC・一ア5・.1，15"<75,ILyIX4進DO并延长攵MC于P.OD-OP.MC-ND-MCMP-CP.IXWR设DSD点关于汽校AB対酥的点•連CO交AH于儿网卩点使。卩+ア。・小./(1jび・】20・・(7卩ナ卩れ・。・十PD-B-GR.14.(DVA、B的反演点分制是パ.甘..・・CA・OA'=メ・OB・0”->:.QA・OA'=OB-OB',即弟・那•又ZO-ZO..".△ABOsAFA'O..*.ZA*-ZB.<2)①A,⑦*i内切.15.ft小)弁*长交AD于M・用HH丄AD.・・・CD〃bH•瑟・話.掲CD-l.AD-2/J..AH=72.OH-y.BH-2.AB-〃.BC-，■.所求四边彩局长为1+2々+ガ+宿1ムSD^-AZX-CBE*4-ED,)-(AE,*ED,)-(BE>AE)(BE-AE)-.AB・(HE-AE).只恁磋明AOBE-AEIP可•在BAia»BF-AC.aDF可谩明△DBFWZ\DCA・・DF^AC.AE^EF.n.通过动手实践’我的町以脩雷性・・出下列四类情影，S1ffi2№3№4

85图1、图2不符合要求.若按图3放.毎个正方形时爲綫长カ10¢.剧・直也为20V1=28.3(cm》!若挂图4放,号/到它的"对称性・圓・的・心。应在正方形的边DE上•设DO-xcm.如图3(4).DC(:ヽ-10,Of-10z,BC-5.OF-10-jr・EF-10・a5・CF,由勾股定理律(10+・ア+5,・(1。わ,，(_Li/J_10L傭得"二？.VヽゝE，直带为2♦0"2•ノ砺FJP+5—ス(10+等ア+5公25.8(cm).图4可见.选挿图4束“放"煎情.圆僞的直般•小，的是25.8cm.18.(1)OA+OB--A.OA•08,60,。川+0が・.4a・13,.解幅A,ー17.OA-12.OB-5.《2)逢结びC・交人()丁ど,可让明れ0(:改へふ/>(:。•。ヒ・スヒ・び。丄04・0E・ん£-6(ど4./.C/~ヽ(3)假设在00上存在点P・使Sar®=S3・iVOB//EC,：.△0BIX/>A£CD.・・・蒙・累・即アr^E.Pc^«<»OD=y.S4«,-yAD.BO«y..'.Sf,=学APOD中。D边上的髙カ13.即点ア到丁雅距离为13.7©び上的点到r触的・大比内为9..•・点P不在◎"上・即在0(T上不存在点/•使-％e=Sc3.第十五讲转化灵活的圆中角角是几何图形中最重要的元素,证明两宜线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角,而圆的特征,赋ア角极强的活性,使得角能灵活地互相转化.根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化;由同弧或等弧所对的圆周角相等,可将圆周角在大小不变的情况下,改变顶点在圆ヒ的位置进行探索;由园内接四边形的对角互补和外角等于内对角,可将与圆有关的角互相联系起来.熟悉以下基本图形、基本结论.注:根据顶点、角的两边与圆的位置关系，我们定义了圆心角与圆周角,类似地,当角的顶点在圆外或.圆内，我们可以定义圆外角与圆内角,这两类角分别与它们的所夹弧度数有怎样的关系?读者可自行作一番探讨.【例题求解】【例1】如图，直线AB与。〇相交于A,B再点，点0在AB上,点C在。〇上,且/A0C=40°,点E是直线AB上一个动点(与点。不重.合)，直线EC交。〇于另一点D,则使DE=DO的点正共有个.思路点拨在直线AB上使DE=DO的动点E与。。有怎样的位置关系?分点E在AB上(E在。。内)、在BA或AB的延长线上(E点在。。タト)三种情况考虑，通过角度的计算，确定E点位置、存在“的个数.注:弧是联系与圆有关的角的中介,“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互.转化的基本方法.【例2】如图,已知ふABC为等腰直角三形,D为斜边BC的中点，经过点A、D的。。与边AB、AC、BC分

86别相交ア点E、F、M,对丁・如下五个结论:①NFMC=45°；②AE+AF=AB；@—=—；④2BM?=BFXBA；EFBC⑤四边形AEMF为矩形.其中正确结论的个数是（）A.2个B.3个C.4个D.5个思路点拨充分运用与圆有关的角,寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形,逐一验证.注:多重选择单选化是近年出现的一种新题型，解这类问题，需把条件重组与整合，挖掘隐合条件，作深入的探究,方能作出小正确的选择.【例3】如图，已知四边形ABCD外接。〇的半径为5,对角线AC与BD的交点为E,且AB2=AEXAC,BD=8I求AABD的面积.思路点拨由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得A为弧BD中点,这是解本例的关键.【例4】如图，已知AB是。,0的直径,C是。〇上的一点，连结AC,过点C作直线CD丄AB于D（AD〈DB）,点E是AB上任意一点（点D、B除外），宜线CE交。〇于点F,连结AF与直线CD交于点G.（1）求证:AC=AGXAF；（.2）若点E是AD（点A除外）上任意一点，上述结论是否仍然成立?若成立.请画出图形并给予证明;若不成立,请说明理由.思路点拨（1）作出圆中常用辅助线证明△ACGs^AFC；（2）判断上述结论在E点运动的情况ド是否成立，依题意准确画出图形是关键.注:构造直径上90°的圆周角,是解与圆相关问题的常用辅助线,这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件.【例5】如图,圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF,且对角线AD、BE、CF相交丁・一点Q,设AD与CF的交点为P.求证:（1）丝=4£；（2）纟・=«£EDECPECE

87思路点拨解本例的关键在于运用与圆相关的角,能发现多对相似三角形.（1）证明△QDEs^ACF；（2）易证式=竺,通过其他三角形相似并结合（1）把非常规问题的证明转PEDE注:有些几何问题虽然表面与圆无关,但是若能发现隐含的圆,尤其是能发现共圆的四点,就能运用圆的丰富性质为解题服务，确定四点共圆的主要方法有:（1）利用圆的定义判定:（2）利用圆内接四边形性质的逆命题判定.学历训练1.一条弦把圆分成2：3两部分,那么这条弦所对的圆周角的度数为2.如图,AB是。。的直径,C、D、E都是。〇上的一点，则/l+N2=3.如图,AB是。〇的直径,弦CD1AB,F是CG的中点,延长AF交。〇于E,CF=2,AF=3,则EF的长为.（第2題）（第3題）（fl1S）4.如图，已知AABC内接于。〇,AB+AC=12,AD丄BC于D,AD=3,设。0的半径为y,AB的长为x,用x的代数式表示y,y=.5.如图，ABCD是。。的内接四边形，延长BC到E,已知/BCD：ZECD=3：2,那么/BOD等于（）A.120°B.136°C.144°D.150°6.如图,。。中,弦AD〃BC,DA=DC,ZA0C=160°,则ノBOC等于（）A.20°B.30°C.40°D.50°（第5"）（第（第7.如,图,BC为半圆。的直径,A、D为半圆〇上两点,AB=>/i,BC=2,则/D的度数为（）A.60°B.120°C.135°D.150°8.如图，。。的直径AB垂直于弦CD,点P是:弧AC上一点（点P不与A、C两点重合）,连结PC、PD、PA、AD,点E在AP的延长线上，PD与AB交于点ド.给出下列四个结论:①CH'AHXBH；②AD=AC；③ADjDFXDP；④NEPC=NAPD,飞琉确的个数是（）

88A.1B.2C.3D.49.如图,已知B正是AABC的外接圆〇的直径,CD是AABC的髙.（D求证:AC•BC-BE•CD；（2）已知CD=6,AD=3,BD=8I求。〇的直径BE的长.（第8題）く第9蘭〉（M1OB）10.如图,已知AD是4ABC外角/EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延KDA交4ABC的外接圆于点F,连结FB,FC.（1）求证:FB=FC；（2）求证:FB2=FAFD；（3）若AB是ふABC的外接圆的直径,ZEAC=120°,BC=6cm,求AD的长.11.如图，B、C是线段AD的两个三等分点,P是以BC为直径的圆周上的任意一点（B、C点除外），则tanZAPB•tanZCPD=.C《第11题）（第12期）13.如图,圆内接四边形ABCD中,ZA=60°,ZB=90°,AD=3,CD=2,14.如图,AB是半圆的直径,D是AC而中点,ZB=40°,则/A等于（A.60°B.50°C.80°D.70°15.如图,已知ABCD是ー个以AD为直径的圆内接四边形,AB=5,PC=4,P,若ZAPD=60°,则。〇的面积为（）A.25nB.16冗C.15nD.13n30ヤ（第14题）（第1516）（第acD（第13期）则BC二.）分别延长AB和DC,它们相交于腎（第17题）在圆内接四边形ABCD中,AB=AD,ZBAD=60°,AC=a,则四边形ABCD的面积为16.如图，AD是RtaABC的斜边BC上的高,AB=AC,过A、D两点的圆与AB、AC分别相交于点E、F,弦EF与AD相交于点G,则图中与4GDE相似的三角形的个数为（）

89A.5B.4C.3D.216.如图,已知四边形ABCD外接圆。。的半径为2,对角线AC与BD的交点为E,AE=EC,AB=V2AE,FLBD=2后,求四边形ABCD的面积.17.如图,已知ABCD为。〇的内接四边形,E是BD上的一点,且有/BAE=/DAC.求证:(l)Z\ABEs/\ACD；(2)ABDC+AD•BC=AC•BD.(第18題)(第19題)D18.如图,已知P是。〇直径AB延长线上的一点,直线PCD交。〇于C、D两点,弦DF丄AB于点H,CF交AB于点E.(1)求证:PA•PB=PO-PE；(2)若DE丄CF,ZP=15°,。。的半径为2,求弦CF的长.19.如图，zSABC内接于。0,BC=4,$.!广6后，NB为锐角，且关于x的方程x2-4xcosB+1=0有两个相等的实数根，D是劣弧AC上任一点(点D不与点A、金合)，DE平分/ADC,交。〇于点E,交AC于点F.(1)求/B的度数:(2)求CE的长;⑶求证:DA、DC的长是方程＞，2-£)E-y+nEび=0的两个实数根.(第20题)

