数学第一章补充习题

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1、第一章补充习题材料学院李冬晓整理，谬误难免，敬请谅解例3样本（X????1,X2…,Xn）来自总体X~（-?，?），令d=??=??,−?,????证明：E（d）=?,D(d)=?−.???证：∵X~N（μ，σ2），（X1,X2…,Xn）来自X，∴X22i~N（μ，σ),∴Xi-μ~N(0,σ),i=1,2…,n且相互独立∴Ed=1nEX−μ=1nEX−μ=EX−μni=1ini=12μ+∞1−22而EX−μ=ue2udu,(u=X−μ,u~N(0,σ))−∞2πσu2+∞1−2=2ue2σ2du=σ02πσπ2∴E（d）=σ,π1nDX1nDX−μ=1D(d)=−μ=D(X−μ)n2i=

2、1in2i=1n而D(X−μ)=E(X−μ2)-EX−μ2=σ2−2σ2=（1−2）σ2iππ2σ2∴D(d)=1−.πn设（x1,x2,…,xn）是总体X的一个样本值，将它们按由小到大的排列为：x(1)≤x(2)≤…≤x(n),∀x∈R,令?,?>1时，F∗(x)≈Fx。这正是用样本nn推断总体的理论依据。（

3、2）对于丌同的样本值（x1,x2,…,xn），所得到经验分布函数F∗x是丌同的。n（3）对于x的每一个固定值x,F∗x的值作为随机样本的函数，它是一个r.v.nex.设总体X的分布函数为F(x)，样本的经验分布函数为?∗?，证：?1/72010-03-14第一章补充习题材料学院李冬晓整理，谬误难免，敬请谅解E[?∗(?)]=F(x)，D[?∗(?)]=???[?−?(?)].???证明:因为对于固定的x值，F∗x作为随机样本的函数，F∗x是一个r.v.F∗x表示在n次nnn独立重复试验中，事件X≤x发生的概率，从而nF∗x表示在n次独立重复试验中，n事件X≤x发生的次数，而在每一次试验中，

4、事件X≤x发生的概率PX≤x=Fx，∴r.v.nF∗(x)~B(n,F(x))n∴E[nF∗(x)]=nF(x),D[nF∗(x)]=nF(x)[1-F(x)]⇒E[F∗(x)]=F(x),D[F∗(x)]=1Fx[1−F(x)].nnnnn设某商店100天销售电脑的情况有如下统计资料：日售出台数k23456合计天数fk2030102515100求样本容量n,样本方差s2，经验分布函数?∗?,样本修正方差s*2,样本均值?.?解：（1）n=100（2）经验分布函数0，x<20.2,2≤x≤3F∗x=0.5,3≤x<4n0.6,4≤x<50.85,5≤x<61,x≥61(3)X=2×20+3

5、×30+⋯+6×15=3.85100S2122×20+32×30+⋯+62×15−X2=1.9275=100*2=100s2=1.95…S99设总体X~N(μ，4)，若要以95%的概率保证样本均值?与总体均值μ的偏差小于0.1，问样本容量n应取多大？4解：∵X~N（μ，4），∴X~N（μ，）n2/72010-03-14第一章补充习题材料学院李冬晓整理，谬误难免，敬请谅解μ+0.1−μμ−0.1−μ∴P{X−μ<0.1}=P{μ-0.1

6、可取n=1537.设总体X~P（λ），（X1,X2,…,Xn）是X的样本，试求样本的联合概率分布，并计祘样本均值的期望E?和方差D?。x解：（1）由于X~P(λ),故P{X=x}=λe−λ,x=0,1,2…x!因此（X1，X2，…,Xn）的概率分布为x−λnxP{X1=xniei=1i−nλn−11,X2=x2,…Xn=xn}=i=1λx=λe(i=1xi!)i!(2)∵E(X)=λ,D(X)=λ∴E（X=E1nX=1nEX=EX=λ）ni=1ini=1iD(X)=D(1nX)=1nDX=1DX=λni=1in2i=1inn设（X1,X2,…,X5）是正态总体N(12,4)的样本，求概率：

7、（1）P（max(X1,X2,…,X5)>15）.（2）P(min(X1,X2,…,X5)<10).解：（1）记X（5）=max(X1,X2,…X5),刚P（X535（5）>15）=1-[F（15）]=1-[Φ()]=0.2942(2)记X（1）=min(X1,X2,…X5),刚P（X（1）<10）=1-[1-F（10）]5=1-[1-Φ(-1)]5=0.5804例4分别从方差为20和35的正态总体抽取容量为8和10的两