四川省内江市威远中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文科）Word版含解析

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2020-2021学年四川省内江市威远中学高二（下）期中考试数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知某双曲线的方程为，则该双曲线的离心率为（　　）A．B．C．D．2．已知椭圆+＝1上一点P到右焦点的距离是1，则点P到左焦点的距离是（　　）A．2B．4C．2﹣1D．4﹣13．（文）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的（　　）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2+y2﹣2x﹣15＝0的半径，则椭圆的标准方程是（　　）A．+＝1B．+＝1C．+y2＝1D．+＝15．到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹（　　）A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线6．已知函数f（x）＝x+lnx，则＝（　　）A．2B．C．D．37．直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|＝4，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是（　　）A．1B．2C．3D．48．已知函数f（x）的图象与直线x+2y﹣1＝0相切于点（﹣2，f（﹣2）），则f（﹣2）+f′（﹣2）＝（　　）A．2B．1C．0D．9．已知f（x）＝x2+3xf'（1），则f'（2）＝（　　）A．1B．2C．4D．810．已知直线l1：4x﹣3y+6＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　）

1A．B．2C．D．311．双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（　　）A．B．C．2D．312．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（　　）A．16B．14C．12D．10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是　　．14．椭圆＝1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是　　．15．已知抛物线y＝x2和直线x﹣y﹣2＝0，则抛物线上的点到该直线的最短距离　　．16．已知点M（1，﹣1）和抛物线C：y＝x2，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若＝0，则k＝　　．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知m＞0，p：（x+1）（x﹣5）≤0，q：1﹣m≤x≤1+m．若m＝5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围．18．求适合下列条件的曲线的标准方程．（1）a＝4，b＝5，焦点在y轴上的双曲线的标准方程；（2）焦点在y轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．19．已知曲线y＝x2，（1）求曲线在点P（1，1）处的切线方程；（2）求曲线过点P（3，5）的切线方程．20．设直线y＝x+b与椭圆相交于A，B两个不同的点．（1）求实数b的取值范围；（2）当b＝1时，求．21．已知双曲线C的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线经过点，又知直线l：y＝kx+1与双曲线C相交于A、B两点．（1）求双曲线C的方程；（2）若，求实数k值．

222．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不与x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．

3参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知某双曲线的方程为，则该双曲线的离心率为（　　）A．B．C．D．解：由双曲线方程可得：a2＝25，b2＝16，c2＝a2+b2＝41，∴．故选：A．2．已知椭圆+＝1上一点P到右焦点的距离是1，则点P到左焦点的距离是（　　）A．2B．4C．2﹣1D．4﹣1解：设椭圆+＝1上一点P到左焦点的距离为x，∵点P到右焦点的距离是1，∴1+x＝4，解得x＝4﹣1．故选：D．3．（文）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的（　　）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：∵a∈R，当a2＞a时，即a＞1或a＜0，a＞1不一定成立当a＞1时，a2＞a成立，∴充分必要条件定义可判断：“a2＞a”是“a＞1”的必要不充分条件，故选：B．4．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2+y2﹣2x﹣15＝0的半径，则椭圆的标准方程是（　　）A．+＝1B．+＝1C．+y2＝1D．+＝1解：∵x2+y2﹣2x﹣15＝0，

4∴（x﹣1）2+y2＝16，∴r＝4＝2a，∴a＝2，∵e＝，∴c＝1，∴b2＝3．故选：A．5．到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹（　　）A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线解：∵F1（﹣3，0）、F2（3，0）∴|F1F2|＝6故到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是以F1（﹣3，0）、F2（3，0）为端点的两条射线故选：D．6．已知函数f（x）＝x+lnx，则＝（　　）A．2B．C．D．3解：根据题意，对于函数f（x），有＝f′（2），又由f（x）＝x+lnx，则f′（x）＝1+，则有f′（2）＝1+＝；故选：B．7．直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|＝4，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是（　　）A．1B．2C．3D．4解：由题意设直线l方程：x＝my+，A（x1，y1）B（x2，y2），联立直线与抛物线的方程可得：y2﹣2my﹣p2＝0，所以y1+y2＝2m，x1+x2＝m（y1+y2）＝2m2，由|AB|＝4可得x1+x2+p＝4，即2m2+p＝4，AB的中点的横坐标为m2，AB的中点到y轴的距离为1，所以m2＝1，所以2+p＝4，解得p＝2，故选：B．8．已知函数f（x）的图象与直线x+2y﹣1＝0相切于点（﹣2，f（﹣2）），则f（﹣2）+f′（﹣2）＝（　　）A．2B．1C．0D．解：由题意，f′（﹣2）＝，又﹣2+2f（﹣2）﹣1＝0，∴f（﹣2）＝．

5则f（﹣2）+f′（﹣2）＝．故选：B．9．已知f（x）＝x2+3xf'（1），则f'（2）＝（　　）A．1B．2C．4D．8解：根据题意，f（x）＝x2+3xf'（1），其导数f′（x）＝2x+3f'（1），令x＝1可得：f′（1）＝2+3f'（1），变形可得f′（1）＝﹣1，则有f′（x）＝2x﹣3，f'（2）＝2×2﹣3＝1；故选：A．10．已知直线l1：4x﹣3y+6＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　）A．B．2C．D．3解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x＝﹣1的距离d2＝a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6＝0的距离d1＝则d1+d2＝a2+1＝当a＝时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选：B．11．双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（　　）A．B．C．2D．3解：双曲线C：﹣＝1的右焦点为F（，0），渐近线方程为：y＝x，不妨P在第一象限，可得tan∠POF＝，P（，），所以△PFO的面积为：＝．故选：A．12．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（　　）A．16B．14C．12D．10解：方法一：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，