90参考答案囲转化灵活的・中角【例覇求解】例I分情彫考虑点E的位置:在OA的・长妓上，在。AC不含。点上，在08的・长线上,共有3个.可进ー步•定E点位置,求得/〇OE.《歩・成《竽》エ(纱例2选C结怆④不成立例3由AびーハE・AC.帯翼。器.又/BAE-/CA8.1△ABEooAACB.ZABE-ZACB-ZADB.AB-AD,達结AO,交BDpF.WBF-DF-4.it08.由勾做定理得。ア・3・ん尸・CM—OF-2.故S^-yBD-AF»8.例4(I)延长CG与©。相交戒连CB•注明△ACG^AAFC，(2)当点E是八D《点A除外)上任一点.或与D点・合•上述階论仍成立•还明略,例5(l)(t]AB-CD=Eド知•Ah=f2>・E尸,ZQED-/BEC，/CED-ZHEC+/AEB,ZAEG乂/QDE-/ACE,こMDEsaACE.I・餘・曲⑵由⑶・辟・知.DE〃CF••••惠=器①7ZQED-ZAEC-ZCDQ.ZDQE-ZDQF^EQF-«^QDC-hZQCD-ZDEQ-ZQCD.••.△QDCsCDEQ..•・霞・需.Qひ•QC.DE由(】)及①式幡景工器ー一然マ幫【学力加练】I.72Ml08.エ90,3.44.ーチゴ+2«r5.C6.B7.D8.C9.(1)迷CE,由△人ハCs^ECB.得ミンー检,即AC・BCBE•CD(2)BE5馬,10.(1)VZEAD-ZFCB-ZFBC.1・KB-FC.(2)V/FAB-ZFCb-ZFBC・/AFB-NBFD・.・・△AFBc^ABFD：.ボ・用.即F距-FA•FD.<3)ZD-30'.ZBAC-W.AC-BC«ctgZBAC-2V3.AD-2AC-4,/J(cfn)11.+过B、C分别作BP、C”线•交AP.DP分别为EJ点.12.~alBC+CD-AC13.91延长DC.AB交于F14.0!S.D由△PBCs^PDA.*BP316.C17.Aガ-2A£-AE・AC.而器ー带.又/EA8=/ムAC・・・・△A8Es/\ACBWZABE-ZACB,知AB-AD.itAO,交BD十”.*BH-HDV3.OHI.AHOA-OHI.故3-=ラ亜・A〃“5.又E是ハC的中点剜Sa・・Sgr・Scw・Saum・冇-故urn-25A,y-26.18.由△AbEsAACD、2\ADEsaACB•分别将AB-/X'-AC-BE.AD-BC*AC•DE.制式相加利AB-DC+AD-BC-AC・BD.19.)逹结。ハ、BC、AD.可雄得△PDOcoZiPEC.aPBCs△尸DA.PD・PC-PC-PE.PA•P/i-PD-PC•从而PA•PB«PO-PE.(2)4DHE为等・点第三角形.。”•1・DH・イ5.DE瓶.由ZS。"。ケ，ム。£(、・樽弟ー器・図一々.故CF^CE+EF匸CE+DEゆや瓜(DZB-60*(2)过A作A〃丄bC于H.则AB-6,BH-AB-corfO--3.AH-Afi-sin60'•3",CH-fiC-BH-l.AC-A^-hCH28.AC-24r.连ハE.可比縄ユACEカ等边三角彩.财fE«AC«-2々(3)由△EDAs/SCD卜縛DA•DC«DE-DF.延长CD至G,使DG-DA.逹結AG・可让得△EDAWACGA.JHEDCGGD4-DC-CD+DA.

91第十六讲从三角形的内切圆谈起和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形.三角形的内切圆的圆心叫做这个ー:角形的内心,圆外切.三角形、圆外切四边形有下列重要性质:1.三角形的内心是三角形的三内角平分线交点,它到三角形的三边距离相等;2.圆外切四边形的两组对边之和相等,其逆亦真，是判定四边形是否有外切圆的主要方法.当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时,就得到隐含丰富结论的下列图形:注:设RtZ\ABC的各边长分别为a、b、c（斜边）,运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式：（Dr=;2a+b+c请读者给出证【例题求解】【例1】如图,在RtZ\ABC中，NC=90°°,BC=5,〇〇ワRtZIsABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F,若。。的半径r=2,则RtAABC的周长为.思路点拨AF=AD,BE=BD,连OE、OF,则OECF为正方形，只需求出AF（或AD）即可.【例2】如图，以定线段AB为直径作半圆〇,P为半圆上任意一点（异于A、B）,过点P作半圆。的切线分别交过A、B两点的切线于D、C,AC、BD相交于N点，连结ON,NP,下列结论：①四边形ANPD是梯形;②ON=NP：③DP・PC为定值;④FA为/NPD的平分线，其中一定成立的是（）A.①②③B.②③④C.①③④D.①④思路点拨本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出NP〃AD〃BC是解本例的关键.【例3】如图,已知/ACP=NCDE=90°,点B在CE上,CA=CB=CD,过A、求证;F为ふCDE的内心.

92思路点拨连CF、DF,即需证F为4CDE角平分线的交点,充分利用与圆有关的角,将问题转化为角相等问题的证明.【例4】如图,在直角梯形ABCD中,AD〃BC,ABXBC,AB=BC=1,以AB为直径作半圆〇切CD于E,连结OE,并延长交AD的延长线于F.(1)问/BOZ能否为120°,并简要说明理由:(2)证明△AOFs/\EDF,K—=—=1：OFOA2(3)求DF的长.思路点拨分解出基本图形,作出基本辅助线.(1)若/B0Z=120°,看能否推出矛盾:(2)把计算ワ推理融合;(3)把相应线段用DF的代数式表示,利用勾股定理建立关于DF的一元二次方程.注:如图，在直角梯形ABCD中，若AD+BCXD,则可得到应用广泛的两个性质:(1)以边AB为直径的圆与边CD相切;(2)以边CD为直径的圆与边AB相切.类似地,三角形三条中线的交点叫三角形的重心,三角形三边高所在的直线的交点叫三角形的垂心.外心、内心、垂心、甫心统称三角形的四心,它们处在三角而中的特殊位置上,有着丰富的性质，在解题中有广泛的应用.【例5】如图，已知Rt^ABC中,CD是斜边AB上的髙，〇、〇卜&分别是AABC；AACD,ABCD的角平分线的交点,求证:(1)OiOlC0?；(2)0C=0,02.思路点拨在直角三角形中,斜边上的髙将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，所以通过证交角为90。的方法得两线垂直,又利用全等三角形证明两线段相等.1.如图，已知圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm,那么等腰梯形ABCD的周长等于=cm.2.如图,在直角,坐标系中A、B的坐标分别为(3,0)、(0,4),则Rt^ABO内心的坐标是.3.如国梯形ABCD中，AD〃BC,DC丄BC,AB=8,BC=5,加AB为直径的。〇与DC相切于E,则DC=

931.嫡!〇〇为れABC的内切圆,NC=90°,A0的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,贝Q0的半径等于()(95K)(第6题)2.如图,在梯形ABCD中,AD〃BC,ZBCD=90°,以CD为直径的半圆〇切AB于点E,这个梯形的面积为21cm2,周长为20cm,那么半圆〇的半径为()A.3cmB.7cmC.3cm或7cmD.2cm3.如图AABC中,内切圆〇和边B、CA、AB分别相切于点D、EF,则以下四个结论中,错误的结论是()A.点〇是4DEF的外心B.ZAFE=1(ZB+ZC)2C.ZB0C=90°+丄ZAD.ZDFE=90°ZB224.如图,BC是。0的直径,AB、AD是。0的切线,切点分别为B、P,过C点的切线与AD交于点D,连结AO、DO.(1)求证:△AB0s/\0CD；4f尸D相BC相交于点E.(第9經)DM=GM.(2)若AB、CD是关于x的方程x2-|("-l)x+(加-1/=0的两个实数根,且Sa(o=20,求m的值.5.如图,已知AB是(第7題)是(CE3(1)若BC=g,CD=1,求。。的半径;(2)取BE的中点F,连结DF,求证:DF是。。的切线;(3)过D点作DG丄BC于G,0G与DG相交于点M,求证:6.如图，在宜角梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AD=13cm,BC=16cm,CD=5cm,AB为。〇的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1cm/秒的速度运动,动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2cm/秒的速度运动,点P、Q分别从A、C两点同时出发,当其中一点停止时，另一点也随之停止运动.(1)求。〇的直径;(2)求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式,并求当四边形PQCD为等腰梯形时,四边形PQCP的面积；(3)是否存在某时刻t,使直线PQ与。。相切，若存在，求出t的值；若不存在,请说明理由.7.已知在れABC中，ZC=90",AC=4,BC=3,CD为AB上的高,0、g分别为AACD、ABCD的内心，则

940Q=_.1.如图,在AABC中,ZC=90°,NA和/B的平分线相交于P点,又PE丄AB于点E,若BC=2,AC=3,则AE•EB=.2.如果ー个三角形的面积和周长都被一直线所平分,那么该直线必通过这个三角形的()A.内心B.外心C.圆心D.重心3.如图,AD是AABC的角平分线，。〇过点AB和BC相切于点P,和AB、AC分别交于点E,F,若BD=AE,且BE=a,CF=b,则AF的长为().1+石R1+V3「1+V5,n1+V3,A.ad.aL.bD.b(第11M)(第13|g>uK)4.如图，在矩形ABCD中，连结AC,如果。为れABC的内心，过。作OE丄AD于E,作OF丄CD于F,则矩形。FDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为()A.-B.-C.-D,不能确定5.如图,AB是半圆的直径,AC为半圆的切线，AC=AB.在半圆上任取一点!)，作DE丄CD,交直线AB于点F,BF丄AB,交线段AD的延长线于点F.(1)设紛是x°的弧，并要使点E在线段BA的延长线上,则x的取值范围是；(2)不论D点取在半圆什么位置,图中除AB=AC外，还有两条线段一定相等,指出这两条相等的线段,并予证明.6.如图，ZiABC的エ边满足关系BC=，(AB+AC),0、I分别为AABC的外心、内心，ZBAC的外角平分2线交。。了E,AI的延长线交。。于D,DE交BC于H.求证:(1)AI=BD；(2)OI=1aE.27.如图,已知AB是。。的宜径，BC是。。的切线，0C平行于弦AD,过点D作DE丄AB于点E,连结AC,与DE交于点F,问EP与PD是否相等?证明你的结论.

951.如图,已知点P在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的AB(不含端点)上运动,PH丄OA于H,△0PH的重心为G.(1)当点P在部上运动时,线段GO、GP、GH中有无长度保持不变的线段?如果有,请指出并求出其相应的长度:(2)设PH=x,GP=y,求y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围;(3)如果れRGH为等腰三角形,试求出线段PH的长.参考答案

96斯从三角形的内切・谈起【例題求解】例】30设AD・・・则AF・AD・3・CF・CE-2.BE・8D-3・(ア+3V-(7+2)'+5La»r-10DNADDPNBBCPC,：.NP//AD//BC,例3連結AD、CF、Dド、EF・N£DF-/CDF-45'NCFD-180'一/CAD・!80,-ZCDA-180'NCFA-/CFB.乙DCF-18O,-ZCFD-ZCDF«18O，/CF"NCbF・/BCF.例4(1)/BOEK120'•建CC.若ZBOE=120•.则OC-1.于是BCV1.这与巳知BC-1矛照;(2)Rtz^AOFsRtZ^£DF.连OD•則RtZXADO^RiZ\EDO・ZOOC=90二又OE丄DC.AOE*-DE•EC.7CEw»t4\.Jr.CQ=2，,,=;A8(PD+CQ).y2，+26(。く，48》,当四边形PQCD为等国悌形时.CQ-イ・烂,这时、ーザ(cm'》»(3)存在.若PQ与解相切・切点为G.作タH丄8C于H，则PG-AP=，,QG=Q816-21.又QH=QB-BH=U6—2，)-I-16-31.PQBQ+AP16-，.由PO=PH'+Q/将C6-，)-16+(16-3,ア.•得r-4±/U.10.7?参她例5OC-O,a11.3r-y<5-713).AE-y(/EJ+1).BE-y(713-1).12.A借助面积证明13.C连£Q.则EF〃HC,嚣・信・器,又BD»-BE•人814.A连OH・OH-CF・ZOGHaNFGC.・・,RtZ\OHGgRtZkCFC•同理RtADHPifiRt△PEA.MSsw：■8>2mt十S.e工S^=^Sja•。•故キ”イ=y.15.可利用将赚位置及対通动変化心势的观察•从反面将不可能的情田挎除•或从正面得到UE-Uド的猜想.(1)0

