四川省内江市威远中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学(文科)Word版含解析

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2020-2021学年四川省内江市威远中学高二(下)期中考试数学试卷(文科)一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分).1.已知某双曲线的方程为,则该双曲线的离心率为(  )A.B.C.D.2.已知椭圆+=1上一点P到右焦点的距离是1,则点P到左焦点的距离是(  )A.2B.4C.2﹣1D.4﹣13.(文)若a∈R,则“a2>a”是“a>1”的(  )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,它的长轴长等于圆C:x2+y2﹣2x﹣15=0的半径,则椭圆的标准方程是(  )A.+=1B.+=1C.+y2=1D.+=15.到两定点F1(﹣3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹(  )A.椭圆B.线段C.双曲线D.两条射线6.已知函数f(x)=x+lnx,则=(  )A.2B.C.D.37.直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于A,B两点,|AB|=4,若AB的中点到y轴的距离为1,则p的值是(  )A.1B.2C.3D.48.已知函数f(x)的图象与直线x+2y﹣1=0相切于点(﹣2,f(﹣2)),则f(﹣2)+f′(﹣2)=(  )A.2B.1C.0D.9.已知f(x)=x2+3xf'(1),则f'(2)=(  )A.1B.2C.4D.810.已知直线l1:4x﹣3y+6=0和直线l2:x=﹣1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(  )

1A.B.2C.D.311.双曲线C:﹣=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为(  )A.B.C.2D.312.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(  )A.16B.14C.12D.10二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.命题“∀x∈R,x2+x+1>0”的否定是  .14.椭圆=1的左右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是  .15.已知抛物线y=x2和直线x﹣y﹣2=0,则抛物线上的点到该直线的最短距离  .16.已知点M(1,﹣1)和抛物线C:y=x2,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若=0,则k=  .三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.已知m>0,p:(x+1)(x﹣5)≤0,q:1﹣m≤x≤1+m.若m=5,p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数x的取值范围.18.求适合下列条件的曲线的标准方程.(1)a=4,b=5,焦点在y轴上的双曲线的标准方程;(2)焦点在y轴上,且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程.19.已知曲线y=x2,(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.20.设直线y=x+b与椭圆相交于A,B两个不同的点.(1)求实数b的取值范围;(2)当b=1时,求.21.已知双曲线C的中心在原点,抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点,且双曲线经过点,又知直线l:y=kx+1与双曲线C相交于A、B两点.(1)求双曲线C的方程;(2)若,求实数k值.

222.已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为,且过点.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)M,N,P,Q是椭圆C上的四个不同的点,两条都不与x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1,F2,且这两条直线互相垂直,求证:为定值.

3参考答案一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分).1.已知某双曲线的方程为,则该双曲线的离心率为(  )A.B.C.D.解:由双曲线方程可得:a2=25,b2=16,c2=a2+b2=41,∴.故选:A.2.已知椭圆+=1上一点P到右焦点的距离是1,则点P到左焦点的距离是(  )A.2B.4C.2﹣1D.4﹣1解:设椭圆+=1上一点P到左焦点的距离为x,∵点P到右焦点的距离是1,∴1+x=4,解得x=4﹣1.故选:D.3.(文)若a∈R,则“a2>a”是“a>1”的(  )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解:∵a∈R,当a2>a时,即a>1或a<0,a>1不一定成立当a>1时,a2>a成立,∴充分必要条件定义可判断:“a2>a”是“a>1”的必要不充分条件,故选:B.4.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,它的长轴长等于圆C:x2+y2﹣2x﹣15=0的半径,则椭圆的标准方程是(  )A.+=1B.+=1C.+y2=1D.+=1解:∵x2+y2﹣2x﹣15=0,

