野兔生长问题

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。数学建模一周论文（论文题目）姓名1：学号：姓名2：学号：姓名3：学号：专业：班级：指导教师：年月日-可编辑修改-

1。摘要：根据某地区野兔连续十年统计量的曲线分布和野兔增长的一般规律，先找出野兔增长中的异常点，然后排除异常点，建立野兔增长的理论模型，然后应用理论于实际，基于现实问题进行运用和对t=10的推测。首先，利用三次样条插值做出其原始图像，在假设条件下，遵循自然规律分析图像，找出并去除t=4,t=5,t=6这三个异常点；然后，利用微分方程分析法，先对t到年兔子增量和增长率a的关系进行分析，列出其微分方程，考虑到自然因素对野兔增长的影响，在前模型的基础上增加竞争项，重新建立模型；对其进一步分析并用原始值与理论之进行比较，进一步发现其中的问题：曲线不能很好地反映断层后野兔的增长趋势；最后，为了更好地反映t=7以后的野兔的增长规律，提出分段表示其增长趋势的思路：把异常点所在的年份作为“断层”，在其两侧分别采用微分方程对其建模，在异常点采用了多次连续“断层”的拟合方法对其求解，即先用三次多项式拟合其断层，并进一步对其函数，特别是其两端进行修正，以保证整个函数的连续性。从而画出分段函数的图像，得出该地区野兔的生长规律，并以此预测第十年野兔的数量。最后，函数以分段形式表示如下：-可编辑修改-

2。并由此计算出t=10年时野兔的数量为y=10.6864万只。关键字：微分方程分析法竞争项多次连续“断层”的拟合1问题的重述在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析该数据，得出野兔的生长规律。并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10时野兔的数量。2问题的分析在自然界中野兔的增长受很多因素的影响，水、食物、或是自然灾害等都会对其产生一定的影响，这其中水和食物会对其产生恒久的制约作用，但不会影响其大体的增长趋势，它会使野兔增长到一定数量之后因为彼此的竞争而使其数量趋于一个稳定值；自然灾害则有可能对其产生致命的打击，导致其增长产生异常现象，而我们在研究其生长问题时应将其排除在外。考察问题的题设和要求，我们必须从给出的数据中得出某地区野兔数量在连-可编辑修改-

3。续十年的统计的图像分布，这其中存在兔子数量增长异常的点。首先，我们应该由图像的分布趋势和自然规律找出这些异常点；其次，要排除异常点，对其与数据作进一步的研究，由于经过自然灾害后野兔的数量会大量减少，所以，我们还要考虑到兔子数量的骤减对增长规律的影响，对其进行分段处理，分别求出各分段区间的野兔增长曲线，最后由曲线预测T=10时野兔的数量。问题的难点在于找出并排除异常点，比较为合理的得出异常年份兔子的近似增长曲线。3问题的假设(i)兔子的数量是连续增长的。(ii)在正常情况下兔子的增长率为一个常数（增长率=出生率-死亡率）。(iii)兔子的数量的增加和减少取决于兔子个体的生育和死亡、食物和水所引起的竞争，其它突发因素不在考虑之内，但每一个个体都具有同样的生育能力和死亡率。4变量的设定------------------------------------------------------------------------------------------------年数----------------------------------------------------------------------------t年是兔子的数量--------------------------------------------------------------------------------------------增长率-----------------------------------------------------------------------------------------阻滞系数----------------------------------------------------------------------------------待定系数5模型的建立和求解5.1找出并排除异常点-可编辑修改-

4。由某地区野兔连续十年的增长统计量：tt=0t=1t=2t=3t=4t=5t=6t=7t=8t=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817表1-1为了更好地找出其异常点，我们应该是让图像经过每一点并且符合其趋势，并利用三次样条插值做出其大致图像分布：y0123456789t12345678910Spline1由上面图像可以看出在开始三年野兔的数量大致呈指数增长，第四年开始呈现下降趋势，而从第七年开始又呈现出增长趋势，并且最终有趋于稳定的趋势。根据我们自然规律，在我们的假设条件下，在开始几年竞争力小，野兔应该迅速的增长，一旦水和食物等自然资源的利用趋于饱和，野兔的增长率应该变小并趋于零，此时野兔的数量也趋于一个稳态值，所以，在整个过程中曲线应该是持续增长的。但由上图我们可以明显的看出从第四年开始，野兔数量呈现下降趋势，直到第六年才开始有回升趋势，这在假设条件下是不可能发生的。所以第四-可编辑修改-