97(2)OH-，丽匸戸ア•ノ36ア・DH-y〇//-yノ砺ア・DP-/DTFTpTFノキ(36—デ)十，チノ36+3アエy-GP・等f〃』:736+3^(0<^<6)|。，△「〇”是等!!三爲形.有三聆可挖情況,①GP-GH,即:ノ36+3,7.鮮褥エ-4.经检骏晶課方豊的M且符合题如②GP=GH,即キノ36+3デ2.X得IC,经检脸艮原方程的根•但不符合臟・,③P"GH.即PH-2.爆上所述•如果APG〃是等・三角形。那么.綾段PH的长等ナ歯或2.第十七讲圆与圆圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形,判定两圆的位置关系有如下三种方法:1.通过两圆交点的个数确定;2.通过两圆的半径与圆心距，的大小量化确定;3.通过两圆的公切线的条数确定.为了沟通两圆,常常添加与两圆都有联系的ー些线段,如公共弦、共切线、连心线,以及两圆公共部分相关的角和线段,这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线.熟悉以下基本图形、.基本结论:【例题求解】【例1】如图，。0I与半径为4的。0ユ内切于点A,。0I经过圆心&,作。〇ユ的宜径BC交。(X于点D,EF为过点A的公切线,若6D=2后，那么/BAF=度.思路点拨直径、公切线、。2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而在〇。必过A点,先求出/DOzA的度数.注:(1)两圆相切或相交时,公切线或公共弦是用耍的类似丁・“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通.同时，又是生成圆稳定理的重要因素.(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中,通过解宜角二:角形求解.【例2】如图，。。I与。0e外切于点A,两圆的・条外公切线与。〇,相切于点B,若AB与两圆的另・条外

98公切线平行,则〇。与。02的半径之比为()A.2：5B.1：2C.1：3D.2：3思路点拨添加辅助线,要探求两半径之间的关系,必须求出/COQ(或/D04)的度数,为此需寻求ノCO,B,ZCOiA,NBOiA的关系./【例3】如图,已知。Oi与。&相交于A、B两点，P是。Oi上一点,PB的延长线交。0ユ于点C,PA交。〇ユ于点D,CD的延长线交。01于点N.(1)过点A作AE〃CN交。0」于点E,求证:PA=PE；(2)连结PN,若PB=4,BC=2.求PN的长.思路点拨(1)连AB,充分运用与圆相关的角，证明/PAE=NPEA；(2)PB•PC=PD-PA,探寻PN、PD、PA对应三角形的联系.【例4】如图,两个同心圆的圆心是。，AB是大圆的直径,大圆的弦与小圆相切于点D,连结0D并延长交大圆ア点E,连结BE交AC于点F,已知AC=4拒，大、小两圆半径差为2.(1)求大圆半径长;(2)求线段BF的长;(3)求证:EC与过B、F、C三点的圆相切.思路点拨(1)设大圆半径为R,则小圆半径为R-2,建立R的方程;(2)证明AEBCs^ECF；(3)过B、F、C三点的圆的圆心〇’,必在BF上，连O'C,证明ノ〇’CE=90°.E

99注:本例以同心圆为背景,综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等十:富的知识.作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键.【例5】如图,AOB是半径为1的单位圆的四分之一,半圆ユ的圆心6在0A匕并与弧AB内切于点A,半圆0I的圆心。ユ在0B上,并与弧AB内切于点B,半圆6与半圆6相切,设两半圆的半径之和为x,面积之和为y.(1)试建立以x为自变量的函数y的解析式;(2)求函数)，的最小值.思路点拨设两圆半径分别为R、r,对于⑴，y=;"(屋+户),通过变形把R、ピ用“x=R+r”的代数式表示,作出基本辅助线;对于(2),因x=R+r,故是在约朿条件下求y的最小值,解题的关键是求出R+r的取值范围.注:如图,半径分别为r、R的。〇い。〇2外切于C,AB,CM分别为两圆的公切线,0a与AB交于P点,则:⑴AB=2匹;(2)ZACB=ZO1M0z=90°:⑶PC?=PA•PB；⑷sinP=#~~。;R+r⑸设C到AB的距离为d,则丄+丄=2.rRd学力训练1.。〇I和。a交于A、B两点,且。O1经过点0”若/A0iB=90°,则/AO2B的度数是.2.矩形ABCD中，AB=5,BC=12,如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆Cタト，那么圆A的半径r的取值范围.3.如图;。〇I、。〇2相交于点A、B,现给出4个命题:⑴若AC是。ユ的切线且交。于点C,AD是。。,的切线且交。02于点D,则AB2=BC・BD；

100⑵连结AB、〇。ス若OiA=15cm,02A=20cm,AB=24cm1则0Q?=25cm；（3）若CA是001的直径,DA是。〇ユ的一条非直径的弦,且点D、B不重合,则C、B、D三点不在同一条直线上,（4）若过点A作。Oi的切线交。。,于点D,直线DB交。Oi于点C,直线CA交。0Z于点E,连结DE,则DE2=DB-DC,则正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）.1.如图,半圆。的直径AB=4,与泮（第3题）与AB切ア点M,设。01的半径为y,,AM的长为x,则y与x的函数关系是,自变量x的取值范围是.め&（»*e>く第5电）2.如图,施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在ー起,则其最高点到地面的距离是（）A.2B.1+—C.D.1+33.如图，已知。〇へ。〇2相交于A、B两点，旦点6在。0Z上，过A作。〇」的切线AC交BOi的延长线于点P,交。〇ユ于点C,BP交。01于点D,若PD=1,PA=石，则AC的长为（）P（第70）4.如图，。〇I和。〇/外切于A,PA是内公切线,BC是外公切线，B、C是切点①PB=AB；②NPBA=NPAB；③△PABs/\O|AB；@PB•PC=OiA•O2A.上述结论，正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.45.两圆的半径分别是和r（R>r）,圆心距为d,若关于x的方程/-2rx+（Rーの2=〇有两个相等的实数根,则两圆的位置关系是（）A.一定内切B,一定外切C.相交D.内切或外切

1019.如图,001和。Oz内切于点P,过点P的直线交。Oi于点D,交。02于点E,DA与。〇ユ相切,切点为C.(1)求证:PC平分/APD；(2)求证:PD•PA=PCZ+AC•DC?(3)若PE=3,PA=6,求PC的长.10.如图,已知。和。〇ユ外切于A,BC是。（）和。〇ユ的公切线,JA并延长交。Oi于D,过D点作CB的平行线交。〇ユ于E、F,求证:（DCD是。〇,的直径;（2）试判断线段BC、BE、BF的大小关系,并证明你的结论.11.如图，已知A是。0へ。02的ー个交点,点M是0e的中点,过点A的直线BC垂直于MA,分别交。01、。〇于B、C.⑴求证:AB=AC；（2）若5A切。は于点A,弦AB、AC的弦心距分别为出、th,求证:di+d尸OQz；（3）在⑵的条件下,若dG=l,设。0卜。02的半径分别为R、r,求证:R2+r2=R2r2.（第11题）12.已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P,则点P到两圆外公切线的距离为13.如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r,则搠扎这7根筷子一周的绳子的长度为14.如图，。〇I和。。2内切于点P,。02的弦AB经过。01的圆心口,交。Oi于C、D,若AC：CD：DB=3：4：2,则。Oi与。0ユ的直径之比为（）A.2：7B.2：5C.2：3D.1：315.如图,。〇I与。〇ユ相交，P是。Ch上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是（）A.1,2B.1,3C.1,2,3D.1,2,3,4(第M.)（第15題）(第16■)

1029.如图,相等两圆交于A、B两点,过B任作一直线交两圆于M、N(过M、N各引所在圆的切线相交于C,则四边形AMCN有下面关系成立()A.有内切圆无外接圆B有外接圆无内切圆C,既有内切圆,也有外接圆D.以上情况都不对10.已知:如图,。。与相交于A,B两点,点P在。〇」二,。〇的弦AC切。Pア点A,CP及其延长线交。PP于点D,E,过点E作EF丄CE交CB的延长线于F.(1)求证:BC是。P的切线;(2)若CD=2,CB=2收,求EF的长;(3)若k=PE：CE,是否存在实数k,使△PBD恰好是等边三角形?若存在,求出是的值;若不存在，请说明理由.（第17fl）（第18fl）11.如图，。A和。B是外离两圆，。A的半径长为2,。8的半径长为1,AB=4,P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切。A于点C,PD切。B于点D.(1)若PC=PD,求PB的长;(2)试问线段AB上是否存在一点P,使PC2+PD2=4?,如果存在,问这样的P点有几个?并求出PB的值;如果不存在，说明理由;(3)当点F在线段AB上运动到某处,使PC丄PD时，就有△APCs^PBD.请问:除上述情况外,当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少，或PC、PD具有何种关系)时,这两个三角形仍相似:并判断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论.12.如图，D、E是AABC边BC上的两点,F是BA延长线匕一点，ZDAE=ZCAF.(1)判断△ABD的外接圆与ふAEC的外接圆的位置关系,并证明你的结论;(2)若4ABD的外接圆半径是AAEC的外接圆半径的2倍，BC=6,AB=4,求BE的长.20.问题:要将图甲图乙

103操作:方案ー:在图甲中,设计一个使圆锥底面最大,半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求,画示意图）.方案二;在图乙中,设计ー个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）;,探究：（1）求方案一中圆锥底面的半径;（2）求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径;（3）设方案二中半圆圆心为0,圆柱两个底面的圆心为し、0：：,圆锥底面的圆心为0：,,试判断以6、0ユ、。3、0为顶点的四边形是什么样的特殊四边形,并加以证明.参考答案

104运]H）与9【例題求解】例167.5连RQ,必过4点.连AD,解得/QMD=45・例2选C连0,C.O.a・aD,Q8.过〇作。.E丄QD于E.由AB//CD,CO,CO.±AB,：./CUB-NCQA.又由对称性知/caAn/BaAu/AaBnizcr.at/aaEMizo.-go"-B。・例3（】）连AB.MZABC-ZE./ABC«ZADC,7AF//CNヽ/ABC=/ADC・メE=/FAE,故?A=PE»《2）连AN,則/ABC=/PNA=/ADC=/PDN.又/DPZ』/NPA.こ△PDNsZ^PNA.：•PNPD^PA.il,PB•PC-PD・PA.1・PN-JPル・PC-ノ4（4+公•2几例」（DR-3,《2〉连BCjft-R，N4CE，/EBC.又/8£0"N。£ド・・・・Z^£呪84改尸,工后び・£8•EF.RtZKDE中,£X?-yAC-2徳,DE=2・EC=J次*+カガ=2点、達纳E.AE-EC-273.ZAEB-9O\BE-ノA却-AF-»28£F=BE-BF,:•（2V5y02G（2G-BFハ鮮得BF=イち、（3）设过B、F,C三点所作圆的圆心为。’・剜30的直桎为BF.连びC,则。C=OF,/OFC=/OCF,已证/ECF-/CBF•而/〇FC+/CBF=90.,・・・NOCF*/ECF=90'.即/ECCy-9O・・IOC丄EC•故EC是®。的切竣.例5⑴设②。的单径为七刨ル的半径为3・か（ボーメ）•/ルマ+川ー28ス连储。，则（夫十ガ・《】一択ア+（1-rア,即R+，+Rr-l.;・尸ライ（/?+「），-2[1-（R+ハ:!）-チ（デ+2,—2）ケ、<⑺,:R十『》2g・:・5；セ!》Rr,Rr=i-（R十八,工（R+r）・+4（R+，）一4二〇,ソR亠。卜Vア>0,1R+，/2（在一D,即上》2（4ー】）•故函败尸ラオ（ゴ+2オー2）,当，=（ぐー1）トゴしヽ时,ル.（3—2々）irメ」もレ【学力训练】1.135•或45"2.1VY8或18VY253.①②③④4.メーチデ+工（0V*V4）S.D6.B7.B8.D9,（1）过P作网画的公切蟆PT.（2MC-DC*PC*CF,PU+AC-DC=PC»+PC-CF=PC（PC+CF）«PC•PF.即要证PC・PE=PD・PA,由△PDCsaPFA可得,⑶由△PCAs^PEC,姆能・髭・即Pr-PA•PE,傅PC-3げ10-《1）过点A作的圜内公切线交BC于G.连AC,GA-GB-GC.AB±AQ<2）连结AE.由メBDE=/BEA./EBD公共可证明ABAEs^BED.エ给二铢.即HEtユBA-BD,又BC-BA•at.uuBD、:・BE-BC.ttBE-BF-BC11.（1）分别作QD亠AB于D，O»E丄AC于E・AS=2AD*2A£=AC,（ZHAD-QE-ZAM-QQ,即カ+あ・O,Q/⑶R,△。"如Ra*.墨=翳=留.***AD-AE«CE-CD=2,P8=1,由Ry^EFCsRi△曰PC得EF-BP--^=^i⑶存在实数3使△P8D为等边三角形,VZCPB-60\CB为0P切线,•・・/BCP-3O・・P5・うPC.PB="P£VPC-2P£.CE-PC十PE.:・CE=PEJ号S•努・告・