4∴(x﹣1)2+y2=16,∴r=4=2a,∴a=2,∵e=,∴c=1,∴b2=3.故选:A.5.到两定点F1(﹣3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹(  )A.椭圆B.线段C.双曲线D.两条射线解:∵F1(﹣3,0)、F2(3,0)∴|F1F2|=6故到两定点F1(﹣3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是以F1(﹣3,0)、F2(3,0)为端点的两条射线故选:D.6.已知函数f(x)=x+lnx,则=(  )A.2B.C.D.3解:根据题意,对于函数f(x),有=f′(2),又由f(x)=x+lnx,则f′(x)=1+,则有f′(2)=1+=;故选:B.7.直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于A,B两点,|AB|=4,若AB的中点到y轴的距离为1,则p的值是(  )A.1B.2C.3D.4解:由题意设直线l方程:x=my+,A(x1,y1)B(x2,y2),联立直线与抛物线的方程可得:y2﹣2my﹣p2=0,所以y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)=2m2,由|AB|=4可得x1+x2+p=4,即2m2+p=4,AB的中点的横坐标为m2,AB的中点到y轴的距离为1,所以m2=1,所以2+p=4,解得p=2,故选:B.8.已知函数f(x)的图象与直线x+2y﹣1=0相切于点(﹣2,f(﹣2)),则f(﹣2)+f′(﹣2)=(  )A.2B.1C.0D.解:由题意,f′(﹣2)=,又﹣2+2f(﹣2)﹣1=0,∴f(﹣2)=.

5则f(﹣2)+f′(﹣2)=.故选:B.9.已知f(x)=x2+3xf'(1),则f'(2)=(  )A.1B.2C.4D.8解:根据题意,f(x)=x2+3xf'(1),其导数f′(x)=2x+3f'(1),令x=1可得:f′(1)=2+3f'(1),变形可得f′(1)=﹣1,则有f′(x)=2x﹣3,f'(2)=2×2﹣3=1;故选:A.10.已知直线l1:4x﹣3y+6=0和直线l2:x=﹣1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(  )A.B.2C.D.3解:设抛物线上的一点P的坐标为(a2,2a),则P到直线l2:x=﹣1的距离d2=a2+1;P到直线l1:4x﹣3y+6=0的距离d1=则d1+d2=a2+1=当a=时,P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选:B.11.双曲线C:﹣=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为(  )A.B.C.2D.3解:双曲线C:﹣=1的右焦点为F(,0),渐近线方程为:y=x,不妨P在第一象限,可得tan∠POF=,P(,),所以△PFO的面积为:=.故选:A.12.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(  )A.16B.14C.12D.10解:方法一:如图,l1⊥l2,直线l1与C交于A、B两点,

6直线l2与C交于D、E两点,由图象知要使|AB|+|DE|最小,则A与D,B与E关于x轴对称,即直线DE的斜率为1,又直线l2过点(1,0),则直线l2的方程为y=x﹣1,联立方程组,则y2﹣4y﹣4=0,∴y1+y2=4,y1y2=﹣4,∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8,∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16,方法二:设直线l1的倾斜角为θ,则l2的倾斜角为+θ,根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==,∵0<sin22θ≤1,∴当θ=45°时,|AB|+|DE|的最小,最小为16,故选:A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

713.命题“∀x∈R,x2+x+1>0”的否定是 ∃x∈R,x2+x+1≤0 .解:命题“∀x∈R,x2+x+1>0“的否定是:∃x∈R,x2+x+1≤0.故答案为:∃x∈R,x2+x+1≤0.14.椭圆=1的左右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是 1 .解:由椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=4,即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2=16,由勾股定理,|PF1|2+|PF2|2=4c2=12,∴|PF1||PF2|=2(a2﹣c2)=2b2=2,则△F1PF2的面积S=|PF1||PF2|=b2=1.故答案为:1.15.已知抛物线y=x2和直线x﹣y﹣2=0,则抛物线上的点到该直线的最短距离  .【解答】解,由抛物线是一个二次函数,故转化为抛物线的切线与所给直线平行时,两平行线之间的距离,∴y′=2x,由直线x﹣y﹣2=0可得该直线的斜率为1,设切点为(x),则2x0=1,∴,切点为(),故切线方程为:y﹣=(x﹣)即x﹣y﹣=0,∴d==,故答案为:.16.已知点M(1,﹣1)和抛物线C:y=x2,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若=0,则k=  .解:抛物线C:y=x2的焦点F(0,1),直线AB的方程为y=kx+1,与抛物线x2=4y联立,可得x2﹣4kx﹣4=0,设A(x1,),B(x2,),则x1+x2=4k,x1x2=﹣4,由•=0,即(1﹣x1,﹣1﹣)•(1﹣x2,﹣1﹣)=(1﹣x1)(1﹣x2)+(1+)(1+

