专题25 以分段函数为载体的应用题（原卷版）

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专题25以分段函数为载体的应用题以分段函数为载体的应用题是应用题中一种重要的题型，可以更多的考查多个函数，由于参数的范围不同得到的函数的解析式不同，但要注意无论分成几段，都是一个函数，因此，解决分段函数要根据范围不同都要进行讨论，然后比较大小，得出最后的答案。一、例题选讲例1、（江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学2020届高三10月月考数学试题）某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于7万件时，（万元）：当年产量不小于7万件时，（万元）.己知每件产品售价为6元，若该同学生产的产品当年全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注；年利润=年销售收人-固定成本-流动成本（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取）变式1、(2016苏锡常镇调研）某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x>0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)＝；若x大于或等于180，则销售量为零；当20≤x≤180时，q(x)＝a－b(a，b为实常数)．(1)求函数q(x)的表达式；(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．

1变式2：（2016常州期末）几名大学毕业生合作开3D打印店，生产并销售某种3D产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元．该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20000元．假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(x∈N*)之间满足如下关系：①当34≤x≤60时，t(x)＝－a(x＋5)2＋10050；②当60≤x≤76时，t(x)＝－100x＋7600.设该店月利润为M(元)(月利润＝月销售总额－月总成本)，求：(1)M关于销售价格x的函数关系式；(2)该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．例2、(2017苏州期末）某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥(图1)将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸(图2)如下：其中，点A，E为x轴上关于原点对称的两点，曲线BCD是桥的主体，C为桥顶，且曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y＝，x∈[－2,2]，曲线段AB，DE均为开口向上的抛物线段，且A，E分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔接处(B，D)的切线的斜率相等．(1)求曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；(2)车辆从A经B到C爬坡．定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为：MP＝(该点P与桥顶间的水平距离)×(设计图纸上该点P处的切线的斜率)，其中MP的单位：m.若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力，它们的爬坡能力分别为0.8m，1.5m，2.0m，又已知图纸上一个单位长度表示实际长度1m，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？

2变式1：如图是一块镀锌铁皮的边角料，其中都是线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在直线是该抛物线的对称轴.经测量，2米，米，，点到的距离的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形（其中点在曲线段或线段上，点在线段上，点在线段上）.设的长为米，矩形的面积为平方米.（1）将表示为的函数；（2）当为多少米时，取得最大值，最大值是多少？变式2、如图，某新建小区有一片边长为1(单位：百米)的正方形剩余地块，中间部分是一片池塘，池塘的边缘曲线段为函数的图象，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段．为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路（宽度不计），直路与曲线段相切（切点记为），并把该地块分为两部分．记点到边距离为，表示该地块在直路左下部分的面积．（1）求的解析式；（2）求面积的最大值．

3例3、(2016南京三模）如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．(1)若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；(2)已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．二、达标训练1、某驾驶员喝了1000mL某种酒后，血液中的酒精含量(mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足表达式＝《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定为驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02mg/mL，据此可知，此驾驶员至少要过h后才能开车．(精确到1h)2、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）将一铁块高温熔化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面．

4(1)设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；(2)设l1的长为xdm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？3、（2016苏中三市、宿迁调研）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：mg/m3)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4mg/m3时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值．(精确到0.1，参考数据：取1.4)

54、（2014徐州、宿迁三检）根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率与日产量(件)之间近似地满足关系式(日产品废品率×100％)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润日正品赢利额日废品亏损额）（1）将该车间日利润(千元)表示为日产量(件)的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？5、（2014南通期末）如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为的中点，其所在圆O的半径为4dm(圆心O在弓形EMF内)，∠EOF＝.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)，AD∥EF，且点A，D在上，设∠AOD＝2θ.(1)求矩形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；(2)当裁出的矩形铁片ABCD面积最大时，求cosθ的值．(第18题)

66、（2018秋•湖北期末）某公司每年生产、销售某种产品的成本包含广告费用支出和浮动成本两部分，该产品的年产量为x万件，每年投入的广告费为10x万元，另外，当年产量不超过50万件时，浮动成本为(12x2+10x)万元，当年产量超过50万件时，浮动成本为(52x+20000x-1300)万元．若每万件该产品销售价格为60万元，且每年该产品都能销售完．（1）设年利润为f（x）（万元），试求f（x）关于x的函数关系式；（2）年产量x为多少万件时，该公司所获利润了f（x）最大？并求出最大利润．