1051a《1びび・2ん’ー人び.「び-Fがー8び,设尸6・エ.Pん=4一・.・ゴーI*n（4ーXアーギ解禅よユ号.1<号V2,即PB的长为竽（PA长为竽>2九・（2）假定存在一点P,使PO+PD1-れ设PB-よ.则アび・メー1・尸び・（4ーIアー2,1・《4ーエアー2，+工1-1=4,解得32士拿TF在苒8B间的照外部分..\1VPBV2.即1<.<2.故局是条件的P点只有一个.这时PB-2一考,⑶当PC«Pり・2•1或P"キ时.△PCAsaPDB.这时备・亨・舒（威静,/〇ズ。…。・，•••△PCAsAPDB，NBPD-/APC・/BPE4E在。，的延长城上）2・H点在/DPE的京平分线上・B到FD与PE的胪离相等.・・・®B与PD相切.：.e6也与03的延长线PE相切.19.（1）歯㈣外切•作。ABD的切線ハ则ノ1-/R丁N3—/8+/C.こZ3-ZHZC.VZ1*Z2»Z3«Z1+ZC..*.Z2-ZC过ハ作人P丄ハ交◎んEC于点P,逐PF.•:/P-/人CE,剛ズ2-ZR二ZPAE十ZP-90・于是・/AEP90',从前Aア是@AEC的切銭,即ー圈相切于点A.（2ン延长DA交OAEC于G（不妨设F在®Aとじ上）•连GF.由/4=/QAE+ZAED=Z3/NAFC有Z4+Z5=1SO;则Z4=/A《，F.;・△ADBooAAGF./.AB：AF=2く即等于两圆半径比）.但んB=4,二AF=2,（这里可用正弦定理做）7BA-BF=BE-BC./.BE・イ.图・AC0图b2〇•方案।如图a.OO»是画傅.底面・@。和。擋是08柱底面.方案二,如图ん〇〇）,©。是眼柱底面,。Q是團锥底面.（1）剧博的半径为ラズ2ズキ.0.5（h!）⑵如图ん连结8与®Q的半径为◎0、的半径为“m.可if明四边形QCCD为正方形,由〇〇，。び十ひび,得（】yア・y+，.又O.CV=Gび+Qび・得（エヤyア亠ブ+（1ーエーメア,解得.y・先一1.エユ32-7T（m）（3）四边形8.Qg是正方形•证明略・第十八讲几何的定值与最值几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的ー类问题,解几何定值问题的基本方法是:分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置,直接计算等方法,先探求出定值,再给出证明.几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平.面几何图形中煤个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值,求几何最值问题的基本方法有:1.特殊位置与极端位置法;2.几何定理（公理）法;3.数形结合法等.注:几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点.这是由于这类问题具有很强的探索性（目标不明确）,解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.【例题就解】【例。如图,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边AAPC和等边れBPD,则CD长度的最小值为.思路点拨如图,作CC’丄AB丁C,DD'±ABTD',DQ丄CC'，CDW+CQ2,DQ=LaB—•常数，当CQ越小,CD越小,本例也可设AP=x,则PB=10-x,从代数角度探求CD的最小值.ACPD'B

106注:从特殊位置ワ极端位置的研究中易得到启示,常能找到解题突破口,特殊位置与极端位置是指:(•1)中点处、垂直位置关系等;(2)端点处、临界位置等.【例2】如图，圆的半径等于正三角形ABC的高,此圆在沿底边AB滚动，切点为T,圆交AC、BC于M、N,则对于所有可能的圆的位置而言，MTN为的度数()イA.从30°到60°变动B,从60°到90°变动C.保持30°不变D.保持60°不变思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点C时,其弧的度数，再证明・般情形，从而作出判断.注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下,动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量,考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值.【例3】如图，已知平行四边形ABCD,AB=a,BC=b3>b),P为AB边上的ー动点，直线DP交CB的延长线于Q,求AP+BQ的最小值.思路点拨设AP=x,把AP、BQ分别用x的代数式表示,运用不等式。2+庐22"(当且仅当a=ひ时取等号)来求最小值.【例4】如图，已知等边AABC内接于圆,在劣弧A尸上取异于A、B的点M,设宜线AC与BM相交于K,直线CB与AM相交于点N,证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择无关.思路点拨即要证AK・BN是ー个定值,在图形中ふABC的边长是ー个定值，说明AK•BN与AB有关，从图知AB为れABM与ふANB的公共边，作一个大胆的猜想,AK•BN=AB2,从而我们的证明目标更加明确.注:只要探求出定值,那么解题目标明确,定值问题就转化为•般的几何证明问题.

107［例5］已知AXYZ是直角边长为1的等腰直角三角形（NZ=90°）,它的三个顶点分别在等腰RtAABC（ZC=90°）的三边上，求AABC直角边长的最大可能值.思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA（或CB）上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy的中点,通过几何不等关系求出宜角边的最大值，当顶点Z在（AC或CB）上时，设CX=x,CZ=y,建立イ，y的关系式,运用代数的方法求直角边的最大值..注:数形结合法解儿何最值问题，即适当地选取变量,建立儿何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解.常见的解题途径是：（1）利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值;（2）构造二次函数求几何最值..学力训练1.如图，正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合）,分别过B、C、D作射线AP的垂线ー，垂足分别是B‘、C‘、D',则BB'+CC'+DD'的最大值为,最小值为.2.如图，NA0B=45°,角内有一点P,P0=10,在角的两边上有两点Q,R（均不同于点0）,则aPCIR的周长的最小值为.3,如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A至りMN的距离AC=8,B到MN的距离BD=5,CD=4,P在直线MN上运动,则的最大值等于.1«）（第2题）（第3题）4.如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直.径MN上ー动点，。0的半径为1,则AP+BP的最小值为（）A.1B.—C.V2D.V3-125.如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形,动点P从A点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是（）A.26+乃2B.2V1+4万2C.4V1+乃2D.274+乃l

1085.如图、已知矩形ABCD,R,P户分别是DC、BC上的点,E,F分别是AP、RP的中点,当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A.线段EF的长逐渐增大,B.线段EF的长逐渐减小C.线段EF的长不改变D.线段EF的长不能确定4«）（第5代）（第6修）6.如图,点C是线段AB上的任意一点（C点不与A、B点重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.（1）求证:MN/7AB；（2）若AB的长为10cm,当点C在线段AB上移动时,是否存在这样的一点C,使线段MN的长度最长?若存在,请确定C点的位置并求。出MN的长;若不存在,请说明理由.7.如图，定长的弦ST在ー个以AB为直径的半圆上滑动,M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，求证:不管ST滑到什么位置,NSPM是一定角.第（2）向图8.已知AABC是。0的内接三角形，BT为。0的切线,B为切点,P为直线AB上一点,过点P作BC的平行线交直线BT于点E,交直线AC于点F..（1）当点P在线段AB上时（如图）,求证:PA•PB=PE•PF；（2）当点P为线段BA延长线上一点时,第（1）题的结论还成立吗?如果成立,请证明,如果不成立,请说明理由.A.8（第!OH>AIIO9.如图,已知;边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=1,在AB上的一点P,使矩形PNDM有最大面积,则矩形PNDM的面积最大值是（）

1095.如图,AB是半圆的直径,线段CA上AB于点A,线段DB上AB于点B,AB=2：AC=1,BD=3,P是半圆上的ー个动点,则封闭图形ACPDB的最大面积是（）A.2+V2B.1+V2C.3+V2D.石+行在边AB、AC上分别取点D、E,使线段DE将4ABC分成面6.如图，在/kABC中,BC=5,AC=12,AB=13,积相等的两部分,试求这样线段的最小长度.（第!2M）（第13M）7.如图，ABCD是ー个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P,BV与CU相交于点Q.求四边形PUQV面积的最大值.8.利用两个相同的喷水器,修建一个矩形花坛,使花坛全部都能喷到水.已知每个喷水器的喷水区域是半径为10米的圆,向如何设计（求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽）,才能使矩形花坛的面积最大?9.某住宅小区,为美化环境,提高居民生活质量,要建一个八边形居民广场（平面图如图所示）.其中,正方形MNPQ与四个相同矩形（图中阴影部分）的面积的和为800平方米.（1）设矩形的边AB=x（米），AM=y（米）,用含x的代数式表示y为.（2）现计划在正方形区域卜.建雕维和花坛，平均每平方米造价为2100元;在四个相同的矩形区域ヒ铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元;在四个三角形区域上铺设草坪,平均每平方米造价为40元.①设该工程的总造价为s（元）,求s关于エ的函数关系式.②若该工程的银行贷款为235000元,仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案;若不能,请说明理由.③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元,问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案;若不能，请说明理由.

1105.某房地产公司拥有一块“缺角矩形"荒地ABCDE»边长和方向如图，欲在这块地上建一・座地基为长方形东西走向的公寓,请划出这块地基,并求地基的最大面积（精确到1mり，参考答案図几何的定值与・值【例题求解】例15CO=DQ+CQ.当CQ=。时:即『为AB的中点时的值最小为エ例2选。当圓心在正二角形的價点（时.其弧为60・例3由△APDs^BPQ•得請=密•即BQエ色产・丝ラ立:.AP+BQ-工+^jT^=ス+:ルー&,:彳4•や>71•や2y/ab:,当且仅当アヨ・即マ=ノお时,上式等号成立.故当ん"ノ話时,AP+BQ最小,其最小值为2/拓一ん例」VNAMK=/C・/CAHa/K+N.A8K,/人MK/MAB亠/人HK・エ/KZBAM*RHAN,同理/4BKNN,则△ABKs/^BNA,有需•螢•故AK•HN=AB：（常量）.即AK与BN的乗根与点M的遶律无关.例5⑴如图】,頂点Z在斜边上・取XV的中魚M.连CM,ZM.CZ•并作边人B上的禽。N・則CZ&CM-MZ-上ワ+ラハ=ツ=む•又CN&CZ•所以CNCv^>CA=V2CN<2i（2）如图2.质点ノ在直角边CA（或CB）上・由对称性.不妨设Z在CA上,设じ》="・。スH”并过Y作YH丄CA于H.基证△ZYHBzlXZC•得HZ=CX=ユ・Hy=CZN»又△AHY为等後直角:鉤形.则ハH・ア・设AO2y+x=6.即1=ルー2》•在RfATXZ中,，+3—2y）'=l',即5ゴー4”+メー】・0.因カy为买败‘财A-】6"20（加D-204Vユ。•YV鼠当ル同时ヅエ爭《二£・绿合3）.⑵知,6的最大值为パ.閉IA