8)=x1x2﹣(x1+x2)+2++=﹣4﹣4k+3+=4k2﹣4k+1=0,解得k=.故答案为:.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.已知m>0,p:(x+1)(x﹣5)≤0,q:1﹣m≤x≤1+m.若m=5,p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数x的取值范围.解:当m=5时,q:﹣4≤x≤6,由(x+1)(x﹣5)≤0,可得﹣1≤x≤5,即P:﹣1≤x≤5.因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,故p与q一真一假,若p真q假,则,该不等式组无解;若p假q真,则,得﹣4≤x<﹣1或5<x≤6.综上所述,实数x的取值范围为{x|﹣4≤x<﹣1或5<x≤6}.18.求适合下列条件的曲线的标准方程.(1)a=4,b=5,焦点在y轴上的双曲线的标准方程;(2)焦点在y轴上,且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程.解:(1)由题意,设方程为,∵a=4,b=5,∴a2=16,b2=25,所以双曲线的标准方程是.(2)∵焦点到准线的距离是2,∴2p=4,∴当焦点在y轴上时,抛物线的标准方程为x2=4y或x2=﹣4y.19.已知曲线y=x2,(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.解:(1)函数f(x)=x2,所以f′(x)=2x,所以直线的斜率k=f′(1)=2,

9故直线的方程为y﹣1=2(x﹣1),整理得y=2x﹣1.(2)设直线与曲线相切于点(x0,y0),即点(),则直线的斜率为k=2x0,所以切线的方程为,由于曲线经过点(3,5)所以,整理得x0=1或5,所以切点的坐标为(1,1)和(5,25),所以切线的方程为y=2x﹣1或y=10x﹣25.20.设直线y=x+b与椭圆相交于A,B两个不同的点.(1)求实数b的取值范围;(2)当b=1时,求.解:(1)将y=x+b代入,消去y,整理得3x2+4bx+2b2﹣2=0.①…因为直线y=x+b与椭圆相交于A,B两个不同的点,∴△=16b2﹣12(2b2﹣2)=24﹣8b2>0∴(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),当b=1时,方程①为3x2+4x=0.…解得.此时∴==(利用弦长公式也可以)21.已知双曲线C的中心在原点,抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点,且双曲线经过点,又知直线l:y=kx+1与双曲线C相交于A、B两点.(1)求双曲线C的方程;(2)若,求实数k值.解:(1)抛物线的焦点是(),则双曲线的.即a2+b2=…(1分)

10设双曲线方程:…解得:…(2)联立方程:当…(未写△扣1分)由韦达定理:…设即(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=0代入可得:,检验合格.…22.已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为,且过点.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)M,N,P,Q是椭圆C上的四个不同的点,两条都不与x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1,F2,且这两条直线互相垂直,求证:为定值.【解答】(Ⅰ)解:由已知,得.所以a2=2b2.所以C:,即x2+2y2=2b2.因为椭圆C过点,所以,得b2=4,a2=8.所以椭圆C的方程为.(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知椭圆C的焦点坐标为F1(﹣2,0),F2(2,0).根据题意,可设直线MN的方程为y=k(x+2),由于直线MN与直线PQ互相垂直,则直线PQ的方程为.设M(x1,y1),N(x2,y2).由方程组消y得(2k2+1)x2+8k2x+8k2﹣8=0.则,.

11所以|MN|===.同理可得|PQ|=.所以==.

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