6直线l2与C交于D、E两点，由图象知要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B与E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y＝x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4＝0，∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，∴|DE|＝•|y1﹣y2|＝×＝8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|＝＝|DE|＝＝＝∴|AB|+|DE|＝+＝＝，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ＝45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

713．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是　∃x∈R，x2+x+1≤0　．解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：∃x∈R，x2+x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2+x+1≤0．14．椭圆＝1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是　1　．解：由椭圆定义，|PF1|+|PF2|＝2a＝4，即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|＝4a2＝16，由勾股定理，|PF1|2+|PF2|2＝4c2＝12，∴|PF1||PF2|＝2（a2﹣c2）＝2b2＝2，则△F1PF2的面积S＝|PF1||PF2|＝b2＝1．故答案为：1．15．已知抛物线y＝x2和直线x﹣y﹣2＝0，则抛物线上的点到该直线的最短距离　　．【解答】解，由抛物线是一个二次函数，故转化为抛物线的切线与所给直线平行时，两平行线之间的距离，∴y′＝2x，由直线x﹣y﹣2＝0可得该直线的斜率为1，设切点为（x），则2x0＝1，∴，切点为（），故切线方程为：y﹣＝（x﹣）即x﹣y﹣＝0，∴d＝＝，故答案为：．16．已知点M（1，﹣1）和抛物线C：y＝x2，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若＝0，则k＝　　．解：抛物线C：y＝x2的焦点F（0，1），直线AB的方程为y＝kx+1，与抛物线x2＝4y联立，可得x2﹣4kx﹣4＝0，设A（x1，），B（x2，），则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，由•＝0，即（1﹣x1，﹣1﹣）•（1﹣x2，﹣1﹣）＝（1﹣x1）（1﹣x2）+（1+）（1+

8）＝x1x2﹣（x1+x2）+2++＝﹣4﹣4k+3+＝4k2﹣4k+1＝0，解得k＝．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知m＞0，p：（x+1）（x﹣5）≤0，q：1﹣m≤x≤1+m．若m＝5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围．解：当m＝5时，q：﹣4≤x≤6，由（x+1）（x﹣5）≤0，可得﹣1≤x≤5，即P：﹣1≤x≤5．因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，故p与q一真一假，若p真q假，则，该不等式组无解；若p假q真，则，得﹣4≤x＜﹣1或5＜x≤6．综上所述，实数x的取值范围为{x|﹣4≤x＜﹣1或5＜x≤6}．18．求适合下列条件的曲线的标准方程．（1）a＝4，b＝5，焦点在y轴上的双曲线的标准方程；（2）焦点在y轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．解：（1）由题意，设方程为，∵a＝4，b＝5，∴a2＝16，b2＝25，所以双曲线的标准方程是．（2）∵焦点到准线的距离是2，∴2p＝4，∴当焦点在y轴上时，抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝﹣4y．19．已知曲线y＝x2，（1）求曲线在点P（1，1）处的切线方程；（2）求曲线过点P（3，5）的切线方程．解：（1）函数f（x）＝x2，所以f′（x）＝2x，所以直线的斜率k＝f′（1）＝2，

9故直线的方程为y﹣1＝2（x﹣1），整理得y＝2x﹣1．（2）设直线与曲线相切于点（x0，y0），即点（），则直线的斜率为k＝2x0，所以切线的方程为，由于曲线经过点（3，5）所以，整理得x0＝1或5，所以切点的坐标为（1，1）和（5，25），所以切线的方程为y＝2x﹣1或y＝10x﹣25．20．设直线y＝x+b与椭圆相交于A，B两个不同的点．（1）求实数b的取值范围；（2）当b＝1时，求．解：（1）将y＝x+b代入，消去y，整理得3x2+4bx+2b2﹣2＝0．①…因为直线y＝x+b与椭圆相交于A，B两个不同的点，∴△＝16b2﹣12（2b2﹣2）＝24﹣8b2＞0∴（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当b＝1时，方程①为3x2+4x＝0．…解得．此时∴＝＝（利用弦长公式也可以）21．已知双曲线C的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线经过点，又知直线l：y＝kx+1与双曲线C相交于A、B两点．（1）求双曲线C的方程；（2）若，求实数k值．解：（1）抛物线的焦点是（），则双曲线的．即a2+b2＝…（1分）

10设双曲线方程：…解得：…（2）联立方程：当…（未写△扣1分）由韦达定理：…设即（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝0代入可得：，检验合格．…22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不与x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．【解答】（Ⅰ）解：由已知，得．所以a2＝2b2．所以C：，即x2+2y2＝2b2．因为椭圆C过点，所以，得b2＝4，a2＝8．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆C的焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）．根据题意，可设直线MN的方程为y＝k（x+2），由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为．设M（x1，y1），N（x2，y2）．由方程组消y得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8＝0．则，．

11所以|MN|＝＝＝．同理可得|PQ|＝．所以＝＝．