111【学力训练】1.242斗/1点马点b・合时••大・BB'・〇.当与C点・合时・Hひ丄AC・B8'-DD・-BD停・小・cr-o.ェ1。4X54・C作A关于MNお対穂:点ん'.读AB会MNチ点P'・他お的〃闻カ所求んP+PB•小偷お点・卩、NBOV-8•.パB-ノ（W+CW-ほS.A，・C7.《い略M2）假设存在符合条件的点C.弁设AC=i・MN-y.・・・Ma〃ん冃.••.券・穹•即よ・与言ユ.y・ーえ（1-5A卜:.5（02々.故.足条件的DE.小长庾カ275.13.XM・j$UV•:.AU//DV.•*..S^jioe•S~6=Sae••,•Srjq^=Saam>*Sユ。•作PE丄ADfE.QF±BC^F，APE~・QFつ.シいs=ラ(よ”・设AU-.DV=b.W：+キ-DE-AE-l.ttv-(一;*,為""て:2浮•S«・e-f【鸟+<1-a“1—5)].(・+S)-(*'+")•2《*+6》—。’一ド一(・'—")「ZG+5》ーザ~tab2-a-b'2Q+カ(2-0ーか4Qキか(2一・ーかQ4Qーか(2ー。ーか皓需手号ーチ.等号当R仅当ai时成立做四边形PUQV国租的・大值息+.14.<1>inm.Q.O.2風个相同的・水J»折在位置.ABCO是设计的电形花乐,皿电形边长AD=n/XJ-AD-x*.«Rt^O,EQ^.aE-ノ0,a-Qゼ”w-（尹・チ.ノ400ー了.••.国心更。。エ20,E=400丿・AB-2OQ三2ノ400ーア..••用再面机S-2/ノ400-?<0<^<却）•又二・5•―〇1《40〇ーゴ）■ー（"-400）“40〇».:・君“-400-Olt.S,才•大・就时ユ・】（）〃（京）.f才・大.S的・大值カ40〇.从而・符合要求的设计是两个喂水!!的能萬力aQr-VWOー（10。）,・10々（米）•矩形第边长ん。-10々米.人820々米•第帝花坛府•大面枳.15.⑴，・*ジ（0V・V20〃）.（2）DS7100ゴ*105X4xy-t-40X4X-i-y«-2000^+22^2275OOO（O

11276000-t-2000X80-2000(x-y),>236000>235000.仅旅修行贷款不能完成谖工程的建设任务.③由S-235000+73000,308000,林2000〉+旳デ76000—308000,解得x-10或.对应的y值分别为17.5.ア-49.故设计方案为」•正方彩区城的边长为10米，四个相同的矩形区域的长軻寛分别カ17.5米和10米.四个相同的三角形区域的直角边长均为17.5米.2•正方形区，的边长为4米.四个相同的矩形区域好和寛分别为49米和4米,四个相同的三角形区域的直翕边长均カ49米.U.如图,以![級BC、んE分期カ，軸2軸建立直角坐标系.8C、AE为正方向;长度单位为米，直域A8的方程为ッ・ー年1+20.首先号•与。不相邻的傾点F在公B上的情瓦•则F(x.20-yx).(0

113注:到ー个定点等距离的几个点在同一个圆上,这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法.【例3】如图,在ふABC中,AB=AC,任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ,求证:4ABC的外心〇与A,P,Q四点共圆.思路点拨先作出れABC的外心O,连PO、OQ,将问题转化为证明角相等.【例4】如图，P是。0外一点,PA切。。于A,PBC是。。的割线，AD丄P。于D.求证:里=£.PDCD思路点拨因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定4PBD与4PCD相似证明.PA2=PD・P0=PB・PC,B、C、。、D共圆，这样连。B,就得多对相似三角形，以此达到证明的目的.Bic、0,注:四点共圆既是ー类问题,又是平面几何中一个重要的证明方法，它代に:Kえノ”土す和相似三角形有着同等甫耍的地位，这是因为,某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运.用圆的性质为解题服务.【例5】如图，在ふABC中,高BE、CF相交于H,且ZBHC=135°,G为AABC内的一点,且GB=GC,ZBGC=3ZA,连结HG,求证:HG平分ZBHF.思路点拨经计算可得ZA=45°,AABE,Z\BFH皆为等腰直角三角形，只需证ZGHB=ZGHF=22.5°.

114由/BGC=3NA=135°=ZGHC）得B、G、H、C四点共圆,运用圆中角转化灵活的特点证明.注:许多直线形问题借助辅助圆,常能降低问题的难度,使问题获得简解、巧解或新解.学力训练1.如图,正方形ABCD的中心为〇,面积为1989cm〇,P为正方形内一点,且/0PB=45°,PA：PB=5：14,则PB的长为.2.如图，在AABC中，AB=AC=2,BC边上有100个不同的点P卜P”…Pw,记忆.=4尸ビ+B号.りc（i=l,2,,••100）,KO吗+m2Tア叫oo=CF,且其垂心H不与任一顶点重合,则由点A、B、£、D、E、F、H3.设△ABC三边上的髙分别为AD、BE、中某四点可以确定的圆共存（）D.6个,第2题）（第3题）4个C.5个DCAA.3个,B.D4.如图，已知OA=OB=OC,且/AOB=k/BOC,则/ACB是/BAC的（）A.L倍B.是え倍C.2kD.丄2k5.如图,在等腰梯形ABCD中，AB/7CD,AB=998,CD=1001,AD=如99,点P在线段ADk・,满足条件的NBPC=90°的点P的个数为（）A.0B.1C.21D.不小于3的整数（第1尊＞叩6.如图”AD、BE是锐角三角形的两条高,Saabt=18,Sabk=2,则COSC等于（）A.3B.-C.-D.-334

1151.如图;已知H是△ABC三条高的交点,连结DF,DE,EF,求证:H是4DEF的内心.2.如图,已知△ABC中,AH是高,AT是角平分线,且TD丄AB,TEXAC.求证:(1)ZAHD=ZAH.E；(2)—=—BDCE(第78)(第8题)3.如图,已知在凸四边形ABCDE屮，ZBAE=3a,BC=CD=DE,且ZBCD=ZCDE=180°-2a.求证:ZBAC=ZCAD=ZDAK,4.如图，P是。。外一点,PA和PB是。0的切线,A,B为切点,PO与AB交于点M,过M任作。。的弦CD.求证:ZCPOZDPO.5.如图，已知点P是。0外一点,PS、PT是。0的两条切线,过点P作。〇的割线PAB,交。0A、B两点,与ST交于点C.求证:—=—(1)PC2PAPB

116参考答案【例・求解】创12A逢DF,P8.PC•£F•NDPF-NB-NFPE+メC・】80・,得/DPF-NFPE,又/PDF-NP8F>-NPCEN/EFP•：.mPFsAFPE•稀Pド・PD・PE.例2选B例3如图•逐结。ん.8・8.8.在48卩与△。AQ中・OC・OA.由已知.CA-AB・AP-BQ.pACP-AQ,又•:〇是△ABC的外心.・・・NOCPnNQAC.••・等・三角形的外心必在項角的平分线上.•••NOAC-NOAQ.从而/OCP-/OAQ,/Os，△〇CPMAOAQ,于是/CPO-NAQO故O・A.P,Q四点共圆.レ/\:ヽ例4,:P7・PD・PO-PB・PC,・・・B・C・O.D网点共圓•ノとーh4cAAPC卯•POB,得奇・黑・常①。〇又△POOoAPBD,得髭ユ器②由①、②縄需・奇.例3%*ZA-18O*-ZBHC-135\/BGC-3/A135，.ZABH=4メこB.G.C,H四点共・,掲ZBCG-ZGHH・幽ヨ空・22.5\又ZBHF-45,•得ZGHB-ラZ8HF,故HG平分/BHF.1学力训练】1.42連結。A,OB,A,B.O.P四点共・i#/APB-ZAOB-9(r2.4003.D,显见分别庾有下列四点共BliAFHE.BFHD.CDHE.AFDC.BFEC.CDFA4.DS.C将冋化为直线ん8与以CD为直ね的位置关系6.B九分则由8DHF.CDHE四点共・,得ZFBH-ZFD”-ZFCH-ZFDH.DH为ZFDE平分线8.《DD.E.H在以AT为直程的・上，。ZAHD-Z4TD-ZAH£>ZATE.又ZATD-ZATE,收ZAHD-ZAHEi(2)R，AAHB与R，^TDB有公共角ZB,博△AHBsZiTDB,••・黑，絮,同利.ム”《"47!匸,杼器・亨?.由チ丁D.TE.所％訪・注,九连结BD.CE,由BC-CD-eDE.ZBCD-ZCDE-lgOe-Zc.ZCBD-ZCDB-ZDCE-ZD£C^ir.WABCD^ACDE.こZBCE.(180•-2«)-0=18。・ース・向ZBAE-30.，A.B.C.E共圓.同理可证人、H、D、E共•・故A.H.C.D.E共照I亂達QOA,mOA丄PA・AM-MB,A8丄OP.・MP-人M.又MC•MD-MA・M8-AW.1,MD•MC-MO・MP•••・点。、D、P.Cg点共圍,又000D.:.ZCPO-ZDPQ.1】•过〇点作〇E_A8于E•則PE=早プ”由切制线定理得,Ps»=PA.PB.连。S.OP.设OP交ST于D.JHOP丄ST.由相叙形可iEiPS'.PD・PO.XPS1-PA・PB.ffiZCDO-ZCEO-90*.:.C、E、〇、D四点在以OC为直径的!》•PC.化债得をj・房.か上,，PC・PE-PD-PO.WPA・PB-PC*PE=む;ピ第二十讲开放性问题评说ー个数学问题的构成含有四个要素:题目的条件、解题的依据、解题的方法、题目的结论,如果题目所含的四个要素是解题者已经知道,或者结论虽未指明,但它是完全确定的,这样的问题就是封闭性的数学问题.开放性问题是相对于封闭性问题而言，从所呈现问题的方式看,有下列几种基本形式:

1171.条件开放题称条件不充分或没有确定已知条件的开放性问题为条件开放题,解题时需执果后•因,根据结论和已有的已知条件,寻找使得结论成立的其他条件.2.结论开放题称结论不确定或没有确定结论的开放性问题为结论开放题，解题时需由因导果,由已知条件导出相应结论.3.判断性开放题称判定几何图形的形状大小、图形的位置关系、方程（组）的解的情况或判定具有某种性质的数学对象是否存在的开放题问题称为判断性开放题,解题的基本思路是:由已知条件及知识作出判断,然后加以证明.【例题求解】【例I】如图,。0与。Ch外切于点T,PT为其内公切线，AB为其外公切线，FlA、B为切点,AB与PT相交于点P,根据图中所给出的已知条件及线段，请写出ー个正确结论，并加以证明.思路点拨为了能写出更多的正确结论，我们可以从以下儿分角度作探索,线段关系，角的关系、三角形的关系及由此推出的相应结论.注:明确要求将数学开放性题作为中考试题，还是近ー二年的事情.开放性问题没有明确的目标和解题方向,留有极大的探索空间.解开放性问题，不具有定向的解题思路，解题时总要有合情合理、实事求是的分析，要把归纳与演绎协调配合起来,把直觉发现与逻辑推理相互结合起来，把一般能力和数学能力同时发挥出来.杭州市对本例评分标准是以正确结论的难易程度为标准灵活打分，分值直接反映考生的能力及创新性.【例2】如图，四边形ABCD是。。的内接四边形,A是BD的中点,过A点的切线与CB的延长线交ア点E.（1）求证：AB•DA=CO•BE；（2）若点E在CB延长线上运动，点A在加上运动，使切线EA变为割线EFA,其他条件不变,问具备什么条件使原结论成立?（要求画出示意图，注明条件,不要求证明）思路点拨对于（2）,能画出图形尽可能画出图形,要使结论AB・DA=CD・BE成立,即要证ふABEsaCDA,已有条件/ABE=NCDA,还需增加等角条件，这可由多种途径得到.注：许多开放性问题解题思路也是开放的（多角度、多维度思考）,探索的条件或结论并不惟ー.故解开放性问题，应尽可能深入探究，发散思维，提高思维的品质,切忌入宝山而空返.【例3】（1）如图1,若。Oi与。。2外切于A,BC是。。I与。。2外公切线，B、C为切点,求证:AB±AC.(2)如图2,若。Oi与。02外离,BC是。th与。0Z的外公切线,B、C为切点,连心线ひ0z分别交。0ハ。〇2于M、N,BM、CN的延长线交于P,则BP与CP是否垂直?证明你的结论.