5。、五、六年野兔增长有异常现象。在以后的分析中我们将排除t=4、t=5、t=6这三个点。在去除异常点后，其数据如下：t=0t=1t=2t=3t=7t=8t=912.319694.508536.905687.561018.93929.5817表1-25.2利用微分方程，利用Malthus数学模型并求解5.2.1:分析并找出剩余各点符合的数学模型根据模型假设t年到年的野兔增量为于是得其解为由于自然原因或者食物供应等因素的存在，须从上面的模型基础上增加一个竞争项，它的作用是使增长率减少。如果自然原因和其他因素良好，则能够使更多的兔存活，此时b较小，反之b较大。故建立方程其解为由于,，为常量，该模型可化简为：（A,B,k>0为常数）-可编辑修改-

6。5.2.2根据数学模型求解由表1-2数据，利用数学工具和Matlabe编程方法对模型系数求解可得：A=1.3659B=0.1563k=50.1261即为其图像为同时可计算出出t=10时，y=8.7365。该值小于第九年的野兔数量。根据实际问题中，野兔数量应该逐年增长，虽不是无限增长，但是会保持在一定值。而用上述模型与实际问题存在很大的差值，预测值和原始值相差太远，显然预测不正确。考虑到野兔在生长过程中会因为某些突然因素而导致数据的“断层”，比如疾病的发生，环境的变化，都会导致“曲线年龄”的倒退，致使连续函数不能很好的表达增长趋势。为了更好的符合客观情况，决定从断层带开始向下和向上分别进行建模。即在0—3年和7—9年各自遵循Malthus模型，0—3年和7—9年分别应用Malthus模型求解，而3—7年则应用拟合和修正方法求解-可编辑修改-

7。已完成其过渡。具体方法如下：对0—3年用数学工具和Matlabe编程方法对模型系数求解可得A=1.2885B=0.0971k=40.4586对3—7年用三次多项式拟合并对其本身和其两端点进行两次修正后解得其函数为（方法见附录）：对7年以后用数学工具和Matlabe编程方法对模型系数求解可得A=2.9688B=0.1555k=10.5059综上所述，其增长规律为：其图像为：-可编辑修改-

8。将t=10代入到上面方程中，计算出t=10年时，野兔的数量万只。6模型的评价和推广6.1优点：（1）通过数学工具和Matlab编程方法，严格的对模型求解具有科学性。（2）通过排除异常点，加入竞争项并结合建立的模型使预测值更加准确。（3）通过分段函数，比较准确地反映了实际情况，使理论推测更加准确。6.2缺点：（1）由于数据较少，曲线的绘制和模型的求解都存在一定的误差。（2）由于外界的突变原因没有准确地考虑，而是以分段函数的两段为参考，采用平缓过渡的思想来拟合，不太全面。6.3推广：-可编辑修改-

9。从整个模型来看，此模型属于有限资源的自然利用问题。在有限的空间或食物的情况下，对象往往趋向于这种增长方式，这是自然竞争的必然结果。因此这种模型具有很大应用范围，比如市场对人力资源的分配问题，对资源的分配问题等等。只是在应用的时候应加一个反映波动的函数，以便模型与实际情况进行融合，在实际的基础上应用理论对一些情况进行合理的预测，从而达到真正的建模目的。模型前后两部分，呈指数增长趋势，后部分穗子变量的增加而趋于一稳定值，符合兔子的实际增长规律，可以作为生物生长规律的模型进行使用。参考文献[1]司守奎徐珂文李日华编著《数学建模》烟台海潮出版社2004年2月第一版。附录“对断层的较优化拟合”首先对两端的图像进行分析，大致掌握变化规律，以便于进行函数拟合。-可编辑修改-

10。从图可看出，为了让两点之间的图形与两端十分完美地进行融合，在建立两点之间的函数的时候，必须考虑到整体的变化趋势，然后再在两点进行连续性拟合。考虑到分段点的整体变化趋势，用三次多项次可以很好的表达出来，因此决定用三次多项式进行拟合。程序如下：{t0=[0,1,2,3,7,8,9];y0=[1,2.31969,4.50853,6.90568,7.56101,8.9392,9.5817];a=polyfit(t0,y0,3)；}用此函数拟合后的图像如下：从图可知在两个分段点出差值较大，为了图像的实际意义以及美观性决定添加一个修正项。此修正项的意义仅在于对两段进行无逢连接，所以采用一般的一次函数即可达到目的。做法如下：{t3=[37];y3=0.0255*t3.^3-0.4439*t3.^2+2.9285*t3+0.5624;y1=[6.905687.56101];y=y3-y1;a=polyfit(t3,y,1)；}修正后的图像如下：-可编辑修改-

11。从图可知通过拟合与修订已很好地达到目的，实现了两端的平稳过渡。-可编辑修改-

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