118(3)如图3,若。Oi与。Oz相交,BC是。与。0z的公切线，B、C为切点,连心线60Z分别交。0卜。02于M、N,Q是线段MN上一点，连结BQ、CQ,则BQ与CQ是否垂直?证明你的结论..图I图2图3思路点拨本例是在基本条件不变的情况下,通过运动改变两圆的位置而设计的，在运动变化中，结论可能改变或不变，关键是把(1)的证法类比运用到(2)、(3)问题中.注:开放性问题还有以下呈现方式:(1)先提出特殊情况进行研究,再要求归纳猜测和确定-一般结论:(2)先对某・给定条件和结论的问题进行研究,再探讨改变条件时其结论应发生的变化,或改变结论时其条件相应发生的变化.【例4】已知直线丫=ほ-4(k>0)与x轴、y轴分别交于A、C两点,开口向卜.的抛物线y=ax?+bx+c过A、C两点，且与x轴交于另一点B.(1)如果A、B两点到原点〇的距离AO、B0满足A0=3B0,点B到直线AC的距离等于竺,求这条直线和抛物线的解析式;(2)是否存在这样的抛物线,使得tan/ACB=2,且△ABC外接圆截得)，轴所得的弦长等于5?若存在，求出这样的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.思路点拨(1)通过“点B到直线AC的距离等于3”,利用等积变换求出A、B两点的距离;(2)先假设存在这样的抛物线,再由条件推理计算求得,最后加以验证即可.注:解存在性开放问题的基本方法是假设求解法,即假设存在ー演绎推理一得出结论(合理或矛盾).［例5］如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程度称为’‘正度”.在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等.e

119设等腰三角形的底和腰分别为。、b,底角和顶角分别为a、p.要求‘‘正度”的值是非负数.同学甲认为:可用式子|a-b|来表示“正度”，|a一司的值越小,表示等腰三角形越接近正一:角形;同学乙认为:可用式子,一夕|来表示'‘正度”，|aー冋的值越小,表示等腰三角形越接近正三角形.探究:(1)他们的方案哪个较为合理，为什么?(2)对你认为不够合理的方案，请加以改进(给出式子即可)；(3)请再给出ー种衡量“正度”的表达式.思路点拨通过阅读,1E确理解“正度”这个新概念,同时也要抓住“在研究’正度’时，应保证相似三角形的‘正度‘相等”这句话的实质,可先采取举实例加深对“正度”的理解，再判断方案的合理性并改进方法.注(1)解结论开放题往往耍充分利用条件进行大胆而合理的猜想，通过观察、比较、联想、猜测、推理和截判断等探索活动,发现规律,得出结论.(2)阅读是学习的重要途径，在这种阅读型研究性问题中，涌现了许多介绍新的知识和新的研究方法的问题，能极大地开阔我们的视野.(3)研究性学习是课程改革的个亮点，研究性学习是美国芝加哥大学教授施瓦布在《作为探究的科学教学》的演讲时提出的.他主张引导学生直接用科学研究的方式进行教学，即设定情境、提出问题、分析问题、设计实验、验证假设、分析结果、得出结论.研究性问题是近年中考中出现的一种新题型,它要求我们适应新情况，通过实践,增强探究和创新意识，学习科学研究方法.学力训练1.如图，，是四边形ABCD的对称轴，如果AD〃BC,有ド列结论:①AB〃CD,②AB=BC：③AB丄ふC；④AO=OC.其中正确的是.(把你认为正确的结论的序号都填上)<«1*><*2*>

1201.如图,是ー个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为“、,6的小矩形ABCD,则整个图形可表达出・些有关多项式分解因式的等式,请你写出其中任意三个等式:①：②：2.有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的ー些特点:甲:对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数;内：与)，轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：.3.如图，已知AB为。。的直径，直线，与。〇相切于点D,AC丄，于C,AC交。〇于点E,DF丄AB于F.(1)图中哪条线段与BF相等?试证明你的结论;(2)若AE=3,CD=2,求。。的直径.4.在ー个服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料(如图).现找出其中的ー种,测得/C=90°,AC=BC=.4,今要从这种三角形中剪出ー种扇形,做成不同形状的玩具,使扇形的边缘半径恰好都在AABC的边上,目.扇形的弧与れABC的其他边相切,请设计出所有可能符合题意的方案示意图,并求出扇形的半径(只要求画出图形,并直接写出扇形半径).5.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(x30),B(x2,0)(Xi<0〃],b)瓦,c>q,则AABC的面积大S于△ABC的面积Si.以上三个命题中,真命题的个

121A.0B.1C.2D.31.已知:AB是。。的直径,AP、AQ是。〇的两条弦,如图1,经过.B做。。的切线，,分别交直线AP、AQ于点M、N.可以得出结论AP,AM=AQ•AN成立.(1)若将直线/向上平行移动,使直线八与。。相交,如图2所示,其他条件不变,上述结论是否成立?若成立,写出证明,若不成立,说明理由:(2)若将直线/继续向上平行移动,使直线へ与。。相离,其他条件不变,请在图3上画出符合条件的图形,上述结论成立吗?若成立,写出证明;若不成立,说明理由.2.如图，已知圆心A(0,3),A与x轴相切,。8的圆心在x轴的正半轴上,且。B与。A外切于点P,两圆的公切线MP交y轴ア点M,交x轴于点N.(1)若sin/OAB=±,求直线MP的解析式及经过M、N,B三点的抛物线的解析式;(2)若A•的位置大小不变,。8的圆心在x轴的正半轴上移动,并使。B与。A始终外切,过M作。B的切线MC,切点为C在此变化过程中探究:①四边形。MCB是什么四边形,对你的结论加以证明;②经过M、N、B点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰一:角形?若存在,表示出来;若不存在,说明理由.（第10JH）（第!Ie>3.有一张矩形纸片ABCD,E、F、分别是BC、AD上的点(但不与顶点帀合),若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分,设AB=a,AD=b,BE=x.(1)求证;AF=EC；(2)用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后,再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使ー底边重合，腰落在DC的延长线匕拼接后，下方梯形记作EE'B'C.①当x:わ为何值时，直线E'E经过原矩形的ー个顶点?②在直线E'E经过原矩形的ー个顶点的情形下,连结BE',直线BE’与EF是否平行?你若认为平行,请给予证明；你若认为不平行，试探究当。与ウ有何种数量关系时,它们就垂直?4.(1)证明;若x取任意整数时，二次函数丫=01+版+。总取整数值，那么，2a、a-b,c都是整数.(2)写出上述命题的逆命题,且证明你的结论..5.已知四边形ABCD的面积为32,AB、CD、AC的长都是整数,且它们的和为16.(1)这样的四边形有几个?(2)求这样的四边形边长的平方和的最小值.

122参考答案国开放性间・饵说【例题求解】例1现按写出的结论的难期程度•给出的评分标准如下,(D写出以下结论.并给予证明的给6分:①PA-PT'②ZPAT-ZPTA.C3)ZOAP«ZOTP-90*.(2)写出以下結论并给于证明的蛤8分:①PA-PB=PT,<2>/4TB=60•，③ZAO丁+NAPT-180ヽ④()A//(1B.(3)写出以下结论,并给予注明的给!0分,△CAFAPTB⑷写出以下结婚,并给予证明的给12分,PA・PB-OT-O：T.例2(1)由△AHEs^CDん博・卷=證.即Ab・DA-CD・BE.(2)貝找ZBAE-ZACD.即只需ス3H的4或a«=麻,或AF/BD,或/BCF-ZACD•或Z8AF=»ZA8D等)即可.例3《1)连QHOC,/ABC+ZAC"ラ(ZBOia+Zm。"チX180，ユ州，,即ABJ.ACt(2)BP与CP是垂直的,仿(D的证法证明.(3)HP与CP是不垂直的,连01H・(％C.CN・BM.ZCNM+/BMN=90・・ZBQO>+ZCQ%>ZBMN+ZCNM=90••故ZBQC・1S0•ー(ZBQ。+ZCg)V90*.例4(DA(y.0).C<0.-4>设A3・0)必~・0)・5>0>与>5-ー3八,设点8到宣发4(r的ザ距离为AMASムJト16.Sx-^AC・ん=-|"AE・OCA/xJ+16-y-(x,-△>X4.解得れ7宀等,可得直线、依物线的解析式分剧为产もー4.ア7ゴー与l小节ア(2)假设存在这样的诧物线,其・折式为メ=@ゴ+山ー4.并设△AHむ的外接圆陶心为G,逐AG.BG•作GE丄エ输于E.GF丄ッ・于F.JUC(0.ーい.0(0,】〉・CF-DF-4・GE-OF=4-郎=4•.由tanZAGE-绯-tanZACB=2.焉AE=2GE=3,工AB-2AE-6.4£LUt,OA•OB^OC•OD.IP-mi=4・;.a-】•又AB・6・A(X|-*“*■(1»十れ》’-4エメlHか+16=36,解博6—±2メ".故存在这样的鈍物线，其轉折式为ッ,デ土2は一4.・例§(1)同学乙的方案较为合理.因为レー印的值越小,。与タ△接近60，因而该等・三角形尊接近于正三角形.且能保证相個三魚形的»正度”相等.同学甲的方案不合理,不能保证相似:角形的“正0r相等.如:边长カC4.2和边长为8.8.4的两个等・三角形相假,但12一包-2*|4-8|-4,

123(2)对同学甲的方案可改为用ご守、セU・等な为正数)来表示“正度，⑶还可用レー筑门、憎ー6び!、レツー】2(r*[Q60サ+2竹6C“ア」等来表示“正度”.【学力训练】1.①②@2.asチ2AN成立メ2>《D的结论仍成レ•注明略.10.(l)M(0.-2),由△NPBs△ス。B.傅磊ー器.，8N・平ユもON=(出BN=年・[・ペ(メ,0)由此得MP的解析式为事・尹ー2.抛物线的制析式为⑵①四边形OMCB是矩形.：・在3A不动.6B运动变化过程中.恒春/BAO=/M.AP・OA=AP,/AOB=2.APM-90\：.AAO彪AAPM,03一PM.A8-AM.FB=OM,而P8=BC':・OMhBC.由切线氏定理知MC=MP,:.MC=Q收:・四边形MOHC是平行四边形,又/MOJB二时:・四边形MOBC为矩形.②存在.由上证明知RgMON9R，aBPN.：.BN=MN.因此在过M.N.B三点的施物线内有以8N为腰的等候三角形"N8存在.由抛物线的对拂性知,在抛物线上必有一点”与M关于其对称轴对報.：.BN8Mz.这样得到满足条件的三角形有两个，AMNB和△.WNB.11.(I)的ヨ(工，AF)•a--y(d-jr^b—AF>•a.WAF—b—X又EC-A-x:.AF-EU⑵①如图1.当直线Eド经过原矩形的顶点ワ时・ハ6=あ如图2,当直线ピE经过原矩形的項点A时•c占二チ，②如图3当直线すE经过原矩形頂点时.Uズ〃EF,如图2,当盲线どE髭过療矩形的顶点A时,且当年一号时•産与Eド垂直.12.(1)若1取整数值时,二次函我アエ0ア十んr十c总取整数值♦則当ス=。时,”"*<1为整数,敬，为整数值・当よ・1时,ツー,■&6+«为整数・于是aー匠メー[一»为整数，当i-ー2时.〉ー，T&一2み+ぐ为整攻.于是2a=,y-t-2>'-1+*为整数•于是2a,a-b,c都是整数.(2)所求逆命题为:若2”,a-6,c都是整数,睇么1r取任意豊数时,二次函数总取整数值,这通ー个真命修.证明如下t若r.qーん2a都是整数,由,La/+6^+'C*«x(x+1)—(a—6)jt+r»当x取整敷时内(m+D姑偶敷,故ラZx+D必是豊数・由:a是整数网2a•4よ(lH)是整数,又由。ーb・r超整数得一Qーカエ+c灵整数,因此•当1取任意整数时,二次的敷ッメ+ぬ3总取豊数值.】3.«】)如图,记AB=a,CD=A,AC=八并没/VlBr的边4B上的高为齡,△ADC的边£)C上的髙为储・则Sq“3d=Sa”+シ皿-ラ《Ma+A㈤4マ(a+か.仅当加f时等号成立.即在四边形ABCの中,当AC丄AB.AC丄CD时等号成立.由已知得644・a+の.又。+b=16T,科64く4】6-C-64-(/-8プ《64于是ノ・8・a+b-8.且这时AC1AB.AC丄CD因此这样的四边形有如下4个1a,1,6・7"-8ia-2.b-6,S8ia-3,bi5/484a="4」ー8.(2)又AB*=a.CD-8-a.«ij8c•・即+か•んび=胪+(810デ故这倬的四边形的边长的平方和为12/+2(8-aジ+128・イレー4尸+192.当。二5一4时•平方和最小,且为192.第二十一讲动态几何问题透视春去秋来,花开花落,物转星移,世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中,事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来.动态几何问题,是指以几何知识和图形为背景,渗入运动变化观点的・类问题,常见的形式是:点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等,解这类问题的基本策略是:1.动中觅静这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系,动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性.

1242,动静互化“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式,动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系.3.以动制动以动制动就是建立图形屮两个变量的函数关系，通过研究运动函数,用联系发展的观点来研究变动元素的关系.注:几何动态既是ー类问题，也是ー种观点与思维方法,运用几何动态的观点，可以把表面看来不同的定理统ー起来,可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法：更…般情况是，対于ー个数学问题，努力去发掘更多结论,不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等，这就是常说的“动态思维”.【例题求解】［例1］如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在，上转动两次，使它转到A"B"C"的位置，设BC=1,AC=后,则顶点A运动到点A”的位置时，点A经过的路线与直线ノ所围成的面积是.思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割.RtAABC的两次转动，顶点A所经过的路线是两段圆弧,其中圆心角分别为120°和90°,半径分别为2和お，但该路线与直线/所围成的面积不只是两个扇形面积之和.【例2】如图，在。。中，P是直径AB上ー动点“在AB同侧作AA'±AB,BB’丄AB,且AA'=AP,BB'=BP,连结A'B',当点P从点A移到点B时，A'B’的中点的位置（）A.在平分AB的某直线上移动B.在垂直AB的某直线上移动C.在AmB上移动D.保持固定不移动

125思路点拨画图、操作、实验,从中发现规律.【例3】如图,菱形OABC的长为4厘米,ZA0C=60°,动点P从〇出发,以每秒1厘米的速度沿0-A-B路线运动,点P出发2秒后,动点Q从0出发,在0A上以每秒1厘米的速度,在AB上以每秒2厘米的速度沿0-A-B路线运动,过P、Q两点分别作对角线AC的平行线.设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上载出的图形(图屮的阴影部分)的周长为y匣米，请你回答下列问题:(1)当x=3时,y的值是多少?(2)就下列各种情形:①〇くx<2；②2くx<4；③4WxW6；④6Wx《8.求y与x之间的函数关系式.(3)在给岀的直角坐标系中,用图象表示(2)中的各种情形下y与x的关系.思路点拨本例是ー个动态几何问题,又是ー个“分段函数”问题,需运用动态的观点,将各段分别讨论、画图、计算.注:动与静是对立的，又是统:ー的,无论图形运动变化的哪ー类问题，都真实地反映了现实世界屮数与形的变与不变两个方面,从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题,是ー种重要的解题策略.建立运动函数关系就更一般地、整体一地把握了问题,许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值.【例4】如图,正方形ABCD中,有一直径为BC的半圆,BC=2cm,现有两点E、F,分别从点B、点A同时出发,点E沿线段BA以1m/秒的速度向点A运动,点F沿折线A—D—C以2cm/秒的速度向点C运动,设点E离开点B的时间为2(秒).(1)当/为何值时,线段EF与BC平行?

126⑵设1く，く2,当r为何值时,EF与半圆相切?(3)当1〈点2时,设EF与AC相交于点P,问点E、F运动时,点P的位置是否发生变化?若发生变化,请说明理由;若不发生变化,请给予证明,并求AP：PC的值.思路点拨动中取静,根据题意画出不同位置的图形,然后分别求解,这是解本例的基本策略,对于(1)、(2),运用相关儿何性质建立关于，的方程;对于(3),点P的位置是否发生变化，只需看立二是否为一定PC值.注:动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律，而把特定的运动状态,通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想.【例5】。0I与。0ユ相交于A、B两点；如图(1),连结ユOi并延长交。(し于P点，连结PA、PB并分别延长交。0N于C、D两点，连结C0Z并延长交。〇ユ于E点.已知。Oz的半径为R,设/CAD=a.(1)求:CD的长(用含R、a的式子表示)；(2)试判断CD与POi的位置关系，并说明理由；(3)设点P'为。上(。〇ユ外)的动点,连结P'A、P'B并分别延长交。Oz于C'、D',请你探究NCAD’是否等于a?C'D'与P'0i的位置关系如何?并说明理由.思路点拨对于(1)、(2),作出圆中常见辅助线；对于(3),P点虽为00i上的ー个动点,但。0卜。02ー些量(如半径、AB)都是定值腕弧,运用圆的性质,把角与孤联系起来.学力训练1.如图，AABC中,ZC=90°,AB=12cm,ZABC=60°,将AABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB延长线上的D处,则AC边扫过的图形的面积是cm(n=3.14159-,最后结果保留三个有效数字).2.如图，在RtAABC中，ZC=90",ZA=60",AC=V3cm,将△ABC绕点B旋转至AA'BC’的位置，且

127使A、B、C'三点在同一一条直线上,则点A经过的最短路线的长度是cm.(第1K3.ー块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚,那么B点从开始至结朿走过的路径长度为()4.1把AABC沿AB边平移到AA'B'C’的位置，它们的重叠部分的面积是AABC的面积的一半，若AB=0,则此三角形移动的距离AA’是()A.V2-1B.—C.1D.-（第3«）（第4ff>5.如图，正三角形ABC的边长为6E厘米,。。的半径为r厘米，当圆心。从点A出发,沿着线路AB一BC—CA运动，冋到点A时，。〇随着点〇的运动而移动.(1)若广け厘米，求。〇首次与BC边相切时AO的长;(2)在〇移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况?写出不同的情况下,r的取值范围及相应的切点个数;(3)设0在整个移动过程中，在AABC内部，。0未经过的部分的面积为S,在S>0时，求关于r的函数解析式,并写出自变量r的取值范围.6.已知:如图,。〇韵直径为10,弦AC=8,点B在圆周上运动(与A、C两点不重合),连结BC、BA,过点C作CD丄AB于D.设CB的长为x,CD的长为y.(1)求y关于x的函数关系式;当以BC为直径的圆与AC相切时,求ア的值;(2)在点B运动的过程中,以CD为直径的圆与。。有几种位置关系,并求出不同位置时y的取值范围;(3)在点B运动的过程中，如果过B作BE丄AC于E,那么以BE为直径的圆与。。能内切吗?若不能，说明理由;若能，求出BE的长.7.如图,已知A为/POQ的边0Q上一点,以A为顶点的/MAN的两边分别交射线0P于M、N两.点,且ノMAN=NPOQ=a(a为锐角).当/MAN以点A为旋转中心，AM边从与A0重合的位置开始,按逆时针方向旋转(NMAN保持不变)时，M、N两点在射线0P上同时以不同的速度向右平移移动.设OM=x,0N=0),AA0M的面积为S,若cosa

128、0A是方程2ゼー5z+2=0的两个根.(1)当/MAN旋转30°(即/OAM=30°)时，求点N移动的距离;⑵求证:aM=on・mn；(3)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围;(4)试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围.5.已知:如图,梯形ABCD中，AD/7BC,AB=CD=3cm,ZC=60°,BD±CD.⑴求BC、AD的长度:(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动,点Q从点C开始沿CD边向点D以!cm/s的速度运动,当P、Q分别从B、C同时出发时,写出五边形ABPQD的面积S与运动时间r之间的函数关系式,并写出自变量f的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在⑵的前提ド,是否存在某ー时刻，,使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5?若存在,求出r的值:若不存在,请说明理由.6.已知:如图①，E、F、G、H按照AE=CG,BF=DH,BF=nAE(n是正整数)的关系，分别在两邻边长a、na的矩形ABCD各边上运动.设AE=x,四边形EFGH的面积为S.(1)当n=l、2时，如,图②、③，观察运动情况，写出四边形EFGH各顶点运动到何位置，使?(2)当n=3时，如图④，求S与x之间的函数,关系式(.写出自变量x的取值范围)，險S随x增大而变化的规律;猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置，使5=ケ矩形”co；(3)当n=k(k2l)时,你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由.

1295.如图1,在宜角坐标系中,点E从0点出发,以1个单位/秒的速度沿X轴正方向运动,点F从。点出发,以2个单位/秒的速度沿y轴正方向.运动,B(4,2),以BE为直径作。。シ(1)若点E、F同时出发,设线段EF与线段0B交于点G,试判断点G与。Oi的位置关系,并证明你的结论;(2)在(1)的条件下，连结FB,几秒时FB与。Oi相切?(3)如图2,若E点提前2秒出发,点F再出发，当点F出发后，E点在A点左侧时，设BA丄x轴于A点,连结AF交。Oi于点P,试问PA•FA的值是否会发生变化?若不变,请说明理由，并求其值;若变化,请求其值的变化范围.图I参考答案

130团动杰几何问髄遗货【例题求解】0.25ふ息例1ず+ケ例2选D创3(1)当工・：«时・y・3X3ー1—8:(2)①当〇(エ£2时・ン・3OP,即y-3xi②当2《工(4时•y-3OP-OQ=3i-3-2)―21+2»③当44工《6时.>・2(OA+AP)-OQ+P8-2jr-《1-2》+(8-ス》・l。,④当6«1く8时・ん。-2[(1-2)-4]-2アー12,'"«3(ん8AQ)-PB^3[4-(2x-12)j-(8-x)--5x440I(3)略.例,⑴设E.F出发后运动了/眇时小〃皮:・如用⑴.則冃£ー・CF-4-2,・由•4・2，・縄，・[•・即当，・弓"眇时.EF//BC.《2》设£、ド岀发后运动了，秒时・EF与华照相切,:1VK2.工E.F分別在Bハ、CD上,如留(b),过点F作FG丄A8チG•財FC"BCn2・8ET，・CF=4-2，・卬・，ー(4-2ハー3/-4.EFエBE+CF4-，•又EFEG?+FG・.即"ーハ‘二(3•-4プ+2’,解稈,・岑?•故当，=*1秒时,EF与半网相切.(3)设E、F出发后运动了，お时,因1U/V2.所以EF的位置如圏(c),则AE=2—，,CF-4-2，.由AB〃DC.有第・能・多・す•即点P的佗量与，的取値无关，即ド点的位置不会发生変化.<•)序(b)西(r)供5｛】>连结DE,CD=CE・”na-沈•3n«,(2)连结A8.过P作0。的切銭MNJ：/MPA-/ABP-/ACD.:.MN//CD、又,:MN_PO,.：.CDIPOii(3)在图(2)中・NLんハ’・Nん卩'。’+NP。’ん.在图(1)中./CAD-/APD+/PDA.而/ap'd'与/apd所时的舞是oa中的ハ.NP'D'A与/PDA所对的・是日Q中的a.OO,、。。,中的余群是定メ.こ/CAD'-NCAD-a.展结A8.过/作®。的切絞MN'.同理可证ビ"P'A=/P'BA・/AUD'.:‘MN"心’‘又マ"N'丄"。,.・・・UD’丄Pt%.【学力训茶】1.1131-p3-B4.A5.(l)AO-<6C-2)M2)由正三角形的边长为6Oe.可将它ー边上的高为9cm.ブス①当◎。的半径r-9Ek.®0在移动中与れABC的边共相切三次.即切点个数为3,②当0VY9时,0。在移动中与AABC的边共相切六次.即切点个数为6(んンベX③当「>9时.②。在啓动中与△ABC的边不相切•班切点个数カ。.短カ壮エ，(3)如!B.S>0时•0。在移动中,在△AEC内舞未般过的部分为正三角形A'B'C'的内部,SawBFPCラ・アC'・A'E-3G(3ーが.エ所求■析式为S-3V3(3-r)2(00.•••二次•数图象的总物綫开口向上.エ规律依对称・エ・テ左・hS随ズ増大而看小依对林他ズー/右例.SBU増大而増大.卿i®,四边形EFGH各頂点仍然运动到矩形A8CD各对应边中点,使S・う&.uc,⑶当时•上述規律和猾想是成立的.同理可求将SSATAar+Aが・"《.ーラ》+気.

13110.⑴点G在©0,上M2）当"ゆ时,心有8F与©〇,相切，（3）AP-AF的值不会发生变化,連结タB,在）・上彼取FM-QA-4.设OE-K2

132思路点拨用・般求最值的方法很难求出此代数式的最小值.7x2+2x+2+7x2-4.r+13=^(x+l)2+(0-1)2+7(x-2)2+(O-3)2»于是问题转化为:在x轴上求一点C(l,0),使它到两点A(—1,1)和B(2,3)的距离和(CA+CB)最小,利用对称性可求出C点坐标.这样,通过构造图形而使问题获解.【例3】已知わ、c为整数,方程5x2+fer+c=O的两根都大丁・-1且小于〇,求わ和c的值.思路点拨利用求根公式,解不等式组求出万、。的范围,这是解本例的基本思路,解法繁难.由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系，构造函数,令y=5x2+fev+c,从讨论抛物线与x轴交点在ー1与0之间所满足的约束条件入手.【例4】如图，在矩形ABCD中,AD=fl,AB=b,问:能否在Ab边上找一点E,使E点与C、D的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到，这样的E点有几个?若不能找到，请说明理由.思路点拨假设在AB边上存在点E,使RtAADE-RtABEC^RtAECD,殿AE=x,则处=些,即区=—,AEBCxa于是将问题转化为关于X的一元二次方程是否有实根,在一定条件下有几个实根的研究,通过构造方程解决问题.【例5】试证:世界上任何6个人，总有3人彼此认识或者彼此不认识.思路点拨构造图形解题,我们把“人”看作“点”，把2个人之间的关系看作染成颜色的线段.比如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色:2个人彼此不认识,就把相应的线段染成蓝色，这样,有3个人彼此认识就是存在一个3边都是红色的三角形,否则就是存在ー个3边都是蓝色的三角形,这样本题就化作:已知有6个点,,任何3点不共线，每2点之间用线段连结起来，并染上红色或蓝色,并且•条边只能染成一种颜色.证明:不管怎么染色,总可以找出三边同色的三角形.注:“数缺形时少直观，形缺少时难入微”数形互助是・种重要的思想方法,主要体现在:

133(1)几何问题代数化;(2)利用图形图表解代数问题:(3)构造函数,借用函数图象探讨方程的解.利用代数法解几何题,往往是以较少的量的字母表示相关的几何量,根据几何图形性质列岀代数式或方程(组),再进行计算或证明.特别地，证明几何存在性的问题可构造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证;应用为韦达定理，讨论几何图形位置的可能性.有些问题可通过改变形式或换个说法,构造等价命题或辅助命题,使问题淸晰且易于把握.对于存在性问题,可根据问题要求构造出个满足条件的结论对象,即所谓的存在性问题的“构造性证明”.学历训练1.若关于x的方程(1-ガバ+2mx-l=0的所有根都是比1小的正实数,则实数5的取值范围是•2.已知a、b、c、d是四个不同的有理数，且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,那么(a+c)(b+c)的值是.3.代数式ノx2+4+«2-x)2+9的最小值为.4.A、B、C、D,E、F六个足球队单循环赛，已知A、B、C、D、E五个队已经分别比赛了5、4、3、2、1场，则还未与B队比赛的球队是.5.若实数a、い满足ガ+。わ+庐=1,且，=«セーガー店,贝h的取值范围是.6.设实数分别s、r分另リ满足19s2+99s+1=0,r2+99r+19=0,并且sf#l,求在史里的值.t7.已知实数a、bヽc满足(g+c)(a+b+c)<0,求证:(かーc)~>4a(a+み+c).8.写出10个不同的自然数,使得它们中的每个是这10个数和的一个约数,并说明写出的10个自然数符合题设条件的理由.9.求所有的实数x,使得x=Jxー丄+J1ー丄.10.若是不全为零且绝对值都小于10"的整数.求证:|a+ノシ+ス」>—11.已知关于X的方程卜2-2石X+1卜え有四个不同的实根，求k的取值范围.12.设0

134（8十あ）——1，令1•・ー加.得（他+瓦）（的+あ）=—1.例25作出8点关于，轴的对林:点8’（2.-3）•连AB'交・输于C•射Aざ-AC+CH为所要求的・小值.鱗3根据函数メ*<5x»+・エ+’的图象和•设条件知当・・0时•5ゴ+6X+¢>0,こc>0

135方メ・ー10・5/♦レ+(>0.二Y5+c:.0<6<10■物线項点的假・保一息・足一IV一盒V。又由An0.•100＞"＞2机•1|，＜5・分期載ぐ,1.2・3・4・5・付论縄6・5・，・1・V例4保设在A8边上存な点E・使RtAWEsRtABECsJh&TCD・用ラ・テ・“誓メーL+『ー・〇因为A-ボ一船＞’・“+%貝8-24）•所以有（1＞若3+レ＞。ル一を＜0.・当—シ时バvo•方，无mA不存在.《2）若b+2a＞0.当4.4・。・方・有等候.・足条件的E点府旦只有一个，＜3＞若M勿＞0.*-"＞0.»!当•AZathA）。•方程有•个不相等的正根・・足条件的E点商・个・倒3号虚其中一个点・火力A・M人点迷出的5条竣&姿ク西・・色・附あ育三条线段同色,俊AH.AC.AD同力红色・若BC.CD、8D三统ゆ中有一条红色.q。出现三边都•紅色的三魚厝•苦BC.CD.HD三載段中段川一条红色.剜这三线段均为慕色.这时ABCD就是ー个三边都是籠色的三爲影•因而必由观三边・是同色的三角彩・【学力训嫉】1.m-1Am＞2I-I•见例】3.134.E§・7〈メー:“的代敷式"。+と』构造一元二次方量.♦.（チ）ヽ”（チ）+19・0.因“1.故ラ・，・ーえ二次方程メ+魄r+19，。的一个不同实・,・チ+，•T9.チ•r-19.0“+1・ー”,,-1ル・第式・妇产!・ニ喏セ・ー5.7.令ア-jH+eCjr+*（。-A+o）J;（・+C（a+6fCV0.1・・■*•＜（与a+S-c•均非等且葬倒.因为当i・ー（a-b+0）时・y・2储46十八（—〈0.所以•・岐ン・イ+《5ーハ14.6+8ふい与1•有两个不同的攵点.•,•A■・（，一，アー4a（・+，+〈＞＞0・・（bー。ジ＞4.（94*+C.«.3个自然tr1・2.3.セ们中的・ー个郡・这3个数稲的ー个的数.若ビ有“二3）个自然收明・。い・••.。•・它m中的・个是这・个数”（记カP）的ー个的数.9（，+い个自然我5・・・・・・・・•.p・它ル中的・一个也是这“+1＞个府信数!0的ー个釣な・技及这个!!法・叫得1.2.3す*aF列10个自然我1.2.3.6.12.24.48.96.192.389.它«］中的亀一个•它们桁的ー个的敷.,・设ッベ・一"三7.士,尸へZ，V，曲②Hメ-1ーラ代人①..・縄アーチーW・ーチ+l・o.［り・］-I②即（^r-［一1ゾ・0よ**・但上＞0.絞7-Iセデ.10.若・・ぐ・。•依・设い!不•式成立.若b»c中里少有一个不为零.何造対・式iA―•ナ々ら+Cc.J3-a+。・ほa8+Gf.D-a-Vf6-Cc・チ是A・H・C・V・・瓦，是•收•こん・冃・C・D也是整数且不为零.；.IABCDI＞1，1*~7T-TH7＞テン,；＞人.B,•;C|•|D|《1+714イ）»・10ヤ10,11.令ッ・|メー26*+”・关于，的方•1ゴー2。，+11・上方8!1个不同的实・.却・数ア,1メー24*+11$・•，・*的

136图象有四个不同交点,如用作出Iザー2ほ+1丨的関象,再作出的图象.从图象可以看出当0VAV2时,賣线，=ん与，="-2通ン+11的图象オ有四个不同交点.也即原方程有四个不周的实根.11.如関,构造边长为1的正△?¢?ん分别在边上取点L、M、N.使LR=»MP=*.NQ—i,则QL-1一ゴ・RM=1-n.PN01一Vs3+SW+S皿＜s,g・二亨＜1つ＞+纨＜—＞+佚（DV§X1X1.即工（1—W+メ1—*）+t《】一JT）V1.P12.网数差为177的数必成对出现:（1.178）.（2,179）•（3.180）….（177,354）.从!.2.-.354中任取Z\178个敷・即是从这】77个敷组（抽瓶）中任取178个数•由抽胆原理有,屈，有两数同数組（抽履）,这クトべ、“两效之差恰为!77.ZJノく13.令ハ»-a-G'+a-bジ+门ー。’+く£ーイジ,剜，（の-4メー2《。+6+。+イ”+（ゼ+y+ゼ+ゴ）Q-£次,即，⑺ヱ4メ-2（8—16?）＞0.V/的系敷4＞0ヽ△=4（8—"-16（16一刀40,解得。くW学•故心ペ.14.（1）以CD为直径作半!・交MN于点P,即为所求.（2）设P到BC的距离PN=エ・则oy=pひ+卩び=（•的び+乂产）+（pm+nca）ユ（ラ）+（んーか‘ムー+（う）,又C0s=MM+（宁）'-か+（宁）'・・・・）+（・r）l+/+（打=斯+（宁）：整理得4ゴ-4んr+M=O/解得PM=l=エザ_S£（3）求作P点的作图是否可以实现,显然取决于方程，是否有实敢悔,即取决于△=16（バー。か当ガ＞岫・△＞0.即可以作出两点,当バーab.A-O,即可以作出一点,当がVMAVO,即作图不龍实现.